Трансцендентті теңдеулер

Трансцендентті теңдеулер деп айнымалы трансцендентті функциялар арқылы өрнектелінген немесе алгебралық емес теңдеулерді айтамыз. Бұндай теңдеулерге көрсеткіштік, логарифмдік, тригонометриялық және кері тригонометриялық теңдеулер жатады. Біз бұл бөлімде трансцендентті теңдеулерді шешудің негізгі тәсілдерін қарастырамыз. Айнымалы алгебралық өрнектің немесе тұрақты бір шаманың дәреже көрсеткішінде болып келетін теңдеулерді – көрсеткіштік теңдеулер деп атаймыз. Көрсеткіштік теңдеулерді шешу негізінен дәреженің қасиеттеріне сүйенеді. Негіздері бірдей және оң, бірден өзгеше екі көрсеткіштік функция өзара тең болады, сонда тек сонда ғана егер олардың дәреже көрсеткіштері өзара тең болса, яғни Сонымен қатар көрсеткіштік теңдеулерді шешуде көрсеткіштік функцияның қасиеттері де жиі қолданылады. Көрсеткішті теңдеулерді шешудің жалпыға ортақ ережесі жоқ, бірақ элементар математиканың әдіс–тәсілдерімен шығарылатын теңдеулер топтамасын жиі кездестіруге болады. Енді көрсеткіштік теңдеулердің негізгі түрлерін шешу тәсілдерін қарастырайық І түріндегі теңдеу. Мұнда кез келген бір тұрақты шама, бірақ теңдеу шешімі осы тұрақтының мәніне тәуелді. 1) Егер теріс сан немесе нольге тең болса , онда теңдеудің шешімі болмайды. 2) Егер оң сан болса болса, теңдеудің жалғыз ғана шешімі болады. -ның қабылдайтын мәндерінің дербес жағдайын қарастырайық. а) =1 болсын, онда түріндегі теңдеудің шешімі болады; б) яғни саны негіздегі бір санға тең болсын, онда теңдеуінің шешімі болады; в) саны бірден өзгеше және негізі арқылы өрнектелетін санға келтірілмесін, онда теңдеуінің шешімі саны болады. Мысалы. Теңдеулерді шешіңіз 1) бірақ Ш 2) Бірінші көбейткіш айнымалысына тәуелсіз, әрі нольден өзгеше шама
        
        ІІ Бөлім. Трансцендентті теңдеулер
§1 Көрсеткіштік теңдеулер
Трансцендентті теңдеулер деп айнымалы трансцендентті функциялар арқылы
өрнектелінген немесе алгебралық емес ... ... ... ... логарифмдік, тригонометриялық және кері
тригонометриялық теңдеулер жатады.
Біз бұл ... ... ... ... негізгі тәсілдерін
қарастырамыз.
Айнымалы алгебралық өрнектің немесе тұрақты бір ... ... ... ... ...... ... деп
атаймыз.
Көрсеткіштік теңдеулерді шешу негізінен дәреженің ... ... ... және оң, ... ... екі ... функция
өзара тең болады, сонда тек сонда ғана егер олардың дәреже ... тең ... яғни ... қатар көрсеткіштік теңдеулерді шешуде көрсеткіштік функцияның
қасиеттері де жиі қолданылады.
Көрсеткішті теңдеулерді шешудің жалпыға ортақ ... жоқ, ... ... ... ... теңдеулер топтамасын
жиі кездестіруге болады.
Енді көрсеткіштік теңдеулердің негізгі түрлерін шешу тәсілдерін
қарастырайық
І ... ... ... кез ... бір ... ... ... шешімі осы тұрақтының мәніне тәуелді.
1) Егер теріс сан немесе нольге тең болса , ... ... ... Егер оң сан ... ... ... жалғыз ғана шешімі
болады.
-ның қабылдайтын мәндерінің дербес ... ... =1 ... онда ... ... ... ... яғни саны негіздегі бір санға тең ... ... ... ... саны ... өзгеше және негізі арқылы өрнектелетін санға
келтірілмесін, онда теңдеуінің шешімі саны ... ... ... ... ...
Бірінші көбейткіш айнымалысына тәуелсіз, әрі нольден өзгеше шама
бұдан бірақ көрсеткіштік функция әрқашанда оң ... ... ... ол айнымалының кез келген мәнде нольге тең бола алмайды Ш
3)
- ортақ көбейткіш, жақша ... ... ... ... Ш
б) Ш
Бұдан теңдеудің шешімі жоқ деген қорытындыға келеміз.
4)
Дәреженің қасиетіне сүйенсек бұдан
5) ... бар ... ... бір ... қалдырып қалғанын қарама
қарсы таңбамен екінші жағын өткіземіз
6)
Теңдіктің екі жағын да 2-ге ... ... ... ... ...
7)
8)
9)
2 мен 3 ... ... ортақ негізге келмейді, демек
10)
10 саны 5-ке тәуелді ... ... 5 ... сан ... ...
ІІ түріндегі теңдеу
Дербес жағдайда
түріндегі теңдеулер, жиі кездеседі.
Мұнда А, В, С – const және
Бұл түрдегі ... ... ... ... қарапайым теңдеуге келтіріледі.
Көмекші белгісіздің табылған мәндерін орнына ... ... ... теңдеулер аламыз.
Мысалы. Теңдеулерді шешіңіз
11)
Бұл теңдеуде негіздері бірдей екен деп, оларды түсіріп жазуға болмайды
деп ... ... ... ... ... ... ... қойсақ
а) және б)
яғни берілген теңдеу екі қарапайым теңдеуге жіктелінді.
Біріншісінің шешімі жоқ, екіншісінен . Жауап
12) ... ... ... ... ... бірақ олар бірдей
негізге келтірілетінін оңай байқауға болады, яғни ... ... және б) . ...
13)
-і бар ... ... ... ... дәреже
көрсеткіштері әр түрлі яғни түрлендіріп, мүмкін болса бірдей ... ... ... сол ... 2-ге ... б) ...
ІІІ Біртекті көрсеткіштік теңдеулерді шешу
1) түріндегі теңдеу мұнда - оң және бірден өзгеше сандар,
- const.
Егер мен ... ... ... келтірілмейтін болса,
теңдіктің екі жағын да не , немесе бөлеміз. Нәтижесінде
түріне келтіріледі.
Мысалдар Теңдеуді шешіңіз
14)
-ке тең 2 мен 3 ... ... ... ... мүмкін емес,
бірақ теңдеу біртекті.
Барлық қосылғыштың дәреже корсеткіштері өзара тең. Демек ... ... да ...
16) ...
2) ... теңдеу де біртекті теңдеу болып есептелінеді.
Мұнда да негіздері оң, әрі бірден ... ... - ... ... үшін көпшілік жағдайда теңдігі орындалады.
Теңдіктің екі жағын да өрнектерінің біреуіне ... ... ... ... Одан ... көмекші белгісіз еңгізу арқылы квадрат теңдеу
аламыз.
Мысалы Теңдеулерді шешіңіз
18)
және -ге тең, Теңдеу біртекті, ... ... ... да ... ... ... жүктелінеді. Жауап
19)
Есепті аяқтау оқырманға жүктеледі. Жауап
ІV түріндегі теңдеу. ... кез ... ... ... ... егер теріс сан немесе нольге тең болса, онда теңдеудің шешімі
болмайды;
2) егер оң сан ... онда оның ... табу үшін ... ... ... ?
б) ?
в) кез келген үшін ?
Мысалдар. Теңдеулерді шешіңіз
20) Ш
21) Ш
22)
23) ... ... сол ... ... бір ... ... дәрежесінің
қасиетіне сүйеніп ықшамдаймыз
а)
б)
в)
г)
25)
26)
27)
а) б) жауап
28)
29) ... ... ... ... ұқсастық болғанымен, бірдей емес
демек дәреже көрсеткіштеріндегі айнымалыны логарифм ... ... ... ... ... ... оқырманға
жүктелінеді.
30)
V түріндегі теңдеуді
Мұнда және кез келген рационал ... ... ... ... жағдайда негіздері бірдей түрге
келтіріледі
және ... ... ...
32)
Егер теңдеудегі көрсеткіштік өрнектер бір негізге келтірілмейтін болса
теңдіктің екі жағында кез келген бір негізінде логарифмдейміз
Бұдан логарифмнің қасиетіне ... ... ... ... ?
Мысалы. Теңдеуді шешіңіз
33)
Толымсыз квадрат теңдеу
а)
б)
VІ түріндегі теңдеу.
Мұнда кез ... ... ... ... ... ... екі ... да бірдей негізге
логарифмдеу арқылы шығарамыз нәтижесінде
демек теңдеу және теңдеулер жиынтығына эквивалентті
болады.
Мысалдар. Теңдеулерді шешіңіз
34)
а) және б) ... ... ... екінші теңдеудің ... ...
35)
а) ... ... ... себебі теңдеудің анықталу облысы немесе
оған тексеру нәтижесінде де көз ... ...... ... ... ... негізгі түрлерін ... ... ... ... ... мен логарифмдік функциялар өзара
кері функциялар болғандықтан, көптеген теңдеулер шешу барысында, олар ... ... ... Сондықтан логарифмдік өрнектердің ... ... ашып ... ... ... ... тужырымдамалар мен өрнектер кездессе, келесі
параграфтағы тапсырмаларды талдаудан кейін ... ... ... ... ... ... анықталу облысы .
Теңдеуді оң негізінде логарифмдейміз
жауап
VІІ түріндегі теңдеу, - соnst. Бұл ... ... ... ... яғни және сандары өзара кері сандар.
Сондықтан деп белгілесек ... ... ... ... ... ... шешіңіз
37)
яғни олар өзара кері сандар
деп белгілесек
а)
б)
жауап
VІІІ түріндегі теңдеу
Егер берілген теңдеу айнымалы бір ғана ... ... ... де ... ... ... теңдеуді ықшамдап шешіп
бастапқы айнымалыға қайта көшеміз. Нәтижесінде бастапқы теңдеуге пара-пар
теңдеулер ... ... ... ...
Біз басты назарды, көрсеткіштік өрнектерге аударамыз
а) олардың негіздерін бірдей түрге келтіреміз;
б) дәреже көрсеткіштерін бірдей түрге ... ... ... еңгіземіз
деп белгілесек
квадрат теңдеуін аламыз және
а)
Ш (шешімі жоқ)
б)
жауап
39)
деп белгілесек
, бұдан
а)
б) Ш. Жауап ... ... ... ... ... тек сол ... тән ... ескере отырып, қажетті түрлендірулер жасаймыз.
Мысал. Теңдеуді шешіңіз
40)
Теңдеудегі көрсеткіштік өрнектердің негіздері ... ... ... ... 6 бір ... ... келмейді және теңдеу біртектіде емес
Берілген теңдеудегі үш ... ... екі ... ... ... ... ... көбейткішке жіктейік
а) б)
жауап
41)
Біртекті теңдеу, бірақ қосылғыштарды бір негізге ... ... ... ... ... мән ... ... нәтижесінде ғана теңдеудің
шешімінің екендігінде көз жеткізуге болады.
ІX түріндегі ... ... ... ... ... алу
нәтижесінде немесе графиктік тәсілдің көмегімен ... Ол үшін ... ... ... бір ... ... ... қиылысу нүктесі, теңдеудің шешімі болады.
Мысалы. Теңдеуді шешіңіз
42)
және функцияларының графиктерін салып, олардың қиылысу
нүктелерін анықтайық
а)
|x |-1 |0 |1 |2 |
|y ||1 |3 |9 |
| || | | ...
|x |-1 |0 |1 |2 |
|y ||1 |3 |5 |
| |-1 | | | ... ... х=0 және x=1 ... ... яғни ... ... түбірлері х=0, x=1
Қайталауға арналған сұрақтар
1) Бүтін көрсеткішті дәреженің қасиеттерін атаңыз
2) Бөлшек ... ... ... ... ... функция және оның басты қасиеттерін атаңыз
4) aх=b түріндегі теңдеудің b –ның ... ... ... ... ... ғана шешімі болады
в) екі немесе одан да көп шешімдері болуы мүмкін бе?
5) Біртекті көрсеткіштік ... шешу ... еске ... ... ... логарифмдеу тәсілін қай кезде қолдануға болады?
7) түріндегі теңдеулерді шешу тәртібін айтыңыз
8) Көрсеткіштік теңдеулерде көмекші айнымалыны қандай ... ... ... ... ... ... ... болады?
10) а-ның қандай мәнінде теңдеуінің жалғыз ғана шешімі болады?
Тест тапсырмалар
1) Есептеңіз
А) В) 5 С) 25 D) 125 Е) ... ... ...
А) В) С) D) Е)
3) - ... өсу бағытында орналастырыңыз
А) В) С)
D) Е)
4) ... ...
А) В) -4,8 С) –1 D) Е) ... ... ... ... 0 В) С) –5 D) 1 Е) ... ... ...... 4,5 В) 2 С) log29 D) log627 Е)
7) ... ... ... В) 1 С) log34 D) Е)
8) ... ... ... 0 В) 8 С) 4 D) 2 Е) 1
9) ... (1; -2) В) 1 С) D) 0 Е)
10) ... ... ... 3 В) 2 С) 1 D) log210 Е) ... ... ...
А) 1 В) 2 С) 0 D) –2 Е) ... ... ... ... 2 В) 1 С) 0 D) –1 Е) ... 3х=x+7 ... төмендегі тәсілдердің қайсысымен шығарған тиімді
А) Анықтамаға сүйеніп
В) Көмекші белгісіз еңгізу
С) Логарифмдеу
D) Графиктік тәсіл
Е) ... ... ... ... теңестіріп
14) Теңдеуді шешіңіз
А) В) С) 1,5 D) –0,5 Е) ... ... ... көрсетілген аралықтың қайсысында жатады
А) (0; 3) В) (-1; 5) С) (-2; 4) D) (-2; 3) Е) (-1; ... ... ... 52 54 56 … 52х =0,04-28
А) 9 В) 7 С) 5 D) 6 Е) ... ... ...
А) В) С) D) Е) ... Теңдеуді шешіңіз 52х-1 = 73-х
А) В) С)
D) ... ... ...
А) lg3 В) lg27 С) 3 D) Е) ... ... ...
А) 1 В) С) 2 D) Е) ... тапсырмалары
Теңдеулерді шешіңіз
1)
2)
3)
4) теңдеунің а-ның қандай мәндерінде ... ... ... ... ғана ... бар: оны ... оң ба, теріс пе,
бірден үлкен бе, кіші ме екенін анықтаңыз
6) сандары ... ... ... оң ... ... арифметикалық
прогрессияның мүшелері болады?
7) Теңдеуді шешіңіз
8) ... ...
9) ... шешіңіз
10) Теңдеуді шешіңіз
11) Теңдеуді шешіңіз
12) Теңдеуді шешіңіз
13) Теңдеуді шешіңіз
14) Теңдеуді шешіңіз
15) Теңдеуді шешіңіз
§2 ... ... ... деп ... ... белгісінің астында немесе
логарифмнің негізінде болатын теңдеулерді айтамыз.
Мысалы т.с.с.
Логарифмдік теңдеулерді ... ... ... ... сүйенеміз.
Сондықтан тақырыпты талдамас бұрын логарифм және ... ... ... оқырманға жүктейміз.
Көрсеткіштік теңдеулер секілді логарифмдік теңдеулерді шешудің жалпыға
ортақ ережесі жоқ, ... ... ... ... шығарылатын бірнеше
түрге топтастыруға болады.
Логарифмдік теңдеулерді шешу барысында ... ... ... ... ... ... анықталу облысын тапқан немесе табылған
түбірлерді бастапқы теңдеуге қойып тексеріп отырған ... ... ... ... ... ... тәсілдер қолданылады:
1) Логарифмнің анықтамасына сүйене логарифмдік белгіден құтылу
а) ;
б) егер x>0, y>0;
2) Көмекші белгісіз еңгізу;
3) ... екі ... да ... ... тәсіл;
5) Мүмкін мәндерді біртіндеп қойып, тексеріп, іріктеп, таңдап алу;
6) Әрбір теңдеудің өзіне тән ерекшеліктері негізінде ... әдіс ... әдіс ... ... ... ... ... теңдеудің дербес түрлеріне тоқталайық.
І 1) түріндегі теңдеудің шешімі жүйеден ... x>0 ... ... ... анықталу облысы болады.
2) түріндегі теңдеудің шешімі ... ... ... ... яғни ... ... бірден өзгеше
және оң сан болуы қажет.
3) - түріндегі теңдеу, логарифмдік теңдеу ... ... ... ... ... ... ... шығарылады.
Мысалдар. Теңдеулерді шешіңіз
1)
2)
3)
4)
Бірақ логарифм астындағы сан оң сан болуы ... ... х=-2 ... ... х=2
5)
Логарифмнің негізі оң сан болуы қажет, яғни х=-2 ... ... ... - ... ... ... немесе яғни теңдеудің ... ... ... ... ... ... жатуы қажет. Бұл шартты екінші түбір
қанағаттандырады.
7)
8)
9)
10)
ІІ немесе түріндегі ... F (*) кез ... ... ... ... A, B, C - ... теңдеудегі айнымалыны өзінің құрамында ұстайтын логарифмдік
өрнектердің негіздері де, логарифм астындағы ... да ... ... ... ... ... теңдеуді ықшамдайық, яғни ... ... ... ... ... ... табылған
мәндерін пайдаланып, бастапқы айнымалыға қайта ... ... ... теңдеулер аламыз.
Мысалдар. Теңдеулерді шешіңіз
11)
а)
б) Жауап
12)
а)
б)
13)
а)
б) ... ... - ... ... ... ... ... шешімі болады. Бұл
түрдегі теңдеудің шешімі ... ... ... ... ... ... тауып бастапқы теңдеудің анықталу облысына жататынын не
жатпайтынын анықтаса жеткілікті.
Мысалдар. ... ... ... ... де теңдеуді қанағаттандырады.
15) Бұл мысалда деп ... ... ... ... ... жүктелінеді. Жауап
ІV түріндегі теңдеу. Мұнда рационал функция.
Бұл теңдеудің шешімі жүйесінің ... ... ... ... ... ... олардың ішінен бастапқы теңдеуді
қанағаттандыратындарын іріктеп алса жеткілікті.
Мысалдар. ... ... ... ... бөтен түбір, себебі х=-1-де логарифмдік өрнектің негізі
теріс мән ... ... ...
19)
Логарифмдік теңдеулерді шешуде басты назарды негізіне аударамыз, егер
негіздері әртүрлі болса, қажетті ... ... ... ... ... ... ... өрнектердің негіздері әртүрлі,
демек
формуласына сүйеніп, теңдеудегі логарифмдік өрнектерді 7 негізіне көшіреміз
V түріндегі теңдеу, мұнда және ... ... ... шешімі
жүйенің шешімімен анықталынады.
20)
Бірақ табылған түбір теңдеуді қанағаттандырмайды, себебі ... ... яғни х=1 ... ...
21) ... ... ... әртүрлі
бір негізден екінші негізге көшу формуласына сүйеніп, ... 5 ... ... ... оқырманға жүктелінеді.
VІ түріндегі теңдеу. Мұнда оң мәнді рационал ... ... ... Теңдеулерді шешіңіз
22)
Бірінші түбір бөтен түбір. Жауап
23)
а) б) ... ... де ... ... ... өрнегіндегі логарифм астындағы шама х=0 және х=0,4 мәндеріне
теріс санға тең болады, демек олар бөтен ... ... ... түріндегі теңдеу
немесе
жүйелерінің біріне пара-пар немесе логарифмнің ... ... ... ... ... ... алынған теңдеуді
шешіп, нәәижесін тексереміз.
Мысалы. Теңдеуді шешіңіз
24) ... ... ... ... ... х+1 ...
Бұдан . Теңсіздіктер жүйесін шешкеннен теңдеуді шешіп, нәтижесін
тексерген тиімдірек, яғни
тексерейік х=1 ... ... ... ... түріндегі теңдеу.
Негіздері әртүрлі, бірақ логарифм астындағы өрнектер бірдей. Бүл
теңдеу
немесе
теңдеулер жүйесінің біріне ... яғни ... ... ... ... ... қарастырамыз.
Мысалы. Теңдеуді шешіңіз
25)
Табылған түбірлердің ішінен жүйені тек х=3 ... ... ... теңдеу.
формуласының көмегімен немесе теңдіктің екі жағын да
негізде логарифмдеу ... ... яғни х-ті ... ... ... шешіңіз
26)
Теңдеудің анықталу облысы , осы облыста
Бұдан берілген ... ... ... ... теңдеудің анықталу облысында жатады. Яғни жауап х=625.
27) Теңдіктің екі жағын да 10 негізде логарифмдейміз
Тапсырманы аяқтау оқырманға ... (ІX) ... ... ... белгісіз енгізу тәсілімен де
оңай шешіледі.
Мысал. Теңдеуді шешіңіз
28) деп ... х=6у ... ...
у1=-1 және у2=1
а)
б) ... ... (ІX) ... ... логарифмдік тепе-теңдіктерге сүйеніп
шешуге болады, бірақ бұл жағдайларда бөтен түбірдің пайда болмауын ... ... ... ...
Берілген теңдеудің анықталу облысы х>0 және ... ... ... ... ... ... . Бұл
екі түбір де теңдеудің анықталу облысында жатпайды, демек .
X 1) ... ... ... ... ... ... кемімелі функциялардың теңдігінен алынған
теңдеулерді.
а) және немесе
б) және
функцияларының графиктерінің ... ... табу ... ... ... мүмкін мәндерді біртіндеп қойып, тексеріп, таңдап алу
нәтижесінде шешеміз.
Мысал. Теңдеуді ... ... ... ... ... жоқ. ... ... ал кемімелі
функция, сондықтан олар тек бір ғана ... ... ... ... тән ... негізінде түрлендіріп,
стандартты түрге келтіреміз.
Мысалдар. Теңдеулерді шешіңіз
31) егер
деп белгілесек екі ... ... ... ... ... ... екі ... -қа бөлсек, нәтижесінде квадрат теңдеу аламыз
немесе ... ... және ... ... ... ... жүктелінеді.
Жауап
32)
өрнегіне қатысты квадрат теңдеу ретінде қарастырайық, яғни
деп белгілесек квадрат теңдеу аламыз.
>
Демек теңдеудің екі ... ... ... ... мәндермен алмастырсақ, берілген теңдеу
және теңдеулеріне жіктелінеді.
Тапсырманы аяқтау оқырманға жүктелінеді.
Жауап
Қайталауға арналған сұрақтар
1) ... және оның ... ... ... ... ... және ... еске түсіріңіз
3) Логарифмдік өрнектерде бір негізден екінші ... көшу үшін ... ... ... ... ... ... түріндегі теңдеудің шешімінің а мен b параметіріне тәуелділігін
сипаттаңыз.
6) теңдеуінің шексіз көп шешімі болуы мүмкін ... ... ... ... айнымалыны қай жағдайда енгіземіз?
8) және теңдеулерінің анықталу облысы қалай табылады?
9) Логарифмдік теңдеулерді шешудің негізгі тәсілдерін ... ... ... ... ... логарифмдеу тәсілін қолданамыз?
11) Логарифмдік теңдеулерде бөтен түбірді қалай анықтаймыз?
12) таңбалары нені ... ... ...
А) В) С) D) Е)
2) ...
А) В) С) 3 D) 2 Е) 1
3) ...
А) В) С) D) Е)
4) ...
А) 5 В) 6 С) 4 D) 8 Е)
5) ...
А) В) 3 С) 2 D) 1 Е) 0
6) ... ...
А) В) 4 С) 16 D) 8 Е)
7) ... ...
А) В) 9 С) D) 243 Е) ... ... ...
А) –2 В) С) 1 D) Е)
9) ... ...
А) В) С) D) Е) ... ... шешіңіз
А) В) С) 5 D) Е)
11) ... ... ... ... жиынының қайсысына жатады?
А) натурал сан В) бөтін теріс сан С) ... ... ... сан Е) ... тең
12) теңдеуінің түбірі көрсетілген аралықтардың қайсысында жатады?
А) В) С) D) Е)
13) ... ...
А) В) С) 243 D) 27 Е) ... ... ...
А) В) С) D) Е)
15) ... ...
А) В) С) D) Е)
16) ... ...
А) В) 16 С) D) Е)
17) ... шешіңіз
А) В) С) 4 D) Е)
18) ... ...
А) В) С) D) Е)
19) ... ...
А) В) С) D) Е)
20) ... ...
А) В) С) D) Е)
21) ... ... ... ... В) С) D) ... ... ... түбірі бар?
А) 0 В) С) D) Е)
23) ... ...
А) В) С) D) Е)
24) ... түбірі көрсетілген аралықтың қайсысында жатады
А) В) С) D) Е)
25) ... ... ... бар?
А) В) С) D) ... ... ... ... сан ... қайсысына жатады?
А) натурал сан В) теріс ... сан С) оң ... ... ... ... сан Е) ... ... теңдеуін төмендегі тәсілдің қайсысымен шығарған тиімді
А) Анықтамаға сүйеніп, логарифмнен құтыламыз
В) Екі жағын логарифмдейміз
С) ... ... екі ... ... ... ... ... Көрсеткіштік және логарифмдік функциялар қасиеттеріне сүйеніп
талдау жасаймыз.
28) теңдеуінің түбірлерінің көбейтіндісін табыңыз
А) В) С) D) Е)
29) ... ... ... ... В) С) D) ... ... шешіңіз
А) В) С) D) Е) ... ... ...
2)
3)
4)
5)
6)
7) ның ... мәнінде теңдеуінің
а) жалғыз ғана шешімі
б) екі шешімі болады
8)
9)
10)
11)
12)
13)
14)
15)
§3 ... ... ... деп айнымалы тригонометриялық функция
таңбасының астында болатын ... ... ... ... ... ... ... түбірі деп атаймыз.
Тригонометриялық теңдеулерді шешу негізінен тригонометриялық
функциялардың ... ... ... ... ... ... ... түрлерін шешуге келіп
тіреледі.
Сонымен қатар теңдеу түбірлері - тригонометриялық ... ... да ... яғни ... ... тригонометриялық
функциялардың анықталу облысында жатуы қажет.
Ал ... ... ... де ... ... ... жалпыға ортақ ережесі, әдіс-тәсілі жоқ бірақ, практикалық
есептерде жиі кездесетін түрлеріне тоқталайық.
I. түріндегі теңдеу.
1) > яғни < ... > ... ... ... болмайды. (.
2) Егер яғни аралығында жатса анық ... ... ... ... ... ... ... анықталынады
Егер ның мәні: мәндерінің біреуімен сәйкес келсе,
теңдеудегі кері ... ... ... ... ... сандық мәндерімен алмастырамыз,
ның басқа мәндерінде теңдікті өзгеріссіз қалдыруға болады.
Мысалдар. ... ...
2) ... (
3) ...
5)
6) ... ... ... осы күйінде қалдырылады.
7)
теңдеуді шешпес бұрын қажетті түрлендірулер жасап, ықшамдап алған дұрыс.
тақ ... ... ... < ... сан) ... онда ... ...
түрінде жазылады.
Мысалы. Теңдеулерді шешіңіз:
8)
демек
9)
жауап осы күйінде қалдырылады.
ІІ. түріндегі теңдеу алмастыруы ... ... ... >1 ... теңдеудің шешімі болмайды, яғни жағдайында
ғана жүйені шешеміз.
Мысал. Теңдеуді шешіңіз:
10)
деп белгілесек
бастапқы теңдеудің шешімі болады.
Біз практикалық есептерде ... ... ... ... ... ... яғни ... теңдеулер. Мұнда .
Бұл теңдеудің өзі бірнеше дербес жағдайларға бөлінеді.
1) кез-келген сан, болса
2) - кез ... сан ...
3) ... ... ... келтіріледі.
Егер > яғни < немесе > болса берілген
теңдеудің шешімі болмайды, ал егер болса, (1) формуланы ... ... ... ... келтіріледі. Бұдан
(2)
түрінде жазылады.
Егер ның мәні кестелік болса, онда оның ... ... ... ... келмесе (2) теңдікті сол күйінде қалдырып
қоямыз.
Мысалдар. Теңдеулерді шешіңіз
11)
12)
13)
14)
15) ... ... ... болмайды
2) егер болса, ның бірнеше ... ... ... ... ... ... жерде ның мәні косинустың кестелік мәндерінің біріне сәйкес
келсе онда оның сандық мәндерімен алмастырамыз, яғни
қалған жағдайда өзгеріссіз қалдырып ... ... ...
22) ...
24)
25) ... ... косинус жұп функция яғни
Егер ның мәні ... сан < ... онда ... ... ... шешімі түрінде жазылады.
Мысалдар. Теңдеулерді шешіңіз:
27)
28)
ІV. ... ... ... теңдеудің шешімі болмайды, ал егер ... ... ... ... жүйесіне келтіріледі.
Мысалдар. Теңдеулерді шешіңіз:
29)
Жауап:
30)
Синус шектеулі функция, яғни теңдіктің оң жағы бірден үлкен ... ... ... ... оң ... ... үлкендігі айқын
көрініп тұрады. Мұнда:
бұдан яғни берілген теңдеу
а) және б)
екі теңдеуге жіктелінеді
Бұл түрдегі теңдеулер үшін де ... ... ... ... жеке ... ... ... мен ның мәндеріне сәйкес, бұның
өзі бірнеше дербес жағдайларда жиі ... ...
2) ... сан болса,
3) кез-келген сан, болса сонымен мен ... ... сан, ... ... ның мәні ... ... мәнімен сәйкес
келсе, ны оның сәйкес мәнімен алмастырамыз, ... ... ... ... ... ... ...
32)
33)
34)
35)
36) ,,
37)
38)
39)
40)

Пән: Математика, Геометрия
Жұмыс түрі: Материал
Көлемі: 45 бет
Бұл жұмыстың бағасы: 500 теңге









Ұқсас жұмыстар
Тақырыб Бет саны
Трансцендентті теңдеулер мен теңсіздіктер40 бет
Республиканың темiр жол көлiri жүйесiндегi транзиттiк жүк тасымалдары: қазiргi қалпы және даму тенденциялары17 бет
«Медеу бөгетінің суағытқыштары» ТУ абж үшін ОРС-серверді Masterscada құралдарымен жобалау және баптау44 бет
Жер асты суларының табиғи режимдері5 бет
Кристаллдағы жүйелер. Жобалау және дамыту106 бет
Серверлі орталық процессордың сәулеті мен өнімділігі8 бет
Техникадағы сандық тәсілдер6 бет
050717 – Жылуэнергетика мамандығы бойынша оқитын студенттердің оқу -өндірістік машықтанудан өтуге арналған әдістемелік нұсқау8 бет
N сызықты теңдеулерден тұратын жүйенің жауабын табатын программа құру15 бет
n-ші ретті, коэффициенттері айнымалы біртекті сызықтық дифференциалдық теңдеулерді жалпыланған Абель формуласын пайдаланып шешу36 бет


+ тегін презентациялар
Пәндер
Көмек / Помощь
Арайлым
Біз міндетті түрде жауап береміз!
Мы обязательно ответим!
Жіберу / Отправить


Зарабатывайте вместе с нами

Рахмет!
Хабарлама жіберілді. / Сообщение отправлено.

Сіз үшін аптасына 5 күн жұмыс істейміз.
Жұмыс уақыты 09:00 - 18:00

Мы работаем для Вас 5 дней в неделю.
Время работы 09:00 - 18:00

Email: info@stud.kz

Phone: 777 614 50 20
Жабу / Закрыть

Көмек / Помощь