Тұтас денедегі температуралық өрістің қалыптасуына жылу өткізбейтін қабаттың әсерін зерттеу

Пән: Физика
Жұмыс түрі: Дипломдық жұмыс
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 58 бет
Таңдаулыға:

Қазақстан Республикасы Білім және ғылым министрлігі

Қожа Ахмет Ясауи атындағы халықаралық қазақ-түрік университеті

Математика кафедрасы

Қорғауға жіберілді
Кафедра меңгерушісі
_______профессор Ә.С.Мұратов

ДИПЛОМДЫҚ ЖҰМЫС

Тақырыбы: Тұтас денедегі температуралық өрістің қалыптасуына жылу
өткізбейтін қабаттың әсерін зерттеу

5В010900 – Математика мамандығы бойынша

Орындаған
Мырзахметова Ә.

Ғылыми жетекшісі
тех.ғ.к., доцент
Айтбаев Қ.

Түркістан 2013

МАЗМҰНЫ

Кіріспе ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... 3
1 Сандық әдістерді компьютерде жүзеге асырудың теориялық негіздері
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..6
... ...
1.1Математикалық физика есептерін сандық әдіспен шешуде
қолданылатын MATLAB жүйесіне қысқаша 6
шолу ... ... ... ... ... ... ... .
1.2Біртекті емес тұтас денедегі температуралық өрісті шекті
элементтер әдісімен зерттеудің теориялық негіздері ... ... ... ... ... . 19
2 Қала жолдарын жер асты жылу тарату жүйесінің әсерінен қорғау
есебі 30
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ...
2.1Жер асты жылу тарату жүйесі бар қала жолының температуралық
есебінің қойылымы 30
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ... ... ..
2.2Негізгі функционалдың құрамындағы интегралдарды есептеуді
автоматтандыру жолдары ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 38
3 Қала іші автомобиль жолдарының температуралық күйін жер асты
жылу тарату жүйесінің әсерін ескеріп
зерттеу ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..54
... ... ... ... ... ... ... ... .. ... .
3.1MATLAB программалау жүйесінде құрылған есептеу программасының
блок-схемасына талдау ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 54
3.2Изотермалар сызатын арнайы ИЗОЛИНИЯЛАР
программасының жұмысына түсініктеме 57
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .
3.3Зерттеу аймағындағы температуралық өріске жылуөткізбейтін
қабаттың әсерін 61
зерттеу ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ... ... ... ..
Қорытынды ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ..65
... ... ... ... ... ... ... ... .. ...
Пайдаланылған әдебиеттер 66
тізімі ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...

КIРIСПЕ

Табиғатта жүріп жататын процестердің ішіндегі ең күрделісінің бірі –
жылу алмасу процесі. Ғылымда жылу алмасу процесі математикалық физика
есептерінде қарастырылады. Процесс екінші ретті, дербес туындылы
дифференциалдық теңдеумен сипатталады. Теңдеудің бос мүшесінің түріне
байланысты Лаплас, немесе Пуассон теңдеуі деп аталатын бұл дифференциалдық
теңдеулерді шекаралық шарттармен бірге шешу арқылы зерттеу аймағындағы
температуралық өріс анықталады.
Дипломдық жұмыста зерттеу аймағы ретінде құрамында жер асты жылу
тарату жүйесі бар қала іші автомобиль жолының құрылымы қарастырылған.
Қазіргі заманда ешбір кала, елді мекен жер асты коммуникациялық
құрылымдарсыз толық қанды өмір сүре алмайтыны белгілі.
Жер асты коммуникациялары арқылы қала халқы жылумен, сумен, электр
энергиясымен, байланыс жүйелерімен және т.б қамтамасыз етіледі. Бірақ, жер
асты инженерлік жүйелерінің қала жолдарын пайдалану мен жөндеу кезінде
тудыратын қиындықтары мол. Әдетте, жер асты коммуникациялық жүйелерін
мүмкіндігінше көлік жүретін қатардан алыстау, тротуарлар мен жол жиегіндегі
көгеріштердің астымен өткізуге тырысады. Бірақ, тарихи қалыптасқан дәстүр
бойынша, ескі қалаларда, әсіресе, оңтүстік өңірдің қалаларында, жер
тапшылығына байланысты қала жолдарының жалпақтығы жеткіліксіз болады да,
жер асты инженерлік жүйелері автомобиль жолдарының тікелей астымен
жүргізіледі. Нәтижесінде, жер асты коммуникациялық жүйелерінің кері
әсерінен қала жолдары уақытынан бұрын істен шығып, жөндеу жұмыстарына
қосымша қаржы мен уақыт қажет етеді. Аталған кері әсерлі жүйелердің ішінен
жылу тарату жүйелерін ерекше бөліп қарастыруға болады. Ірі қалаларда жол
жөндеуге жауапты мекеме қызметкерлері жер асты жылу жүйесінің жол бойының
қай жерінде жатқанын жол төсемесінде пайда болған жарықшақтар арқылы ешбір
қатесіз таба алады. Олардың пікірінше, жарықшақтардың пайда болуына бірінші
себеп жылу тарату жүйелерінен бөлінетін жылу мөлшері. Жылу тарату жүйесінен
бөлінетін жылу қыстың суық күндерінде асфальт төсемелердің астында ылғалды
мол жинаған борпылдақ қабаттың пайда болуына себеп болады да, нәтижесінде
жарықшақтар пайда болады. Жарықшақтар арқылы өткен су жол төсемесінің
астының беріктігін одан арман төмендетіп жібереді.
Дипломдық жұмыстың мақсаты қала іші көпқабатты жол құрылымының
температуралық күйінің жол қабаттарының жылуөткізгіштік қабілетіне
байланысты өзгеру заңдылықтарын зерттеу.
Қойылған мақсатты орындау үшiн мынадай жұмыстар атқарылуы керек:
- қала іші жолдарының көлденең қималары үшiн есептеу схемалары мен есептеу
алгоритмдерiн жасау және есептеу алгоритмдерiн компьютер арқылы жүзеге
асыру;

- теориялық есептеулер арқылы жол құрылымында пайда болатын температуралық
өрістің өзгеру заңдылықтарын анықтау;
- жүргiзiлген зерттеулердiң нәтижелерi негiзiнде жол конструкцияларындағы
температуралық өрістің ерекшеліктерін жолдарды жобалау кезiнде ескерудiң
тәсiлдерi туралы ұсыныстар жасау.
Дипломдық жұмыс кiрiспеден, үш бөлімнен тұратын негiзгi бөлiктен,
қорытындыдан және пайдаланған әдебиеттер тiзiмiнен тұрады.
Бiрiншi бөлімде шекті элементтер әдісін компьютерде жүзеге асыруда
қолданылатын MATLAB жүйесіне шолу жасалынады. MATLAB жүйесінің өзіндік
алгоримдік тілінің құрылымына, оның мүмкіндіктеріне сараптама жасалынған.
Бөлімнің екінші жартысында автомобиль жолдарының төсемелерiнiң
температуралық күйінің өзгеру заңдылықтарын шекті элементтер әдісімен
анықтаудың теориялық негіздері келтірілген. Математикалық физика теңдеулері
пәнінде қарастырылатын тұтас денедегі температуралық өрістің негізгі
теңдеуі келтіріледі, аталған әдістің негізгі теңдеулер жүйесін құру
алгоритмы келтіріледі, және оны шешудің жолдары сарапталынады. Теңдеуді
шешуге қажетті бастапқы және шекаралық шарттардың түрлері талқыланады.
Екінші бөлімде қала іші автомобиль жолдарының көпқабатты құрылымының
температуралық күйін зерттеу есебі қойылған. Құрамында жер асты жылу тарату
жүйесін қоршаған темір бетон коллектор бар автомобиль жолдарының көлденең
қимасының эскизі келтіріліп, ондағы шекаралық шарттар температуралар арқылы
және олардың конвективті түрде алмасу заңдылықтары арқылы берілген. Қала
жолдарының көп қабатты болатыны ескеріліп, жол қабаттарының материалдарының
геометриялық өлшемдері мен жылу-техникалық сипаттамалары келтірілген.
Тереңдігі 10 м болатын горизонтал қабатта температура тұрақты деп алынып,
зертеу аймағының екі вертикал қабырғаларында температура сызықтық
заңдылықпен өзгереді деп қабылданған. Соңғы, үшінші бөлімде компьютерде
есептелінген жол қимасындағы температуралық күйді зерттеу нәтижелері
графикалық әдіспен келтірілген. Жол қабаттарының жылуөткізгіштік
қасиеттерінің температуралық өріске әсерін зерттеу үшін жол төсемесінің
астымен жүргізілген изоляциялық қабат енгізіліп, есептеу нәтижесі негізгі
нұсқа нәтижесімен салыстырылған. Жылуөткізгіштіктің негізгі теңдеуі
итерациялық, жоғарғы релакциялық Зейдель тәсілімен шешілген және нәтижесі
изотермалар түрінде берілген. Алынған сандық нәтижені талдауға ыңғайлы болу
үшін DELPHI тілінде арнайы “Изолиниялар” деп аталатын программа құрылған.
Осы программаның көмегімен сандық нәтижелер тең деңгейлі сызықтар түрінде
(изотермалар) көрсетілген.
Дипломдық жұмыс аумағында мынадай нәтижелер алынған:
- көп қабатты қала жолдарында пайда болатын жоласты жылу тарату
жүйелерінің әсерінен пайда болатын қосымша температуралық өрісті
анықтау мақсатында математикалық модель құрылған;

- аталған математикалық модельді жүзеге асыру үшін шекті элементтер
әдісі қолданылып, есептеу программасы құрылған;
- есептік тәжiрибелер негiзiнде жол қабаттарының жылу өткізгіштік
қасиеттері өзгертіліп, алынған нәтижелер салыстырылған.

1 САНДЫҚ ӘДІСТЕРДІ КОМПЬЮТЕРДЕ ЖҮЗЕГЕ АСЫРУДЫҢ
ТЕОРИЯЛЫҚ НЕГІЗДЕРІ

1. МАТЕМАТИКАЛЫҚ ФИЗИКА ЕСЕПТЕРІН САНДЫҚ
ӘДІСПЕН ШЕШУДЕ ҚОЛДАНЫЛАТЫН MATLAB ЖҮЙЕСІНЕ
ҚЫСҚАША ШОЛУ

Жоғарғы деңгейлі программалау жүйелерінің ішіндегі қолданбалы
математика саласында соңғы кезде жиі қолданылып жүрген жүйенің бірі –
MATLAB [1-6] программалау жүйесі. MATLAB – матрицалық лаборатория – ғылыми-
техникалық есептеулерге арналған ең үздік программалау жүйесінің бірі. Бұл
жүйе қазіргі таңда есептеу математикасына, мәліметтерді өңдеуге,
электрондық приборларды жобалауға, экономикаға және т.б. қолданбалы ғылым
салаларына арналған бірнеше ондаған қосымшалармен толықтырылған.
MATLAB ең алдымен сандық алгоритмдерді программалауға арналған жүйе.
Ол 1970 жылдары АҚШ-та жасалған қолданбалы LINPACK және EISPACK
пакеттерінің негізінде пайда болды. MATLAB-тың пайда болуы қазіргі таңда
үздік дамыған MathCad, MAPLE және Mathematica жүйелерінің өмірге келуіне
себеп болды. MATLAB жүйесінің дамуына есептеу математикасының дамуы мен
жеке компьютерлердің архитектурасының өзгерулері көп ықпал етті.
MATLAB – жоғары деңгейдегі программалау жүйесі. Оның құрамында барлық
есептеулер түрлерін жүргізуге, мәліметтер қорымен жұмыс істеуге және
ақпараттарды графикалық түрде өңдеуге арналған командалардың бай қоры бар.
Бұл командалар MATLAB жүйесінің әртүрлі директорияларында орналасқан
тақырыптық топтарға бөлінеді. Жүйеде 800-ге жуық командалар бар, олардың
тең жартысына жуығы жүйемен жаңа танысып отырған қолданушыға түсінікті.
Мүмкіндігі кеңірек командалар С тілінде жазылған. Бірақ, командалардың
басым көпшілігі MATLAB жүйесінің тілінде. Сондықтан бұл жүйе қолданушы үшін
әрқашан ашық. Жүйеде екі-, және үш өлшемді графиктермен жұмыс істеуге және
жүйеде бар командаларды қолданып өз командаларын құруға зор мүмкіншілік
бар. Сонымен қатар, С және Фортран тілінде жазылған программаларды MATLAB
жүйесінде қолдануға болады.
Бұл жерде келтіріліп отырған мәліметтер жүйемен жаңадан танысуға
және MATLAB жүйесінің мүмкіндіктерін зерттеуге арналған.
MATLAB жүйесін РС-де немесе Мас-та іске қосу үшін MATLAB-тың фирмалық
суретін екі рет шертсе болғаны. MATLAB–ты UNIX жүйесінде іске қосу үшін
операциялық жүйенің жұмыс терезесіндегі командалық қатарда matlab сөзін
теру керек. MATLAB-тан шығу үшін командалар қатарында quit сөзін тереді.
MATLAB жүйесін игерудің ең оңай жолы – ол матрицалармен жұмыс істеуді
үйрену. Себебі, MATLAB жүйесінің басқа жүйелерден негізгі ерекшелігі, бұл
жүйеде барлық сандар әртүрлі реттегі матрицалар деп

қарастырылады. Мысалы, тұрақты сан (11) өлшемді матрица деп, ал вектор
бір бағанадан немесе бір қатардан тұратын матрица деп қарастырылады. Жалпы
түрдегі матрица деп төртбұрышты сандар массивын алады. Жүйенің тағы бір
ерекшелігі, басқа жүйелерде матрицаны сандар жинағы деп қарастыратын болса,
мұнда матрицаларға жеке сан ретінде қарап, оларға арифметикалық
операциялардың барлық түрлерін сан ретінде қолдана береді. Осы
айтылғандарды ескеріп MATLAB жүйесінде қолданылатын операцияларды
матрицалары енгізуден бастайық.
Матрицаны енгізудің бірнеше тәсілі бар:
- элементтердің толық тізімін беру;
- матрицаны сыртқы файлдардан көшіріп алу;
- жүйеде бар арнайы функциялар арқылы матрицаны есептеп шығу;
- өзіңіз құрған М-файлдағы функция арқылы матрицаны есептеп шығу.
Матрицаны тізіммен енгізу үшін мынадай негізгі ережелерді ұстану
керек:
- элементтер өзара бос орын немесе үтір арқылы бөлінеді;
- әрбір қатардың соңы нүкте-үтірмен (;) белгіленеді;
- матрицаның барлық элементтері квадрат жақшамен ( [ ] ) қоршалады.
Енді MATLAB-та қолданылатын индекстермен танысайық. Матрицаның қатары
i индексімен, бағанасы j индексімен жабдықталады да A(i,j) арқылы
белгіленеді. Мысалы сиқырлы матрицаның төртінші бағанасының элементтерін
есептеу үшін

A(1,4)+A(2,4)+A(3,4)+A(4,4)

командасын қолданып

ans=
34

мәнін аламыз. Бірақ бұл тәсіл тиімді емес. Мұндай жағдайда матрицаның бір
ғана индексін өзгерту тәсілін пайдаланған жөн. Мысалы, A(1:k, j) операторы
массивтың j-шы бағанасының элементтерін 1-ден k-ға дейін тізбектеп береді.
Ал

sum(A(1:4,4))

командасы алдында қарастырылған төртінші бағананың элементерінің қосындысын
есептеп береді. Бұл жерде қолданылған (:)-қос нүкте операциясының MATLAB
жүйесіндегі маңызы зор. Мысалы, sum(A(:,end)) командасы арқылы матрицаның
соңғы бағанасының элементтерінің қосындысы алынады.

Басқа алгоритмдік тілдер сияқты нақты программа құру үшін MATLAB жүйесінде
де математикалық сөйлемдер құрылады. Олардың құрамында
- айнымалылар;
- сандар;
- операторлар;
- функциялар
болады.
MATLAB жүйесінің тағы бір негізгі ерекшелігі ол айнымалылардың типін
анықтауды қажет етпейді. Жаңадан кездескен айнымалыға MATLAB автоматты
түрде өзінің жадынан орын бөледі, ал егер ол айнымалы бұрыннан бар болса,
онда оның құрамын өзгертіп, қажет болса жадынан қосымша орын тағайындайды.

Айнымалылар әріптермен, цифрлармен және астын сызу символымен
белгіленеді. MATLAB бас әріптермен кіші әріптерді бөліп қарайды. Мысалы, A
мен a екі түрлі айнымалы.
MATLAB жүйесінде сандар ондық есептеу жүйесінде қарастырылады. Ондық
дәреже e әріпімен көрсетіледі. Комплекс сандардың жорамал бөлігін
белгілеуге i немесе j әріптері суффикс ретінде пайдаланылады. Төменде
MATLAB жүйесінде сандардың дұрыс жазылуына мысалдар келтірілген:

3 -99
0.0001
9.6397238 1.60210e-20 6.02252e23
1i -3.14159j 3e5i.

Сандардың бәрі компьютердің жадында IEEE стандартымен анықталатын long
форматымен сақталады. Жылжымалы нүктемен сипатталатын сандарда 16 мағыналы
цифр болады да, олардың мәндері 10-308 –ден 10308 –ге дейінгі диапазонда
өзгереді.
MATLAB жүйесінде мынадай операторлар қолданылады:

+ қосу;
- алу;
* көбейту;
бөлу;
\ сол жақтан бөлу;
^ дәреже;
' дефис-транспондау белгісі;
() есептеу тәртібін көрсететін жақшалар.

MATLAB жүйесінде элементарлық математикалық функциялардың үлкен қоры
бар. Мысалы, abs, sqrt, exp, sin және т.б. Жүйеде теріс сандардың квадрат
түбірлері мен логарифдері де есептеліп, нетижесі комплкс сандар түрінде
алынады. Сонымен қатар күрделі, Гамма функциясы мен Бессель

функцияларының да стандартты командалары бар. Барлық математикалық
функциялардың тізімін алу үшін

help elfun

командасын қолданса болғаны.
Бірнеше арнайы функциялар жиі қолданылатын константаларды береді:

pi 3.14159265...
i жорамал бірлік,
j мағынасы -мен бірдей
eps жылжымалы нүктелі санның салыстырмалы дәлдігі, 2-
52
realmin ең кіші жылжымалы нүктелі сан, 2-1022
realmax ең үлкен жылжымалы нүктелі сан, 21023
Inf шексіздік

NaN сан емес дегенді көрсетеді. Бұл белгі 00 немесе Inf-Inf
операцияларының математикалық мағынасы жоқ екені туралы ескертеді.
Бұл функциялардың мағыналарын қажетінше өзгертіп отыруға болады.
Мысалы

eps=1.e-6.

Функцияның бастапқы мәніне қайта оралу үшін

clear eps

командасы орындалады.

Матрицалармен жұмыс істеу
Матрицаларды жүйенің көмегімен де құруға болады. Ол үшін

- zero бәрі ноль
- ones бәрі бір саны
- rand кездейсоқ сандардың біркелкі таралуы
- randn кездейсоқ сандардың нормалды таралуы

командалары қолданылады. Соңғы екі команда математикалық статистика
есептерінде қолданылатын болғандықтан оларға арнайы тоқталу қажет. Ал
алдыңғы екі команда сандық қатар элементтерін өзара қосу, немесе көбейту
операцияларында нәтиже жинақталатын матрицаларды тазалап алу үшін
қолданылады.
MATLAB жүйесінде сандардың массивынан тұратын матрица мәтіндік файл
түрінде құрылады. Төртбұрышты кестенің элементтері өзара бос орын арқылы
бөлінеді және матрицаның қатарларындағы элементтер саны бірдей болу керек.
Мысалы MATLAB жүйесінің сыртында 4 қатардан тұратын мәтіндік файл құрайық:

16.0 3.0 2.0 13.0
5.0 10.0 11.0 8.0
9.0 6.0 7.0 12.0
4.0 15.0 14.0 1.0

Файлды magik.dat деген атпен сақтайық. Енді

load magik.dat

деген команда осы файлды оқып, берілген матрицадан тұратын magik деген
айнымалыны құрады.
Енді М-файлдарды құруды бастайық. Төменгі дәрежедегі алгоритмдік
тілдерде программа деп аталатын қосымшаны MATLAB жүйесінде М-файл деп
атайды. Бұл жүйеде алғаш рет жұмысты бастағанда жүйеге кірген бетте
мониторда MATLAB-тың командалық терезесі ашылады. Командалық терезенің
командалық қатарында командалар теріліп, программаның жұмысын басқаруды
ұйымдастырады. Сонымен қатар, қомандалық терезе арқылы программаның жұмысын
бақылап отыруға болады. Бұл терезеде программаның қателерінің түрі, олардың
программада орналасқан жері және т.б. көрсетіліп отырады және соңында
программа жұмысының нәтижесі көрсетіледі. Ал программаның өзін жазу үшін
командалар терезесінде File тізімін ашу керек. Тізімнен New командасы
арқылы жаңа терезе ашылады. Бұл терезеде жазылатын программаның аталуы және
сақталатын орыны сұралады. Бұл сұрақтарға жауап берілген соң мәтіндік
редактор деп аталатын жаңа терезе ашылады. Осы терезеге бұдан кейін М-файл
деп аталатын жаңа программаның мәтіні орналастырылады (жазылады). М-файл
компьютердің жадында программаның берілген атына .m кеңейту қосылып
сақталады. Бұдан кейінгі жұмыс тек командалық терезе мен мәтіндік редактор
арқылы орындалады. Мәтіндік редакторда программаны жазып болғаннан кейін
редактордың бас жағында Debug тізімінде орналасқан Run командасы басылады.
Бұл кезде командалық терезе ашылып, онда программаның қателері, немесе
есептің нәтижесі шығады. Есептің нәтижесіне де .m кеңейту қосылып жаңа ат
беріледі. Жаңадан құрылған М-файлды (программаны) келесі жолы ашу үшін
мәтіндік редактордағы File тізімінің Open командасын басылып, пайда болған
тізімнен ізделіп отырған М-файл ашылады. Енді М-файлға өзгертулер енгізе
беруге болады. Командалық терезе мен мәтіндік редактор жұмыс столында
бірінің астына бірі орналасады. Қажет терезені шерту арқылы оларды кезекпен
ашып отырады. Программаға енгізілетін әрбір өзгерістен кейін File
тізіміндегі Save

немесе Save All командалары арқылы өзгертулерді жаттатып отыру керек.
Мәтіндік редактордағы программаны дұрыстау барысында командалық терезеде
көрінетін ақпараттардың көлемі өсіп кетіп, жұмыс істеуге кедергі жасайтын
кезі жиі болады. Мұндай кезде командалық қатардағы символынан кейін clc
командасын теріп Enter пернесін басу арқылы командалық терезені тазалауға
болады. Бұл кезде компьютердің жадындағы ақпараттар жоғалып кетпейді.
Олардың ішіндегі қажетті бөлігін бұрынғыша қайтадан командалық терезеге
шығаруға болады.
Ақпарат ағымдарын басқару
MATLAB жүйесінде ақпараттар ағымын басқарудың бес түрі бар:

- if операторы
- switch операторы
- for циклы
- while циклы
- break операторы.

if операторы логикалық пікірді есептеп, нәтижесі ақиқат болса берілген
операторлар тобын орындайды. Операторлар тобының құрамында қажет жағдайда
қосымша шарттарды ескеретін elseif және else операторлары болуы мүмкін. if
операторы end арнайы сөзімен аяқталады.
switch операторы case арнайы сөзімен бірге жұмыс істейді. switch
операторында жақша ішінде арнайы тізім, логикалық шарт немесе есептеу
алгоритмы орналасады. Жақшаның мәніне байланысты case орындалатын
операторды (операторлар тобын) таңдайды. Нәтижесінде берілген шартқа сәйкес
келетін алғашқы оператор (операторлар тобы) ғана орындалады. switch
операторы end арнайы сөзімен аяқталады.
for циклы операторлар тобын берілген сан рет орындап шығуға арналған.
Цикл end арнайы сөзімен аяқталады. Циклға мысал келтірейік:

for i=1:m
for j=1:n
H(i,j)=1(i+j);
end
end
H

Циклдың ішінде орындалатын Н операторының соңында ; белгісі қойылмаса
командалар терезесінде оператордың есептеу нәтижесі әрбір цикл үшін шығып
отырады. Программаның соңындағы Н идентификаторы цикл жұмысын аяқтағаннан
соң алынған нәтижені командалар терезесінен көрсету үшін жазылады. Егер бұл
нәтиже қажет болмаса Н идентификаторынан кейін ; белгісін қояды, немесе Н
белгісін жазбай кетеді. Программаның оқылуын жеңілдету үшін оның мәтінін
жоғарыдағыдай сатылап орналастырған дұрыс.
while циклының орындалу саны логикалық шартпен анықталады. Төменде
мысал ретінде while, if, else және end операторларының көмегімен жазылған
полиномның түбірін қақ бөлу әдісімен анықтаудың программасы келтірілген.

a=0; fa=-Inf;
b=3; fb=Inf;
while b-aeps*b
x=(a+b)2;
fx=x^3-2*x-5;
if sign(fx)==sign(fa)
a=x; fa=fx;
else
b=x; fb=fx;
end
end
x

Программаның жұмысы нәтижесінде x3-2x-5 полиномының

x=
2.09455148154233

түбірі алынады.
break операторы for немесе while циклдарынан циклдың соңына жетпей
шығып кетуге мүмкіндік береді. Егер программада бір бірінің ішінде
орналасқан бірнеше цикл бар болса, онда break операторы тек өзі ішінде
орналасқан циклдан ғана шығарады да, оның сыртындағы циклдың жұмысы жалғаса
береді.
MATLAB жүйесінің жоғарыда келтірілген негізгі бөлігінің (ядро)
мүмкіндіктері қаншалықты мол болғанымен әрқашан жаңадан пайда болып жататын
жекелеген математикалық проблемаларды шешуге оның мүмкіндіктері жеткіліксіз
болып жатады.
Мұндай жағдайларда уақтылы шешім қабылдап отыру үшін MATLAB жүйесінің
негізгі пакетінің архитектурасы оған дер кезінде жаңа программалық шешімдер
қосып отыруға бейім етіп жасалынған және мұндай өзгерістер қолданушы
байқамайтындай етіп ұйымдастырылған. Себебі, қосымша пакет
инсталяцияланғаннан кейін ол MATLAB жүйесінің негізгі пакетімен араласып
кетеді де, оны пайдалану әдістерінің негізгі пакетті пайдалу әдістерінен
айырмашылығы болмайды.

MATLAB жүйесінің қосымша пакеттерін MATLAB жүйесін құрастырған негізгі
фирма да (The MathWorks Inc., USA), немесе, сырттан келген басқа фирмалар
да жасай береді. Мұндай пакеттерді жасау программалау техникасы тұрғысынан
алғанда соншалықты қиын болмайды. Бірақ, олардың негізгі құндылығы шешіліп
отырған мәселенің өзектілігі мен оларды қолданып шешілетін есептердің
қиындығымен анықталады. Әрине, мұндай пакеттер күрделі ғылыми-техникалық
проблемаларды шешу барысында пайда болатыны сөзсіз.
Бүгінгі таңда ресми таратылып жүрген ондаған қосымша пакеттер бар.
Олардың ішінде дербес туындылы дифференциалдық теңдеулер жүйесін шешуге
арналған арнайы математикалық пакет (Partial Differential Equations Toolbox
пакеті), статистика есептерін шығаруға (Statistics Toolbox) және тиімділік
есептерін шығаруға (Optimization Toolbox) арналған, суреттерді талдауға
(Image Processing Toolbox; Wavelet Toolbox) арналған, және т.б. есептерді
шешуге арналған пакеттер бар. Сонымен қатар, әртүрлі динамикалық жүйелерді,
электр желілерін және әртүрлі сигналдарды моделдеуге арналған (Simulink;
Control System Toolbox; Signal Processing Toolbox) пакеттер жасалынған.
Аталған қосымша пакеттердің бәріне бірдей бір дипломдық жұмыс аясында
тоқталу мүмкін емес. Дегенмен, біз бұл жерде аналитикалық есептеулер мен
аналитикалық түрлендірулер жүргізуге мүмкіндік беретін Symbolic Math
Toolbox (бұл оның ресми аталуы) қосымша пакетіне толығырақ тоқталамыз [5].
Бұл пакеттің мүмкіндіктері шексіз, сондықтан біз оның жиі пайдаланылатын
бөлігіне ғана тоқталайық. Пакет электрондық көмекші жүйесімен жабықталған,
сондықтан бұл пакеттің жұмысымен кеңірек танысу үшін соны пайдаланса
болады.
Symbolic Math Toolbox пакеті аналитикалық түрлендірулерден басқа,
дәлдігі басқарылатын арифметикалық есептеулерді де орындайды. Бұл кезде
қажетті дәлдік алдын ала тағайындалады.
Алдымен дәлдігі басқарылатын арифметикалық есептеулерді қарастырайық.
Бұл мақсат үшін Symbolic Math Toolbox пакеті екі функцияны – digits және
vpa функцияларын ұсынады. Олардың біріншісі қажетті дәлдікті үтірден
кейінгі ондық белгілердің саны түрінде тағайындайды, ал екіншісі
тағайындалған дәлдікпен есептеулер жүргізеді. Бұл жерже vpa аббреватурасы
айнымалы дәлдіктегі арифметика деп аударылатын Variable Precision
Arithmetic атауын білдіреді.
Аталған функциялардың қолданылуына мысал келтірейік:

digits ( 30 );
vpa ( pi )
ans=
3.14159265358979323846264338328.

Бұл жерде өте жақсы нәтижені – pi санын 30 мағыналы белгімен оңай алдық.
Дәл осылайша келесі бір белгілі иррационалдық санды – е санын аламыз:

digits ( 100 );
vpa ( exp(1) )
ans=
2.7182 ... ...28.

Бұл жерде нәтиже 100 мағыналы белгімен алынды.
Енді Symbolic Math Toolbox қосымша пакетінің негізгі міндеті –
аналитикалық түрлендірулерге оралайық. Мысалы, x+y және 3y өрнектерін өзара
қосу (сандық емес, символдық қосу) қажет болсын. Әрине, қосу нәтижесі
(тәуелсіз x және y айнымалыларының кез келген мүмкін мәндері үшін) x+4y
болатыны белгілі. Мұндай нәтижені MATLAB жүйесінің негізгі пакеті арқылы
алу мүмкін емес, себебі онда тек нақты сандар арасындағы операциялар
орындалады, ал қарастырылып отырған мысалда x және y айнымалыларының бір де
бір сандық мәні берілмеген. Міне осы жерде Symbolic Math Toolbox қосымша
пакеті көмекке келеді:

sym(`x+y`) + sym(`3*y`)
ans=
x+4y

Бұл пакет обьектілердің жаңа түрін – sym обьектілерін өзара қосып
отыр. Мұндай обьектілерді алу үшін аталуы да осылайша болатын функцияны –
sym обьектілерінің конструкторын шақыру керек. Бұл жерде sym текті
обьектілермен кәдімгі алгебра мен математикалық талдау ережелері арқылы
жұмыс істелінеді.
Келтірілген мысалда алдымен мәндері x+y және 3*y болатын алгебралық
өрнектерге тең sym текті екі айнымалыны енгізіп, содан кейін ғана оларға
қосу операциясын қолданса болар еді:

symbV1=sym(`x+y`); symbV2=sym(`3*y`);

Аталулары symbV1 және symbV2 болатын айнымалылардың тегін whos
командасы арқылы анықтауға болады (whos командасының орындалуына мысалды
қара):

symbV1=sym(`x+y`); symbV2=sym(`3*y`);
whos

Name Size Bytes Class

symbV1 1x1 130 sym object
symbV2 1x1 130 sym object

Grand total is 8 elements using 260 bytes

Мысалдағы sym текті обектілердің әрқайсысы (айнымалылар) 130 байт
орын алады екен. Осымен енді sym текті екі айнымалыны алдық. Мұндай
айнымалылар үшін қосу операциясы сандық түрде емес, алгебраның ережелері
арқылы орындалады:

symRes= symbV1+ symbV2;
symRes=
x+4*y

Енді x атты айнымалының символдық түрдегі аталуы қандай болғаны
ыңғайлы деген сұраққа жауап іздейік? Мұндай айнымалыға шатыспас үшін x
деген ат берген дұрыс сияқты:

x =sym(`x`);

Нәтижесі алғашында оғаш көрінгенмен, кейін қолдануға ыңғайлы болатыны
сөзсіз.
Symbolic Math Toolbox қосымша пакеті аумағында sym текті
айнымалыларды пайдаланып сансыз көп операциялар орындауға, және олар арқылы
көптеген жаңа функциялар құрастыруға болады. Бірақ біз бұл жерде олардың
тек кейбір негізгі түрлеріне ғана тоқталамыз..
1. symplify функциясы арқылы символдық өрнектерді қарапайым түрге
келтіруге болады:

symX=sym(`x^2-2*x*y+y^2`); symY=(`x-y`);
symplify(symXsymY)
ans=
x-y

2. expand функциясы арқылы алгебралық және функционалдық өрнектерді
ашуға болады:

а=sim(`sin(x+y)`);
expand ( a)
ans=
sin(x)*cos(y)+cos(x)*sin(y)

Осы әдіс арқылы алгебра мен тригонометрияның кейбір ұмытылып қалған
формулаларын алуға болады. Немесе, көпмүшеліктерді өзара көбейтуге болады:

а=sym(`(x+y)*(x-y)*(2*x-3*y)`);
expand ( a)
ans=
2*x^3-3*x^2*y-2*y^2*x+3*y^3

3. factor функциясын көпмүшеліктерді қарапайым көбейткіштерге
жіктеуде, немесе, бүтін сандарды жәй сандарға жіктеуде қолдануға болады:

factor(sym(`x^5-1`))
ans=
(x-1)*(x^4+x^3+x^2+x+1)
factor(sym (`123456789`))
ans=
(3)^2*(3803)*(3607)

4. Ал subs функциясы арқылы көрсетілген символдық айнымалыларға жаңа
өрнектер түрінде мән беруге болады:

syms x y a b
subs (x*y, [x,y], (a+b, a-b])
ans=
(a+b)*(a-b)

Соңғы мысалда әрқайсысы жеке жазылатын бірқатар эквиваленттік

x=sym(`x`); y=sym(`y`); a=sym(`a`); b=sym(`b`);

өрнектерді қысқаша жазу үшін syms функциясын қолдандық. Содан кейін x*y
өрнегіндегі x орнына a+b өрнегін, ал y орнына a-b өрнегін аналитикалық
түрде қойып шықтық.

5. det функциясы, символдық матрицаларды қолданып осы матрицаның
детерминантын (анықтауыш) аналитикалық түрде есептейді:

syms x y a b
det ([x,y;a,b])
ans=
x*b-y*a

Аналитикалық түрде осы матрицаға кері матрицаны да табуға болады:

syms x y a b
inv ([x,y;a,b])
ans=
[ -b(-x*b+y*a), y(-x*b+y*a)]
[ a(-x*b+y*a), -x(-x*b+y*a)]

Жалпы жағдайда, сызықтық алгебраның аналитикалық операцияларын
орындайтын көптеген функциялар бар. Олар туралы Symbolic Math Toolbox
пакетімен бірге \help\pdf_doc\symbolic\symbolic_tb. pdf файлында берілетін
құжаттардағы анықтауыш арқылы білуге болады.
Эмоциялық жағынан өте күшті әсер қалдыратын операцияларға пакеттің
символдық дифференциалдау және символдық интегралдау мүмкіндіктері жатады.
Олардың біріншісі diff функциясы арқылы, ал екіншісі int функциясы арқылы
орындалады. Мысалдар келтірейік:

y=sym (`x^2-4*x-7`);
diff (y, `x`)
ans=
2*x-4

Бұл жерде diff (y, `x`) өрнегі y-ті x бойынша дифференциалдау
дегенді білдіреді. Енді интегралдауға мысал келтірейік:

y=sym (`1sin(x)`);
int (y, `x`)
ans=
log(csc(x)-cot(x))

Шектерді де аналитикалық түрде есептеуге болады:

limit (sym(`sin(x)x`))
ans=
1

Енді функцияларды Тейлор қатарына аналитикалық түрде жіктеу
операциясына тоқталайық:

y=sym (`sin(x)`);
taylor (y, 0)
ans=
x-16*x^3+1120*x^5

Нәтижесінде Тейлор қатарының жеке түрі – қатар 0 нүктесінің маңайында
қарастырылғанда пайда болатын Маклорен қатарын алдық.
Бұл жерде алынған қатардың ретіне (дәрежесіне) былайша тапсырыс
беруге болады:

taylor (y, 0,8)

Мұндай операцияның нәтижесі

ans=
x-16*x^3+1120*x^5-15040*x^7

түрінде алынады.
Symbolic Math Toolbox қосымша пакеті алгебралық және дифференциалдық
теңдеулердің аналитикалық шешімдерін былайша алуға мүмкіндік береді:

solve (sym (`a*x^2+b*x+c`))
ans=
[ 12a*(-b+(b^2-4*a*c)^(12))]
[ 12a*(-b-(b^2-4*a*c)^(12))]

Енді гармоникалық тербелістердің

y``=-y; y(0)=0; y`(0)=1;

дифференциалдық теңдеуін шешейік.
Бұл кезде аналитикалық шешімді іздеу программасы былайша жазылады:

dsolve (`D2y=-y`, `y(0)=0`, `Dy(0)=1`, `x`)
ans=
sin(x)

Келтірілген қысқаша шолудан Symbolic Math Toolbox қосымша пакетінің шексіз
көп мүмкіндіктері туралы аздаған мәлімет алдық. Қосымша пакеттің MATLAB
жүйесінің мүмкіндіктерін қаншама молайтынын көруге осының өзі жеткілікті.

1.2 БІРТЕКТІ ЕМЕС ТҰТАС ДЕНЕДЕГІ ТЕМПЕРАТУРАЛЫҚ
ӨРІСТІ ШЕКТІ ЭЛЕМЕНТТЕР ӘДІСІМЕН ЗЕРТТЕУДІҢ
ТЕОРИЯЛЫҚ НЕГІЗДЕРІ

Жол құрылымына көлiк жүктемелерiмен бірге қосымша табиғи-климаттық
факторлар да қатты әсер етедi. Мысалы, қоршаған ортаның температурасының
өзгеру жылдамдығы мен оның абсолют шамасының мөлшерi көпқабатты жол
конструкциясындағы жер төсемесiнiң, жол төсемесiнiң негiзiнiң, жол
төсемесiнiң жылулық және ылғалдылық режимдерiн анықтайды. Жолдың
берiктiгiне, тегiстiгiне, оның жұмыс мерзiмiнiң ұзақтығына көп әсер ететiн
бұл жағдайды автомобиль жолдарын жобалау кезiнде ескеру қажет екенi
түсiнiктi.
Бұл процестер термодинамика, атап айтқанда – жылу мен жұмыс
арасындағы байланысты қарастыратын техникалық термодинамика заңдарын
қолдану арқылы зерттеледi [7-10].
Жылу алмасудың үш түрi белгiлi: жылу өткiзгiштiк (немесе кондукция),
конвекция және сәулелiк жылыну. Жылу өткiзгiштiк деп денелердiң бөлiктерi
бiр-бiрiне жанасып тұрғанда олардың өзара жылу алмасуын айтады. Конвекция -
денелердiң майда бөлшектерiнiң жылжуы кезiнде, олардың өзара араласып кетуi
кезiнде болатын жылу алмасу. Сәулелiк жылыну деп бiр денеден екiншi денеге
жылудың электромагнит толқындары түрiнде берiлуiн айтады.
Жылуөткізгіштік құбылысы температураның gradT градиенті орын алған
кезде пайда болады және бірөлшемді стационарлық жағдай кезінде Фурьенің

q = - λ· gradT

заңымен сипатталады. Бұл жерде q – жылу ағынының тығыздығы; λ – СИ
жүйесінде жай ғана жылуөткізгіштік деп аталатын жылуөткізгіштік
коэффициенті.
Жылуөткізгіштіктің дифференциалдық теңдеуін нақты шешу үшін бастапқы
және шекаралық шарттар беріледі.
Жылуөткізгіштіктің өлшем бірлігі ретінде әрбір метр-кельвинге келетін
Ватт [Вт(м·К] алынған. Бұл шама сандық жағынан стационарлық режимде жылу
ағынының беттің тығыздығы 1 Втм2 болған кезде температуралық градиентті 1
Км шамасына жеткізетіндей заттың жылуөткізгіштігіне тең.
Жалпы жағдайда жылуөткізгіштік қысымның, зерттеліп отырған дененің
құрамының, ылғалдылығының және оның температурасының функциясы.
Құрылыс материалдары мен жылусақтағыш материалдардың жылуөткізгіштігі
әдетте 0,02-3,0 Вт(м·К) шамасында болады. Температура көтерілген сайын ол
өседі және оның шамасы заттың құрамына, қуыстық деңгейіне және
ылғалдылығына байланысты өзгереді.

Әрбір нақты заттың жылуөткізгіштігін алдын ала дәл болжап айту теория
жүзінде мүмкін емес. Сондықтан жылуөткізгіштікті дәл анықтау үшін тікелей
өлшеуден басқа амал жоқ.
Жылусақтағыш заттардың жылуөткізгіштігін анықтауға осы заттың өзінен
жасалған жазық плиталарды қолданып жасалған өлшеу құралы ең қарапайым да
ыңғайлы құрал ретінде кеңінен қолданылады. Бұл құралды қолданып
жылуөткізгіштікті анықтау әдісі 1954 жылы құрылыс материалдарын зерттеу
зертханаларының Халықаралық бірлестігінде (RILEM) стандарттық әдіс ретінде
қабылданған. Бұл әдіс өткен ғасырдың алпысыншы-сексенінші жылдары алдыңғы
қатарлы метрологиялық зертханаларда эталондық өлшеулер үшін пайдаланылды.
Әртүрлі материалдардың жылуөткізгіштігін анықтаудың басқа да замануи
тәсілдері көп [11]. Олардың бәріне ортақ бір жағдай – анықталатын негізгі
шама ретінде зерттелетін заттың қарама қарсы беттеріндегі температура
айырмашылығы алынады. Соңғы мәселе нақты есептеулер жүргізу кезінде өте
маңызды. Себебі бұл кезде көбінесе кельвин мен Цельсий арқылы анықталған
параметрлер қатар жүреді. Ал температуралар айырмашылығы үшін қандай
белгілеулер жүйесінде алынса да бәрібір болғандықтан, белгілеулердегі
түсініспеушілік өзінен өзі жойылады.
Жылусиымдылық деп нақты жағдайда дененің температурасын бір градусқа
көтеру үшін оның қоршаған ортадан алатын жылу мөлшерін айтады.
Жылуалмасу процесінің өту жағдайына байланысты тұрақты көлем кезіндегі
жылусиымдылық (Cv) пен тұрақты қысым кезіндегі жылусиымдылықты (Cp) өзара
ажырату керек. Заттың жылусиымдылығын есептеу жұмыстарының ерекшелігіне
байланысты кейде массаның бірлігіне қатысты алынған меншікті шама ретінде –
[Дж(кг·К], кейде зат мөлшерінің бірлігіне қатысты алынған меншікті шама
ретінде – [Дж(моль·К], ал кейде көлемнің бірлігіне қатысты алынған
меншікті шама ретінде – [Дж(м3·К], анықтайды.
Заттың жылусиымдылығын анықтау қажеттігі мынадай екі негізгі фактормен
анықталады:
-біріншіден, ол термодинамикада, қатты денелер физикасында заттардың
құрамын зерттеу кезінде, өзара әсер күштерін анықтау кезінде, фаза алмасу
процесін зерттеуде, қатерлі құбылыстарды зерттеуде және т.б. жағдайларда
қажет болатын мәліметтердің құнды көзі болып табылады;
-екіншіден, осы физикалық шаманы білу әртүрлі жылулық процестер мен
аппараттарды кәзіргі заман технологиясына сәйкес инженерлік есептеулерден
өткізу үшін қажет. Оның үстіне бұл шамалардың дәлдігі қарастырылып отырған
конструкциялардың, технологиялардың, олардың өлшемдері мен жұмыс
режимдерінің тиімділігіне зор әсер етеді.
Алғаш рет жылусиымдылық туралы түсінікті 1760 жылы Дж. Блекер енгізді
және бұл түсінік әрқашан жылу мен калория ұғымдарымен қатар жүрді.

Заттардың жылусиымдылығын жүйелі түрде өлшеу кезеңі XIX ғасырдың орта
шенінен басталды деп айтуға болады, себебі 1845 жылы Джоуль сұйықтардың
меншікті жылусиымдылығын анықтауға арналған эксперименттер жүргізді. Оның
үстіне Джоуль алғаш рет жылусиымдылықты өлшеу үшін калориметрияда
дифференциалдық әдісті қолданды. Ол қолданған калориметр өзара бірдей екі
ыдыстан тұратын. Ыдыстың біреуіне жылусиымдылығын анықтау керек сұйық
құйылса, екіншісінде жай су болатын. Сұйық пен судың массалары бірдей етіп
алынады. Ыдыстардың әрқайсысына кедергілері бірдей спирал қойылады. Электр
тогын қосқаннан кейін біраз уақыт өткенде судың температурасының ΔТ1 өсуі
мен сұйықтың температурасының ΔТ2 өсуі өлшенді. Егер судың жылусиымдылығын
эталон етіп, оны бірге тең деп алса, онда сұйықтың ізделіп отырған меншікті
жылусиымдылығы былайша анықталады:

CX=CB+ ΔТ1 ΔТ2.

Заттардың жылусиымдылығын өлшеу әдістерінің даму тарихының ерекше
кезеңі деп 1912 жылы шыққан П.Дебайдың еңбегі жарық көрген уақытты айтуға
болады. Ол өз еңбегінде қатты денелердің жылусиымдылығының теориясын
келтірді. Осыдан бастап қатты денелердің жылусиымдылығын анықтаудың
эксперименталдық әдістері мен өлшеу құралдарының дамуының жаңа кезеңі
басталды.
Онтоғызыншы ғасырдың 40-шы жылдарының орта шенінен бастап өлшеу
әдістері мен өлшеу құралдары классикалық калориметрлік әдістерден өзгеше
әдістер мен құралдар пайда бола бастады. Бірақ бұл жаңа әдістердің бәріне
ортақ екі белгі болды:
- жылусыйымдылықты өлшеудің бұл әдістерінің бәрі де жылуөткізгіштіктің
дифференциалдық теңдеуін әртүрлі бастапқы және шекаралық шарттар үшін
шешуге негізделген;
- бұл әдістердің бәрінде де зерттелуші обьект температурасы Т болатын
бастапқы күйден температуасы Т+ΔТ болатын келесі күйге алып келінеді.
Ал бұл әдістердің әртүрлі болатын себебі зерттелуші обьектіні өзара
жақын күйлердің бірінен біріне ауыстыру тәсілдері мен температурамен әсер
ету тәсілдері әртүрлі болды [11]. Бұл әдістердің бәрін де динамикалық
класқа жатқызамыз, себебі олардың негізінде жатқан белгісіз жылусиымдылық
пен өлшенетін эксперименталдық шамаларды байланыстыратын теңдеулер
жылуөткізгіштіктің бейстационар теңдеуін шешу нәтижесінде алынды. Ал
классикалық калориметрияда квазистатикалық әдіс қолданылды.
Табиғатта жылу алмасудың негізгі үш түрі белгілі. Бұл тұтас дененің
ішінде өтетін кондуктивті жылу алмасу, сұйық немесе газ түріндегі денемен
қатты дененің бетінде өтетін конвективті жылу алмасу және сәулелік жылу
алмасу. Сәулелік жылу алмасуға күн сәулесінің радиациялық жылу алмасуын
мысалға келтіруге болады. Тұтас денедегі температуралық өрістің

қалыптасуына негізінен жылу алмасудың алғашқы екі түрі әсер етеді. Ал оның
үшінші түрі тек арнайы жағдайларда ғана ескеріледі.
Қолданбалы есептерде тұтас денедегі жылу алмасу процесі стационарлық
және бейстационарлық деп бөлініп, математикалық физиканың эллипс текті
немесе парабола текті дфференциалдық теңдеулерімен сипатталады. Дегенмен,
табиғаттағы көптеген процестерді уақытқа тәуелсіз деп, басқаша айтқанда
стационар деп қарастыруа болады. Мүндай жағдайда стационарлық жылу алмасу
процесі Лаплас немесе Пуассон теңдеуімен сипатталады, және оларды шешу үшін
Нейман есебі, Дирихле есебі немесе аралас есеп қойылады.
Қатты денелер арасындағы кондуктивті жылу алмасу заңын Фурье мынадай
түрде алған [11]:

.

Бұл жерде - координаталық осіне перпендикуляр жатқан
ауданы арқылы ағып өтетін жылу мөлшері; - дененің координатасы
болатын нүктесіндегі температура; - жылуөткізгіштік коэффициенті.
Сұйық немесе газ түріндегі денемен қатты дененің бетінде өтетін
конвективті жылу алмасу заңын Ньютон алған [11]:

.

Бұл жерде - уақыттың бір өлшемінде ауданы арқылы қоршаған
ортаға өтетін жылу ағыны; - қатты дененің бетінің температурасы;
- қоршаған ортаның температурасы; - жылу алмасу коэффициенті.
Жалпы жағдайда мен коэффициентерінің өздері де температураның
функциялары екені белгілі. Бірақ арнайы жағдайларда болмаса мұндай
байланыстар ескерілмейді де, олар тұрақты деп алынады.
Өрістер теориясының стационарлық есептерінде сараптама жасалынатын
белгілі уақыт кезінде денеде тұрақталған күй орнығады деп есептеледі.
Физикалық есептердің келесі бір маңызды класын ізделіп отырған шаманың
уақыт бойынша өзгеруін ескеретін есептер құрайды. Бұл есептердің
кейбіреулерінде физикалық процестің басталуы мен белгілі бір тұрақты күйі
аралығында байқалатын өтпелі кезең болады. Бірақ, тұрақты күйге ешуақытта
жетпейтін, бүкіл процесс тек өтпелі кезеңдерден тұратын есептер де
кездеседі.
Жазық денедегі стационарлық жылуөткізгіштіктің дифференциалдық
теңдеуі былайша жазылады [11]:

.
(1.1)

Бұл жерде – ізделіп отырған температура, өлшем бірлігі °С; ,
– және остері бағытындағы кондуктивті жылуөткізгіштік
коэффициенттері, өлшем бірлігі Вт(м(°С); – тұтас денедегі жылу
көзі, өлшем бірлігі Втм3. Егер дене жылуын жоғалтатын болса, онда жылу
көзінің таңбасы оң деп алынады.
Жылуөткізгіштіктің (1.1) теңдеуі шекаралық шарттармен бірге
қарастырылады. Егер шекараның бір бөлігінде температура белгілі болса, онда
шекаралық шарт былайша жазылады:

.
(1.2)

Бұл жерде – тұтас дененің бетінің нүктелерінің координаларына
тәуелді белгілі температура.
Егер дененің белгілі бір бөлігінде заңдылығымен анықталатын
конвективті жылу алмасу белгілі болса, ал келесі бір бөлігінде қарқыны
болатын жылу ағыны берілсе, онда шекаралық шарт былайша анықталады:

. (1.3)

Бұл жерде мен – және остері бағытындағы кондуктивті
жылуөткізгіштік коэффициенттері, өлшем бірлігі Вт(м(°С); – дененің
беті мен қоршаған орта арасындағы конвективті жылу алмасу коэффициенті,
өлшем бірлігі Вт(м2·°С); – дененің конвективті жылу алмасу өтетін
бетінің температурасы, өлшем бірлігі °С; – қоршаған ортаның белгілі
температурасы, өлшем бірлігі °С; , – бағыттағыш косинустар;
– жылу ағынының қарқыны, өлшем бірлігі Втм2. Егер дене жылуын
жоғалтатын болса, онда жылу ағынының таңбасы оң деп алынады. Қарқыны
жылу ағыны мен конвективті жылу алмасу дене шекарасының бір бөлігінде
бір мезгілде орын ала алмайды.
Математикалық физикада (1.1) түріндегі теңдеулер эллипс текті
теңдеулерге жатады және мұндай теңдеулердің шешімін аналитикалық түрде алу
математикалық тұрғыдан қарағанда күрделі есеп. Сондықтан (1.1) түріндегі
теңдеулерді шешу үшін көбінесе вариациялық есептеулердің әдістеріне

жүгінеді. Бүл әдістерге сәйкес алдымен белгілі бір функционал құрылып,
содан кейін осы функционалға экстремум беретін функция ізделінеді [11,13-
16].
Жылуөткізгіштік есептерінде функционал ретінде денеде стационар немесе
бейстационар күй қалыптасқанға дейін жинақталған жылу мөлшері алынады.
Мысалы, денеде температуралық стационар күй қалыптасқан кезде онда
жинақталған жылу мөлшері өзінің ең минималды шамасына жетеді.
Демек, жылуөткізгіштік есебі денеде жинақталған жылу мөлшеріне тең
функционалға минимум беретін функциясын іздеуге алып келеді.
Аталған функционал [11] жұмыста келесі интеграл түрінде алынған:

. (1.4)

Олай болса тұтас денеде температуралық стационар күй қалыптасқанда
жинақталатын жылу мөлшерін есептейтін (1.4) интегралына минимум беретін
функциясын табу вариациялық есептің мақсаты болып табылады. Сонымен
бірге мұндай функция стационарлық жылуөткізгіштік (1.1) теңдеуінің де
шешімі болады. Бұл жерде (1.4) функционалы бірден (1.3) түрдегі шекаралық
шарттарды да ескере кетеді.
Функционалдың (1.4) өрнегінің бірінші, көлемдік интегралы дененің
ішінде өтіп жатқан кондуктивті жылу алмасуды ескереді, ал екінші, аудандық
интеграл (1.3) түрдегі шекаралық шарттарды ескереді.
Вариациялық есептеулердің тікелей әдістерінде функционалға минимум
беретін функциясын іздеу сандық әдістердің біреуімен жүргізіледі.
Ұсынылып отырған жұмыста сандық әдіс ретінде шекті элементтер әдісі
таңдалған [11, 14-16].
Қарастырылып отырған (1.4) түріндегі функционалды минималдау
алгоритмының түрлері көп, және олар ғылыми еңбектерде кеңінен
қарастырылған.
Әртүрлi денелер үшiн жылу өткiзгiштiк коэффициенттерi әртүрлi және
олардың сан мәндерi дененiң құрамына, тығыздығына, ылғалдылығына, қысымға
және дененiң температурасына байланысты өзгерiп отырады. Жылу өткiзгiштiк λ
коэффициентiнiң дәл шамасы арнаулы лабораторияларда анықталады.
Техникалық есептеулер кезiнде жылу өткiзгiштiк коэффициентiнiң
анықтағыштарда келтiрiлетiн жуық мәндерi пайдаланылады.
Басқа, жалпы құрылыстық есептерге қарағанда жол есептерi үшiн микро
климат пен жергiлiктi климатты мұқият ескерудiң маңызы өте зор. Жер
бетiнiң, жол төсемесiнiң негiзiнiң температурасын және температураның жол
төсемесiнiң көлденең қимасы бойында өзгерiп отыруын ескерудiң ерекше мәнi
бар.

Жол құрылымының жағдайына температураның өзгерiп тұруының әсерiн жол
төсемесiнiң қабаттарында пайда болатын температуралық өрiс жайында толық
мағлұмат болған кезде ғана анықтауға болады.
Жер қыртысының белгiлi бiр тереңдiкте жатқан қабатының температурасы
тұрақты деп есептелетiнiн ескерсек, жыл мезгiлдерiне байланысты және тәулiк
бойы өзгерiп отыратын қоршаған ортаның температурасы әсерiнен жол
конструкциясының әртектi қабаттарында созушы, сығушы және ығыстыру
кернеулерi пайда болатыны сөзсiз. Бұл фактор жол қабаттарының, әсiресе жер
бетiне жақын жатқан қабаттардың берiктiгiне көлiк жүктемелерiмен қосылып
зор нұқсан келтiредi.
Жол төсемелерiнiң кернеулi-деформациялық күйіне олардың температуралық
режимiнiң әсерiн зерттеу, және осы есептi шығаруға шектi элементтер әдiсiн
қолдану бүгiнгi таңда жеткiлiксiз орындалып отыр. Жалпы айтқанда кез келген
денеде өтiп жататын жылу алмасу процессi тұрақсыз (бейстационар) процесс
болып табылады. Алайда, жол конструкциясының қабаттарындағы материалдардың
жылу өткiзгiштiк қабiлетiнiң төмен екенiн ескерсек, бұл процесстi
стационарлық (тұрақты) процесс деп белгiлi бiр дәлдiкпен қабылдауға болады.

Бүгiнгi таңда тұтас денелерде өтетiн жылу алмасу процестерiн
зерттеуге, соңғы кезде кеңiнен таралған сандық әдiс – шектi элементтер
әдiсi қолданылып жүр. [11] жұмыста келтiрiлген әдiстемеге сәйкес (1.2)
және (1.3) шектiк шарттарын ескере отырып, (1.1) теңдеуiн шектi элементтер
тәсiлiмен шешу (1.4) функционалының минимумын іздеуге әкелiп саяды.
Ол үшiн алдымен қарастырылып отырған дене шектi элементтер әдiсiнiң
талабына сәйкес шектi элементтерге бөлiнедi де, аталған элементтердiң
түйiсетiн жерлерiндегi нүктелер жеке жиынтық құрайды. (1.4) функционалын
минимумдау осы нүктелердегi температуралардың мәндерiнен тұратын
жиынтығында өткiзiледi.
Минимумдау процесiн (1.4) функционалын ықшамдаудан бастаймыз. Ол үшiн
мынадай екi жаңа матрица енгiзу керек [11]:

(1.5)

және

(1.6)

Ендi (1.4) қатынасын былайша жазуға болады:

. (1.7)

Нүктелер жиынтығындағы шамасының функцияларының үздiксiз емес
екенiн ескере отырып, олардың орынына жеке элементтер үшiн анықталатын
функцияларын қабылдаймыз. Ендi (1.4) өрнегiндегi интегралдар әр
элемент үшiн жеке жазылуы керек:

.
(1.8)

Бұл жерде ... жалғасы

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.