Квадраттық үшмүшеліктер мен квадраттық теңдеулер: түбірлер, дискриминант, жіктеу және Виет теоремесі

Пән: Математика, Геометрия
Жұмыс түрі: Материал
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 4 бет
Таңдаулыға:

квадраттық үшмүшелік

Көпмүшеліктің түбірі. Бір айнымалысы бар Р(х) =а ₀ х +a Equation. 3 х+ . . . +а _п х+а көпмүшелігін қарастырайық.

А н ы қ т а м а. Қөпмүшеліктің мәнін нольге айналдыратындай айнымалының мәні көпмүшеліктің түбір деп аталады.

Мысалы, х=1 - х ⁴ -Зх ² + 4х-2 көпмүшелігінің түбірі болады.

Бір айнымалысы бар екінші дәрежелі ах +bх+с (а 0) көпмүшелігін қарастырайық. Бұл өрнекті квадраттық үшмүшелік деп те атайды. Осы квадраттық үшмүшеліктің түбірлері ах ² +bх+с=0 (а 0) квадраттық теңдеуінің шешімдері болады (теңдеудің шешімдері жоқ болса, квадраттық ушмүшеліктің түбірлері де жоқ болады) .

Мысал. Зх ² +5х-2 квадраттық ушмүшелігінің тубірлерін табу керек.

Шешуі. Зх ² + 5х-2 = 0 теңдеуін шешейік.

Олай болса, -2 мен 1/3 сандары Зх ² + 5х-2 квадраттық үшмүшелігінің түбірлері болады.

Квадраттық үшмүшелікті кeбейткіштерге жіктеу . мен

х ₂ ах ² +bх+с (a 0) квадраттық үшмүшелігінің түбірлері болсын. Бұл жағдайда квадраттық үшмүшелікті көбейтінді түрінде ах ² +bх+с=а( ) (х- х ₂ ) деп өрнектеуге болатынын көрсетейік. Осы тепе-теңдікті дәлелдеу үшін оның оң жағын түрлендірейік:

Ал мен х ₂ ах ² +bх+с = 0 квадраттық теңдеуінің шешімдері, сонда теңдіктері орындалады. Бұл ауыстыруларды іске асырып, екенін аламыз. Тепе-теңдік дәлелденді.

Мысалдар. 1. 5х ² -4х-12 квадраттық үшмүшелігін көбейткіштерге жіктеу керек.

Ол үшін квадраттық үшмүшеліктің түбірлері, яғни 5х ² -4х-12 = 0 теңдеуінің шешімдерін табу керек:

2. бөлшегін қысқарту керек.

Шешуі х ² + х-2 квадраттық үшмүшелігін көбейткіштерге жіктейік:

Демек, х ² +х-2= (х-1) (х+2) . Олай болса,

Квадраттық теңдеулерді шешу . Анықтама. Квадраттық теңдеу деп

ах ² + bх+с = 0 (1)

түріндегі теңдеу аталады. Егер b=0 немесе с = 0 болса, онда квадратгық теңдеу толық емес теңдеу деп аталады.

Толық емес квадраттық теңдеулерді қарастырайық.

а) b=0 болсын, сонда

Сонымен, ах ² +с =0 теңдеуі болғанда екі шешімге ие

болады. ; ( с=0 болғанда , яғни -0=+0=0)

Мысал. х ² - 4 = 0 теңдеуін шешейік.

Шешуі. . Теңдеудің екі шешімі бар: және х ₂ = 2.

б) с = 0, болсын. Сонда квадраттық теңдеу ах ² + bх = 0. түрінде болады. х-ті жақша сыртына шығарсақ, х(ах + b) =0. болады. Көбейтінді нольге тең болуы үшін көбейткіштердің кем дегенде біреуі нольге тең болуы керек: және Сонымен, бұл жағдайда екі шешім алдық: х=0, х ₂ =

Мыса л. 4х ² -х=0 теңдеуін шешу керек.

Шешуі. 4х ² -х=0

Енді толық қвадраттық теңдеуді ах ² +bх+с=0 ( қарастырайық та оның түбірлері формуласын қорытайық. Теңдеудің сол жақ бөлігін, одан толық квадратты ажырату арқылы түрлендірейік:

деп белгілtйік. Сонда үш жағдай болуы мүмкін.

1) Егер D=0 болса, онда ах ² +bх+c = болады да, теңдеудің бір ғана шешімі бар:

2) Егер <0 болса, онда бөлшегі теріс таңбалы болады да

Equation. 3 өрнегі х-тің кез келген мәнінде оң таңбалы болады. Бұл жағдайда (I) теңдеудің нақты мәнді шешімдері жоқ.

3) Енді D>0 болсын. Сонда (1) тендеу

D Equation. 3 теңдеуіне пара-пар. Квадраттардың айырымын көбейткіштерге жіктей отырып,

теңдеуін аламыз болғандықтан

теңдеулері шыгады. Бұрдан

не .

Олай болса, бұл жағдайда квадраттық теңдеудің екі шешімі бар болады, оларды былай қысқаша жазу қабылданған:

өрнегі квадраттық теңдеудің дискриминанты деп аталады. Сонымен дискриминанттың таңбасына байланысты квадраттық теңдеуді шешкенде үш жағдай кездеседі.

Егер D>0 болса, онда квадраттық теңдеудің екі шешімі бар болады.

Егер D=0 болса, онда квадраттық теңдеудің бір ғана шешімі бар болады.

Егер D<0 болса, онда квадраттық теңдеудің нақты мәнді шешімдері болмайды.

Мысал. теңдеуін шешейік. (а=0, b=3, c=1)

Шешуі. Теңдеудің дискриминантын құрамыз. . Сонда

Анықтама. (2) түріндегі теңдеу келтірілген квадраттық теңдеу деп аталады. Толық квадраттық теңдеуді оның оң жағын да, сол жағын да а-ға бөліп, (2) теңдеу түріне келтіруге болады: . деп белгілеп, келтірілген квадраттық теңдеуді аламыз: Келтірілген квадраттық теңдеудің шешімдері формуласын жазайық :

Мысал. теңдеуін шешу керек.

Шешуі. p=2, q=-35 болғандықтан, формула бойынша және ,

Виет теоремасы. ах ² + bх+с = 0 ( ) квадраттық теңдеуінің ( теңдеуінің де) >0 ( ) , болғанда екі шешімі бар. , енді осы шешімдердің қосындысы мен көбейтіндісін анықтайық: