БІР АЙНЫМАЛЫСЫ БАР СЫЗЫҚТЫҚ ЕМЕС ТЕҢСІЗДІКТЕР ЖҮЙЕСІ

Пән: Математика, Геометрия
Жұмыс түрі: Курстық жұмыс
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 18 бет
Таңдаулыға:

МАЗМҰНЫ

КІРІСПЕ . . . 3

І. Сандық теңсіздіктерінің қасиеттері . . . 4

1. 2 Санды теңсіздіктерді көбейту және бөлу . . . 7

1. 3 Санды теңсіздіктерді бөлу.

2. ТЕҢСІЗДІКТЕР . . .

2. 1. Теңсіздіктердің негізгі қасиеттері . . .

Теңсіздіктерді дәлелдеу . . .
Теңсіздіктерді шешу . . .

3. БІР АЙНЫМАЛЫСЫ БАР ТЕҢСІЗДІКТЕР . . .

3. 2 Бір айнымалысы бар екінші дәрежелі теңсіздіктерді шешу . . .

3. 3 Бір айнымалысы бар сызықтық емес теңсіздіктер жүйесі . . .

ҚОРЫТЫНДЫ . . .

ҚОЛДАНЫЛҒАН ӘДЕБИЕТТЕР . . .

КІРІСПЕ

Қазіргі таңда дәстүрлі оқыту әдістемесінің заман талабына сай толық білім беруге, меңгертуге кепілдік бермейтіндігін мектеп тәжірибесі көрсетіп отыр. Мемлекетіміздің рухани және әлеуметтік дәрежесі қазіргі таңда білім деңгейімен бағаланады. Жас ұрпақты осы талапқа сай тәрбиелеу үшін мұғалім өзінің оқыту әдістерін күннен-күнге жетілдіріп отыруы тиіс. Сабақтың қызықты, сапалы өтуі тікелей мұғалімнің шеберлігіне байланысты болады. Математика пәні оқушылардың қызығушылығы мен тапқырлығын, логикалық ойлау қабілетін дамытады, шығармашылық белсенділігін арттырады.

Математика орта мектептегі негізгі пәндердің бірі болып табылады. Ол басқа пәндерді оқып үйренуге, оқушылардың логикалық ой-өрісінің дамуына септігін тигізеді. Математика әдістемесінің мазмұны мен даму барысын дұрыс бағдарлап түсіну үшін математика ғылымының даму тарихынан мағлұматтарды білу қажет. Математиканы оқыту әдістемесі математиканың көп ғасырлы дамуымен тығыз байланысты. Жалпы математика ғылымының даму тарихын төрт кезеңге бөледі. Математиканың пайда болу кезеңі. Бұл кезең көне дәуірден біздің дәуірімізге дейінгі VI-V ғасырларға дейін созылған. Бұл кезеңде математиканың алғашқы негізгі ұғымдары: сандар, фигуралар, т. б. қалыптасты; математиканың тәжірибелік есептерді шығаруға қажетті бастамасы шықты. Элементар математика кезеңі. Біздің дәуірімізге дейінгі VIV ғасырлардан бастап, біздің дәуіріміздің XVII ғасырына дейін болған аралықта тұрақты шамалар зерттеліп, ашылады. Математика ғылымы өзіндік зерттеу тақырыбы және зерттеу әдісі бар пән ретінде танылды. Айнымалы шамалар математикасының даму кезеңі.
XVII ғасырдан бастап XIX ғасырдың орта тұсына дейін созылған. Аналитикалық геометрияға айнымалы шамаларды Р. Декарттың (1596-1650) енгізуімен және И. Ньютон (1642-1727) мен Г. Лейбниц (1646-1716) жасаған дифференциалдық және интегралдық есептерден басталады.

Зертеу жұмысында біз сандық теңсіздіктер қасиеттерін, бір айнымалысы бар теңсіздіктер есептеп, негізгі ерекшеліктерін қамтып, аталмыш жұмысты нақты мысалдар көмегімен жүргіздік.

Қазіргі кезде ғылым мен техниканың даму деңгейі əрбір адамды сапалы жəне терең білім мен іскерліктің болуын, ойлау қабілетінің жоғары, шығармашылықпен жұмыс істеуін талап етеді. Оқушылардың математика-лық білімін жоғары деңгейде оқыту, яғни тереңдету əр ұстаздың алдындағы міндет.

І. Сандық теңсіздіктерінің қасиеттері

Санды теңсіздіктерді түрлендіруде санды теңсіздіктердің қасиеттері пайдаланылады. Сондықтан санды теңсіздіктердің қасиеттерімен танысып, оларды есептеулерде пайдалануды қарастырайық.

1-қасиет. а саны b санынан үлкен болса, b саны а санынан кіші болады.

Егер а > b болса, онда b < а.

1- мысал . 5, 3>2, 7 болса, 2, 7<5, 3; 1, 5<4 болса, онда 4>1, 5.

Санды теңсіздіктердің оң (сол) жақ бөлігі мен сол (оң) жақ бөлігін орын ауыстырғанда, теңсіздік белгісін қарама-қарсы белгіге өзгерту керек.

2 -қасиет. а саны b санынан кіші , ал b саны с санынан кіші болса, а саны с санынан кіші болады.

а < b, b < с болса, а < с.

Координаталық түзуде а саны b санының сол жағында, ал b саны с санының сол жағында кескінделсе, а саны с санының сол жағында кескінделеді (3-сурет) . Демек а<с.

а b c

3-сурет

2-мысал. 9, 3<10; 10<21, 7 болса, 9, 3<21, 7.

3-қасиет. Санды теңсіздіктің екі жақ бөлігінде де бірдей санды қосқаннан теңсіздік өзгермейді.

Егер а < b болса, онда а+с < b+с, с - кез келген сан.

3-мысал. 1) 8, 9>5, 3 теңсіздігінің екі жақ бөлігіне де 1, 2 санын қосайық: 8, 9+1, 2>5, 3+1, 2; 10, 1>6, 5

2) $1\frac{2}{3}$ > $\frac{2}{3}$ теңсіздігінің екі жақ бөлігіне де $( - \frac{1}{3})$ санын қосайық:

$1\frac{2}{3}$ - $\frac{1}{3}$ > $\frac{2}{3}$ - $\frac{1}{3}$ ; $1\frac{2}{3}$ > $\frac{2}{3}$ .

Санды теңсіздіктің бір жақ бөлігіндегі қосылғыштың екінші жақ бөлігіне көшіргенде, оның таңбасын қарама-қарсы таңбаға өзгерту керек.

4-қасиет. а) Санды теңсіздіктің екі жақ бөлігін де, бірдей оң санға көбейтсек немесе бөлсек, теңсіздік белгісі өзгермейді.

Егер а < b және с>0 болса, онда ас< bс, $\frac{а}{с}$ < $\frac{а}{с}$ .

5-мысал.

6, 2<9 теңсіздігінің екі жақ бөлігінде де 2 санына көбейтейік:

6, 2∙2<9∙2; 12, 4<18.

15, 5>10теңсіздігінің екі жақ бөлігін де 5 санына көбейтейік

15, 5:5 >10 :5; 3, 1 >2.

Санды теңсіздіктің екі жақ бөлігін де бірдей теріс санға көбейтейік немесе бөлсек, теңсіздік белгісін қарама-қарсы белгіге өзгерту керек.

Егер а < b және с < 0 болса, онда ас> bс, $\frac{а}{с}$ > $\frac{а}{с}$ .

6-мысал. 1) 3, 1>2, 3 теңсіздігін (-2) -ге көбейтейік:

3, 1∙(-2) >2, 3 ∙(-2) ; -6, 2 < -4, 6.

2) 12>7 санды теңсіздігін (-3) -ке бөлейік:

- $\frac{12}{3}$ < $\frac{7}{3}$ ; -4<- $2\frac{1}{3}$ .

5-қасиет. а саны b санынан кіші болса , а санына кері сан - $\frac{1}{а}$ b санына кері сан - $\frac{1}{b}$ -дан үлкен болады.

Егер 0< а < b болса, онда $\frac{1}{3}$ > $\frac{1}{b}$ .

7-мысал. 3<4 болса, $\frac{1}{3}$ > $\frac{1}{4}$ .

1. 3 Санды теңсіздіктерді қосу және азайту.

Санды теңсіздікті қосу.

Теңсіздік белгілері бірдей теңсіздіктерді мүшелеп қосуға болады. Қосынды теңсіздіктің теңсіздік белгісі қосылғыш теңсіздіктердің теңсіздік белгісімен бірдей болады.

+c>dа>ba+c>b+\frac{\begin{array}{r} +_{c > d}^{а > b\ }\ \\ \ \end{array}}{a + c > b + d}_{\ \ \ \ \ \ \ Қосынды\ теңсіздіктер}^{\ \ \ \ \ \ \ Қосылғыш\ теңсіздіктер}

Санды теңсіздікті азайту.

1-тәсіл.

Теңсіздік белгілері қарама-қарсы екі теңсіздікті мүшелеп азайтуға болады. Айырма теңсіздік белгісі азайғыш теңсіздіктің теңсіздік белгісі болады.

а>b теңсіздігінен с < d теңсіздігін азайту керек.

$\frac{\begin{array}{r} \ \\ \ \end{array} -_{c > d}^{а > b\ }}{a + c > b + d}$ - айырма теңсіздік

а-с> b-d айырма теңсіздігін тексерейік. с < d теңсіздігін (-1) -ге мүшелеп көбейткенде (теңсіздіктердің 4-қасиеті) - с < d. Бұл теңсіздік пен $а > b$ теңсіздігін мүшелеп қосқанда, а-с> b-d теңсіздігі шығады.

$а < b$ теңсіздігінен с < d теңсіздігін азайтуды қарастыруды оқушылардың өздеріне ұсынамыз.

Мысалдар:

−5, 3>4, 212, 7<157, 4<10, 8\frac{-_{5, 3 > 4, 2}^{12, 7 < 15}}{7, 4 < 10, 8}2) −2<14, 5>2, 76, 5<1, 7\frac{-_{2 < 1}^{4, 5 > 2, 7}}{6, 5 < 1, 7}

2-тәсіл

Азайтқыш теңсіздіктің екі жақ бөлігін де -1-ге көбейтіп, азайғыш теңсіздік пен азайтқыш теңсіздікті қосу керек.

1-мысал. 5 >3 теңсіздігінен -1<2 теңсіздігін азайту үшін, азайғыш -1<2 теңсіздігінең екі жақ бөлігін де (-1) -ге көбейтеміз, сонда 1 >-2 теңсіздігі шығады. Осы теңсіздікті 5 >3 теңсіздігіне мүшелеп қосу керек: $\ \frac{+_{1 < - 2}^{5 > 3}}{6, 5 < 1}$

7∙4>5∙5 - санды теңсіздік.

Санды теңсіздіктің: 7∙4- сол жақ бөлігі . 5∙5- оң жақ бөлігі.

7∙4 санды өрнегінің мәні 28-ге, ал 5∙5 санды өрнегінің мәні 25-ке тең.

Берілген тік төртбұрыштың ауданы мен квадраттың ауданын салыстырсақ: 28>25. Себебі. 28-25=3; 3 - оң сан. 3>0.

Демек, берілген тік төртбұрыштың ауданы квадраттың ауданынан 3 см ² артық.

Егер а =28; b=25 болса, а-b>0. Онда а>b.

a мен b сандарын салыстырғанда a-b айырмасы оң сан болса , a>b болады. а-b>0 болғанда, координаталық түзуде а саны b санының оң жағында кескінделеді (1 сурет), себебі а>b.

b a

20 25 28

1-сурет

Есеп. Футбол ойынында өз қақпаларынан А командасының ойыншылары 3 рет допты өткізіп алды. Ал В командасының ойыншылары 5 рет допты өткізіп алды. Қай команданың өз қақпасынан өткізіп алған доп саны аз?

Шешуі. А және В командалары ойыншыларының өз қақпаларынан өткізіп алған доп сандарын салыстырғанда: 3<5. Мұндағы 3<5 - санды теңсіздік.

Демек А командасы ойыншыларының өз қақпасынан өткізіп алған доп саны В командасы ойыншыларының өз қақпасынан өткізіп алған доп санынан аз (кем) . Себебі, 3-5=-2; -2 - теріс сан, яғни -2<0.

Егер а=3; b=5 болса, а- b<0. Онда а< b.

а және b сандарын салыстырғанда а- b айырмасы теріс сан болса, онда а< b

а- b<0 болғанда, координаталық түзуде а саны мен b санының сол жағында кескінделеді. (2-сурет), себебі а< b.

О а b

1 2 3 4 5 6

2-Сурет.

> және < белгілері қарама қарсы теңсіздік белгілері деп, ал > және > немесе < және < белгілері бірдей теңсіздіктер белгілері деп аталады.

Мысалы, 6>0 және 2<4 - қарама-қарсы теңсіздік белгілері бар санды теңсіздіктер, ал 7>5 және 9>2 - бірдей теңсіздіктер белгілері бар санды теңсіздіктер.

Егер теңсіздіктер < немесе > белгілерімен жазылса, қатаң теңсіздіктер деп, ал теңсіздіктер ≤ немесе ≥ белгілерімен жазылса, қатаң емес теңсіздіктер деп аталады.

Мысалы, 1) а ≥5 теңсіздігі: « а саны 5-тен артық немесе тең» деп оқылса, «а саны 5-тен кем емес» деп те оқылады.

2) b ≤4 теңсіздігі « b cаны 4-тен кем немесе тең» деп оқылса « b саны

артық емес» деп те оқылады.

х >-3 және х <2 теңсіздіктерін -3< х <2 қос теңсіздігі түрінде жазуға болады.

1. 2 Санды теңсіздіктерді көбейту және бөлу

Санды теңсіздіктерді көбейту.

а> b және b $< с$ , мұндағы а>0, b>0, c>0 және d>0.

Екі жақ бөлігі де оң сандар болып келген теңсіздіктерді көбейту үшін:

Санды теңсіздіктердің қасиетін (1-қасиетін) пайдаланып, көбейткіш

теңсіздіктердің теңсіздік белгілерін бірдей көбейту керек.

Көбейткіш теңсіздіктерді мүшелеп көбейту керек.
Көбейтінді теңсіздіктіңтеңсіздік белгісікөбейткіш теңсіздіктердің

теңсіздік белгісімен бірдей етіп қою керек.

Мысалы, а> b және d $< с$ теңсіздіктерін көбейтейік. d $< с$ теңсіздігі санды теңсіздіктердің 1-қасиеті бойынша $с$ > d түрінде жазылады. Теңсіздік белгілері бірдей теңсіздіктер мүшелеп көбейтіледі.

+c>dа>bac>\frac{\begin{array}{r} +_{c > d}^{а > b\ }\ \\ \ \end{array}}{ac > bd}_{\ \ \ \ \ \ \ Қосынды\ теңсіздіктер}^{\ \ \ \ \ \ \ Қосылғыш\ теңсіздіктер}Сол сияқты×c<dа<bac<bd\frac{\begin{array}{r} \times_{c < d}^{а < b\ }\ \\ \ \end{array}}{ac < bd}
9<<х<12< 12\және 4<y<7< y < 7қос теңсіздіктерін көбейтейік:×4<y<79<х<1236<xy<84\frac{\begin{array}{r} \times_{4 < y < 7}^{9 < х < 12\ }\text{ } \\ \text{ } \end{array}}{\text{36<xy<84}}

Ескерту. Егер a, b, c және d сандарының арасында теріс сандар бар болса онда көбейтінді теңсіздік тура теңсіздік болмауы мүмкін.

1. 3 Санды теңсіздіктерді бөлу.

Санды теңсіздіктерді бөлу үшін, бөлінгішті бөлгішке кері санға көбейтуді пайдаланамыз.

Санды теңсіздіктерді бөлу үшін:

Бөлгіш теңсіздіктің мүшелерін оларға кері сандармен алмасытып, теңсіздік белгісін қарама-қарсы белгіге өзгерту керек. (Санды теңсіздіктердің 5-қасиеті бойыншая) .
Бөлінгіш теңсіздік және бөлгіш теңсіздік белгілерін бірдей теңсіздік белгісімен жазу керек.
Теңсіздік белгілері бірдей теңсіздіктерді мүшелеп көбейту керек.

Мысалы, a>b теңсіздігін $с$ > d теңсіздігіне көбейтейік.

Ол үшін: 1) теңсіздіктердің 5-қасиетін пайдаланып, $с$ > d бөлгіш теңсіздікті $\frac{1}{с}$ > $\frac{1}{d\ }$ теңсіздігімен жазу керек;

2) теңсіздік белгілері бірдей болғандықтан, оларды мүшелеп көбейту керек. Сонда: a>b

$\frac{\frac{1}{с} > \frac{1}{d\ }}{\frac{a}{c} > \frac{b}{d}}$

Мысалдар: 1) 12 $<$ 25 теңсіздігін 5 $< 6$ теңсіздігіне бөліп, бөлінді теңсіздікті табайық.

Ол үшін 5 $< 6$ бөлгіш теңсіздігіне теңсіздіктердің 5-қасиетін пайдаланып, $\frac{1}{5}$ > $\frac{1}{6}$ түрінде жазамыз. Енді теңсіздіктердің 1-қасиеті бойынша $\frac{1}{5}$ > $\frac{1}{6}$ теңсіздігін $\frac{1}{6} < \frac{1}{5}$ түрінде жазуға болады.

Теңсіздіктерді мүшелеп көбейтеміз: 12 $< 25$ × $\frac{\frac{1}{6} < \frac{1}{5}}{2 < 5; }$

2 $<$ 5 - бөлінді теңсіздік.

2. Теңсіздіктер

2. 1. Теңсіздіктердің негізгі қасиеттері.

Теңдеулермен қатар теңсіздіктер де қазіргі математика салаларында маңызды орын алады. Көптеген зерттеу жұмыстарында теңсіздіктерді қолданады және көп жағдайларда бұл жұмыстардың нәтижелері де теңсіздіктермен көрсетіледі.

Егерa>bжәне b>cболса, ондаa>сболады.
Егерa>b болса, онда кез келген с саны үшінa+с > b+стеңсіздігі

Орындалады, яғни теңсіздіктің екі жақ бөлігінде де бірдей санды қосқаннан теңсіздік өзгермейд.

Салдар. Теңсіздіктің бір жақ бөлігіндегі қосылғышты оның екінші жақ бөлігінде де бірдей санды қосқаннан теңсіздік өзгермейді. Яғни a+ b>с және a>с-b теңсіздіктерінің ақиқаттығы бірдей.

Егерa> bжәнес >dболса, ондаa+с> b+ dтеңсіздігі орындалады, яғни

мәндес теңсіздіктерді қосуға болады.

Егерa> bболса, онда: а) с>0 жағдайында а∙с> b∙стеңсіздігі; ә) с<<0,

жағдайында а∙с $<$ b∙с теңсіздігі орындалады, яғни теңсіздікті оң санға көбейткеннен теңсіздік өзгермейді, ал теңсіздікті теріс санға көбейткенде оның таңбасы қарама-қарсыға өзгереді.

Егерa> b с >dболса, ондаа-с> b-сболады, яғни, егер берілген

теңсіздіктен оған қарама-қарсы мағыналы теңсіздікті мүшелеп азайтса, онда берілген теңсіздікке мағыналас теңсіздік шығады.

Егерa, b, c, dоң сандары үшінa>b, c>dболса, ондаас>bdтеңсіздігі

Орындалады, яғни мүшелері оң сан болатын және бірдей мағыналы теңсіздіктерді мүшелеп көбейтуге болады.

Егерa> b >0болса, онда әрбір n натурал саны үшінan>bnтеңсіздігі

орындалады, яғни мүшелері оң сан болатын теңсіздікті кез-келген натурал n дәрежеге шығарғанда бұл теңсіздіктің мағынасы өзгермейді.

Егерaжәнеbсандарының таңбалары бірдей болса жәнеa>bболса, онда

$\frac{1}{а}$ $< \frac{1}{b}$ теңсізідгі орындалады:

Егерa, b, c, dсандары оң жәнеa> b, c<d< dболса, ондаас\frac{а}{с}>bd> \frac{b}{d}теңсіздігі

орындалады.

Егерa> b >0болса, онда әрбір натурал n саны үшінan>bn\sqrt[n] {a} > \sqrt[n] {b}теңсіздігі

орындалады.

Бұл келтірілген 1-10 - қасиеттер қатаң теңсіздіктер ( $<,$ >) үшін жазылғанымен, олар қатаң емес теңсіздіктер (≤, ≥) үшін де орындалады.

Жалпы, біздер құрамында бір немесе бірнеше айнымалысы бар теңсіздіктерді қарастырамыз:

F(x ₁ , x ₂ , …., x _n ) $<$ G (x ₁ , x ₂ , …., x _n ), (1)

Егер x ₁ = а _1, x ₂ = а ₂ , ……, x _n = a _n сандары үшін F( а ₁ , а ₂ , …., а _n ) $\ <$ G (x ₁ , x ₂ , …., x _n ), сандық теңсіздіктер орындалатын болса, онда бұл сандар (1) теңсіздікті қанағаттандырады деп айтады. D=D(F) ∩D(G) жиыны (1) теңсіздіктің анықталу облысы деп аталады. 0

(1) Теңсіздік жөнінде алдымызға екі түрлі мақсат қойылуы мүмкін: а) (1) теңсіздікің x ₁ , x ₂ , …., x _n айнымалыларының D- ММЖ-на енетін барлық мәндерінде орындалатындығын дәлелдеу. Бұл есепті теңсіздіктерді дәлелдеу деп атаймыз; ә) (1) теңсіздікті қанағаттандыратын x ₁ , x ₂ , …., x _n айнымалыларының барлық мәндерін анықтау. Бұл есепті теңсіздікті шешу деп атаймыз. (1) Теңсіздікті қанағаттандыратын x ₁ , x ₂ , …., x _n айнымалыларының әрбір мәні осы теңсіздіктің шешімі деп аталады. Теңсіздіктерді шешуге берілген есептердің құрамында x ₁ , x ₂ , …., x _n айнымалыларынан өзге әріптер кездесуі мүмкін. Мұндай әріптерді сан параметрлері ретінде қарастырады.

Теңсіздіктерді дәлелдеу.

Бұл пунктте берілген жиында ақиқаттығын дәлелдеуге арналған теңсіздіктерді қарастырамыз. Егер алдын ала бұл жиындар көрсетілмесе, онда теңсіздікті барлық нақты сандар жиынында дәлелдеу керек. Енді теңсіздіктерді дәлелдеудің негізігі тәсілдерін қарастырайық.

Теңсіздіктерді анықтама бойынша дәлелдеу. Егерa-b>0болса, онда

анықтама бойынша a>0 деп есептейміз.

Сондықтан берілген жиында

F(x ₁ , x ₂ , …., x _n ) $<$ G (x ₁ , x ₂ , …., x _n ) (1)

Теңсіздігін дәлелдеу үшін F(x ₁ , x ₂ , …., x _n ) $-$ G (x ₁ , x ₂ , …., x _n ) айырмасын алып, оның берілген жиында өзгеретін x ₁ , x ₂ , …., x _n айнымалыларының әрбір мәні үшін теріс болатынын дәлелдесе, жеткілікті. F >G, F $\leq G$ және F≥G теңсіздіктері де осы сияқты дәлелденеді. Енді осы тәсілге бірер мысалға келтірейік.

1 мысал. Егер а ≥0, b≥0 болса, онда $\frac{a + b}{2}$ ≥ $\sqrt{ab}$ теңсіздігін дәледеу қажет.

Дәлелдеуі. $\frac{a + b}{2}$ ≥ $\sqrt{ab}$ = $\frac{a + b - 2\sqrt{ab}}{2} = \frac{{(\sqrt{a - \sqrt{b) }}}^{2}}{2}\$ ≥0. Олай болса, анықтама бойынша $\frac{a + b}{2}$ ≥ $\sqrt{ab}$ теңсіздігі орындалады.

Тірек теңсіздіктер әдісі. Бұл әдістің мағынасы берілген теңсіздікті

дәлелдеу барысында алдын-ала дәлелденген немесе өте жиі кездесетін белгілі теңсіздіктерді қолданады. Осындай қолданылатын теңсіздіктерді тірек теңсіздіктер деп атайды. Жалпы, кез-келген теңсіздікті келесі дәлелденетін теңсіздіктер үшін тірек теңсіздік ретінде қарастыруға болады. Мысал, төмендегі теңсіздіктерді тірек теңсіздіктер ретінде аламыз: а) а ² ≥0; ә) $\frac{а + b}{2} \geq \sqrt{ab, \ }\$ a≥0, b≥0; б) $\frac{a}{b}$ + $\frac{b}{a}$ ≥2, мұнда a∙b>0; в) егер а>0 және b ² -4 ac $<$ 0 болса, онда ах ² +bx+c>0 және т. с. с.

2 - мысал. a, b, c және d теріс емес сандары үшін $\frac{a + b + c + d}{4}$ ≥ $\sqrt[4] {abcd}$ теңсіздікті аламыз.

Дәлелдеуі. Тірек теңсіздік ретінде 1-мысалдағы теңсіздікті аламыз: $\frac{a + b + c + d}{4}$ = $\frac{\frac{a + b}{2} + \frac{c + d}{2}}{2}$ ≥ $\sqrt{\frac{a + b}{2} \bullet}\sqrt{\frac{a + b}{2}}$ . Ал $\frac{a + b}{2}$ ≥ $\sqrt{ab, }$ $\sqrt{\frac{с + d}{2}}$ ≥ $\sqrt{cd, }$ болғандықтан, $\sqrt{\frac{a + b}{2} \bullet \frac{с + d}{2}}$ ≥ $\sqrt{\sqrt{ab}\sqrt{cd}}$ = $\sqrt[4] {abcd}$ .

$\frac{\frac{a + b}{2} + \frac{c + d}{2}}{2}$ = $\frac{a + b + c + d}{4}$ теңсіздікті орындалатынын көреміз

Бұл әдістің мағынасын төмендегідей мысалдан көруге болады:

3-мысал. Егер а ≥0, b≥0, с≥0, d≥0 болса, онда $\sqrt{(а + с) (b + d`}$ ≥ $\sqrt{ab}$ + $\sqrt{cd}$ теңсіздігін дәлелдейік.

Шешуі. Кері жорып, теріс емес a, b, c, d сандары үшін $\sqrt{(а + с) (b + d) <}\sqrt{ab}$ + $\sqrt{cd}$ теңсіздігі орындалсын делік. Бұл теңсіздіктің екі жақ бөлігі де теріс емес болғандықтан, оны квадтартап, $(а + с) (b + d)$ < ab+cd+2 $\sqrt{abcd}$ немесе bc+ad<22 $\sqrt{abcd}$ , немесе $\frac{a + b}{2}$ ≥ $\sqrt{ab}$ теңсіздігіне қайшы. Олай болса, біздің кері жоруымыз қате, яғни берілген теңсіздік орындалады.

Теңсіздіктерді шешу

Бұл пунктте тек бір айнымалылы теңсіздіктерді қарастырамыз:

F(x) $<$ g (x) .

Егер D (f) жиыны f(x) функциясының, ал D(g) жиыны g(x) функциясының анықталу облысы болса, онда D=D(f) ∩D(g) ∩A жиынын (1) теңсіздіктің мүмкін мәндер жиыны (ММЖ) деп атаймыз. Мұнда А жиынының құрамына (1) теңсіздіктің мағынасы болатындай х -тің барлық мәндері жиыны енеді.

Егер х=х ₀ саны үшін: а) х ₀ ∈D; ә) f(x ₀ ) $\ <$ g(x ₀ ) теңсіздігі ақиқат болса, онда х ₀ санын (1) теңсіздіктің шешімі деп атаймыз. Бұл жағдайда х=х ₀ саны (1) теңсіздікті қанағаттандыру деп те айтады. Берілген теңсіздікті қанағаттандыратын айнымалының барлық мәндері жиынын анықтау процесін осы теңсіздікті шешу деп атайды.