Трансцендентті теңдеулер мен теңсіздіктер

1. Көрсеткіштік теңсіздіктер
1.1. Теориялық сұрақтар
1.2. Тест.тапсырмалар
1.3. Бақылау тапсырмалары
1.4. Ұлттық бірыңғай тестілеуде берілген тапсырмалар
1.5. Жауабы
2. Логарифмдік теңсіздіктер
2.1. Теориялық сұрақтар
2.2. Тест.тапсырмалар
2.3. Бақылау тапсырмалары
2.4. Ұлттық бірыңғай тестілеуде берілген тапсырмалар
2.5. Жауабы
3. Тригонометриялық теңсіздіктер
3.1. Теориялық сұрақтар
3.2. Тест.тапсырмалар
3.3. Бақылау тапсырмалары
3.4. Ұлттық бірыңғай тестілеуде берілген тапсырмалар
3.5. Жауабы
4. Кері тригонометриялық функциялары бар теңсіздіктер
4.1. Теориялық сұрақтар
4.2. Тест.тапсырмалар
4.3. Бақылау тапсырмалары
4.4. Жауабы
        
        Мазмұны
1. Көрсеткіштік теңсіздіктер
1. Теориялық сұрақтар
2. Тест-тапсырмалар
3. Бақылау тапсырмалары
4. Ұлттық бірыңғай тестілеуде берілген тапсырмалар
5. Жауабы
2. Логарифмдік теңсіздіктер
1. Теориялық сұрақтар
2. ... ... ... ... ... ... ... тапсырмалар
5. Жауабы
3. Тригонометриялық теңсіздіктер
1. Теориялық сұрақтар
2. Тест-тапсырмалар
3. Бақылау тапсырмалары
4. Ұлттық бірыңғай тестілеуде берілген тапсырмалар
5. Жауабы
4. Кері ... ... бар ... Теориялық сұрақтар
2. Тест-тапсырмалар
3. Бақылау тапсырмалары
4. Жауабы
§1 Көрсеткіштік теңсіздіктер
Көрсеткіштік ... ... мен ... шешу ... бұрын ең алдымен көрсеткіштік ... ... ... ... ... шешу ... білу ... теңсіздіктерді шешу тәсілдері негізінен көрсеткіштік
теңдеулерді шешудің әдіс амалдарымен ... ... ... ... ... де ... түсіріп
жазуға болады, бірақ
1° егер және ;
2° егер және
болады, ... ( ... >, 0 және а≠1 ... ... емес (≥) екі жағдайды бірдей қарастырамыз):
1) Егер немесе ... онда ... ... кез ... ... яғни ... Егер болса, онда b-ның қабылдайтын мәндеріне байланысты ... ... ... ... ... ... және ... онда ;
б) және болсын, онда ;
в) және b кез келген сан, онда ;
г) және ... онда ... және ... онда ... және кез ... b саны үшін болады.
Демек көрсеткіштік өрнектің негізі ... ... ... негізін
түсіргенде теңсіздік мағынасы сақталынады, ал негізі бірден кіші болса,
онда теңсіздік мағынасы қарама-қарсыға ... ... есте ... ... шешіңіз
1)
Шығарылуы. а=3 негізі бірден үлкен b=1, демек х>0.
2)
Шығарылуы. b=-9 теріс сан, ... ... ... а=3, b= бірақ, ол да 3-негізіне ... ,
=> .
4) ... а=3, b=6 ... 6 саны 3 ... ... ... ... , b=1 негізі бірден кіші х0, а≠1)
Бұл түрдегі теңсіздік (I) ... ... ... шешім де қарама-қарсы мағынада жазылады.
1) Егер b0, ал көрсеткіштік өрнектің негізі ... ... ... түсірілгенде теңсіздік мағынасы сақталынады, негізі бірден
кіші болса, ... ... ... ... ...
Шығарылуы. а=7, b=1 => х>0.
12)
Шығарылуы.
.
13)
Шығарылуы. .
14) ... ... ... ... теңсіздіктер, деп белгілеп жаңа
айнымалы енгізу арқылы қарапайым ... ... ... ... ...
деп белгілеп,
квадрат теңсіздігін аламыз.
D=25, онда оның шешімі арқылы ... ... ... көшсек, . Бірінші теңсіздіктің шешімі
жоқ, екіншіде х>1.
Жауап: (1; +∞).
16)
Шығарылуы. Көрсеткіштік ... 4, 25, 10 үш ... ... ... бір ... келтіру үшін, теңсіздіктің екі жағын да -
бөлеміз. Нәтижесінде теңсіздігінен
аламыз. деп белгілесек, ... , ... ... ... оң ... екенін ескеріп теңсіздігін
аламыз.
у айнымалысын ... ... ... алмастырсақ .
Жауап .
17) Теңсіздікті шешіңіз
Шығарылуы. деп белгілесек теңсіздігін аламыз. екенін
ескеріп, теңсіздіктер жүйесін аламыз
Бастапқы айнымалыға ... ... ... .
IV ... ... , ... кез ... функция.
1) Егер немесе болса, онда тесңсіздіктің шешімі
функциясының ... ... ... ... Егер ... ... ... негізіне баса назар аударамыз
а)
б)
Мысалдар. Теңсіздіктерді шешіңіз
17)
Шығарылуы. негізі бірден кіші, демек негіздерін түсіріп жазғанда
теңсіздік ... ... ... ... ... ... шешімін жазамыз. Жауап .
18)
Шығарылуы.
2 мен 3 ... ... ... ... 2 ... логарифмдейміз
.
19) а)
Шығарылуы. Теңсіздіктің оң жағы ... сан. ... ... ... ... облысымен сәйкес келеді.
б)
Шығарылуы. функциясының анықталу облысы .
в)
Шығарылуы. функциясының анықталу ... ... .
V ... теңсіздіктер кез келген рационал функция.
1) Егер немесе ... онда ... ... болмайды.
2) Егер болса, көрсеткіштік өрнектің негізіне баса назар
аударамыз.
а)
б)
Мысалдар.Теңсіздіктерді ... ... ... сол жағындағы қосынды арифметикалық
прогрессияның ... ... ... жүйені аламыз.
Прогрессия мүшелерінің саны оң санмен өрнектелінетіндіктен жауап
.
21)
Шығарылуы.
. Жауап ... ... ... және ... ... функциялар.
1) а мен в сандары бірдей ... ... ... келтіріп,
негіздерін түсіріп жазамыз
Мысал. Теңсіздікті шешіңіз
22)
Шығарылуы. Негіздері әртүрлі, сондықтан ... ... ... ... ... 0,(4) және 0,(6) периодты ондық бөлшектер,
демек
және .
.
Өрнектердің негіздері ... және ... кіші ... ... ... ... қарама-қарсыға өзгертіп жазамыз
.
Жауап .
23)
Шығарылуы.
нәтижесінде . ... ... ... демек негіздерін түсіріп жазғанда,
теңсіздік мағынасы сақталынды , ... ... ... ... ... , кез ... ... тұрғыдағы теңсіздіктерді шешу үшін ... ... ... зерттеулер жүргіземіз.
1) онда бастапқы теңсіздік шешімі функциясының анықталу
облысының ... ... ... ... ... ... тәуелді теңсіздік аламыз
және теңдігімен алмастырамыз. Нәтижесінде
егер
егер
теңсіздіктер жүйесін шешеміз.
Мысалы. Теңсіздікті шешіңіз
24)
Шығарылуы.
1) ... ... ... , ... .
2) ... онда
Жауап .
2-тәсіл. екенін ескерсек, берілген теңсіздік
теңсіздіктер жүйесінің шешімі .
VІІІ түріндегі теңсіздіктер. Бұл жағдайда ... ... ... ... ... Демек теңсіздік теңсіздіктер жүйесіне
келтіріледі.
Мысал. Теңсіздікті шешіңіз
25)
Шығарылуы.
ІХ ... ... ... және . және
кез келген ... ... Бұл ... теңсіздіктер төменгі екі
системаға жіктелінеді.
1) және 2) ... ... ... бастапқы теңсіздіктің шешімі болады.
Мысалдар. Теңсіздіктерді шешіңіз
26)
Шығарылуы. 1) және 2)
Әрбір жүйені ... ... ;
2) ... ... ... 1) және 2) .
Әрбір жүйені жеке-жеке шешеміз
1) ;
2) .
Жауап .
Көрсеткіштік теңсіздіктерді шешуде оларды түрлендіріп, ... ... ... басқа да әдіс-тәсілдерді қолдана білген тиімді:
а) аралықтар тәсілі:
Берілген трансценденттік өрнектерді теңсіздіктің бір жағына шығарып,
көбейткіштерге жіктейміз.
Әрбір ... ... ... ... ... теңсіздіктің
анықталу облысындағы нольдерін тауып, сол нүктелер арқылы анықталу облысын
белгілі бір ... ... ... ... ... ... Таңбалар қисығын жүргіземіз. Тапсырма шартына сәйкес қажетті
аралықты, штрихтау арқылы белгілеп, жауабын анықтаймыз.
Мысалы. Теңсіздікті шешіңіз
28)
Шығырылуы.
.
Демек
Жауап ... ... ... ... ... ... ... өрнектің мәндерін табамыз.
Олар . Демек, сан өсі аралықтарына бөлінеді. Әрбір аралықта
өрнектің ... ... ... ... ... ... жағдайларда бұл тәсілдің тиімділігі айқын сезіледі. Ол үшін
координаталар жазықтығына теңсіздіктегі қарапайым функциялардың ... ... ... ... ... ... қанағаттандыратын
нүктелер жиынын, жауап ретінде көрсетеміз.
Мысалы. Теңсіздікті шешіңіз
30)
Шығарылуы. Координаталар жазықтығына және ... ...... ... ... басқа абциссаның барлық мәндері
үшін функциясының графигі ... ... ... ... ... ... ... нүктелер теңсіздік шешімі
болады. Жауап .
31) Теңсіздікті шешіңіз .
Шығарылуы. Көрсеткіштік теңдеулер ... ... ... ... ... ... назар аударсақ,
аралығында ғана функциясының графигі түзуінен төмен орналасады.
Демек жауап .
1.1 Қайталауға арналған сұрақтар
1) ... ... мен ... ... ... бар?
2) Қарапайым түрдегі көрсеткіштік теңсіздіктер қалай шешіледі?
3) Қандай жағдайларда көрсеткіштік теңсіздіктерге жаңа ... ... ... ... ... келтірілмесе көрсеткіштік теңсіздікті
қалай шешуге болады?
5) және ... шешу ... ... ... ... ... - ... қандай
шарттарды қанағаттандыруы керек.
7) теңсіздігінде болса ... ... ... ... ... ... ... мен шешу
алгоритімін еске түсіріңіз.
9) Көрсеткіштік ... ... ... ... ... ... ... Біртекті көрсеткіштік теңсіздіктерді шешу тәсілдерін айтыңыз.
11) а – ... ... ... ... ... болады?
12) теңсіздігінің кез келген п саны үшін орындалатынын
дәлелдеңіз.
1.2 Тест тапсырмалар
1) Теңсіздікті шешіңіз
А) В) С) D) Е)
2) ... ...
А) В) С) D) Е)
3) ... ...
А) В) С) D) Е)
4) ... ...
А) В) С) D) Е)
5) ... ...
А) В) С) D) Е)
6) ... ...
А) В) С) D) Е)
7) ... шешіңіз
А) В) С) D) Е)
8) ... ...
А) В) С) D) Е)
9) ... ...
А) В) С) D) Е)
10) ... ... ... тәсілдердің қайсысын
пайдаланған тиімді
А) графиктік В) ... жаңа ... ... ықшамдаймыз
D) өрнегіне теңсіздіктің екі жағын да бөлу арқылы
Е) өрнегіне теңсіздіктің екі жағын да бөлу арқылы
11) ... ... ... ... ... ... негіздерін түсіріп, сызықты теңсіздікке келтіру нәтижесінде
В) ұқсас мүшелерін біріктіріп, стандартты түрге келтіру
С) жаңа ... ... ... квадрат теңсіздікке келтіреміз
D) 2-ге бөліп жібереміз
Е) 2 – негізде логарифмдейміз
12) Теңсіздікті шешіңіз
А) В) С)
D) Е)
13) ... ...
А) В) С) D) Е)
14) ... ...
А) В) С) D) Е)
15) ... ...
А) В) С)
D) Е)
16) ... ...
А) В) С) D) Е)
17) ... ...
А) В) С)
D) Е)
18) ... төмендегі сандардың қайсысы қанағаттандырады
А) 1 В) С) 2 D) 0 Е) ... ... ... тәсілдердің қайсысымен шығарған тиімді
А) х-дәрежеге шығарамыз да түбір деп құтыламыз
В) теңсіздіктің екі жағын да көрсеткіштік ... ... ... бір ... оңай ... ... әрбір қосылғышты нольге теңестіреміз
20) теңсіздігінің қанша бүтін шешімі бар?
А) шексіз көп В) екі С) ... ... Е) ... ... ... Теңсіздікті шешіңіз
А) В) С)
D) Е)
22) ... ...
À) В) С)
D) Е)
23) ... ...
À) В) С)
D) Е)
24) ... ... қайсысымен шығарған тиімді
А) ортақ бөлгішке келтіріп, ықшамдап, көбейткішке жіктеу
В) жаңа айнымалы енгізу арқылы
С) ... ... ... оң, сол жақтарын жеке-жеке шығарып, ортақ шешімін ... ... ... ... шешіңіз
А) В)
С) D)
Е)
1.3 ... ... ... ;
2) ;
3) ;
4) ;
5) ;
6) ... ... ғана шешімі болатын а параметрінің барлық
мәндерін ... ... тек қана екі ... ... а ... барлық
мәндерін табыңыз. Ол шешімдерді табыңыз.
8) теңсіздіктер жүйесінің шешімдер жиыны нүктесіне қарағанда
симметриялы болатын b ... ... ... ... ... ...
10) а – ... әрбір мәні үшін теңсіздігін қанағаттандыратын х-
тің барлық мәндерін табыңыз.
1.4 Ұлттық бірыңғай тестілеуде қолданылған тапсырмалар
Теңсіздіктерді ... х ең ... ... ... ... х ең ... бүтін шешімін тап
Теңсіздіктер жүйелерін шешіңіз:
Жауабы
1.2 Тест тапсырмалары
|1 D |5 E |9 D |13 D |17 C |
|2 A |6 D |10 B |14 A |18 A |
|3 C |7 B |11 E |15 B |19 C |
|4 C |8 E |12 C |16 B |20 D ... ... ... 2; 2) -2; 3) ; 4) ; 5) ; 6) 3; 7) ; 8) ;
9) 1,5; 10) ; 11) ; 12) ; 13) ; 14) 3; 15) 1; 16) ... ... ... теңдеудің бір түбірі екіншісінен 3 есе үлкен
болады; 17) , теңдеуінің жалғыз ғана шешімі болады; 18) егер ... ... үшін ... ... болмайды.
§ 2 Логарифмдік теңсіздіктер
Айнымалы таңба логарифм таңбасы астында немесе негізінде болып келетін
теңсіздікті ... ... деп ... ... ... шешу ... функциялардың қасиеттері
мен логарифмдік теңдеулерді шешу тәсілдерімен сабақтасып жатады.
Сонымен қатар логарифмдік теңсіздіктердің ... ... ... логарифмнің негізіне тәуелді. Егер логаримдік
өрнектің негізі бірден кіші болса, логаримді ... ... ... ... ... ал негізі бірден үлкен болса таңба
сақталынады.
функциясының негізі бірден үлкен болса, ол - ... ал ... ...... ... ... ... теңсіздіктерге қатысты тұжырымдамалар аламыз.
Енді логаримдік теңсіздіктерді шешуді оның ең қарапайым ... - ... ... ... , b – кез келген нақты сан.
Негізіне қатысты екі жағдайда қарастырамыз:
егер болса, онда ;
егер ... онда ... ... ... ... Теңсіздіктерді шешіңіз.
1) . Шығарылуы. - бірден үлкен, ... .
2) . ... .
3) . ... - ... ... олай ... ... .
4) .
Шығарылуы. .
5) . Шығарылуы. .
ІІ - түріндегі ... ... (І) ... ... ... ... яғни:
егер болса, онда ;
егер болса, онда .
Мысалы. Теңсіздіктерді шешіңіз:
6) . Шығарылуы. , демек .
7) . ... , ... ... қарам-қарсыға өзгереді, яғни
.
ІІІ - түріндегі теңсіздік. Мұнда .
Айнымалы логаримнің ... ... оның ... ... тәуелді. Демек логаримдік теңдік, теңсіздіктер жүйесіне
келтіріледі:
1) және 2) ... осы ... ... бастапқы теңсіздіктің шешімі болмақ.
Ескерту. - теңсіздіктің төрт белгісінің бірі, ал ... ... ... ... ... Теңсіздіктерді шешіңіз:
8) .
Шығарылуы. 1) және 2) .
Әрбір жүйені жеке-жеке шешеміз.
1) ;
2) .
Жауап: .
9) .
Шығарылуы. 1) және 2) ... ... ... , ... ... ;
2) ортақ жауап .
Сонда берілген теңсіздік шешімі болады.
ІV немесе түріндегі ... жаңа ... ... ... ... түрдегі теңсіздіктерге келтіріледі.
Мысалы. Теңсіздіктерді шешіңіз:
10) . Шығарылуы. деп белгілейміз. Сонда . Бұдан
немесе .
х айнымалысына қайта көшсек
.
Жауап: .
11) ... - ... ... . тағы ... ... .
болғандықтан, квадрат теңсіздікке келтіріледі. . Бұдан .
Бірінші теңсіздіктің шешімі жоқ, екіншісінен ... у-те ... оны да х ... ... ... ... алмастырсақ
логарифмдік теңсіздіктер жиынтығын аламыз. Жауап .
V а) - түріндегі теңсіздік.
Егер ... ... - ... ... ;
Егер .
Бұл түрдегі логарифмдік теңсіздіктерді шешу барысында логарифм таңбасы
ішіндегі функциясының оң мәнді болуын ескерген жөн.
Мысалы. Теңсіздіктерді шешіңіз:
12) .
Шығарылуы. -тен ... ... ... . ... ,
. ... ... ... шешімі бүкіл сан осі, екіншісінікі
аралығы.
Жауап
VІ - түріндегі теңсіздік. Мұнда және . Айнымалы ... ... ... екі түрлі жағдай қарастырылады:
1) және 2) .
Осы теңсіздіктер жүйелерінің шешімдері бастапқы ... ... ... шешіңіз:
14) .
Шығарылуы. 1) және 2) .
Әрбір теңсіздіктер жүйсін жеке шешеміз.
1) , себебі екінші теңсіздіктің мағынасы жоқ;
2) .
Жауап .
15) . ... және . ... ... ... жүйесіне келтірдік. Бұдан 1) және ... ... жеке ... ;
2) ... ... - түріндегі теңсіздік. Мұнда және . Бұл тұрғыдағы
теңсіздіктердің ... де ... ... ... ... ... және 2) .
Осы ... ... ... ... теңсіздіктің шешімі
болады.
Мысалы. Теңсіздікті шешіңіз:
16) . Шығарылуы. . Ережеге сүйенсек:
1) және 2) .
Енді бұл теңсіздіктер жүйелерінің ... ... жоқ. ... ... . Бұл ... ... ;
2) ... теңсіздіктер жүйесінің шешімі
Жауап .
VІІІ - түріндегі теңсіздік.
Егер
Егер
Мысалы. Теңсіздікті шешіңіз:
17) ... . ... ... ... үшін бұл функциялар оң
болуы қажет. Демек . Негізі бірден кіші ... ... ... ... ... ... ... .
18) .
Шығарылуы. Сыртқы логарифмдердің негіздерін бірдей түрге келтіреміз
, яғни негіздерін бірдей түрге келтіреміз. Үшінші теңсіздікті
жеке ... ...
у ... қайта алмастырсақ теңсіздіктер жүйесін ... ... ... ... ... ... екендігін ескеріп бірінші теңсіздікті қарастырмаса да
болады.
ІХ - түріндегі теңсіздік. Мұнда және кез ... және 2) ... ... ... ... берілген теңсіздіктің шешімі
болады.
Мысалы. Теңсіздікті шешіңіз:
19) .
Шығарылуы.
.
Бұл теңсіздікті шешпес бұрын, берілген ... ... ... ... ... ... ол теңсіздікті шешу жолын жеңілдетеді
.
Демек теңсіздік шешімі ... ғана ... ... ... және 2) .
Тапсырманы аяқтау оқырманға міндеттелінеді.
Жауап .
20) Қайсыбір жағдайларда теңсіздіктерді ... ... ... ... бола бермейді. Есеп шартына байланысты ой қорытылып, жауабы
анықталынады.
Мысал. Теңсіздікті шешіңіз:
.
Шығарылуы. ... оң мән ... Егер оның ... ... ... ... ... болса, ал берілген өрнектің бөлімі
болса, әрқашанда оң мәнді болады. Демек теңсіздіктің ... ... ... ортақ шешімі болады.
Бұдан қарастырып отырған облыста шешімін тапсақ жеткілікті.
Бірақ бұл ... бір ... ... ... ... ... көп
уақытты, ұзақ есептеулерді қажет етеді. Сондықтан қосындыдағы әрбір
өрнектің теңсіздіктің анықталу ... ... ... яғни ... ... ... ... жататынын қарастырайық.
Онда . Демек аралығында қарастырып отырған өрнек теріс ... Ал ... ... келеді. Яғни . Енді ... ... ... , ... , кез келген х үшін, ... ... ... ... ... ... қорытындыға
келеміз.
Аралас типтегі өрнектерден тұратын теңсіздіктерді шешу барысында
аралықтар (интервалдар) тәсілін қалданған да тиімді.
Ол үшін ... ... ... ... ... ... ... бөлімінің таңбаларын анықтап қажетті аралықты, іріктеп аламыз.
Мысал. Теңсіздікті шешіңіз:
21) .
Шығарылуы. Теңсіздіктің анықталу облысы
,
.
Міне осы облыста өрнектің таңбасын анықтайық. Ол үшін ... ... ... ноль ... ... ... ... таңбаларын зерттейміз.
Бізге қажетті бөлшектің теріс болатын мәндері, демек бөлшектің алымы
мен бөліміндегі өрнектердің таңбалары әртүрлі болуы керек.
Жауап .
2.1. ... ... ... Ең ... ... ... ... қалай жазылады?
2. Белгісіз шама логаримдік өрнектің негізінде болған жағдайда
теңсіздік қалай шешіледі?
3. Логаримдік ... ... ... жаңа ... ... ... теңсіздік шешімін қалай табамыз?
5. Логарифмдік теңсіздіктерді шешуге аралықтар тәсілін қолдануға
бола ма? Болатын болса, ... ... не ... ... ... ... ... сандарды қайсысы теңсіздікті қанағаттандырады
А) 3 В) 9 С) 10 D) 1 Е)
2. ... ... ... теңсіздіктің шешімі бола алады?
А) 0 В) С) 4 D) 3 Е) ... ... ... ең ... ... В) С) D) Е)
4. ... ...
А) В) С) D) Е)
5. ... ...
А) В) С) D) Е)
6. ... ...
А) В) С)
D) Е)
7. ... ...
А) В) С) D) Е)
8. ... ... ... В) С)
D) Е)
9. ... ...
А) В)
С) D) Е)
10. ... ...
А) В) С)
D) Е)
11. ... ...
А) В) С)
D) Е)
12. ... ...
А) В) С) D) Е)
13. ... ...
А) В)
С) D) Е)
14. ... ...
А) В) С)
D) Е)
15. ... ...
А) В) С) D) Е)
16. ... ...
А) В)
С) D) Е)
17. ... ...
А) В) С)
D) Е)
18. ... шешіңіз
А) В) С)
D) Е)
19. ... ...
А) В) С)
D)
20. ... ...
А) В) 3 С)
D) Е)
2.3 ... ... ... шешіңіз .
2) Теңсіздікті шешіңіз .
3) Теңсіздікті шешіңіз
.
4) Теңсіздікті шешіңіз .
5) ... ... .
6) ... ... ... ... оң ... Теңсіздікті шешіңіз
.
8) Теңсіздікті шешіңіз
, мұндағы таңбасы х санының бүтін бөлігін көрсетеді.
9) саны
теңсіздігінің шешімі болатындан, ал саны шешімі ... ... ... ... мәндерін табыңыз.
10) теңсіздігінің ең болмағанда бір шешімі болатындай а –
параметрінің ... ... ... ... ... тестілеуде қолданылған тапсырмалар
Теңсіздіктерді шешіңіз:
Теңсіздіктің қанша бүтін шешімі бар?
Теңсіздіктерді шешіңіз:
Теңсіздіктер жүйелерін шешіңіз:
Функцияның aнықталу ... ... Тест ... |B; |D; |D; |B; |C; |E; |A; ... |A; |B; |D; |C; |A; |E; |B; ... |E; |A; |C. | | | | ... ... тапсырмалары:
1) ; 2) ; 3), 4) ; 5) ; 6) -1; 0; 1; 2; 7) ... егер ; 8) -2; 1;; 9) егер ... саны ... ... ... ал саны ... бола алмайды; 10) .
§3 Тригонометриялық теңсіздіктер
Практикада тригонометриялық теңсіздіктерді шешудің бірнеше ... ... ... аналитикалық және графиктік тәсілдер
жатады. Қайсібір ... ... ... ... тән ... те, ... ... табуға болады.
Біз бұл параграфта негізінен стандартты жағдайларға келтіріліп,
шешімдері айқын түрде жазылатындарын ғана ... ... ... ... ... ... аударайық
| |а-ның ... ... ... мәндер |Теңсіздіктің шешімдер жиыны ... ... | |
| | | |
| | | |
| | | |
| | | |
| | | |
| | | |
| | | |
| | | |
| | | |
| | | |
| | | |
| | | |
| | | |
| | | |
| | | |
| | | |
| | | |
| | | |
| | | |
| | | |
| | | |
| | | |
| | | |
| | | |
| | | |
| | | |
| | | |
| | | |
| | | |
| | | |
| | | |
| | | |
| | | |
| | | |
| | | |
| | | |
| | | |
| | | |
| | | |
| | | ... ... ... ... ... мұндағы
3) (кез келген сан)
4) , ал
5)
6)
7)
8)
Тригонометриялық функциялардың ... ... ... ... ... да, ... ... сүйеніп, тригонометриялық теңсіздіктің
шешімін табамыз
Соңғы қос теңсіздіктен, қажетті шешім оп-оңай алынады.
Мысалдар. Теңсіздіктерді ... ... ... ... ... ... тепе–теңдіктер мен түрлендіруге
сүйеніп тригонометриялық теңсіздіктегі өрнектерді ықшамдап, стандартты
түрге келтіріп, шешімін табамыз.
Мысалдар. Теңсіздіктерді шешіңіз:
11)
12) ... ... ... ... екі жағынан квадрат түбір алатын
болсақ, онда теңсіздіктер жүйесін ... ... ... ... ... ... оңай бола бермейді. Сондықтан ... ... ... ... Ол үшін ... түбір таппай, дәрежені төмендету
формуласын пайдаланған тиімдірек
13)
деп белгілеп теңсіздігін аламыз. Бұдан . ... ... ... ... ... болмайды, ал біріншісінен
теңсіздік шешімін аламыз.
14)
Екі шеткі қосылғыштың қосындысын көбейтіндіге түрлендірсек
Бұл теңсіздік
және ... ... ... ... ... ... ... біріктіріп, бастапқы
теңсіздіктің шешімін аламыз
қайсыбір жағдайларда тригонометриялық теңсіздіктерді шешу үшін ... ... да ... ... шешіңіз:
15)
Координаталар жазықтығында бірлік шеңбер қарастырайық.
Тік ось бойынан нүктесін алып, осы ... ... ... ... түзу ... Ол ... ... қиылысу нүктелерін
және деп белгілейік. Бұл нүктелер ... -ге тең ... 1
, ... ... ... ... ... нүктелер болмақ және ... ... ... ...
функциясының мәні жатық ось ... ... ол ... ... ... сол ... арқылы тік оске параллель түзу
жүргіземіз. Ол түзу ... ... және ... Ол ... ... ... және ... .
сурет 2
функциясының периодтылығын және берілген теңсіздікте -тің
орнында екендігін ескерсек ... ... ... 2-ге бөлсек өрнегі жауапты береді.
17)
сурет 3
Бірлік шеңберден тік оске параллель түзу ... ... ... ... ... шешімін аралығында
жататындығын оңай аңғарамыз. функциясының периодтылығы мен ... ... ... , ... шешімді аламыз.
18) теңсіздігінің аралығындағы шешімін табыңыз.
Шығарылуы. Бөлшектің алымын көбейткіштерге жіктейміз
Теңсіздіктің анықталу облысын ескере ... ... ... ... ... жүйенің шешімі
екендігі айқын көрініп тұр.
сурет 4
Тригонометриялық теңсіздіктерді шешуде ... ... ой ... ... ... ... ... Теңсіздіктерді шешіңіз:
19)
Шығарылуы. екендігі белгілі, онда берілген теңсіздіктен
немесе теңсіздігіне эквиваленттілігі ... Ал ... ... ... ... Тригонометриялық тепе – теңдіктер деп
Теңсіздіктің анықталу облысы
және
соңғы ... ... және онда ... ... ескерсек, шешім болады.
21) теңсіздігін есептеңіз.
Дәлелдеу. егер және , мұндағы -дің ... ... ... бұдан кез келген нақты үшін орындалатындығы
шығады.
22) доғал бұрышты үшбұрыштың бұрыштары болса, онда
теңсіздігін дәлелдеңіз.
Дәлелдеу. ... ... бір ... ... ... ... екі бұрышы сүйір
болады, демек
онда
екендігі дәлелденді.
3.1 Қайталау сұрақтары
1. Қарапайым тригонометриялық ... ... ... ... тәуелді ме?
2. теңсіздігінің және болған ... ... бола ма? ... ... ... екі ... ... жағдайларда екі функцияның
біреуіне бөлуге болады?
4. ... ... табу үшін ... ... ... ... шешімдерінің айырмашылықтары неде?
6. Егер рациональ теңсіздік берілсе, ал тригонометриялық
функциялардың біреуі болса, ондай теңсіздіктер қандай ... ... ... шешу үшін ... қай ... қасиетіне
сүйенген тиімдірек? Неге?
8. болатындығын дәлелдеңіз.
9. аргументінің кез ... ... ... дәлелдеңіз.
10. аралығынан 1) 2) 3) ... оң мән ... ... ... 1) және 2) және 3) және ... ... ... ... және ... ... болжап қойыңыз.
12. Төмендегі өрнектердің қайсысы ... және ... ... ... және
2) және
3) және
13. -ның ... ... теңсіздігінің мағынасы болмайды?
14. теңсіздігінде параметрі қандай мәндерді қабылдауы
мүмкін?
15. жүйесін қандай тәсілмен ... ... Тест ... ...
А) В) С)
D) Е)
2)
А) В) С)
D) Е)
3)
А) В) С) ... ... кез ... сан Е)
4)
А) В) С)
D) Е) ... ...
А) В)
С) D) ... жоқ Е)
6)
А) В) С)
D) Е)
7)
А) В)
С) D) Е)
8)
А) В)
С) D)
Е)
9)
А) В)
С) D)
Е)
10)
А) В)
С) D)
Е)
11)
А) В) С) ... ... Е)
12.
А) В) С) ... ... Е)
13.
А) В) С)
D) Е)
14.
А) В)
С) D)
Е)
15.
А) В) С)
D) Е)
16.
А) В)
С) D)
Е)
17.
А) В) С)
D) Е)
18.
А) В)
С) D)
Е)
19.
А) В) С)
D) Е)
20.
А) В)
С) D)
Е)
21.
А) В) С)
D) Е)
22.
А) В) С)
D) Е)
23.
А) В) С)
D) Е)
24.
А) В)
С) D) Е)
25.
А) В)
С) D) Е)
26.
А) В) С)
D) Е)
27.
А) В) ... Е)
28.
А) В) С)
D) Е)
29.
А) В)
С) D)
Е)
30.
А) В) С)
D) Е)
31.
А) В)
С) D)
Е)
32.
А) В) С) ... ... Е)
33.
А) В) С)
D) Е)
34.
А) В) С)
D) Е)
35.
А)
В)
С)
D)
Е)
36. ... ... ... қайсысы теңсіздігін
қанағаттандырады
А) В) С) D) Е)
37. ... ... қай ... оң ... I B) I және II C) I және IV D) I және ... ... ... ширектерде
38. теңдеуі мен теңсіздігінің ортақ шешімі -
параметрінің ... ... ... ... В) С) D) Е)
39. ... ... -ның қандай мәндерінде
аралығында жатады?
А) кез ... үшін В) С) D) Е)
40. ... ... ... ... ... тиімді?
А) теңсіздіктің екі жағын да -қа бөлеміз
В) теңсіздіктің екі жағын да квадраттаймыз
С) пен -ті ... ... -ті ... сол ... ... -ге ... ... аргумент
енгізу арқылы жинақтаймыз
Е) -ті теңдіктің сол жағына өткізіп, квадраттаймыз
41. Бірлік шеңберде ... ... ... В) С)
D) Е)
42. ... ... ... қанағаттандыратын аралықты
көрсетіңіз
А) В)
С) D) Е)
43. ... ... ... ... аралықты
көрсетіңіз
44. Бірлік шеңберді теңсіздігін қанағаттандыратын аралықты
көрсетіңіз
А) В)
С) D) Е)
45. ... ... ... ... аралықты
көрсетіңіз
А) В)
С) D)
Е)
46. ... ... ... ... ... ... В)
С) D)
Е)
47. ... ... ... -тің кез ... ... ... В) С)
D) Е)
48. ... ... ... ... ... В) С)
D) Е)
49. ... өсу ... ... В) С)
D) Е)
50. ... кему ... ... В)
С) D)
Е)
51. * ... ... ... қойғанда өрнектің мағынасы болады.
А) В) С) D)
Е)
52. ... ... ... ... В) С)
D) Е)
53. ... ... ... табыңыз
А) В) С)
D) Е)
54. ... ... ... табыңыз
А) В) С)
D) Е)
55. ... ... ... ... эквивалентті
А) В) С)
D) Е)
56. ... ... ... ... пара – ... В)
С) D)
Е)
57. ... ... қайсысы теңсіздігін қанағаттандырады
А) В) С)
D) Е)
58. ... ...
А) В)
С) D)
Е)
59. ... төмендегі алмастырулардың қайсысы тиімді
А) В) С) D) Е)
60. ... ... ... ... ... ... В) С) D) Е)
3.3 ... тапсырмалары
1. болғанда теңсіздігінің орындалатындығын көрсетіңіз.
2. Теңсіздікті шешіңіз .
3. Теңсіздікті шешіңіз .
4.
5.
6.
7. Дәлелдеңіз
8. Теңсіздікті шешіңіз
9. ... ... егер ... ... ...
11. Теңсіздікті шешіңіз
12. Теңсіздікті шешіңіз .
13. Теңсіздікті шешіңіз
14. -тің кез келген мәнінде теңсіздігі орындалатындай ... ... ... -тің кез ... мәнінде теңсіздігі орындалатындай -
ның барлық мәндерін табыңыз.
3.4 Ұлттық біріңғай тестілерде берілген ... ... ... ... ... ... мәнінде теңсіздіктің мағынасы болады?
жүйенің аралығындағы шешімдерінің қосындысын ... Тест ... |A |B |E |C |C |A |B |A |C |
|C |B |D |E |A |E |C |B |E |B |
|D |C |A |A |B |C |A |C |A |B |
|C |C |B |E |C |D |D |C |E |D |
|B |A |E |B |C |E |A |C |A |B |
|B |B |D |D |A |B |D |B |D |A ... ... тапсырмалары
2) ;
3) ;
4) ;
5);
6) ; 8) ;
9) ;
10) деп ... ; 11) ... ; 13) ... ; 15) ... ... онда ... ... Кері тригонометриялық функциялары бар теңсіздіктер
Кері тригонометриялық ... бар ... ... шешуді төмендегі кестеге сүйеніп оп-оңай жүзеге асыруға болады
|Теңсіздіктің түрі |а параметрлік мәндері ... ... |
| | | |
| | | |
| | | |
| | | |
| | | |
| | | |
| | | |
| | | ... ... ...
2.
3.
4. ... демек теңсідіктің сол жағы 5-тен кіші болады. ... ... , ал , ... жауап .
6.
Шығарылуы. функциясы кемімелі функция .
7. ... - деп ... ... ... қайта көшсек
. Бұдан . Жауап .
8.
Шығарылуы. - деп белгілейміз .
9.
Шығарылуы. бұдан , және . ... ... ... және болуы керек. ,
.
Жауап .
4.1 Қайталауға арналған сұрақтар
1. Кері ... ... үшін а ... мәні не ... ... берілген?
2. теңсіздігі үшін а-ның мәні үлкен болса теңдік қалай
шешіледі.
3. ... ... кіші емес ... ... ... қандай айырмашылықтар болады?
4. а параметрінің мәні -дің градуыстық немесе радиандық өлшемі
арқылы немесе кез келген бір нақты сан ... ... ... ... ... ... Тест ... Теңсіздікті шешіңіз
А) В) С) D) Е)
2. ... ...
А) В) С) D) Е)
3. ... ...
А) В) С) D) Е)
4. ... ...
А) В) С) D) Е)
5. ... ...
А) В) С) D) Е)
6. ... шешіңіз
А) В) С) D) Е)
7. ... ...
А) В) С) D) Е)
8. ... ...
А) В) С) D) Е)
9. ... шешіңіз
А) В) С) D) Е)
10. ... ...
А) В) С) D) Е)
11. ... шешіңіз
А) В) С) D) Е)
12. ... ...
А) В) С) D) Е)
13. ... ...
А) В) С) D) Е)
14. ... ...
А) В) С) D) Е)
15. ... шешіңіз
А) В) С) D) Е)
4.3 ... ... ... ...
2. ... шешіңіз
3. Теңсіздікті шешіңіз
4. Теңсіздікті шешіңіз
Жауабы
9.2 Тест тапсырмалары
|D |B |A |C |C |B |A |A |
|C |A |C |B |C |E |C | ... ... ... ; 2) ; 3) ; 4) .
-----------------------
+
-
-
0
2
+
-
-
1
5
3
+
2
3
4
0
-1
1
2
3
x
y
1
+
+
-
-
-1
0
1
+
+
+
-
-
-1
0
2
3
4
cosx
sinx
1
-1
М2
М1
cosx
sinx
1
-1
М2
М1
1
М1
0
-
1/2
1
1
-
y
x
0
A)
y
x
0
B)
y
x
0
C)
y
x
0
D)
y
x
0
E)

Пән: Математика, Геометрия
Жұмыс түрі: Материал
Көлемі: 40 бет
Бұл жұмыстың бағасы: 500 теңге









Ұқсас жұмыстар
Тақырыб Бет саны
Трансцендентті теңдеулер45 бет
Алгебра жалпы ұғым ретінде51 бет
Логарифмдік және көрсеткіштік теңдеулер мен теңсіздіктерді шешу13 бет
Логарифмдік теңдеулерді және теңсіздіктерді шешу6 бет
Математиканы тереңдетіп оқытудағы туынды қолданылуының ерекшеліктері33 бет
Матеметикалық модельдеу әдісі17 бет
Модуль таңбасымен берілген теңдеулер мен теңсіздіктер15 бет
Сақталу заңдары41 бет
Стандартты емес теңдеулер мен теңсіздіктерді шешуді оқыту әдістемесі51 бет
Тригонометриялық функциялар39 бет


+ тегін презентациялар
Пәндер
Көмек / Помощь
Арайлым
Біз міндетті түрде жауап береміз!
Мы обязательно ответим!
Жіберу / Отправить


Зарабатывайте вместе с нами

Рахмет!
Хабарлама жіберілді. / Сообщение отправлено.

Сіз үшін аптасына 5 күн жұмыс істейміз.
Жұмыс уақыты 09:00 - 18:00

Мы работаем для Вас 5 дней в неделю.
Время работы 09:00 - 18:00

Email: info@stud.kz

Phone: 777 614 50 20
Жабу / Закрыть

Көмек / Помощь