Тригонометриялық теңдеулер мен теңсіздіктер, олардың жүйелерін оқыту әдістемесі

Пән: Математика, Геометрия
Жұмыс түрі: Курстық жұмыс
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 21 бет
Таңдаулыға:

Қазақстан Республикасының Білім және ғылым министрлігі
Академик Е.А.Бөкетов атындағы Қарағанды мемлекеттік университеті
Математика және Ақпараттық технологиялар факультеті
Математика және информатика әдістемесін оқыту кафедрасы

Мектептің үдерісінің ұйымдастырудың инновациялық технологиялары пәні бойынша

КУРСТЫҚ ЖҰМЫС

Тақырыбы: Тригонометриялық теңдеулер мен теңсіздіктер, олардың жүйелерін оқыту әдістемесі

Мамандық: 5B010900 - Математика

Орындаған: М-301 тобының студенті
Рысқұл Б.С.
Тексерген: аға оқытушы
Шегирова Д.К.

Қарағанды 2018 Мазмұны

Кіріспе ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
3
1 Тригонометриялық теңдеулер ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
4
1.1 Қарапайым тригонометриялық теңдеулерді шешу ... ... ... ... ... ... ...
4
1.2 Тригонометриялық теңдеулерді шешу әдістері ... ... ... ... ... ... ... ... ..
5
1.3 Тригонометриялық теңдеулер жүйесін шешу ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
8
2 Тригонометриялық теңсіздіктер ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
12
2.1 Тригонометриялық функциялардың графиктері мен қасиеттері ... ..
12
2.2 Тригонометриялық теңсіздіктерді шешу әдісі ... ... ... ... ... ... ... .. ... .
16
2.3 Тригонометриялық теңсіздіктер жүйесін шешу жолдары ... ... ... ...
25
Қорытынды
28
Пайдаланылған әдебиеттер тізімі
29

КІРІСПЕ

Қазақстан Республикасы білім және ғылым министрлігінің нұсқалығына сәйкес, егер біз Қазақстан экономикасын, мәдениетін дамытып, жоғары дамыған елдердің қатарына жеткіземіз десек, онда бірінші орында білімді дамытуға тиіспіз. Ол үшін Қазақстанды болашақта өрге жетелейтін білікті мамандар даярлап, Отанына адал қызмет ететін азамат тәрбиелеп шығаруымыз керек. Қазіргі кезде осы мақсаттарды жүзеге асыру үшін жалпы білім беретін орындарға қойылған талаптар қатаңдалып, күннен күнге өсуде. Соның ішінде мектеп курсындағы гуманитарлық пәндер арасында математиканы оқыту үлкен іскерлікті қажет етеді. Мектепте математиканы оқыту - онымен тығыз байланыста жүретін пәндерді меңгеруге, күнделікті тұрмысқа қажетті біліктілік пен дағдыны қалыптастыруға және математиканы тереңдетіп оқытуға тиіс. Математиканы тереңдетіп оқыту - оқушының математикаға тұрақты қызығушылығын тудырып, олардың математикалық қабілеттілігін дер кезінде анықтап, дамуына ықпал етеді де жоғарғы оқу орнына түсуге дайындық мәселелерін шешеді. Оқушылардың математикалық даму әрежесі олардың есеп шығару қабілеттілігінен көрінеді. Кез - келген қиын есепті шығару оқушылардың үлкен еңбекті талап етеді. Мұғалімнің міндеті баланың бойындағы қасиеттерді ояту болып табылады.
Ол үшін мұғалімнің үздіксіз ізденуін, әдістемелік - теориялық білімін жүйелі көтеріп отыруын, терең толғауын, оқушылардың психологиясын зерттеп, тақырып ерекшелігін жете талдай білуін қажет етеді. Әсіресе бұл талаптар жоғары сыныптарда күшейе түседі. Соның ішінде 10 - сыныпта оқытылатын тригонометрия тақырыбының өзі үлкен бір тарау болып келеді. Тригонометриялық функциялар негізгі үш параграфтан тұрады. Соның ішінде біз тригонометриялық теңдеулер, теңсіздіктер және олардың жүйелерін шешу әдістерін қарастырамыз. Бұлардың ішіндегі тригонометриялық теңдеулер, теңсіздіктер тақырыбы өте күрделі. Оқушылар тригонометриялық теңдеулер мен теңсіздіктерді шешкенде үлкен қиындықтарға кездеседі. Сол себепті де мен өзімнің курстық жұмысымның тақырыбын Тригонометриялық теңдеуле теңсіздіктер және олардың жүйелерін шешу жолдары деген тақырыпқа арнадым. Курстық жұмысымды жазу барысында мынандай мақсат, міндеттер қойдым.
Мақсаты:
Жалпы тригонометриялық теңдеулердің, теңсіздіктердің түрлерін және олардың шешу жолдарын ашып көрсету.
Міндеті:
1. Тригонометриялық теңдеулердің, теңсіздіктердің шешу жолдарын көрсету. 2. Тригонометриялық теңдеулерді және теңсіздіктерді шешкенде ыңғайлы әрі оңай жолын таңдауға үйрету.

1 Тригонометриялық теңдеулер

1.1 Қарапайым тригонометриялық теңдеулерді шешу

Анықтама. Құрамында белгісіз айнымалыға тәуелді тригонометриялық теңдеулер деп атайды.
Тригонометриялық теңдеулерді шешуді негізінен мынадай қарапайым тригонометриялық теңдеулерге келтіріп алып шешеді: . Енді осы теңдеулерді шешу тәсілдерін қарастырайық.
1. теңдеуі. Егер болса ,онда бұл теңдеудің екі шешімі бар: және Ал болғандықтан , бұл шешімдерді сәйкес және немесе оларды біріктіріп, түрінде жазуға болады. Мұнда болатынын ескерсек,онда берілген теңдеудің шешімін
(1)
түрінде жазамыз. Егер немесе болса, онда (1) формуладан төмендегідей дербес жағдайлардағы формулаларды аламыз:

(2)

2. теңдеуі. Оның шешімдері
(3)
түрінде жазылады. Мұны 42-суретте көрсетілгендей етіп дәлелдеуге болады. Формуланың дербес жағдайлары ():
(4)

3. теңдеуінің шешімдері

4. теңдеуінің шешімдері

1- мысал. теңдеуін шешу қажет.
Шешуі . Берілген теңдеуді 2-ге бөліп, оны
түрінде жазамыз. Онда (1) формула бойыншаболады. Ал
екенін ескерсек, онда берілген теңдеуінің шешімі түрінде жазылады.

1.2 Тригонометриялық теңдеулерді шешу әдістері

Тригонометриялық өрнектерден құралған теңдеулерді тригонометриялық теңдеулер деп атайды. Жалпы, тригонометриялық теңдеулерді түрлендірулер арқылы қарапайым тригонометриялық теңдеулерге келтіріп шешеді. Ал тригонометриялық теңдеулерді қарапайым теңдеулерге келтірудің жиі қолданылатын бірнеше әдісі бар. Енді осы әдістерге мысалдар келтіру арқылы тоқталып өтейік.

түріндегі теңдеулер. Мұнда
теңдеулер мен
теңдеулерін шешу әдістерін қарастырамыз.
Мысал.теңдеуінің нақты шешімдерін табу қажет.
Шешуі: Жоғарыда айтылғандай, бұл теңдеудің шешуі
немесе теңдеуін шешуге келіп тіреледі.
шарты болғанда ғана орындалады.
Онда берілген теңдеудің шешімдері түрінде жазылады.
Жауабы: .

Біртекті теңдеулер.

түріндегі теңдеулерді пен қатысты-ке біртеті теңдеулер деп атайды. Мұнда - берілген нақты сандар және -тің әрбір қосылғыштағы пен дәрежелерінің қосындысы -ге тең. Бұл теңдеуді, болған жағдайда болатынын ескере отырып, -ке бөлу арылы теңдеуіне келтіреміз. Ал болған жағдайда бұл теңдеуді бөлу керек.
Мысал. теңдеуін шешейік.
Шешуі: қолдана отырып, берілген теңдеуді немесе түріне келтіреміз. Енді бұл теңдеуді - ке бөлу арқылы (мұнда )
түрінде жазамыз. Осыдан деп алсақ, онда квадрат теңдеуі шығады. Оның түбірлері болғандықтан, және қарапайым тригометриялық теңдеулерін шешу керек:.

Қосымша бұрыш енгізу әдісі.
(7)
Түріндегі теңдеулерді шешудің ең тиімдң әдісі - ол қосымша бұрыш енгәу әдісі. Егер болса, онда (7) теңдеуді санына бөлеміз:
Мұнда болғандықтан, бұрышы табылып,теңдіктері орындалады.
Онда берлен теңдеуді

немесе
(8)
түрінде жазамыз.Егер немесе болса ғана, (8) теңдеудің шешімдері болады және ол
түрінде жазылады. Мұнда -дің
орнына және мәндерінің кез келгенін алуға болады және және белгілеулрінің орнына және белгілеулерін де қолдануға болады.
Белгісізді алмастыру әдісі
Егер берілген тригонометриялық теңдеуді түрлендірулер арқылы түріне келтірсек ,мұнда R - рационал функция, онда әмбебап алмастыруын қолданылады:

Мысал. теңдеуін шешейік.
Шешуі: деп алып, берілген теңдеуді түріне келтіреміз. Оның түбірлері: Онда және теңдеулерін шешу қажет. 3-пункте көрсетілген қосымша бұрыштар енгізу әдісімен соңғы теңдеулердің шешімдерін анытау қиын емес.
Жауабы:

Көбейткіштерге жіктеу әдісі.
Мысал. теңдеуін шешейік.
Шешуі: Теңдеуідің сол жақ бөлігін топтап, оны былай жызамыз: немесе . Бұл теңдеу мынадай екі теңдеуге жіктеледі: және
Жауабы:

Теңдеудің оң жақ және сол жақ бөліктерін бағалау әдісі.
Алдын ала теңдеудің оң жақ және сол жақ бөліктерін бағалау арқылы оның түбірлері бар болатынын немесе жоқ болатыын анықтауға болады. Осыған мысал қарастырайық.
Мысал. теңдеуін шешу керек.
Шешуі:болғандықтан, болса, онда және болған ғана теңдіу орындалады. Ал болғандықтан, теңдіктері жүйесі орындалатындай -тің мәнін табу мүмкін емес. Сондықтан берілген теңдеудің шешімі жоқ. Жауабы:

1.3 Тригонометриялық теңдеулер жүйесін шешу
Біз мұнда теңдеулер жүйесін шешудің жалпы ережелеріне сүйене отырып,тригонометриялық теңдеулердің кейбір жиі кездесетін түрлеріне тоқталамыз.
1.

түріндегі жүйелер.
Бұл жүйеледі шешу үшін олардың бір теңдеуіне екіншісіне қосып, азайту арқылы.
және жүйелеріне келтіріп аламыз.Әрине, бұл жүйелердің нақты шешімдері бар болуы үшін 1 теңсіздіктерінің орындалуы қажетті және жеткілікті.Енді мысалдар қарастырайық.
1-мысал. жүйесін шешу қажет.
Шешуі: Жоғарыда айтылғандай,бұл жүйені:
түрінде жазамыз.Осыдан

Жауабы:
2. түріндегі жүйелер.
Оларды , белгілеулері арқылы

алгебралық жүйелерге келтіріп шешеміз.
2-мысал. жүйесін шешу қажет.
Шешуі: формуласын қолдана отырып,бұл жүйені

Түріне келтіріп, белгілеулері арқылы
немесе түріне келтіреміз.
Осыдан, Яғни
және

Жауабы:
3. (3)
түріндегі жүйелер.
Оларды шешу үшін бірінші теңдеуін көбейтіндіге түрлендіреміз:
Онда бұл жүйені түрінде жазуға болады. Мұнда екі түрлі жағдай орындалуы мүмкін.
а) Онда
Сондықтан (3) жүйенің бірінші теңдеуінен болатындығы шығады. Яғни тек болғанда ғана (3) жүйенің шешімі бар және бұл жүйе теңдеуімен мәндес.
ә) Eгер болса, онда

Oсыдан,
әрине, бұл жағдайда жүйенің шешімі бар болуы үшін теңсіздігінің орындалуы қажет. Ал бұл шарт орындалмаған жағдайда жүйенің шешімі болмайды.
жүйелері де осы сияқты шешіледі.
4-мысал:
жүйесін шешу қажет.
Шешуі: Жоғарыда айтылғандай, бұл жүйені

түрінде жазамыз. Осыдан ,
Осы әдістерді қолдана отырып, төмендегідей жүйелерді шешуге болады:

4. түріндегі жүйелер.
Оларды шешу үшін, болғанда

түрінде жазып, екі теңеуді де квадраттап, қоссақ, онда
,бұл теңдеу у-ке ғана тәуелді.
5-мысал. жүйесін шешу керек.
Шешуі. теңдеуін аламыз.Осыдан . Aл теңдеуінің шешімі жоқ. Онда
Жауабы:

2 Тригонометриялық теңсіздіктер

2.1 Тригонометриялық функциялардың графиктері мен қасиеттері

Енді әрбір тригонометриялық функциялардың графигін салуға тоқталайық.
1функциясын қарастырамыз
Функцияның:
1)анықталу облысы - барлық нақты сандар жиыны, яғни
2)мәндер жиыны кесіндісі, яғни
3), функция периодты, оның ең кіші оң периоды 2п .
4)функция тақ, өйткені .
5)кесінділерінде функция бірсарынды өспелі, кесінділерінде бірсарынды кемімелі.
нүктелерінің координаталық жазықтыққа түсіріп функциясының кесіндісінің графигін саламыз (4-сурет).
функциясы тақ функция болғандықтан, оның графигі бас нүктеге қарағанда симметриялы қисық. Осы қасиетті пайдаланып, аралығында графикті жалғастырамыз. Сонда,функциясының кесіндісіндегі графигін аламыз

Сурет 1 Сурет 2

Демек, функциясының толық бір период ішіндегі графигін салдық. Енді периодты функцияның қасиетін пайдаланып, барлық анықталу облысындағы функция графигін салуға болады.

Сурет 3

функциясының графигін синусоида қисығы деп атайды.
2Функциясын қарастырамыз.
Функцияның:
1) анықталу облысы -барлықнақты сандар жиыны, яғни x∈R.
2) мәндер жиыны кесіндісі, яғни
3) , функция периодты, ең кіші оң периоды 2PI .
4) функция жұп, өйткені
5) , кесінділерінде бірсарынды кемімелі және кесінділерінде бірсарынды өспелі функция.
нүктелерін координаталық жазықтықта белгілеп, y=cosx функциясының кесіндідегі графигін саламыз (7-сурет).
функциясы жүп функция болгандықтан, оның графигі ордината осіне қарағанда симметриялы қисық. Осы қасиетті пайдаланып, аралығында графикті жалғастырамыз. Сонда, функциясының кесіндісіндегі графигін аламыз.

Сурет 4 Сурет 5

Енді периодты функцияның қасиетін пайдаланып, барлық анықталу облысындағы функцияның графигін салуға болады (8-сурет).

Сурет 6

функциясының графигін косинусоида қисығы деп атайды.
Сонымен қатар екенін ескеріп функциясының графигін функциясының графигінен Ох осінің бойыменқашықтығына теріс бағытта параллель көшіру арқылы да алуға болады.
Функциясын қарастырайық.
Функцияның:
1) Анықталу облысы жиынынан басқа барлық нақты сандар
2) Мәндер жиыны - барлық нақты сандар жиыны, яғни
3) функция периодты PI саны;
4) функция тақ, өйткені
5) , интервалдарында функция бірсарынды өспелі.
Енді у =tgх функциясының графигін салайық.
нүктелерін координаталық жазықтыққа белгілеп, аралығында функциясының графигін саламыз.

Сурет 7 Сурет 8

Функциясы тақ функция болғандықтан, оның графигі бас нүктеге қарағанда симметриялы қисық екенін ескеріп, жалғастырамыз. Сонда у ... жалғасы

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.