Ықтималдықтың классикалық анықтамасы

Пән: Математика, Геометрия
Жұмыс түрі: Материал
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 13 бет
Таңдаулыға:

Ықтималдықтың классикалық анықтамасы

Қандай да болмасын математикалық теория белгілі бір ұғымдар
негізінде құрылатын болғандықтан, біз ықтималдықтар теориясын құруда
ықтималықтың класикалық анықтамасына сүйенеміз. Келесі параграфтарда
ықтималдықтар теориясын бұдан да басқа анықтамалар бойынша құруға болатыны
айтылады.
Элементтер оқиғалар. Оқиғалар кеңестігі. Тәжірибеге (сынауға)
қойылатын негізгі шарт оның мүмкін болатын нәтижесін көрсете білуімізде
екені көрдік. Ал тәжірибе жүргізілгенде мүмкін болатын нәтижелердің тек
бірі ғана пайда болуын бұдан былай элементар оқиға дейміз де оны eі арқылы
белгілейміз. Элементар оқиғалар - әрі қарай жіктелмейтіноқиғалар. Ал сынау
нәтижесі тек бір ғана элементар оқиғамен көрсетіледі. Тәжірибенің барлық
мүмкін болатын нәтижелері жиынын элементар оқиғалар кеңестігі (ЭОҚ) дейміз.
Мұны {w} арқылы белгілейік. Элементар оқиғалар {w} жиынының әрбір ішкі
жиыны оқиға (құранды оқиға) деп аталады. Сөйтіп, оны А. В. С, ...
әріптерімен белгілейміз. Мысалы, кубты лақтырғанда барлық мүмкін нәтижелер
жиыны {w} = {e1, e2, e3, e4, e5, e6,} – элементар оқиғалар кеңестігі. Осы
{w} жиында анықталған оқиғаларды қарастырайық.
а) Нөмірлері 3-тен артық болмау А = {e1, e2, e3 } оқиғасын (жиынын)
құрайды, А {w}.
в) Тақ нөмірлі ұпайлар В = {e1, e2, e5 } оқиғасын құрайды, В
{w}.
Элементтар оқиғалар кеңестігінің геометриялық кескінін қандай да бір
кеңестік (түзу, жазықтық т.т.) десек, онда элементар оқиғалар осы
кеңестіктің нүктелері болады. Евклид геометриясын құрғанда нүкте және
түзу анықталмайтын бастапқы ұғымдар деп қарастырған тігі деп айтатынын
көрдік. Сонда {w} = {e1, e2, ..., en} кеңестігіндегі элементар оқиғалардың
жалпы санын n {w} арқылы белгілесек, әрбір элементар оқиғаның
мүмкіндігінің мөлшері, ықтималдығы, Р = 1 . Ал тең мүмкіндікті, үйлесімсіз
және оқиғалардың толық тобын я бірнешеуі бір А оқиғасының пайда болуын
тудыруы мүмкін, яғни екінші сөзбен айтқанда, А оқиғасы тең мүмкіндікті
бірнеше элементар оқиғалар бөлінеді және олардың кез келген біреуінің пайда
болуынан А оқиғасының пайда болуы шығатын болады. Мысалы, кубты бір рет
лақтырғанда оның кез келген тақ нөмірі e1, e2, e5 пайда болуынан А оқиғасы
пайда болсын. Былайша айтқанда, А оқиғасының пайда болуына қолайлы оқиғалар
дейміз. Бұлардың санын m{w} арқылы белгілейміз (m{w}=3).
1-мысал. Жәшікте 10 шар бар. Олардың 4-уі ақ, 6-уы қызыл шар.
Жәшіктегі шарларды араластырып жіберіп, қарамай тұрып, бір шарды алайық
(сынау жүргізу). Алынған шар ақ шар болып шығуының (А оқиғасы) сандық
мөлшерін (ықтималдығын) анықтау керек.
Шешуі. Әрбір шардың пайда болу мүмкіндігін бірдей, яғни бұлар тең
мүмкіндікті элементар оқиғалар. Қалаған бір элементар оқиғаның шығу
мүкіндігінің сандық мөлшері (ықтималыдығы) 1 -ге тең: m{w} = 10
10
Барлық тең мүмкіндікті 10 элементар оқиғалардың тек 4-уі ғана – А
оқиғасының пайда болуына қолайлы элементер оқиғалар. Бұлардың санын (олар
4) барлық элементтар оқиғалар санына (олар 10) қатынасы 4 осы
10
оқиғаның пайда болуының мүмкіндік дәрежесін көрсетеді. Мұны А оқиғасының
пайда болу ықтималдығы деп қабылдаймыз да Р(А) арқылы белгілейміз. Сонда
Р(А) = 1
10
Анықтама. А оқиғасына қолайлы элементар оқиғалар санының (m{w})
сынаудың тең мүмкіндікті барлық элементар оқиғалар санына (m{w}) қатынасын
А оқиғасының ықтималдығы деп атайды және былай жазады
Р(А) = m{w}
m{w}
Бұдан былай m= m{w}, n= n{w} деп белгілейміз, сонда

Р(А) = m (1)
n
Ықтималдықтың бұл анықтамасын классикалық анықтама немес Лаплас
моделі дейміз. Бұл айтылғандардан Лаплас моделі нәтижесі тең мүмкіндіктің
тәжірибелерді сипаттайды деп ұғамыз.
Енді Р(А) ықтималдығының қасиеттерін қарастырайық.
10. Р(А) ықтималдығы теріс емес функция, яғни Р(А) ≥ 0.
20. Р(А) ықтималдығы нормалданған функция, яғни Р(w)=1.
30. Қиылыспайтын (үйлесімсіз) А және В оқиғалары үшін Р(А+В)
ықтималдығы аддитивті функция, яғни Р(А+В)= Р(А) + Р(В).
Бұл үшінші қасиетті ықтималдықтарды қосу теоремасы немес
ықтималдықтарды қосу заңы депте атайды.
1-ші және 2-ші қасиеттер айқын көрініп тұр. Өйткені m ≥ 0 және n ≥ 0,
m ≤ 0 болса, Р(А) = P(V) = 0 (яғни мүмкін емес оқиға ықтималдығы), m=n
болса, Р(А) = Р(U) = 1 (яғни ақиқат оқиға ықтималдығы). Бұл екі қасиеттен 0
≤ Р (А) ≤ 1 болатыны айқын көрініп тұр, яғни ықтималдық мәні 0 мен 1
арасындағы оң таңбалы сан екен.
Келтірілген қасиеттер мүмкін емес (ақиқат) оқиға ықтималдығы нөлге
(бірге) тең болуын көрдік. Бұл анықтама үшін осы сөйлемнің кірісі де орын
алады, яғни оқиға ықтималдығы нөлге (бірге) тең болса, ондай оқиғаның пайда
болуы мүмкін емес (ақиқат). Ал ықтималдықтың басқа анықтамалары үшін бұл
кері сөйлемнің орын алмауын байқаймыз (1 § 3-ті қараңыз). Ықтималдықтың
классикалық анықтамасының бұл кемістігі сол параграфта жетілдіріледі.

Ықтималдықтың классикалық анықтамасы өз уақытында ықтималдықтар
теориясын құруға негіз болды. Біз мұны кездейсоқ оқиғалар заңдылығын
математикалық абстракциялаудың алғашқы қарапайым сатысы - моделі дейміз.
Ықтималдықтарды есептеу сынаудың, жалпы саны мен оқиғаның пайда болуына
қолайлы нәтижелер санын анықтауға тіреледі, бұл көп жағдайда үлкен
қиындықка ұшыратады. Оның үстіне, практикада кездесетін окиғалар күрделі
болып келеді де, олардың ықтималдығын табу үшін, ол оқиғаларды бірнеше
қарапайым оқиғалардың қосындысы не көбейтіндісі түрінде жазып, солардың
ықтималдықтары арқылы күрделі оқи-ға ықтималдығын анықтайды. Сондықтан да
қарастырып отырған оқиға ықтималдығын екінші ықтималдық арқылы табудың
маңызы өте-мөте зор. Ол үшін негізінен ықтималдықтарды қосу және көбейту
теоремаларын пайдаланады.
Енді ықтималдықтың классикалық анықтамасын пайдалана отырып, оларды
тікелей есептеуге бірнеше мысалдар келтірейік .Сонымен қатар тарихи мәні
бар кей бір мысалдарды қарастырып, ықтималдықтар теориясының бірден
қалыптаса қоймағанына көз жеткізейік.
Ықтималдықтарды тікелей есептеу мысалдары.
2 - м ы с а л. Жәшікте бірдей 20 шар бар. Оның 6-уы ақ шар, 4-уі көк шар,
10-ны қызыл шар. Жәшіктен кез келген бір шар алынады. Алынған шар: а) ақ
шар (А оқиғасы); ә) кызыл шар (В оқиғасы); б) көк шар (С оқиғасы) болу
ықтималдығын анықтау керек.
IIIешуі: а) Шарлардың үлкендігі және салмағы
бірдей болғандықтан, олардың шығу мүмкіндіктері де
бірдей. Элементар оқиғалар саны п = 20. А оқиғасына, (ақ шардың
шығуы) қолайлы элементар оқиғалар саны m = 6. Демек, оның ықтималды

Р(А) = m = 6 = 0.3
n 20

Қалғандарын да осылай анықтаймыз, сонда ә) Р(В) = 0,5; б) Р(С) =0,2.
3 - м ы с а л. Абай Құнанбаев тілінің сөздігінде әр түрлі 6000 сөз бар,
оның 2975-і тек бір реттен ғана қолданылған, 800-і тек екі реттен, 490-ы
тек үш реттен қолданылған. Қалғандары 4 және одан да көп рет қолданылған.
Ақын сөздігінен кез келген бір сөз алынды. Бұл сөз ақынның: а) тек бір
реттен; ә) тек екі реттен; б) тек үш реттен; в) 4 және одан көп рет
қолданылған сөздік қорына тиістілік ықтималдығын анықтау керек.

Шешуі.а) Барлық мүмкін элементар ориғалар саны 6000-ға тең. Әр сөздің де
алыну мүмкіндігі бірдей, өйткені әрбір сөзді жеке-жеке бірдей карточкаға
жазып, оларды араластырып, кез келген біреуін аламыз деп
карастыруға болады. Тек бір рет қолданылған сөздің алынуын А оқиғасы
десек, онда бұл оқиғаға колайлы жағдайлар саны 2975 болады. Олай болса,
іздеген ықтималдық
Р(А) = m = 2975 = 0,496
n 6000

Қалғандарын да осылай анықтау қиын емес, сонда: ә) 0,15; б)
0,082; в) 0,272.
4 - м ы с а л. Теңге екі рет лақтырылды. Кем дегенде бір рет герб
жағынық шығу ықтималдығын анықтау керек.
Шешуі. Есептің дүрыс шешілуі (әсіресе, ықтималдыққа тиісті есептерді)
есеп шартын талқылауға байланысты, бұл фактіні осы есептің шешуін талқылау
арқылы көрсетейік.
Бірінші тәсіл (Даламбер 1 талқылауы). Герб жағымен не бірінші, не
екінші лақтырғанда түседі не тіпті түспейді. Сонымен, барлық элементар
оқиғалар саны үшеу. Олардың ішінде А оқиғасының пайда болуына қолайлысы
— екеу. Демек, іздеген ықтималдык Р(А) =23. Екінші жолы: бірінші монетаны
бір рет лақтырғанда не герб жағынан, не тиын жағынан түсуі мүмкін. Қай
жағынан түссе де, бұл екінші рет лақтырғандағы монеканың герб (Г) не тиын
(Т) жағының түсуімен комбинацияланып келеді. Ақырында, төмендегі тең
мүмкіндікті тең 4 жағдай болады. Олар: ГТ ТГ
ГГ ТТ
= 3 = 0,75 не 75%
4

Р(А)
Мұнда Г — герб, Т — тиын. Есептің шартына қолайлы элементар оқиғалар
саны 3. Олай болса ыктималдығы

Сонымен, табылған екі ықтималдықтың кайсысы дұрыс. Соны анықтайық.
Даламбердің қателігі мынада болған: ГТ және ТГ оқиғаларын бір оқиға деп
алған. Шындығында бұлай болмайтыны екінші талқылаудан байқалады.
Сонымен, екінші шешудің дұрыстығын байқаймыз.
Ықтималдықтарды есептеуде комбинаторика формуласын пайдаланудың
қажеттігі туып отыр. Сондықтан комбинаторика ұғымын келтіріп, формулаларды
ықтмалдықтарды есептеуге пайдалануды қарастырайық.

Комбинатпорика элементптері
Комбинаторика ұғымы. Классикалық анықтамаға негізделген
ықтималдықтарды Р(А) =mn есептеу А оқиғасынын, пайда болуына қолайлы,
элементаір оқиғалар саны m-ды және барлық элементар оқиғалар саны п-ды
табуға келіп тіреледі. Ықтималдықтар теорнясында т мен n мәндері,
ілгеріде көрсетілгендей оп-оңай анықтала бермейді. Бұларды табу үшін
қайсыбір жиын элементтерін түрліше алу тәсілдерін қарастыруға тура келеді.
Мәселен, жәшіктегі әріптер жиыны a b c эленменттерінен құралған десек, онда
бұл жиыннан әріптерді: 1) бір-бірден 3 тәсілмен аламыз (a, b, c); 2) екі-
екіден 6 тәсілмен аламыз (ab, ba, ac, ca, bc, ca); 3) үш-үштен 6 тәсілмен
аламыз (abc, acb, bac, bca, cab).
Мұндағы алынған әріп тіркестерінің бір-бірінен айырмашылығы
элементтерінде, не элементтерінің орналасу ретінде болып отыр. Мұндай
тіркестер – жиын элементтерінің комбинациясы (қосылысы) болып, бірнеше
реттелген жиындар жасайды. Мысалы, көрсетілген үш элементті жиыннан
әрқайсысы екі элементтен 6 реттелген жиын алып отырмыз. Сондай-ақ 4
элементті {a b c} жиыннан әрбір екі элементтен тұратын 12 реттелген жиын
алуға болады және т.с.с. Сонымен, шешуі; нешеу, неше тәсілмен деген
сұрауларға жауап беруді қажет ететін есептер комбинаторлық есептер
делінеді. Мұндай есептерді шешумен айналысатын математика салысы
комбинаторика деп аталады.
Кейінгі жылдар комбинаториканың практикада кең қолданыс табуына
электрондық есептегіш техниканың дамуы шектеулі математика ролінің артуы,
ықтималдықтар теориясы мен математикалықстатистиканың практикалық
маңыызының күннен-күнге артуы негізгі себеп болып отыр.
Комбинаторниканы пайдаланып оқиға ықтималдығы анықтау таңдаманы
жиыннан алу тәсіліне байланысты. Мұны түсіндіруді мысалдан басатйық.
1-мысал. елімізде автомашиналардың серияларын анықтау ісімен мемлекет
автоинспекция шұғылданады. Олар екі, үш әріптен неше комбинация жасайтынын
білуі керек. бұл фактіні байланыс қызметкері де, кодылау мамандары да
білуге тиіс. Сонымен, орыс альфавитіндегі 32 әріптен үш әріптен құралатын
комбинацияны неше тәсілмен жасауға болады?
Шешуі: Бұл есепті шешу әріптері комбинациясына қойылатын талапқа
байланысты. Түсінікті болу үшін бұл әріптердің әрбіреуін формасы бірдей
жеке карточкаларға жазайық. Сөйтіп оларды топтастырайық, яғни бір колода
етейік. Сонда колодадағы карточкалар жиын болады. Әріптерді колодадан екі
түрлі жолмен таңдап алуға болады.
Бірінші тәсіл (қайталанбайтын таңдама). Бірінші алынатын әріп
колодадағы 32 әріптің бірі болады. Ал, екінші әріп колодада қалған 31
әріптен алынады. Сонда шығатын әр түрлі екі әріпті комбинациялар саны
32*31=992 болады. Бұл екі әріпті тіркестердің әрқайсысы үшінші алынатын
32*31*30 = 29760 тәсілімен алуға болады. Бұл жағдайда әрбір үш әріпті
тіркестегі әріптер әр түрлі болып кездеседі.
Екінші тәсіл (қайталанатын таңдама). Бірінші алынған әріп таңбасы
белгіленген соң, ол колодадағы 32 әріптің бірі болады. Олай болса, екі
әріпті тіркестерді 32*32=322=1024 тәсілмен алуға болады. Осы сияқты үш
әріпті тіркестер

32*32*32=323=32768

тәсілмен жасалды. Бұл жағдайда үш әріпті тіркестердің жасалуына ешқандайда
шек қойылмайды, яғни мұнда әрбір әріп бір тіркестердің ішінде екі рет, үш
рет қайтадланып келуі мүмкін.
Сонымен 32 әріптен үш-үштен алу таңдама ... жалғасы

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.