Регрессиялық динамикалық модельдер

Пән: Математика, Геометрия
Жұмыс түрі: Материал
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 7 бет
Таңдаулыға:

13-Лекция. Регрессиялық динамикалық модельдер

Жоспары:
13.1. Стохастық регрессорлар.
13.2. Құралдық өзгергіштер әдісі.
13.3. Лагалары үлестірілген моделдерді бағалау. Ең кіші еселіктің қарапайым әдісі.

Мақсаты: уақытша қатардың регрессорларының ішінде мағыналарын және стохастық регрессорларды түсіну, құралдық өзгергіштер әдісі арқылы есептер шығару, лагалары үлестірілген модельдерді бағалау және ең кіші еселіктің қарапайым әдісін анықтау болып табылады.

Тақырып бойынша негізгі ұғымдар: Регрессор, стохастық регрессорлар, құралдық өзгергіштер әдісі, лагтық модель, ковариация,уақытша стационарлық қатар, авторегрестік модель, корреляциялық модель, дисперсия, вариация.

Стохастық регрессорлар.
Y=Xβ+ε (13.1)
Xj - өзгермелілердің мағыналарын алдын-ала таңдаймыз да, осыдан шыққан Y мағыналарын бақылаймыз. Уақытша қатар жағдайында, регрессорлары уақытша трендты, циклдік және маусымдық компоненттерді ұсынатын, түсіндірмелі өзгергіштер де, айқын кездейсоқ емес.
Егер, уақытша қатардың регрессорларының ішінде мағыналарының өзі уақытша қатарды құрайтын өзгергіштер болса, олардың детерминделуі туралы болжау сәйкестікке келмейді. Сондықтан уақытша қатар моделіндегі (t=1,...,n; j=1,...,p) бақылауларын кездейсоқ өлшемдер деп есептеу керек.
Бұл жағдайда регрессорлар мен ε регрессор қателері арасындағы корреляциялық қатынасы туралы сұрақ туындайды. Осыған бағалау қорытындысы сандық және сапалық жағынан да тәуелді.
xtj және yt - уақытша стационарлық қатар, яғни барлық xt кездейсоқ өлшемдер бірдей үлестіруге тең (және yt -де).
Қарапайымдылық үшін, бір X регрессоры ғана бар деп алып, яғни модель келесі түрге ие:
yt = α + βxt + εt (13.2)
(13.2) теңдігінің екі бөлігінің де xt кездейсоқ өлшемінің ковариациясын қарастырайық:
Cov(xt, yt) = βCov(xt, xt) + Cov(xt,ε)
Cov(xt, xt) = D(xt) - ескере келіп, келесіні аламыз:
(13.3)
(хt, yt - стационарлық қатар болғандықтан, (12.3) теңдігінің оң жақ бөлігіне жататын коварияция, t-ның барлық мағыналарына сәйкес келеді). Бұл коварияцияның ішінара бағалауларын қарастырайық:

(13.4)
(13.4) және (13.4) салыстыра келе, β параметрлерін бағалаудың келесідей өрнегін аламыз:

немесе, мұндағы yt = βxt + εt деп алып, келесіні табамыз:
(13.5)
Бөлек үш жағдайды қарастырайық:
1. Х регрессорлары мен ε регрессиясы корреляциялық қатынаста болмаған, яғни барлық s үшін бас коварияция Cov (xs, εt), t = 1,..., n.
Бұл жағдайда (13.5) шығатыны:

Бұдан өзгеше емес матрицаның күшіне қарай Х және ε және М(ε) = 0, осыдан алатынымыз:
(13.6)
яғни b бағалауы бұл жағдайда жылжымаған болып табылады.
Бұл бағалау сонымен қатар тыңғылықты болып табылады. Коварияцияны ішінара бағалау көлемі шексіз артса ықтималдық жағынан оның бас мағынасына сай келеді. Сонымен қатар екі кездейсоқ өлшемнің қатынасының ықтималдық жөнінен шегі олардың шегінің қатынастарына тең, яғни

бірақ Cov (xs, εt) болса, онда (13.3) шығатыны
.
2. Х регрессорларының мағыналары ε регрессорларының қателерімен берілген уақытта корреляциялық қатынаста болмаған, бірақ регрессия қателерімен ертерек уақытта t - τ корреляциялық қатынаста болған.
Бұл жағдайда (13.2) бағалауы тыңғылықты болып қалады: дәлелдеуі дәл жоғарыда көрсетілгендей, бірақ жылжымалы емес болмайды.
3. Хt регрессорларының мағынасы εt қателерімен корреляциялық қатынаста.
Бұл жағдайда, тыңғылықтылық және жылжымалы еместікті дәлелдеудің қажеті жоқ. Егер сұрыптау көлемі шексіз артқанымен бірге D(xt) ішінара дисперсиясы шексіз өссе, тыңғылықтылық сақталуы мүмкін, бірақ бұл жағдайда әр нақты міндет жеке талдауды қажет етеді.
Сонымен, егер стохатикалық регресорлары бар модель кездезсе,
Y=Xβ+ε
онда β параметрлерінің ең кіші еселік әдісімен алынған бағалауы:
* жылжымалы емес және тыңғылықты, егер түсіндірмелі өзгергіштер және регрессия қателері корреляциялық қатынаста болмаса;
* тыңғылықты, бірақ жылжымалы, егер түсіндірмелі өзгергіштер ертерек уақыттағы регрессия қателерімен корреляциялық қатынаста болса, бірақ бірдей уақытта корреляциялық қатынаста болмаса;
* жылжымалы және тыңғылықты емес, егер түсіндірмелі өзгергіштер мен регрессия қателерімен корреляциялық қатынаста бірдей уақытта болса;
Регрессорлар мен регрессия қателерінің арасында жиі кездесетін корреляциялық қатынастарының екі себебін қарастырамыз:
1. ε кездейсоқ мүшесіне де регрессорлар мағынасын қалыптастыратын факторлар әсер етеді.
Мысалы, регрессиялық моделде кездесетін U өзгергішін алсақ
yt = α + βxt + γut + vt
xt = λ + δut + ξt
γ және δ коэффиценттері нолден біршама өзгешеленеді. (Қарапайымдылық үшін кездейсоқ өлшем ретінде алынған тек бір ғана Х регрессоры бар деп аламыз).
U бақыланатын мағынасы жоқ деп алып, келесі моделді қарастырамыз:
yt = α + βxt + εt.
Бұл жағдайда Х регрессорларының және регрессия қателерінің ε (Cov(X, ε) = γδ Cov (U, U)) корреляциялық қатынастарын күтеміз.
Келесі моделді мысалды қарастырайық.
А поселкесінде екі түрлі шикізат өндіріледі I және II. Шикізат В қаласына жеткізіліп, мұнда зауытта өнім өндіріліп, өндіруші-фирмаға Х бағасымен сатылады. Бұл өнімнен фирма ақырғы тауар әзірлеп аудан орталығына Y бағамен сатылады. Бірінші және екінші түрлі тауар бағалары өзгеріп, уақытша Z1 және Z2 қатарын құрайды.
Өндіруші фирма Y және Х бағаларының арасында тәуелділік орнату мақсатында келесідей регресстік модельді қарастырады
yt = α + βxt + εt
Эксперименталды берілгенге ең кіші еселік әдісін қолдану келесі нәтижені береді:
yt = 13,64 + 1,415 xt , d = 2,14, R²= 0,96. (13.7)
(4,82) (0,01)
Алынған нәтиже қаншалықты ақиқатқа сай келеді? Шикізатты В қаласына жеткізу де, және ақырғы тауарды С қаласына жеткізу де тасымалдауға байланысты, яғни жанар жағар майға кеткен шығын, жүргізушілер жалақысы, жолдардың күйі т.б. факторларға байланысты Х бағасын қалыптастыруда, және Y ақырғы тауар бағасын, яғни моделдің регрессия қателерінің көлеміне әсер етеді. Сонымен, регрессорлар мен регрессия қателері корреляциялық қатынаста болып табылады, жәнеде ең кіші еселік әдісімен алынған бағалаулар, тыңғылықсыз болып табылады.
2. Регрессорларды өлшеудегі қателер. Хj регрессорын өлшеуде М(utj)=0 шартын қанағаттандыратын Uj кездейсоқ қатесі жіберілген болса, өңдеуге хtj бақылаудың ақиқат мағынасы емес, бұрмаланғаны түседі
(хtj)* = хtj + utj .
Моделді бағалауда факт жүзінде регрессиясы қарастырылады:
Y = Xβ + v.
Дәл осы теңдіктен біз β бағасын аламыз.
Ал шындығында да,
Y = Xβ + ε = (X* - U)β + ε = X*β + (ε - Uβ)
яғни v = ε - Uβ, осыдан шығатыны факт жүзінде қарастырылған моделде Х* регрессия мағыналары мен v кездейсоқ мүше арасында корреляция бар: Cov(X*, v) = - Cov(U, U)β.
Көрсетілген регресорлар мен регрессия қателерінің арасындағы корреляциялық қатынастың екі түрлі себебінің математикалық мәні бірдей.

Құралдық өзгергіштер әдісі.
Бұл әдістің негізгі ойы (13.1) теңдігіндегі ε корреляциялық қатынасқа түспейтін, ал Хj тығыз корреляциялық қатынасқа түсетін Zj(j=1,...,l) жаңа өзгергіштерді таңдап алу болып табылады. {Zj} өзгергіштің жиынтығы ε корреляциялық қатынасқа түспейтін регрессорлардан және басқа да өлшемдерден тұрады. {Zj} өзгергіштердің саны регрессорлардың бастапқы санынан айырмашылығы болуы мүмкін.
Мұндай өзгергіштер Z1,...,Zе құралдық деп аталады.
Олар (13.1) моделінің β параметрінің тыңғылықты бағалауын құруға мүмкіндік береді. Ондай бағалау келесі түрдегідей:
(13.8)
Мұндағы Z, X, Y - өзгергіштердің бақылау мағыналарының матрицасы.
Егер жұптық модель қарастырылса, және жалғыз Х өзгергіші ... жалғасы

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.