Комбинаторика, ықтималдық және статистика

Пән: Статистика
Жұмыс түрі: Курстық жұмыс
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 78 бет
Таңдаулыға:

Г.Е. Берікханова
Г.К. Нұрсұлтанова

Комбинаторика, ықтималдық
және статистика

Оқу-әдістемелік құрал

Семей – 2008

ББК 22. 172
Б 47

Пікір жазғандар:
Есенжолов Е.К. - педагогика ғылымдарының кандидаты,
профессор
Жолымбаев О.М. - физика-математика ғылымдарының
кандидаты, доцент

Берікханова Г.Е., Нұрсұлтанова Г.К.
Б 47 Комбинаторика, ықтималдық және статистика. Оқу-әдістемелік құрал.
М.О.Әуезов атындағы Семей университеті: Семей, 2008. - 101 бет

ISBN 9965 - 9535 – 6 – 2

Комбинаторика, ықтималдық және статистика оқу-әдісте-мелік құралы
сегіз тараудан тұрады. Әр тарауда қысқаша теориялық материал, есептер және
олардың шығару жолдары көрсетілген. Тараудың соңында өз бетімен жұмыс
істеуге арналған тапсырмалар, бақылау жұмыстары мен тест тапсырмалары
берілген. Бұл оқу-әдіс-темелік құрал мектеп мұғалімдеріне элективті курс
ретінде ұсынылады және жоғарғы сынып оқушыларына білім жетілдіруге
көмектеседі.

ББК 22. 172

© Берікханова Г.Е.,
Нұрсұлтанова Г.К.
Кіріспе

Орта мектепте ықтималдық-статистикалық сала бойынша арнайы курстар
жүргізу туралы ұсыныс жаңа бастама емес.
Ықтималдықтар теориясының элементтерін орта мектеп курсына енгізу
жайлы ой-пікірлер IX-ғасырдан пайда болған. XX-ғасырдың басында жаратылыс
тану мен техникадағы, молекулярлық физикадағы жетістіктер мектепте
ықтималдықтар теориясының элементтерін оқыту қажеттілігін алға қойды.
1919 жылғы бағдарламаның жобасында бірыңғай еңбек мектептеріндегі
жаратылыс тану және техникалық топтар үшін ықтималдықтар теориясының
элементтері енгізілді. Бірақ сабақ беретін маман-ұстаздардың жоқтығына
байланысты жобаға енгізілген материал жүзеге аспады. 1925 жылы орта
мектептің математика бағдарламасына ықтималдықтар теориясының элементтерін
енгізу әрекеті қайта қарастырылды. Өкінішке орай, математика пәніне
бөлінген уақыттың тапшылығынан және ықтималдықтар теориясы бойынша оқу-
әдістемелік әдебиеттердің жеткіліксіздігінен бағдар-ламадан алынып
тасталды. 1965-1966 жылдары комбинаторика элементтері мен ықтималдықтар
теориясы бойынша қарапайым ұғымдар математика бағдарламасының жобасына
енгізілді. Математиканың мектеп курсына ықтималдықтар теориясының
элементтерін енгізу жайлы танымал ғалымдар А.Н.Колмогоров, А.Д.Аксанугов,
А.И.Маркушевич, Б.В.Гнеденко, И.М.Яглом, А.Я.Хинчин өз ойларын білдірген.

Математикалық білім беру реформасына байланысты орта мектептегі
математика курсының жеке тақырыбы ретінде ықти-малдар теориясының
элементтерін оқыту мақсатында XX-ғасырдың 60-шы жылдары көптеген ғалым-
әдіскерлердің бірқатар еңбектері жарық көрді.
Бірақ ықтималдық теориясының элементтерін оқытуға мектеп дайын
болмағандықтан, орта мектептің математикадан бағдарлама құру бойынша
пәндік комиссиясы 1967 жылғы жобада ұсынылған ықтималдықтар теориясындағы
бастапқы мәліметтерді міндетті оқу курсынан алып тастауға мәжбұр болды
және оларды 10-сыныптың факультативтік сабағына ауыстырды. Аталған
комиссияның төрағасы А.Н.Колмогоров келешекте бұл материалдың негізгі
мектептің математика курсына енгізілетіні жайлы айтқан.
Қазіргі кезде көптеген шет елдердің орта мектеп бағдарламаларына
комбинаторика және статистика элементтері қамтылған ықтималдықтар
теориясының элементарлық курсы енгізілген. Бірнеше жылдар бойы Венгрияда
мектептің математика курсына ықтималдық-статистикалық теориясының
элементтері енгізілген болатын. Бұл бастама Европада алғашқылардың бірі
болып мектеп оқушыларына стохастиканы оқыту жолдарын ұсынған Т.Варгидің
еңбектерінің негізінде жүзеге асты деуге болады.
Англия мен Уэльс ұлттық оқу жоспарында ықтималдықтар теориясы
бойынша материалды оқытуға едәуір уақыт берілген. Бастауыш сынып оқушылары
объектілерді топтастыруды орындай алулары, мәліметтерді жинап және оны
кестеге енгізе білулері, ақпараттың бөлігін кестеден бөліп алулары,
қарапайым диаграммаларды оқып және оларды құра білулері, ықтималдық
терминологиясын дұрыс қолдана білулері, тәжірибенің орындалу ықтималдығы
жайлы сөйлей білулері, эксперимент нәтижесінің ықтималдықтарын салыстыра
білулері қажет. Сонымен, ғылымда мектеп математика курсына ықтималдық-
статистикалық материалды енгізу идеясы 30 жыл бойы жүргізіліп келді және
көптеген педагог-ғалымдардың еңбектерінде бұл проблеманың әр түрлі
аспектілері зерттелді.
Соңғы жылдары ТМД елдерінде ықтималдық-статистикалық білім беру
мәселесіне қызығушылық арта түсті. Ресейде бірнеше жыл бойы әр түрлі
аймақтардағы негізгі мектептің оқушылары Математика 5-6 Г.В.Дорофеев
пен И.Ф.Шарыгинның редация-лауымен, Математика 7-9 Г.В.Дорофеевтің
редакциялауымен басқарылған жаңа оқу кешендерімен жұмыс жасауда. Бұл 5-
сыныптан бастап 10-сыныпқа дейін жүйелі түрде статистикалық-ықтималдықтар
теориясы оқытылатын Ресейдің алғашқы оқулықтарының бірі.
Бүгін біздің қоғамымызда жүргізіліп жатқан әлеуметтік-экономикалық
және саяси өзгерістерге, қазіргі кездегі барлық саладағы ғылым мен
техниканың дамуына байланысты ықтималдықтар теориясы мен математикалық
статистика элементтерін мектепте оқытудың қажеттілігі жайлы сұрақ қайта
көтерілді.
Біздің елімізде де ықтималдық-статистикалық материалды мектепте
міндетті математикалық білім берудің негізгі тарауы ретінде енгізу
жайлы түбегейлі шешім қабылданды. Соңғы жылғы барлық перспективалық білім
беру құжаттарында 6-9 сынып математика курсында Функция, Теңдеу және
теңсіздік салаларымен тең дәрежеде ықтималдық-статистикалық тарауы
енгізілген.
Әлемдік тәжірибе көрсетіп отырғандай, жоғары оқу орындарынан ғана
бастап ықтималдық ойлауды қалыптастыру өте кеш, ал мектептен қалыптасып
қалған детермистік ойлауды қайта құру өте қиын. Қазіргі кезде мектеп
математикасының жалпы курсында статистикалық, комбинаторикалық және
ықтималдық элементтері енгізілген. Бірақ оқушыларды қандай да бір
қарапайым есептерді шығаруға ғана үйретіп қоймай, ықтималдық-статистикалық
ойлау элементтерін қалыптастыру қажет.
Статистикалық ойлау өзара байланысқан мынадай компо-ненттерден
тұрады: статистикалық мәдениет, комбинаторикалық ойлау, ықтималдық
интуицияның дамуы.
Статистикалық мәдениетке, құбылыстың сипаты жайлы дұрыс қорытынды
алу мақсатында статистикалық ақпараттарды қабылдау, оқу, талдау жасау
және оларды әр түрлі формада (таблица, диаграмма, үлестіру қисығы)
көрсету жолдары жатады.
Комбинаторикалық ойлау қарастырылып отырған құбылыстың барлық
нәтижелерін анықтай білу, толық нәтиже кеңістігінен қандай да бір белгі
бойынша таңдау жасаудан тұрады.
Ықтималдықтық интуицияға мүмкіндікті бағалай білу, болжам және
ұсыныс жасай білу, жағдайды болжай білу, құбылысты талдауға статистикалық
әдісті қолдана білу жолдары жатады.
Комбинаторика, ықтималдықтар теориясы және статистика элементтері
негіздерін оқыту бойынша эксперимент Семей қаласының 7-мектеп-лицейінде
2003 жылдан бастап бүгінгі күнге дейін жүргізіліп келеді. Бұл еңбектің
нәтижелері математика мұғалімдеріне арналған осы оқу-әдістемелік құралда
көрсетілген.
Курстың мақсаты:
▪ Оқушылардың ықтималдық-статистикалық ойлауын қалып-тастыру.

Курстың міндеттері:
▪ Оқушыларға Комбинаторика, ықтималдықтар теориясы және математикалық
статистика курсының негізгі ұғымдарын игеруге көмектесу;
▪ Комбинаторикалық талдаудың, ықтималдықтар теориясының негізгі
есептерін шығару;
▪ Оқушыларға математикалық статистиканың негізін үйрету.
Курсты оқу нәтижесінде оқушылар:
▪ Комбинаторикалық ережелер мен формулаларды қолдана білу;
▪ Күрделі емес комбинаторикалық есептерді шығаруда талдау жүргізе
білу;
▪ Бұтақтың тармақтарын құра білу;
▪ Қарапайым жағдайда ықтималдықты есептей білу;
▪ Ықтималдық пен жиілілік ұғымдарын ажырата білу;
▪ Қарапайым статистикалық ақпаратты тіркеу және оны кестеге енгізу,
сонымен қатар олардың сандық сипаттамаларын есептей білулері керек.

Пәндік жоспарлау
№ Курс тақырыптарының аталуы Сағат саны
I. Комбинаториканың негізгі ұғымдары.
1 Комбинаторика пәні. Қайталанатын және қайталанбайтын 2
таңдаулар. Комбинацияны құрайтын типтер
2 Бұтақтар әдісі. Бұтақтар көмегімен варианттарды 2
есептеу
3 Қысқа жолды табу. 1
№ 1- бақылау жұмысы. 1
II. Комбинаторика ережелері.
4 Комбинаторика ережелері және оларды варианттарды 2
есептеуде тікелей қолдану.
5 Факториал. 2
6 Факториалы бар теңдеулер. 2
№ 2 – бақылау жұмысы. 1
III. Орналастыру мен алмастыру
7 Қайталанбайтын орналастырулар. 1
8 Қайталанбалы орналастырулар. 2
9 Қайталанбайтын алмастырулар. 1
10 Қайталанбалы алмастырулар. 2
№ 3-бақылау жұмысы. 1
IV. Терулер.
11 Қайталанбайтын терулер. Ньютон Биномы. 1
12 Статистикалық бақылау. 1
13 Қайталанбалы терулер. 2
14 Аралас есептер. 1
№ 4 - бақылау жұмысы 1
V. Ықтималдықтар теориясының негізгі ұғымдары.
15 Ықтималдық нені оқытады? Тәжірибе және оқиға. 2
16 Табысқа жету мүмкіншілігі. Ықтималдықтар шкаласы. 2
17 Ықтималдықтың классикалық анықтамасы. 2
18 Ықтималдықтың статистикалық анықтамасы. 2
19 Ықтималдықты есептеуде комбинаторика формулаларын 2
қолдану.
№ 5 – бақылау жұмысы. 1
VI. Ықтималдықтың негізгі теоремалары.
20 Үйлесімді және үйлесімсіз оқиғалардың ықтималдықтарын 1
қосу теоремалары.
21 Тәуелсіз оқиғалар үшін көбейту теоремасы 2
22 Тәуелді оқиғалар үшін көбейту теоремасы. 1
23 Қосу мен көбейту теоремаларын қолдануға арналған аралас2
есептер.
24 Ең болмағанда бір оқиғаның пайда болу ықтималдылығы. 2
№ 6 - бақылау жұмысы. 1
VII. Тәжірибенің қайталануы. Кездейсоқ шама.
25 Бернулли схемасы. Тәжірибені қайталау. 2
26 Дискреттік кездейсоқ шама. Үлестіру заңы. 2
27 Кездейсоқ шаманың сандық сипаттамасы. 2
28 Үлестірудің биномдық заңы. 2
29 Үлестірудің гипергеометриялық заңы. 1
30 Кездейсоқ шамалардағы сызықтық операциялар. 2
№ 7- бақылау жұмысы. 1
VII. Статистика элементтері
31 Статистика. Статистика пәні. Статистиканың міндеттері 1
32 Дискреттік вариациялық қатар. Полигон. 2
33 Үзіліссіз вариациялық қатар. Гистограмма. 2
34. Арифметикалық орта, дисперсия, орта квадраттық ауытқу. 2
35 Экономикалық мазмұндағы есептерге комбинаторика мен 2
ықтималдықты қолдану.
Барлығы 68

І-тақырып. Комбинаториканың негізгі ұғымдары

1. Комбинаторика пәні. Қайталанатын және қайталанбайтын таңдаулар.
Комбинацияны құрайтын типтер

Берілген жиындағы элементтерден қандай да бір шартқа бағынатын
әртүрлі қанша комбинация құрастыруға болады деген сұрақты қарастыратын
математика саласын комбинаторика деп атайды.
Комбинаторика ұғымы XVI - ғасырда пайда болған. Ол кезде карта,
сүйек ойыны, лотереялар сияқты құмарлық ойындар үлкен орын алған. Сондықтан
алғашқыда комбинаторикалық есептер негізінен құмарлық ойындарға қатысты
болған. Комбинаториканың дамуы Я.Бернулли, Лейбниц, Эйлер есімдерімен
тығыз байланысты.
Соңғы жылдары комбинаторика жедел даму үстінде. Комбинаторикалық
әдістер транспорттық есептер шешуде, кестелер, өндірістік жоспарлар
құрастыруда және өнімді өткізу мәселесінде қолданылады. Комбинаториканың
негізгі ұғымдары көптеген ықтималдық есептерінің, сызықтық программалаудың,
статистиканың негізі болып табылады. Сонымен қатар, комбинаторика
автоматтар теориясында, экономикалық есептерде, биология және генетикада
қолданылады.
Берілген жиын n әртүрлі элементтерден тұрсын. Бұл жиыннан бір
элементті аламыз, содан кейін жиыннан бұл элементтен басқа екінші элемент
алынады т.с.с., яғни әрбір таңдауда алынған элементтерден басқа жаңа
элементтер алып отырамыз. Бұл кайталанбайтын таңдау.
Берілген жиын k типті элементтерден тұратын болсын, мұнда әрбір
типтің ішіндегі элементтер бірдей. Кезекті таңдауда, алдыңғы алғаннан
басқа, немесе алдында алғандағыдай жаңа элемент аламыз. Бұл қайталанатын
таңдау деп аталады.
Қайталанатын таңдауға өзгеше сипат беруге болады. Берілген жиын әртүрлі п
элементтен тұрсын. Бірінші элементті жазып алып, оны жиынға қайта
қайтарамыз. Екінші элементті аламыз. Бұл жаңа немесе алдыңғы қайтарылған
элемент болуы мүмкін. Мұндай таңдау қайталанатын таңдау. Жиыннан алынған
элементтер таңдауларды құрайды.
2. Бұтақтар әдісі. Бұтақтар көмегімен варианттарды есептеу.

Есеп шығаруда қолданылатын комбинаторикалық әдістің бірі - жалпы бір
схемаға негізделген бұтақтар әдісі. Мүмкін таңдау саны әр қадам сайын
алғашқыда қандай элемент алынғанына байланысты болатын комбинацияны құру
процесін бұтақтар түрінде қарастырған ыңғайлы. Алдымен бір нүктеден әр
түрлі неше таңдау алуға болатын бағыт көрсетіледі, яғни әрбір тармақ бір
элементке сәйкес келеді. Алынған бағыттардан, екінші қадамда қанша таңдау
жасауға болса, бір нүктеден сонша тармақтар (стрелка) жүргізіледі.
1-мысал.
а) Теңге екі рет, б) үш рет лақтырғандағы мүмкін нәтижелердің
бұтақтарын салып көрсет.
Шешуі: а) теңгені бір рет лақтырғанда елтаңба (Е) немесе сан (С)
жағымен түсетін екі жағдай болады. Сондықтан бірінші қадамда бір нүктеден
шығатын 2 тармақ болады.

Е
С 1-қадам

Е С Е
С 2-қадам

Теңгені екінші рет лақтырғанда да екі жағдай болады. Сонда екінші
қадамда төрт нүкте аламыз, яғни теңгені екі рет лақтырғанда төрт жағдай
болуы мүмкін, ЕЕ, ЕС, СЕ, СС.
б) Дәл осылайша теңгені үш рет лақтырғанда ЕЕЕ, ЕЕС, ЕСЕ, ЕСС, СЕЕ,
СЕС, ССЕ, ССС жағдайлар болады. Оның бұтақтары төмендегі суреттегідей.

Е
С 1- қадам

Е С Е
С 2 – қадам

Е С Е С Е С Е
С 3 - қадам

2-мысал.
а) 2,3,4 цифрларын бір рет қана қолдану арқылы неше әдіспен үш
таңбалы сан жазуға болады?
б) 2 және 0 цифрларынан неше әдіспен төрттаңбалы сан жазуға болады?

Шешуі: а) бұл есептің шешімін бұтақтар әдісі арқылы көрсетейік.
Сан үштаңбалы болғандықтан, үш қадам болады. Бірінші цифр үш әдіспен
таңдалады, сондықтан бірінші қадамда үш бағыт болады. Екінші цифр (цифрлар
қайталанбайтын болғандықтан) қалған екеуінен таңдалады. Сонда бірінші
қадамның әрбір нүктесінен екі тармақ шығады. Үшінші цифр қалған біреуінен
таңдалатындықтан екінші қадамның әрбір нүктесінен бір тармақ шығады.
Соңғы қадамда алты нүкте пайда болады, яғни алты үштаңбалы сан алуға
болады, 234, 243, 324, 342, 423, 432.

2 3
4 1- қадам

3 4 2 4 2 3
2- қадам

4 3 4 2 3
2 3 - қадам
б) 2 және 0 цифрларынан тұратын төрт таңбалы санның шығу бұтақтарын
салайық. Суретте төрт деңгей болады. Бірінші цифр екі ғана болады,
өйткені 0 цифрынан басталатын төрт таңбалы сан болмайды. Екінші, үшінші,
төртінші цифрларды да екі әдіспен алуға болады. Төртінші деңгейде сегіз
нүкте пайда болады, яғни сегіз төрт таңбалы сан алынды: 2000, 2002, 2020,
2022, 2200, 2202, 2220, 2222.

2
1-қадам

0 2
2- қадам

0 2 0
2 3-қадам

4-қадам

0 2 0 2 0 2
0 2

3-мысал. А, Б, В үш әрпінен дауыссыз дыбыстар қатар келмейтін
барлық үш әріпті сөзді құрастыру керек.
Шешуі: Шығу бұтақтарын көрсетейік.
Бұл бұтақтардан 11 сөз пайда болатынын көреміз, атап айтқанда ААА, ААБ,
ААВ, АБА, АВА, БАА, БАБ, БАВ, ВАА, ВАБ, ВАВ.

А Б
В 1-қадам

А Б В А А
2-қадам

А Б В А А А Б В А Б В
3 - қадам

3. Қысқа жолды табу.

4-мысал: Саудагердің жүрген жолы сызба түрінде көрсетілген. Бір
пунктен екінші пунктке көрсетілген бағыт бойынша ғана жүру керек. Саудагер
әрбір пункте бір рет ғана бола алады. Оның жүрген жолын бұтақтар әдісі
арқылы көрсету керек. Бірінші пунктен оныншы пунктке дейінгі ең ұзақ және
ең қысқа жолдарды табу керек. Бағыттың бойында пунктер арасындағы ара
қашықтықтар көрсетілген.
Шешуі: Көрнекілік үшін бірінші пунктен оныншы пунктке дейінгі барлық
мүмкін болатын жолдардың бұтақтарын құрайық.
Бұтақтар бойынша 1- пунктен 10 - пунктке дейінгі барлық мүмкін болатын
жолдар 11. Енді барлық жолдардың ұзындықтарын табайық, мұнда соңғы
пунктен бастаған ыңғайлы.
Мысалы, бірінші жол 10 – 8 – 4 – 2 – 1. Бұл жолдың ұзындығы 2+8+5+2 = 17
км. Сонымен, ең қысқа жолдың ұзындығы 13 км, ал ең ұзын жол 26км тең.
Бұтақтар әдісінің тиімділігі, барлық мүмкін болатын жол санын санауға
мүмкіндік береді және барлық жолдарды бірден көре отырып, оларды
салыстыруға болады. Бұл әдісті торлық графикте ең қиын жолды табуда
қолданамыз.

ІІ- тақырып. Комбинаторика ережесі

4. Комбинаторика ережелері және оларды варианттарды есептеуде тікелей
қолдану

Қосу ережесі. Егер А мен В объектілері тоғыспайтын болса және А
объектісі m тәсілімен, ал В объектісі n тәсілімен алынса, онда
А немесе В объектілерін таңдау m + n тәсілмен жүзеге асады.
Көбейту ережесі. Егер А объектісі m әдіспен таңдалған болса және
әрбір таңдамалардан кейін В объектісі n әдіспен таңдалса
(А таңдауынан тәуелсіз), онда А және В реттелген қостар таңдауын m×n
әдісімен алуға болады.
1-мысал: бір мезгілде екі ойын сүйегі лақтырылады. Қанша жағдайлар
болатынын есепте.
Шешуі: бірінші ойын сүйегіндегі ұпай саны А болсын. Екінші ойын
сүйегіндегі ұпай санын В арқылы белгілейік. Әрбір ойын сүйегінде 1-ден 6-
ға дейін ұпай саны түсуі мүмкін, яғни А объектісін 6 әдіспен, В
объектісін 6 әдіспен таңдауға болады. Көбейту ережесі бойынша, бір
мезгілде екі ойын сүйегі лақтырылғандағы әртүрлі нәтижелер саны (6х6 =36)
36-ға тең
болады. Мұны шыққан барлық нәтижелер арқылы байқауға болады.
11 21 31 41 51 61
12 22 32 42 52 62
13 23 33 43 53 63
14 24 34 44 54 64
15 25 35 45 55 65
16 26 36 46 56 66
2-мысал: Дүкенде алты түрлі шоколад және төрт түрлі карамель
кәмпиттері бар. а) кәмпиттердің бір сортынан қанша кәмпиттер түрін сатып
алуға болады? б) бір сорт шоколад және бір сорт карамель кәмпиттер
түрлерін сатып алу үшін қанша жағдайлар болады?
Шешуі: Шоколад кәмпиттерін А объектісі арқылы, ал карамель кәмпиттерін
В арқылы белгілейік. А объектісін 6 әдіспен, ал В объектісін 4 әдіспен
алуға болады. а) А+В объектісі - кәмпиттің бір түрін алуға болатынын
көрсетеді, яғни m+n = 6+4 =10 түрлі.
б) АВ объектісі шоколад пен карамель кәмпитерін сатып алуды m×n=6×4=24
әдіспен таңдап алуға болады.
Ескерту: бұл ережелер көп объектілерге де қолданылады.
3-мысал: Теңгені үш рет лақтырғанда қандай жағдалар шығуы мүмкін?
Теңгені бірінші рет лақтырғанды Х объектісі арқылы белгілейік, екінші рет
лақтырғанды У объектісі арқылы, үшінші лақтырғанды – Z объектісі деп
белгілейік. Әрбір объектіні екі әдіспен алуға болады: елтаңба (Е) немесе
сан (С). Үш рет лақтырғанда көбейту ережесі бойынша нәтиженің 8 әдісі
болады.
4-мысал: Көбейту ережесі көмегімен ондық санау жүйесінде қанша үш
таңбалы сандар болу мүмкіндігін тап.
Шешуі: үш таңбалы санның жүздік санын А , ондық санын – В, бірлік
санын – С объектісі арқылы белгілейік. А объектісін 9 әдіспен алуға
болады 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ал В және С объектілерін 10 әдістен
алуға болады, олар 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Сонда үш таңбалы санды
көбейту ережесі бойынша 9×10×10 = 900 әдіспен алуға болады, яғни 900 үш
таңбалы сан бар.
5-мысал: 0 және 2 цифрынан қанша төрт таңбалы сан құруға болады?
Шешуі: Төрт таңбалы санның цифрларын АВСD арқылы белгілейік. Бірінші
А цифрын бір әдіспен аламыз (яғни 2 цифры болады), ал В, С, D цифрларын
екі әдістен аламыз (2 және 0). Көбейту ережесі бойынша АВСD төрттаңбалы
санды 1×2×2×2 = 8 әдіспен алуға болады.
6-мысал: Пиццаны дайындағанда ірімшікке мынадай компо-ненттер қосуға
болады: шұжық, бұрыш, сарымсақ, саңырауқұлақ және балық. Осы
компоненттердің барлығы ірімшікпен қосылады. Қанша әр түрлі пицца
дайындауға болады?
Шешуі: осы компоненттердің әрқайсысын бір бірінен тәуелсіз пиццаға
қосуға болады немесе болмайды деген екі тәсілді аламыз. Сондықтан,
қандай да бір компонентті қосуға байланысты көбейту ережесі бойынша
2×2×2×2×2 = 25 тәсіл алуға болады, бұл тәсілдердің ішіне тек ірімшіктен
ғана тұратын, сонымен қатар барлық компоненттер қосылған пиццалар да
кіреді.

5. Факториал.

Анықтама: бірден бастап n-ге дейінгі барлық натурал сандардың
көбейтіндісін n факториал деп атаймыз және ол n! символымен белгіленеді.
n!=1·2·3...·n

1-мысал.
1!=1
2!=1·2
3!=1·2·3
4!=1·2·3·4
5!=1·2·3·4·5
1-ескерту. 0! = 1

2-ескерту. n! =(n-1)!·n=(n-2)!·(n-1)·n

2-мысал.

Есепте , , .

Шешуі. Факториалдың анықтамасын немесе екінші ескертуді қолдана отырып
табамыз,
немесе

немесе
==n(n+1)
немесе =n (n+1)

6. Факториалы бар теңдеулер

1-мысал. Теңдеуді шеш 5!х=8!
Шешуі. х=
2-мысал. Теңдеуді шеш
Шешуі. х=
3-мысал. N!=3(N-1)!
Шешуі. (N-1)! N=3(N-1)!
N=3.
4-мысал. Теңдеуді шеш
Шешуі. . Бұдан n(n+1)=42; , n=-7, n=6

ІІІ- тақырып. Орналастырулар мен алмастырулар

7. Қайталанбайтын орналастырулар.

1-мысал. n әртүрлі элементтердің m элементтерінен тұратын әртүрлі
қанша комбинация құрастыруға болады? Мұнда әрбір комбинациялар бір бірінен
кем дегенде бір элементімен немесе сол элементтердің әр түрлі орналасуымен
өзгешеленеді.
Шешуі: Бірінші элементті n элементтер арасынан n тәсілмен таңдап
алуға болады. Екінші элемент (n -1) тәсілімен таңдалады, үшінші элемент (n
-2) тәсілімен таңдалады. Дәл осылай m элементтен тұратын комбинацияның
санын көбейту ережесін пайдаланып
n(n-1) (n-2)( n-3)...( n- (m-1)) тәсілмен таңдауға болатынын көреміз.
Факториалды қолдану арқылы, мұны былай жазуға болады:

Анықтама: берілген n элементтен бір бірінен құрамы немесе орналасу
ретімен өзгеше болатын m элементтер таңдамасын n элементтен алынған m
элементті қайталанбайтын орналастыру деп атайды.
Қайталанбайтын орналастыру былай белгіленіп , мына формуламен
есептелінеді: (1)

2-мысал. 1, 2, 3, 4, 5 цифрлар арқылы цифрлары қайталанбайтын қанша а)
екі таңбалы, үш таңбалы, төрт таңбалы, бес таңбалы сандар құрастыруға
болады?
Шешуі: а) екі таңбалы сандар саны – 5 элементтен 2-ден алынған
қайталанбайтын орналастырулар болады, онда (1) формула бойынша
=
б) үш таңбалы сандар саны - 5 элементтен 3-тен алынған
қайталанбайтын орналастырулар болады, яғни (1) формуласы бойынша
= үш таңбалы сан алуға болады.
в) төрт таңбалы сандар саны – 5 элементтен 4-тен алынған
қайталанбайтын орналастырулар сан алуға болады.
г) бес таңбалы сандар саны да тең болады.
3-мысал. 25 орынға 4 адамды неше тәсілмен орналастыруға болады?
Шешуі: (1) формуласы бойынша n=25, m=4, онда тәсілмен
орналастыруға болады.

8. Қайталанбалы орналастырулар.

Анықтама. Егер бір таңдамада бір элемент 2, 3, ...n рет қайталанса, онда
оны п элементтен m элементті қайталанатын орналастырулар деп атайды. Оны
былай белгілеп , мына формула бойынша есептейді:

(2)
1-мысал: 1, 2, 3, 4, 5 цифрлар арқылы цифрлары қайталанатын неше
екі таңбалы, үш таңбалы, төрт таңбалы, бес таңбалы сандар құрастыруға
болады.
Шешуі: а) Санның цифрлары қайталанатын болғандықтан, екі таңбалы
санның бірінші, екінші цифрын да бес әдіспен алуға болады. Онда көбейту
ережесі бойынша цифрлары қайталанатын екі таңбалы санды 5×5=25 әдіспен
құрастыруға болады. Сондықтан (2) формуласы бойынша:
=52=25
б) Дәл осылай үш таңбалы санды
=53=5·5·5=125 әдіспен алуға болады.

в) төрт таңбалы санды =5·5·5·5=54=625 әдіспен алуға болады..

г) бес таңбалы санды = 5·5·5·5·5=55= 3125 әдіспен алуға болады.

9. Қайталанбайтын алмастырулар.

Анықтама. Егер қайталанбайтын орналастыру формуласында m= n болса ,
онда - қайталанбайтын алмастыру деп аталады.

Қайталанбайтын алмастыруды Рп арқылы белгілейді және мына формула арқылы
есептеледі:
Рп=n! (3)

1-мысал. а) 2, 3, 4 цифрлары арқылы қанша үш таңбалы сан жазуға
болады. б) 2, 3, 4, 7 цифрлары арқылы қанша төрт таңбалы сан жазуға
болады. Санды жазғанда цифрлар қайталанбайды.
Шешуі: (3) формуланы пайдалану арқылы Р3=3!=1·2·3=6 үш таңбалы сан
бар екенін көруге болады.
б) (3) формула бойынша Р4=4!=1·2·3·4=24 төрт таңбалы сан бар
екенін көреміз.

2-мысал. 5 адам неше тәсілмен кезекке тұрады.

Шешуі: Р5 = 5! =1·2·3·4·5 = 120 әдіспен кезекке тұрады.

10. Қайталанбалы алмастырулар.

1-мысал. а) Т, Ә, У, Л, І, К; б) С, А, Х, А, Р, А. әріптерінен қанша
сөз (мағынасыз) құрастыруға болады.
Шешуі: а) мұнда әріптер әр түрлі болғандықтан Р6=6! Сонымен
Т, Ә, У, Л, І, К әріптерінен Р6 = 6! = 720 әр түрлі сөз құрастыруға
болады.
б) Мұнда қайталанбайтын алмастыруды қолдануға болмайды, себебі
С, А, Х, А, Р, А әріптерінің ішінде А әрпі қайталанады. Бұл әріптерді
нөмірлеп кояйық

1 2 3 4 5 6
С А Х А Р А

1, 3, 6 нөмірлі С, Х, Р әріптерді қалдырып 2, 4, 6. нөмірлі А
әріптерін алмастырайық, сонда:

1 2 3 4 5 6
С А Х А Р А
1 2 3 6 5 4
С А Х А Р А
1 4 3 2 5 6
С А Х А Р А
1 4 3 6 5 2
С А Х А Р А
1 6 3 2 5 4
С А Х А Р А
1 6 3 4 5 2
С А Х А Р А

2, 4, 6 нөмірлі А әрпін 3!=6 әдіспен алуға болады. Бірақ бұл
әріптерді алмастырғаннан жаңа сөз шықпайтынын көру қиын емес, яғни
С А Х А Р А 6 рет кездестіріледі. Кез келген жаңа сөз 6 рет қездеседі
(3!=6). Қайталанатын сөздерді алып тастағанда САХАРА әріптерінен
алмастырылған сөздер ТӘУЛІК әріптерінен 3!=6 есе кем болады, яғни
=4·5·6=120
Бұл сан 6 элементтен құрастырылған алмастыру болып табылады.

k элемент берілсін. Бірінші элемент n1 рет қайталансын, екінші элемент
n2, ..., к-шы – nк рет қайталансын n1+n2+...+nk= n.

Егер берілген элементтер әр түрлі болса, онда алмастыру саны n!-ға
тең болар еді. n элементтердің ішінде қайталанатын элементтері бар
алмастырудың саны n! –дан n1! n2! ...nк! есе кем болады. Сонда
қайталанатын алмастырудың саны мына формула бойынша есептеледі
= (4)

2-мысал. М, Е, К, Е, М, Е. әріптерінен алмастыру санын тап.
Шешуі: Мұнда М әрпі 2 рет қайталанады, яғни n1=2, Е әрпі 3 рет
қайталанады, яғни n2=3 және К элементі үшін – n3=1. n=n1+n2
+n3=2+3+1=6. Сонымен (4) формула бойынша қайталанатын алмастыру
Р3,2,1=.

Жіктеуге арналған есеп. Әр түрлі n затты неше әдіспен n1, n2,
..., nк элементтен тұратын 1, 2, ..., к топтарға бөлуге болады деген
мазмұндағы комбинаторикалық есептерді мына формула арқылы шығаруға болады.

(5)

3-мысал. №1, №2, №3, №4 нөмірлі 4 өнеркәсіп бөлімшесіне 10 маманды
сәйкесінше 1, 2, 3, 4 мамандар баратындай неше әдіспен бөлуге болады?
Шешуі. Мұнда n= 10, n1 =1, n2 =2, n3 =3, n4 =4, онда (5) формула
бойынша әдіспен 10 маманды 4 өнеркәсіп бөлімшесіне бөлуге болатынын
есептейміз.

IV-тақырып. Терулер

11. Қайталанбайтын терулер. Ньютон Биномы

Егер комбинациядағы элементтердің реті емес, тек оның құрамы
қарастырылса, онда сөз теру жайлы болады.
Анықтама. Егер п элементті жиыннан m элементтен алынған таңдамалар
бір бірінен ең болмағанда бір элементпен өзгешеленетін болса, онда мұндай
таңдаманы п элементтен m бойынша алынған қайталанбайтын теру деп атайды.

Бұл символымен белгіленіп, төмендегі формула бойынша
есептелінеді: =
(6)
1-мысал. А, В, С, D төрт элементтен 2 элементті қайталанбайтын
орналастырулар және терулер санын табу керек.

Шешуі. Орналастыру формуласы бойынша n=4, m=2, ==, яғни

АВ АС А D ВС ВD СD
ВА СА DА СВ DВ DС

мұнда элементтердің орналасу реті маңызды.
Ал дәл осы элементтер үшін, яғни n=4, m=2 жағдайда, (6) формула бойынша
терудің санын табуға болады
====6, яғни

АВ АС АD ВС ВD СD

мұнда элементтердің орналасу реті маңызды емес.

Теру санын есептеуде төмендегі қасиеттерді пайдалануға болады:
1. =1
2. = 1
3. = n
4. =
5.
Соңғы қасиет рекурренттік формулалар санына жатады. Егер n=6 деп
алсақ, онда . Бұл қасиетті Паскаль үшбұрышы деп аталатын сандық
таблица түрінде жазуға да болады. Оның төбесі және бүйір қабырғалары 1
санынан тұрады. Ал басқа кез-келген жолдың элементтері алдыңғы жолдың
сол және оң жағында тұрған сандардың қосындысына тең болып, олардың
арасына жазылады.

1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
1 8 28 56 70 56 28 8 1
1 9 36 84 126 126 84 36
9 1

Сонымен n=6 үшін (6 жол) және m=3 , яғни 15=5+10.
Паскаль үшбұрышындағы сандар биномдық коэффиценттер деп аталады. Бұл
коэффициенттер Ньютон биномының коэффи-центтеріне тең.

(а+в)n = an b0 + an-1 b1 + an-2 b2 +...+ a1 bn-1 +
a0 bn

2-мысал. (а+в)9 өрнегін Ньютон биномының формуласын пайдаланып жаз.

Шешуі: (а+в)9 = а9 в0 + а8 в1 + а7 в2 + а6 в3 + а5
в4 +

а4 в5 + а3 в6 + а2 в7 + а1 в8 + а0 в9

Мұнда Паскаль үшбұрышындағы 9-шы жолдың коэффиценттері қолданылады.

Сонымен (а+в)9 =а9 + 9а8в1 +36 а7в2 + 84 а6в3 + 126 а5в4 + 126 а4в5 +

84 а3в6 + 36 а2в7 + 9 а1в8 + в9.

12. Статистикалық бақылау

Статистикалық бақылауға арналған есеп. Әдетте қандай да бір
бұйымның сапасын бақылау осы бұйымның белгілі бір бөлігін тексеру
арқылы жүзеге асады. Егер тексерілген бөліктің көпшілігі жарамсыз болса,
онда барлық бұйымды жарамсыз деп санайды. Ал егер тексерілген бөліктің
көбі жарамды болса, онда барлық бұйым жарамды. Кей кезде бұйымдарды
тексеру үшін бір бірден бұйымдар алынып тексеріледі де қайта
қайтарылады, мұндай жағдайда бір бұйымның бірнеше рет тексерілуі мүмкін.
n әртүрлі бұйымдардан m бұйым таңдау nm әдісімен таңдалады. Ал егер
тексерілген бұйым қайта қайтарылмайтын болса, онда n әртүрлі бұйымдардан
m бұйым таңдап алу саны

формуласымен есептеледі.
Бұйымның сапасын тексеру үшін оның қандай да бір бөлігін алғанда мұнда
олардың орналасу реті маңызды емес. Мұндай жағдайда қайталанбайтын теру
формуласын пайдаланамыз.
1-мысал. Жәшікте 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 цифрлары арқылы
нөмірленген 10 бұйым бар. Кез келген үш бұйымды неше тәсілмен алуға
болады?
Шешуі. Мұнда алынған бұйымдардың орналасу реті маңызды болмағандықтан
теру формуласы бойынша
= тәсіл бар екенін көру қиын емес.
2-мысал. Жәшікте 10 деталь бар. Оның алтауы стандартты деталь.
Жәшіктен құрамында екі стандартты деталь болатындай бес детальды неше
әдіспен алуға болады?
Шешуі. Есептің шартынан N=10, n=6, к=2, m=5. n=6 стандарттық детальдан
к=2 стандарттық детальды әдіспен алуға болады, ал қалған үш деталь
стандартты болмау керек. N-n=10-6=4 стандартты емес детальдан m-k=3
стандартты емес детальды әдіспен алуға болады. Сонымен, жәшіктен 5
детальды алу және оның ішінде 3 стандартты емес деталь болатынын көбейту
ережесі бойынша табамыз. = әдіс болады.
13. Қайталанбалы терулер.

Анықтама. п элементтерден тұратын жиыннан к элементтер көлеміндегі
таңдама өзінің көлемі бойынша емес, құрамы бойынша өзгешеленетін (кем
дегенде бір элементімен) таңдаманы қайталанбалы терулер деп атайды.
Мұндай қайталанбалы терулер саны символымен белгіленеді және
төмендегі формуламен есептеледі.
=
(7)
1-мысал. Гүлдер сататын дүкенде үш түрлі гүл бар. Әрқайсысында 5
гүлден болатын әр түрлі неше гүл шоғын алуға болады?
Шешуі. Гүл шоғындағы бір сортты гүлдердің түрлері қайта-
ланып,гүлдердің орналасу реті ескерілмейтіндіктен, біз қайталанбалы
терулер формуласын пайдаланамыз. Қарастырылып отырған жиын 3 элементтен
тұрады, ал таңдама (гүл шоғы) 5 элементтен тұрады, яғни гүлдер шоғының
саны – 3 элементтен 5-тен алынған терулер саны , яғни n=3, k=5 болады,
(7) формула бойынша

әртүрлі гүлдер шоғын алуға болады.

Сандарды қосылғыштарға жіктеу есебі. Қайталанбалы терулер санының
формуласы арқылы мынадай есепті шығаруға болады: қосылғыштар ретін есепке
ала отырып қанша әдіспен натурал n санын к натурал санының қосындысы
түрінде жазуға болады?

Қарастырылып отырған натурал n санын к натурал қосылғыштарға жіктеу
сұрағы мынадай сұраққа эквивалентті: х1 +х2 +...+хк =n теңдеудің неше оң
шешімі болады?

әрбір (х1, х2,...,хк) шешім А = {1,2,...к} жиынындағы n элементтен құралған
таңдама қайталанбалы теру болып табылады.

Мұндай таңдама санын (7) формула арқылы есептейміз.

14. Аралас есептер.

Бір есепті шешкенде комбинаториканың бірнеше формуласын қолдануға
тура келеді.

1-мысал. 1, 2, 3, 4, 5 цифрларынан цифрлар қайталанбайтын үш таңбалы
сан құрастыру керек. Сол сандардың ішінде а) 2-ге еселі, б) 3-ке еселі
қанша сан бар?

Шешуі. а) Осы цифрлардан құрылған сан екіге еселі болу үшінол 2-ге
немесе 4-ке аяқталуы керек. 2-ге аяқталады делік. Онда алғашқы екі
цифрды қалған 4 цифрдан тәсілімен табуға болады. Дәл осылай, егер
үш таңбалы сан 4-ке аяқталатын болса, онда алдыңғы екі цифр
тәсілмен алынады. Енді комбинаториканың қосу ережесі бойынша 2-ге еселі
сандар =24 тең болады.

б) Егер санның цифрларының қосындысы үшке бөлінетін болса, онда санның
өзі де үшке бөлінеді. . Бұл мынандай сандар 123, 124, 125, 134, 135,
145, 234, 235, 245, 345. Осы сандардың ішінде тек төрт санның
цифрларының қосындысы үшке бөлінеді екен, бұлар 123, 234, 135, 345.
1, 2, 3 цифрларынан қайталанбайтын алмастырудың формуласы бойынша
сан жазуға болады. Онда үшке еселі сандар саны

тең болады.

2-мысал. Кеште 12 қыз бала және 15ұл бала болды. Осылардан биге
неше әдіспен 4 жұп алуға болады.

Шешуі. 4 кыз баланы әдіспен таңдап алуға болады. Ал ұл балалар
әдіспен таңдаалады (мұнда таңдалу реті де ескеріледі). Сонымен биге
=495×32750 = 16216200 әдіспен алуға болады.

V-тақырып. Ықтималдықтар теориясының негізгі ұғымдары

15. Ықтималдық нені оқытады? Тәжірибе және оқиға

Ықтималдықтар теориясы тек кездейсоқ оқиғалар және олардың пайда болу
мүмкіндіктерін қарастыратын математиканың бір бөлімі болып табылады.
Сонымен қатар, ықтималдықтар теориясы қандай да бір оқиғаның шығуын алдын-
ала анықтай алмайды, бірақ оның көмегімен көп рет қайталанған оқиғаның
заңдылығын анықтауға болады. Оқиғалар 3 түрге бөлінеді: ақиқат, мүмкін
емес және кездейсоқ.
Тәжірибе барысында міндетті түрде орындалатын оқиғаларды ақиқат
оқиғалар деп атайды.
Тәжірибе кезінде пайда болмайтын оқиға мүмкін емес оқиға деп
аталады.
Тәжірибе барысында орындалуы да, орындалмауы да мүмкін оқиға
кездейсоқ деп аталады.
Оқиғалар латын алфавитінің бас әріптерімен А, В, С,... арқылы
белгіленеді.
Тәжірибе барысында екі оқиғаның бірі пайда болып, екіншісі пайда
болмайтын оқиғалар үйлесімсіз деп аталады.
Тәжірибе кезінде мүмкін оқиғалардың әйтеуір біреуінің пайда болуы
ақиқат болса, онда оқиғалар жалғыз мүмкіндікті оқиғалар деп аталады.
Егер А, В, ...,М. оқиғалары жалғыз мүмкіндікті болса, онда олар толық
топты құрайды. Егер жалғыз мүмкіндікті екі оқиға толық топты құраса,
онда олар қарама-қарсы оқиғалар деп аталады. А оқиғасына қарама-қарсы
оқиғаны деп белгіленеді.
Тәжірибе мен оқиға ұғымдарының айырмашылығын қарастырайық. Өмірде,
тұрмыста, ғылымда жүргізілетін бақылаулар, сынақтар, экспери-менттерді
тәжірибе деп атаймыз. Тәжірибенің нәтижесі оқиға болады.
1-мысал. Теңге бір рет лақтырылады. Бұл тәжірибе. Тәжірибенің
нәтижесі оқиға болып есептеледі.
А оқиғасы – елтаңба жағының шығуы.
В оқиғасы - цифр жағының шығуы. Мұнда А және В үйлесімсіз (тоғыспайтын),
қарама-қарсы оқиғалар және толық топ құрайды.
2-мысал. Жәшікте тек ақ шарлар бар. жәшіктен ақ шар алу - бұл
ақиқат оқиға, ал жәшіктен қара шар алу - бұл мүмкін емес оқиға.
3-мысал. Жәшікте ақ, қара және қызыл шар бар. Бір шар алынады. Бұл
тәжірибе болса, ал тәжірибенің нәтижесі мынадай оқиғалар болуы мүмкін.
А –ақ шар алынды.
В – қара шар алынды.
С – қызыл шар алынды.
Бұл оқиғалар үйлесімсіз оқиғалар және толық топ құрайды. Бірақ бұл оқиғалар
қарама-қарсы оқиғалар бола алмайды. Қарама-қарсы оқиғаларда тек екі оқиға
толық топ құрастырады. Ал біз қарастырып отырған жағдайда үш оқиға бар.

16. Табысқа жету мүмкіншілігі. Ықтималдықтар шкаласы

Кездейсоқ оқиғаның орындалуы да мүмкін, орындалмауы да мүмкін. Оның
орындалу мүмкіндігі әртүлі болады. Табысқа жету мүмкіншілігін оқиғаның
орындалуы барысында оның жиілігі бойынша салыстырылады.
Анықтама. Мүмкіншіліктің (шанстың) мән-мағынасын бөлшек сан ретінде
қарастыруға болады. Оның алымы – орындалған оқиғалар саны, ал бөлімі
барлық жағдайлар санын көрсетеді.
1-мысал. Жәшікте 5 ақ шар және 10 қара шар бар. Бір шар алынады.

A - ақ шар алынды
B - қара шар алынды
C - қызыл шар алынды
D - ақ немесе қара шар алынды. Аталған оқиғалардың шығу мүмкіндіктерін
тап.
Шешуі: Жәшікте барлығы 15 шар. Сонда оқиғаның болу мүмкіндіктері
төмендегідей болады.
A – 15- тен 5 мүмкіндік, демек бөлшек түрінде
B – 15- тен 10 мүмкіндік, демек бөлшек түрінде
C – 15- тен 0 мүмкіндік, демек бөлшек түрінде
D – 15- тен 5+10=15 мүмкіндік, демек бөлшек түрінде
Мұнда А және В оқиғасы кездейсоқ. С - мүмкін емес оқиға, D – ақиқат
оқиға. Көріп тұрғандай ақиқат оқиғаның мүмкіндігі 1- ге тең, мүмкін емес
оқиғаның мүмкіндігі 0- ге тең, ал кездейсоқ оқиғалардың мүмкіншілігі 0 мен
1 аралығында орналасқан. Сонда ықтималдар шкаласында былай көрсетуге
болады.

Мүмкін емес кездейсоқ ақиқат
0
1

2-мысал. 36 ойын картасының топтамасынан бір карта суырылып алынады.
Оның келесі оқиғаларда орындалу мүмкіндігін анықтау немесе оны ықтималдар
шкаласына орналастыру керек.
A - бұл карта тұз болады
B - бұл карта король болады
C - бұл карта қызыл түсті болады
D - бұл карта қарға болады
E - бұл карта алтылық болады
Шешуі. Оқиға үшін табысқа жету мүмкіншілігін анықтайық.
А – 36-дан 4 мүмкіндік, яғни
В – 36-дан 4 мүмкіндік, яғни

C - 36-дан 18 мүмкіндік, яғни
D - 36-дан 9 мүмкіндік, яғни
E - 36-дан 4 мүмкіндік, яғни
Онда ықтималдық көрсеткіште келесі реттілікпен олар солдан оңға қарай
орналасқан: В, А және Е, D, С.

0 В АE D C 1

17. Ықтималдықтың классикалық анықтамасы

Мына мысалды қарастырайық. Жәшікте 6 стандартты және 4 стандартты
емес зат бар. Жәшіктен бір зат алынған. Стандартты затты алу мүмкіндігі
стандартты емес затты алуға қарағанда көп екені айқын. Бұл мүмкіндікті
сипаттайтын сан ықтималдық деп аталады.
Анықтама. А оқиғасының ықтималдығы дегеніміз - осы оқиғаға қолайлы
жағдайлар санының барлық жағдайлар санына қатынасы.
А оқиғасының ықтималдықтығы былай белгіленеді Р(А). Сонымен,

(8)
Кез – келген А оқиғасының ықтималдығы келесі шарттарға тәуелді:
1.
2. егер А – мүмкін емес оқиға болса
3. егер А – ақиқат оқиға.
Сонымен жоғарыда келтірілген мысалда бір детальді алу оқиғасының
орындалуының мүмкін саны 10- ға тең, яғни N=10. А –Стандартты детальды
алу – оқиғасының орындалу саны 6- ға тең, яғни m=6. Онда А – оқиғасының
ықтималдығы тең. Дәл сол сияқты В – стандартты емес детальды алу-
оқиғасының ықтималдығы тең.
1-мысал. Үш теңгені лақтырғанда елтаңба шығу ықтималдығын табу
керек: а) бір рет; б) екі рет; в) үш рет; г) ешқандай.
Шешуі: Үш теңгені лақтырғандағы барлық мүмкін оқиғалар саны 2×2×2=8.
Бұл ЕЕЕ, ЕЕС, ЕСЕ, СЕЕ, ЕСС, СЕС, ССЕ, ССС.
а) А - “Елтаңба бір рет түсу” оқиғасының орындалу саны m=3, сонда
.
б) Дәл осылай В – елтаңба екі рет түсу оқиғасының орындалу саны
m=3, сонда .
в) С - елтаңба үш рет түсу оқиғасының орындалу саны m=1, сонда
Р(С)=.
г) D – елтаңбаның кем дегенде бір рет түсу оқиғасының орындалу
саны m=7, сонда Р(D)=. Мұнда ССС шығу оқиғасы қарастырылмайды.

18. Ықтималдықтың статистикалық анықтамасы

Қандай да бір оқиғаның ықтималдығын анықтау үшін оның орындалу
жиілігін санау керек.
Жүргізілген n экспериментте берілген оқиға қанша рет орындалғанын
абсолюттік жиілік көрсетеді.
... жалғасы

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.