Математиканы оқытудың мақсаты міндеттері
Пән: Математика, Геометрия
Жұмыс түрі: Дипломдық жұмыс
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 91 бет
Таңдаулыға:
Жұмыс түрі: Дипломдық жұмыс
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 91 бет
Таңдаулыға:
1)Математикагны оқытудың мақсаты міндеттері. Матем-ы баст. оқытудың мазмұнын талдаңыз.
Бастауыш класстарда математика оқытудың мақсаттары, міндеттері мен мазмұны.
1. Бастауышда жұмыс істеуде орта мектепте математика оқытуда жоспарланған жалпы мәселелерді есепке алу және бұл мәселелерді шешудегі бастауыш білімнің рөлін дұрыс бағалай білу.
2. Орта мектеп математика жоспарына қатысты көптеген мәселелер бастауыштың өзінде тиісті дәрежеде берік үйретілуі керек, яғни олар оқушылар санасында өмір бойы сақталып қалатын болсын, ал кейбір мәселелер жоғары сыныпта толық түрде өтілуіне қарай, бастапқы ұғымдар, дайындық есебінде қаралады. Немесе біліктілік пен дағқыларды қалыптастыру процессінде пікірлеу қабілетін арттыру мақсатында қаралады.
Міндеттері
1. Оқушыларда саналы және берік (автомат түрде) есептеу біліктілігін қалыптастыру
2. Оқушыларға үйренген білім, дағды және біліктіліктерін әр түрлі жағдайларда қолдануға үйрету.
3. Оқушыларда қисынды (логикалық) пікірлеу қабілетін қалыптастыру.
4. Оқушыларға толық, нақты, қысқа да нұсқа математикалық сөйлеуді үйрету
5. Оқушыларды еңбекке баулу, сана тәртіптілігі, еңбекті нақтылай ұйымдастыру, пікірді бір орынға топтау және нақтылауға үйрету.
Математиканы оқытудың негізгі мақсаттары: білім беру, тәрбиелеу, тәжірибелік, дамытушылық болып табылады. 1. Математиканы оқытудың білім беру мақсаты: а) барлық оқушылар математикалық білімнің барлық жүйесін терең және саналы меңгеруін қамтамасыз ету; б) математикалық тілді меңгеруге үйрету; в) оқушыларды бізді қоршаған ақиқат болмысты танып білудің математикалық әдістерін игеруге жәрдемдесу; г) оқушыларды математикадан алған білім мен іскерліктерін оқуға және өз бетімен білім алу барысында белсенді түрде пайдалана білуге үйрету;11 д) оқушыларды ғылым негізімен таныстыру; е) оқушыларды математикалық сөйлеу және жазу мәдениетіне үйрету. 2. Математиканы оқытудың тәрбиелік мақсаты: а) математиканың қоғамдағы алатын орны туралы және оның қоғамның, техниканың, ғылымның басқа салаларының дамуына байланысты дамитыны туралы мағлұматтарды қалыптастыру; б) оқушылардың математикалық ойлауын дамыту, математикалық мәдениетке тәрбиелеу және оқушылардың математикаға деген тиянақтылығын қамтамасыз ету; в) оқушылардың дүниеге ғылыми көзқарасын қалыптастыру; г) оқушыларға адамгершілік пен эстетикалық тәрбие беру (еңбек сүйгіштік, патриоттық сезім, әдемілікті сезіну); д) математиканы оқыту үрдісінде оқушыларды саналы тәртіпке, белсенділікке, бастаған ісін аяғына дейін жеткізе білуге, жауапкершілікке т.б. адамгершілік қасиеттерге тәрбиелеу; е) оқушыларды математикалық құбылыстарды дұрыс талдауға бағыттау; ж) оқушылардың математика ғылымына, математик ғалымдарға сүйіспеншіліктерін тәрбиелеу.
Математиканы оқытудың тәжірибелік мақсаты: а) оқушыларды алған теориялық білімдерін практикада қолдана білуге, практикалық (экономикалық, қоршаған ортаға байланысты) есептерді шығаруға; б) математиканы физикаға, химияға, информатика, т.б. жаратылыстану пәндерінде қолдана білуге үйрету; в) математикалық құралдар мен аспаптарды пайдалануға баулу; г) оқушылардың өз бетінше білім алуына көмектесу (оқулықтар және ғылыми әдебиеттермен жұмыс). 4. Математиканы оқытудың дамытушылық мақсаты: а) оқушылардың математикада логикалық қабілеттерін дамыту; б) математикаға ықыласын, өз бетімен нәтижелі ойлау интеллектісін дамыту; в) математикалық есте сақтау және ізденушілік, шығармашылық қабілеттерін дамыту; г) математикалық объектілерді, қатынастарды, амалдарды тез және кеңінен қорытындылай білу қабілетіне баулу; д) сандық және кеңістік қатынастар сферасында логикалық ойлау қабілетін дамыту. Л.С. Выготский өз зерттеулерінде дамудың жақын теориясын ұсынды. Бала қандай да бір іс-әрекетті өз бетімен орындай алмайды 12 және ол әрекетті әуелі ересектердің жәрдемімен орындайды, содан соң барып өз бетінше орындай алады, өзекті даму деңгейіне көшеді. Қазіргі кезеңде жер бетінде білім берудің құндылығы қайта қаралып өзгеріп жатқан тұста, дамытуды тек ойлауды немесе жалпы психиканы дамыту деп қарау жеткіліксіз. Қазіргі кезде дамытуда оқушы тұлғасын біртұтас дамыту ретінде түсіну керек. Ол оқушылар үшін олардың қабілеттерін, қызығушылықтарын, бейімділіктерін жан- жақты және үйлесімділік дамыту, ол мәдениетті, жоғары адамгершілікті, белсенді шығармашылықты және әлеуметтік кемелденген тұлға қалыптастыруды бағамдайды
Математиканың бастауыш курсының мазмұны мен құрылысы
I-ІV кластарда оқылатын математиканың бастауыш курсы математиканың мектептік курсының табиғи бөлігі болып табылады. Демек, V-XІ кластарда өтілетін математика курсы бастауыш курстың жалғасы, ал бастауыш курс оның бастапқы негізі болып табылады. Осыған сәйкес математиканың бастауыш курсына теріс емес бүтін сандардың және негізгі шамалардың арифметикасы, алгебра мен геометрия элементтері енеді.
Математиканың бастауыш курсы құрылысының өзіндік ерекшеліктері бар.
Бірінші ерекшелігі. Курстың негізгі мазмұны арифметикалық материал болып табылады. Натурал сандар мен негізгі шамалар арифметикасы бастауыш курстың негізі болады. Сонымен бірге оған геометрия мен алгебралық пропедевтика элементтері енеді, бұлар мүмкіндігінше сан арифметикалық амалдар мен математикалық қатынастар жөніндегі ұғымдардың барынша жоғарғы дәрежеде игерілуіне көмектесе отырып, мүмкіндігінше арифметикалык білімдер жүйесіне енеді, яғни алгебра мен геометрия элементтері математика курсының ерекше жеке тарауы бола алмайды, арифметикалық материалмен табиғи байланыста болады.
Екінші ерекшелігі. Бастауыш курс материалы шоғырланған түрде беріледі. Ең алдымен ондық бөлшектеуге келмейтін алғашкы он санның нумерациясы оқылады, осы сандарды жазу үшін цифрлар енгізіледі, қосу және азайту амалдары үйреніледі. Сонан сон екінші ондық және 100 көлеміндегі сандардың нумерациясы қарастырылады, разряд ұғымы, ондық бөлшектеуге келетін сандарды жазудың позициялық принципі айқындалады, екі таңбалы сандарды қосу және азайту оқылады, жаңадан арифметикалық екі амал; бөлу және көбейту енгізіледі. Бұдан кейін 1000 көлеміндегі сандар нумерациясы үйреніледі. Мұнда көп таңбалы сандар нумерациясының негізін құрайтын үш разряд (бірліктер, ондықтар, жүздіктер) қарастырылады, арифметикалық амалдар жөніндегі білім жинақталып қорытылады, жазбаша қосу мен азайту әдістері енгізіледі. Ақырында, көп таңбалы сандар нумерациясы үйреніледі, класс ұғымы қарастырылады, цифрлардың 1-сурет орындық мәнінін принципі жөніндегі білетіндері жинақталып қорытылады, жазбаша есептеулер алгоритмі енгізіледі. Сонымен, курста бес концентр бөлініп алынған: ондық, екінші ондық жүздік, мың, көп таңбалы сандар. Нумерацияны және арифметикалық амалдарды қарастырумен бір мезгілде және тығыз байланыста басқа да мынадай мәселелер қарастырылады: шамалар, бөлшектер, алгебралық және геометриялық материал. Материалдың концентрлі орналасуы 1-суретте схема түрінде берілген.
Үшінші ерекшелігі. Теория мәселелері мен практикалық сипатты мәселелер бірімен-бірі табиғи байланыста болады. Теорияның көптеген мәселелері индуктивті түрде енгізіледі ал практикалық сипатты мәселелер соларға негізделіп айқындалады. Мысалы, көбейтудің үлестірімділік қасиеті дербес фактілерді жинақтап қорытындылау негізінде енгізіледі де осы қасиет пайдаланылып көбейту әдісі ашып көрсетіледі.
17*3= (10 + 7) 3=10*3+7*3 = 51.
Төртінші ерекшелігі. Математикалық ұғымдар, қасиеттер, зандылықтар курста бір-бірімен өзара байланыстырыла айқындалады. Бұл тек арифметикалык, алгебралық және геометриялық материалдар арасындағы байланыс қана емес, курстағы әр түрлі ұғымдар, қасиеттер, заңдылықтар арасындағы, ішкі байланыс деп аталатын, байланыстар. Мысалы, арифметикалық амалдарды оқып үйренуде олардың қасиеттері, олардың компонеттері мен нәтижелердің арасындағы тәуелділіктер айқындалады. Мұның өзі белгілі бір заңдылықтарға сүйенетін арифметикалық амалдар ұғымын тереңірек ашуға, балалардың функционалдық түсініктерін байыта түсуге мүмкіндік береді. Курс кұрылысының мұндай болуы оны тереңірек игеруді қамтамасыз етеді, өйткені оқушылар курстың жеке мәселелерін ғана емес, сондай-ақ олардың арасындағы байланыстарды да игеретін болады.
Бесінші ерекшелігі. Математика курсын оқып үйрену процесінде ондағы әрбір ұғым өзінше дамитындай болып құрылады. Мысалы арифметикалық амалдарды өткенде ең алдымен олардың нақтылы мағынасы айқындалады, сонан соң амалдардың қасиеттері амалдардың компонеттері мен нәтижелері арасындағы сондай-ақ амалдардың өздерінін арасындағы байланыстар мен тәуелділіктер айқындалып ашылады. Ұғымдарды енгізудің осы тәсілі төменгі класс оқушыларының жас ерекшеліктерінің мүмкіндігіне лайық болады, математикалық материалдың түсінікті болуын қамтамасыз етеді.
Алтыншы ерекшелігі. Ұқсас немесе өзара байланысты мәселелерді салыстыра отырып қарастырған орынды екенін тәжірибе көрсетіп отыр. Бұл жағдайда елеулі ұқсастығын және айырмашылығын бірден бөліп көрсетуге болады, мұның өзі оқушылардың ұқсас мәселелерді бір-бірімен шатастырып қателесуінен сақтандырады. Сондықтан программа курстын кейбір мәселелерін (мысалы қосу мен азайту амалдары бір мезгілде енгізіледі), сондай-ақ жаңа мәселелерді бұрын өтілген мәселелермен салыстыра отырып енгізу жағын қарастырады.
Бастауыш курстың құрылыс ерекшеліктері, міне осындай. Енді оның мазмұнын және ең басты ұғымдард ы айқындау ерекшеліктерін қарастырайық.
Арифметикалық материалға мыналар жатады: теріс емес бүтін сандар нумерациясы, сол сандарға қолданылатын арифметикалық амалдар және шамалар, оларды өлшеу жөнінде, бөлшектер жөнінде, атаулы сандар мен оларға қолданылатын амалдар жөнінде мағлұматтар. Осы материалды оқып үйрену оқушылардың математикалық ұғымдар жүйесін игеруіне, сондай-ақ берікте саналы дағдылар мен біліктерді меңгеруіне және білім алуына көмектесетін болуы тиіс.
Геометриялық материал негізінде қарапайым геометриялық фигуралармен таныстыру және оқушылардың кеңістік түсініктерін дамыту мақсатын көздейді. Сондықтан математиканың бастауыш курсына 1 кластан бастап геометриялық, фигуралар енгізіген: түзу, қисық және сынық сызықтар, нүкте, түзу кесіндісі, көпбұрыштар (үшбұрыштар; төртбұрыштар т. б.) және олардың элементтері (төбелері, қабырғалары, бұрыштары), тік бұрыш тік төртбұрыш (квадрат), шеңбер, дөңгелек, дөңгелектің центрі және радиусы оқушылар осы фигураларды айыра білулері оларды атай білулері және ең қарапайым салуларды клеткалы қағазға және жолсыз қағазға сызғышты, бұрыштықты және циркульды пайдаланып орындай білулері керек. Сонымен бірге, олар кесіндінін және сынықтын ұзындығын, көпбұрыштың, периметрін тік төртбұрыштын (квадраттың) ауданың таба білуді үйренулері тиіс. Математика курсы оқушылардың кеңістік түсініктерін қалыптастыруға бағытталған алуан түрлі геометриялық есептерді қарастырады. Геометрияның барлық мәселелері көрнекілікке сүйене отырып айқындалады.
Есептер- жаттығулар, олардың көмегімен ең алдымен математиканың бастауыш курсының көптеген мәселелері айқындалады. Мысалы, есеп шығару арқылы арифметикалық амалдардың нақтылы мағынасы, амалдардың қасиеттері, арифметикалық амалдардың компоненттері мен нәтижелерінің арасындағы байланыстар айқындалып ашыла түседі. т. б. Программаның Түсінік хатында былай делінген: Натурал сандар мен нольдің арифметикасын оқып үйрену тиімді есептер мен практикалық жұмыстар жүйесіне негізделеді. Мұнымыз әрбір жаңа ұғым әрқашан оны қолдануды талап ететін не оның мәнін анықтауға көмектесетін есептерді шығарумен байланысты келеді дегенді білдірмек Сонымен есеп дегеніміз математиканы оқытуды өмірмен байланыстыру құралы, математикалық білімдерді қол данудың ұғымдарды әр жақты ашып айқындай түсу үшін жеткілікті мөлшерде әр түрлі өмір жағдайларын қамтамасыз етуге мүмкіндік беретін сферасы болып табылады. Сонымен бірге, есеп шығару процесінде оқушылар практикалық біліктер мен өмірде өздеріне керекті дағдыларды игереді, пайдалы фактілермен танысады, өмірде жиі кездесетін шамалардың арасындағы байланыстар мен тәуелділіктерді тағайындауға үйренеді. Бастауыш курсқа арифметикалық және геометриялық мазмұнды құрылымы күрделі емес есептер қолданылады.
2)Математиканы оқытуда перспетивалық талдау және пәнаралық байланыс
Математиканы оқытудағы персипективтік және сабақтастық байланыс
Математиканы оқытудағы перспективтік және сабақтастық байланыс процесінде балалардың білім мен біліктерін, танымдық қабілеттерін дамыту үшін пәнаралық байланысты жүзеге асыру қажет. Бұл - ғылымның әр түрлі салаларының арасында айқын шекара жоқ екендігі және олардың бір - бірімен тығыз байланыста болатынытуралы түсініктерді, сондай - ақ дүниеге ғылыми көзқарасты қалыптастыруға табиғат құбылыстарының біртұтастығын өзара байланысын көрсетуге мүмкіндік туғызады. Сонда баланың бір сабақтан алған білімі, әсері, ойы, қиялы, басқа пәеге келгенде тежеліп қалмай, ары қарай жалғасып дами түсуі, яғни бір пәннен басқа пәедерге көшудің үздіксіздігі қамтамасыз етіледі. Математиканы оқыту процесінде белгілі бір пәнаралық байланыстар асырылады.
Математика мен қазақ тілінің арасындағы байланыс:
* грамматикалық және математикалық ережелердің пайдалануы;
* математикалық терминдер енгізу арқылы тіл байлығының арттырылуы;
* сөйлем құрастыру барысында модельдеудің пайдалануы;
* сөйлемдегі сөздер байланысының сызбаның көмегімен өрнектелуі;
* сөйлем құрау, ауызша және жазбаша сөйлеу тілінің дамытылуы;
* өлең жолдарындағы буын сандарының теңдігі;
* математикалық тілдің қалыптастырылуы.
Математика мен әдебиеттік оқудың арасындағы байланыстар:
* көркем шығармаларды сұрыптау және ортақ немесе дербес белгілерін салыстыру арқылы анықтау және ажырату, теңеулердің қолданылуы;
* халық ауыз әдебиеті үлгілерінің:жұмбақ, жаңылтпаш, санамақ, қаламақ, мақал - мәтелдер ойын өлеңдердің және т.б. математика сабақтарында пайдалануы;
* көркемшығармалардың мазмұны арқылы баланың ішкі сезіміне түрткі салу, ақыл - ойын, санасын жаңғырту және дамыту;
* көркем шығармаларда сипатталатын ата - дәстүр, ұлттық салт- сана, әдет - ғұрып, үлгі - өнеге, тәлім - тәрбиелік материалдарды математика мазмұнына сіңіру;
* ауызша шығарылатын халықтық логикалық ежелгі есептердің мазмұны саналы түсіну мақсатында ана тілін еркін пайдалану.
Математика мен дүниетанудың арасындағы байланыс:
* дүниедегі құбылыстарға дәл де әділ баға бер білу;
* өзіндік пікір айту және оны дәлелдеу, өз көзқарасын білдіру;
* математикалық есептер мазмұны арқылы өзін қоршаған ортамен, табиғатпен және қоғаммен баланы қарым - қатынасқа келтиіру;
* айналадағы дүниеден танып - білген жинақтаған деректер мен мағлұматтарды математика сабақтарда пайдалану;
* еліміздің әлеуметік - экономикалық дамуын, байлығын, шаруашылығының түрлерін, ғылым мен мәдениетін табиғатын сипатайтын фактілерді, деректерді, мәліметтерді және анықтағыш материалдарды пайдалану.
Математика мен бейнелеу өнерінің арасындағы байланыстар:
* заттарды түріне, пішініне, өлшеміне қарай салыстыру, теңестіру, кеңістік жайында түсінік қалыптастыру;
* кескіндеу, бейнелеу, безендіру, құрастыру жұмыстары барысында дәлдіктің және симметриялның пайдалнуы;
* көркемсуретті байқау, көру, бақылау ажырата, сезіне отырып қабылдау, салыстыру, теңеу;
* көркем сурет шығармалар арқылы баланың ішкі сезімін және көңіл - күйін ояту, дамыту;
* ұлттық ою - өрнектер мен таңбаларда геометриялық фигуралардың қолданылуы.
Математика мен еңбекке үйретудің арасындағы байланыстар:
* баланың еңбекке дайын болуын, математикалық білімдерін өмірде нақтылы жағдайларда практикалық мәселелерді шешу үшін пайдалана алуын қалыптастыру;
* күнделікті өмірге және тұрмысқа қажетті бұйымдар жасауда матемаикалық білім, білік дағдылардың пайдалануы;
* құрастыру және бұйым жасау жұмыстарында математикалық дәлдіктің және симметриялық пайдалануы.
Математика мен саздың арасындағы байланыстар:
* саздыұ әуен мен ырғақта матемаикалық дәлдіктің және сан мен үлестің пайдалануы;
* нота сауатында математикалық білімнің пайдалануы;
* саздық аспаптардың жасалуында және құрылымында математикалық білімнің пайдалануы;
* халықтық ән - күй, би, айтыс және термелерді математика мазмұнына сіңіру;
* саздық жанрларды ажырату, салыстыру.
Математика мен дене тәрбиесі арасындағы байланыстар:
* баланың кеңістікті болжауы және сейкес түсінікті пайдалануы;
* уақыт аралық жайындағы түсініктердің қалыптасытырылуы;
* Баланың қимывл - қозғалысындағы реттік тәртіп және дәлдік;
* қозғалмалы ұлттық ойындардың қолданылуы.
3) Матем-ы оқытудың әдістері мен құралдары
Бақылау зерттелетін обьектілерді мақсатты және жүйелі түрде тікелей қабылдау арқылы зерттейтін әдіс. Психологтар обьектілерді қабылдаудың мазмұны және бағыттылығы бізді қоршаған ақиқат дүние туралы адамның қандай білімдері, тәжірибесі бар екеніне байланысты болатындығын анықтаған.
Бақылау - ақпарат алудың ең маңызды әдістерінің бірі, ал бақылау жүргізе біле зерттеушінің бағалы қасиеті. Бақылау жасауды дұрыс ұйымдастыру оқушылардың математикалық деректерді табысты игеруіне жағдай жасайды, заңдылықтарды көре білуге және қорытындыны тұжырымдап айтуына жәрдемдеседі.
Бақылауды мынадай жоспар бойынша жүзеге асыруға болады:
1. Бақылаудың мақсатын анықтау.
2. Бақыланатын обьектілердің маңызды(елеулі) қасиеттері мен ерекшеліктерін ашу.
3. Бақылау кезіндегі алынатын ақпараттарды есепке алып отыру тәсілдерін анықтау (сипаттау, сызбалар жасау, сандық мәндерді кесеге түсіру және т.б.).
4. Зерттелінетін обьектілердің ерекшеліктері мен белгілері арасындағы байланысты тағайындау.
5. Бақылау нәтижелеріне талдау жасау.
Эксперимент (тәжірибе) - танып білудің ең тиімді әдістерінің бірі болып табылады.
Эксперимент (лат.exsperimentum - тексеріп, жасап (істеп) көру, тәжірибе) - зерттеушінің тікелей белсенді араласуы арқылы зерттелетін обьектінің қасиеттерін анықтау мақсатында әдейі арнап қажетті жағдайлар туғыза отырып танып білу әдісі.
Тану қызметінде орындалатын жұмыстың мазмұнына қарай эксперимент тексеруші және демонстрациялау (иллютрациялау) болып бөлінеді. Экспеимент обьектінің тікелей өзін немесе оның моделін қарастыру арқылы жүзеге асырылады.
Ойша эксперимент негізінде мынадай амалдар жүзеге асырылады:
1. Белгілі бір ереже бойынша зерттелетін обьекиінің ойша моделі құрылады, яғни идеяланған обьект жасалынады;
2. Модельге әсер ететін идеяланған жабдықтар мен құралдар құрылып, идеяландырылған шарттар да жасалынады;
3. Шарттарды саналы түрде жоспарлы өзгерте отырып, салыстырмалы және еркін комбинациялау;
4. Ойша эксперименттің барлық кезеңдерінде, ғылымда қалыптасқан обьективті заңдылықтарды саналы да дәл пайдалану, деректерді қолдану кезінде абсолюттік еркіндікке, негізсіз фантазияға жол бермеу.
Нақты (реальді) эксперименттің элементтері мыналар:
1. Мәселені қою және блжам жасау;
2. Обьектілерді зерттеудің эксперименттік алғышарттарын жасау;
3. Салдарды белгілеу және оның себептерін тағайындау;
4. Жаңа құбылыстарды және олардың ұқсастықтарын сипаттау.
Эксперимент математиканы оқыту үрдісінде оқушылардың орындайтын практикалық жұмысы түрінде көрініс табады. Эксперимент жаңа ұғымдарды енгізу және математикалық обьектілердің қасиеттерін көрсететін жаңа фактілерді тағайындау үшін өткізіледі. Эксперименттің нәтижесін индуктивтік жолмен жалпы заңдылықтарды байқауға, логикалық дәлелдеулердің идеясын шығаруға пайдаланылады.
Таным әдістерінің ішінде ең кең тараған және әмбебап әдістерінің бірі - салыстыру.
Зерттелетін обьектілердің ұқсастықтары мен айырмашылықтарын ойша тағайындау салыстыру деп аталады. Салыстыру нәтижесінде дұрыс қорытынды алу үшін мынадай шарттар орындалуы қажет.
1. Тек бір обьектілерді салыстыруға болады.
2. Обьектілерді бірдей белгісі болйнша салыстыру, ол толық болып аяғына дейін жеткізілуі тиіс.
К.Д.Ушинский дидактикада салыстыр негізгі тәсіл болуы керек, - деп есептеген. Салыстыра білудің мүмкін болатын бір нұсқасы мынадай. Салыстыру деген, бұл:
А) оқытылатын обьектілердің белгілерін бөліп көрсету;
Ә) обьектіні басқадан бөлектеп тұратын белгілерді табу;
Б) осы белгілер арқылы обьектілерді салыстыру.
Математикалық обьектілер мен заңдылықтарды оқып үйрену үрдісінде ғылыми танудың әдісі болып табылатын анализ және синтез әдістерін пайдаланбау мүмкін емес. Анализ деп бүтінді ойша немесе практикалық түрде құрамды бөліктерге бөліп, ол бөліктерді және олардың қасиеттері мен арақатынастарын жеке-жеке қарастыру арқылы зерттейтін әдіс түсініледі.
Оқып үйрететін обьект туралы айқын түсінік пайда болу үшін құрамды бөліктердің арасындағы өзара байланысты анықтау керек, сол себепті анализ жеткіліксіз. Сондықтан синтез қажет. Синтезді анализ арқылы бөлінген бөліктерді ойша немесе практикалық түрде біріктіру деп түсінеміз.
Анализдеу үрдісінде күрделіден қарапайымға, бір түрліден көп түрліге, нақтыдан абстрактіліге, белгісізден белгіліге, салдардан салдарды туғызатын себепке қарай қозғалу жүзеге асырылса, синтезде бұл үрдістер керісінше жүреді.
Жалпылау және нақтылау
Теориялық мәселелердің құрылуы мен қорытындылаудың көп тараған, қарапайым әдістерінің бірі жалпылау. Жалпылаудың методологиялық негізін, бізді қоршаған дүниенің заттар мен құбылыстарының өзара шарттылығы туралы дидактиканың қағидалары құрайды. Қарапайым жалпылаудың өзі, дүниенің байланыссын адамның терең түсінуінің негізін қалайды.
Индукция және дедукция өзара байланысты таным әдістері. Бұл әдістердің бөлінуі ой қорытулардың индуктивтік және дебуктивтік болып ажыратылуына негізделген. Индукция (лат. Inducti-бағыттау), дедукция (лат. Deductio-қорытындылау) терминдерінің үш мәні бар:
1) Ой қорытулардың түрлері;
2) Зерттеу әдістері;
3) Материалды баяндау формасы.
Индукция деп әдетте обьектілер класының бөліктері туралы білімдер негізінде ол класс туралы қорытынды жасау, яғни жекеден жалпыға өтудегі ой қорыту түсінілінеді. Математикада индуктивті әдіс деп тәжірибе арқылы тексерілген және дұрыстығы қатаң түрде тағайындалған теориялық сипаттағы айғақтар негізінде жаңа қорытындылар және теориялар алу деп түсініледі.
Индуктивтік зерттеулерде негізгі орын алатын индуктивтік ой қорыту болып табылады. Олар мынадай негізгі топтарға бөлінеді: толық индукция және толымсыз индукция.
Толық индукция-обьектілер класы туралы, ол обьектілер класының барлығын түгел қарастыру арқылы жалпы қорытынды шығаратын ой қорыту.
Толымсыз индукция обьектілер класының барлығы түгел қарастырмайтын тиянақтар арқылы жалпы қорытынды шығаратын ой қорыту.
Дедукция
Дедукцияның мазмұнын тану әдісі ретінде құбылыстардың жалпы ғылыми қағидаларын нақтылы жағдайларда қолдану құрайды.
Математикадағы дедуктивтік әдіс деп кейбір теориялық жүйелердің қатаң логикалық салдары болатын нақтылы деректер алу немесе ақиқат (бұрыннан белгілі немесе әзірше белгісіз) қорытынды шығару деп түсініледі.
Математикалық индукция әдісі
Индукция мен дедукцияның өзара байланысы жетілген индукция деп аталатын, математикалық индукция әдісін оқып үйренуде айырықша көрінеді.
Жетілген индукция қандайда бір математикалық деректерді зерттеуді мынадай кезеңдер бойынша жүргізеді:
1) Бақылау және тәжірибе;
2) Болжам;
3) Болжамды негіздеу (дәлелдеу).
Математикалық индукция әдісі математикалық индукция принципіне негізделеді.
Абстракциялау (лат. Абстрактион-алыстау, дерексіздендіру) обьектінің зерттеушіні қызықтыратын бір немесе бірнеше жақтарын ойша бөліп алу арқылы, оның елеусіз қасиеттерінен, белгілерінен, қатыстарынан ойша алыстау (ауытқу) болып табылады.
Абстракциялау үрдісі күрделі екі сатылы сипатта болады. Бірінші сатыда обьектілердің зерттеушіні қызықтыратын жақтары, қасиеттері мен құбылыстарның елеулілері елеусіздерінен ажыратылады. Яғни абстракциялауға дайындық кезеңі жүзеге асырылады.
Екінші сатыда, зерттеліп отырған обьектіні оның моделімен ауыстырылып, абстракциялау немесе дерексіздендіру жүзеге асады.
4)Жиындар. Жиындардың берілу тәсілдері
Қазіргі математика салалары мен оның практикада қолданылуын түгелдей дерлік жиындар теориясына негізделген. Өйткені жиындар теориясының ұғымдары математикалық обьектілердің ең жалпы қасиеттерін бейнелейді. Жиындар - математикада негізгі және алғашқы ұғымдардың бірі саналады. Сондықтан да болар, мектеп математикасының негізгі мазмұны болып табылатын "сан", "теңдеу" және "теңсіздік", "функция", т.с.с. ұғымдарды, сондай-ақ сандарға операциялар жүргізу, теңдеулер мен теңсіздіктерді шешуді оқып-үйрету теориялық жиындық ұғымдарды қолдануды көздейді.
Жиындар теориясының негізін салуіпы неміс математигі Георг Кантордың (1845-1918) сөзімен айтқанда: "Жиын дегеніміз өзіміздің ойымызда тұтас бір бүтін больш түсінілетін көптік".
Ал, "көптік", "жиын", "жинақ", "жиынтық" деген сөздерді тілдік тура мағынасы-алынып отырған объектілер бірнешеу деген ой тудырады. Бұдан әрбір жиыңда міндетті түрде көп (кемінде екі) элемент болу қажет деген жаңсақ пікір тууы мүмкін. Алайда математикада жиынды құрайтын элементтердің санына байланысты, тек бір ғана элементі болатын жиынды немесе элементтері бірнешеу, яғни элементтерінің саны шектеулі (шектелген жиын) жиынды, бірде-бір элементі болмайтын жиынды (шексіз жиын), элементтерінің саны шексіз көп жиынды шексіз жиын деп атайды. Шексіз жиындарды тізіммен беру мүмкін емес.
Жиындарды бір-бірінен айыру үшін оларды латын алфавитінің бас әріптерімен - А, В, С, В, Е, Ғ, ..., ал элементтерін кіші a,b,c,d,e, ... әріптермен, сондай-ақ жиындар символикасында бос жиын таңбасымен белгіленеді, тиісті деген сөздің орнына таңбасы, "тиісті емес" деген сөздің орнына таңбасы пайдаланылады.
Жиынның берілу тәсілдері:
1) Жиынның барлық элементтерін тізіп көрсету арқылы беріледі.
Мысалы, А жиыны 3,4,5,6 элементтерінен тұрса, онда элементтерін фигуралы жақшаға алып А=3,4,5,6 түрінде жазып, оны "А жиыны 3, 4, 5, 6 элементтерінен тұрады" деп оқиды.
2) Жиынның берілуінің тағы бір төсілі оны құрайтын элементтерінің ортақ қасиетін атау болып табылады. Мұндай қасиетті сипаттамалық қасиет деп атайды.
Мысалға 6 санынан кем натурал сандардың А жиынын қарастырайық. Бұл жерде А жиынының барлық элементтерінің ортақ қасиеті, атап айтқанда, оларды "натурал және 6-дан кіші сан болуы" аталып отыр. Қарастырып отырған А жиынының элементтерін атап шығу қиындыққа түспейді. А=ххN, х6. А={ 1, 2, 3, 4, 5.
Жиынды элементтерінің сипаттамалық қасиеті арқылы беру геометрияда жиі қолданылады. Белгілі бір сипаттамалық қасиеті бар нүктелердің жиынын нүктелердің геометриялық орны дейді.
Көрнекілік үшін жиындарды дөңгелек не сопақша фигуралармен бейнелейді. Оның ішінде сол жиынның элементтері ғана орналасады. Ол дөңгелектерді Эйлер дөңгелектері немесе Эйлер-Венн диаграммалары деп атайды.
(Леонард Эйлер (1707-1783)-Петербург ғылым академиясының мүшесі, Швейцарияда туылған, ал 1727 жылы петербург ғылым академиясының шақыруымен Ресейге келген және мұнда ірі математик дәрежесіне дейін көтерілген. Джон Венн (1886-1921) ағылшын математигі).
Анықтама. А және В жиындарының бірігуі деп не А не В жиындарының ең болмағанда біреуіне тиісті элементтерден және тек қана сол элементтерден тұратын жиынды айтады.
АВх хА немесе хВ
5) теріс емес бүтін сандар жиыны
Натурал сандар жиынымен бір ғана элементтен - 0 санынан тұратын жиынның бірігуі теріс емес бүтін сандар жиынын құрады. Теріс емес бүтін сандар жиыны және дегеніміз, яғни
Теріс емес бүтін сандар жиыны және дегеніміз, яғни "артық", "кем", "тең" қатынастары теріс емес екі бүтін сандарды салыстырудың нәтижесін білдіреді. Бұл қатынастар теориялық-жиындық негізде былайша анықталады.
Егер а,в болса, онда а=п(А), в=п(В) мұндағы А және В шектеулі жиындар.
Егер а және в санды тең қуаттас жиындармен анықталатын болса, онда олар тең болады: а=вА В, мұндағы п(А)=а, п(В)=в.
Егер А және В жиындары тең қуаттас болмаса, онда олар анықтайтын сандар әртүрлі.
Теріс емес бүтін сандар үшін "кем" қатынасының қасиеттерін же теориялық-жиындық тұрғыдан анықтауға болады.Мысалы, осы қатынастың транзитивтілігі мынаған байланысты: АВ, ВС, АВС болса, онда АС шығады, ал антисимметриялылығы егер В жиынының меншікт ішкі жиыны А болса, онда В жиыны А жиынының меншікті ішкі жиыны бола алмайды.
"Теңдік" таңбасын ағылшынның математик мұғалімі Р.Рекорд 1510-1558, ал "артық", "кем" таңбаларын тұңғыш рет ағылшын математигі Т.Харриот 1560-1621 қолданғанын айта кеткен жөн.
Сандарға қолданылатын арифметикалық амалдардың ең оңайы сандарды қосу амалы болып табылады. Бұл амал жиындарға қолданылатын операциялардан шыққан.
Теріс емес бүтін сандарға амалдар қолдану нәтижесінде жаңа сан шығады. Бұл амалдар - қосу, азайту, көбейту және бөлу.
Теріс емес бүтін сандардың қосындысы қиылыспайтын жиындардың бірігуі арқылы анықталады.
Теріс емес бүтін а және в сандарының көбейтіндісі дегеніміз мына шарттарды қанағаттандыратын теріс емес бүтін ахв сандарын айтады:
1) ахв=а+а+...+а,
2) ах1=а, мұндағы в=1;
3)ах0=0, мұндағы в=0.
6) шектеулі жиын элементтері
Санау жүйелері туралы ұғым. Ондық санау жүйесі. Бір жүйеден екінші жүйеге ауысуы туралы түсінік
Санау жүйесінің қандайы болса да мынадай принципке негізделеді: бірліктердің белгілі бір саны келесі жоғарғы дәрежесінің, немесе жоғарғы разрядтың жаңа бірлігін құрайды. Бұл сан санау жүйесінің негізі деп аталады. Осы санға қарай нумерация жүйесіне арнаулы атау беріледі, анықтап айтқанда: егер нумерацияның негізіне 12 саны алынған болса, екілік деп т.с.с. аталады. Қандай да болсын бір санау жүйесі бойынша таңбаланған сан жүйелі сан деп аталады.
Санау жүйесін мүмкін болғанша кәмелет түрген келтіру қажет деген ой мәдениеттің ең ерте кездерінің өзінде-ақ барлық халықтарда дерлік болып, ол ой күнделік өмір қажетінен туған.
Алғашқы адамдар санау процесінде стандарт жиындар ретінде өздері жақсы білетін етене жинақтың, бөлігін пайдаланған, ал қуаты көбірек жиынды білуі қажет болған жағдайларда, ол жинақты бірте-бірте ұлғайтып отырған. Осылайша ұлғайту нәтижесінде жаңа стандарт жиындар шығарып алу тәсілін сипаттайтын сандарға жаңадан атау беріп отыру қажет болған.
Алайда стандарт жиындар сан алуан болғанмен, олардың бәріне тән жалпы бір ерекшелігі болған; оларды құрайтын элементтерді адам жеке-дара күйінде қабылдауымен қатар, ол элементтерді өз ұғымында біріктіріп, өзі жақсы білетін тұтас жиын ретінде қабылдаған. Сөйтіп, әрбір стандарт жиын туралы адамның айқын түсінігі болған.
Сөйтіп, адамның іс-әрекетінің нәтижесінде сан формаларының жүйесін жасау қажет болды, тек бұл ғана емес, мейлінше мінсіз санау жүйесін теориялық жағынан негіздеу жолында адамның ақыл-ойының іздену бағытын да адамның сол іс-әрекеті анықтап берді.
Практикалық талаптарға сай тіл де жүйелік сан ұғымының сол жоғарыда көрсетілген тәсіліне орайласа отырып, мәдениеттің төменгі сатыларының өзінде-ақ "бір", "екі", "үш" т.с.с. ұғымдарды білдіру үшін эәне элементтердің түрліше топтарын атау үшін жеке сөздер жасады және сол сөздерді пайдаланып басқа қалған сандардың атауларын құрастырды.
Ерекше таңбаларды қолданып, сандарды жазбаша түрде кескіндеу едәуір кейініректе дамыған және алғашқы кездерде тіпті ертедегі гректер мен римдіктер сияқты жоғары мәдениетті халықтардың өздеріне өте қолайсыз болған. Саны шамалы ғана шартты таңбаларды пайдаланып, қарастырылып отырған жүйенің кез келген санын жазбаша кескіндеп көрсету мәселесін тек біздің эрамыздың басында ғана индустар шешкен, бұл үшін олар сандарды кескіндеу үшін қолданылатын таңбаларға алып тұрған "орындарына қарай" мән беру керек деген идеяны ұсынған. Бұл идеяның түпкі мәні мынау: бір таңбаның өзі берілген санның жазбаша кескіннінде алып тұрған орнына қарай әр түрлі мәнге ие болады.
Математикада сандарды атау мен жазуға және сандарға қолданылатын операцияларды (амалдарды) орындауға арналған тілді санау жүйесі деп атайды.
Сан өте ежелгі ұғымдардың бірі. Әртүрлі халықтарда жазудың пайда болуымен қатар санаудың да белгілі бір жүйелері пайда болды.
Математикада XIX ғасырдың екінші жартысында жиын ұғымы пайда болды. Жиын ұғымының математикаға енуі жиын теориясын қалыптастырды. Жиын теориясының негізін қалаушы неміс математигі Георг Кантор (1845-1918) болды. Белгілі бір ортақ қасиеттерге ие болып, белгілі бір заңдылықпен біріккен нәрселер, объектілер жиын құрайды. Мысалы: аспандағы жұлдыздар жиыны, кітап бетіндегі әріптер жиыны, бөлімі 6 саны болатын дұрыс бөлшектер жиыны т.с.с. Жиындар элементтерден құралады. Жиындардың элементтері аталып беріледі немесе сол жиын элементтеріне ғана тән қасиет (белгі) көрсетіледі. Жиынды латынның бас әрпімен белгілеп, оның элементтерін фигуралық жақшаның ішіне алып жазу келісілген. Мысалы, "планета" сөзіндегі әріптер жиынын P әрпімен белгілесек, P={а,п,н,л,е,т} немесе P={т,п,н,л,е,а} элементтер ретін әр-түрлі жазуға болады. Жиындар шектеулі жиын, шектеусіз жиын болып бөлінеді. Мысалы, цифрлар жиыны A - шектеулі жиын, оған 10 элемент енеді. A={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} жиынының элементтер санын көрсетіп жазсақ: n(A)=10. Ал натурал сандар жиыны N - шектеусіз жиын. Егер a элементі B жиынына тиісті болса, оның жазылуы: a Є B. Оқылуы: "a B жиынының элементі" немесе "a B жиынына тиісті". Мысалы, 7 саны натурал сандар жиынына тиісті: 7 Є N. Егер c элементі A жиынына тиісті болмаса, оның жазылуы: c cent A. Оқылуы:"c A жиынына тиісті емес". Мысалы, 0 саны натурал сандар жиынына тиісті емес: 0 cent N. Егер жиында бірде-бір элемент болмаса, оны бос жиын деп атайды. Бос жиынның белгіленуі: Ø . Мысалы, 74 және 79 сандарының арасындағы жай сандар жиыны - бос жиын. Әріптер жазылмаған дәптер бетіндегі әріптер жиыны - бос жиын. Егер B жиынының әрбір элементі A жиынына тиісті болса, онда B жиыны A жиынының ішкі жиыны деп аталады. Мысалы, A={1,2,3,4,5,6,7} жиынындағы жұп сандар жиыны - B={2,4,6}. B жиынының әрбір элементі A жиынына тиісті. Белгіленуі: B Є A. Оқылуы: B жиыны - A жиынының ішкі жиыны. Жиындардың байланыстары мен арақатынастары Эйлер-Венндөңгелектері арқылы кескінделеді. Суретте B жиыны A жиынының ішкі жиыны екені Эйлер-Венн дөңгелектері арқылы кескінделген. Бос жиын кез келген жиынның ішкі жиыны болады. Белгіленуі: Ø Є A. Мұндағы A - қандай да бір жиын. Егер екі жиын бірдей элементтерден тұрса, онда олар тең жиындар деп аталады. Мысалы, A={a,b,c}; B={c,a,b}, онда A=B. Оқылуы: A жиыны B жиынына тең.
7) Санаудың позициялық емес және позициялық жүйелері ажыратылады.
Позициялық емес жүйелер әрбір таңбаның (сандарды белгілеуге арналған берілген жүйеде қабылданған таңбалар жиынтығынан алынған) әрқашан санның жасалуындағы оның алатын орнына (позициясына) тәуелсіз түрде бір ғана санды белгілеумен сипатталады. Кейде қазіргі кезде де қолданылатын римдік жүйе сондай жүйенің белгілі мысалы болып табылады.
Бұл жүйеде сандарды жазу үшін латын алфавитінің әріптері қолданылады.
І-бір, Ү-бес, Х-он, L-елу, С-жүз, D-бес жүз, М-мың, және т.б.
ІҮ-4, ІХ-9 ХL-40, ХС-90, СD-400, СМ-900 сандары азайту арқылы, қалғандары қосу арқылы алынады.
ІІ-2, ХІІ-12, LVІІ-57, т.с.с.
Бұл жүйедегі қолданылатын әрбір әріп әрқашан бір ғана санды білдіреді. Сондықтан үлкен сандарды жазу мейлінше қолайсыз болды. Оның үстіне, енгізілген таңбалар жетіспейді, қаншама жаңа таңбаларды енгізгенмен олармен белгілеу қиынға соғатын, ал жаңа санды қашан да ойлап табуға болатын еді.
Ондық позициялық жүйе жаппай қабылданған жүйе болып табылады, ол әуелде саусақпен санаудан басталған. Ол Үндістанда ойлап табылған, онымен арабтар айналысқан және әрбір елі арқылы Европаға жеткен.
Санаудың ондық жүйесіндегі сандарды жазу үшін 10 таңба қолданылады. Осы цифрлардың әрқайсысының өз атаулары бар және олар бір таңбалы теріс емес бүтін оң санның атауларына сәйкес келеді. Олардан сандардың қысқаша жазылуы болып табылатын шектеулі тізбектер құрылады.
Теріс емес бүтін сандарға амалдар қолдану нәтижесінде жаңа сан шығады. Бұл амалдар - қосу, азайту, көбейту және бөлу.
8)Теріс емес бүтін сандардың қосындысы қиылыспайтын жиындардың бірігуі арқылы анықталады.
Теріс емес бүтін а және в сандарының көбейтіндісі дегеніміз мына шарттарды қанағаттандыратын теріс емес бүтін ахв сандарын айтады:
1) ахв=а+а+...+а,
2) ах1=а, мұндағы в=1;
3)ах0=0, мұндағы в=0.
Теріс емес бүтін а және натурал в сандарының бөліндісі дегеніміз в санымен көбейтіндісі а-ға тең болатын теріс емес бүтін с=ахв с санын айтады.
Бастауыш сынып математикасында бөлу туралы алғашқы ұғым жиындарды өзара қиылыспайтын ішкі жиындарға бөлетін машық жұмыс арқылы енгізіледі, бірақ терминология мен символдар енгізілмейді. Бөлу ұғымының мағынасы жай есептерді шешу арқылы ашылады.
Математиканың бастауыш курсында теріс емес бүтін сандардың қосындысы заттардың екі жиынын біріктіруге берілген жаттығу жұмыстарының негізінде енгізіледі. Қосудың теориялық-жиынтық мәнін ашудың басты құралы - арифметикалық жай есептер.
9) Жай және құрама сандар
1 мен өзінен басқа бөлгіштері жоқ натурал санды жай сан деп атайды. Бір мен өзінен басқа да бөлгіштері бар сандарды құрама сандар деп атайды.
1 саны жай сандарға да, құрама сандарға да жатпайды, өйткені оның бір ғана бөлгіші бар.
Санның канондық (қарапайым) жіктелуі - натурал санының жай көбейткіштерге жіктелуі: мұндағы - жай сандар, - натурал сандар.
Әрбір натурал сан жай көбейткіштерге (бір ғана тәсілмен) жіктеледі.
Мысалдар.
Бірнеше санның ортақ бөлгіштерінің ішіндегі ең үлкенін ең үлкен ортақ бөлгіш(ЕҮОБ) деп атайды.ЕҮОБ-ті табу үшін берілген сандардың әрқайсысын жай көбейткіштерге жіктеп, олардың берілген сандардың әрқайсысының жіктелуіне кіретіндерін теріп жазады. Осындай көбейткіштердің әрқайсысын жіктелулердегі ең кіші дәрежемен алып, оларды көбейтеді.
Бірнеше санның ортақ еселіктерінің ішіндегі ең кішісін ең кіші ортақ еселік(ЕКОЕ) депатайды. ЕКОЕ-ті табу үшін сандардың әрқайсысын жай көбейткіштерге жіктеп, берілген сандардың ең болмағанда біреуінің жіктелуіне кіретін жай сандарды теріп жазады. Осындай көбейткіштердің әрқайсысын жіктелулердегі ең үлкен дәрежемен алып, оларды көбейтеді.
Мысал.
ЕҮОБ
ЕКОЕ
10) санның еселіктері мен бөлгіштері
Натурал сандар бөлінгіштігі тақырыбы бесінші сынып Математика курсынан белгілі. Натурал сандардың бөлгіші, натурал сандардың еселігі ұғымдары осы тақырыпты меңгерудегі негізгі ұғымдар болып табылады.Бір санына кез-келген натурал сан бөлінетіні, ал нөлге ешқандай санды бөлуге болмайтыны мәлім. Бөлінгіштік белгілері Бөлінгіштік белгілері деп, берілген х санының а санына қалдықсыз бөлінетінін бөлу амалын орындамай-ақ білуге болатын ережелерді атаймыз. 2-ге бөлінгіштік белгісі. Егер сан жұп цифрымен аяқталса, сол сан 2-ге бөлінеді 3-ке бөлінгіштік белгісі. Цифрларының қосындысы 3-ке тең натурал сандар 3-ке бөлінеді. 4-ке бөлінгіштік белгісі. Егер санның соңғы екі цифрынан құралған сан 4-ке бөлінсе, онда берілген сан да 4-ке бөлінеді. 5-ке бөлінгіштік белгісі. Жазылуы 0 цифрымен немесе 5 цифрымен аяқталатын натурал сандар 5-ке бөлінеді. 6-ға бөлінгіштік белгісі. Егер берілген сан 2-ге және 3-ке бөлінсе, онда берілген сан да 6-ға бөлінеді.7-ге бөлінгіштік белгісі. Берілген сан 7- ге бөлінетінін білу үшін: ол санды оңнан солға қарай үш - үштен топтаймыз да, тақ нөмірлі санды минуспен, ал жұп нөмірлі санды плюспен жазып, өрнектің мәнін табамыз. Егер өрнектің нәтижесі 7 - ге бөлінсе, онда берілген сан да 7 - ге бөлінеді. 8 - ге бөлінгіштік белгісі. Егер берілген санның соңғы үш орынды саны 8 - ге бөлінсе, берілген сан да 8 - ге бөлінеді. 9- ға бөлінгіштік белгісі. Цифрларының қосындысы 9-ға тең натурал сандар 9-ға бөлінеді. 10- ға бөлінгіштік белгісі. Жазылуы 0 цифрымен аяқталатын натурал сандар 10-ға бөлінеді. Берілген а және b сандарының ортақ еселіктерінің бірі олардың аb көбейтіндісі болып табылады және ол көбейтінді а-ға да, b-ға да бөлінеді.
Сонда а және b сандарына ортақ еселік болатын сандардың жиыны b-ға да еселік, а-ға да еселік сандар жиындарының қиылысуы болып табылады.
Анықтама. Берілген а және b сандарының ортақ еселіктерінің ең кішісін осы сандардың ең кіші ортақ еселігі (ЕКОЕ) деп айтады.
Осы а санын b санына еселік қатынасына қатысты алғанда b саны а санының бөлгіші қатынасы кері болып табылады. Басқаша айтқанда, b саны а-ның бөлгіші болса және тек сонда ғана а саны b-ға еселік болады, яғни а саны b-ға бөлінеді дейді.
Анықтама. Егер а және b сандары с санына бөлінсе, онда с-ны осы сандардың ортақ бөлгіші деп атайды.
Ал а және b сандарының ортақ бөлгіштерін табу үшін а саны бөлгіштерінің жиыны мен b саны бөлгіштері жиынының қиылысуын табу керек.
Анықтама. Берілген а және b сандары ортақ бөлгіштерінің ең үлкенін осы сандардың ең үлкен ортақ бөлгіші (ЕҮОБ) деп айтады.
Теорема. Егер с саны натурал а және b сандарының ортақ бөлгіші болса яғни а=ас, b=bс, онда 1=аbс саны да а және b сандарының ортақ еселігі болады.
Теорема. Егер d=аbк, мұндағы к=ЕКОЕа, b болса, онда а және в сандарының ең үлкен ортақ бөлгіші b болып табылады.
Мысалы: ЕКОЕ (12,8)=24, ЕҮОБ (12,8)=4.
ЕКОЕ (12,8)·ЕҮОБ (12,8)=96.
ЕҮОБ(а, b)·ЕКОЕ(а, b)=аb, ЕКОЕ(а, b)= ЕҮОБ (а, b)
Егер ЕҮОБ(а, b)=1 болса, онда ЕКОЕ(а, b)=аb болады. ... жалғасы
Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.
Бастауыш класстарда математика оқытудың мақсаттары, міндеттері мен мазмұны.
1. Бастауышда жұмыс істеуде орта мектепте математика оқытуда жоспарланған жалпы мәселелерді есепке алу және бұл мәселелерді шешудегі бастауыш білімнің рөлін дұрыс бағалай білу.
2. Орта мектеп математика жоспарына қатысты көптеген мәселелер бастауыштың өзінде тиісті дәрежеде берік үйретілуі керек, яғни олар оқушылар санасында өмір бойы сақталып қалатын болсын, ал кейбір мәселелер жоғары сыныпта толық түрде өтілуіне қарай, бастапқы ұғымдар, дайындық есебінде қаралады. Немесе біліктілік пен дағқыларды қалыптастыру процессінде пікірлеу қабілетін арттыру мақсатында қаралады.
Міндеттері
1. Оқушыларда саналы және берік (автомат түрде) есептеу біліктілігін қалыптастыру
2. Оқушыларға үйренген білім, дағды және біліктіліктерін әр түрлі жағдайларда қолдануға үйрету.
3. Оқушыларда қисынды (логикалық) пікірлеу қабілетін қалыптастыру.
4. Оқушыларға толық, нақты, қысқа да нұсқа математикалық сөйлеуді үйрету
5. Оқушыларды еңбекке баулу, сана тәртіптілігі, еңбекті нақтылай ұйымдастыру, пікірді бір орынға топтау және нақтылауға үйрету.
Математиканы оқытудың негізгі мақсаттары: білім беру, тәрбиелеу, тәжірибелік, дамытушылық болып табылады. 1. Математиканы оқытудың білім беру мақсаты: а) барлық оқушылар математикалық білімнің барлық жүйесін терең және саналы меңгеруін қамтамасыз ету; б) математикалық тілді меңгеруге үйрету; в) оқушыларды бізді қоршаған ақиқат болмысты танып білудің математикалық әдістерін игеруге жәрдемдесу; г) оқушыларды математикадан алған білім мен іскерліктерін оқуға және өз бетімен білім алу барысында белсенді түрде пайдалана білуге үйрету;11 д) оқушыларды ғылым негізімен таныстыру; е) оқушыларды математикалық сөйлеу және жазу мәдениетіне үйрету. 2. Математиканы оқытудың тәрбиелік мақсаты: а) математиканың қоғамдағы алатын орны туралы және оның қоғамның, техниканың, ғылымның басқа салаларының дамуына байланысты дамитыны туралы мағлұматтарды қалыптастыру; б) оқушылардың математикалық ойлауын дамыту, математикалық мәдениетке тәрбиелеу және оқушылардың математикаға деген тиянақтылығын қамтамасыз ету; в) оқушылардың дүниеге ғылыми көзқарасын қалыптастыру; г) оқушыларға адамгершілік пен эстетикалық тәрбие беру (еңбек сүйгіштік, патриоттық сезім, әдемілікті сезіну); д) математиканы оқыту үрдісінде оқушыларды саналы тәртіпке, белсенділікке, бастаған ісін аяғына дейін жеткізе білуге, жауапкершілікке т.б. адамгершілік қасиеттерге тәрбиелеу; е) оқушыларды математикалық құбылыстарды дұрыс талдауға бағыттау; ж) оқушылардың математика ғылымына, математик ғалымдарға сүйіспеншіліктерін тәрбиелеу.
Математиканы оқытудың тәжірибелік мақсаты: а) оқушыларды алған теориялық білімдерін практикада қолдана білуге, практикалық (экономикалық, қоршаған ортаға байланысты) есептерді шығаруға; б) математиканы физикаға, химияға, информатика, т.б. жаратылыстану пәндерінде қолдана білуге үйрету; в) математикалық құралдар мен аспаптарды пайдалануға баулу; г) оқушылардың өз бетінше білім алуына көмектесу (оқулықтар және ғылыми әдебиеттермен жұмыс). 4. Математиканы оқытудың дамытушылық мақсаты: а) оқушылардың математикада логикалық қабілеттерін дамыту; б) математикаға ықыласын, өз бетімен нәтижелі ойлау интеллектісін дамыту; в) математикалық есте сақтау және ізденушілік, шығармашылық қабілеттерін дамыту; г) математикалық объектілерді, қатынастарды, амалдарды тез және кеңінен қорытындылай білу қабілетіне баулу; д) сандық және кеңістік қатынастар сферасында логикалық ойлау қабілетін дамыту. Л.С. Выготский өз зерттеулерінде дамудың жақын теориясын ұсынды. Бала қандай да бір іс-әрекетті өз бетімен орындай алмайды 12 және ол әрекетті әуелі ересектердің жәрдемімен орындайды, содан соң барып өз бетінше орындай алады, өзекті даму деңгейіне көшеді. Қазіргі кезеңде жер бетінде білім берудің құндылығы қайта қаралып өзгеріп жатқан тұста, дамытуды тек ойлауды немесе жалпы психиканы дамыту деп қарау жеткіліксіз. Қазіргі кезде дамытуда оқушы тұлғасын біртұтас дамыту ретінде түсіну керек. Ол оқушылар үшін олардың қабілеттерін, қызығушылықтарын, бейімділіктерін жан- жақты және үйлесімділік дамыту, ол мәдениетті, жоғары адамгершілікті, белсенді шығармашылықты және әлеуметтік кемелденген тұлға қалыптастыруды бағамдайды
Математиканың бастауыш курсының мазмұны мен құрылысы
I-ІV кластарда оқылатын математиканың бастауыш курсы математиканың мектептік курсының табиғи бөлігі болып табылады. Демек, V-XІ кластарда өтілетін математика курсы бастауыш курстың жалғасы, ал бастауыш курс оның бастапқы негізі болып табылады. Осыған сәйкес математиканың бастауыш курсына теріс емес бүтін сандардың және негізгі шамалардың арифметикасы, алгебра мен геометрия элементтері енеді.
Математиканың бастауыш курсы құрылысының өзіндік ерекшеліктері бар.
Бірінші ерекшелігі. Курстың негізгі мазмұны арифметикалық материал болып табылады. Натурал сандар мен негізгі шамалар арифметикасы бастауыш курстың негізі болады. Сонымен бірге оған геометрия мен алгебралық пропедевтика элементтері енеді, бұлар мүмкіндігінше сан арифметикалық амалдар мен математикалық қатынастар жөніндегі ұғымдардың барынша жоғарғы дәрежеде игерілуіне көмектесе отырып, мүмкіндігінше арифметикалык білімдер жүйесіне енеді, яғни алгебра мен геометрия элементтері математика курсының ерекше жеке тарауы бола алмайды, арифметикалық материалмен табиғи байланыста болады.
Екінші ерекшелігі. Бастауыш курс материалы шоғырланған түрде беріледі. Ең алдымен ондық бөлшектеуге келмейтін алғашкы он санның нумерациясы оқылады, осы сандарды жазу үшін цифрлар енгізіледі, қосу және азайту амалдары үйреніледі. Сонан сон екінші ондық және 100 көлеміндегі сандардың нумерациясы қарастырылады, разряд ұғымы, ондық бөлшектеуге келетін сандарды жазудың позициялық принципі айқындалады, екі таңбалы сандарды қосу және азайту оқылады, жаңадан арифметикалық екі амал; бөлу және көбейту енгізіледі. Бұдан кейін 1000 көлеміндегі сандар нумерациясы үйреніледі. Мұнда көп таңбалы сандар нумерациясының негізін құрайтын үш разряд (бірліктер, ондықтар, жүздіктер) қарастырылады, арифметикалық амалдар жөніндегі білім жинақталып қорытылады, жазбаша қосу мен азайту әдістері енгізіледі. Ақырында, көп таңбалы сандар нумерациясы үйреніледі, класс ұғымы қарастырылады, цифрлардың 1-сурет орындық мәнінін принципі жөніндегі білетіндері жинақталып қорытылады, жазбаша есептеулер алгоритмі енгізіледі. Сонымен, курста бес концентр бөлініп алынған: ондық, екінші ондық жүздік, мың, көп таңбалы сандар. Нумерацияны және арифметикалық амалдарды қарастырумен бір мезгілде және тығыз байланыста басқа да мынадай мәселелер қарастырылады: шамалар, бөлшектер, алгебралық және геометриялық материал. Материалдың концентрлі орналасуы 1-суретте схема түрінде берілген.
Үшінші ерекшелігі. Теория мәселелері мен практикалық сипатты мәселелер бірімен-бірі табиғи байланыста болады. Теорияның көптеген мәселелері индуктивті түрде енгізіледі ал практикалық сипатты мәселелер соларға негізделіп айқындалады. Мысалы, көбейтудің үлестірімділік қасиеті дербес фактілерді жинақтап қорытындылау негізінде енгізіледі де осы қасиет пайдаланылып көбейту әдісі ашып көрсетіледі.
17*3= (10 + 7) 3=10*3+7*3 = 51.
Төртінші ерекшелігі. Математикалық ұғымдар, қасиеттер, зандылықтар курста бір-бірімен өзара байланыстырыла айқындалады. Бұл тек арифметикалык, алгебралық және геометриялық материалдар арасындағы байланыс қана емес, курстағы әр түрлі ұғымдар, қасиеттер, заңдылықтар арасындағы, ішкі байланыс деп аталатын, байланыстар. Мысалы, арифметикалық амалдарды оқып үйренуде олардың қасиеттері, олардың компонеттері мен нәтижелердің арасындағы тәуелділіктер айқындалады. Мұның өзі белгілі бір заңдылықтарға сүйенетін арифметикалық амалдар ұғымын тереңірек ашуға, балалардың функционалдық түсініктерін байыта түсуге мүмкіндік береді. Курс кұрылысының мұндай болуы оны тереңірек игеруді қамтамасыз етеді, өйткені оқушылар курстың жеке мәселелерін ғана емес, сондай-ақ олардың арасындағы байланыстарды да игеретін болады.
Бесінші ерекшелігі. Математика курсын оқып үйрену процесінде ондағы әрбір ұғым өзінше дамитындай болып құрылады. Мысалы арифметикалық амалдарды өткенде ең алдымен олардың нақтылы мағынасы айқындалады, сонан соң амалдардың қасиеттері амалдардың компонеттері мен нәтижелері арасындағы сондай-ақ амалдардың өздерінін арасындағы байланыстар мен тәуелділіктер айқындалып ашылады. Ұғымдарды енгізудің осы тәсілі төменгі класс оқушыларының жас ерекшеліктерінің мүмкіндігіне лайық болады, математикалық материалдың түсінікті болуын қамтамасыз етеді.
Алтыншы ерекшелігі. Ұқсас немесе өзара байланысты мәселелерді салыстыра отырып қарастырған орынды екенін тәжірибе көрсетіп отыр. Бұл жағдайда елеулі ұқсастығын және айырмашылығын бірден бөліп көрсетуге болады, мұның өзі оқушылардың ұқсас мәселелерді бір-бірімен шатастырып қателесуінен сақтандырады. Сондықтан программа курстын кейбір мәселелерін (мысалы қосу мен азайту амалдары бір мезгілде енгізіледі), сондай-ақ жаңа мәселелерді бұрын өтілген мәселелермен салыстыра отырып енгізу жағын қарастырады.
Бастауыш курстың құрылыс ерекшеліктері, міне осындай. Енді оның мазмұнын және ең басты ұғымдард ы айқындау ерекшеліктерін қарастырайық.
Арифметикалық материалға мыналар жатады: теріс емес бүтін сандар нумерациясы, сол сандарға қолданылатын арифметикалық амалдар және шамалар, оларды өлшеу жөнінде, бөлшектер жөнінде, атаулы сандар мен оларға қолданылатын амалдар жөнінде мағлұматтар. Осы материалды оқып үйрену оқушылардың математикалық ұғымдар жүйесін игеруіне, сондай-ақ берікте саналы дағдылар мен біліктерді меңгеруіне және білім алуына көмектесетін болуы тиіс.
Геометриялық материал негізінде қарапайым геометриялық фигуралармен таныстыру және оқушылардың кеңістік түсініктерін дамыту мақсатын көздейді. Сондықтан математиканың бастауыш курсына 1 кластан бастап геометриялық, фигуралар енгізіген: түзу, қисық және сынық сызықтар, нүкте, түзу кесіндісі, көпбұрыштар (үшбұрыштар; төртбұрыштар т. б.) және олардың элементтері (төбелері, қабырғалары, бұрыштары), тік бұрыш тік төртбұрыш (квадрат), шеңбер, дөңгелек, дөңгелектің центрі және радиусы оқушылар осы фигураларды айыра білулері оларды атай білулері және ең қарапайым салуларды клеткалы қағазға және жолсыз қағазға сызғышты, бұрыштықты және циркульды пайдаланып орындай білулері керек. Сонымен бірге, олар кесіндінін және сынықтын ұзындығын, көпбұрыштың, периметрін тік төртбұрыштын (квадраттың) ауданың таба білуді үйренулері тиіс. Математика курсы оқушылардың кеңістік түсініктерін қалыптастыруға бағытталған алуан түрлі геометриялық есептерді қарастырады. Геометрияның барлық мәселелері көрнекілікке сүйене отырып айқындалады.
Есептер- жаттығулар, олардың көмегімен ең алдымен математиканың бастауыш курсының көптеген мәселелері айқындалады. Мысалы, есеп шығару арқылы арифметикалық амалдардың нақтылы мағынасы, амалдардың қасиеттері, арифметикалық амалдардың компоненттері мен нәтижелерінің арасындағы байланыстар айқындалып ашыла түседі. т. б. Программаның Түсінік хатында былай делінген: Натурал сандар мен нольдің арифметикасын оқып үйрену тиімді есептер мен практикалық жұмыстар жүйесіне негізделеді. Мұнымыз әрбір жаңа ұғым әрқашан оны қолдануды талап ететін не оның мәнін анықтауға көмектесетін есептерді шығарумен байланысты келеді дегенді білдірмек Сонымен есеп дегеніміз математиканы оқытуды өмірмен байланыстыру құралы, математикалық білімдерді қол данудың ұғымдарды әр жақты ашып айқындай түсу үшін жеткілікті мөлшерде әр түрлі өмір жағдайларын қамтамасыз етуге мүмкіндік беретін сферасы болып табылады. Сонымен бірге, есеп шығару процесінде оқушылар практикалық біліктер мен өмірде өздеріне керекті дағдыларды игереді, пайдалы фактілермен танысады, өмірде жиі кездесетін шамалардың арасындағы байланыстар мен тәуелділіктерді тағайындауға үйренеді. Бастауыш курсқа арифметикалық және геометриялық мазмұнды құрылымы күрделі емес есептер қолданылады.
2)Математиканы оқытуда перспетивалық талдау және пәнаралық байланыс
Математиканы оқытудағы персипективтік және сабақтастық байланыс
Математиканы оқытудағы перспективтік және сабақтастық байланыс процесінде балалардың білім мен біліктерін, танымдық қабілеттерін дамыту үшін пәнаралық байланысты жүзеге асыру қажет. Бұл - ғылымның әр түрлі салаларының арасында айқын шекара жоқ екендігі және олардың бір - бірімен тығыз байланыста болатынытуралы түсініктерді, сондай - ақ дүниеге ғылыми көзқарасты қалыптастыруға табиғат құбылыстарының біртұтастығын өзара байланысын көрсетуге мүмкіндік туғызады. Сонда баланың бір сабақтан алған білімі, әсері, ойы, қиялы, басқа пәеге келгенде тежеліп қалмай, ары қарай жалғасып дами түсуі, яғни бір пәннен басқа пәедерге көшудің үздіксіздігі қамтамасыз етіледі. Математиканы оқыту процесінде белгілі бір пәнаралық байланыстар асырылады.
Математика мен қазақ тілінің арасындағы байланыс:
* грамматикалық және математикалық ережелердің пайдалануы;
* математикалық терминдер енгізу арқылы тіл байлығының арттырылуы;
* сөйлем құрастыру барысында модельдеудің пайдалануы;
* сөйлемдегі сөздер байланысының сызбаның көмегімен өрнектелуі;
* сөйлем құрау, ауызша және жазбаша сөйлеу тілінің дамытылуы;
* өлең жолдарындағы буын сандарының теңдігі;
* математикалық тілдің қалыптастырылуы.
Математика мен әдебиеттік оқудың арасындағы байланыстар:
* көркем шығармаларды сұрыптау және ортақ немесе дербес белгілерін салыстыру арқылы анықтау және ажырату, теңеулердің қолданылуы;
* халық ауыз әдебиеті үлгілерінің:жұмбақ, жаңылтпаш, санамақ, қаламақ, мақал - мәтелдер ойын өлеңдердің және т.б. математика сабақтарында пайдалануы;
* көркемшығармалардың мазмұны арқылы баланың ішкі сезіміне түрткі салу, ақыл - ойын, санасын жаңғырту және дамыту;
* көркем шығармаларда сипатталатын ата - дәстүр, ұлттық салт- сана, әдет - ғұрып, үлгі - өнеге, тәлім - тәрбиелік материалдарды математика мазмұнына сіңіру;
* ауызша шығарылатын халықтық логикалық ежелгі есептердің мазмұны саналы түсіну мақсатында ана тілін еркін пайдалану.
Математика мен дүниетанудың арасындағы байланыс:
* дүниедегі құбылыстарға дәл де әділ баға бер білу;
* өзіндік пікір айту және оны дәлелдеу, өз көзқарасын білдіру;
* математикалық есептер мазмұны арқылы өзін қоршаған ортамен, табиғатпен және қоғаммен баланы қарым - қатынасқа келтиіру;
* айналадағы дүниеден танып - білген жинақтаған деректер мен мағлұматтарды математика сабақтарда пайдалану;
* еліміздің әлеуметік - экономикалық дамуын, байлығын, шаруашылығының түрлерін, ғылым мен мәдениетін табиғатын сипатайтын фактілерді, деректерді, мәліметтерді және анықтағыш материалдарды пайдалану.
Математика мен бейнелеу өнерінің арасындағы байланыстар:
* заттарды түріне, пішініне, өлшеміне қарай салыстыру, теңестіру, кеңістік жайында түсінік қалыптастыру;
* кескіндеу, бейнелеу, безендіру, құрастыру жұмыстары барысында дәлдіктің және симметриялның пайдалнуы;
* көркемсуретті байқау, көру, бақылау ажырата, сезіне отырып қабылдау, салыстыру, теңеу;
* көркем сурет шығармалар арқылы баланың ішкі сезімін және көңіл - күйін ояту, дамыту;
* ұлттық ою - өрнектер мен таңбаларда геометриялық фигуралардың қолданылуы.
Математика мен еңбекке үйретудің арасындағы байланыстар:
* баланың еңбекке дайын болуын, математикалық білімдерін өмірде нақтылы жағдайларда практикалық мәселелерді шешу үшін пайдалана алуын қалыптастыру;
* күнделікті өмірге және тұрмысқа қажетті бұйымдар жасауда матемаикалық білім, білік дағдылардың пайдалануы;
* құрастыру және бұйым жасау жұмыстарында математикалық дәлдіктің және симметриялық пайдалануы.
Математика мен саздың арасындағы байланыстар:
* саздыұ әуен мен ырғақта матемаикалық дәлдіктің және сан мен үлестің пайдалануы;
* нота сауатында математикалық білімнің пайдалануы;
* саздық аспаптардың жасалуында және құрылымында математикалық білімнің пайдалануы;
* халықтық ән - күй, би, айтыс және термелерді математика мазмұнына сіңіру;
* саздық жанрларды ажырату, салыстыру.
Математика мен дене тәрбиесі арасындағы байланыстар:
* баланың кеңістікті болжауы және сейкес түсінікті пайдалануы;
* уақыт аралық жайындағы түсініктердің қалыптасытырылуы;
* Баланың қимывл - қозғалысындағы реттік тәртіп және дәлдік;
* қозғалмалы ұлттық ойындардың қолданылуы.
3) Матем-ы оқытудың әдістері мен құралдары
Бақылау зерттелетін обьектілерді мақсатты және жүйелі түрде тікелей қабылдау арқылы зерттейтін әдіс. Психологтар обьектілерді қабылдаудың мазмұны және бағыттылығы бізді қоршаған ақиқат дүние туралы адамның қандай білімдері, тәжірибесі бар екеніне байланысты болатындығын анықтаған.
Бақылау - ақпарат алудың ең маңызды әдістерінің бірі, ал бақылау жүргізе біле зерттеушінің бағалы қасиеті. Бақылау жасауды дұрыс ұйымдастыру оқушылардың математикалық деректерді табысты игеруіне жағдай жасайды, заңдылықтарды көре білуге және қорытындыны тұжырымдап айтуына жәрдемдеседі.
Бақылауды мынадай жоспар бойынша жүзеге асыруға болады:
1. Бақылаудың мақсатын анықтау.
2. Бақыланатын обьектілердің маңызды(елеулі) қасиеттері мен ерекшеліктерін ашу.
3. Бақылау кезіндегі алынатын ақпараттарды есепке алып отыру тәсілдерін анықтау (сипаттау, сызбалар жасау, сандық мәндерді кесеге түсіру және т.б.).
4. Зерттелінетін обьектілердің ерекшеліктері мен белгілері арасындағы байланысты тағайындау.
5. Бақылау нәтижелеріне талдау жасау.
Эксперимент (тәжірибе) - танып білудің ең тиімді әдістерінің бірі болып табылады.
Эксперимент (лат.exsperimentum - тексеріп, жасап (істеп) көру, тәжірибе) - зерттеушінің тікелей белсенді араласуы арқылы зерттелетін обьектінің қасиеттерін анықтау мақсатында әдейі арнап қажетті жағдайлар туғыза отырып танып білу әдісі.
Тану қызметінде орындалатын жұмыстың мазмұнына қарай эксперимент тексеруші және демонстрациялау (иллютрациялау) болып бөлінеді. Экспеимент обьектінің тікелей өзін немесе оның моделін қарастыру арқылы жүзеге асырылады.
Ойша эксперимент негізінде мынадай амалдар жүзеге асырылады:
1. Белгілі бір ереже бойынша зерттелетін обьекиінің ойша моделі құрылады, яғни идеяланған обьект жасалынады;
2. Модельге әсер ететін идеяланған жабдықтар мен құралдар құрылып, идеяландырылған шарттар да жасалынады;
3. Шарттарды саналы түрде жоспарлы өзгерте отырып, салыстырмалы және еркін комбинациялау;
4. Ойша эксперименттің барлық кезеңдерінде, ғылымда қалыптасқан обьективті заңдылықтарды саналы да дәл пайдалану, деректерді қолдану кезінде абсолюттік еркіндікке, негізсіз фантазияға жол бермеу.
Нақты (реальді) эксперименттің элементтері мыналар:
1. Мәселені қою және блжам жасау;
2. Обьектілерді зерттеудің эксперименттік алғышарттарын жасау;
3. Салдарды белгілеу және оның себептерін тағайындау;
4. Жаңа құбылыстарды және олардың ұқсастықтарын сипаттау.
Эксперимент математиканы оқыту үрдісінде оқушылардың орындайтын практикалық жұмысы түрінде көрініс табады. Эксперимент жаңа ұғымдарды енгізу және математикалық обьектілердің қасиеттерін көрсететін жаңа фактілерді тағайындау үшін өткізіледі. Эксперименттің нәтижесін индуктивтік жолмен жалпы заңдылықтарды байқауға, логикалық дәлелдеулердің идеясын шығаруға пайдаланылады.
Таным әдістерінің ішінде ең кең тараған және әмбебап әдістерінің бірі - салыстыру.
Зерттелетін обьектілердің ұқсастықтары мен айырмашылықтарын ойша тағайындау салыстыру деп аталады. Салыстыру нәтижесінде дұрыс қорытынды алу үшін мынадай шарттар орындалуы қажет.
1. Тек бір обьектілерді салыстыруға болады.
2. Обьектілерді бірдей белгісі болйнша салыстыру, ол толық болып аяғына дейін жеткізілуі тиіс.
К.Д.Ушинский дидактикада салыстыр негізгі тәсіл болуы керек, - деп есептеген. Салыстыра білудің мүмкін болатын бір нұсқасы мынадай. Салыстыру деген, бұл:
А) оқытылатын обьектілердің белгілерін бөліп көрсету;
Ә) обьектіні басқадан бөлектеп тұратын белгілерді табу;
Б) осы белгілер арқылы обьектілерді салыстыру.
Математикалық обьектілер мен заңдылықтарды оқып үйрену үрдісінде ғылыми танудың әдісі болып табылатын анализ және синтез әдістерін пайдаланбау мүмкін емес. Анализ деп бүтінді ойша немесе практикалық түрде құрамды бөліктерге бөліп, ол бөліктерді және олардың қасиеттері мен арақатынастарын жеке-жеке қарастыру арқылы зерттейтін әдіс түсініледі.
Оқып үйрететін обьект туралы айқын түсінік пайда болу үшін құрамды бөліктердің арасындағы өзара байланысты анықтау керек, сол себепті анализ жеткіліксіз. Сондықтан синтез қажет. Синтезді анализ арқылы бөлінген бөліктерді ойша немесе практикалық түрде біріктіру деп түсінеміз.
Анализдеу үрдісінде күрделіден қарапайымға, бір түрліден көп түрліге, нақтыдан абстрактіліге, белгісізден белгіліге, салдардан салдарды туғызатын себепке қарай қозғалу жүзеге асырылса, синтезде бұл үрдістер керісінше жүреді.
Жалпылау және нақтылау
Теориялық мәселелердің құрылуы мен қорытындылаудың көп тараған, қарапайым әдістерінің бірі жалпылау. Жалпылаудың методологиялық негізін, бізді қоршаған дүниенің заттар мен құбылыстарының өзара шарттылығы туралы дидактиканың қағидалары құрайды. Қарапайым жалпылаудың өзі, дүниенің байланыссын адамның терең түсінуінің негізін қалайды.
Индукция және дедукция өзара байланысты таным әдістері. Бұл әдістердің бөлінуі ой қорытулардың индуктивтік және дебуктивтік болып ажыратылуына негізделген. Индукция (лат. Inducti-бағыттау), дедукция (лат. Deductio-қорытындылау) терминдерінің үш мәні бар:
1) Ой қорытулардың түрлері;
2) Зерттеу әдістері;
3) Материалды баяндау формасы.
Индукция деп әдетте обьектілер класының бөліктері туралы білімдер негізінде ол класс туралы қорытынды жасау, яғни жекеден жалпыға өтудегі ой қорыту түсінілінеді. Математикада индуктивті әдіс деп тәжірибе арқылы тексерілген және дұрыстығы қатаң түрде тағайындалған теориялық сипаттағы айғақтар негізінде жаңа қорытындылар және теориялар алу деп түсініледі.
Индуктивтік зерттеулерде негізгі орын алатын индуктивтік ой қорыту болып табылады. Олар мынадай негізгі топтарға бөлінеді: толық индукция және толымсыз индукция.
Толық индукция-обьектілер класы туралы, ол обьектілер класының барлығын түгел қарастыру арқылы жалпы қорытынды шығаратын ой қорыту.
Толымсыз индукция обьектілер класының барлығы түгел қарастырмайтын тиянақтар арқылы жалпы қорытынды шығаратын ой қорыту.
Дедукция
Дедукцияның мазмұнын тану әдісі ретінде құбылыстардың жалпы ғылыми қағидаларын нақтылы жағдайларда қолдану құрайды.
Математикадағы дедуктивтік әдіс деп кейбір теориялық жүйелердің қатаң логикалық салдары болатын нақтылы деректер алу немесе ақиқат (бұрыннан белгілі немесе әзірше белгісіз) қорытынды шығару деп түсініледі.
Математикалық индукция әдісі
Индукция мен дедукцияның өзара байланысы жетілген индукция деп аталатын, математикалық индукция әдісін оқып үйренуде айырықша көрінеді.
Жетілген индукция қандайда бір математикалық деректерді зерттеуді мынадай кезеңдер бойынша жүргізеді:
1) Бақылау және тәжірибе;
2) Болжам;
3) Болжамды негіздеу (дәлелдеу).
Математикалық индукция әдісі математикалық индукция принципіне негізделеді.
Абстракциялау (лат. Абстрактион-алыстау, дерексіздендіру) обьектінің зерттеушіні қызықтыратын бір немесе бірнеше жақтарын ойша бөліп алу арқылы, оның елеусіз қасиеттерінен, белгілерінен, қатыстарынан ойша алыстау (ауытқу) болып табылады.
Абстракциялау үрдісі күрделі екі сатылы сипатта болады. Бірінші сатыда обьектілердің зерттеушіні қызықтыратын жақтары, қасиеттері мен құбылыстарның елеулілері елеусіздерінен ажыратылады. Яғни абстракциялауға дайындық кезеңі жүзеге асырылады.
Екінші сатыда, зерттеліп отырған обьектіні оның моделімен ауыстырылып, абстракциялау немесе дерексіздендіру жүзеге асады.
4)Жиындар. Жиындардың берілу тәсілдері
Қазіргі математика салалары мен оның практикада қолданылуын түгелдей дерлік жиындар теориясына негізделген. Өйткені жиындар теориясының ұғымдары математикалық обьектілердің ең жалпы қасиеттерін бейнелейді. Жиындар - математикада негізгі және алғашқы ұғымдардың бірі саналады. Сондықтан да болар, мектеп математикасының негізгі мазмұны болып табылатын "сан", "теңдеу" және "теңсіздік", "функция", т.с.с. ұғымдарды, сондай-ақ сандарға операциялар жүргізу, теңдеулер мен теңсіздіктерді шешуді оқып-үйрету теориялық жиындық ұғымдарды қолдануды көздейді.
Жиындар теориясының негізін салуіпы неміс математигі Георг Кантордың (1845-1918) сөзімен айтқанда: "Жиын дегеніміз өзіміздің ойымызда тұтас бір бүтін больш түсінілетін көптік".
Ал, "көптік", "жиын", "жинақ", "жиынтық" деген сөздерді тілдік тура мағынасы-алынып отырған объектілер бірнешеу деген ой тудырады. Бұдан әрбір жиыңда міндетті түрде көп (кемінде екі) элемент болу қажет деген жаңсақ пікір тууы мүмкін. Алайда математикада жиынды құрайтын элементтердің санына байланысты, тек бір ғана элементі болатын жиынды немесе элементтері бірнешеу, яғни элементтерінің саны шектеулі (шектелген жиын) жиынды, бірде-бір элементі болмайтын жиынды (шексіз жиын), элементтерінің саны шексіз көп жиынды шексіз жиын деп атайды. Шексіз жиындарды тізіммен беру мүмкін емес.
Жиындарды бір-бірінен айыру үшін оларды латын алфавитінің бас әріптерімен - А, В, С, В, Е, Ғ, ..., ал элементтерін кіші a,b,c,d,e, ... әріптермен, сондай-ақ жиындар символикасында бос жиын таңбасымен белгіленеді, тиісті деген сөздің орнына таңбасы, "тиісті емес" деген сөздің орнына таңбасы пайдаланылады.
Жиынның берілу тәсілдері:
1) Жиынның барлық элементтерін тізіп көрсету арқылы беріледі.
Мысалы, А жиыны 3,4,5,6 элементтерінен тұрса, онда элементтерін фигуралы жақшаға алып А=3,4,5,6 түрінде жазып, оны "А жиыны 3, 4, 5, 6 элементтерінен тұрады" деп оқиды.
2) Жиынның берілуінің тағы бір төсілі оны құрайтын элементтерінің ортақ қасиетін атау болып табылады. Мұндай қасиетті сипаттамалық қасиет деп атайды.
Мысалға 6 санынан кем натурал сандардың А жиынын қарастырайық. Бұл жерде А жиынының барлық элементтерінің ортақ қасиеті, атап айтқанда, оларды "натурал және 6-дан кіші сан болуы" аталып отыр. Қарастырып отырған А жиынының элементтерін атап шығу қиындыққа түспейді. А=ххN, х6. А={ 1, 2, 3, 4, 5.
Жиынды элементтерінің сипаттамалық қасиеті арқылы беру геометрияда жиі қолданылады. Белгілі бір сипаттамалық қасиеті бар нүктелердің жиынын нүктелердің геометриялық орны дейді.
Көрнекілік үшін жиындарды дөңгелек не сопақша фигуралармен бейнелейді. Оның ішінде сол жиынның элементтері ғана орналасады. Ол дөңгелектерді Эйлер дөңгелектері немесе Эйлер-Венн диаграммалары деп атайды.
(Леонард Эйлер (1707-1783)-Петербург ғылым академиясының мүшесі, Швейцарияда туылған, ал 1727 жылы петербург ғылым академиясының шақыруымен Ресейге келген және мұнда ірі математик дәрежесіне дейін көтерілген. Джон Венн (1886-1921) ағылшын математигі).
Анықтама. А және В жиындарының бірігуі деп не А не В жиындарының ең болмағанда біреуіне тиісті элементтерден және тек қана сол элементтерден тұратын жиынды айтады.
АВх хА немесе хВ
5) теріс емес бүтін сандар жиыны
Натурал сандар жиынымен бір ғана элементтен - 0 санынан тұратын жиынның бірігуі теріс емес бүтін сандар жиынын құрады. Теріс емес бүтін сандар жиыны және дегеніміз, яғни
Теріс емес бүтін сандар жиыны және дегеніміз, яғни "артық", "кем", "тең" қатынастары теріс емес екі бүтін сандарды салыстырудың нәтижесін білдіреді. Бұл қатынастар теориялық-жиындық негізде былайша анықталады.
Егер а,в болса, онда а=п(А), в=п(В) мұндағы А және В шектеулі жиындар.
Егер а және в санды тең қуаттас жиындармен анықталатын болса, онда олар тең болады: а=вА В, мұндағы п(А)=а, п(В)=в.
Егер А және В жиындары тең қуаттас болмаса, онда олар анықтайтын сандар әртүрлі.
Теріс емес бүтін сандар үшін "кем" қатынасының қасиеттерін же теориялық-жиындық тұрғыдан анықтауға болады.Мысалы, осы қатынастың транзитивтілігі мынаған байланысты: АВ, ВС, АВС болса, онда АС шығады, ал антисимметриялылығы егер В жиынының меншікт ішкі жиыны А болса, онда В жиыны А жиынының меншікті ішкі жиыны бола алмайды.
"Теңдік" таңбасын ағылшынның математик мұғалімі Р.Рекорд 1510-1558, ал "артық", "кем" таңбаларын тұңғыш рет ағылшын математигі Т.Харриот 1560-1621 қолданғанын айта кеткен жөн.
Сандарға қолданылатын арифметикалық амалдардың ең оңайы сандарды қосу амалы болып табылады. Бұл амал жиындарға қолданылатын операциялардан шыққан.
Теріс емес бүтін сандарға амалдар қолдану нәтижесінде жаңа сан шығады. Бұл амалдар - қосу, азайту, көбейту және бөлу.
Теріс емес бүтін сандардың қосындысы қиылыспайтын жиындардың бірігуі арқылы анықталады.
Теріс емес бүтін а және в сандарының көбейтіндісі дегеніміз мына шарттарды қанағаттандыратын теріс емес бүтін ахв сандарын айтады:
1) ахв=а+а+...+а,
2) ах1=а, мұндағы в=1;
3)ах0=0, мұндағы в=0.
6) шектеулі жиын элементтері
Санау жүйелері туралы ұғым. Ондық санау жүйесі. Бір жүйеден екінші жүйеге ауысуы туралы түсінік
Санау жүйесінің қандайы болса да мынадай принципке негізделеді: бірліктердің белгілі бір саны келесі жоғарғы дәрежесінің, немесе жоғарғы разрядтың жаңа бірлігін құрайды. Бұл сан санау жүйесінің негізі деп аталады. Осы санға қарай нумерация жүйесіне арнаулы атау беріледі, анықтап айтқанда: егер нумерацияның негізіне 12 саны алынған болса, екілік деп т.с.с. аталады. Қандай да болсын бір санау жүйесі бойынша таңбаланған сан жүйелі сан деп аталады.
Санау жүйесін мүмкін болғанша кәмелет түрген келтіру қажет деген ой мәдениеттің ең ерте кездерінің өзінде-ақ барлық халықтарда дерлік болып, ол ой күнделік өмір қажетінен туған.
Алғашқы адамдар санау процесінде стандарт жиындар ретінде өздері жақсы білетін етене жинақтың, бөлігін пайдаланған, ал қуаты көбірек жиынды білуі қажет болған жағдайларда, ол жинақты бірте-бірте ұлғайтып отырған. Осылайша ұлғайту нәтижесінде жаңа стандарт жиындар шығарып алу тәсілін сипаттайтын сандарға жаңадан атау беріп отыру қажет болған.
Алайда стандарт жиындар сан алуан болғанмен, олардың бәріне тән жалпы бір ерекшелігі болған; оларды құрайтын элементтерді адам жеке-дара күйінде қабылдауымен қатар, ол элементтерді өз ұғымында біріктіріп, өзі жақсы білетін тұтас жиын ретінде қабылдаған. Сөйтіп, әрбір стандарт жиын туралы адамның айқын түсінігі болған.
Сөйтіп, адамның іс-әрекетінің нәтижесінде сан формаларының жүйесін жасау қажет болды, тек бұл ғана емес, мейлінше мінсіз санау жүйесін теориялық жағынан негіздеу жолында адамның ақыл-ойының іздену бағытын да адамның сол іс-әрекеті анықтап берді.
Практикалық талаптарға сай тіл де жүйелік сан ұғымының сол жоғарыда көрсетілген тәсіліне орайласа отырып, мәдениеттің төменгі сатыларының өзінде-ақ "бір", "екі", "үш" т.с.с. ұғымдарды білдіру үшін эәне элементтердің түрліше топтарын атау үшін жеке сөздер жасады және сол сөздерді пайдаланып басқа қалған сандардың атауларын құрастырды.
Ерекше таңбаларды қолданып, сандарды жазбаша түрде кескіндеу едәуір кейініректе дамыған және алғашқы кездерде тіпті ертедегі гректер мен римдіктер сияқты жоғары мәдениетті халықтардың өздеріне өте қолайсыз болған. Саны шамалы ғана шартты таңбаларды пайдаланып, қарастырылып отырған жүйенің кез келген санын жазбаша кескіндеп көрсету мәселесін тек біздің эрамыздың басында ғана индустар шешкен, бұл үшін олар сандарды кескіндеу үшін қолданылатын таңбаларға алып тұрған "орындарына қарай" мән беру керек деген идеяны ұсынған. Бұл идеяның түпкі мәні мынау: бір таңбаның өзі берілген санның жазбаша кескіннінде алып тұрған орнына қарай әр түрлі мәнге ие болады.
Математикада сандарды атау мен жазуға және сандарға қолданылатын операцияларды (амалдарды) орындауға арналған тілді санау жүйесі деп атайды.
Сан өте ежелгі ұғымдардың бірі. Әртүрлі халықтарда жазудың пайда болуымен қатар санаудың да белгілі бір жүйелері пайда болды.
Математикада XIX ғасырдың екінші жартысында жиын ұғымы пайда болды. Жиын ұғымының математикаға енуі жиын теориясын қалыптастырды. Жиын теориясының негізін қалаушы неміс математигі Георг Кантор (1845-1918) болды. Белгілі бір ортақ қасиеттерге ие болып, белгілі бір заңдылықпен біріккен нәрселер, объектілер жиын құрайды. Мысалы: аспандағы жұлдыздар жиыны, кітап бетіндегі әріптер жиыны, бөлімі 6 саны болатын дұрыс бөлшектер жиыны т.с.с. Жиындар элементтерден құралады. Жиындардың элементтері аталып беріледі немесе сол жиын элементтеріне ғана тән қасиет (белгі) көрсетіледі. Жиынды латынның бас әрпімен белгілеп, оның элементтерін фигуралық жақшаның ішіне алып жазу келісілген. Мысалы, "планета" сөзіндегі әріптер жиынын P әрпімен белгілесек, P={а,п,н,л,е,т} немесе P={т,п,н,л,е,а} элементтер ретін әр-түрлі жазуға болады. Жиындар шектеулі жиын, шектеусіз жиын болып бөлінеді. Мысалы, цифрлар жиыны A - шектеулі жиын, оған 10 элемент енеді. A={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} жиынының элементтер санын көрсетіп жазсақ: n(A)=10. Ал натурал сандар жиыны N - шектеусіз жиын. Егер a элементі B жиынына тиісті болса, оның жазылуы: a Є B. Оқылуы: "a B жиынының элементі" немесе "a B жиынына тиісті". Мысалы, 7 саны натурал сандар жиынына тиісті: 7 Є N. Егер c элементі A жиынына тиісті болмаса, оның жазылуы: c cent A. Оқылуы:"c A жиынына тиісті емес". Мысалы, 0 саны натурал сандар жиынына тиісті емес: 0 cent N. Егер жиында бірде-бір элемент болмаса, оны бос жиын деп атайды. Бос жиынның белгіленуі: Ø . Мысалы, 74 және 79 сандарының арасындағы жай сандар жиыны - бос жиын. Әріптер жазылмаған дәптер бетіндегі әріптер жиыны - бос жиын. Егер B жиынының әрбір элементі A жиынына тиісті болса, онда B жиыны A жиынының ішкі жиыны деп аталады. Мысалы, A={1,2,3,4,5,6,7} жиынындағы жұп сандар жиыны - B={2,4,6}. B жиынының әрбір элементі A жиынына тиісті. Белгіленуі: B Є A. Оқылуы: B жиыны - A жиынының ішкі жиыны. Жиындардың байланыстары мен арақатынастары Эйлер-Венндөңгелектері арқылы кескінделеді. Суретте B жиыны A жиынының ішкі жиыны екені Эйлер-Венн дөңгелектері арқылы кескінделген. Бос жиын кез келген жиынның ішкі жиыны болады. Белгіленуі: Ø Є A. Мұндағы A - қандай да бір жиын. Егер екі жиын бірдей элементтерден тұрса, онда олар тең жиындар деп аталады. Мысалы, A={a,b,c}; B={c,a,b}, онда A=B. Оқылуы: A жиыны B жиынына тең.
7) Санаудың позициялық емес және позициялық жүйелері ажыратылады.
Позициялық емес жүйелер әрбір таңбаның (сандарды белгілеуге арналған берілген жүйеде қабылданған таңбалар жиынтығынан алынған) әрқашан санның жасалуындағы оның алатын орнына (позициясына) тәуелсіз түрде бір ғана санды белгілеумен сипатталады. Кейде қазіргі кезде де қолданылатын римдік жүйе сондай жүйенің белгілі мысалы болып табылады.
Бұл жүйеде сандарды жазу үшін латын алфавитінің әріптері қолданылады.
І-бір, Ү-бес, Х-он, L-елу, С-жүз, D-бес жүз, М-мың, және т.б.
ІҮ-4, ІХ-9 ХL-40, ХС-90, СD-400, СМ-900 сандары азайту арқылы, қалғандары қосу арқылы алынады.
ІІ-2, ХІІ-12, LVІІ-57, т.с.с.
Бұл жүйедегі қолданылатын әрбір әріп әрқашан бір ғана санды білдіреді. Сондықтан үлкен сандарды жазу мейлінше қолайсыз болды. Оның үстіне, енгізілген таңбалар жетіспейді, қаншама жаңа таңбаларды енгізгенмен олармен белгілеу қиынға соғатын, ал жаңа санды қашан да ойлап табуға болатын еді.
Ондық позициялық жүйе жаппай қабылданған жүйе болып табылады, ол әуелде саусақпен санаудан басталған. Ол Үндістанда ойлап табылған, онымен арабтар айналысқан және әрбір елі арқылы Европаға жеткен.
Санаудың ондық жүйесіндегі сандарды жазу үшін 10 таңба қолданылады. Осы цифрлардың әрқайсысының өз атаулары бар және олар бір таңбалы теріс емес бүтін оң санның атауларына сәйкес келеді. Олардан сандардың қысқаша жазылуы болып табылатын шектеулі тізбектер құрылады.
Теріс емес бүтін сандарға амалдар қолдану нәтижесінде жаңа сан шығады. Бұл амалдар - қосу, азайту, көбейту және бөлу.
8)Теріс емес бүтін сандардың қосындысы қиылыспайтын жиындардың бірігуі арқылы анықталады.
Теріс емес бүтін а және в сандарының көбейтіндісі дегеніміз мына шарттарды қанағаттандыратын теріс емес бүтін ахв сандарын айтады:
1) ахв=а+а+...+а,
2) ах1=а, мұндағы в=1;
3)ах0=0, мұндағы в=0.
Теріс емес бүтін а және натурал в сандарының бөліндісі дегеніміз в санымен көбейтіндісі а-ға тең болатын теріс емес бүтін с=ахв с санын айтады.
Бастауыш сынып математикасында бөлу туралы алғашқы ұғым жиындарды өзара қиылыспайтын ішкі жиындарға бөлетін машық жұмыс арқылы енгізіледі, бірақ терминология мен символдар енгізілмейді. Бөлу ұғымының мағынасы жай есептерді шешу арқылы ашылады.
Математиканың бастауыш курсында теріс емес бүтін сандардың қосындысы заттардың екі жиынын біріктіруге берілген жаттығу жұмыстарының негізінде енгізіледі. Қосудың теориялық-жиынтық мәнін ашудың басты құралы - арифметикалық жай есептер.
9) Жай және құрама сандар
1 мен өзінен басқа бөлгіштері жоқ натурал санды жай сан деп атайды. Бір мен өзінен басқа да бөлгіштері бар сандарды құрама сандар деп атайды.
1 саны жай сандарға да, құрама сандарға да жатпайды, өйткені оның бір ғана бөлгіші бар.
Санның канондық (қарапайым) жіктелуі - натурал санының жай көбейткіштерге жіктелуі: мұндағы - жай сандар, - натурал сандар.
Әрбір натурал сан жай көбейткіштерге (бір ғана тәсілмен) жіктеледі.
Мысалдар.
Бірнеше санның ортақ бөлгіштерінің ішіндегі ең үлкенін ең үлкен ортақ бөлгіш(ЕҮОБ) деп атайды.ЕҮОБ-ті табу үшін берілген сандардың әрқайсысын жай көбейткіштерге жіктеп, олардың берілген сандардың әрқайсысының жіктелуіне кіретіндерін теріп жазады. Осындай көбейткіштердің әрқайсысын жіктелулердегі ең кіші дәрежемен алып, оларды көбейтеді.
Бірнеше санның ортақ еселіктерінің ішіндегі ең кішісін ең кіші ортақ еселік(ЕКОЕ) депатайды. ЕКОЕ-ті табу үшін сандардың әрқайсысын жай көбейткіштерге жіктеп, берілген сандардың ең болмағанда біреуінің жіктелуіне кіретін жай сандарды теріп жазады. Осындай көбейткіштердің әрқайсысын жіктелулердегі ең үлкен дәрежемен алып, оларды көбейтеді.
Мысал.
ЕҮОБ
ЕКОЕ
10) санның еселіктері мен бөлгіштері
Натурал сандар бөлінгіштігі тақырыбы бесінші сынып Математика курсынан белгілі. Натурал сандардың бөлгіші, натурал сандардың еселігі ұғымдары осы тақырыпты меңгерудегі негізгі ұғымдар болып табылады.Бір санына кез-келген натурал сан бөлінетіні, ал нөлге ешқандай санды бөлуге болмайтыны мәлім. Бөлінгіштік белгілері Бөлінгіштік белгілері деп, берілген х санының а санына қалдықсыз бөлінетінін бөлу амалын орындамай-ақ білуге болатын ережелерді атаймыз. 2-ге бөлінгіштік белгісі. Егер сан жұп цифрымен аяқталса, сол сан 2-ге бөлінеді 3-ке бөлінгіштік белгісі. Цифрларының қосындысы 3-ке тең натурал сандар 3-ке бөлінеді. 4-ке бөлінгіштік белгісі. Егер санның соңғы екі цифрынан құралған сан 4-ке бөлінсе, онда берілген сан да 4-ке бөлінеді. 5-ке бөлінгіштік белгісі. Жазылуы 0 цифрымен немесе 5 цифрымен аяқталатын натурал сандар 5-ке бөлінеді. 6-ға бөлінгіштік белгісі. Егер берілген сан 2-ге және 3-ке бөлінсе, онда берілген сан да 6-ға бөлінеді.7-ге бөлінгіштік белгісі. Берілген сан 7- ге бөлінетінін білу үшін: ол санды оңнан солға қарай үш - үштен топтаймыз да, тақ нөмірлі санды минуспен, ал жұп нөмірлі санды плюспен жазып, өрнектің мәнін табамыз. Егер өрнектің нәтижесі 7 - ге бөлінсе, онда берілген сан да 7 - ге бөлінеді. 8 - ге бөлінгіштік белгісі. Егер берілген санның соңғы үш орынды саны 8 - ге бөлінсе, берілген сан да 8 - ге бөлінеді. 9- ға бөлінгіштік белгісі. Цифрларының қосындысы 9-ға тең натурал сандар 9-ға бөлінеді. 10- ға бөлінгіштік белгісі. Жазылуы 0 цифрымен аяқталатын натурал сандар 10-ға бөлінеді. Берілген а және b сандарының ортақ еселіктерінің бірі олардың аb көбейтіндісі болып табылады және ол көбейтінді а-ға да, b-ға да бөлінеді.
Сонда а және b сандарына ортақ еселік болатын сандардың жиыны b-ға да еселік, а-ға да еселік сандар жиындарының қиылысуы болып табылады.
Анықтама. Берілген а және b сандарының ортақ еселіктерінің ең кішісін осы сандардың ең кіші ортақ еселігі (ЕКОЕ) деп айтады.
Осы а санын b санына еселік қатынасына қатысты алғанда b саны а санының бөлгіші қатынасы кері болып табылады. Басқаша айтқанда, b саны а-ның бөлгіші болса және тек сонда ғана а саны b-ға еселік болады, яғни а саны b-ға бөлінеді дейді.
Анықтама. Егер а және b сандары с санына бөлінсе, онда с-ны осы сандардың ортақ бөлгіші деп атайды.
Ал а және b сандарының ортақ бөлгіштерін табу үшін а саны бөлгіштерінің жиыны мен b саны бөлгіштері жиынының қиылысуын табу керек.
Анықтама. Берілген а және b сандары ортақ бөлгіштерінің ең үлкенін осы сандардың ең үлкен ортақ бөлгіші (ЕҮОБ) деп айтады.
Теорема. Егер с саны натурал а және b сандарының ортақ бөлгіші болса яғни а=ас, b=bс, онда 1=аbс саны да а және b сандарының ортақ еселігі болады.
Теорема. Егер d=аbк, мұндағы к=ЕКОЕа, b болса, онда а және в сандарының ең үлкен ортақ бөлгіші b болып табылады.
Мысалы: ЕКОЕ (12,8)=24, ЕҮОБ (12,8)=4.
ЕКОЕ (12,8)·ЕҮОБ (12,8)=96.
ЕҮОБ(а, b)·ЕКОЕ(а, b)=аb, ЕКОЕ(а, b)= ЕҮОБ (а, b)
Егер ЕҮОБ(а, b)=1 болса, онда ЕКОЕ(а, b)=аb болады. ... жалғасы
Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.
Ұқсас жұмыстар
Пәндер
- Іс жүргізу
- Автоматтандыру, Техника
- Алғашқы әскери дайындық
- Астрономия
- Ауыл шаруашылығы
- Банк ісі
- Бизнесті бағалау
- Биология
- Бухгалтерлік іс
- Валеология
- Ветеринария
- География
- Геология, Геофизика, Геодезия
- Дін
- Ет, сүт, шарап өнімдері
- Жалпы тарих
- Жер кадастрі, Жылжымайтын мүлік
- Журналистика
- Информатика
- Кеден ісі
- Маркетинг
- Математика, Геометрия
- Медицина
- Мемлекеттік басқару
- Менеджмент
- Мұнай, Газ
- Мұрағат ісі
- Мәдениеттану
- ОБЖ (Основы безопасности жизнедеятельности)
- Педагогика
- Полиграфия
- Психология
- Салық
- Саясаттану
- Сақтандыру
- Сертификаттау, стандарттау
- Социология, Демография
- Спорт
- Статистика
- Тілтану, Филология
- Тарихи тұлғалар
- Тау-кен ісі
- Транспорт
- Туризм
- Физика
- Философия
- Халықаралық қатынастар
- Химия
- Экология, Қоршаған ортаны қорғау
- Экономика
- Экономикалық география
- Электротехника
- Қазақстан тарихы
- Қаржы
- Құрылыс
- Құқық, Криминалистика
- Әдебиет
- Өнер, музыка
- Өнеркәсіп, Өндіріс
Қазақ тілінде жазылған рефераттар, курстық жұмыстар, дипломдық жұмыстар бойынша біздің қор #1 болып табылады.
Ақпарат
Қосымша
Email: info@stud.kz