Кошидің интегралдық формуласы

Пән: Математика, Геометрия
Жұмыс түрі: Материал
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 4 бет
Таңдаулыға:

Кошидің интегралдық формуласы

Егер функциясы облысында аналитикалық, сонымен қатар С тұйық контурымен және сол контурда шектелген болса, онда төмендегі Коши интегралдық формуласы дұрыс болады

С контуры бар жерде Dобласы әрқашан сол жақта қалады.

Кошидің интегралдық формуласы арқылы кейбір интегралдарды есептеуге болады.

Мысал 1. Интегралды есептеңіз

Шешуі. Ішкі ортада түбірдің бөлімі нүктесінде нөлге айналады. (1) формуланы қолдану үшін интегралды келесі түрде жазып аламыз:

Мұндағы және функциясы ортада аналитикалық болып саналады. Сондықтан

Мысал 2. Коши интегралдық формуласын қолданып, интегралды есептеңіз, егер

1) 2) 3) тең болса.

Шешуі. 1) Тұйық облыста шектелген, интеграл астындағы функция аналитикалық, сондықтан Коши теоремасы өз күшінде

2) Облыс ішінде шектелген, бір нүктесі табылады және бөлшектің бөлімі нөлге айналады. Интегралды келесі түрде жазып аламыз

Бұл облыста функциясы аналитикалық. Коши интегралдық формуласын қолданып, мынаны аламыз

3) шектелген облыста екі нүкте бар олар , осы нүктелерде интеграл астындағы өрнектің мәні нөлге тең болады. (1) формуланы қолдануға болмайды. Бқл жағдайда интегралды табу үшін былай жасауға болады.

Бірінші әдіс. бөлшекті қарапайым түрге келтіреміз. Сонда

Интегралға қоя отырып, алатынымыз

Екінші әдіс. Центрі және нүтелерінде жататын және шеңберлерін сызып алып, олардың радиустары өте кіші, бір -бірімен қиылыспайтын және шеңберде толығымен жататындай етіп тұрғызуымыз қажет (6 - сурет) .

Үш өлшемді облыста шеңберімен шектелген және интеграл астындағы функция барлық жерде аналитикалық болып саналады. Коши теоремасы бойынша көпөлшемді облыстар үшін

Оң жақтағы әрбір интеграл үшін (1) Кошидің интегралдық формуласын қолдана аламыз. Нәтижесінде

аламыз.

Кошидің интегралдық формуласын қолданып келесі интегралдардың барлығын есептеңіз (барлық шеңбердің бағытын сағат тіліне қарама - қарсы деп алыңыз) :

175. 176.

Егер функциясы облысында және оның шекарасында аналитикалық болса, онда кез келген натурал үшін мына формуланы қолдануға болады

, (2)

мұндағы . (2) формуланы кейбір интегралдарды есептеу үшін қолдануға болады.

Мысал 3. интегралын есепте.

Шешуі. Интегралдағы астындағы функциясы нүктесінен басқа, барлық облысында аналитикалық болып табылады. шеңберінде аналитикалық болатын интеграл белгісінің астындағы функциясын таңдап аламыз. Ол үшін интеграл астындағы функцияны мына түрде жазып аламыз

және ретінде аламыз. (2) формула бойынша деп болжап, мынаған келеміз

Туындыларды тапсақ

Бұдан

Демек,

Мысал 4. интегралын есепте.

Шешуі.

Бірінші тәсіл. шеңберінің ішінде жатқан интеграл астындағы бөлінгіш функциясы мына екі нүктесінде нөлге айналады. Функцияны қарапайым бөлшектерге жіктесек

Интегралдың сызықтылығын пайдаланып, мынаған келеміз

Бірінші екі интегралға (1) Коши интеграл формуласын қолданамыз:

Үшінші және төртінші интегралды (2) формуланың көмегімен есептейміз:

Соңында мынаған келеміз

Екінші тәсіл. шеңберінде толығымен жататын және шеңберлер өзара қиылыспайтындай радиусы кіші және нүктелері центр болатын және шеңберлерін саламыз. шеңберінде шектелген, үшөлшемді, интеграл астындағы және функциялар барлық жерде аналитикалық болады. Коши теоремасы бойынша көпөлшемді облыстар үшін