Айналу денелерінің беті және көлемі жайында

Пән: Математика, Геометрия
Жұмыс түрі: Материал
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 5 бет
Таңдаулыға:

Жоспар

І Кіріспе.

а) Центрі фигураның бір нүктесінде жататын фигура.

ІІ Негізгі бөлім.

а) Айналу денелерінің беті және көлемі.

ІІІ Қорытынды.

Айналу денелерінің бітімдері үшін ортақ формула.

Центірі фигураның бір нүктесінде жататын, фигураға тұтасымен тиісті шар бар болса, ол нүкте фигураның ішкі нүктесі деп аталады. Егер фигураның барлық нүктелерінің ішкі нүктелер болса және оның кез келген екі нүктесін фигураға тұтасымен тиісті болатын сызықпен қосуға болатын болса, фигура обылыс деп аталады. Осы шарды мысалға алып түсіндіріп көрейік. n-

(1-сурет)

Шардың оның центірінен R-ден

. . .

кіші, r қашықтықта жатқан әрбір нүктесі болып табылады, өйткені центірі осы нүктеде жатқан және радиусы R-r болатын шар радиоусы R басталады шарамен қамтылады. Шардың центірінен R дәл кіші қашықтықта жатқан оның барлық нүктелері облыс құрайды. Шындығында осындй, R дәл кіші қашықтықта жататын AR кесіндісімен қосуға болады.

Берілген фигураның шекаралық нүктесі деп центірі осы нүктеде жататын кез келген шар осы фигураға тиісті емес те нүктелерді қамтитындай кеңістіктің нүктесін аитады. Шар үшін шардың нүктелері шекаралық нүктелер О нүктесінен R-ге тең ара қашықтықта жататын нүктелер болып табылады, яғни шардың шекарасы-сфера. Осындай әр бір С нүктесі үшін центр С және радиосы г>o болатын әр бір шардың С1 және С2 нүктелерін көрсетуге болады, яғни О нүктесінен R-ден үлкен және R-ден кіші ара қашықтықта жатады. Облысты шекарасымен қоса алғанда тұйық облыс деп аталады.

Шектелген тұйық облыс дене деп аталады. Шар дененің мысалы, Дененің белгілі бізге таныс басқа мысалдарын көпжақ цилиндр және облыс ұғымдары еңгізіледі.

Облыстың шекаралық нүктелері және облыыс ұғымдары енгізіледі. Облыстың шекаралық нүктесі облыстың шекарасын құраиды. Радиусы К болатын дөңгелектің центірінен R - ден кіші қашықтықта жатқан нүктелер ішкі ал К қашықтықта жатқан нүктелер шекаралық нүктелер болады. Дөңгелек тұйық облыс жазық көпбұрыш дегеніміз шекарасы көпбұрышты болатын жазықтықтағы шектелген тұйық облыс. Егер дене қарапиым болса, яғни оны ұшбұрышты перамидалардың шектеулі санына бөлшектеуге болатын болса, онда оның көлемі осы перамидалар көлемінің қосындысына тең болады.

Қалауымызша алған дөңгелек көлемі былаи анықталады. Егер берілген денені қамтитын және осы дене ішінде қамтылатын көлемдерінің V-дан аиырмашылығы барынша, ол қарапаиым денелер бар, болса онда берілген дененің көлемі V - болады.

Бұл анықтаманы табанының радиусы R биіктігі Н болатын целендірдің көлемін табуға қолданылады. Дөңгелек ауданы үшін формула қорытсаңда екі n бұрышының (біреуі дөңгелекті, қамтитын, екіншісі дөңгелеке қамтылатын) салынған болатын n-ді шексіз арттырғанда олардың аудандары дөңгелектің ауданына шексіз жақындай беретін цилиндір табанындағы дөңгелекке осындай көпбұрыштар салаиық. Айталық P-дөңгелекті қамтитын көп бұрышты салаиық. Айталық R-дөңгелектің қамтитын көп бұрышты, ал р1 дөңгелекпен қамтылатын көп бұрыш (2-сурет) . Табандары R және R1 болатын және биіктігі Н цилиндірдің Н биіктігіне тең екі призма салаиық. Бірінші призма целиндірді қамтиды ал екінші призма цилиндірмен қамтылады.

n шексіз артқанда призмалар табандарынан аудандары цилиндір тобынан S ауданына шексіз жақындайтын болғандықтан, олардың көлемдері SH-ка шексіз жақындайды. Анықтама бойынша цилиндір көлемі.

V = SH = nRH

Сөйтіп цилиндірдің (ауданы) көлемі тобынан ауданы мен биіктігінен көбейтіндісіне тең болады.

Конус табанының жазықтығына екі көп бұрыш конус табанын қамтитын R көпбұрышының және конустың табаны мен қамтылатын R көпбұрышының (3 - сурет) саламыз. Бірінші призмада конусты қамтиды, ал екінші призмада конуспен қамтылады. Біз қабырғаларның санын шексіз арттырғанда аудандары конустың табанындағы дөңгелектің ауданына шексіз жақындайтын P және P1 көп бұрыштарды бар екенін білетін едік. Мұнда көп бұрыштар үшін салынған перамидалардың көлемдері шексіз жақындайды, мұндағы S конус табанының ауданы, ол H оның биіктігі. Анықтама бойынша конустың көлемі болатыны шығады. Мұндай көп бұрыштар үшін салынған перамидалардың көлемдері

шексіз жақындайды, мұндағы S= конус табанының ауданы, ал H-оның биіктігі

Сөйтіп конустың көлемі табанының ауданы мен биіктігінің көбейтіндісінің үштен біріне тең. Ең қарапайым жағдайда айналу денесі деп қандай да бір түзуге перпендикуляр жазықтықтар мен центірі осы түзуге жататын дөңгелектер бойымен қиылысатын денені айтады. Дөңгелек цилиндір, конус, шар айналу денелеріне мысалдар басым жабылады. Айналу денелерінің көлемін есептеп шығару үшін формула табайық.

Дененің осьін х осі ретінде алып, дененің осі арқылы жазықтық жүргізейік және декарттың х, у кардинаттары енгізетін (3-сурет) х, у жазықтығы дененің бетін х осі арқылы (жазықтық) симетрия осі болып табылатын сызық бойымен қияды. У=fi (x) осі сызықтың х осінен жоғары орналасқан бөлігінің теңдеуі болсын.

. . . осінің (х) о нүктесінен оған перпендикуляр жазықтықтың жүргізетін және дененің осі жазықтықтың жүргізетін және дененің осі жазықтықтың сол жағында жатқан бөлігінің көлемін V(x) арқылы белгілейтін V(x) сонда х-тің функциясы болып табылады. v(x+h) -v(x) айырмасы х осіне перпендикуляр ф cциссиалары х және s+в болатын өтетін ені жазықтың арасындағы қалыңдығы h дене қабатының көлемін білдіреді. (х) функциясының (х ₁ х+h) кесіндісіндегі ең үлкен мәні -М, ең кіші мәні -т болсын. Сонда дененің қарастырып отырған қабаты радиосы m, биіктігі h цилиндірді қамтиді да, радиосы М, биіктігі сол h болатын цилиндірмен қамтылады. Сондықтан Λ m ² h ≤ V (x+h) =V(x) ≤

≤ n ₂ M ² h,

Биіктік h нөлге ұмтылғанда соңғы теңсіздіктің, сол жақ және оң жақ бөлшектері бір ғана Λ f’ (x) шамасына ұмтылады v (x) функцияның v’ (x) туындысына ұмтылады. V’ (х) = Λ f ² (х) n

Анализден белгілі формула бойынша v (в) - v (а) = ^в g v’ (x) dx = в Λg ²

(x) dx, a < в ^a

Бұл формула дененің х=а және х=в паралель жазықтықтар арасындағы бірлігінің көлемін береді.

Айналу денелерінің көлемдерінің үшін осы табылған формуланы шардың көлемін есептеп шығару үшін қолданамыз. Шар центірінің кординаттар басы ретінде алып, декараттың кардинаттар енгіземіз. Х у жазықтығы радиосы R шарды теңдеуі x ² +у ² -R ²

... жалғасы

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.