Комплекс айнымалы дифференциал функция

Пән: Математика, Геометрия
Жұмыс түрі: Материал
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 10 бет
Таңдаулыға:

&4. Комплекс айнымалы дифференциал функция.
Коши - Риман шарты
функциясы комплекс айнымалысының облысының кейбір нүктесінде анықталған болсын. және нүктелері облысына жататын болсын. Бұдан
.
Анықтама 1.функциясы нүктесінде дифференциалданған деп аталады, егер нүктесінде қатынасының соңғы шегі шартты түрде нөлге ұмтылатын болса. Бұл шек нүктесінде берілген функцияның туындысы деп аталады және (немесе немесе ) өрнегі арқылы белгіленеді, сондықтан анықтама бойынша
. (1)
Егер болса, онда әр нүктеде дифференциалданатын функциясы орындайтын қатынастарды
(2)
Коши - Риман шарты деп атайды.
Керісінше, егер кейбір нүктелерінде және функциялары және нақты айнымалылар сияқты дифференциалданатын, және сонымен қатар, (2) теңдікті қанағаттандыратын болса; онда функциясы нүктесінде комплекс айнымалы функциясындай дифференциалданатын болады.
Анықтама 2. функциясы нүктесінде аналитикалық деп аталады, егер нүктесінде, сонымен қатар оның маңында дифференциалданатын болса. функциясы облысында аналитикалық деп аталады, егер ол осы облыстың әр нүктесінде дифференциалданатын болса. Кез келген аналитикалық функциясы үшін
(3)
Мысал 1. Комплекс жазықтығында аналитикалық функция болатындығын көрсетіңіз.
Шешімі. сондықтан да,

және функциялары және тұрақты айнымалы функциялар сияқты кез келген нүктесінде дифференциалданады (кез келген тәртіптегі үздіксіз жекеленген туындылары) және (2) шартты қанағаттанадырады.
Демек, функциясы барлық жерде аналитикалық. үшін (3) формуласына сәйкес мынаны аламыз:

Осылайша, .
Мысал 2. функциясы ең болмаса бір нүктеде аналитикалық бола ма?
Шешімі. сондықтан да,

Коши - Риман шарты бұл жағдайда мына түрге ие

және нүктесінде ғана қанағаттандырады.
Демек, функциясы тек қана нүктесінде дифференциалданады және басқа еш жерде аналитикалық емес.
1 анықтаманы пайдаланып, функциясы нүктесінде дифференциалданатындығын көрсетеміз. Шын мәнінде, , сондықтан

және

Осылайша, туындысы бар және ол нөлге тең.
Мысал 3. функциясы аналитикалық бола ма?
Шешімі. Мұнда функциясы және айнымалыларының барлық нүктесінде дифференциалданады. Әрі қарай,

Сондықтан , яғни Коши - Риманның бірінші шарты комплекс жазықтығының бірде-біреуінде орындалмайды.
функциясы ешбір нүктеде дифференциалданбайды, демек, аналитикалық емес.
Коши - Риман шарттарын пайдаланып, келесі функциялардың қайсысы ең болмағанда бір нүктеде аналитикалық болатындығы, қайсысы болмайтындығын анықтау керек:
104. а) ; б); в); г); д); е)
105. а) б) в) г)
106. облысында аналитикалық функция болатындығын көрсету керек.
107. - натурал болғанда тікелей есептеуді көрсет:
.
108. Егер және аналитикалық функциялар шартын қанағаттандыратын болса, ондаболатындығын көрсету керек.
109. декарттық координат жүйесінен полярлыққа өту кезінде (2) Коши - Риман шарты мына түрге ие екенін көрсету керек:
(4)
110. Егер аналитикалық функциясы кейбір облыста анықталған болса, онда ол тұрақты болатынын көрсет.
111. Егер функциясы облысында аналитикалық болса, онда осы облыста мына теңдік орындалытындығын көрсет:
.
112. облысында аналитикалық функция болсын. және сызықтар жүйесі ортогоналды болатындығын көрсету керек.
113. Аналитикалық функциясының модуль мен аргументі

арақатынасымен байланысты

Коши - Риман шарттарын пайдаланп, аналитикалық функциясын қалпына келтіруге болады, егер оның нақты бөлігі немесе саналы бөлігі белгілі болса.
Сонымен қатар, нүктесінің маңында аналитикалық функциясын келесі формулалардың бірімен қалпына келтіруге болады:
(5)
(6)
мұндағы: нүктесінде үшін - біріктірілген сан.
Мысал 4. Берілгені бойынша нақты бөлігі және қосымша шарты болатын аналитикалық функциясын табу керек.
Шешімі:
Бірінші тәсіл. болсын. Коши - Риманның бірінші шарты бойынша болуы керек, сондықтан Бұдан мұнда функциясы белгісіз. бойынша функциясын Коши - Риманның екінші шартын пайдаланып , дифференциалдасақ, мынаған келеміз

мұндағы демек, , мұндағы .
Осылайша, және бұдан

шартынан тұрақтысын табамыз, яғни бұдан Жауабы:
Екінші тәсіл. (5) формуланы қолданамыз. Бұл мысалда Демек, (5) формуласы бойынша екендігін ескеріп, анық екендігін аламыз.
Мысал 5. Шарт бойынша болғандағы саналы бөлігі арқылы аналитикалық функциясын табу керек.
Шешімі: (6) формуланы пайдаланамыз. Бұл мысалда
болғандықтан

Белгілі нақты бөлігі немесе саналы бөлігін және мағынасы арқылы нүктесінің маңында аналитикалық функциясын қалпына келтіру керек:
114. a)
б)
в)
115. а)
б)
в)
116. а)
б)
Анықтама 3. функциясы облысында гармоникалық деп аталады, егер ол осы облыста үздіксіз жеке туындылары екінші ретке дейін қамтылатын және қанағаттандырылатын осы облыстағы Лаплас теңдеуі мына түрде ие болса
.
Егер функциясы облысының кейбір бөлігінде аналитикалық болса, онда оның нақты бөлігі және саналы бөлігі осы облыста гармоникалық функция болады.
Бірақ, егер және кез келген екі гармоникалық функция болса, онда функциясы аналитикалық функция болуы міндетті емес: аналитикалық үшін және функциялары қосымша Коши ... жалғасы

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.