ЫҚТИМАЛДЫҚТАР ТЕОРИЯСЫ. Дәрістер тезистері
2.2. Дәрістер тезистері
1-Кредит. ЫҚТИМАЛДЫҚТАР ТЕОРИЯСЫ
1-дәріс.
1-тарау. Ықтималдықтар теориясының негіздері.
§1. Кездейсоқ оқиғалар.
Жеке құбылыстар мен деректерді немесе олардың аз мөлшердегі
көріністерін бақылау құбылыстардың пайда болу заңдылықтарын және өзара
байланыстарын анықтауға мүмкіндік бере бермейді. Сондықтан ол құбылыстарға
кездейсоқ жайттар ретінде қараймыз. Бірақ, біртекті құбылыстар мен деректер
жаппай көрініс тапса, олардың табиғатына тән заңдылықтарды байқауға болады.
Ықтималдықтар теориясы және оған негізделген математикалық статистика
біртекті жаппай кездейсоқ құбылыстардың үлестірілу заңдылықтарын зерттейтін
математикалық ғылымдар. Математикалық абстракциялау- байқалып отырған
құбылыстарды олардың нақты табиғатына байланыссыз зерделеу құбылыстардың
мейлінше кең класына қолдануға жарамды ғылыми негізделген жалпы заңдылықтар
мен қағидаларды айқындауға мүмкіндік береді. Ал, ол заңдарды іс жүзінде
қолдану ықтималдықтар теориясының негізгі ережелерін сақтауды, зерттеліп
отырған құбылыстар мен процесстерге қатысты материалдарды дұрыс
статистикалық өңдеуді талап етеді.
Шарттар мен амалдардың белгілі бір жиынтығын орындауды сынақ немесе
тәжірибе дейміз, оның қорытындысы сынақ нәтижесі болады. Кездейсоқ нәтиже
беретін тәжірибе кездейсоқ эксперимент деп, ал нәтиженің өзі кездейсоқ
(мүмкін) оқиға деп аталады. Сынақтың барлық мүмкін нәтижелерінің жиынтығы-
кездейсоқ эксперименттің элементар бітістерінің жиыны (оқиғалар өрісі) Ω
арқылы, ал қандайда болмасын нысанадағы (біз көздеген) кездейсоқ оқиғаның
пайда болуын қамтамасыз ететін нәтижелердің жиыны ω арқылы белгіленеді.
Сынақ қорытындысында пайда бола алмайтын нәтиже: ω=0 ( құр жиын)
мүмкін емес оқиға деп аталады. Ал, ω=Ω болып, пайда болуы міндетті,
сынақтың бірден-бір мүмкін қорытындысы болатын нәтиже- ақиқат оқиға деп
аталады. Қалған жағдайларда енбе жиындар қатынасына:ω келеміз.
Кездейсоқ оқиғаларға жиындар теориясы тұрғысынан қарау жиындарға
қолданылатын амалдарды кездейсоқ оқиғаларға да қолдануға мүмкіндік береді.
Сынақтың элементар нәтижелерін кеңістіктегі (жазықтықтағы, кесіндідегі)
нүктелер арқылы белгілей отырып, бұл амалдарды геометриялық тұрғыдан
талқылауға да жол ашады.
Оқиғаларды латын алфавитінің бас әріптерімен: A,B,C... белгілейді. Сынақ
нәтижесінде бір мезгілде пайда бола алатын оқиғаларды , мысалы, A және B
бірігетін оқиғалар дейміз. Оларға қолайлы нәтижелердің жиындары ω(A) және
ω(B) қиылысушы жиындар (1-сурет) болады. Қарсы жағдайда
1-сурет
:=0 A және B бірікпейтін оқиғалар болады. Ал, қатынасы B
оқиғасы әруақытта A-ға ілесе пайда болатынын білдіреді. Қысқаша және
болса, эквивалент (балама) жиындар ұғымына келеміз: A=B, оқиғалар
тепе-теңдігі орын алады.
Оқиғалар қосындысы-жиындардың бірігуі :A+B=ω(A)ω(B)- қосылғыш
оқиғалардың кем дегенде біреуі пайда болса жарайтынын сипаттайтын оқиға.
Оқиғалардың көбейтіндісі- жиындардың қимасы (айқасуы) :
AB=ω(A) ω(B)- көбейткіш оқиғалардың қосарлана пайда болуын білдіретін
оқиға. Оқиғалардың айырымы
A-B=ω(A)×ω(B) жиын ретінде A-ға тиісті, бірақ,B-ның құрамына енбейтін
элементтерден тұрады. Ал, оқиға ретінде ол A-ның пайда болып, B –ның жоқ
екенін өрнектейді. Сынақтың бірден-бір мүмкін нәтижесі бола тұра,
бірікпейтін A және Ā оқиғаларын қарама-қарсы оқиғалар дейміз. Бұл жағдайда
ω(Ā)=Ω×ω(A) ω(A) жиынының Ω-ға дейінгі толықтауышы деп аталып, сынақтың
оқиғасының пайда болуын жоққа шығаратын элементар нәтижелерінен
ғана тұрады.
Оқиғаларға қолданылатын амалдар төмендегі заңдарға бағынады:
1)
коммутативтік заң (орын алмастыру):
2)
ассоциативтік (терімділік) заң (топтастыру):,
3)
көбейтудің қосуға қарағандағы дистрибутивтігі (үлестірімділігі) .
Кездейсоқ эксперименттің бірден-бір мүмкін элементар нәтижелері
2-сурет
қос-қостан бірікпейтін болса, ,
( i , j =1,, k), жиындар системасын Ω жиынының бөлшектенуі (2-
сурет) деп атап, оқиғалардың толық тобын (жүйесін) құрайды дейміз.
§2. Оқиға ықтималдығының аксиомалық анықтамалары.
1. Статистикалық анықтама. Кездейсоқ эксперимент шарттары өзгермеген
күйінде N рет қайталанды, соның ішінде біз мүдделі болып отырған оқиға M
(0) рет байқалды делік; және сандары оқиғаның пайда
болуының (табыстың) абсолют және салыстырмалы жиіліктері деп аталады.
Соңғы қатынас табыс жиілігінің негізгі көрсеткіші болып саналады.
Қайталану сандары (көлемдері) N әр түрлі сынақтардың бірнеше сериясы
(топтамасы) орындалсын. Топтамалардың көлемдері шағын болса, олардағы
табыс жиіліктерінің бір-бірінен ауытқуы да елеулі болуы мүмкін.
Топтамалардың көлемдері өскен сайын (N→∞) бұл ауытқулар азайып , табыс
жиілігінің мәндері тұрақтанып , олардың тізбегі бір нақты p санының
маңына шоғырлана , топтана түседі. Бұл сан тәжірибеде табыстың пайда
болуының объективтік мүмкіндігінің өлшемін (дәрежесін) анықтайды.
Көп мөлшерде қайталанған сынақтарда маңына оқиғаның пайда болу
жиілігінің мәндері топтанатын P () саны сол оқиғаның ықтималдығы
деп аталады.
Ықтималдықтың статистикалық анықтамасы деп аталатын бұл сөйлемді
қолдану алдын ала сынақтар өткізіп , олардың нәтижелерін статистикалық
өңдеуді талап етеді. Бұл талаптың әсіресе теориялық зерттеулерде қиындығы
мол.
2. Классикалық анықтама. Қайталанба сынақтарда оқиғалардың пайда
болу жиіліктерінің тәртібін зерттеп, байқалған деректерді жалпылау және
салыстырмалы жиіліктер қасиеттерін абстракциялау ықтималдық түсінігінің
классикалық (аксиомалық) анықтамасына келтірді. Ықтималдықтың қазіргі
аксиомалық теориясын 1933 ж. А.Н. Колмогоров жасады.
Сынақты өткізу шарттары нәтижелердің қай-қайсысына да басқаларына
қарағанда артықшылық бермейтін болса, сынақ нәтижелері тең мүмкіндікті
(теңықтималды) деп аталады. Мұндай сынақтардың классикалық мысалы ретінде
урнадағы (қоржындағы) бір-бірінен сипап ажыратылмайтын шарлардың
бірнешеуін тәуекел алып шығуды атауға болады. Бұл тектес тәжірибелерді
математикалық тәріздеу (модельдеу) ықтималдықтар теориясында
классикалық схема (тәсім) немесе урналар тәсілі деген атпен белгілі.
Кездейсоқ эксперименттің тең мүмкіндікті нәтижелері оқиғалардың
толық тобын құрайды десек , ω(A) A оқиғасының пайда болуына
қолайлы нәтижелердің жиыны болады; Ω және ω шекті жиындар, оларды
құрайтын элементтердің сандары сәйкес N(Ω)=n, N(ω)=m десек, A оқиғасының
ықтималдығы
(1.1)
сандық функциясымен анықталады. Олай болса, кездейсоқ сынақта
оқиғаның пайда болу ықтималдығы оған қолайлы нәтижелер санының барлық
мүмкін нәтижелердің санына қатынасына тең.
Мүмкін емес оқиға үшін m=0, ақиқат оқиға үшін m=n, ал басқа кездейсоқ
оқиғалар үшін m1, демек . Классикалық ықтималдық формуласымен
(1.1) анықталатын шама кәміл (шартсыз) ықтималдық деп аталып,
ықтималдықтардың үш аксиомасына (шартына) қанағаттандырады:
1)
P(A)≥0;
2)
толық топ құрайтын оқиғалардың ықтималдықтарының қосындысы бірге тең:
, ;
3)
қос-қостан бірікпейтін оқиғалардың кезкелген шекті не шексіз
тізбегі үшін .
3. Геометриялық ықтималдық. Үзіксіз Ω және ω жиындары сандық осьте
, жазықтықта немесе кеңістікте белгілі бір аймақ құрайды.
(3-сурет).
3-сурет
Сәйкес аралықтың ұзындығын, жазық фигураның ауданын немесе дененің
көлемін сол нысандармен анықталатын жиынның өлшемі (mesure) деп атап,
mes(Ω), mes(ω) немесе , қысқаша , m(Ω), m(ω) арқылы белгілейміз. Өлшемі
шекті аймақты сәйкес кеңістікте квадратталатын (кубталатын) аймақ
дейміз.
Квадратталатын аймақтар үшін
(1.2)
1-есеп.
Бекетке келген жолаушы пойызы 13 вагоннан тұрады. Оның 5-уі купелі
(бөлмелі), 4-і плацкартты, 2-і ұйқы-жай, қалғандары бір-бірден жұмсақ
және почта вагондары. Тепловозды ағытқаннан кейін перронға тәуекел шыққан
қарсы алушының бөлмелі вагон тұсына тап келу (Α оқиғасы) ықтималдығын
табыңыз.
Шешу. Мұнда n=13,m=5. Сондықтан P(A)=513 .
§3. Қосылыстар теориясы элементтері.
Берілген Ω жиынының элементтерінен құрылған оған кірме әр түрлі
жиындары қосылыстар (комбинациялар) деп, математиканың қосылыстар
теориясын зерттейтін бөлімі комбинациялық талдау деп аталады. Бұл
бөлімнің негізгі принципі- көбейту ережесі : егер әрбір қосылысын
тәсілмен құру мүмкін болса, онда бірге алғанда олардың бәрі
тәсілмен құрылады.
Әр элементіне сандардың натурал қатарынан номер тағылған шекті
жиынды реттелген жиын дейміз. Реттелген шексіз жиын санамалы жиын
делінеді.
Бір-бірінен элементтерінің ретімен (орындарымен) ғана ажыратылатын
n элементті әр түрлі (реттелген) жиындар n элементтен жасалған
орынауыстырулар деп аталады. Олардың саны
!
(1.3)
Реттелген болуы міндетті емес Ω және ω (ω) жиындары сәйкес n
және m (m≤n) элементтен құрылған делік. Бір-бірінен құрамымен ғана (реті
ескерілмей) ажыратылатын барлық ω қосылыстары n элементтен
m-нен жасалған терулер деп аталады. Олардың саны
(1.4)
Ньютон биномның формуласын енді
(1.5)
түрінде жазуға болатындықтан (1.4) сандары биномдық коэффициенттер деп те
аталады. Олардың симметриялық қасиеті бар және рекурренттік қатынастарды
қанағаттандырады:
, (1.6)
Жеке жағдайда: a=b=1 (1.5)-тен
Бір-бірінен не құрамымен , не элементтерінің ретімен ажыратылаты n
элементтен m-нен (m≤n) жасалған қосылыстар n элементтен m-нен жасалған
орналастырулар деп аталады. Әрбір n элементтен m-нен жасалған теруден
орын ауыстырулар арқылы m! орыналастырын жасауға болады. Ендеше, n
элементтен m-нен жасалған орналастырулардың саны
(1.7)
Шекті (n элементі бар, реттелген болуы міндетті емес) Ω жиыны
кездейсоқ үлгіде сәйкес элементтен тұратын k кірме жиындарға
бөлшектенген десек , бөлшектеу әдістерінің саны
(1.8)
Бұл (полиномдық тәсіл) биномдық схеманың жалпыланған түрі. Шынында да,
(1.8)-де k=2 () десек, (1.4)-ке келеміз.
Енді Ω жиынына кірме құрамында
элементі бар реттелмеген қосылыс құралық. Әрбір
-ден элемент алсақ, (1.4)-тің және көбейту ережесінің
негізінде мұндай қосылыстардың саны
өрнегімен анықталады. Бір ғана қосылыс үшін бұл өрнек (1.4)-ке
айналады, яғни полиномдық схема биномдық жүйеге ауысады.
Қосылыстар теориясынан келтірілген мәліметтер және (1.1) формуласы
урналар тәсілінде ықтималдыықтарды есептеудің комбинациялық әдісінің
негізін құрайды.
2-есеп. Сөреге (төртбұрышты) тәуекел қойылған 8 кітаптың қалаулы
екеуі қатар орналасуының ықтималдығын табыңыз.0
Шешу. Кітаптардың (нөмірленген) реттелген жиынын 8 элементтен жасалған
орын ауыстырулар деп қарасақ,. Сөреде көрші орындардың 7 қосағы бар.
Олардың әрқайсысында аталмыш кітаптар екі әдіспен орналаса алады. Қалған
кітаптардың орналасу мүмкіндіктерінің саны Көбейту ережесі
бойынша Талап етілген ықтималдық
.
2-дәріс.
§4. Ықтималдықтарды көбейту формуласы.
Шартты ықтималдық.
Кездейсоқ эксперименттің нәтижесінде пайда болу ықтималдықтары нөлге
тең емес:0 болатын A және B оқиғаларының бірі пайда болғанда
екіншісінің ықтималдығы өзгермейтін болса, оларды өзара тәуелсіз дейміз.
Қалған жағдайларда олар тәуелді болады. Екі оқиғаның тәуелсіздігінің
анықтамасы ретінде
(1.9)
теңдігін қабылдауға болады. Бірақ, ол көбіне оқиғалардың тәуелсіздігін
тексеруге қолданылады.
Шекті оқиғалар жиынының кез келген m элементінен
жасалған теру үшін
(1.10)
болса, бұл оқиғалар жиынтығында тәуелсіз дейміз. Оқиғалардың (n2)
жиынтығында тәуелсіз болуының қажетті шарты олардың қос-қостан тәуелсіз
болуында. Жиынтығында тәуелсіз оқиғалар үшін
(1.11)
теңдігі (n=2 болғанда (1.9)) ықтималдықтарды көбейту формуласы деп
аталады.
Тәуелді оқиғалар үшін
0,0 (1.12)
саны кездейсоқ эксперименттің нәтижесінде оқиғалардың бірі пайда болғанда
екіншісінің де пайда болуының шартты ықтималдығы деп аталады.
Шартты ықтималдықтың бұл аксиомалық түсінігі ықтималдықтың
классикалық схемасына қайшы келмейді. Мысалы, тәжірибенің барлық мүмкін
n=N(Ω) нәтижесінің A оқиғасының пайда болуына қолайлысы m (m≤n,4-сурет)
десек, Оқиғаның (A) пайда болуы осы m нәтиженің бірінің іске
асқандығын көрсетеді.
4-сурет
Енді A-мен қатар B оқиғасының пайда болуын қарағанда аталған m нәтиже
мүмкіндіктердің жалпы санын құрайды. Солардың ішінде k (k≤m) нәтиже B-ның
да, демек, AB оқиғасының да пайда болуына қолайлы болсын. Классикалық жүйе
(1.12)-нің екінші формуласына келтіреді:
Тәуелсіз оқиғалар үшін
Егер болса, (1.12)-дегі шартты ықтималдықтар тиісінше
анықталмаған болып саналады. Олардың екеуі де анықталған болса, онда
тәуелді оқиғалар үшін ықтималдықтарды көбейту формуласы
(1.13)
түрінде жазылып, оқиғалардың бірге пайда болуының ықтималдығын табу үшін
қолданыла алады. Жиынтығында тәуелсіз емес оқиғалары үшін
(1.13)-ті жалпы түрде
(1.14)
деп жазуға болады.
§5. Ықтималдықтарды қосу теоремасы.
Теорема. Бірікпейтін бірнеше оқиғаның қайсысы бола да біреуінің
пайда болуының ықтималдығы олардың ықтималдықтарының қосындысына тең:
() (1.15)
Дәлелдеу. Айталық, кездейсоқ эксперимент үшін , соның ішінде
оқиғасының пайда болуына нәтиже қолайлы болсын.
Оқиғаларға мүмкін (жиындарға қолданылатын ) амалдар қолдану арқылы
алынған оқиғаны күрделі оқиға дейміз. Күрделі оқиғасы пайда болу
үшін қосылғыш оқиғалардың кез келген біреуі пайда болса болғаны, демек,
оған нәтиже қолайлы.
Классикалық схема бойынша
оқиғалары толық топ құрайтын болса, және
ықтималдықтардың екінші аксиомасына сай . Әдетте (1.15)
ықтималдықтарды қосу аксиомасы (үшінші аксиома) деген атпен
дәлелдеусіз қабылданады.
Бірікпейтін (k=2) оқиғалары үшін ω(A) және ω(B) жиындары
қиылыспайды (айқаспайды): . Екі жиынның да барлық элементтері
оқиғасының пайда болуына қолайлы, олардың ортақ элементтері жоқ:
(1.15) түрінде жазылады. Ал, бірігетін оқиғалар үшін оқиғасының
пайда болуына қолайлы нәтижелердің санын анықтағанда аймағына
сай келетін нәтижелер қайталанып алынбас үшін ықтималдықтарды қосу
теоремасын
(1.16)
түрінде жазамыз.
Бірігетін n оқиға үшін ықтималдықтарды қосудың жалпыланған формуласы
(1.17)
түрінде жазылады. Қосылғыштардың саны өскен сайын оны қолдану күрделі
есептеулерді талап етеді. Мысалы, бірігетін үш оқиғаның кем дегенде
біреуінің пайда болу ықтималдығы
(1.18)
Оқиғалардың толық тобын құру арқылы есептеуді азайтуға болады. Қарама-
қарсы оқиғалар қашанда толық топ құрайды:
(Ā)=p+q=1
(1.19)
Бұл шарт және қарама-қарсы оқиғалары үшін де
орындалады, демек, Жалпы түрде
. (1.20)
Қаралып отырған оқиғалар жиынтығында тәуелсіз болса:
(1.21).
§6. Толық ықтималдық формуласы.
Байес формулалары.
Белгілі бір кедейсоқ эксперименттің нәтижесінде байқалатын A оқиғасы
сол тәжірибенің толық топ құрайтын, A-ға қарағанда гипотезалар
(болжамдар) деп аталатын нәтижелерінің бірімен ғана қосарласа
пайда бола алсын. Болжамдардың шартсыз ықтималдықтарын : 0
классикалық тәсіл бойынша тәжірибеге дейін (априорлық түрде) анықтауға
болады. Болжамдар қос-қостан бірікпейтін болғандықтан күрделі
оқиғалары да сол шартты қанағаттандырады. Соңғылардың ықтималдықтарының
қосындысы оқиғасының толық ықтималдығы деп аталады. Оны
ықтималдықтарды қосу аксиомасының (1.15) және ықтималдықтарды көбейту
формуласының (1.13) көмегімен табуға болады. Бізге болжамдардың қайсысы
іске асса да бәрі бір, тек A оқиғасы пайда болса болғаны. Сондықтан
(1.22)
Соңғы теңдік толық ықтималдық формуласы деп аталады.
Енді тәжірибе өткізіліп , оқиғасының пайда болғаны белгілі болды
делік. Бұл күрделі оқиғаларының да бірі пайда болды деген
сөз; (1.13) бойынша
Бұдан болжамдардың тәжірибеден кейінгі (апостериорлық) ықтималдықтары
(1.23)
Байес формулалары деп аталатын бұл теңдіктер бақыланып отырған A
оқиғасының пайда болғаны туралы ақпарат алынғаннан кейін әрбір болжамның
орындалу ықтималдығын есептеуге (тексеруге) мүмкіндік береді.
2-тарау. Тәуелсіз сынақтар тізбегі.
3-дәріс.
§1 Ықтималдықтардың биномдық үлестірілуі.
Сынақтар бірдей жағдайда көп-көптен еселеп қайталанатын тәжірибелерде
де бірқатар маңызды заңдылықтар байқалады. Егер A оқиғасының
(нәтижесінің) әрбір сынақта пайда болу ықтималдығы басқа сынақтардың
нәтижелерінен тәуелсіз болса, онда сынақтар тізбегі A оқиғасына қарағанда
тәуелсіз дейміз. Қайталанба тәуелсіз сынақтардың қарапайым класы ретінде
әрбір сынақта оқиғаның пайда болу ықтималдығы тұрақты екі-ақ нәтижесі бар
(биномдық жүйе): A-табыс, -табыссыздық, сынақтардың тізбегін
алуға болады. Мұндай сынақтардың көрнекті мысалдары:1) теңге үйіру. Мұнда,
айталық, елтаңбаның (гербтың) түсуі-табыс, цифрдың (тордың) түсуі
табыссыздық және . 2) нысанаға оқ ату: тигізу-табыс, мүлт кету-
табыссыздық т.с.с.
Тәуелсіз сынақ топтамасында рет табысқа ие болу
ықтималдығын табалық. Топтамадағы сынақтарды ретінше
номірлерімен, ал табыс келтірген сынақтарды сандарымен белгілеп,
оларды сәйкес Ω және ω жиындарының элементтері ретінде қаралық. Бізге A
оқиғасы сынақтар топтамасында дәл m рет пайда болса болғаны, табыс
әкелген сынақтардың рет санын ескермеуге болады. Сондықтан m рет табысқа
ие болудың барлық мүмкін жағдайларының саны n элементтен m-нен жасалған
терулердің санымен анықталады. Олардың әрқайсысында оқиғасы
m рет, оқиғасы рет пайда болып, ықтималдықтары бірдей
түріндегі күрделі оқиға орын алады.Ықтималдықтарды қосу
аксиомасының негізінде Бернулли формуласы деп аталатын
(2.1)
теңдігіне келеміз. Натурал аргумент функциясының мәндерінің жиыны
қайталанба тәуелсіз сынақтарда ықтималдықтардың биномдық үлестірілуі
(Бернулли үлестірілуі) деп аталады. Барлық n сынақта табыс санының мүмкін
мәндері толық топ құрайтындықтан ықтималдықтардың екінші аксиомасы
бойынша
(2.2)
Қарапайым түрлендірулердің көмегімен
шамаларының арасындағы байланысты табуға болады. Атап айтқанда:
(2.3)
Бұл балама қатынастар биномдық ықтималдықтар үшін реккуренттік формула
деген атпен белгілі.
Дискретті үлгідегі функциясының мәндер жиынында n+1 сан
бар. Оның нүктелерін түзу кесінділермен қосу арқылы тұрғызылған
графигі
(5,6-суреттер) ықтималдықтардың үлестірілу көпбұрышы деп аталатын жазық
сынық сызық болады. Аргументтің ең үлкен ықтималдық сай келетін
мәні A оқиғасының n тәуелсіз сынақтар топтамасында пайда болуының
ең
5-сурет 6-сурет
ықтимал саны деп аталады.Анықтама бойынша:
.
Бұл қос теңсіздіктің әрқайсысын рекуренттік формуланың (2.3) көмегімен
шешіп, табыстың ең ықтимал саны орналасқан кесіндіні табамыз:
Кесіндінің ұзындығы ал болғандықтан санының бүтін бөлігі
- функциясының белгілеуін пайдаланып, бөлшек сан болғанда
(2.4)
деп жаза аламыз.
Осылайша анықталғын натурал сан шамасының модасы деп аталады.
Егер бөлшек сан болса, онда нің осы санның бүтін бөлігіне тең
бір ғана мәні бар және биномдық үлестірілуді унимодалы дейміз. Ал, ,
демек, де бүтін сан болса, онда оның екеуі де нің мәні бола
алады. Бұл жағдайда үлестірілуді бимодалы деуге болар еді.
Сонымен, функциясы кесіндісінің сол жақ жартысында
өспелі, оң жақ жартысында кемімелі. Ал, (теңге үйіру) болғанда
биномдық коэффициенттердің симметриялық қасиеті салдарынан
функциясының графигі бұл жағдайда шамасының медианасы деп аталатын
түзуіне қарағанда симметриялы болады; (2.2) теңдігі табаны
кесіндісі болатын, жоғарыдан ықтималдықтардың үлестірілу көпбұрышымен
шектелген фигура ауданының бірге тең екенін көрсетеді. Медиана осы ауданды
қақ бөледі.
Ықтималдықтардың биномдық үлестірілуі тәуелсіз сынақтар топтамасында
біз мүдделі болып отырған оқиғаның мөлшерлі рет пайда болуының
ықтималдығын ғана емес, табыс санының берілген шекараларда
(мысалы, және ) жатуының: ықтималдығын табуға да мүмкіндік
береді. Интервалдық ықтималдық деп аталатын бұл шаманы табу үшін
ықтималдықтарды қосу аксиомасын пайдаланып, (2.1) өрнегінің
болғандағы мәндерінің қосындысын анықтасақ жеткілікті:
(2.5)
Бұл n тәуелсіз сынақта A оқиғасының пайда болу санының берілген
аралығында жатуының ықтималдығы; болғанда (2.2) бойынша Егер
(2.5) өрнегінде қосылғыштар саны көп болса, есептеуді жеңілдету үшін
оқиғалардың толық тобын, қарама-қарсы оқиғалар системасын құруға болады.
Мысалы, -ны табу керек және болса, онда
(2.6)
теңдігін пайдаланған тиімді.
Енді тәуелсіз сынақтар тізбегінің полиномдық жүйесін қарастыралық.
Мұнда әрбір сынақтың толық топ құрайтын, пайда болу ықтималдықтары
топтамада өзгермейтін нәтижесі- оқиғалары болады. Құрама
нәтиженің- n сынақта оқиғасы рет пайда болуының ықтималдығы
(2.7)
Бұл Бернулли формуласының жалпыланған түрі; болғанда полиномдық
үлестірілудің ықтималдығы (2.7) биномдық үлестірілу ықтималдығына (2.1)
айналады.
4-дәріс.
§2 Лапластың локальдық теоремасы.
Биномдық үлестірілудің асимптоталық формулалары.
Сынақтардың саны n өскен сайын Бернулли формуласын қолдануда
есептеу қиындықтары арта түседі. Сондықтан француз ғалымдары: 1730 жылы
Муавр жағдайы үшін, кейін Лаплас кез келген үшін (2.1)—дің
орнына
σ (2.8)
жуық формуласын қолдануға болатынын дәлелдеді. Мұнда ықтималдығы
аргументтің x, демек, тәуелсіз сынақтар топтамасындағы табыс санының m
жеке (локальдық-жергілікті) мәні үшін ғана анықталады. Анықталу дәлдігі
өскен сайын арта түседі. Сондықтан (2.8) математикалық әдебиетте
биномдық үлестірілудің асимптоталық формуласы, ал оның мазмұны Муавр-
Лапластың локальдық теоремасы деген атпен белгілі. Мұндағы өрнегі
ықтималдық функциясы деп аталып, арқылы белгіленеді. Оның графигін
ықтималдық қисығы дейміз. Қолдануды жеңілдету үшін
(2.9)
функциясы мәндерінің кестесі түзілген. Кестенің не графиктің көмегімен
(2.10)
ықтималдығын жуықтап табуға болады.
Ықтималдық функциясын аналитикалық әдістермен зерттеп, оның
қасиеттерін анықтап, ықтималдық қисығын тұрғызуға болады.
1.
Функция бүкіл сандық осьте анықталған: , жұп:, оң таңбалы:
. Графигі жоғарғы жарты жазықтықта жатыр, ордината осіне қарағанда
симметриялы (7-сурет).
. 7-сурет
2.
Ықтималдық қисығы абсцисса осімен қиылыспайды, бұл ось қисығының
жатық асимптотасы:
.
3.
Функцияның жалғыз ғана: сынақ нүктесі бар. Ол арқылы өткенде туынды
таңбасын + тен - ке өзгертеді. Демек, координаталардың бас нүктесінде
функцияның максимумы бар:
4.
Екінші туынды
болғанда ғана нөлге айналады және бұл нүктелер арқылы өткенде
таңбасын өзгертеді. Ендеше, олар ықтималдық қисығының кері иілу
нүктелері:
Неғұрлым σ саны үлкен болса, Лапластың асимптоталық формуласы
ықтималдығын солғұрлым дәлірек анықтайды. Ол үшін сынақтардың саны n үлкен
болуымен қатар шамасы да өзінің мейлінше үлкен мәнін қабылдауы керек.
Ал, және болғандықтан және болғанда ғана орын
алады. Сондықтан (2.10)-ды қолдану болғанда ғана тиімді деп саналады.
Жеке сынақтарда табыс ықтималдығы p құнарсыз аз болса, A сирек
оқиғалар қатарына жатқызылады. Егер q нөлге таяу болса, -ны сирек
кездесетін оқиға деп санаймыз. Сирек оқиғалардың қайталанба тәуелсіз n
сынақта m рет пайда болуының ықтималдығын табу үшін Пуассонның асимптоталық
формуласы деп аталатын
(2.11)
теңдігін пайдаланған тиімді. Оның дәлдігі болғанда айырықша
байқалады (3-есеп). Пуассонның үлестірілуі үшін интервалдық ықтималдық
(2.12)
3-есеп. Вагон құрылысы заводының құрастыру цехына түскен 1000 доңғалақтар
қосағының төртеуінің ақауы бар. Тәуекел алынған 50 қосақтың ішінде
жарамсызы жоқ болуының ықтималдығын табыңыз.
Шешу. Шарт бойынша Есептеуге ыңғайлы болу үшін деп алалық.
Формулалар бойынша:
1)Бернуллидің (2.1)
;
2) Лапластың (2.10)
1-кестеден ; салыстырмалы қате ;
Пуассонның (2.11): , , салыстырмалы қате 0,5%.
Сонымен, жеке сынақта пайда болу ықтималдығы өте аз сирек
оқиғасы үшін Пуассонның асимптоталық формуласы Лапласстың аттас
формуласымен салыстырғанда жуықтығы ең тәуір (дәлдігі жоғары) нәтиже
береді.
§3 Лапластың интегралдық теоремасы.
Пуассон және Лаплас интегралдары.
Интервалдық ықтималдықтарды (2.5) табуда есептеу қиындықтары арта
түседі. Ол қиындықтарды азайтып, іздеп отырған ықтималдықтарды берілген
дәлдікпен табу үшін Лапластың интегралдық теоремасы деп аталатын төмендегі
дәйектемені қолдануға болады.
Теорема. Үлкен топтамадағы n тәуелсіз сынақтың әрқайсысында табыс
ықтималдығы P өзгермейтін болса,
;
мұнда
Лаплас теоремасының толық дәлелдеуі ықтималдықтар теориясының қысқаша
курстарында келтіріле бермейді. Бірақ, (2.5)-ке (2.10) өрнектерін қойсақ,
интегралдық қосынды шығатынын, ал ол -да шекке көшкеннен кейін
анықталған интегралға айналатынын айта кетсек артық болмайды. Анықталған
интегралдың геометриялық мағынасы бойынша табыс санының m аралығында
жатуының немесе болуының ықтималдығы табаны болатын, жоғарыдан
ықтималдық қисығымен шектелген қисықсызықты трапецияның ауданына тең:
.
Ықтималдық қисығының “астындағы” барлық аудан бірге тең. Шынында да,
болғанда ; ал десек, . Өйткені сынақтар топтамасы үшін p
мен q өзгермейтін сандар. Ендеше
(2.13)
Ықтималдық қисығы ордината осіне қарағанда симметриялы болғандықтан
. (2.14)
Меншіксіз интегралда (2.13)
алмастыруын жасасақ,
.
(2.15)
Теңдіктің сол жағындағы Пуассон интегралы деп аталатын өрнек алынбайтын
интегралдар қатарына жатады. Бірақ, теңдіктің дұрыстығы ықтималдықтар
теориясы заңдарының көмегімен дәлелденген.
Жоғары шегі айнымалы, ықтималдық функциясынан кесіндісі бойынша
алынған анықталған интеграл
(2.16)
бүкіл сандық осьте функциясының алғашқы бейне функциясы болады. Ол
Лаплас интегралы немесе ықтималдық интегралы деп аталады. Оның мәндерінің
де кестесі жасалған. Негізгі қасиеттерін атап өтелік:
1)
жұп функциядан алынған интеграл болғандықтан функциясы тақ: ,
демек, , графигі координаталардың бас нүктесіне қарағанда симметриялы
(8-сурет);
.
8-сурет
2)
функциясы аралығында өспелі және (2.14)-тің салдарынан
, яғни , түзулері қисығының жатық асимптоталары
болады (8-сурет).
3)
интегралдық теоремадан болғандықтан жеткілікті үлкен n үшін
, (2.17)
Енді аралығы нүктесіне қарағанда, демек,
кесіндісі координаталардың бас нүктесіне қарағанда симметриялы болсын (9-
сурет).
Сонда десек,
теңсіздіктері тең ықтималды болады да, (2.17)-нің салдарынан
,
немесе
(2.18)
9-сурет
Жақша ішіндегі теңсіздік тәуелсіз n сынақта A оқиғасының пайда болу
жиілігінің оның жеке сынақта пайда болу ықтималдығынан абсолют ауытқуын
бағалауға мүмкіндік береді. Егер бұл ауытқудың жоғарғы шегі
берілген болса, онда деп, α-ны табамыз және
(2.19)
4- есеп. Автотіркеуіш орта есеппен барлық жағдайдың 5%- інде істемей
қалады. Пойызды құрастырғанда 400 жағдайдың 349-дан артығында
автотіркеуіш істеді деп сеніммен айтуға болама?
Шешу: p=0,95 , q=0,05 ?
. Жауап: иә болады.
5- дәріс.
3- тарау. Кездейсоқ шамалар.
§1. Дискретті кездейсоқ шамалар.
Мәндері кездейсоқ эксперименттің нәтижелерінен тәуелді айнымалыны
кездейсоқ шама дейміз. Олар дискретті типтегі кездейсоқ шамалар (қысқаша
ДТКШ) және үзіксіз типті кездейсоқ шамалар (ҮТКШ) болып бөлінеді. Кездейсоқ
шамалар грек алфавитінің әріптерімен: ξ,η,ζ,... және, көбіне, латын
алфавитінің бас әріптерімен: Χ,Υ,Ζ,...белгіленеді. Соңғылардың қабылдайтын
мәндері сәйкес кіші әріптермен :x,y,z,... белгіленеді.
Айнымалының мүмкін мәндері жиыны шекті (i=1,...,k) немесе
санамалы (i=1,...,k,...) болса, ол ДТКШ (дискретті кездейсоқ шама ) болады. Ол
мәндердің қабылдану ықтималдықтары . Соңғы теңдік нормалау шарты
деп аталады, оған барлық мүмкін мәндердің ықтималдықтары енеді. Екі жиын
да: және белгілі болған жағдайда ғана ДТКШ берілген болып
саналады. Әдетте ол жиындардың элементтері дискретті кездейсоқ шаманың
үлестірілу заңы деп аталатын кестеге
... ...
... ...
орналастырылады. Әрбір немесе түріндегі қатынас кездейсоқ
оқиға ретінде қарастырылады. Кездейсоқ Χ шамасымен байланысты
интервалдық оқиғаларын сипаттау үшін олардың біреуінің ғана, мысалы,
соңғысының ықтималдығы берілсе болды.
Заттық айнымалы функциясы
, (3.1)
Χ кездейсоқ шамасының үлестірілу заңы немесе үлестірілу функциясы деп
аталады. ДТКШ үшін ол жинақталған ықтималдықтар функциясы
(3.2)
болады. Мұнда қосынды i индексінің теңсіздігін қанағаттандыратын
барлық мәндерін қамтиды. Дискретті кездейсоқ шаманың үлестірілу функциясы
ықтималдығы бар x нүктесінде (функцияның I-текті үзіктік нүктесі)
сол ықтималдыққа тең шамаға секіреді, өйткені
. (3.3)
Оқиға ықтималдығы болғандықтан үлестірілу функциясының төмендегідей
қасиеттері бар:
1)
2) . Өйткені сәйкес мүмкін
емес және ақиқат оқиғалар;
3) барлық сандық осьте кемімейтін функция;
4) кез-келген нүктесінде сол жағынан үзіксіз
функция:
.
Интервал (10-сурет) болғандықтан ықтималдықтарды қосу теоремасы
бойынша (3.4)
10-сурет
Бұл теңдік кездейсоқ шаманың кез келген аралыққа түсу ықтималдығын
анықтайды.
Дискретті кездейсоқ шаманың үлестірілу функциясы үзіктік
нүктелері бар үзбе-тұрақты болғандықтан оның графигі абсцисса осіне
параллель түзу кесінділерінен тұратын баспалдақ сызық (11-сурет) болады.
11-сурет
ДТКШ –ның үлестірілу заңы кесте түрінде берілсе, жазықтықта
нүктелерін тұрғызып, оларды түзу кесінділерімен қосып, X
шамасы үлестірілуінің көпбұрышын алуға болады. Мұны қайталанба тәуелсіз
сынақтардағы табыс саны m=X дискретті кездейсоқ шама болғандықтан деп
түсіну қажет.
Дискретті үлестірілудің негізгі мысалдары:
1) биномдық үлестірілу :
, 0p1, m=0,1,2,...,n; (3.5)
2) Пуассон үлестірілуі :
(3.6)
3) Паскаль үлестірілуі
, (3.7)
4) геометриялық үлестірілу
, (3.8).
§2. Үзіксіз кездейсоқ шамалар.
Сандық осьтің қандай да болмасын шекті не шексіз аралығында жатқан
барлық мәндерді қабылдай алатын X айнымалысын үзіксіз кездейсоқ шама
дейміз. ҮТКШ-ның мәндер жиыны заттық айнымалының белгілі бір функциясының
өзгеру аймағын құрайды. Мысалы:1) темір жол төсегінің (топырақ үйіндісінің)
ені оның табанынан алыстаған сайын биіктіктің функциясы l(h) ретінде
кеми түседі; 2) массасы m пойыз v жылдамдықпен қисықтық радиусы R доғаның
бойымен қозғалғанда центрден тепкіш инерция күшінің сыртқы рельске
қысымы;
3) солтүстік жарты шарда меридиан бойымен келе жатқан пойыз үшін
кориолистік инерция күшінің
оң жақ рельске қысымы. Соңғы екеуі жылдамдықтың функциялары
Мұнда да сек жердің сөткелік айналуының бұрыштық жылдамдығы.
Үлестірілу функциясы (3.1) X шамасының мәндер жиынында бірсарынды
өспелі (ықтималдықтар жинақтала түседі) болады. Оны үзіксіз кездейсоқ шама
үлестірілуінің интегралдық функциясы дейміз. ҮТКШ үшін жеке нүктеге дәл
түсу ықтималдығы нөлге тең, өйткені іс жүзінде мүмкін
емес оқиға. Шынында да,
.
Сондықтан .
Үзіксіз кездейсоқ шаманың интервалына түсу ықтималдығы
(3.4)
Кесіндінің бір өлшеміне келетін ықтималдық, яғни қатынасы X
кездейсоқ шамасы ықтималдығының кесіндісінде үлестірілуінің орташа
тығыздығы деп аталады. Оның -да шегі бар болса, ол шек кездейсоқ
шама ықтималдығы үлестірілуінің x нүктесіндегі тығыздығын анықтайды.
Нүктедегі тығыздық x айнымалысының X кездейсоқ шамасының мәндері жиынында
үзіксіз, теріс емес функциясы болады, көбіне p(x) немесе φ(x) арқылы
белгіленеді. Функция туындысының анықтамасы бойынша
(3.9)
Сондықтан φ(x) үзіксіз кездейсоқ шама үлестірілуінің дифференциалдық
функциясы немесе дифференциалдық заңы деп аталады. Оның X-тің мәндері
интервалындағы алғашқы бейне функциясы ды
(3.10)
түрінде жазуға болады. Бұл тұжырым үзіксіз кездейсоқ шама анықтамасына пара-
пар.
Интегралдардың қасиеті бойынша
болғандықтан (3.4)
(3.11)
түріне енеді. Интегралдық функциясының екінші қасиетіне негізделген
(3.12)
теңдігі ықтималдықтарды нормалау шарты болып табылады.
§3. Үзіксіз үлестірілулердің негізгі түрлері.
Бірқалыпты үлестірілу. Ықтималдығының
кесіндісінде үлестірілу тығыздығы тұрақты: кездейсоқ шаманы
сол кесіндіде бірқалыпты үлестірілген дейміз. (3.12)-ден
екенін көреміз. Сондықтан
(3.13)
деп жаза аламыз. Мұндай үлестірілудің интегралдық функциясы
(3.14)
Бұл функциялардың графиктері түзу сызықтар
(12-сурет); оның мәндері бірден артық болуы да мүмкін.
12-сурет
Қалыпты (нормалы) үлестірілу. Ықтималдықтарының үлестірілу
тығыздығы
(3.15)
болатын үзіксіз кездейсоқ шама қалыпты (гаусстік) заң, қысқаша,
және параметрлері бар заңы бойынша үлестірілген
делінеді. Үлестірілудің заңына бағынатын X шамасын
стандартталған қалыпты (гаусстік) шама дейді. Оның үлестірілуінің
интегралдық функциясы
(3.16)
Лаплас функциясы деп аталады. Оның көмегімен қалыпты
үлестірілуі үшін де интервалдық ықтималдықтарды табуға болады:
(3.17)
Интегралдардың қасиеттері бойынша
Енді (2.14)-ті пайдаланып, Лапластың функциясы мен интегралының (2.16)
арасындағы байланысты табуға болады:
(3.18)
Бұдан қалыпты кездейсоқ шама үшін (3.11) және (3.4) формулалары
(2.17)-мен тең мағыналы екенін көреміз. Соңғы теңдіктерді бір-бірінен
мүшелеп алып және өзара қоссақ
(3.19)
Бұлардың алғашқысы кездейсоқ шама мәндерінің координаталардың бас нүктесіне
қарағанда симметриялы аралықта жатуының ықтималдығын табуға мүмкіндік
берсе, екіншісі және оқиғаларының қарама-қарсы екенін
сипаттайды.
Теңсіздіктер және тең ықтималдықты
болғандықтан (3.17)-ден X-тің -ға қарағанда симметриялы
интервалына түсу ықтималдығы
(3.20)
немесе
(3.21)
Стандартталған қалыпты шама ықтималдықтарының үлестірілу
тығыздығы (2.9) функциясымен, оның графигі ықтималдық қисығымен
бірдей. Егер болса, онда түзуі қисығының
симметрия осі болады. Яғни ықтималдық қисығы абсцисса осінің бойымен
болғанда оңға, ал болғанда солға қашықтыққа параллель
көшіріледі; . Лаплас функциясының үлестірілудің интегралдық
қисығы деп аталатын графигін тұрғызу үшін қисығын жоғары
қарай қашықтыққа параллель көшіру (13-сурет) керек;
болғанда қисығы да абсцисса осі бойымен ығысады. Интегралдық қисық
тұрғызылған болса, X кездейсоқ шамасының берілген
аралығына түсу ықтималдығы (3.11) сол қисық ординатасының
-ге сай өсімшесі ретінде анықталады.
13-сурет
Көрсеткіштік (экспоненциалдық) үлестірілу.
Бұл атау және белгілеуі ықтималдықтар тығыздығы
(3.22)
болатын үзіксіз кездейсоқ шаманың үлестірілу заңына беріледі. Мұндай шама
үшін Лапластың функциясы (3.10) мен интегралының (2.16) бір-бірінен
айырмашылығы жоқ:
(3.23) және
функцияларының графиктері негізінен оң жақ жарты жазықтықта
орналасады (14-сурет).
14-сурет
Коши үлестірілуі
(3.24)
(3.25)
функцияларымен сипатталады. Олардың графиктері 7- және 13-суреттерде
келтірілген қисықтарға ұқсас. Біріншісі ордината осіне қарағанда
симметриялы, өйткені функциясы жұп;
6-дәріс.
Кездейсоқ шамалардың сандық сипаттамалары
§4. Орын сипаттамалары
Кездейсоқ шаманы сипаттауда оның үлестірілудегі орташа мәні
немесе математикалық тосындысы (МТ) деп аталатын санының орны
айырықша. Ол және деп те белгіленеді.
Дискретті кездейсоқ шаманың МТ-сы оның барлық мүмкін мәндері мен
олардың қабылдану ықтималдықтарының көбейтінділерінің қосындысына тең. Егер
ДТКШ-ның үлестірілу заңы кесте түрінде берілсе, онда
(3.26)
Шаманың мәндер жиыны шекті болса,
Санамалы жиын үшін (3.26) сандық қатар болады. Бұл қатар абсолют жинақты
болса, . Қарсы жағдайда, яғни
(3.27)
қатары жинақсыз болса, онда кездейсоқ шамасының МТ-сы жоқ дейміз.
Ал,(3.26) шартты жинақты ((3.27) жинақсыз) болса, ол жинақтылық (3.26)-те
таңбалары әр түрлі қосылғыштардың өзара жойылуының салдары болып,
қосылғыштардың өздерінің абсолют шамалары мейілінше үлкен болуы мүмкін.
Мұндай жағдайда МТ кездейсоқ шаманың қасиеттерін сайма-сай өрнектей бере
алмайды.
Меншіксіз
(3.28)
интегралы абсолют жинақты болса, ол ықтималдықтарының үлестірілу тығыздығы
болатын үзіксіз кездейсоқ шамасының МТ-сын анықтайды. Ал,
интегралы жинақсыз болса, шамасының МТ-сы жоқ болғаны. Кездейсоқ
шама мәндерінің аймағы шекті аралық болса, (3.28) анықталған интегралға
айналады. МТ-сы нөлге тең кездейсоқ шамасын центрленген деп атап,
арқылы белгілейміз.
Бірі қандай да болмасын мән қабылдағанда екіншісінің үлестірілу заңы
өзгермейтін кездейсоқ шамаларды өзара тәуелсіз дейді.
Кездейсоқ шамалар МТ-сының қасиеттерін атап өтелік.
1. Тұрақты (кездейсоқ емес) шаманың МТ-сы тұрақтының өзіне тең:
Шынында да, шамасының ықтималдықпен қабылдайтын бір ғана мәні
бар ( ол мәнді қабылдауы ақиқат оқиға) және.
2. Саны шекті кездейсоқ шамалардың қосындысының МТ-сы олардың МТ-
ларының қосындысына тең:
(3.29)
3. Тәуелсіз екі кездейсоқ шаманың көбейтіндісінің МТ-сы олардың МТ-
ларының көбейтіндісіне тең:
(3.30)
Бұл қасиет жиынтығында тәуелсіз көбейткіштердің кез келген шекті саны үшін
де орындалады. Дискретті кездейсоқ шамалар үшін соңғы екі қасиет
ықтималдықтарды қосу және көбейту теоремаларының көмегімен оңай
дәлелденеді.
4. Тұрақты көбейткішті МТ белгісінің сыртына шығаруға болады; (3.30)-
да, мысалы, десек,
(3.31)
Дискретті кездейсоқ шаманың қабылдану ықтималдығы ең үлкен (ең
ықтимал) мәні оның модасы (сәні) деп аталады. Сонымен,
Үзіксіз кездейсоқ шама үшін мода ықтималдықтарының үлестірілу тығыздығының
максимум нүктесі ретінде анықталады:
Егер көп мәнді болса, онда үлестірілуді мультимодалы дейміз.
Кездейсоқ шаманың
шартына қанағаттандыратын мәні немесе
(3.32)
теңдеуінің нақты түбірі -тің медианасы деп аталады. Жалпы жағдайда
(3.32)-нің түбірі жалғыз болуы міндетті болмағандықтан медиана бір мәнді
анықтала бермейді.
МТ, мода және медиана кездейсоқ шаманың орын сипаттамаларына жатады.
Кездейсоқ шама мәндерінің оның үлестірілудегі орташа мәнінен ауытқуларын
бағалаудың да пайдасы мол. Мұндай зерттеулерде шашырандылық сипаттамалары
деп аталатын сандардың маңызы зор. Оларға кездейсоқ шаманың дисперсиясы,
орташа ауытқуы және орташа квадраттық ауытқуы, т.с.с. жатады.
§5. Шашырандылық сипаттамалары
Әр түрлі өлшеулер мен байқауларға байланысты кездейсоқ эксперименттің
нәтижелерін кездейсоқ шаманың мәндері ретінде қарауға болады. Егер
ауытқулары елемеуге болатындай аз болса, тәжірибені сәтті деп
санаймыз. Айырым өз кезегінде кіндіктелген ДТКШ болады, өйткені МТ-
ның қасиеттері бойынша
Сондықтан шамасы мәндерінің оның үлестірілудегі орташа мәніне
қарағанда шашырандылығын сипаттай алмайды; кіндіктелген болуы
қарама-қарсы таңбалы ауытқулардың өзара жойылуларының салдары болып,
ауытқулардың өздері өрескел (шектен тыс) мәндер қабылдаулары мүмкін.
Таңбалар әсерінен құтылу үшін кездейсоқ шамасы қарастырылады. Оның
МТ-сы
(3.33)
кездейсоқ шамасының орташа ауытқуы деп аталады;
(3.33)-те теңдік тек болғанда ғана орын алады. Көптеген
зерттеулерде ауытқулар таңбаларының әсерін жою үшін орнына
кездейсоқ шамасын қараған тиімді.
Кездейсоқ шаманың оның үлестірілуіндегі орташа мәнінен
ауытқуы квадратының МТ-сын сол шаманың дисперсиясы деп атап, арқылы
белгілейміз. Олай болса,
(3.34)
Жақшаларды ашып, МТ-ның қасиеттерін пайдалансақ,
(3.35)
Бұдан тек сипаттамасына ие кездейсоқ шамаларының ғана
дисперсиясы бар және ылғи
(3.36)
шарты орындалады дей аламыз.
Анықтама бойынша дискретті және ықтималдықтарының үлестірілу тығыздығы
болатын үзіксіз кездейсоқ шамалар үшін сәйкес:
(3.37)
Мәндер жиыны санамалы ДТКШ-ның дисперсиясы мүшелері оң сандық
қатармен өрнектеледі. Бұл қатар немесе ҮТКШ үшін (3.37)-дегі меншіксіз
интеграл жинақсыз болса, шамасының дисперсиясы жоқ болғаны.
Кездейсоқ шама дисперсиясының төмендегідей негізгі қасиеттері бар.
1. Тұрақты шама дисперсиясы нөлге тең (тұрақтының мәні ауытқымайды):
2. Жиынтығында тәуелсіз кездейсоқ шамалардың қосындысының
дисперсиясы олардың дисперсияларының қосындысына тең:
(3.38)
3. Тұрақты көбейткіш дисперсия белгісінің сыртына екінші дәрежеде
шығады:
(3.39)
Бұған (3.35) –те -тің орнына -ті қойып, -ның сәйкес қасиетін
ескеру арқылы көз жеткізуге болады.
Теріс емес саны кездейсоқ шамасының орташа квадраттық
ауытқуы деп аталады. Ол мен бірге кездейсоқ шаманың үлестірілудегі өз
орташа мәнінен ауытқуының ықтималдық сипаттамасы болады; (3.36) теңсіздігі
кез келген кездейсоқ шама үшін орындалатын болғандықтан онда -ті
на алмастырып,
деп жаза аламыз. Бұдан кез келген кездейсоқ шаманың орташа квадраттық
ауытқуы оның орташа ауытқуынан аз емес:
деп қорытуға болады. Сондықтан ны шектеуші шарттар кездейсоқ шаманың
орташа ауытқуы үшін де орындалады. Практикалық есептеулерде абсолют
шамаларға амалдар қолдану елеулі қиындықтарға соқтыратын болғандықтан кейде
стандарттық ауытқу деп аталатын шамасы көбірек қолданылады. Ол
кездейсоқ шаманың өзімен өлшемдес және шашырандылықтың белгілі бір
стандартты, -ға қарағанда симметриялы орташа квадраттық интервалын
анықтайды. Сандық сипаттамалары: кездейсоқ шаманы стандартталған
дейді.
§6. Классикалық үлестірілулердің сандық сипаттамалары.
1. Дискретті үлестірулер. Қайталама тәуелсіз
сынақтың әрқайсысында мүддедегі оқиғаның іске асу санын екі
ғана: 1(ұтыс) және 0 (ұтылыс) мәні бар ДТКШ деп қарауға болады;
және кездейсоқ шамаларының үлестірілу заңдары ( кестелері)
бірдей:
1 0
1 0
[pic
]
[pic
]
Барлық сынақтағы табыс саны жиынтығында
тәуелсіз кездейсоқ шамаларының қосындысы: болады.
Бұл кездейсоқ шамалардың сандық сипаттамалары:
(3.40)
Бұл нәтижелерге Ньютон биномына байланысты формулаларды
пайдаланып та келуге болады; (3.5) үшін:
Сирек оқиғалар заңы ретінде параметрі (3.6) Пуассон
үлестірілуін шарты орындалған жағдайда биномдық
үлестірілуінен шекке көшу арқылы алуға болады. МТ мен
дисперсияның өзара тең болуы: Пуассон үлестірілуіне тән
ерекшелік.
Параметрі (жеке сынақтағы табыс ықтималдығы) геометриялық
үлестірілуде тәуелсіз сынақтар алғашқы табысқа дейін (қоса алғанда)
рет қайталанады деп санаймыз. Бұл оқиғаның ықтималдығы (3.8)
еселігі болатын геометриялық прогрессияның (үлестірілудің
атауы да осыған байланысты) жалпы мүшесі. Ол өскен
сайын кемиді. Демек, яғни үлестірілудің сәні
Үлестірілудің басқа сандық сипаттамалары:
Параметрі Паскаль үлестірілуінің (3.7) сандық сипаттамаларын
табу үшін белгілеуін енгізсек,
Үлестірілу сәні , өйткені
2. Үзіксіз үлестірулер. Үзіксіз кездейсоқ шамалардың сандық
сипаттамаларын табу үшін (3.28,35,37) формулалары қолданылады.
Бірқалыпты үлестірілу үшін МТ мен медиана өзара тең:
Қалыпты үлестірудің параметрлері ықтималдықтар тығыздығы
(3.15) күйіндегі кездейсоқ шаманың сандық сипаттамалары болады;
функциясының бір ғана максимум нүктесі бар, ықтималдық қисығы
түзуіне қарағанда симметриялы. Олай болса, мода мен медиана
тең:
Параметрі көрсеткіштік заңына (3.22) бағынатын
кездейсоқ шамалардың сандық сипаттамаларын табу үшін төмендегі
меншіксіз интегралдарға бөлектеп интегралдау әдісі қолданылады
Бастапқы мәні болғандықтан (14-сурет) функциясы оң
жақ жарты осьте кемімелі. Ендеше, үлестірілу сәні , ал
(3.22)-де параметрді деп алсақ, онда болар еді.
Коши үлестіруінде (3.24) заңындағындай . Бірақ,
меншіксіз интегралы жинақсыз болғандықтан сәйкес кездейсоқ
шаманың МТ да, демек, дисперсиясы да жоқ.
7- дәріс
4- тарау. Үлкен сандар заңы және ықтималдықтар теориясының шекті
теоремалары
§1. Чебышев және Марков теңсіздіктері.
Шекті МТ-сы бар кездейсоқ шама және саны үшін
Чебышевтың бірінші теңсіздігі деп аталатын
(4.1)
қатынасы орындалады.
Бұл теңсіздіктерді Марков мәндері оң сандар болуы міндетті емес,
бірақ 1-абсолюттік момент деп аталатын сандық сипаттамасы бар
кездейсоқ шамалар үшін жалпылап,
(4.2)
теңсіздіктерін дәлелдеді.
Кездейсоқ шамалардың сандық сипаттамаларының қатарына олардың
ретті бастапқы және орталық моменттері деп аталатын
(4.3)
заттық сандары да (егер олар бар болса) жатады. Дискретті және
үзіксіз кездейсоқ шамалар үшін бұл сипаттамалар сәйкес
(4.4)
(4.5)
формулалармен анықталады. Бұлардан нөлінші ретті моменттер
және олар ықтималдықтарды нормалау шарты (3.12) болатынын көреміз.
Әрі қарай: және (3.35)-тен Кезектегі жоғарғы ретті
орталық моменттер кездейсоқ шамалар үлестірілуінің сындарлы
сипаттамалары: 1) үлестірілудің ассиметриялық (танассыздық) немесе
қиғаштық коэффициентін , 2) үлестірілу эксцессінің
(шығандауының) немесе сүйіртөбелігінің коэффициентін
анықтайды.
Егер кездейсоқ шамасының 2-ретті моменттері және
бар болса, онда саны үшін
... жалғасы
Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.
1-Кредит. ЫҚТИМАЛДЫҚТАР ТЕОРИЯСЫ
1-дәріс.
1-тарау. Ықтималдықтар теориясының негіздері.
§1. Кездейсоқ оқиғалар.
Жеке құбылыстар мен деректерді немесе олардың аз мөлшердегі
көріністерін бақылау құбылыстардың пайда болу заңдылықтарын және өзара
байланыстарын анықтауға мүмкіндік бере бермейді. Сондықтан ол құбылыстарға
кездейсоқ жайттар ретінде қараймыз. Бірақ, біртекті құбылыстар мен деректер
жаппай көрініс тапса, олардың табиғатына тән заңдылықтарды байқауға болады.
Ықтималдықтар теориясы және оған негізделген математикалық статистика
біртекті жаппай кездейсоқ құбылыстардың үлестірілу заңдылықтарын зерттейтін
математикалық ғылымдар. Математикалық абстракциялау- байқалып отырған
құбылыстарды олардың нақты табиғатына байланыссыз зерделеу құбылыстардың
мейлінше кең класына қолдануға жарамды ғылыми негізделген жалпы заңдылықтар
мен қағидаларды айқындауға мүмкіндік береді. Ал, ол заңдарды іс жүзінде
қолдану ықтималдықтар теориясының негізгі ережелерін сақтауды, зерттеліп
отырған құбылыстар мен процесстерге қатысты материалдарды дұрыс
статистикалық өңдеуді талап етеді.
Шарттар мен амалдардың белгілі бір жиынтығын орындауды сынақ немесе
тәжірибе дейміз, оның қорытындысы сынақ нәтижесі болады. Кездейсоқ нәтиже
беретін тәжірибе кездейсоқ эксперимент деп, ал нәтиженің өзі кездейсоқ
(мүмкін) оқиға деп аталады. Сынақтың барлық мүмкін нәтижелерінің жиынтығы-
кездейсоқ эксперименттің элементар бітістерінің жиыны (оқиғалар өрісі) Ω
арқылы, ал қандайда болмасын нысанадағы (біз көздеген) кездейсоқ оқиғаның
пайда болуын қамтамасыз ететін нәтижелердің жиыны ω арқылы белгіленеді.
Сынақ қорытындысында пайда бола алмайтын нәтиже: ω=0 ( құр жиын)
мүмкін емес оқиға деп аталады. Ал, ω=Ω болып, пайда болуы міндетті,
сынақтың бірден-бір мүмкін қорытындысы болатын нәтиже- ақиқат оқиға деп
аталады. Қалған жағдайларда енбе жиындар қатынасына:ω келеміз.
Кездейсоқ оқиғаларға жиындар теориясы тұрғысынан қарау жиындарға
қолданылатын амалдарды кездейсоқ оқиғаларға да қолдануға мүмкіндік береді.
Сынақтың элементар нәтижелерін кеңістіктегі (жазықтықтағы, кесіндідегі)
нүктелер арқылы белгілей отырып, бұл амалдарды геометриялық тұрғыдан
талқылауға да жол ашады.
Оқиғаларды латын алфавитінің бас әріптерімен: A,B,C... белгілейді. Сынақ
нәтижесінде бір мезгілде пайда бола алатын оқиғаларды , мысалы, A және B
бірігетін оқиғалар дейміз. Оларға қолайлы нәтижелердің жиындары ω(A) және
ω(B) қиылысушы жиындар (1-сурет) болады. Қарсы жағдайда
1-сурет
:=0 A және B бірікпейтін оқиғалар болады. Ал, қатынасы B
оқиғасы әруақытта A-ға ілесе пайда болатынын білдіреді. Қысқаша және
болса, эквивалент (балама) жиындар ұғымына келеміз: A=B, оқиғалар
тепе-теңдігі орын алады.
Оқиғалар қосындысы-жиындардың бірігуі :A+B=ω(A)ω(B)- қосылғыш
оқиғалардың кем дегенде біреуі пайда болса жарайтынын сипаттайтын оқиға.
Оқиғалардың көбейтіндісі- жиындардың қимасы (айқасуы) :
AB=ω(A) ω(B)- көбейткіш оқиғалардың қосарлана пайда болуын білдіретін
оқиға. Оқиғалардың айырымы
A-B=ω(A)×ω(B) жиын ретінде A-ға тиісті, бірақ,B-ның құрамына енбейтін
элементтерден тұрады. Ал, оқиға ретінде ол A-ның пайда болып, B –ның жоқ
екенін өрнектейді. Сынақтың бірден-бір мүмкін нәтижесі бола тұра,
бірікпейтін A және Ā оқиғаларын қарама-қарсы оқиғалар дейміз. Бұл жағдайда
ω(Ā)=Ω×ω(A) ω(A) жиынының Ω-ға дейінгі толықтауышы деп аталып, сынақтың
оқиғасының пайда болуын жоққа шығаратын элементар нәтижелерінен
ғана тұрады.
Оқиғаларға қолданылатын амалдар төмендегі заңдарға бағынады:
1)
коммутативтік заң (орын алмастыру):
2)
ассоциативтік (терімділік) заң (топтастыру):,
3)
көбейтудің қосуға қарағандағы дистрибутивтігі (үлестірімділігі) .
Кездейсоқ эксперименттің бірден-бір мүмкін элементар нәтижелері
2-сурет
қос-қостан бірікпейтін болса, ,
( i , j =1,, k), жиындар системасын Ω жиынының бөлшектенуі (2-
сурет) деп атап, оқиғалардың толық тобын (жүйесін) құрайды дейміз.
§2. Оқиға ықтималдығының аксиомалық анықтамалары.
1. Статистикалық анықтама. Кездейсоқ эксперимент шарттары өзгермеген
күйінде N рет қайталанды, соның ішінде біз мүдделі болып отырған оқиға M
(0) рет байқалды делік; және сандары оқиғаның пайда
болуының (табыстың) абсолют және салыстырмалы жиіліктері деп аталады.
Соңғы қатынас табыс жиілігінің негізгі көрсеткіші болып саналады.
Қайталану сандары (көлемдері) N әр түрлі сынақтардың бірнеше сериясы
(топтамасы) орындалсын. Топтамалардың көлемдері шағын болса, олардағы
табыс жиіліктерінің бір-бірінен ауытқуы да елеулі болуы мүмкін.
Топтамалардың көлемдері өскен сайын (N→∞) бұл ауытқулар азайып , табыс
жиілігінің мәндері тұрақтанып , олардың тізбегі бір нақты p санының
маңына шоғырлана , топтана түседі. Бұл сан тәжірибеде табыстың пайда
болуының объективтік мүмкіндігінің өлшемін (дәрежесін) анықтайды.
Көп мөлшерде қайталанған сынақтарда маңына оқиғаның пайда болу
жиілігінің мәндері топтанатын P () саны сол оқиғаның ықтималдығы
деп аталады.
Ықтималдықтың статистикалық анықтамасы деп аталатын бұл сөйлемді
қолдану алдын ала сынақтар өткізіп , олардың нәтижелерін статистикалық
өңдеуді талап етеді. Бұл талаптың әсіресе теориялық зерттеулерде қиындығы
мол.
2. Классикалық анықтама. Қайталанба сынақтарда оқиғалардың пайда
болу жиіліктерінің тәртібін зерттеп, байқалған деректерді жалпылау және
салыстырмалы жиіліктер қасиеттерін абстракциялау ықтималдық түсінігінің
классикалық (аксиомалық) анықтамасына келтірді. Ықтималдықтың қазіргі
аксиомалық теориясын 1933 ж. А.Н. Колмогоров жасады.
Сынақты өткізу шарттары нәтижелердің қай-қайсысына да басқаларына
қарағанда артықшылық бермейтін болса, сынақ нәтижелері тең мүмкіндікті
(теңықтималды) деп аталады. Мұндай сынақтардың классикалық мысалы ретінде
урнадағы (қоржындағы) бір-бірінен сипап ажыратылмайтын шарлардың
бірнешеуін тәуекел алып шығуды атауға болады. Бұл тектес тәжірибелерді
математикалық тәріздеу (модельдеу) ықтималдықтар теориясында
классикалық схема (тәсім) немесе урналар тәсілі деген атпен белгілі.
Кездейсоқ эксперименттің тең мүмкіндікті нәтижелері оқиғалардың
толық тобын құрайды десек , ω(A) A оқиғасының пайда болуына
қолайлы нәтижелердің жиыны болады; Ω және ω шекті жиындар, оларды
құрайтын элементтердің сандары сәйкес N(Ω)=n, N(ω)=m десек, A оқиғасының
ықтималдығы
(1.1)
сандық функциясымен анықталады. Олай болса, кездейсоқ сынақта
оқиғаның пайда болу ықтималдығы оған қолайлы нәтижелер санының барлық
мүмкін нәтижелердің санына қатынасына тең.
Мүмкін емес оқиға үшін m=0, ақиқат оқиға үшін m=n, ал басқа кездейсоқ
оқиғалар үшін m1, демек . Классикалық ықтималдық формуласымен
(1.1) анықталатын шама кәміл (шартсыз) ықтималдық деп аталып,
ықтималдықтардың үш аксиомасына (шартына) қанағаттандырады:
1)
P(A)≥0;
2)
толық топ құрайтын оқиғалардың ықтималдықтарының қосындысы бірге тең:
, ;
3)
қос-қостан бірікпейтін оқиғалардың кезкелген шекті не шексіз
тізбегі үшін .
3. Геометриялық ықтималдық. Үзіксіз Ω және ω жиындары сандық осьте
, жазықтықта немесе кеңістікте белгілі бір аймақ құрайды.
(3-сурет).
3-сурет
Сәйкес аралықтың ұзындығын, жазық фигураның ауданын немесе дененің
көлемін сол нысандармен анықталатын жиынның өлшемі (mesure) деп атап,
mes(Ω), mes(ω) немесе , қысқаша , m(Ω), m(ω) арқылы белгілейміз. Өлшемі
шекті аймақты сәйкес кеңістікте квадратталатын (кубталатын) аймақ
дейміз.
Квадратталатын аймақтар үшін
(1.2)
1-есеп.
Бекетке келген жолаушы пойызы 13 вагоннан тұрады. Оның 5-уі купелі
(бөлмелі), 4-і плацкартты, 2-і ұйқы-жай, қалғандары бір-бірден жұмсақ
және почта вагондары. Тепловозды ағытқаннан кейін перронға тәуекел шыққан
қарсы алушының бөлмелі вагон тұсына тап келу (Α оқиғасы) ықтималдығын
табыңыз.
Шешу. Мұнда n=13,m=5. Сондықтан P(A)=513 .
§3. Қосылыстар теориясы элементтері.
Берілген Ω жиынының элементтерінен құрылған оған кірме әр түрлі
жиындары қосылыстар (комбинациялар) деп, математиканың қосылыстар
теориясын зерттейтін бөлімі комбинациялық талдау деп аталады. Бұл
бөлімнің негізгі принципі- көбейту ережесі : егер әрбір қосылысын
тәсілмен құру мүмкін болса, онда бірге алғанда олардың бәрі
тәсілмен құрылады.
Әр элементіне сандардың натурал қатарынан номер тағылған шекті
жиынды реттелген жиын дейміз. Реттелген шексіз жиын санамалы жиын
делінеді.
Бір-бірінен элементтерінің ретімен (орындарымен) ғана ажыратылатын
n элементті әр түрлі (реттелген) жиындар n элементтен жасалған
орынауыстырулар деп аталады. Олардың саны
!
(1.3)
Реттелген болуы міндетті емес Ω және ω (ω) жиындары сәйкес n
және m (m≤n) элементтен құрылған делік. Бір-бірінен құрамымен ғана (реті
ескерілмей) ажыратылатын барлық ω қосылыстары n элементтен
m-нен жасалған терулер деп аталады. Олардың саны
(1.4)
Ньютон биномның формуласын енді
(1.5)
түрінде жазуға болатындықтан (1.4) сандары биномдық коэффициенттер деп те
аталады. Олардың симметриялық қасиеті бар және рекурренттік қатынастарды
қанағаттандырады:
, (1.6)
Жеке жағдайда: a=b=1 (1.5)-тен
Бір-бірінен не құрамымен , не элементтерінің ретімен ажыратылаты n
элементтен m-нен (m≤n) жасалған қосылыстар n элементтен m-нен жасалған
орналастырулар деп аталады. Әрбір n элементтен m-нен жасалған теруден
орын ауыстырулар арқылы m! орыналастырын жасауға болады. Ендеше, n
элементтен m-нен жасалған орналастырулардың саны
(1.7)
Шекті (n элементі бар, реттелген болуы міндетті емес) Ω жиыны
кездейсоқ үлгіде сәйкес элементтен тұратын k кірме жиындарға
бөлшектенген десек , бөлшектеу әдістерінің саны
(1.8)
Бұл (полиномдық тәсіл) биномдық схеманың жалпыланған түрі. Шынында да,
(1.8)-де k=2 () десек, (1.4)-ке келеміз.
Енді Ω жиынына кірме құрамында
элементі бар реттелмеген қосылыс құралық. Әрбір
-ден элемент алсақ, (1.4)-тің және көбейту ережесінің
негізінде мұндай қосылыстардың саны
өрнегімен анықталады. Бір ғана қосылыс үшін бұл өрнек (1.4)-ке
айналады, яғни полиномдық схема биномдық жүйеге ауысады.
Қосылыстар теориясынан келтірілген мәліметтер және (1.1) формуласы
урналар тәсілінде ықтималдыықтарды есептеудің комбинациялық әдісінің
негізін құрайды.
2-есеп. Сөреге (төртбұрышты) тәуекел қойылған 8 кітаптың қалаулы
екеуі қатар орналасуының ықтималдығын табыңыз.0
Шешу. Кітаптардың (нөмірленген) реттелген жиынын 8 элементтен жасалған
орын ауыстырулар деп қарасақ,. Сөреде көрші орындардың 7 қосағы бар.
Олардың әрқайсысында аталмыш кітаптар екі әдіспен орналаса алады. Қалған
кітаптардың орналасу мүмкіндіктерінің саны Көбейту ережесі
бойынша Талап етілген ықтималдық
.
2-дәріс.
§4. Ықтималдықтарды көбейту формуласы.
Шартты ықтималдық.
Кездейсоқ эксперименттің нәтижесінде пайда болу ықтималдықтары нөлге
тең емес:0 болатын A және B оқиғаларының бірі пайда болғанда
екіншісінің ықтималдығы өзгермейтін болса, оларды өзара тәуелсіз дейміз.
Қалған жағдайларда олар тәуелді болады. Екі оқиғаның тәуелсіздігінің
анықтамасы ретінде
(1.9)
теңдігін қабылдауға болады. Бірақ, ол көбіне оқиғалардың тәуелсіздігін
тексеруге қолданылады.
Шекті оқиғалар жиынының кез келген m элементінен
жасалған теру үшін
(1.10)
болса, бұл оқиғалар жиынтығында тәуелсіз дейміз. Оқиғалардың (n2)
жиынтығында тәуелсіз болуының қажетті шарты олардың қос-қостан тәуелсіз
болуында. Жиынтығында тәуелсіз оқиғалар үшін
(1.11)
теңдігі (n=2 болғанда (1.9)) ықтималдықтарды көбейту формуласы деп
аталады.
Тәуелді оқиғалар үшін
0,0 (1.12)
саны кездейсоқ эксперименттің нәтижесінде оқиғалардың бірі пайда болғанда
екіншісінің де пайда болуының шартты ықтималдығы деп аталады.
Шартты ықтималдықтың бұл аксиомалық түсінігі ықтималдықтың
классикалық схемасына қайшы келмейді. Мысалы, тәжірибенің барлық мүмкін
n=N(Ω) нәтижесінің A оқиғасының пайда болуына қолайлысы m (m≤n,4-сурет)
десек, Оқиғаның (A) пайда болуы осы m нәтиженің бірінің іске
асқандығын көрсетеді.
4-сурет
Енді A-мен қатар B оқиғасының пайда болуын қарағанда аталған m нәтиже
мүмкіндіктердің жалпы санын құрайды. Солардың ішінде k (k≤m) нәтиже B-ның
да, демек, AB оқиғасының да пайда болуына қолайлы болсын. Классикалық жүйе
(1.12)-нің екінші формуласына келтіреді:
Тәуелсіз оқиғалар үшін
Егер болса, (1.12)-дегі шартты ықтималдықтар тиісінше
анықталмаған болып саналады. Олардың екеуі де анықталған болса, онда
тәуелді оқиғалар үшін ықтималдықтарды көбейту формуласы
(1.13)
түрінде жазылып, оқиғалардың бірге пайда болуының ықтималдығын табу үшін
қолданыла алады. Жиынтығында тәуелсіз емес оқиғалары үшін
(1.13)-ті жалпы түрде
(1.14)
деп жазуға болады.
§5. Ықтималдықтарды қосу теоремасы.
Теорема. Бірікпейтін бірнеше оқиғаның қайсысы бола да біреуінің
пайда болуының ықтималдығы олардың ықтималдықтарының қосындысына тең:
() (1.15)
Дәлелдеу. Айталық, кездейсоқ эксперимент үшін , соның ішінде
оқиғасының пайда болуына нәтиже қолайлы болсын.
Оқиғаларға мүмкін (жиындарға қолданылатын ) амалдар қолдану арқылы
алынған оқиғаны күрделі оқиға дейміз. Күрделі оқиғасы пайда болу
үшін қосылғыш оқиғалардың кез келген біреуі пайда болса болғаны, демек,
оған нәтиже қолайлы.
Классикалық схема бойынша
оқиғалары толық топ құрайтын болса, және
ықтималдықтардың екінші аксиомасына сай . Әдетте (1.15)
ықтималдықтарды қосу аксиомасы (үшінші аксиома) деген атпен
дәлелдеусіз қабылданады.
Бірікпейтін (k=2) оқиғалары үшін ω(A) және ω(B) жиындары
қиылыспайды (айқаспайды): . Екі жиынның да барлық элементтері
оқиғасының пайда болуына қолайлы, олардың ортақ элементтері жоқ:
(1.15) түрінде жазылады. Ал, бірігетін оқиғалар үшін оқиғасының
пайда болуына қолайлы нәтижелердің санын анықтағанда аймағына
сай келетін нәтижелер қайталанып алынбас үшін ықтималдықтарды қосу
теоремасын
(1.16)
түрінде жазамыз.
Бірігетін n оқиға үшін ықтималдықтарды қосудың жалпыланған формуласы
(1.17)
түрінде жазылады. Қосылғыштардың саны өскен сайын оны қолдану күрделі
есептеулерді талап етеді. Мысалы, бірігетін үш оқиғаның кем дегенде
біреуінің пайда болу ықтималдығы
(1.18)
Оқиғалардың толық тобын құру арқылы есептеуді азайтуға болады. Қарама-
қарсы оқиғалар қашанда толық топ құрайды:
(Ā)=p+q=1
(1.19)
Бұл шарт және қарама-қарсы оқиғалары үшін де
орындалады, демек, Жалпы түрде
. (1.20)
Қаралып отырған оқиғалар жиынтығында тәуелсіз болса:
(1.21).
§6. Толық ықтималдық формуласы.
Байес формулалары.
Белгілі бір кедейсоқ эксперименттің нәтижесінде байқалатын A оқиғасы
сол тәжірибенің толық топ құрайтын, A-ға қарағанда гипотезалар
(болжамдар) деп аталатын нәтижелерінің бірімен ғана қосарласа
пайда бола алсын. Болжамдардың шартсыз ықтималдықтарын : 0
классикалық тәсіл бойынша тәжірибеге дейін (априорлық түрде) анықтауға
болады. Болжамдар қос-қостан бірікпейтін болғандықтан күрделі
оқиғалары да сол шартты қанағаттандырады. Соңғылардың ықтималдықтарының
қосындысы оқиғасының толық ықтималдығы деп аталады. Оны
ықтималдықтарды қосу аксиомасының (1.15) және ықтималдықтарды көбейту
формуласының (1.13) көмегімен табуға болады. Бізге болжамдардың қайсысы
іске асса да бәрі бір, тек A оқиғасы пайда болса болғаны. Сондықтан
(1.22)
Соңғы теңдік толық ықтималдық формуласы деп аталады.
Енді тәжірибе өткізіліп , оқиғасының пайда болғаны белгілі болды
делік. Бұл күрделі оқиғаларының да бірі пайда болды деген
сөз; (1.13) бойынша
Бұдан болжамдардың тәжірибеден кейінгі (апостериорлық) ықтималдықтары
(1.23)
Байес формулалары деп аталатын бұл теңдіктер бақыланып отырған A
оқиғасының пайда болғаны туралы ақпарат алынғаннан кейін әрбір болжамның
орындалу ықтималдығын есептеуге (тексеруге) мүмкіндік береді.
2-тарау. Тәуелсіз сынақтар тізбегі.
3-дәріс.
§1 Ықтималдықтардың биномдық үлестірілуі.
Сынақтар бірдей жағдайда көп-көптен еселеп қайталанатын тәжірибелерде
де бірқатар маңызды заңдылықтар байқалады. Егер A оқиғасының
(нәтижесінің) әрбір сынақта пайда болу ықтималдығы басқа сынақтардың
нәтижелерінен тәуелсіз болса, онда сынақтар тізбегі A оқиғасына қарағанда
тәуелсіз дейміз. Қайталанба тәуелсіз сынақтардың қарапайым класы ретінде
әрбір сынақта оқиғаның пайда болу ықтималдығы тұрақты екі-ақ нәтижесі бар
(биномдық жүйе): A-табыс, -табыссыздық, сынақтардың тізбегін
алуға болады. Мұндай сынақтардың көрнекті мысалдары:1) теңге үйіру. Мұнда,
айталық, елтаңбаның (гербтың) түсуі-табыс, цифрдың (тордың) түсуі
табыссыздық және . 2) нысанаға оқ ату: тигізу-табыс, мүлт кету-
табыссыздық т.с.с.
Тәуелсіз сынақ топтамасында рет табысқа ие болу
ықтималдығын табалық. Топтамадағы сынақтарды ретінше
номірлерімен, ал табыс келтірген сынақтарды сандарымен белгілеп,
оларды сәйкес Ω және ω жиындарының элементтері ретінде қаралық. Бізге A
оқиғасы сынақтар топтамасында дәл m рет пайда болса болғаны, табыс
әкелген сынақтардың рет санын ескермеуге болады. Сондықтан m рет табысқа
ие болудың барлық мүмкін жағдайларының саны n элементтен m-нен жасалған
терулердің санымен анықталады. Олардың әрқайсысында оқиғасы
m рет, оқиғасы рет пайда болып, ықтималдықтары бірдей
түріндегі күрделі оқиға орын алады.Ықтималдықтарды қосу
аксиомасының негізінде Бернулли формуласы деп аталатын
(2.1)
теңдігіне келеміз. Натурал аргумент функциясының мәндерінің жиыны
қайталанба тәуелсіз сынақтарда ықтималдықтардың биномдық үлестірілуі
(Бернулли үлестірілуі) деп аталады. Барлық n сынақта табыс санының мүмкін
мәндері толық топ құрайтындықтан ықтималдықтардың екінші аксиомасы
бойынша
(2.2)
Қарапайым түрлендірулердің көмегімен
шамаларының арасындағы байланысты табуға болады. Атап айтқанда:
(2.3)
Бұл балама қатынастар биномдық ықтималдықтар үшін реккуренттік формула
деген атпен белгілі.
Дискретті үлгідегі функциясының мәндер жиынында n+1 сан
бар. Оның нүктелерін түзу кесінділермен қосу арқылы тұрғызылған
графигі
(5,6-суреттер) ықтималдықтардың үлестірілу көпбұрышы деп аталатын жазық
сынық сызық болады. Аргументтің ең үлкен ықтималдық сай келетін
мәні A оқиғасының n тәуелсіз сынақтар топтамасында пайда болуының
ең
5-сурет 6-сурет
ықтимал саны деп аталады.Анықтама бойынша:
.
Бұл қос теңсіздіктің әрқайсысын рекуренттік формуланың (2.3) көмегімен
шешіп, табыстың ең ықтимал саны орналасқан кесіндіні табамыз:
Кесіндінің ұзындығы ал болғандықтан санының бүтін бөлігі
- функциясының белгілеуін пайдаланып, бөлшек сан болғанда
(2.4)
деп жаза аламыз.
Осылайша анықталғын натурал сан шамасының модасы деп аталады.
Егер бөлшек сан болса, онда нің осы санның бүтін бөлігіне тең
бір ғана мәні бар және биномдық үлестірілуді унимодалы дейміз. Ал, ,
демек, де бүтін сан болса, онда оның екеуі де нің мәні бола
алады. Бұл жағдайда үлестірілуді бимодалы деуге болар еді.
Сонымен, функциясы кесіндісінің сол жақ жартысында
өспелі, оң жақ жартысында кемімелі. Ал, (теңге үйіру) болғанда
биномдық коэффициенттердің симметриялық қасиеті салдарынан
функциясының графигі бұл жағдайда шамасының медианасы деп аталатын
түзуіне қарағанда симметриялы болады; (2.2) теңдігі табаны
кесіндісі болатын, жоғарыдан ықтималдықтардың үлестірілу көпбұрышымен
шектелген фигура ауданының бірге тең екенін көрсетеді. Медиана осы ауданды
қақ бөледі.
Ықтималдықтардың биномдық үлестірілуі тәуелсіз сынақтар топтамасында
біз мүдделі болып отырған оқиғаның мөлшерлі рет пайда болуының
ықтималдығын ғана емес, табыс санының берілген шекараларда
(мысалы, және ) жатуының: ықтималдығын табуға да мүмкіндік
береді. Интервалдық ықтималдық деп аталатын бұл шаманы табу үшін
ықтималдықтарды қосу аксиомасын пайдаланып, (2.1) өрнегінің
болғандағы мәндерінің қосындысын анықтасақ жеткілікті:
(2.5)
Бұл n тәуелсіз сынақта A оқиғасының пайда болу санының берілген
аралығында жатуының ықтималдығы; болғанда (2.2) бойынша Егер
(2.5) өрнегінде қосылғыштар саны көп болса, есептеуді жеңілдету үшін
оқиғалардың толық тобын, қарама-қарсы оқиғалар системасын құруға болады.
Мысалы, -ны табу керек және болса, онда
(2.6)
теңдігін пайдаланған тиімді.
Енді тәуелсіз сынақтар тізбегінің полиномдық жүйесін қарастыралық.
Мұнда әрбір сынақтың толық топ құрайтын, пайда болу ықтималдықтары
топтамада өзгермейтін нәтижесі- оқиғалары болады. Құрама
нәтиженің- n сынақта оқиғасы рет пайда болуының ықтималдығы
(2.7)
Бұл Бернулли формуласының жалпыланған түрі; болғанда полиномдық
үлестірілудің ықтималдығы (2.7) биномдық үлестірілу ықтималдығына (2.1)
айналады.
4-дәріс.
§2 Лапластың локальдық теоремасы.
Биномдық үлестірілудің асимптоталық формулалары.
Сынақтардың саны n өскен сайын Бернулли формуласын қолдануда
есептеу қиындықтары арта түседі. Сондықтан француз ғалымдары: 1730 жылы
Муавр жағдайы үшін, кейін Лаплас кез келген үшін (2.1)—дің
орнына
σ (2.8)
жуық формуласын қолдануға болатынын дәлелдеді. Мұнда ықтималдығы
аргументтің x, демек, тәуелсіз сынақтар топтамасындағы табыс санының m
жеке (локальдық-жергілікті) мәні үшін ғана анықталады. Анықталу дәлдігі
өскен сайын арта түседі. Сондықтан (2.8) математикалық әдебиетте
биномдық үлестірілудің асимптоталық формуласы, ал оның мазмұны Муавр-
Лапластың локальдық теоремасы деген атпен белгілі. Мұндағы өрнегі
ықтималдық функциясы деп аталып, арқылы белгіленеді. Оның графигін
ықтималдық қисығы дейміз. Қолдануды жеңілдету үшін
(2.9)
функциясы мәндерінің кестесі түзілген. Кестенің не графиктің көмегімен
(2.10)
ықтималдығын жуықтап табуға болады.
Ықтималдық функциясын аналитикалық әдістермен зерттеп, оның
қасиеттерін анықтап, ықтималдық қисығын тұрғызуға болады.
1.
Функция бүкіл сандық осьте анықталған: , жұп:, оң таңбалы:
. Графигі жоғарғы жарты жазықтықта жатыр, ордината осіне қарағанда
симметриялы (7-сурет).
. 7-сурет
2.
Ықтималдық қисығы абсцисса осімен қиылыспайды, бұл ось қисығының
жатық асимптотасы:
.
3.
Функцияның жалғыз ғана: сынақ нүктесі бар. Ол арқылы өткенде туынды
таңбасын + тен - ке өзгертеді. Демек, координаталардың бас нүктесінде
функцияның максимумы бар:
4.
Екінші туынды
болғанда ғана нөлге айналады және бұл нүктелер арқылы өткенде
таңбасын өзгертеді. Ендеше, олар ықтималдық қисығының кері иілу
нүктелері:
Неғұрлым σ саны үлкен болса, Лапластың асимптоталық формуласы
ықтималдығын солғұрлым дәлірек анықтайды. Ол үшін сынақтардың саны n үлкен
болуымен қатар шамасы да өзінің мейлінше үлкен мәнін қабылдауы керек.
Ал, және болғандықтан және болғанда ғана орын
алады. Сондықтан (2.10)-ды қолдану болғанда ғана тиімді деп саналады.
Жеке сынақтарда табыс ықтималдығы p құнарсыз аз болса, A сирек
оқиғалар қатарына жатқызылады. Егер q нөлге таяу болса, -ны сирек
кездесетін оқиға деп санаймыз. Сирек оқиғалардың қайталанба тәуелсіз n
сынақта m рет пайда болуының ықтималдығын табу үшін Пуассонның асимптоталық
формуласы деп аталатын
(2.11)
теңдігін пайдаланған тиімді. Оның дәлдігі болғанда айырықша
байқалады (3-есеп). Пуассонның үлестірілуі үшін интервалдық ықтималдық
(2.12)
3-есеп. Вагон құрылысы заводының құрастыру цехына түскен 1000 доңғалақтар
қосағының төртеуінің ақауы бар. Тәуекел алынған 50 қосақтың ішінде
жарамсызы жоқ болуының ықтималдығын табыңыз.
Шешу. Шарт бойынша Есептеуге ыңғайлы болу үшін деп алалық.
Формулалар бойынша:
1)Бернуллидің (2.1)
;
2) Лапластың (2.10)
1-кестеден ; салыстырмалы қате ;
Пуассонның (2.11): , , салыстырмалы қате 0,5%.
Сонымен, жеке сынақта пайда болу ықтималдығы өте аз сирек
оқиғасы үшін Пуассонның асимптоталық формуласы Лапласстың аттас
формуласымен салыстырғанда жуықтығы ең тәуір (дәлдігі жоғары) нәтиже
береді.
§3 Лапластың интегралдық теоремасы.
Пуассон және Лаплас интегралдары.
Интервалдық ықтималдықтарды (2.5) табуда есептеу қиындықтары арта
түседі. Ол қиындықтарды азайтып, іздеп отырған ықтималдықтарды берілген
дәлдікпен табу үшін Лапластың интегралдық теоремасы деп аталатын төмендегі
дәйектемені қолдануға болады.
Теорема. Үлкен топтамадағы n тәуелсіз сынақтың әрқайсысында табыс
ықтималдығы P өзгермейтін болса,
;
мұнда
Лаплас теоремасының толық дәлелдеуі ықтималдықтар теориясының қысқаша
курстарында келтіріле бермейді. Бірақ, (2.5)-ке (2.10) өрнектерін қойсақ,
интегралдық қосынды шығатынын, ал ол -да шекке көшкеннен кейін
анықталған интегралға айналатынын айта кетсек артық болмайды. Анықталған
интегралдың геометриялық мағынасы бойынша табыс санының m аралығында
жатуының немесе болуының ықтималдығы табаны болатын, жоғарыдан
ықтималдық қисығымен шектелген қисықсызықты трапецияның ауданына тең:
.
Ықтималдық қисығының “астындағы” барлық аудан бірге тең. Шынында да,
болғанда ; ал десек, . Өйткені сынақтар топтамасы үшін p
мен q өзгермейтін сандар. Ендеше
(2.13)
Ықтималдық қисығы ордината осіне қарағанда симметриялы болғандықтан
. (2.14)
Меншіксіз интегралда (2.13)
алмастыруын жасасақ,
.
(2.15)
Теңдіктің сол жағындағы Пуассон интегралы деп аталатын өрнек алынбайтын
интегралдар қатарына жатады. Бірақ, теңдіктің дұрыстығы ықтималдықтар
теориясы заңдарының көмегімен дәлелденген.
Жоғары шегі айнымалы, ықтималдық функциясынан кесіндісі бойынша
алынған анықталған интеграл
(2.16)
бүкіл сандық осьте функциясының алғашқы бейне функциясы болады. Ол
Лаплас интегралы немесе ықтималдық интегралы деп аталады. Оның мәндерінің
де кестесі жасалған. Негізгі қасиеттерін атап өтелік:
1)
жұп функциядан алынған интеграл болғандықтан функциясы тақ: ,
демек, , графигі координаталардың бас нүктесіне қарағанда симметриялы
(8-сурет);
.
8-сурет
2)
функциясы аралығында өспелі және (2.14)-тің салдарынан
, яғни , түзулері қисығының жатық асимптоталары
болады (8-сурет).
3)
интегралдық теоремадан болғандықтан жеткілікті үлкен n үшін
, (2.17)
Енді аралығы нүктесіне қарағанда, демек,
кесіндісі координаталардың бас нүктесіне қарағанда симметриялы болсын (9-
сурет).
Сонда десек,
теңсіздіктері тең ықтималды болады да, (2.17)-нің салдарынан
,
немесе
(2.18)
9-сурет
Жақша ішіндегі теңсіздік тәуелсіз n сынақта A оқиғасының пайда болу
жиілігінің оның жеке сынақта пайда болу ықтималдығынан абсолют ауытқуын
бағалауға мүмкіндік береді. Егер бұл ауытқудың жоғарғы шегі
берілген болса, онда деп, α-ны табамыз және
(2.19)
4- есеп. Автотіркеуіш орта есеппен барлық жағдайдың 5%- інде істемей
қалады. Пойызды құрастырғанда 400 жағдайдың 349-дан артығында
автотіркеуіш істеді деп сеніммен айтуға болама?
Шешу: p=0,95 , q=0,05 ?
. Жауап: иә болады.
5- дәріс.
3- тарау. Кездейсоқ шамалар.
§1. Дискретті кездейсоқ шамалар.
Мәндері кездейсоқ эксперименттің нәтижелерінен тәуелді айнымалыны
кездейсоқ шама дейміз. Олар дискретті типтегі кездейсоқ шамалар (қысқаша
ДТКШ) және үзіксіз типті кездейсоқ шамалар (ҮТКШ) болып бөлінеді. Кездейсоқ
шамалар грек алфавитінің әріптерімен: ξ,η,ζ,... және, көбіне, латын
алфавитінің бас әріптерімен: Χ,Υ,Ζ,...белгіленеді. Соңғылардың қабылдайтын
мәндері сәйкес кіші әріптермен :x,y,z,... белгіленеді.
Айнымалының мүмкін мәндері жиыны шекті (i=1,...,k) немесе
санамалы (i=1,...,k,...) болса, ол ДТКШ (дискретті кездейсоқ шама ) болады. Ол
мәндердің қабылдану ықтималдықтары . Соңғы теңдік нормалау шарты
деп аталады, оған барлық мүмкін мәндердің ықтималдықтары енеді. Екі жиын
да: және белгілі болған жағдайда ғана ДТКШ берілген болып
саналады. Әдетте ол жиындардың элементтері дискретті кездейсоқ шаманың
үлестірілу заңы деп аталатын кестеге
... ...
... ...
орналастырылады. Әрбір немесе түріндегі қатынас кездейсоқ
оқиға ретінде қарастырылады. Кездейсоқ Χ шамасымен байланысты
интервалдық оқиғаларын сипаттау үшін олардың біреуінің ғана, мысалы,
соңғысының ықтималдығы берілсе болды.
Заттық айнымалы функциясы
, (3.1)
Χ кездейсоқ шамасының үлестірілу заңы немесе үлестірілу функциясы деп
аталады. ДТКШ үшін ол жинақталған ықтималдықтар функциясы
(3.2)
болады. Мұнда қосынды i индексінің теңсіздігін қанағаттандыратын
барлық мәндерін қамтиды. Дискретті кездейсоқ шаманың үлестірілу функциясы
ықтималдығы бар x нүктесінде (функцияның I-текті үзіктік нүктесі)
сол ықтималдыққа тең шамаға секіреді, өйткені
. (3.3)
Оқиға ықтималдығы болғандықтан үлестірілу функциясының төмендегідей
қасиеттері бар:
1)
2) . Өйткені сәйкес мүмкін
емес және ақиқат оқиғалар;
3) барлық сандық осьте кемімейтін функция;
4) кез-келген нүктесінде сол жағынан үзіксіз
функция:
.
Интервал (10-сурет) болғандықтан ықтималдықтарды қосу теоремасы
бойынша (3.4)
10-сурет
Бұл теңдік кездейсоқ шаманың кез келген аралыққа түсу ықтималдығын
анықтайды.
Дискретті кездейсоқ шаманың үлестірілу функциясы үзіктік
нүктелері бар үзбе-тұрақты болғандықтан оның графигі абсцисса осіне
параллель түзу кесінділерінен тұратын баспалдақ сызық (11-сурет) болады.
11-сурет
ДТКШ –ның үлестірілу заңы кесте түрінде берілсе, жазықтықта
нүктелерін тұрғызып, оларды түзу кесінділерімен қосып, X
шамасы үлестірілуінің көпбұрышын алуға болады. Мұны қайталанба тәуелсіз
сынақтардағы табыс саны m=X дискретті кездейсоқ шама болғандықтан деп
түсіну қажет.
Дискретті үлестірілудің негізгі мысалдары:
1) биномдық үлестірілу :
, 0p1, m=0,1,2,...,n; (3.5)
2) Пуассон үлестірілуі :
(3.6)
3) Паскаль үлестірілуі
, (3.7)
4) геометриялық үлестірілу
, (3.8).
§2. Үзіксіз кездейсоқ шамалар.
Сандық осьтің қандай да болмасын шекті не шексіз аралығында жатқан
барлық мәндерді қабылдай алатын X айнымалысын үзіксіз кездейсоқ шама
дейміз. ҮТКШ-ның мәндер жиыны заттық айнымалының белгілі бір функциясының
өзгеру аймағын құрайды. Мысалы:1) темір жол төсегінің (топырақ үйіндісінің)
ені оның табанынан алыстаған сайын биіктіктің функциясы l(h) ретінде
кеми түседі; 2) массасы m пойыз v жылдамдықпен қисықтық радиусы R доғаның
бойымен қозғалғанда центрден тепкіш инерция күшінің сыртқы рельске
қысымы;
3) солтүстік жарты шарда меридиан бойымен келе жатқан пойыз үшін
кориолистік инерция күшінің
оң жақ рельске қысымы. Соңғы екеуі жылдамдықтың функциялары
Мұнда да сек жердің сөткелік айналуының бұрыштық жылдамдығы.
Үлестірілу функциясы (3.1) X шамасының мәндер жиынында бірсарынды
өспелі (ықтималдықтар жинақтала түседі) болады. Оны үзіксіз кездейсоқ шама
үлестірілуінің интегралдық функциясы дейміз. ҮТКШ үшін жеке нүктеге дәл
түсу ықтималдығы нөлге тең, өйткені іс жүзінде мүмкін
емес оқиға. Шынында да,
.
Сондықтан .
Үзіксіз кездейсоқ шаманың интервалына түсу ықтималдығы
(3.4)
Кесіндінің бір өлшеміне келетін ықтималдық, яғни қатынасы X
кездейсоқ шамасы ықтималдығының кесіндісінде үлестірілуінің орташа
тығыздығы деп аталады. Оның -да шегі бар болса, ол шек кездейсоқ
шама ықтималдығы үлестірілуінің x нүктесіндегі тығыздығын анықтайды.
Нүктедегі тығыздық x айнымалысының X кездейсоқ шамасының мәндері жиынында
үзіксіз, теріс емес функциясы болады, көбіне p(x) немесе φ(x) арқылы
белгіленеді. Функция туындысының анықтамасы бойынша
(3.9)
Сондықтан φ(x) үзіксіз кездейсоқ шама үлестірілуінің дифференциалдық
функциясы немесе дифференциалдық заңы деп аталады. Оның X-тің мәндері
интервалындағы алғашқы бейне функциясы ды
(3.10)
түрінде жазуға болады. Бұл тұжырым үзіксіз кездейсоқ шама анықтамасына пара-
пар.
Интегралдардың қасиеті бойынша
болғандықтан (3.4)
(3.11)
түріне енеді. Интегралдық функциясының екінші қасиетіне негізделген
(3.12)
теңдігі ықтималдықтарды нормалау шарты болып табылады.
§3. Үзіксіз үлестірілулердің негізгі түрлері.
Бірқалыпты үлестірілу. Ықтималдығының
кесіндісінде үлестірілу тығыздығы тұрақты: кездейсоқ шаманы
сол кесіндіде бірқалыпты үлестірілген дейміз. (3.12)-ден
екенін көреміз. Сондықтан
(3.13)
деп жаза аламыз. Мұндай үлестірілудің интегралдық функциясы
(3.14)
Бұл функциялардың графиктері түзу сызықтар
(12-сурет); оның мәндері бірден артық болуы да мүмкін.
12-сурет
Қалыпты (нормалы) үлестірілу. Ықтималдықтарының үлестірілу
тығыздығы
(3.15)
болатын үзіксіз кездейсоқ шама қалыпты (гаусстік) заң, қысқаша,
және параметрлері бар заңы бойынша үлестірілген
делінеді. Үлестірілудің заңына бағынатын X шамасын
стандартталған қалыпты (гаусстік) шама дейді. Оның үлестірілуінің
интегралдық функциясы
(3.16)
Лаплас функциясы деп аталады. Оның көмегімен қалыпты
үлестірілуі үшін де интервалдық ықтималдықтарды табуға болады:
(3.17)
Интегралдардың қасиеттері бойынша
Енді (2.14)-ті пайдаланып, Лапластың функциясы мен интегралының (2.16)
арасындағы байланысты табуға болады:
(3.18)
Бұдан қалыпты кездейсоқ шама үшін (3.11) және (3.4) формулалары
(2.17)-мен тең мағыналы екенін көреміз. Соңғы теңдіктерді бір-бірінен
мүшелеп алып және өзара қоссақ
(3.19)
Бұлардың алғашқысы кездейсоқ шама мәндерінің координаталардың бас нүктесіне
қарағанда симметриялы аралықта жатуының ықтималдығын табуға мүмкіндік
берсе, екіншісі және оқиғаларының қарама-қарсы екенін
сипаттайды.
Теңсіздіктер және тең ықтималдықты
болғандықтан (3.17)-ден X-тің -ға қарағанда симметриялы
интервалына түсу ықтималдығы
(3.20)
немесе
(3.21)
Стандартталған қалыпты шама ықтималдықтарының үлестірілу
тығыздығы (2.9) функциясымен, оның графигі ықтималдық қисығымен
бірдей. Егер болса, онда түзуі қисығының
симметрия осі болады. Яғни ықтималдық қисығы абсцисса осінің бойымен
болғанда оңға, ал болғанда солға қашықтыққа параллель
көшіріледі; . Лаплас функциясының үлестірілудің интегралдық
қисығы деп аталатын графигін тұрғызу үшін қисығын жоғары
қарай қашықтыққа параллель көшіру (13-сурет) керек;
болғанда қисығы да абсцисса осі бойымен ығысады. Интегралдық қисық
тұрғызылған болса, X кездейсоқ шамасының берілген
аралығына түсу ықтималдығы (3.11) сол қисық ординатасының
-ге сай өсімшесі ретінде анықталады.
13-сурет
Көрсеткіштік (экспоненциалдық) үлестірілу.
Бұл атау және белгілеуі ықтималдықтар тығыздығы
(3.22)
болатын үзіксіз кездейсоқ шаманың үлестірілу заңына беріледі. Мұндай шама
үшін Лапластың функциясы (3.10) мен интегралының (2.16) бір-бірінен
айырмашылығы жоқ:
(3.23) және
функцияларының графиктері негізінен оң жақ жарты жазықтықта
орналасады (14-сурет).
14-сурет
Коши үлестірілуі
(3.24)
(3.25)
функцияларымен сипатталады. Олардың графиктері 7- және 13-суреттерде
келтірілген қисықтарға ұқсас. Біріншісі ордината осіне қарағанда
симметриялы, өйткені функциясы жұп;
6-дәріс.
Кездейсоқ шамалардың сандық сипаттамалары
§4. Орын сипаттамалары
Кездейсоқ шаманы сипаттауда оның үлестірілудегі орташа мәні
немесе математикалық тосындысы (МТ) деп аталатын санының орны
айырықша. Ол және деп те белгіленеді.
Дискретті кездейсоқ шаманың МТ-сы оның барлық мүмкін мәндері мен
олардың қабылдану ықтималдықтарының көбейтінділерінің қосындысына тең. Егер
ДТКШ-ның үлестірілу заңы кесте түрінде берілсе, онда
(3.26)
Шаманың мәндер жиыны шекті болса,
Санамалы жиын үшін (3.26) сандық қатар болады. Бұл қатар абсолют жинақты
болса, . Қарсы жағдайда, яғни
(3.27)
қатары жинақсыз болса, онда кездейсоқ шамасының МТ-сы жоқ дейміз.
Ал,(3.26) шартты жинақты ((3.27) жинақсыз) болса, ол жинақтылық (3.26)-те
таңбалары әр түрлі қосылғыштардың өзара жойылуының салдары болып,
қосылғыштардың өздерінің абсолют шамалары мейілінше үлкен болуы мүмкін.
Мұндай жағдайда МТ кездейсоқ шаманың қасиеттерін сайма-сай өрнектей бере
алмайды.
Меншіксіз
(3.28)
интегралы абсолют жинақты болса, ол ықтималдықтарының үлестірілу тығыздығы
болатын үзіксіз кездейсоқ шамасының МТ-сын анықтайды. Ал,
интегралы жинақсыз болса, шамасының МТ-сы жоқ болғаны. Кездейсоқ
шама мәндерінің аймағы шекті аралық болса, (3.28) анықталған интегралға
айналады. МТ-сы нөлге тең кездейсоқ шамасын центрленген деп атап,
арқылы белгілейміз.
Бірі қандай да болмасын мән қабылдағанда екіншісінің үлестірілу заңы
өзгермейтін кездейсоқ шамаларды өзара тәуелсіз дейді.
Кездейсоқ шамалар МТ-сының қасиеттерін атап өтелік.
1. Тұрақты (кездейсоқ емес) шаманың МТ-сы тұрақтының өзіне тең:
Шынында да, шамасының ықтималдықпен қабылдайтын бір ғана мәні
бар ( ол мәнді қабылдауы ақиқат оқиға) және.
2. Саны шекті кездейсоқ шамалардың қосындысының МТ-сы олардың МТ-
ларының қосындысына тең:
(3.29)
3. Тәуелсіз екі кездейсоқ шаманың көбейтіндісінің МТ-сы олардың МТ-
ларының көбейтіндісіне тең:
(3.30)
Бұл қасиет жиынтығында тәуелсіз көбейткіштердің кез келген шекті саны үшін
де орындалады. Дискретті кездейсоқ шамалар үшін соңғы екі қасиет
ықтималдықтарды қосу және көбейту теоремаларының көмегімен оңай
дәлелденеді.
4. Тұрақты көбейткішті МТ белгісінің сыртына шығаруға болады; (3.30)-
да, мысалы, десек,
(3.31)
Дискретті кездейсоқ шаманың қабылдану ықтималдығы ең үлкен (ең
ықтимал) мәні оның модасы (сәні) деп аталады. Сонымен,
Үзіксіз кездейсоқ шама үшін мода ықтималдықтарының үлестірілу тығыздығының
максимум нүктесі ретінде анықталады:
Егер көп мәнді болса, онда үлестірілуді мультимодалы дейміз.
Кездейсоқ шаманың
шартына қанағаттандыратын мәні немесе
(3.32)
теңдеуінің нақты түбірі -тің медианасы деп аталады. Жалпы жағдайда
(3.32)-нің түбірі жалғыз болуы міндетті болмағандықтан медиана бір мәнді
анықтала бермейді.
МТ, мода және медиана кездейсоқ шаманың орын сипаттамаларына жатады.
Кездейсоқ шама мәндерінің оның үлестірілудегі орташа мәнінен ауытқуларын
бағалаудың да пайдасы мол. Мұндай зерттеулерде шашырандылық сипаттамалары
деп аталатын сандардың маңызы зор. Оларға кездейсоқ шаманың дисперсиясы,
орташа ауытқуы және орташа квадраттық ауытқуы, т.с.с. жатады.
§5. Шашырандылық сипаттамалары
Әр түрлі өлшеулер мен байқауларға байланысты кездейсоқ эксперименттің
нәтижелерін кездейсоқ шаманың мәндері ретінде қарауға болады. Егер
ауытқулары елемеуге болатындай аз болса, тәжірибені сәтті деп
санаймыз. Айырым өз кезегінде кіндіктелген ДТКШ болады, өйткені МТ-
ның қасиеттері бойынша
Сондықтан шамасы мәндерінің оның үлестірілудегі орташа мәніне
қарағанда шашырандылығын сипаттай алмайды; кіндіктелген болуы
қарама-қарсы таңбалы ауытқулардың өзара жойылуларының салдары болып,
ауытқулардың өздері өрескел (шектен тыс) мәндер қабылдаулары мүмкін.
Таңбалар әсерінен құтылу үшін кездейсоқ шамасы қарастырылады. Оның
МТ-сы
(3.33)
кездейсоқ шамасының орташа ауытқуы деп аталады;
(3.33)-те теңдік тек болғанда ғана орын алады. Көптеген
зерттеулерде ауытқулар таңбаларының әсерін жою үшін орнына
кездейсоқ шамасын қараған тиімді.
Кездейсоқ шаманың оның үлестірілуіндегі орташа мәнінен
ауытқуы квадратының МТ-сын сол шаманың дисперсиясы деп атап, арқылы
белгілейміз. Олай болса,
(3.34)
Жақшаларды ашып, МТ-ның қасиеттерін пайдалансақ,
(3.35)
Бұдан тек сипаттамасына ие кездейсоқ шамаларының ғана
дисперсиясы бар және ылғи
(3.36)
шарты орындалады дей аламыз.
Анықтама бойынша дискретті және ықтималдықтарының үлестірілу тығыздығы
болатын үзіксіз кездейсоқ шамалар үшін сәйкес:
(3.37)
Мәндер жиыны санамалы ДТКШ-ның дисперсиясы мүшелері оң сандық
қатармен өрнектеледі. Бұл қатар немесе ҮТКШ үшін (3.37)-дегі меншіксіз
интеграл жинақсыз болса, шамасының дисперсиясы жоқ болғаны.
Кездейсоқ шама дисперсиясының төмендегідей негізгі қасиеттері бар.
1. Тұрақты шама дисперсиясы нөлге тең (тұрақтының мәні ауытқымайды):
2. Жиынтығында тәуелсіз кездейсоқ шамалардың қосындысының
дисперсиясы олардың дисперсияларының қосындысына тең:
(3.38)
3. Тұрақты көбейткіш дисперсия белгісінің сыртына екінші дәрежеде
шығады:
(3.39)
Бұған (3.35) –те -тің орнына -ті қойып, -ның сәйкес қасиетін
ескеру арқылы көз жеткізуге болады.
Теріс емес саны кездейсоқ шамасының орташа квадраттық
ауытқуы деп аталады. Ол мен бірге кездейсоқ шаманың үлестірілудегі өз
орташа мәнінен ауытқуының ықтималдық сипаттамасы болады; (3.36) теңсіздігі
кез келген кездейсоқ шама үшін орындалатын болғандықтан онда -ті
на алмастырып,
деп жаза аламыз. Бұдан кез келген кездейсоқ шаманың орташа квадраттық
ауытқуы оның орташа ауытқуынан аз емес:
деп қорытуға болады. Сондықтан ны шектеуші шарттар кездейсоқ шаманың
орташа ауытқуы үшін де орындалады. Практикалық есептеулерде абсолют
шамаларға амалдар қолдану елеулі қиындықтарға соқтыратын болғандықтан кейде
стандарттық ауытқу деп аталатын шамасы көбірек қолданылады. Ол
кездейсоқ шаманың өзімен өлшемдес және шашырандылықтың белгілі бір
стандартты, -ға қарағанда симметриялы орташа квадраттық интервалын
анықтайды. Сандық сипаттамалары: кездейсоқ шаманы стандартталған
дейді.
§6. Классикалық үлестірілулердің сандық сипаттамалары.
1. Дискретті үлестірулер. Қайталама тәуелсіз
сынақтың әрқайсысында мүддедегі оқиғаның іске асу санын екі
ғана: 1(ұтыс) және 0 (ұтылыс) мәні бар ДТКШ деп қарауға болады;
және кездейсоқ шамаларының үлестірілу заңдары ( кестелері)
бірдей:
1 0
1 0
[pic
]
[pic
]
Барлық сынақтағы табыс саны жиынтығында
тәуелсіз кездейсоқ шамаларының қосындысы: болады.
Бұл кездейсоқ шамалардың сандық сипаттамалары:
(3.40)
Бұл нәтижелерге Ньютон биномына байланысты формулаларды
пайдаланып та келуге болады; (3.5) үшін:
Сирек оқиғалар заңы ретінде параметрі (3.6) Пуассон
үлестірілуін шарты орындалған жағдайда биномдық
үлестірілуінен шекке көшу арқылы алуға болады. МТ мен
дисперсияның өзара тең болуы: Пуассон үлестірілуіне тән
ерекшелік.
Параметрі (жеке сынақтағы табыс ықтималдығы) геометриялық
үлестірілуде тәуелсіз сынақтар алғашқы табысқа дейін (қоса алғанда)
рет қайталанады деп санаймыз. Бұл оқиғаның ықтималдығы (3.8)
еселігі болатын геометриялық прогрессияның (үлестірілудің
атауы да осыған байланысты) жалпы мүшесі. Ол өскен
сайын кемиді. Демек, яғни үлестірілудің сәні
Үлестірілудің басқа сандық сипаттамалары:
Параметрі Паскаль үлестірілуінің (3.7) сандық сипаттамаларын
табу үшін белгілеуін енгізсек,
Үлестірілу сәні , өйткені
2. Үзіксіз үлестірулер. Үзіксіз кездейсоқ шамалардың сандық
сипаттамаларын табу үшін (3.28,35,37) формулалары қолданылады.
Бірқалыпты үлестірілу үшін МТ мен медиана өзара тең:
Қалыпты үлестірудің параметрлері ықтималдықтар тығыздығы
(3.15) күйіндегі кездейсоқ шаманың сандық сипаттамалары болады;
функциясының бір ғана максимум нүктесі бар, ықтималдық қисығы
түзуіне қарағанда симметриялы. Олай болса, мода мен медиана
тең:
Параметрі көрсеткіштік заңына (3.22) бағынатын
кездейсоқ шамалардың сандық сипаттамаларын табу үшін төмендегі
меншіксіз интегралдарға бөлектеп интегралдау әдісі қолданылады
Бастапқы мәні болғандықтан (14-сурет) функциясы оң
жақ жарты осьте кемімелі. Ендеше, үлестірілу сәні , ал
(3.22)-де параметрді деп алсақ, онда болар еді.
Коши үлестіруінде (3.24) заңындағындай . Бірақ,
меншіксіз интегралы жинақсыз болғандықтан сәйкес кездейсоқ
шаманың МТ да, демек, дисперсиясы да жоқ.
7- дәріс
4- тарау. Үлкен сандар заңы және ықтималдықтар теориясының шекті
теоремалары
§1. Чебышев және Марков теңсіздіктері.
Шекті МТ-сы бар кездейсоқ шама және саны үшін
Чебышевтың бірінші теңсіздігі деп аталатын
(4.1)
қатынасы орындалады.
Бұл теңсіздіктерді Марков мәндері оң сандар болуы міндетті емес,
бірақ 1-абсолюттік момент деп аталатын сандық сипаттамасы бар
кездейсоқ шамалар үшін жалпылап,
(4.2)
теңсіздіктерін дәлелдеді.
Кездейсоқ шамалардың сандық сипаттамаларының қатарына олардың
ретті бастапқы және орталық моменттері деп аталатын
(4.3)
заттық сандары да (егер олар бар болса) жатады. Дискретті және
үзіксіз кездейсоқ шамалар үшін бұл сипаттамалар сәйкес
(4.4)
(4.5)
формулалармен анықталады. Бұлардан нөлінші ретті моменттер
және олар ықтималдықтарды нормалау шарты (3.12) болатынын көреміз.
Әрі қарай: және (3.35)-тен Кезектегі жоғарғы ретті
орталық моменттер кездейсоқ шамалар үлестірілуінің сындарлы
сипаттамалары: 1) үлестірілудің ассиметриялық (танассыздық) немесе
қиғаштық коэффициентін , 2) үлестірілу эксцессінің
(шығандауының) немесе сүйіртөбелігінің коэффициентін
анықтайды.
Егер кездейсоқ шамасының 2-ретті моменттері және
бар болса, онда саны үшін
... жалғасы
Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.
Ұқсас жұмыстар
Пәндер
- Іс жүргізу
- Автоматтандыру, Техника
- Алғашқы әскери дайындық
- Астрономия
- Ауыл шаруашылығы
- Банк ісі
- Бизнесті бағалау
- Биология
- Бухгалтерлік іс
- Валеология
- Ветеринария
- География
- Геология, Геофизика, Геодезия
- Дін
- Ет, сүт, шарап өнімдері
- Жалпы тарих
- Жер кадастрі, Жылжымайтын мүлік
- Журналистика
- Информатика
- Кеден ісі
- Маркетинг
- Математика, Геометрия
- Медицина
- Мемлекеттік басқару
- Менеджмент
- Мұнай, Газ
- Мұрағат ісі
- Мәдениеттану
- ОБЖ (Основы безопасности жизнедеятельности)
- Педагогика
- Полиграфия
- Психология
- Салық
- Саясаттану
- Сақтандыру
- Сертификаттау, стандарттау
- Социология, Демография
- Спорт
- Статистика
- Тілтану, Филология
- Тарихи тұлғалар
- Тау-кен ісі
- Транспорт
- Туризм
- Физика
- Философия
- Халықаралық қатынастар
- Химия
- Экология, Қоршаған ортаны қорғау
- Экономика
- Экономикалық география
- Электротехника
- Қазақстан тарихы
- Қаржы
- Құрылыс
- Құқық, Криминалистика
- Әдебиет
- Өнер, музыка
- Өнеркәсіп, Өндіріс
Қазақ тілінде жазылған рефераттар, курстық жұмыстар, дипломдық жұмыстар бойынша біздің қор #1 болып табылады.
Ақпарат
Қосымша
Email: info@stud.kz