Бастауыш мектепте арифметикалық амалдарды

Пән: Педагогика
Жұмыс түрі: Реферат
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 20 бет
Таңдаулыға:

Мазмұны
Кіріспе ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
І. Бастауыш мектептің оқу процесінде арифметикалық амалдардың
алатын орны және оны ұйымдастырудың педагогикалық-
психологиялық негіздері ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
1.1. Мектептің бастауыш буынындағы математика пәнін оқыту барысындағы арифметикалық амалдарды жүзеге асырудың тиімді жолдары ... ... ... ... ... .
1.2. Арифметикалық амалдар туралы ұғымның тарихы, мәні және білім
мазмұны ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
ІІ. Бастауыш мектепте арифметикалық амалдарды
қолданудың реттілігі және оның әдістемелік ерекшелігі ... ... ... ... ...
2.1. Бастауыш мектеп жасындағы оқушылардың оқу жұмысын
Арифметикалық амалдарды орындау тұрғысынан ұйымдастырудың кешенді сипаттамасы ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ...
2.2. Арифметикалық амалдарды оқытудың қасиеттері мен заңдылықтарына
жекелей шолу жасау ... ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..

Қорытынды ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
Пайдаланылған әдебиеттер тізімі ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .

Арифметикалық амалдар туралы жалпы түсінік
және олардың орындалу реті.
Сандарды қосу,азайту, көбейту, және бөлу- арифметикалық амалдар болып табылады. Оларды белгілеу үшін “+” (плюс), “-”(минус), “.”(көбейту),) “:”(бөлу сияқты арнайы таңбалар пайдаланылады.
Амалдардың әр қайсысының мағынасын түсіндірейік.
Екі ыдыстың бірінде 4 алма, ал екіншісінде 2 алма бар. Әр ыдыста қанша алма барын санау арқылы анықтауға болады. Екі ыдыста барлығы неше алма барын білу үшін екі ыдыстағы алмаларды біріктіру керек. Демек, 4 алма және тағы 2 алма, барлығы 6 алма болды. Олай болса,4 және 2 сандары бойынша үшінші санды таптық, яғни 4-ке 2-ні қосқанда 6 шықты (4+2=6).Мұндағы қосылатын сандар (4 және 2) қосылғыштар деп, ал қосудың нәтижесі қосындының мәні деп аталады.
Егер екі ыдыстың бірі бос болса, ондағы алмалардың саны 0-ге тең, ал екіншісінде 4 алма бар болса,онда екі ыдыста барлығы 0+4=4 немесе 4+0=4 алма болады. Сонымен қосылғыштардың біреуі нөлге тең болса,онда қосындының мәні екінші қосылғышқа тең. Ал қосылғыштар 0-ден өзгеше болса,онда екі натурл санның қосындысының мәні қосылғыштардың әрқайсысынан үлкен болады.
Мысылы: Бір қорапта 6 қарындаш, ал екіншісінде 12 қарындаш бар. Екі қорапта барлығы қанша қарындаш бар? Сұраққа жауап беру үшін қандай амалды орындау керектігін түсіндіреміз.
Азайту амалы қосу амалына кері амал болып табылады.
Ыдыста 6 алма бар еді. Оның екеуін алып,ыдыста қанша алма қалғанын санап,4 алма қалғанын көреміз.Демек, 6 және 2 сандары бойынша үшінші санды таптық, яғни 6-дан 2-ні азайтқанда4 шықты: 6-5=4.
Мұнда қандай саннан азайтылса, оны азайғыш, ал қандай саннан азайтса, оны азайтқыш деп атайды. Азайтудың нәтижесі айырманың мәні деп аталады.
Ыдыстан алған екі алманы қайтадан ыдысқа салсақ, онда ыдыста 6 алма болады .Демек,4+2=6.
Бұдан қосумен азайту амалдарының өзара кері амалдар екендігі шығады. Осы қорытындыға сүйеніп, азайту амалын қосу амалы арқылы анықтап беруге болады.
Айталық 6-дан 2-ні азайту керек болсын. Сонда үшінші санды іздейміз.Ондай сан 0,1,2,3 бола алмайды.Ол тек қана 4 болуы тиіс, өйткені 2+46.
Олай болса,бір саннан екінші санды азайту дегеніміз екінші санға қосқанда бірінші сан шығатындай үшінші санды табу амалы.
Нақты мысалға сүйенсек,6-дан 2-ні азайту дегеніміз 2-ге қосқанда 6 шығатын санды табу, ондай сан 4, өйткені 2+4=6.
Азайғыш азайтқыштан кем болмауы тиіс, кем болса, азайту амалы орындалмайды.
Егер азайғыш азайтқышқа тең болса, онда айырманың мәнінөлге тең. Ал егер азайтқыш нөлге тең болса, онда натурал сан мен нөлдің айырмасының иәні сол натурал санға тең болады.
Мысалы,5-5=0,өйткені 0+5=5,4-0=4, өйткені 4+0=4.
Қосу мен азайту амалдарының өзара кері амалдар екеніне сүеніп, қосуды азайтумен, ал азайтуды қосумен тексеруге болады.
Мысалы: Қорапта 40 кәмпит бар еді, әжей немересіне қораптан 5 кәмпит алып берді. Қорапта неше кәмпит қалды.
Сұраққа жауап беру үшін қандай амалды орындау керектігін түсіндіреміз. Азайғышты және азайтқышты айтқызу. Айырманың мәнін табу.
Көбейту амалын бірдей қосылғыштардың қосындысын табу амалы ретінде қарастыруға болады.
Ыдысқа 3баланың әрқайсысы 2 алмадан салды. Ыдыста барлығы неше алма болды.
Қойылған сұраққа жауап беру үшін 2-ге 2-ні және тағы 2-ні қосу керек. Демек,2+2+2=6. Мұнда 2-ні қосылғыш ретінде 3-рет алдық, яғни 2-ден 3 рет алдық. Бұл жазуды 2·3=6 жазуымен алмастыруға болады.
көбейтіндінің мәні де нөлге тең. Мұндағы көбейтілетін сандар көбейткіштер, ал нәтиже көбейтіндінің мәні деп аталады.
Егер көбейткіштердің біреуі бірге тең болса, онда көбейтіндінің мәні бірден өзгеше көбейткішке тең, ал көбейткіштердің біреуі нөлге тең болса, онда көбейтіндінің мәні де нөлге тең.
Мысалы:1·3=3,өйткені 1·3=1+1+1; 4·1=4;4·0=0; 0·3=0+0+0.
Көбейткіштер кез келген натурал сан немесе нөл болғанда көбейту амалы әрқашан да орындалады.
Бөлу амалы көбейту амалына кері амал болып табылады.
Бөлу амалын мазмұнына қарай тиісінше және тең болу сияқты іс-әрекеттерге сүйеніп негізуге болады.
Ыдыста 6 алма бар. Оны балаларға 2 алмадан бөліп берсе, ол неше балаға жетеді.
Сұраққа жауап беру үшін 6 алманың екеуін алып, бір балаға береміз.
Әрі қарай тағы екнуін алып, екінші балаға, содпан кейін үшінші балаға береміз. Сонда екіден үш рет алдық , яғни 6-2-2-2, демек, 6-ның ішінде 2 үш рет бола алады, яғни 6:2=3.
Мұнда қандай сан бөлінсе, оны бөлінгіш, ал қандай санға бөлсе, оны бөлгіш деп атайды. Бөлудің нәтижеғсі бөліндінің мәні деп аталады.
Ыдыста 6 алма бар. Оны 2 балаға тең бөліп бер. Әр бала қанша алмадан алады.
Сұраққа жауіап беру үшін, 6 алманың екеуін алып, балаларға бір-бірден береміз, әрі қарай осылайша іс- әрекетті жалғастырамыз. Сонда әр бала 3 алмадан алған болады. Мұнда да екіден үш рет алдық, яғни 6-2-2-2, демек, 6-ның ішінде 2 үш рет, яғни 6:2=3.Егер балаларға берген амалдарды екі-екіден қайтадан ыдысқа салсақ, онда ыдыста барлығы 6 алма болады. Демек,2·3=6.
Бүдан көбейтумен бөлу амалдарының өзара кері амалдар екендігі шығады. Осы қорытындыға сүйеніп, бөлу амалын көбейту арқылы анықтап беруге болады.
Айталық,6-ны 2-ге бөлу керек болсын.Сонда үшінші санды іздейміз. Ондай сан 0,1,2 бола алмайды. Од тек қана 3 болуы тиіс, өйткені 2·3=6. Олай болса бір санды екінші санға бөлу дегеніміз екінші санды көбейткенде бірінші сан шығатындай үшінші санды табу амалы.
Накты мысалға сүйенсек, 6-ны 2- ге бөлу дегеніміз 2-ге көбейткенде 6 шығатын санды табу, ондай сан 3, өйткені 2·3=6.
Бөлу амалы әрқашан да орындала бермейді. Бөлгіш нөл болса, бөлу амалы орындалмайды, яғни санды нөлге бөлуге болмайды.
Кейбір жағдайларда бөлуді орындағанда қалдық қалуы мүмкін.
Егер бөлінгіш бөлгіштен кем болса, кіші санды үлкен санға бөлгенде бөліндінің мәні нөлге тең болады.
Егер бөлінгіш бөлгішке тең болса, онда бөліндінің мәні 1-ге тең.
Егер бөлгіш бірге тең болса, онда бөліндінің мәні бөлінгішке тең.
Егер бөлінгіш нөл болса, онда бөліндінің мәні нөлге тең.
Мысалы: 2:5=0 (қалд.2),өйткені 0·5+2=2.
8:8=1, өйткені 1·8=8.
6:1=6, өйткені 6·1=6.
0:7=0, өйткені 0·7=0.
Көбейту мен бөлу амалдарының өзара кері амалдар екеніне сүйеніп, көбейтуді бөлу арқылы тексеруге болады.
Қосу және көбейту амалдарының заңдары:
а) Қосудың ауыстырымдылық заңы: “ Қосылғыштардың орындарын ауыстырғаннан қосындының мәні өзгермейді”;
ә) Қосудың терімділік заңы : “ Екі санның қосындысына үшінші санды қосу үшін, бірінші санға екінші және үшінші сандардың қосындысының мәнін қосуға болады” немесе “Көршілес екі қосылғышты олардың қосындысының мәнімен алмастыруға болады”; б) Көбейтудің ауыстырымдылық заңы: “Көбейткіштердің орындарын ауыстырғаннан көбейтіндінің мәні өзгермейді.
в) Көбейтудің терімділік заңы : “Екі санның көбейтіндісін үшінші санға көбейту үшін, бірінші санды екінші және үшінші сандардың көбейтіндісінің мәніне көбейтуге болады” немесе “Көршілес екі көбейткішті олардың көбейтіндісінің мәнімен алмастыруға болады”;
г) Көбейтудің қосуға қатысты үлестірімділік заңы : “ Қосындыны санға көбейту үшін, ол санға әрбір қосылғышты жеке-жеке көбейтіп, шыққан көбейтінділердің мәндерін қосуға болады”.
Жаңа бағдарлама бойынша арифметикалық амалдар : қосу және азайтудың мән- мағынасын ашу жөнінде алғашқы қадам дайындық кезеңінен –ақ басталады.Мектепке дейінгі мекемелердің жұмысында балаларды арифметикалық амалдармен және есептеу әдістерімен балалардың өз іс-әрекеттері бейнелейтін қарапайым есептер негізінде таныстыру қабылданған. Балаларға есеп, мысалы: екі қосылғыш бойынша қосындыны табудың мағынасын тусіндіруге көмектеседі. Қосу мен азайтуға берілген есептердің алуан түрлігі үнемі қолданылатын : қосу, азайту, болады, тең болады, қалады деген терминдердің мағынасын бірте-бірте ұғынуға, яғни арифметикалық амалдардың мағынасын ұғынуға мүмкіндік береді.
Ең оңай есепті түсіндірудің өзі оның мазмұнын талдауды, оның сан мағлұматтарын бөліп алуды, олардың арасындағы қатынастарды демек: орындауға тиіс амалдарды ұғынуды талап етеді.
Есеп шығарғанда бала айналадағы заттардың саны мен құбылыстарды жай ажыратып айырудан олардың арасындағы күрделі сандық қатынастарды ұғынуға дейін жетуі тиіс.
Зерттеулер көрсеткендей, есептің құрылысының өзін де балалар бірден ұғынып алмайды. Бұған үйрету арқылы мүмкіндік жасалады. Әңгіме мен жұмбақтан өзгеше есеп шартын түсініп алысымен, балалар сан мағлұматтар арасындағы қатынастарды ұғынулары керек. Арифметикалық есептегі сұрақтың мәнін ұғынуға, сондай-ақ сұрақтардың әр түрлі сипаты да көмектеседі.Қосындының мәнін де балалар бірден ұғынып алмайды. Ең алғаш ол жиындарды практика жүзінде біріктіру ретінде түсіндіріледі. Алайда қосындыны – ол тек сандарды ойша қосу ғана. Сондықтан әр түрлі жиындарды біртұтас жиын етіп біріктіру жөнінен, жиынның дұрыс бөлігін бөліп алу т.с.с. арифметикалық амалдарды ұғып алуға дайындауда елеулі мәні бар.
Мектепке дейінгі кезеңде арифметикалық қосу амалы үлкен санға кіші санды қосу, ал азайту амалы- азайтқыш қалдығын аз болатын жағдайлармен шектелетіндігі ескерілген. Сол ескертулерді түсініну үшін 10 көлеміндегі қосу кестесін талдап осы жағдайларды атап көрсетуге не себеп болғанын анықтау қажет.
Қосу кестесін шартты түрде үш бөлікке бөлуге болады. Бірінші бөлігі – қосындысы бестіктен аспайтын жағдайлар. Еінші бөлік- үлкен санға кіші санды қосқанда немесе бірінші санға тең сан қосылатын жағдай (3+3, 4+4, 5+5). Үшінші бөлігі - кіші санға үлкен сан қосылатын жағдай.
Бірінші ондыққа қосуда неше жағдай болса,азайтудың да сонша жағдайы енеді: қосындыдан екінші қосылғыш азайтылады: 5+2=7; 7-2=5; 5+3=8;
8-3=5;т.с.с. Негізінен есептеудің бір ғана – бір-бірлеп қосу зжәне шегеру әдісі берілетіндіктен, екі немесе үш санымен және тек кейбір жағдайларда ғана төрт санымен берілетін екінші қосылғыш немесе азайтқыш (5+4, 6+4, 9-4, 10-4) бірліктерге оңай ажыратылып бөлінеді және бір-бірден қосылып , бір-бірден азайтылады.
Мектепте өтілетін және үлкен сан кіші санға қосылатын қосу кестесінің үшінші бөлігін алсақ, оқушыларды қосылғыштардың орынын ауыстыру әдістерімен таныстыру бұл жағдайды шығаруда да ықшамдауға мүмкіндік береді: қосылғыштардың орынын ауыстырғанда олардың бәрі кестенің екінші және бірінші бөлігіне енетін жағдайларболады ( 2+6, 6+2, 3+7, 7+3 т.с.с.). Міне, кестенің бірінші және екінші бөлігін оқып үйренудің ерекше мәнібар, сондықтан асығудың қажеттігі жоқ.
Санды бірден қоссақта, оны кіші сандарға бөлшектеп, бір-бірден қоссақ та, нәтиже өзгермейтіндігі белгілі.
Мысалы: 4+3=4+1+1+14+2+1=7.
Алайда алғашқы кезде бір-бірден қосып немесе азайтып үйрету оңай, өйткені санды бірлікке арттыру және кеміту санауға, балалардың натурал қатар арасындағы өзара кері қатынасты түсіндіруіне негізделеді.
Есеп шығаруға ретімен екі кезең белгіленеді. 1кезең- балаларға есеп дегеннің не екені айтылады. Оның қалай құрастырылатыны көрсетіледі, оның қандай компоненттерді, оның қалай құрастырылатыны көрсетіледі яғни оның құрылымымен (есептегі сан мағлұматтардың арасындағы қатынастар айқындалатын шартымен және сұрағымен таныстырылады). Есепті түгелдей және негізгі бөліктері бойынша қайталап шығуға , өздігінен оның сұрағын қоюға , есепті шығарып оған дұрыс жауап беруге балаларды үйретеді. Балаларды есепті шығару әдістері мен шешуін табу үшін орындау қажетті болатын арифметикалық амалдармен таныстырады, ол амалдарды (қосу мен азайту) тұжырымдауға үйретеді
Балалар бұл есептерді оңай шығарады,өйткені олар натурал қатар сандары тізбегі және натурал сандардың кемімелі тізбегі жөніндегі білімдеріне сүйенеді. Алайда бұл кезең ішінде бір реттілік сақтаған дұрыс.
2.кезеңде есептерге екінші қосылғыш пен азайтқыш ең алдымен екі саны, сонан соң үш саны болып келетін неғұрлым күрделі сан мағлұматтар негізделеді. Бұл кезеңдегі басты міндет бір-бірден қосу және азайту жолымен есептеу әдістеріне балаларды үйрету. Балалар екінші қосылғышты бірліктерге бөлшектеп бөліп, бірінші қосылғышты қайта санамастан (сан оларға есептен белгілі), оған екінші қосылғышты бір-бірден қосып санайды. Осыған ұқсас азайтуда олар азайғыштан азайтқышты бір-бірден шегереді (алтыдан екіні шегеру керек : біреуі кем алты- бес, біреуі кем бес- төрт. Демек, алтыдан екіні азайтқанда төрт болады).
Сонымен математикалық сауаттылық мектепте математикалық білім беру мазмүнын жобалаудың жетекші бағдары ретінде қабылданып , оқушының қабілеттілігі ретінде де қарастырылады.
Осы мазмұндық желілерге негізделген әрбір оқу цикліне игертілуі тиіс біліктер анықталды. Мазмұндық желілермен осы біліктердің арасындағы байланыс төменде баяндалады. Олар әлі де жетілдіруді қажет етуі мүмкін . Ал онда қамтылған математикалық пәндік бірліктер бір-бірінің дамуына негіз бола отырып, цикл жоғарылағаны сайын байытыла түседі.
1 цикл- 1-2 сыныптар
Сан және есептеу
Арифметикалық амалдар белгілерін (+,-) және қатынастар белгілерін (,,= )ажырата алу.
Есептеу барысында қосу мен көбейтудің кестелік жағдайларын қолдана алу.
100 көлеміндегі натурал сандармен және нөлмен қатысты ауызша күрделі емес есептеулер (қосу және азайту)жүргізе алу.
Өрнектер және оларды түрлендіре алу
Санды өрнектерді оқуда “қосынды”, “айырма” терминдерін пайдалана алу, амалдар компоненттерін атай алу.
Жазбаша екі, үш орынды сандарды қоса жә”не азайта алу.
2-3 арифметикалық амалы бар санды өрнектердің (жақшалы өрнектердің де) мәнін таба алу.
2 цикл -3-4 сыныптар
Сан және есептеу
Ондық санау жүйесінде милионға дейінгі натурал сандарды оқи және жаза алу.
Арифметикалық амалдар (+,-,* , :) белгілерін ажырата алу
Есептеу барысында қосудың, азайтудың, көбейтудің және бөлудің кестелік жағдайларын нәтижелерін қолдана алу.
Үш орынды, төрт орынды сандарды бір және екі орынды сандарға жазбаша
көбейте алу және бөле алу.
Есептеудің дұрыстығын тексере алу.
Арифметикалық амалдарды орындау, есептерді шығару ретінің тізбегін (алгоритмін) анықтай алу.
Өрнектер және оларды түрлендіру.
Санды өрнектерді оқу барысында “қосынды”, “айырма”, “көбейтінді”, “бөлінді” терминдерін қолдана алу, амалдардың компоненттерін атай алу.
Арифметикалық амалдардың қасиеттерін (қосу мен көбейту орын ауыстырымдылық және терімділік қасиеттері, қосуға қатысты көбейтудің үлестірімділік қасиеті ) қысқаша сипаттай алу.
Жақшалы және жақшасыз санды өрнектердегі амалдардың орындалу ретінің ережелерін қысқаша сипаттай алу.
Арифметикалық амалдардың (қосу мен азайтудың, қосу мен көбейтудің, көбейту мен юөлудің) арасындағы байланыстарды, тәуелділіктерді көрсете алу.
Арифметикалық есептер шығару
Бірқалыпты түзу сызықты қозғалыстағы шамалардың (жылдамдық, уақыт және жүрілген жол), бағанның, мөлшердің және тауардың құнының арасындағы тәуелділік байланыстарды көрсете алу.
Масса, сыйымдылық және уақыт бірліктерін қысқаша сипаттай алу.
Есеп шығаруда,мысалдарды орындауда жіберілген қателерді таба алу олардың себебін және оларды жоюдың жолдарын анықтай алу. Есептерді шығару процесін берілген алгоритммен салыстыра алу.

Арифметикалық амалдардың шығу тарихы

Математикалық таңбалармен цифрлардың белгілену тарихын әңгімелеу де
өте қызықты.
Мысалы “+” таңбасы. Алғашқы кезде “+” орнына “р” әрпін қойған, ол латынның “плюс” көбірек деген сөзінің түрленуінің нәтижесінде пайда болды.
Алғашқы “еt” сөзінің е-әрпі қолданылып, “t” ұқсастырып “+” деген түрге ие болды.
“-” таңбасының орнына алғаш латынның “минус”- аз, азырақ деген сөзінің бірінші әрпі “m” қойылған ал кейінірек математиктер “-” таңбасын қоятын болған.
“+”, “-” таңбалары ертедегі купецтердің сауда практикасынан келіп шыққан деген болжам бар. Купецтер бөшкедегі заттардың азайғандығын білдіру үшін “-”, ал оны қайтадан толтырған кезде “+” белгісін қойған. Алғашқыда азайғанды және көбейгенді білдіретін бұл белгілеулер кейіннен азайту, қосу амалдарының таңбасы болып қалыптасқан. Үнді арифметикасы Үнді математиктерінің шығармаларында математика қазіргідегідеу арифметика,алгебра, геометрия, тригонометрия салаларына бөлінбей аралас білімдер негізінен нақты есептерді шешуге байланысты баяндалады. Бұл тұрғыда ол ежелгі Мысыр, Вавилон,Қытай математикасына көп ұқсайды. Үнді математикасының негізі арифметикада жатыр.Біздің орта мектепте, оқып-үйренетін геометриямыздың негізі ежелгі грек математикасынан,
Евклидтің “Бастамаларынан” басталса, арифметикамыздың түп төркіні Үнді математиктерінің еңбектерінде жатыр.
Санаудың позициялық ондық жүйесі деп аталатын қазіргі жаппай қолданылып жүрген әрі ықшам, әрі қарапайым ыңғайлы нөмірлеудің ашылуы үнді математикасының тек математика ғана емес, бүкіл адамзат мәдениеті үшін де тамаша тартуы болды. Бұл жүйе бойынша бар болғаны он таңба(1,2,3,4,5,6,7,8,9,0) және олардың позициялық принцип бойынша алынған комбинациялары арқылы кез келген санды оп-оңай кескіндеуге болады. Математика тарихшыларының топшалауы бойынша бұл жүйені үнділер біздің заманымыздың бас кезінде шамаменֶֶֶІІ-ІVғасырларда жасаған болуы керек.
Француздың ұлы математигі Лаплас үнді математиктерінің бұл жетістігін
Былай бағалайды: “Үнділіктер бізге барлық сандарды не бары он таңба арқылы өрнектеудің тамаша тәсілін тауып берді. Мұнда әрбір таңбаның шамасымен қатар,оның орналасуының да мағынасы бар. Мұның қарапайым болып көрінетіні соншалық, біз оның нағыз қадір-қасиетін аңғара бермейміз.Ал, шынында, оның осы қарапайымдылығы және барлық есептеуді оңайлатуы, арифметиканы адамзаттың аса пайдалы құралдарының біріне айналдырды. Бағзы заманның ұлы перзенттері- Архимед пен Аполлонидің кемеңгерлігі мұны кезінде байқай алмағанын еске алсақ, біз осы жаңалықтың барлық ұлылығын дұрыс бағалаймыз.
Үнділердің осы ондық позициялық санау жүйесіне негізделген арифметикасы орта ғасырларда араб математиктері қабылдайды.Олардың еңбектері арқылы үнді санау жүйесі Таяу және Орта Шығыс елдерінне, кейіннен Европаға тарайды. Кейде үнді цифрларын “араб цифрлары” деп жаңсақ атайды, шындығына келсек оның түп-төркіні –Үндістан.
Үнді математиктері қосу, азайту, көбейту, бөлу дәрежелеу және түбір табу амалдарын қарастырады. Амалдарды орындау тәртібі,ережесі қазіргіден біраз ғана өзгешелеу. Олар жай және күрделі үштік, ережені, жай жзәне күрделіпроцентті есептеуді,прапорцианалдық әдістерін білген.
Қазір теңдеу құру арқылы шешілнтін көп есептерді арифметикалық жолмен шешу тәсілдерін ұсынады.
Нөл ұғымын арнифметикаға тұңғыш енгізген де үнділіктер болса керек .
Қалай болғанда да Үнді математикасында нөлге үлкен мән берілген, оған амалдар жүргізу қарастырылған. Мысалы, а-0=а; а-а=0; а·0=0·а=0; 0:а=0.
Үлкен сандар үнділіктердің арифметикасында жиі кездеседі. Мысалы, а=3,q=5, S=22888183593 геометриялық прогрессияның мүшелер санын табу. Мұндай әрекеттер және санды нөлге бөлу мәселесі оларда шексіз үлкен сан туралы ұғымды қалыптастырады.
Математика тарихшылары алгебралық білімдердің дамуында үнді математиктерінің үлкен үлесі болғанын атап көрсетеді. Үнділіктер тек бүтін , бөлшек сандар ғана емес, теріс және иррационал сандарға да амалдар қолдана білген. Бұл математика тарихындағы үлкен жетістік болды, өйткені гректер теріс, иррационал сандарды сандар санатына қоспаған.
Теріс сандарды үнділіктер өз бетінше тапты ма, әлде көрші Қытай математикасынан алды ма, бұл жағы беймәлім.
Үнді математиктерінің квадрат теңдеулер жөніндегі еңбектерінің де маңызы үлкен . Квадрат теңдеулерді шешу мәселесі математикада өте ертеден келе жатқан мәселе екені өткен тарауларда айтылды.Үнді математиктері Брахмагупта мен Бхаскара еңбектерінде квадрат теңдеуді шешу әдістері көп ілгері дамытылды. Олар квадрат теңдеуді бірыңғай канондық түрге келтіріп шешу ережелерін береді.
Астраномиялық есептеулер барысында қойылған бірінші және екінші дәрежелі анықталмаған теңдеулерді шешуде үнді математиктері көрнекі табыстарға жетеді. Егер Диофант анықталмаған теңдеулердің рационал шешулерін табуға ұмтылса, үнділіктер тек бүтін, оң сандар арқылы шешу әдістерін ұсынады. Мысалы, xy=ax+by+c (1) анықталмаған теңдеуді
(х-b)*(у-а)=c+ab (2) түріне келтіреді. Мұның дұрыстығын олар геометриалық жолмен көрсетеді. Енді (2) теңдіктің оң бөлігін екі бүтін көбейткіштің көбейтіндісіне келтіріп, теңестіру жолымен (1) теңдеудің бүтін шешулерін табады.
Араб арифметикасының тарихнамасы:
Арабтардың арифметикасы Әл-Хоразмидің “Үнді есебінен” басталады. Мұның бірінші бөлігінде санаудың үнділік ондық позициялық жүйесі жөнінде түсінік беріледі,яғни мұнда кез келген санды тоғыз “Үнді ... жалғасы

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.