N-ші ретті, коэффициенттері айнымалы біртекті сызықтық дифференциалдық теңдеулерді шешу әдістері

Пән: Математика, Геометрия
Жұмыс түрі: Реферат
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 44 бет
Таңдаулыға:

Қазақстан Республикасы білім және ғылым министірлігі

«Ш. Уәлиханов атындағы Көкшетау мемлекеттік университеті» ШЖҚ РМК

Тасболат Бекзат

N-ші ретті, коэффициенттері айнымалы біртекті сызықтық дифферен-циалдық теңдеулерді шешу әдістері.

ДИПЛОМДЫҚ ЖҰМЫС

Мамандығы 5В010900-Математика

Көкшетау 2018

Қазақстан Республикасы білім және ғылым министірлігі

«Ш. Уәлиханов атындағы Көкшетау мемлекеттік университеті» ШЖҚ РМК

ДИПЛОМДЫҚ ЖҰМЫС

Тақырыбы: N-ші ретті, коэффициенттері айнымалы біртекті сызықтық дифференциалдық теңдеулерді шешу әдістері.

Мамандығы 5В010900-Математика

Орындады: Тасболат Б.

Ғылыми жетекші,

п. ғ. к., доцент:

«Қорғауға жіберілді»

Кафедра меңгерушісі

Көкшетау 2018

МАЗМҰНЫ

КІРІСПЕ

1 N-ШІ РЕТТІ, КОЭФФИЦИЕНТТЕРІ АЙНЫМАЛЫ БІРТЕКТІ СЫЗЫҚТЫҚ ДИФФЕРЕНЦИАЛДЫҚ ТЕҢДЕУЛЕР

1. 1 Жоғары ретті дифференциалдық теңдеулер . . .

1. 1. 1 Жоғары ретті дифференциалдық теңдеулерді интегралдаудың тәсілдері

1. 2 N-ші ретті, коэффициенттері айнымалы біртекті сызықтық дифференциалдық теңдеулер . . .

2 N-ШІ РЕТТІ, КОЭФФИЦИЕНТТЕРІ АЙНЫМАЛЫ БІРТЕКТІ СЫЗЫҚТЫҚ ДИФФЕРЕНЦИАЛДЫҚ ТЕҢДЕУЛЕРДІ ШЕШУ ӘДІСТЕРІ.

2. 1 Дифференциалдық теңдеулерді шешудің жуықтау әдістері . . .

2. 2 Дифференциалдық теңдеулерді қатарлардың көмегімен жуықтап интегралдау

2. 2. 1 Дәрежелік қатардың көмегімен дифференциалдық теңдеулерді

интегралдау . . .

2. 2. 2 Гипергеометриялық теңдеу . . .

2. 2. 3 Бессель теңдеуі . . .

2. 3 N-ші ретті, коэффициенттері айнымалы біртекті сызықтық дифференциалдық теңдеулерді жалпыланған Абель формуласын пайдаланып шешу . . .

2. 4 Эйлер теңдеуі . . .

ҚОРЫТЫНДЫ . . . 63

ПАЙДАЛАНҒАН ӘДЕБИЕТТЕР . . . 64

КІРІСПЕ

Зерттеу тақырыбының өзектілігі:

Механиканың, математикалық физиканың, инженерлік ғылымдардың, сондай-ақ білімнің көптеген салаларын зерттеу дифференциалдық теңдеулерді интегралдауға алып келеді. Ал дифференциалдық теңдеулерді интегралдау түптеп келгенде математикалық анализдің классикалық әрі маңызды сұрақтарының бірі екендігі белгілі.

Болашақ математика пәнінің мұғалімдерін даярлауда пәндер арасындағы сабақтастық пен пәнішілік байланыс өте маңызды. Жоғары оқу орындарында мемлекеттік стандартқа сай математиканың түрлі салаларын оқытуда, оның іс жүзінде қолданылуына айрықша мән беріледі. Айталық, дифференциалдық теңдеулерді шешуді оқып үйренгенде, оның практикалық маңызы ескеріледі және оны шешуде басқа пәндермен байланысы, сабақтастығын білу маңызды. Ол үшін, математиканың барлық тарауларын толық қанды меңгеру керек. Алайда соңғысы, математиканың салаларын толық оқып-меңгеру, математика мамандығында оқитын студенттер үшін де, сағаттардың тапшылығына байланысты, мүмкін болмай отыр. Қазір, бұл мәселелерді шешудің бір жолы ретінде өзіндік жұмыстар, өзіндік оқулар ұсынылуда. Соның бір көрінісі, дипломдық жұмыс болып табылады. Оқу бағдарламасынан тыс қалатын тақырыптарды терең меңгеру үшін, дипломдық жұмыстың тақырыбын «N-ші ретті, коэффициенттері айнымалы біртекті сызықтық дифференциалдық теңдеулерді шешу әдістері» деп таңдадым.

Диплом жұмысының мазмұны n-ші ретті, коэффициенттері айнымалы біртекті сызықтық дифференциалдық теңдеулердің түрлеріне және олардың шешу әдістеріне арналған.

Жұмыс кіріспеден, негізгі екі тараудан және қорытынды мен пайдаланылған әдебиеттер тізімінен тұрады. Бұл тарауларда жоғары ретті дифференциалдық теңдеулердің толық классификациясы мен n-ші ретті, коэффициенттері айнымалы біртекті сызықтық дифференциалдық теңдеулер-дің түрлеріне тоқталып және оларды интегралдаудың әдістері туралы баяндалады.

Жұмыстың мақсаты: n-ші ретті, коэффициенттері айнымалы біртекті сызықтық дифференциалдық теңдеулерді шешу әдістерін көрсету.

Жұмыстың міндеті: n-ші ретті, коэффициенттері айнымалы біртекті сызықтық дифференциалдық теңдеулердің түрлеріне және оларды шешу әдістеріне байланысты мысалдарға тоқталу.

N-ШІ РЕТТІ, КОЭФФИЦИЕНТТЕРІ АЙНЫМАЛЫ БІРТЕКТІ СЫЗЫҚТЫҚ ДИФФЕРЕНЦИАЛДЫҚ ТЕҢДЕУЛЕР

1. 1 Жоғары ретті дифференциалдық теңдеулер

[1] -[3]

Анықтама.

(1)

түріндегі теңдеу n -ретті дифференциалдық теңдеу деп аталады, мұндағы x-тәуелсіз айнымалы, ал у=у(х) -ізделінді функция.

Егер (1) -ден n -і туынды табылатын болса, онда

(2)

теңдеуі ең жоғары туындысы арқылы шешілген n -ретті дифферен-циалдық теңдеу деп аталады.

Коши есебі:

(3)

бастапқы шарттарды қанағаттандыратын (2) дифференциалдық теңдеудің шешімін табалық.

Теорема (Коши есебі шешімінің бар және оның жалғыз болуы туралы) .

функциясы

облысында мына екі шартты қанағаттандырсын делік:

1) функциясы өздерінің аргументтері бойынша үзіліссіз және шенелген:

;

2) функция үшін айнымалылары бойынша

Липшиц шарты орындалады.

Липшиц шарты функциядан айнымалылары бойынша алынған үзіліссіз дербес туындылары бар болғанда ғана орындалады, онда анықталған, өзінің n -і туындыларымен қоса үзіліссіз және (3) бастапқы шарттарды қанағаттандыратын жалғыз шешімі бар болады.

Бұл теореманы жеңілдеу тұжырымдауға болады.

Егер (2) дифференциалдық теңдеудің оң бөлігі үзіліссіз, шенелген және бойынша үзіліссіз дербес туындылары болса, онда Коши есебінің жалғыз шешімі бар болады.

Анықтамалар.

функциясы (2) дифференциалдық теңдеудің жалпы шешімі деп аталады, егер ол:

1) -дың кез келген мәндерінде (2) дифференциалдық теңдеуді қанағаттандырады;

2) берілген (3) бастапқы шарттар бойынша функциясы (3) бастапқы шарттарды қанағаттандыратын мынадай -і табуға болады.

Егер жалпы шешімінде -ң нақты мәндері алынатын болса, онда функция дифференциалдық теңдеудің дербес шешімі деп аталады.

түріндегі қатысы, мұндағы айқын берілмеген, (2) дифференциалдық теңдеудің жалпы интегралы деп аталады

(2) теңдеуді интегралдау үшін бастапқы шарттарды қанағаттандыратын жалпы шешімін немесе дербес шешімін табу қажет.

1. 1. 1 Жоғары ретті дифференциалдық теңдеулерді

интегралдаудың тәсілдері

1. Тәуелсіз айнымалы және жоғары туындысы бар теңдеулер.

түріндегі теңдеуді қарастырамыз.

Екі бөлігін де бойынша интегралдаймыз:

тағы да интегралдаймыз:

Осы тәсілмен n рет интегралдаймыз, сонда

1-ші түрдегі n -ретті ДТ тізбектей n рет интегралдау тәсілімен шешіледі.

Мысал.

теңдеуін шешелік.

;

2. у функциясы және оның (k-1) -і ретіне дейінгі туындылары жоқ теңдеулер.

түріндегі ДТ қарастырамыз.

Жаңа айнымалы енгіземіз:

, (4)

сонда

u(х) функциясы мен оның алынған туындыларын қарастырылатын (4)

теңдеуге қоямыз, сонда:

Сонымен, - ретті теңдеу алынды, яғни ДТ-ң реті төмендетілді. Жаңа ДТ-ң шешімі

функциясы болсын делік. Мұны (4) теңдеуге қоямыз:

- k ретті дифференциалдық теңдеу аламыз, ал бұл k рет дифферен-циалдау арқылы шешіледі (1-түрдегі теңдеу) .

Мысалдар . 1.

үшінші ретті ДТ шешелік.

ауыстыруын алайық, . Бұларды теңдеуге қою арқылы

бірінші ретті ДТ-і аламыз. Айнымалыларын ажыратамыз:

;

Бұл теңдеу квадратурада шешіледі.

2. ;

;

бұл теңдеуді бөліктеп үш рет интегралдау арқылы шешу керек (1-түрі)

3. Тәуелсіз айнымалы х- і жоқ теңдеулер.

түріндегі теңдеуін қарастырамыз.

Тәуелсіз жаңа айнымалы үшін у- ті аламыз және ауыстыру орындаймыз:

Екінші, үшінші және т. б. туындыларын алу үшін осы жаңа функциядан күрделі функция есебінде туынды табамыз:

;

және т. б.

Табылған туындыларды теңдеуге қойып, реті бірге кеміген ДТ аламыз:

Шешімі мына түрде табылды делік:

Енді ауыстыруға қайта оралып айнымалылары ажыратылған бірінші ретті ДТ аламыз:

Мысал. ДТ шешелік. Мұнда тәуелсіз айнымалы х жоқ.

ауыстыруын орындаймыз.

;

- бұл біртекті теңдеу.

- ауыстыруын аламыз,

Теңдеуге қоямыз:

. у- і қысқартамыз:

;

- біртекті теңдеудің шешімі

немесе

ал бұл айнымалысы ажыратылған ДТ.

4. Сол бөлігі толық туынды болып келген теңдеулер.

теңдеуін қарастырамыз және

болсын делік. Жаңа дифференциалдық теңдеудің екі бөлігін де интегралдаймыз, сонда

ДТ реті бірге төмендеді.

Мысалдар. 1

Бұл 3-ші түрдегі теңдеуі.

4-ші түрдегі тәсілімен шешіп көрелік.

екі бөлігін де

-ке бөлеміз:

енді интегралдаймыз:

;

- теңдеудің х- і жоқ.

;

бұл үшінші ретті ДТ жалпы интегралы, сондықтан оның үш еркін тұрақтысы бар.

2. ;

;

бұл ДТ реті бірге төмендеді.

3. .

;

- бұл ДТ жалпы интегралы.

1. 2 N-ші ретті, коэффициенттері айнымалы біртекті сызықтық дифференциалдық теңдеулер

Анықтама.

(1)

түріндегі дифференциалдық теңдеулер n -ретті сызықтық дифферен-циалдық теңдеулер (СДТ) деп аталады, мұндағы . -берілген үздіксіз функциялар.

(2)

теңдеуі коэффициенттеріне байланысты, тұрақты коэффициентті және айнымалы коэффициентті болып екіге бөлінеді. Оң жағындағы функция 0-ге тең болса, біртекті деп, ал 0-ге тең болмаса біртекті емес деп аталады. Біздің қарастыратынымыз n-ші ретті, коэффициенттері айнымалы біртекті сызықтық дифференциалдық теңдеу.

операторы

(3)

формуласымен айқындалған. Сонда, (1) теңдеуді, мына түрде қайта жаза аламыз:

(4)

операторының сызықты екеніне оңай көз жеткізуге болады:

(5)

мұндағы λ ₁ және λ ₂ -еркін тұрақтылар. Бұл өз кезегінде, егер у ₁ және у ₂ функциялары теңдеудің дербес шешімдері болса, онда олардың сызықтық комбинациясы да

(6)

теңдеудің шешімі болады.

функциялары нақты болған жағдайды қарастырамыз. Егер

(7)

комплекстік функциясы (6) біртекті теңдеудің шешімі болса, онда функцияның нақты және жорымал бөліктері де, (6) теңдеудің шешімі болады.

Шынында, операторының сызықты болғандықтан және комплекс

сандардың қасиетінен шығады.

(5) теңдеудің барлық шешімдерінің жиыны теңдеудің фундаментальді шешімдер жүйесі деп аталады.

Вронский анықтауышы (немесе вронскиан ) мына формуламен анықталады:

Теорема. Вронский анықтауышы (а, в) аралығының ең болмағанда бір нүктесінде 0-ге тең болмаса, онда λ ₁ , λ ₂ , . . λ _n айнымалылары бойынша n сызықтық теңдеулер жүйесін аламыз:

(10)

Крамер теоремасы бойынша, коэффициенттерінен тұратын матрицаның анықтауышы 0-ге тең болмаса, бұл жүйенің шешімі бар және ол жалғыз болады. Мұндай анықтауыш ретінде Вронский анықтауышын айта аламыз, ол теореманың шарты бойынша 0-ге тең емес. Демек берілген жүйенің шешімі жалғыз.

$W\left\lbrack y_{1}, y_{2}, \ldots, \ y_{n} \right\rbrack = \left \begin{array}{r} \begin{matrix} y_{1}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ & y_{2} & \ \ \ \ \ldots \\ y_{1}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ & y_{2} & \ldots \\ \cdots\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ & \ldots & \ldots \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} y_{n} \\ y_{n} \\ \ldots \end{matrix} \\ \ \begin{matrix} y_{1}^{(n - 1) } & y_{2}^{(n - 1) } \end{matrix}\ \ \ \ \ \ \begin{matrix} \ldots & y_{n}^{(n - 1) } \end{matrix} \end{array} \right$ (11)

1-Мысал.

$1, x, x^{2}, \ldots, \ x^{(n - 1) }$ функциялары сызықтық тәуелсіз, себебі, Вронский анықтауышы 0-ге тең емес.

$W = \left \begin{array}{r} \begin{matrix} 1 & x & x^{2} \end{matrix}\ \ \ \ \ \ \begin{matrix} \ldots & x^{(n - 1) } \end{matrix}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ \ \ \ \ \ \begin{matrix} 0 & 1 & 2x \end{matrix}\ \ \ \ \ \ \begin{matrix} \ldots & (n - 1) x^{n - 1} \end{matrix}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ \begin{matrix} 0 & 0 & x \end{matrix}\ \ \ \ \ \ \ \ \begin{matrix} \ldots & (n - 1) (n - 2) x^{n - 2} \end{matrix} \\ \begin{matrix} \ldots & \ldots & \ldots \end{matrix}\ \ \ \ \ \ \begin{matrix} \ldots & \ldots \end{matrix}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ \begin{matrix} 0 & 0 & 0 \end{matrix}\ \ \ \ \ \ \begin{matrix} \ldots & (n - 1) \end{matrix}!\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \end{array} \right = 1!*2!*\ldots*(n - 1) !$

2-Мысал. $e^{k_{1}x}, e^{k_{2}x}, \ \ldots, \ e^{k_{n}x}$ функциялары сызықтық тәуелсіз болады, егер $k_{1}, \ k_{2}, \ \ldots, \ k_{n}$ коэффициенттері жиынында, бір-біріне тең сандар болмаса.

Шынында, егер анықтауыштың бағаналарынан ортақ көбейткішті шығаратын болсақ, онда

$\ \ \ \ \ \ \ \ \ W = \left \begin{array}{r} k_{1}\begin{matrix} \ e^{k_{1}x}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ & e^{k_{2}x} & \ \ \ \ \ldots \\ e^{k_{1}x}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ & k_{2}e^{k_{2}x} & \ldots \\ \cdots\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ & \ldots & \ldots \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} e^{k_{n}x} \\ k_{n}e^{k_{n}x} \\ \ldots \end{matrix} \\ \ \begin{matrix} k_{1}^{(n - 1) }e^{k_{1}x} & k_{2}^{(n - 1) } \end{matrix}e^{k_{2}x}\ \ \ \ \ \ \begin{matrix} \ldots & k_{n}^{(n - 1) }e^{k_{2}x} \end{matrix} \end{array} \right =$

$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ = e^{\left( k_{1}, \ k_{2}, \ \ldots, \ k_{n} \right) x}\left \begin{array}{r} \begin{matrix} 1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ & 1 & \ \ \ \ \ldots \\ k_{1}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ & k_{2} & \ldots \\ \cdots\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ & \ldots & \ldots \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} 1 \\ k_{n} \\ \ldots \end{matrix} \\ \ \begin{matrix} k_{1}^{(n - 1) } & k_{2}^{(n - 1) } \end{matrix}\ \ \ \ \ \ \begin{matrix} \ldots & k_{n}^{(n - 1) } \end{matrix} \end{array} \right$

Оң жағындағы анықтауыштың мәні, «Вандермонд анықтауышы» деген атпен мәлім. Ол 0-ге тең емес көбейткіштердің көбейтіндісіне тең:

$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \prod_{1 \leq i < j \leq n}^{}\left( k_{j} - k_{i} \right)$

Теорема ( $Ly = 0$ сызықтық біртекті теңдеудің жалпы шешімінің құрылымы туралы) $y_{1}, y_{2}, \ldots, \ y_{n}$ функциялары n -ші ретті сызықтық біртекті теңдеудің шешімінің фундаментальді жүйесін құрасын. Онда бұл теңдеудің жалпы шешімі мына түрде болады:

$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ y = C_{1}y_{1} + C_{2}y_{2} + \ldots C_{n}y_{n}$

мұндағы, $C_{1}, \ C_{2}, \ \ldots, \ C_{n}$ -еркін тұрақтылар.

Дәлелдеу. Берілген оператордың сызықтылығынан,

$y = C_{1}y_{1} + C_{2}y_{2} + \ldots C_{n}y_{n}$ функциясы $Ly = 0$ жүйесінің шешімі болады. Төмендегі шарттарды қанағаттандыратын Коши есебінің шешімі

$\left\{ \begin{array}{r} y\left( x_{0} \right) = z_{0} \\ y'\left( x_{0} \right) = z_{0}' \\ \ldots \\ y^{(n - 1) }\left( x_{0} \right) = z_{0}^{(n - 1) } \end{array} \right. \$ (12)

мұндағы, $z(x)$ -жүйенің кез келген шешімі.

$z_{0} = z\left( x_{0} \right), \ z_{0}' = z'\left( x_{n} \right), \ z_{0}^{(n - 1) } = z^{(n - 1) }\left( x_{0} \right)$ (13)

теңдеуді $(n - 1)$ рет дифференциалдап, Коши шарттарын тексереміз. Сонда:

$\left\{ \begin{array}{r} C_{1}y_{1}\left( x_{0} \right) + C_{2}y_{2}\left( x_{0} \right) + \ldots{+ C}_{n}y_{n}\left( x_{0} \right) = z_{0} \\ C_{1}y_{1}'\left( x_{0} \right) + C_{2}y_{2}'\left( x_{0} \right) + \ldots{+ C}_{n}{y'}_{n}\left( x_{0} \right) = z_{0}' \\ \ldots \\ C_{1}y_{1}^{(n - 1) }\left( x_{0} \right) + C_{2}y_{2}^{(n - 1) }\left( x_{0} \right) + \ldots + C_{n}y_{n}^{(n - 1) }\left( x_{0} \right) = z_{0}^{(n - 1) } \end{array} \right. \$ (14)

Табылған n сызықтық теңдеуден және $C_{1}, \ C_{2}, \ \ldots, \ C_{n}$ белгісіздеріне байланысты алгебралық жүйе, ал матрица коэффициенттерінен тұратын анықтауышы ол вронскиан, ол теорема шарты бойынша 0-ге тең емес. Олай болса, Крамер теоремасы бойынша бұл жүйе үйлесімді және жалғыз шешімі бар. Дәлелдеу керегі де осы.

Төменде 2-ші ретті айнымалы коэффициентті сызықтық біртекті теңдеудің шешімі туралы теореманы қарастырамыз.

Теорема. Егер $y_{1\ }(x)$

$y^{''} + p(x) y' + q(x) y = 0$

2-ші ретті айнымалы коэффициентті сызықтық біртекті теңдеудің шешімі болса, онда $y_{2}(x)$ функциясы да оның шешімі болып табылады және ол төмендегіше айқындалады:

$y_{2}(x) = y_{1}(x) \int_{}^{}{e^{- F(x) }\frac{dx}{y_{1}^{2}(x) }}$

мұндағы, $F(x)$ $p(x)$ -коэффициентінің алғашқы функцияларының бірі.

$F(x) = \int_{}^{}{p(x) dx}$

Дәлелдеу. Шарты бойынша:

$y_{1}'' + p(x) {y_{1}}' + q(x) y_{1} \equiv 0$

$y_{1}(x)$ және $y_{2}(x)$ функциялары сызықтық тәуелсіз болсын, және $y_{2}(x)$ -де шешімі болғандықтан,

$y_{2}'' + p(x) {y_{2}}' + q(x) y_{2} \equiv 0$

Теңдеудің бірін $y_{2}$ -ге, екіншісін $y_{1}$ -ге көбейтіп, азайтамыз, сонда төмендегі теңдеуді аламыз:

Вронскиан құрайық:

Соңғы теңдеуді дифференциалдасақ:

онда берілген теңдеудің түрі төмендегідей:

$\frac{dW}{W} = - p(x) dx,$ шешімін табу үшін интегралдаймыз, сонда:

$lnW = - \int_{}^{}{p(x) }dx = - F(x)$

$W = e^{- F(x) },$

$y_{1}y_{2}' - y_{2}y_{1}' = e^{- F(x) },$

$\frac{y_{1}y_{2}' - y_{2}y_{1}'}{y_{1}^{2}} = \frac{1}{y_{1}^{2}}e^{- F(x) },$

$y_{2}y_{1}^{''} - y_{1}y_{2}^{''} + p(x) \left( y_{2}y_{1}' - y_{1}y_{2}' \right) = 0$

$W\left\lbrack y_{1}, y_{2} \right\rbrack = \left \begin{matrix} y_{1} & y_{2} \\ y_{1}' & y_{2}' \end{matrix} \right = y_{1}y_{2}' - y_{2}y_{1}'$

$W'\left\lbrack y_{1}, y_{2} \right\rbrack = \left \begin{matrix} y_{1}' & y_{2}' \\ y_{1}' & y_{2}' \end{matrix} \right + \left \begin{matrix} y_{1} & y_{2} \\ y_{1}^{''} & y_{2}^{''} \end{matrix} \right = y_{1}y_{2}^{''} - y_{2}y_{1}^{''}$ .

$W' + p(x) W = 0$

$\left( \frac{y_{2}}{y_{1}} \right) ' = \frac{1}{y_{1}^{2}}e^{- F(x) },$

$\frac{y_{2}}{y_{1}} = \int_{}^{}{e^{- F(x) }\frac{dx}{y_{1}^{2}(x) }},$

Теорема толық дәлелденді. Осы теоремадан шығатын салдары және оның қолданыстары туралы жұмыстың 2. 3 бөлімінде қарастырамыз.

2 N-ШІ РЕТТІ, КОЭФФИЦИЕНТТЕРІ АЙНЫМАЛЫ БІРТЕКТІ СЫЗЫҚТЫҚ ДИФФЕРЕНЦИАЛДЫҚ ТЕҢДЕУЛЕРДІ ШЕШУ ӘДІСТЕРІ.

2. 1 Дифференциалдық теңдеулерді шешудің жуықтау әдістері

Анық теңдеулердің тек қана бөлек көпсандық емес класы квадратураларда интегралданaды (немесе, аналитикалық жолмен шешіледі) . Ғылым мен тәжірибенің қажеттіліктерінен туындаған көптеген теңдеулер элементар функциялар класында немесе квадратуралардада нақты шешілмейді. Сондықтан да мұндай теңдеулердің жуықталған шешімдерін табу туралы есебі туындайды. Дифференциалдық теңдеулердің жуықталған шешімін құру әдісі дифференциалдық теңдеулерді интегралдаудың жуықталған әдісі деп аталады.

Жуықтау әдісі Ньютон мен Эйлер жұмыстарында бастау алды. Қазіргі кезде дифференциалдық теңдеулердің шешімінің жуықталған әдісінің теориясы жеткілікті дамыған және дифференциалдық теңдеулер теориясымен қатар шынайы объектілер мен процесстерді зерттеудің математикалық аппараты болып табылады.

Дифференциалдық теңдеулердің шешімдерінің жуықталған әдісінің теориясы екі бағытта дамыды: дифференциалдық теңдеулерді интегралдау-дың аналитиикалық жуықталған әдісін құруда және дифференциалдық теңдеулердің шешімдерінің сандық әдістерін құруда.

Аналитикалық жуықталған әдістердің кең таралған түрі асимптотикалық әдіс. Олар дәлдік дәрежесі айнымалысы кейбір бастапқы нүктеден тәуелсіз ағымдағы мәнінен жоғары дифференциалдық теңдеулердің жуықталған шешімін құруға мүмкіндік береді.

... жалғасы

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.