БУЛЬ АЛГЕБРАСЫНЫҢ НЕГІЗГІ МАҒЛҰМАТТАРЫ. АРАЛАС КОМБИНАЦИЯЛЫҚ ЦИФРЛЫҚ ҚҰРЫЛЫМДАР
Мазмұны
Алғы сөз ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..3
І-тарау. Буль алгебрасыныҢ
негІзгІ маҒлҰматтары ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 4
1.1. Логикалық айнымалылар және функциялар
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .4
1.2. Буль алгебрасының негізгі функциялары
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 8
1.3. “Емес”-”Жоққа шығару” (“Инверсия”) –
“Кері айналдыру” логикалық функциясы ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. .9
1.4. “Конъюнкция” (“Және”-”и”) функциясы
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . ... ... .10
1.5. “Немесе” - ”Или” - ”Дизъюнкция”
логикалық функциясы ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...11
1.6. “Және – жоққа шығару” -
”шеффер” (”и - не”) логикалық функциясы ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .12
1.7. “Немесе – жоққа шығару” –
”Пирс” (”или - не”)логикалық функциясы
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..1 2
1.8. “Бірмәнділік” (равнозначность-
эквивалентность)-”Исключающее или-не”,
Әрмәнділік”(неравнозначность)-
”Исключающее или” функциялары ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..13
1.9. “Шеффер” логикалық функциясының
жан-жақтылығы ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..16
1.10. “Инверсия” функциясын пайдаланып
бір логикалық функцияны екінші логикалық
функцияға айналдыру ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...17
1.11.Толықтауыш функциялар ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 1 8
1.12. Буль алгебрасының постулаттары ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..1 9
1.13. Буль алгебрасының заңдары ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 20
1.14. Де Морган постулаттары ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 2 0
1.15. “0” мен “1” үшін күмәнсіздік функциялары
(функция конституенты ”1” и “0”) ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...21
1.16. Дизъюнктив және Конъюнктив түрлерінде
берілген логикалық функциялар ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .22
ІІ-тарау. ЛогикалыҚ элементтердІҢ
Қолданылуы ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..27
2.1. Буль қатынастарын пайдаланып электрондық
жүйелерді құрастыру ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..27
2.2. Логикалық функциясының ақиқат кестесінен
оның аналитикалық өрнегіне көшу әдістері ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 29
2.3. Логикалық функцияны ықшамдау ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 3 0
2.4. Карно картасы ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..3 1
2.5. Аралас цифрлік құрылымдарды талдау
және құрастыру ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 34
ІІІ-тарау. АРАЛАС КомбинациялыҚ
цифрлыҚ ҚҰрылымдар ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .35
3.1. Жұмбақ сандар (коды), жұмбақтауыш
құрылымдар (шифраторы), жұмбақ шешуші
құрылымдар (дешифраторы) ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .35
3.2. Екілік - ондық 8421 жұмбақтау жүйесі
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...35
3.3. “3-ке арттыру әдісіне” негізділген жүйе
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..37
3.4. Дешифраторлар-декодерлер ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..37
3.5. Мультиплексорлар ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .40
3.6. Демультиплексорлар ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..42
3.7. Шифраторлар ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..44
3.8. Сумматорлар ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...45
3.9. Субтракторлар-алғыштар (вычитатели)
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .49
3.10. Цифрлық кoмпараторлар ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 52
Қазақша-орысша сөздік ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . ...53
Орысша-қазақша сөздік ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..64
Тест .
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..75
Қорытынды ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .93
Әдебиеттер ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 94
А л ғ ы с ө з.
Тәуелсіздік алып, егемен ел болуымыздың арқасында қазақ тілінің
мәртебесі өсіп, Қазақстан Республикасының мемлекеттік тілі болып
жарияланды. Осы себептен барлық жоғарғы оқу орындарында, ғылыми мекемелерде
оқуды және іс қағаздарын қазақ тілінде жүргізу қолға алынуда. Екінші
жағынан республикамызда қазақ мектептері мен жоғарғы оқу орындарында қазақ
бөлімдерінің көптеп ашылуы халық ағарту қызметкерлері алдында жаңа
міндеттер қойды. Олардың бастысы қазақ-орыс және орыс-қазақ қостілдігін
одан әрі үйлесімді дамыту, барлық пәндерден жаңарған оқулықтар мен оқу
құралдарын қазақ тілінде жазып жеткілікті мөлшерде жедел бастырып шығару.
Ана тілінде оқулықтар мен көмекші оқу-әдістемелік құралдардың жетіспеуі
ғылым мен техниканың электроника сияқты алдыңғы қатардағы саласына арнап
оқу құралын жазуды қазіргі таңдағы әрі жауапты әрі маңызды істердің біріне
айналдырып отыр. Бұрынғы Кеңес Одағы мен Ресейде жарық көрген кітаптарды
тікелей аударып, оны не оқу құралы не оқулық ретінде пайдалана беру
мүмкіндігі бар болғанымен, ол онша мақтанарлық жәй емес. Осы орайда
ұсынылып отырған дипломдық жұмыс аталған кемшіліктерді біршама бейтараптап
қазақ тілінде оқитын оқушылар мен студенттерге “Цифрлық электрониканың”
негізін жете түсініп, оның тұжырымдарын өмірде еркін пайдалануға мүмкіндік
беретін құрал.
Сондықтан ұсынылып отырған дипломдық жұмыста кездесетін терминдердің
аудармалары ретінде қолданылған әдебиеттер тізіміндегі сөздіктердегі
аудармаларымен қатар, олардың қазақ тіліндегі терезесі тең болатындай
баламалары да пайдаланылады. Оқушыға ыңғайлы болу үшін жұмыстың соңында
қазақша - орысша және орысша - қазақша сөздік берілген. Жұмыс шартты түрде
екі бөлімнен тұрады деп қарастыруға болады. Бірінші бөлімінде цифрлық
электрониканың негізі болып табылатын Буль алгебрасынан мағұлматтар
келтірілген. Оқушыны “логикалық айнымалы”, “логикалық функция”, “логикалық
амалдар” ұғымдарымен таныстырады. Буль алгебрасының теңдіктері, теоремалары
берілген. Екінші бөлімінде цифрлық электрониканың қарапайым құраушылары
және олардың көмегімен цифрлық электрониканың күрделі құрылғыларын
құрастыру мүмкіндіктері көрсетілген. Цифрлық электрониканың “тізбектелген”
және “комбинациялық” құрылғыларының логикалық сызба жобалары, олардың
жұмыстарын анықтайтын ақиқат кестелерімен логикалық функцияларының
аналитикалық түрлері көрсетілген. Аналитикалық өрнек түрінде берілген
логикалық функцияларды ықшамдау, логикалық функциялардың тағайындайтын
амалдарын орындайтын электрондық жобаларды құрастыру әдістері де
баяндалған. Үшінші бөлімді оқу құралында пайдаланған сөздер бойынша
құрастырылған сөздік берілген.
І тарау. Буль алгебрасыныҢ негІзгІ маҒлҰматтары.
1.1 Логикалық айнымалылар және функциялар.
Цифрлық құрылым оның кірісіндегі дабылдың жұмбақ сандарынан (Х1, Х2,
...Хn) логикалық амалдарды қолдану арқылы дабылдың қажетті (шығысындағы)
жұмбақ сандарын (Y1, Y2, ...Ym) алуға мүмкіндік береді. Қолдануға қажетті
логикалық амалдардың жиынтығын - логикалық функцияларды - математикалық
логика (Буль алгебрасы) заңдылықтарына сүйеніп анықтайды. Цифрлық
электроника құрылымының күйін, жұмыс істеу барысын сипаттау үшін Буль
алгебрасының “логикалық айнымалы”, “логикалық функция” деген ұғымда-рын
пайдаланады. Логикалық айнымалылар ретінде төмендегі-дей қосалқы
тұжырымдар қолданылады: “шын” - ”өтірік”, не “ақиқат” -”жалған”, не “иә”-
”жоқ”, не “1”-”0”. Логикалық айнымалылардың “1” және “0” мәндері көбірек
пайдаланылады. (Ескерту: Логикалық айнымалылардың “1”, “0” мәндеріне
арифметикалық амалдар қолдануға болмайды). Логикалық айнымалылар шаппа,
айырғыш - қосқыш т.т. сияқты нысандар-дың күйлерін (ашық - жабық, немесе,
қосылған - қосылмаған, немесе, бар - жоқ, сияқты күйлерін) өте дәл
сипаттайды.
Сонымен, цифрлік электроникада логикалық айнымалы-лар екі логикалық
тұжырымдарға сәйкесті “1” және “0” мән-дерін қабылдайды.
Логикалық функция логикалық айнымалыларға қолданы-латын логикалық
амалдарды анықтайды. Логикалық функциялар Ү1, Ү2 , ...,Үm логикалық
айнымалылардың мәндерінің комбинацияларына және оларға қолданылатын
логикалық ама-лдар жиынтығына байланысты не “логикалық ақиқат” - “1”, не
“логикалық жалған” - “0” тұжырымдарын тағайындайды, қабылдайды.
Әрқайсысы тек “0” немесе “1” мәндерін қабылдайтын саны К - ға тең
логикалық айнымалылардың әртүрлі комбина-цияларының саны 2к - ға тең.
Мысалы, логикалық айнымалылардың саны К = 2 болғанда, олар арқылы құрылатын
комбинациялардың саны 22 = 4 ке тең: х1 х2 = 00, 01, 10, 11. Логикалық
айнымалылардың әр комбинациясына және олардың араларындағы қолданылатын
логикалық амалдарға байланысты логикалық функция не “логикалық ақиқат” -
“1”, не “логикалық жалған” - “0” тұжырымдарын тағайындайды.
Саны К - ға тең логикалық айнымалыларға тәуелді логи-калық функцияларды
үш логикалық амалдарды: “логикалық жоққа шығару” ( - ), “логикалық қосу” (
+ ; v ), “логикалық көбейту” (Š ; ( ; &) пайдаланып құрастыруға болады.
Логика-лық тұжырымдардың өзара тепе-теңдігін ( = ) белгісі арқылы
көрсетеді.
Төменде 1.1.1 - кестеде “логикалық жоққа шығару”, “ло-гикалық қосу”,
“логикалық көбейту” амалдарын х1 және х2 логикалық айнымалыларына қолдану
арқылы логикалық “жоққа шығару” - ”инверсия”, “логикалық қосу” -
”дизъюнкция”, “логикалық көбейту” - ”конъюнкция” логикалық функцияларын
құрастыру мысалдары көрсетілген.
Бұл кестені логикалық функцияларының ақиқат кестесі дейді.
Сонымен, ақиқат кесте логикалық функциялардың логикалық айнымалыларының
мәндерін және оларға қолданылатын логикалық амалдарымен анықталатын
логикалық тұжырымдарды тағайындайды.
1.1.1 - к е с т е .
Логикалық Логикалық “логикалық “логикалық
айнымалы- “жоққа шығару” қосу”-”ди- көбейту”-
лар -”инверсия” зъюнкция” ”конъюнкция”
функциясы функциясы функциясы
x1 x2 Y1 =Ү2 = x2 Ү = x1 ( x2Ү = x1 ( x2
0 0 x1 1 0 0
0 1 1 0 1 0
1 0 1 1 1 0
1 1 0 0 1 1
0
Сонымен логикалық функцияларды екі әдіспен Буль ал-гебрасының өрнектері
арқы-лы (аналитикалық өрнек әдісі), не кестеге толтырылған мәндер
(ақиқат кестесі) арқылы беруге болатындығын көреміз.
Логикалық айнымалы, әсіресе, логикалық функция ұғым-дарын тереңірек
түсіну үшін мына төмендегі өмірден алынған мысалдарды қарастырайық.
1 - мысал ретінде абитуриенттің оқуға түсу мүмкіндігін қарастырайық.
Егер жолға ақша болса, емтиханнан жеткілікті ұпай алса, абитуриент жоғарғы
оқу орнына түседі деген тұжы-рымды логика алгебрасының қағидалары арқылы
өрнектейік. Мұнда оқуға түсу түспеуін анықтайтын логикалық Ү - функциясының
мәні екі: х1 - жолға ақшаның бар - жоқтығын (“бар” - ”1”, “жоқ” - ”0”), х2
- емтиханнан жеткілікті ұпай алған - алмағандығын көрсететін х1 және х2
логикалық айнымалардың мәндеріне байланысты. Сондықтан, абитуриенттің
оқуға түсу - түспеуін анықтау үшін х1, х2 логикалық айнымалылардың
мәндерінің әртүрлі комбинацияларымен және олардың арасында қолданылатын
логикалық амалдармен анықталатын логикалық Ү - функциясының мәндерін
анықтауымыз керек.
Абитуриенттің оқуға түсуін анықтайтын “иә түсемін” деген оң жауап алу
үшін, яғни логикалық Ү - функциясының мәні “иә” - ”1” деген мән қабылдау
үшін, логикалық х1, х2 ай-нымалылар бір мезгілде, қатарынан “1”- мәнін
қабылдаулары керек. Басқаша айтқанда, логикалық айнымалылар “1”- мәнін
қабылдап олар өзара “және” деген сөзбен жалғастырулары керек. Яғни, х1 = 1
және х2 = 1 болса Ү = 1 болады. Ал, егер екі логикалық айнымалылардың ең
болмағанда біреуі “0” деген мән қабылдаса Ү - функциясы “0” мәнін қабылдап,
“жоқ” - ”жоқ абитуриент оқуға түспейді” деген теріс логикалық тұжы-рым
алынады.
Қорытынды:
Абитуриенттің оқуға түсу түспеуін анықтау үшін, яғни х1, х2 логикалық
айнымалыларына тәуелді логикалық Ү - функциясының мәндерін анықтау үшін;
- бірінші, х1, х2 логикалық айнымалыларының мәндерінің жиынтықтарының
комбинацияларын: 0,1; 1,0; 0,0; 1,1 табу керек;
- екінші, айнымалылардың мәндерін “және” деген логикалық сөзбен
жалғастыруымыз керек: “0” және”1”, не “1” және ”0”, не “0” және “0”, не “1”
және “1”. Логикалық алгебра тілімен айтқанда х1, х2 айнымалылары өзара
“логикалық кө-бейтілулері” керек.
Логикалық көбейту функциясының ( Ү ) логикалық айнымалыларға тәуелділігі
не
Ү = х1. х2 ; Ү = х1 ( х2 ; Ү = х1 ( х2 (1.1.1)
өрнектерінің бірімен, не төмендегі 3.1.1- ақиқат кестесімен беріледі.
(1.1.1) - өрнегімен 1.1.1- кестесіндегі “.”, “(“, “(“ белгілер “логикалық
көбейту” амалының әртүрлі таңбалары.
Екінші мысал ретінде “Жигули” мәшинесін сатып алу - алмау
мәселесін қарастырайық.
Жигули мәшинесін сатып алу мүмкіндігі мына жағдайларға байланысты:
біріншіден, мәшинені сатып алу қажеттігі бар - жоқтығына, екіншіден, сатып
алушыда мәшинені жүргізуге рұқсат қағаз бар - жоқ екендігіне, үшіншіден,
мәшинені сатып алуға жеткілікті ақша бар - жоқтығына байланысты.
1.1.2 - к е с т е
л о г и к а л ы қ
Аргументтер функция
х1 х2 Ү = х1 ( х2
0 0 0
0 1 0
1 0 0
1 1 1
Бұл жағдайларды логикалық айнымалылар деп атап, мәшинені сатып алу
мүмкіндігін мына төмендегі 1.1.2 - кестедегідей жүйелеп көрсетуге болады.
Сонымен мәшинені сатып алу мәселесі үш жағдайдың ор-ындалуына
байланысты. Жоғарыдағы үш сұрақтың үшеуіне де бір мезгілде - қатарынан “иә”
деген оң жауаптар алынғанда ғана “иә” мәшине сатып алуға болады деген
оң қорытынды
1.1.3 - к е с т е
кірістегі айнымалылар шығыстағы айнымалылар
Логикалық Логикалық
Сұрақтар Жауаптар Сұрақ жауап-шешім
Мәшинені
х1 сатып алу Иә
єажеттігі бар
ма? Мәшине
сатып иә
алынды ма?
Мәшине
х2 жүргізуге Иә
рұқсат қағаз
бар ма?
Мәшинені
х3 сатып алуға Иә
жеткілікті
ақша бар ма?
алынады. Ал, егер үш сұрақтың ең болмағанда біреуіне “жоқ” деген жауап
алынса, онда “жоқ мәшине сатып ала алмаймыз” деген теріс логикалық тұжырым
алынады.
Сонымен, мәшинені сатып алуға жол ашатын “иә” деген оң жауап алу үшін,
біріншіден, қойылған үш сұраққа да “иә” деген үш жауап алынуы керек,
екіншіден ол логикалық жауаптар бір-бірімен “және” деген сөзбен өзара
жалғанулары керек, яғни “иә” деген жауаптардың арасында міндетті түрде
“және” деген сөздер болуы керек.
Математикалық логикада “иә” деген логикалық жауаптарды логикалық
айнымалылар дейді, ал олардың өзара байланыстарын, қарым-қатынасын, яғни
логикалық айнымалыларға қолданылатын логикалық амалдарды анықтайтын “және”
деген логикалық сөздерді логикалық функция дейді. “және” логикалық
функция “логикалық көбейтуді” анықтайды, яғни “және” деген сөзбен
жалғанған логикалық айнымалылар өзара “логикалық көбейтілуі” керек.
Ал, жоғарыдағы үш сұрақтың ең болмағанда біреуіне “иә”, ал қалғандарына
“жоқ” деген жауап алынған күнде мәшинені сатып алу-алмауын анықтайтын “иә”
деген оң логикалық жауап алыну үшін олар өзара “немесе” деген логикалық
сөзбен жалғастырылуы керек. Бұл жағдайда логикалық айнымалыларды
байланыстыратын “немесе” деген логикалық сөз логикалық функция болады.
“немесе” деген логикалық функция “логикалық қосу” амалын анықтайды, яғни
“немесе” деген логикалық сөзбен жалғастырылған логикалық айнымалылар өзара
логикалық қосылуы қажет.
Логикалық қосу математикалық логикада “+” не “V” таң -баларымен
белгіленеді.
Қалай болса да “және”, “немесе” логикалық функцияларының мәндері “иә” не
“жоқ” деген логикалық жауап болу керек.
Логикалық функциялар мәндерінің логикалық айнымалыларға байланысын
ақиқат кестесі арқылы беруге болады.
Аргументтері “иә” – “1” , “жоқ” – “0” логикалық айнымалылары болатын
және логикалық функциясының ақиқат кестелері төмендегі (1.1.4) және (1.1.5)
кестелерінде берілген.
1.1.4 - к е с т е
кірістегі айнымалылар “және” функ-ның мәні
ақша жѕргізуге қажетті
бар ма?рұқсат ақша бармәшине сатып алынды
қа-ғаз барма? ма?
- Б ма?
- Ә - А
0“жоқ” “жоқ” “жоқ” “жоқ” Мәні “жоқ” деген логикалық
1“жоқ” “жоқ” “иә” “жоқ” жауап болатын “немесе”
2“жоқ” “иә” “жоқ” “жоқ” логикалық функциясы.
3“жоқ” “иә” “иә” “жоқ”
4“иә” “жоқ” “жоқ” “жоқ”
5“иә” “жоқ” “иә” “жоқ”
6“иә” “иә” “жоқ” “жоқ”
7“иә” “иә” “иә” “иә” ”иә”үшін “және” функциясы.
1.1.5 ( к е с т е
кірістегі айнымалылар “және” функциясының мәні
ақша мәшинені Мәшине-
бар жүргізуге ні сатып
ма? рұқсат алу мәшсатып алынды
қағазы барқажеттігіинема?
ма? бар ма?
- Б - Ә - А
0“0” “0” “0” “0”Мәні “0”-“жоқ” деген
1“0” “0” “1” “0”логикалық жауап болатын
2“0” “1” “0” “0”“немесе” логикалық
3“0” “1” “1” “0”функциясы.
4“1” “0” “0” “0”
5“1” “0” “1” “0”
6“1” “1” “0” “0”
7“1” “1” “1” “1”“1”үшін “және”
функциясы.
1.2. Буль алгебрасының негізгі функциялары.
Буль алгебрасының негізінде “және” - ”конъюнкция”, “немесе” - ”или” -
”дизъюнкция”, “инверсия” (“жоққа шығару”, не “емес”, не “кері айналдыру”),
т.т. функциялары жатады. Осы функцияларды жеке-жеке қарастырайық.
1.3. “Емес”-”Жоққа шығару” (“Инверсия”) - “Кері айналдыру” логикалық
функциясы.
“Жоққа шығару”-”инверсия” логикалық функциясы логикалық тұжырымды жоққа
шығарып, кері тұжырымға айналдырады. “Инверсия” функциясының әсерінен “иә”
тұжырымы “жоқ” тұжырымына, яғни логикалық “1” логикалық “0”-ге айналады
және керісінше логикалық “0” логикалық “1”- ге айналады.
“Инверсия” функциясын (Ү) логикалық айнымалының төбесінде сызылған
сызықпен көрсетеді:
Бұл функция былай оқылады: “игірік x1 емес”, “игірік x2 емес”.
“Инверсия” функциясы сызба бейнелерде мына таңбала-рымен белгіленеді :
1.3.2
1.3.2 - сурет. “Инверсия” логикалық функциясының сызба жобадағы шартты
белгісі.
“Жоққа шығару” - ”инверсия” функциясының қызметін тағайындайтын амалын
мына төмендегі электр тізбегі арқылы жүзеге асыруға болады.
1.3.3
1.3.3 - сурет. “Инверсия” логикалық функциясының тағайындайтын
логикалық амалдарын жүзеге асыруға арналған электр тізбегі.
“Инверсия” функциясының ақиқат кестесі мынандай:
1.3.1- к е с т е
х1
0 1
1 0
1.3.1- сурет. “Инверсия” логикалық функциясы-ның ақиқат кестесі.
1.4. “Конъюнкция” (“Және”-”и”) функциясы.
“Және”-”конъюнкция” функциясы (Ү) логикалық айнымалыларды (х1, х2) өзара
логикалық көбейтуді талап етеді. “Конъюнкция” төмендегі алгебралық
өрнектермен анықталады.
(1.4.1)
“Және”-”конъюнкция” функциясының сызба жобалардағы белгілері:
1.4.2
1.4.2 - сурет. “Конъюнкция” функциясының сызба жобадағы шартты белгісі.
“Конъюнкция” логикалық функциясын айырғыш-қосқыш (вентиль, кран, кілт,
т.т.) қызметін атқаратын функция ретінде пайдалануға болады. “Конъюнкция”
логикалық функциясының тағайындайтын амалын, мына төмендегі электр тізбегі
арқылы іске асыруға болады.
1.4.3
1.4.3. - сурет. “Конъюнкция” логикалық функциясы тағайындайтын
логикалық амалдарын жүзеге асыру мүмкіндігін түсіндіретін электр
тізбегі.
1.4.1.- к е с
т е
х1 х2 Ү = х1
х2
0 0 0
0 1 0
1 0 0
1 1 1
1.4.1 - сурет. “Конъюнкция” - логикалық фун-кциясының ақиқат кестесі.
“Және”-”конъюнкция” логикалық функциясы үшін мына төмендегі тепе-
теңдіктер - аксиомалар орындалады.
1.5. “Немесе” - ”Или” - ”Дизъюнкция” логикалық функциясы.
“Немесе”-“дизъюнкция” логикалық функциясы логика-лық айнымалыларды бір
бірімен қосуды талап етеді.
Ең болмағанда біреуі логикалық “1” мәнін қабылдайтын логикалық х1, х2,
х3 ... айнымалыларына “немесе”-”дизъюн-кция” логикалық функциясы анықтайтын
логикалық қосуды, қолданғанда логикалық “1” шығады.
“Немесе”-”дизъюнкция” логикалық функциясының логикалық теңдеулері:
1.5.1- к е с т е
х1 х2 Ү = х1 ( х2
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 1
1.5.1 – сурет. “Немесе” - ”дизъюнкция” логика-лық функциясының ақиқат
кестесі.
1.5.2 - сурет. “Дизъюнкция” функциясының сызба
жобадағы шартты белгісі.
1.5.3 - сурет. “Дизъюнкция” логикалық функциясы тағайындайтын
логикалық қосу амалын жүзеге асыратын электр тізбегі.
1.6. “Және – жоққа шығару” - ”шеффер” (”и - не”) логикалық функциясы.
“Шеффер” логикалық функциясы логикалық айнымалыларға “конъюнкция” және
“инверсия” логикалық амалдарын бірінен кейін бірін қолдануды талап етеді.
“Шеффер” функциясы логикалық “1” мәнін қабылдау үшін оның логикалық
аргументтері барлығы бірдей – бір мезгілде логикалық “1” мәнін қабылдамау
керек. Басқаша айтқанда, “шеффер” функциясы “0” мәнін аргументтердің бір
ғана комбинациясында, тек барлығы бір мезгілде “1”-ге тең болған- да ғана
қабылдайды.
1.6.1 - сурет. “Шеффер” функциясының сызба жобадағы шартты белгісі.
(1.6.2) – өрнектерімен “Шеффер” функциясының Буль алгебрасындағы
аналитикалық түрі беріледі.
“Шеффер” функциясы ақиқат кестесі.
1.6.1-к е с т е
айнымалылар“шеффер”
функциясы
х1 х2
0 0 1
0 1 1
1 0 1
1 1 0
1.7. “Немесе – жоққа шығару” – ”Пирс” (”или - не”)логикалық функциясы.
“Пирс” функциясы логикалық айнымалыларға “дизъюнк-ция”, “инверсия”
логикалық амалдарын бірінен кейін бірін қолдануды талап етеді.
“Пирс” функциясы логикалық “1” мәнін қабылдау үшін оның логикалық
аргументтері қатарынан - бір мезгілде логикалық “0” мәнін қабылдаулары
керек.
“Пирс” функциясы сызба жобада төмендегі белгілерімен көрсетіледі.
1.7.1 - сурет. “Пирс” функциясының сызба жобадағы шартты белгілері.
“Пирс” функциясы Буль алгебрасында
теңдеулерімен анықталады.
“Пирс” функциясы төмендегі ақиқат кестесімен беріледі.
1.7.1 - к е с т е
Логикалық Логикалық “ПИРС”
айнымалылар функциясы
х1 х2
0 0 1
0 1 0
1 0 0
1 1 0
1.8. “Бірмәнділік” (равнозначность-эквивалентность)
-”Исключающее или-не”, Әрмәнділік”(неравнозначность)
-”Исключающее или” функциялары.
“Дизъюнкция”, “конъюнкция” және “инверсия” қарапай- ым логикалық
функциялар жиыны арқылы кезкелген логикалық функцияны құрастыруға болады.
Сондықтан, бұл үш қара- пайым логикалық функциялар, толық жиын құрайды.
Мысал ретінде, ЭЕМ-де пайдаланатын біраз логикалық функцияларды,
жоғарыдағы үш қарапайым логикалық функциялар арқылы құрастыруға
болатындығын көрсетейік.
“Әрмәнділік” логикалық функциясын “2 модуль бойынша қосу” функциясы деп
те атайды. Осы “әрмәнділік” функциясын қарастырайық.
“Әрмәнділік” функциясының сызба жобадағы шартты белгісі.
1.8.1 - сурет. “Әрмәнділік” логикалық функциясының сызба жобадағы
шартты белгісі
Егер х1, х2 логикалық айнымалылары бір мезгілде тең мәндер қабылдаса,
яғни х1 = х2 болса “әрмәнділік” логикалық функциясы “0”- дік мән
қабылдайды, ал егер х1 ( х2 болса, онда ол “1”- ге тең болады. Бұл
функцияны жоғарыдағы қарапайым функциялар арқылы былай құрастыруға болады:
(1.8.2)
“Әрмәнділік” (исключающее “или”) функциясы мына төмендегі ақиқат кестесі
арқылы беріледі.
1.8.1 - к е с т е
[pic[pic
] ]
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 0
Сонымен, “және”, “немесе”, “жоққа шығару” үш қарапа-йым логикалық
функцияларының жиыны толық жиын құрады.
“2 модуль бойынша қосу” логикалық функциясын “және”, “немесе”,
“логикалық жоққа шығару” логикалық функциялары арқылы құрастыру
мүмкіндіктерін төмендегі сызба жобалардан байқауға болады.
1.8.3 - сурет. “Әрмәнділік” логикалық функциясын қарапайым логикалық
функциялар арқылы құрастырудың үлгісі.
“2 модуль бойынша қосу” логикалық функциясының мына төмендегі маңызды
қасиеттеріне көңіл аударайық:
(1.8.4)
(1.8.5)
(1.8.6)
(1.8.7)
(1.8.8)
(1.8.4) тендігінен “2 модуль бойынша қосу” логикалық функциясының
аргументтерінің бірін логикалық кері тұжырымдасақ, оның шығысында да кері
тұжырым пайда болатындығы шығады. (1.8.4), (1.8.5) теңдіктерінен М2
функциясын сәйкесті құрылымның жұмысын реттеп басқаруға пайдалануға
болатындығын көрсетуге болады. Мысалы, құрылымның белгілі бір кірісіне не
логикалық “0”, не логикалық “1” түсірілсе оның екінші кірісіне түсірілген
ақпарат не өзгеріссіз қалады (1.8.4), не логикалық кері тұжырымға
айналады (1.8.6). М2 функциясы тағайындаған логикалық амалдарды орындайтын
цифрлық құрылым жұмысы реттелмелі инвертор болады. Іұрылымның басқарушы
кірісіндегі логикалық айнымалы х2 логикалық “1” қабылдаса, оның екінші
кірісіне түсірілген логикалық ақпарат х1 ол арқылы өткенде кері тұжырымға
айналады, яғни құрылым өзінен өткен дабылға “инверсия” логикалық
амалын қолданады.
“Бірмәнділік” логикалық функциясын қарастырайық. Бір мезгілде х1, х2
логикалық айнымалылары тең мәндер қабыл-дағанда, яғни х1 = х2 = 1 не х1 =
х2 = 0 болғанда “бірмәнділік” функциясы логикалық “1” мәнін қабылдайды ал
х1 ( х2 болса - “0” мәнін тағайындайды. “Бірмәнділік” функциясын жоғары-
дағы қарапайым логикалық функциялары арқылы былай құрас- тыруға болады:
(1.8.9)
“Бірмәнділік” функциясының сызба жобадағы шартты белгісі.
1.8.10 - сурет. “Бірмәнділік” функциясының сызба жобадағы шартты
белгісі.
“Бірмәнділік” (“исключающее или - не”) функциясын төмендегі ақиқат
кестесі арқылы беруге болады
1.8.2-к е с т е
[pic[pic
] ]
0 0 1
0 1 0
1 0 0
1 1 1
функцияларының ақиқат кестелерін мүқият талдау негізінде мынандай
маңызды қорытындылар жасауға болады:
не логикалық функцияларының тағайындайтын логикалық амалдарын
орындайтын цифрлық құрылымды екі логикалық тұжырымдарды өзара салыстыратын
құрылым ретінде пайдалануға болады. Мысалы, функциясының негізінде
құрылған цифрліық құрылымды қарастырайық (1.8.11-сурет)
1.8.11 - сурет. “Бірмәнділік” функциясының амалдарын орындайтын
құрылымның салыстырғыш құрал ретінде пайдалануға болатындығын түсінді-
руге арналған сызба жоба.
Мұнда құралдың х2 кірісіне белгілі дабылға сәйкесті логикалық айнымалының
мәні түсіріледі.Ал х1-кірісіне белгісіз дабыл беріледі. Егер белгісіз дабыл
х2 кірісіндегі дабылмен бірдей болса құрылымның шығысындағы “1” шығады,
яғни Ү==1 болады, ал егер х1 кірісіндегі дабыл х2 белгілі дабылдан
өзгеше болса Ү==0 болады, яғни құрылымның шығысынан “0” мәні шығады.
1.9. “Шеффер” логикалық функциясының жан-жақтылығы.
Жоғарыда “дизъюнкция”, “конъюнкция”, “инверсия”, “шеффер”, “пирс” т.т.
негізгі қарапайым логикалық функцияларымен таныстық.
1.9.1 - к е с т е
Логикалық Шартты “және-жоққа
функция Белгі шығару”логика- лық
функциясы арқылы құра
стыру үлгісі
“инверсия”
“дизъюн-кц
ия”
“конъюн-кц
ия”
“немесе-
жоққа
шы-ғару”
“әрмән-діл
ік”-”М2”
“бірмән-ді
лік”
1.9.1 - сурет. Қарапайым негізгі логикалық функцияларды “шеффер”
логикалық элементі негізінде құрастырудың үлгісі.
Алғашқы үш логикалық функциялар жиыны толық жиын құрса, кейінгі
“шеффер”, “пирс” функциялардың әрқайсысы толық жиын құрады.
“Шеффер” логикалық функциясы тағайындайтын логикалық амалдарды жүзеге
асыратын электрондық құралдар көп кездеседі. Сондықтан “шеффер” функциясы
арқылы басқа логикалық функцияларды қалай құрастыруға болатындығын
қарастырайық.
1.9.1 - кестеде “шеффер” функциясын пайдаланып “дизъюнкция”,
“конъюнкция”, “инверсия”, “пирс”, “әрмәнділік”, “бірмәнділік” функцияларын
құрастырудың жол-дары көрсетілген.
1.10 “Инверсия” функциясын пайдаланып бір логикалық функцияны екінші
логикалық функцияға айналдыру.
Күнделікті өмірде негізгі “конъюнкция”, “дизъюнкция”, “инверсия”,
“немесе-жоққа шығару” функцияларды пайдаланып басқа логикалық функцияларды
жасау керек болады. Бұл өмірдің талабын “инверсия” логикалық функциясы
арқылы қанағаттандыруға болады.
“Инверсия” функциясын пайдаланып, бір логикалық функцияны екінші
логикалық функцияға айналдыру әдістері 1.10.1 - суретте көрсетілген.
Мысалы, “конъюнкция” функциясының кірістеріндегі айнымалыларға “инверсия”
амалын қолдансақ, ол “пирс” логикалық функциясына айналады.
1.10.1 - сурет. “Конъюнкция” функциясының кіріс теріндегі айнымалыларға
“инверсия” амалын қолдансақ, ол “немесе – жоққа шығару” функциясына
айналатындығын көрсететін жоба.
1.10.1 - к е с т е
Логикалық элементтің шығысына
“инверсия” амалын қолдану
Логикалық элементтің кірісіне
“инверсия” амалын қолдану
Логикалық элементтің кірісіне де
шығысына да “инверсия” амалын
қолдану
1.10.2 - сурет. “Инверсия” функциясын пайдаланып логикалық функцияларды
өзгертуді түсіндіруге арналған кесте
1.11. Толықтауыш функциялар.
Бір біріне толықтауыш функциялар ұғымын жете түсіну үшін үш аргументі
(х1, х2, х3) “конъюнкция”, “дизъюнкция” логикалық функцияларының ақиқат
кестелерін мұқият қа- растырайық.
1.11.1 - кесте
х2 х3Y = х1 ( х2 ( х2 х3 Y = х1 ( х2 ( х3
х1 х3 х1
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0 1 1
0 1 0 0 0 1 0 1
1 0 0 0 1 0 0 1
0 1 1 0 0 1 1 1
1 0 1 0 1 0 1 1
1 1 0 0 1 1 0 1
1 1 1 1 1 1 1 1
а) б)
1.11.1 - сурет. “Конъюнкция” (а), “дизъюнкция” (б) логикалық
функцияларының ақиқат кестелерін өзара салыстыруға арналған деректер.
“Конъюнкция”, “дизъюнкция” логикалық функцияларының ақиқат кестелерінен
мынандай қорытындылар жасауға бо- лады.
1. а - ақиқат кестесі кірісіндегі логикалық “1”- лер үшін “конъюнкция”
логикалық функциясын, ал кірісіндегі логикалық “0”- дер үшін “дизъюнкция”
логикалық функциясын аны-қтайды.
2. б - ақиқат кестесі кірісіндегі логикалық “1”- лер үшін “дизъюнкция”
логикалық функциясын, ал кірісіндегі логикалық “0”- дер үшін “конъюнкция”
логикалық функциясын аны-қтайды.
3. а - ақиқат кестесімен анықталатын функцияға “инверсия” амалын
қолдансақ б - ақыйқат кестесімен анық- талатын функция шығады. Басқаша
айтқанда “конъюнкция” функциясы “дизъюнкция” функциясының толықтауышы және
керісінше, “дизъюнкция” функциясы “конъюнкция” функциясының толықтауышы,
яғни
қатынастары орындалады.
- айнымалысы х - айнымалысының толықтауышы болса,
(1.11.1)
теңдеулері орындалады. Мысалы, логикалық айнымалылары 0 және 1
логикалық айнымалыларының толықтауыштары, яғни
(1.11.2)
теңдіктері орындалады.
1.12. Буль алгебрасының постулаттары.
“Конъюнкция”, “дизъюнкция”, “инверсия”, функцияларының ақыйқат
кестелерінен мынандай постулаттар шығады.
“Конъюнкция” логикалық функциясы үшін
(1.12.1)
“Дизъюнкция” логикалық функциясы үшін
(1.12.2)
“Инверсия” логикалық функциясы үшін
(1.12.3)
қатынастары дұрыс болады.
1.13. Буль алгебрасының заңдары.
Буль алгебрасының постулаттарын және толықтауыш функцияларының
қасиеттерін пайдаланып күрделі өрнектерді ықшамдауға болады. Ол үшін
логикалық айнымалылармен (х) және олардың толықтауыштарын логикалық қосынды
не логикалық көбейтінді ретінде топтау керек.
Күрделі теңдеулерді ықшамдауда қолданылатын, теңдік-тер:
Бұл теңдіктердің дұрыстығына теңдіктің екі жағындағы логикалық
функциялардың ақиқат кестелерін тікелей құрас-тыру арқылы көз жеткізуге
болады.
1.14. Де Морган постулаттары.
1-постулат. Логикалық айнымалылардың логи-
калық қосындыларының толық-
тауышы айнымалылардың толық-
тауыштарының логикалық көбей-
тіндісіне тең:
(1.14.1)
2-постулат. Логикалық айнымалылардың логи-
калық көбейтінділерінің толықтау-
ышы айнымалылардың толықтау-
ыштарының логикалық қосынды-
сына тең:
(1.14.2)
Де Морган постулаттарының қорытындыларының орындалатындығына “және –
жоққа шығару”, “немесе – жоққа шығару” логикалық функцияларының ақиқат
кестелерін мұқият талдау арқылы көз жеткізуге болады.
a) 1.14.1 - к е с т е
[p[pi[pi
icc] c]
]
0 0 0 1 1
0 0 1 1 1
0 1 0 1 1
1 0 0 1 1
0 1 1 1 1
1 0 1 1 1
1 0 0 1 1
1 1 1 0 0
б)
[pic[pic[pic
] ] ]
0 0 0 1 1
0 0 1 0 0
0 1 0 0 0
1 0 0 0 0
0 1 1 0 0
1 0 1 0 0
1 1 0 0 0
1 1 1 0 0
1.14.1 - сурет. Де Морган постулаттарының тұжырымдарының дұрыстығын
талдауға арналған “және – жоққа шығару” (а), “немесе – жоққа шығару” (б)
логикалық функцияларының ақиқат кестелері
1.15. “0” мен “1” үшін күмәнсіздік функциялары (функция конституенты ”1” и
“0”).
Жоғарыда “конъюнкция”, “дизъюнкция”, “шеффер”, “Пирс” т.т. функцияларын
қарастырдық. Енді осы логикалық функцияларды басқа қырынан зерттейік. Ол
үшін ”“0” мен “1” үшін “күмәнсіздік функциясы” - “конституента функциясы”
ұғымын ендірейік.
Егер n аргументті логикалық функциясы аргументтердің тек бір ғана
комбинациясында “0”- мәнін қабылдап, ал басқа (2n-1) комбинацияларында “1”-
лік мән қабылдаса, онда оны “0”- дік мән үшін “күмәнсіздік функциясы” -
“конституента функциясы” дейді.
“Конъюнкция”, “дизъюнкция”, “пирс”, “шеффер” т.т. функциялары не “0” не
“1” мәндері үшін “күмәнсіздік” функциясы болады.
Дизъюнкция функциясы “0” мәні үшін “күмәнсіздік” функциясы. Себебі, ол
оның барлық аргументтері бір мезгілде “0” мәнін қабылдағанда ғана “0”-ге
тең болады. Ал аргументтерінің мәндерінің басқа комбинацияларында ол “1”-ге
тең мән қабылдайды (3.2.1.3-кесте).
“Конъюнкция” функциясы “1” үшін “күмәнсіздік” функциясы. Себебі ол
аргументтері тегіс бір мезгілде “1” мәнін қабылдағанда ғана “1”-ге тең
болады. Ал, аргументтерінің мәндерінің басқа комбинацияларында ол “0”-ге
тең болады (3.2.1.1-кесте).
Дәл осы сияқты “пирс” функциясы аргументтері бәрі тегіс бір мезгілде “0”
мәнін қабылдағанда ғана “1”-ге, ал аргумент-терінің мәндерінің басқаша
комбинациаларында “0”-ге тең болады (3.4.1-кесте). Яғни “пирс” логикалық
функциясы “1”-үшін “күмәнсіздік” функциясы болады.
“Шеффер” функциясының аргументтері бір мезгілде “1”-мәнін қабылдағанда
ғана “0”- ге тең болып, ал басқа комбинацияларында “шеффер” функциясы “1”
- лік мән қабылдайды (3.3.1-кесте).
Жоғарыдағы деректерден “конъюнкция”, “дизъюнкция”, “пирс”, “шеффер”
функциялары “1” не “0” үшін “күмән-сіздік” функциялар тобын құрайтындығын
байқаймыз.
1.16. Дизъюнктив және Конъюнктив түрлерінде берілген логикалық функциялар
Жоғарыдағы қарапайым логикалық функциялар логикалық жүйелерді, цифрлық
құрылымдарды талдау, құрастыру үшін пайдаланылады. Бұл функциялардың
көмегімен кезкелген күрделі логикалық функцияны құрастыруға болады.
Логикалық функцияларды құрастыруға өте ыңғайлы функциялар мыналар:
“инверсия”, “конъюнкция”, “дизъюнкция”.
“Дизъюнктив” және “конъюнктив” түрлеріндегі функциялар ұғымдарына
тоқталайық.
Егер логикалық функция “инверсия” және “конъюнкция” амалдарын қолдану
арқылы құрастырылған қосылғыштардың логикалық қосындысынан тұрса, басқаша
айтқанда, логикалық функция логикалық айнымалылармен (х) олардың сәйкесті
толықтауыштарының логикалық көбейтінділерінің логикалық қосындысынан
тұрса, ондай логикалық функцияны дизъюнктив түрінде берілген функция дейді.
Мысалы:
(1.16.1)
Егер логикалық функция әрқайсысы “дизъюнкция” және “инверсия” логикалық
амалдарын қолдану нәтижесінде құрастырылған логикалық көбейткіштердің
көбейтіндісінен тұрса, ондай логикалық функцияны конъюнктив түрде берілген
логикалық функция дейді.
Мысалы:
(1.16.2)
Енді күрделі логикалық функцияларды дизъюнктив не конъюнктив түрлеріне
келтіру әдістерін қарастырайық.
Кезкелген n аргументті “0” не “1” үшін “күмәнсіздік” функциясын
аргументтеріне логикалық жоққа шығару, қосу, көбейту амалдарын қолдану
арқылы дизъюнктив және конъюнктив түрлеріне келтіруге болатындығын
көрсетейік.
а) Логикалық функцияны дизъюнктив түрге келтіруді қарастырайық.
n аргументті логикалық функциясы, оны “1”- ге айналдыратын
аргументтерінің бірнеше тобымен (комбинацияларымен) берілсін.
Берілген логикалық функцияны дизъюнктив түрінде жазуды мына ретпен
жүргізеді :
Әр топтағы аргументтерді пайдаланып логикалық көбейту, логикалық жоққа
шығару амалдары көмегімен “1” үшін “күмәнсіздік” функциясын құрастырамыз.
Ол үшін
1. Әр топтың “0”дік мән қабылдайтын аргументтеріне “жоққа шығару”
логикалық амалын қолдану, ал қалған аргументтерін өзгеріссіз қалдыру
нәтижесінде жаңа топтар аламыз.
2. Табылған әр жаңа топтағы аргументтерді өзара логикалық көбейтіп, “1”
үшін логикалық күмәнсіздік функцияларын құрастырамыз.
3. Табылған “1” үшін “күмәнсіздік” функцияларын өзара логикалық қосу
нәтижесінде дизъюнктив түрде жазылған логикалық функция аламыз.
Мысалы: 4 аргументті логикалық функциясы аргумент-тердің мына екі тобы
арқылы “1”- ге айналдырылсын:
х1 = 1, х2 = 0, х3 = 1, х4 = 0,
х1 = 0, х2 = 0, х3 = 1, х4 = 0. (1.16.3)
Берілген функцияны дизъюнктив түріне мына ретпен келтіреміз:
1. “0” мәнін қабылдайтын аргументтерге “жоққа шығару” логикалық амалын
қолдану арқылы аргументтердің
(1.16.4)
жаңа топтарын аламыз.
2. Әр жаңа топтың аргументтерін өзара логикалық көбейту арқылы “1” үшін
“күмәнсіздік” екі логикалық
(1.16.5)
функцияларын табамыз.
3. Табылған логикалық функцияларды өзара логикалық қосу нәтижесінде
(1.16.6)
берілген логикалық функцияны дизъюнктив түрге келтіреміз.
б) Енді логикалық функцияны конъюнктив түрге келтіру әдісін
қарастырайық.
n аргументті логикалық функцияны “0”ге айналдыратын аргументтердің
бірнеше тобымен (комбинацияларымен) берілсін.
Бұл логикалық функцияны конъюнктив түрінде жазуды былай іске асырамыз.
Әр топтағы аргументтерден логикалық қосу, логикалық жоққа шығару
амалдарын пайдаланып “0” үшін күмәнсіздік функциясын құрастырамыз. Ол үшін
1. Әр топтың “1”- лік мән қабылдайтын аргументтеріне “жоққа шығару”
логикалық амалын қолдану, ал қалған аргументтерін өзгеріссіз қалдыру
нәтижесінде жаңа топтар аламыз;
2. Табылған әр жаңа топтағы аргументтерді өзара логикалық қосып “0” үшін
“күмәнсіздік” функцияларын құрастыра-мыз.
3. Табылған “0” үшін “күмәнсіздік” функцияларын өзара логикалық көбейтіп
берілген функцияны конъюнктив түрінде жазамыз.
Мысалы: 4 аргументті функция оны “0”- ге айналдыратын мына екі
аргументтер топтарымен берілсін:
(1.16.7)
Бұл функцияны конъюнктив түрінде былай жазамыз.
1. “1” мәндерін қабылдайтын аргументтерге “жоққа шығару” амалын қолдану
арқылы берілген топтардан
(1.16.8)
жаңа екі аргументтер тобын аламыз.
2. Әр жаңа топты құраушы аргументтерді логикалық қосу арқылы “0” үшін
“күмәнсіздік” екі логикалық
(1.16.9)
функцияларын табамыз.
3, Табылған “0”үшін “күмәнсіздік” функцияларын логикалық көбейту
нәтижесінде берілген функцияны конъюнктив түрде жазамыз.
(1.16.10)
Жоғарыдағы деректерден мынандай қорытындылар жасауға болады:
- кезкелген күрделі логикалық функцияны конъюнктив түрде де дизъюнктив
түрде де жазуға болады.
- логикалық функцияны дизъюнктив түрде жазу үшін оны логикалық “1”- ге
айналдыратын логикалық айнымалылар тобы пайдаланылады, ал конъюнктив түрде
жазу үшін оны логикалық “0”- ге айналдыратын логикалық айнымалылар тобы
пайдаланылады.
Логикалық функциясы мына төмендегі кестемен берілсін
1.16.1 - к е с т е
Y (х1, х2,0 1 0 1 1
х3 ) 0 1 0
х1 0 1 0 1 0
х2 1 0 1
х3 0 0 1 1 0
0 1 1
0 1 0 0 1
1 1 1
Кестеде берілген функцияны конъюнктив түрге келтіруді мына ретпен
жүргіземіз.
Бірінші, функцияны “1”- ге айналдыратын логикалық айнымалылардың
мәндерінің топтарын анықтаймыз. Олар төмен-де кестеде берілген.
1.16.2 - к е с т е
х1х2х3
1 0 1 -3.2.13.1-кестенің 2-бағанасында
1 1 0 орналасқан
0 0 1 -3.2.13.1-кестенің 4-бағанасында
0 1 1 орналасқан
-3.2.13.1-кестенің 5-бағанасында
орналасқан
-3.2.13.1-кестенің 7-бағанасында
орналасқан
Екінші, табылған топтардың мәндері “0”- ге тең логикалық айнымалыларына
”жоққа шығару” амалын қолдану арқылы жаңа топтар құрамыз.
- бірінші топ,
- екінші топ,
- үшінші топ,
- төртінші топ.
Үшінші, әр топтағы логикалық айнымалыларға логикалық көбейту амалын
қолдану арқылы.
(1.16.11)
“1” үшін “күмәнсіздік” функцияларын құрастырамыз.
Төртінші, табылған көбейтінділерді логикалық қосу арқы-лы логикалық
функцияны дизъюнктив түрге келтіреміз.
(3.2.14.12)
ІI-тарау. ЛогикалыҚ элементтердІҢ Қолданылуы.
Жоғарыда танысқан Буль алгебрасының элементтерін (логикалық
айнымалыларды, логикалық функцияларды), олардың аналитикалық өрнек, ақиқат
кестесі түрлерінде берілу әдістерін біле отырып, электрониканың өмір
талабынан шық-қан проблемаларын, мәселелерін шешуге болады
2.1. Буль қатынастарын пайдаланып электрондық жүйелерді құрастыру.
1. Дизъюнктив түрінде берілген логикалық функцияға сәйкесті электрондық
жүйені құрастыруды қарастырайық.
Y = х1 + х2 + х3 логикалық теңдеуіне сәйкесті, яғни, онымен анықталатын
логикалық амалдарды жүзеге асыратын электрондық жүйені құрастырайық.
Берілген логикалық теңдеуден электрондық құрылымның шығысында Y-ке тең
мән алу үшін оның кірісіндегі логикалық айнымалыларды бір бірімен “немесе”
деген логикалық амалдармен байланыстыру керектігін байқаймыз.
2.1.1 - сурет. Y = х1 + х2 + х3 логикалық теңдеуінің логикалық амалдары
жүзеге асыратын электрондық құрылым.
Енді күрделірек логикалық
(2.1.1)
теңдеуі арқылы тағайындалатын логикалық амалдарды жүзеге асыратын
электрондық жүйені қарастырайық.
Бұл теңдеу былай оқылады: “х1 емес” және “х2” немесе “х1” және “х2 емес”
немесе “х2 емес” және “х3”.
(2.1.1) теңдеуіне сәйкесті электрондық құрылымды құрастыруды екі саты
арқылы жүргіземіз.
1 - саты. логикалық функцияларына “немесе” логикалық амалын
қолданамыз. Бұл амал мына электрондық құрылыммен жүзеге асырылады.
2.1.2 - сурет. логикалық функцияларының өзара логикалық қосылуын
жүзеге асыратын электрондық құрылым.
2 - саты. Екінші сатыда алдымен “және”, “инверсия” логикалық
элементтері арқылы логикалық функцияларының амалдарын іске асыратын
құрылымдар құрастырамыз.
2.1.3 - сурет. логикалық функцияларының тағайындайтын логикалық
амалдарын жүзеге асыратын құрылымдар.
3 - сатыда 2.1.2 - ші және 2.1.3 - ші суреттердегі құрылым-дарды
біріктіріп 2.1.4 - суреттегі жобаны аламыз.
2.1.4 - сурет. логикалық теңдеуінің тағайындайтын логикалық
амалдарды іс жүзіне асыратын электрондық жоба.
Қорытынды : Дизъюнктив түрінде берілген логикалық функция тағайындайтын
логикалық амалдарды орындайтын электрондық жүйені құрастырғанда
біріншіден, құрастыруды сатылап жұргізу керек, екіншіден, құрастыруды
жобаның шығысынан кірісіне қарай жылжый жұргізу керек.
2. Конъюнктив түрінде берілген логикалық функцияға сәйкесті электронды
жобаны құрастырайық. Логикалық функция
(2.1.2)
теңдеумен берілсін. Бұл функцияға сәйкесті электрондық жобаны екі саты
арқылы құрастырамыз.
1 - сатыда функцияларын логикалық көбейтетін құрылымның
жобасын құрастырамыз (2.1.5-сурет).
2.1.5 - сурет. функцияларын өзара логикалық көбейтуді жүзеге
асыратын электрондық жоба.
2 - сатыда функцияларын жүзеге асыратын эдектрондық
құрылымдар құрастырамыз.
2.1.6 - cурет. , функцияларының тағайындaйтын логикалық
амалдарын жүзеге асыратын электрондық құрылымдардың жобалары.
2.1.7 - сурет. конъюнктив түрінде берілген логикалық
функциясына сәйкесті логикалық амалдарды орындауға арналған электрондық
құрылымның жобасы.
2.1.5 - және 2.1.6 - суреттердегі электрондық жобалар негізінде
берілген функцияның тағайындайтын логикалық амалдарын жүзеге асыратын
электрондық құрылымның жобасын құрастырамыз (2.1.7- сурет).
Іорытынды: Конъюнктив түріндегі логикалық функцияға сәйкесті электрондық
құрылымды құрастыру, біріншіден, конъюнкция, дизъюнкция, инверсия амалдарын
қолдану арқылы екі сатыда екіншіден, құрастыру жобаның ... жалғасы
Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.
Алғы сөз ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..3
І-тарау. Буль алгебрасыныҢ
негІзгІ маҒлҰматтары ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 4
1.1. Логикалық айнымалылар және функциялар
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .4
1.2. Буль алгебрасының негізгі функциялары
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 8
1.3. “Емес”-”Жоққа шығару” (“Инверсия”) –
“Кері айналдыру” логикалық функциясы ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. .9
1.4. “Конъюнкция” (“Және”-”и”) функциясы
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . ... ... .10
1.5. “Немесе” - ”Или” - ”Дизъюнкция”
логикалық функциясы ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...11
1.6. “Және – жоққа шығару” -
”шеффер” (”и - не”) логикалық функциясы ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .12
1.7. “Немесе – жоққа шығару” –
”Пирс” (”или - не”)логикалық функциясы
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..1 2
1.8. “Бірмәнділік” (равнозначность-
эквивалентность)-”Исключающее или-не”,
Әрмәнділік”(неравнозначность)-
”Исключающее или” функциялары ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..13
1.9. “Шеффер” логикалық функциясының
жан-жақтылығы ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..16
1.10. “Инверсия” функциясын пайдаланып
бір логикалық функцияны екінші логикалық
функцияға айналдыру ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...17
1.11.Толықтауыш функциялар ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 1 8
1.12. Буль алгебрасының постулаттары ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..1 9
1.13. Буль алгебрасының заңдары ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 20
1.14. Де Морган постулаттары ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 2 0
1.15. “0” мен “1” үшін күмәнсіздік функциялары
(функция конституенты ”1” и “0”) ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...21
1.16. Дизъюнктив және Конъюнктив түрлерінде
берілген логикалық функциялар ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .22
ІІ-тарау. ЛогикалыҚ элементтердІҢ
Қолданылуы ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..27
2.1. Буль қатынастарын пайдаланып электрондық
жүйелерді құрастыру ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..27
2.2. Логикалық функциясының ақиқат кестесінен
оның аналитикалық өрнегіне көшу әдістері ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 29
2.3. Логикалық функцияны ықшамдау ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 3 0
2.4. Карно картасы ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..3 1
2.5. Аралас цифрлік құрылымдарды талдау
және құрастыру ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 34
ІІІ-тарау. АРАЛАС КомбинациялыҚ
цифрлыҚ ҚҰрылымдар ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .35
3.1. Жұмбақ сандар (коды), жұмбақтауыш
құрылымдар (шифраторы), жұмбақ шешуші
құрылымдар (дешифраторы) ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .35
3.2. Екілік - ондық 8421 жұмбақтау жүйесі
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...35
3.3. “3-ке арттыру әдісіне” негізділген жүйе
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..37
3.4. Дешифраторлар-декодерлер ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..37
3.5. Мультиплексорлар ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .40
3.6. Демультиплексорлар ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..42
3.7. Шифраторлар ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..44
3.8. Сумматорлар ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...45
3.9. Субтракторлар-алғыштар (вычитатели)
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .49
3.10. Цифрлық кoмпараторлар ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 52
Қазақша-орысша сөздік ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . ...53
Орысша-қазақша сөздік ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..64
Тест .
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..75
Қорытынды ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .93
Әдебиеттер ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 94
А л ғ ы с ө з.
Тәуелсіздік алып, егемен ел болуымыздың арқасында қазақ тілінің
мәртебесі өсіп, Қазақстан Республикасының мемлекеттік тілі болып
жарияланды. Осы себептен барлық жоғарғы оқу орындарында, ғылыми мекемелерде
оқуды және іс қағаздарын қазақ тілінде жүргізу қолға алынуда. Екінші
жағынан республикамызда қазақ мектептері мен жоғарғы оқу орындарында қазақ
бөлімдерінің көптеп ашылуы халық ағарту қызметкерлері алдында жаңа
міндеттер қойды. Олардың бастысы қазақ-орыс және орыс-қазақ қостілдігін
одан әрі үйлесімді дамыту, барлық пәндерден жаңарған оқулықтар мен оқу
құралдарын қазақ тілінде жазып жеткілікті мөлшерде жедел бастырып шығару.
Ана тілінде оқулықтар мен көмекші оқу-әдістемелік құралдардың жетіспеуі
ғылым мен техниканың электроника сияқты алдыңғы қатардағы саласына арнап
оқу құралын жазуды қазіргі таңдағы әрі жауапты әрі маңызды істердің біріне
айналдырып отыр. Бұрынғы Кеңес Одағы мен Ресейде жарық көрген кітаптарды
тікелей аударып, оны не оқу құралы не оқулық ретінде пайдалана беру
мүмкіндігі бар болғанымен, ол онша мақтанарлық жәй емес. Осы орайда
ұсынылып отырған дипломдық жұмыс аталған кемшіліктерді біршама бейтараптап
қазақ тілінде оқитын оқушылар мен студенттерге “Цифрлық электрониканың”
негізін жете түсініп, оның тұжырымдарын өмірде еркін пайдалануға мүмкіндік
беретін құрал.
Сондықтан ұсынылып отырған дипломдық жұмыста кездесетін терминдердің
аудармалары ретінде қолданылған әдебиеттер тізіміндегі сөздіктердегі
аудармаларымен қатар, олардың қазақ тіліндегі терезесі тең болатындай
баламалары да пайдаланылады. Оқушыға ыңғайлы болу үшін жұмыстың соңында
қазақша - орысша және орысша - қазақша сөздік берілген. Жұмыс шартты түрде
екі бөлімнен тұрады деп қарастыруға болады. Бірінші бөлімінде цифрлық
электрониканың негізі болып табылатын Буль алгебрасынан мағұлматтар
келтірілген. Оқушыны “логикалық айнымалы”, “логикалық функция”, “логикалық
амалдар” ұғымдарымен таныстырады. Буль алгебрасының теңдіктері, теоремалары
берілген. Екінші бөлімінде цифрлық электрониканың қарапайым құраушылары
және олардың көмегімен цифрлық электрониканың күрделі құрылғыларын
құрастыру мүмкіндіктері көрсетілген. Цифрлық электрониканың “тізбектелген”
және “комбинациялық” құрылғыларының логикалық сызба жобалары, олардың
жұмыстарын анықтайтын ақиқат кестелерімен логикалық функцияларының
аналитикалық түрлері көрсетілген. Аналитикалық өрнек түрінде берілген
логикалық функцияларды ықшамдау, логикалық функциялардың тағайындайтын
амалдарын орындайтын электрондық жобаларды құрастыру әдістері де
баяндалған. Үшінші бөлімді оқу құралында пайдаланған сөздер бойынша
құрастырылған сөздік берілген.
І тарау. Буль алгебрасыныҢ негІзгІ маҒлҰматтары.
1.1 Логикалық айнымалылар және функциялар.
Цифрлық құрылым оның кірісіндегі дабылдың жұмбақ сандарынан (Х1, Х2,
...Хn) логикалық амалдарды қолдану арқылы дабылдың қажетті (шығысындағы)
жұмбақ сандарын (Y1, Y2, ...Ym) алуға мүмкіндік береді. Қолдануға қажетті
логикалық амалдардың жиынтығын - логикалық функцияларды - математикалық
логика (Буль алгебрасы) заңдылықтарына сүйеніп анықтайды. Цифрлық
электроника құрылымының күйін, жұмыс істеу барысын сипаттау үшін Буль
алгебрасының “логикалық айнымалы”, “логикалық функция” деген ұғымда-рын
пайдаланады. Логикалық айнымалылар ретінде төмендегі-дей қосалқы
тұжырымдар қолданылады: “шын” - ”өтірік”, не “ақиқат” -”жалған”, не “иә”-
”жоқ”, не “1”-”0”. Логикалық айнымалылардың “1” және “0” мәндері көбірек
пайдаланылады. (Ескерту: Логикалық айнымалылардың “1”, “0” мәндеріне
арифметикалық амалдар қолдануға болмайды). Логикалық айнымалылар шаппа,
айырғыш - қосқыш т.т. сияқты нысандар-дың күйлерін (ашық - жабық, немесе,
қосылған - қосылмаған, немесе, бар - жоқ, сияқты күйлерін) өте дәл
сипаттайды.
Сонымен, цифрлік электроникада логикалық айнымалы-лар екі логикалық
тұжырымдарға сәйкесті “1” және “0” мән-дерін қабылдайды.
Логикалық функция логикалық айнымалыларға қолданы-латын логикалық
амалдарды анықтайды. Логикалық функциялар Ү1, Ү2 , ...,Үm логикалық
айнымалылардың мәндерінің комбинацияларына және оларға қолданылатын
логикалық ама-лдар жиынтығына байланысты не “логикалық ақиқат” - “1”, не
“логикалық жалған” - “0” тұжырымдарын тағайындайды, қабылдайды.
Әрқайсысы тек “0” немесе “1” мәндерін қабылдайтын саны К - ға тең
логикалық айнымалылардың әртүрлі комбина-цияларының саны 2к - ға тең.
Мысалы, логикалық айнымалылардың саны К = 2 болғанда, олар арқылы құрылатын
комбинациялардың саны 22 = 4 ке тең: х1 х2 = 00, 01, 10, 11. Логикалық
айнымалылардың әр комбинациясына және олардың араларындағы қолданылатын
логикалық амалдарға байланысты логикалық функция не “логикалық ақиқат” -
“1”, не “логикалық жалған” - “0” тұжырымдарын тағайындайды.
Саны К - ға тең логикалық айнымалыларға тәуелді логи-калық функцияларды
үш логикалық амалдарды: “логикалық жоққа шығару” ( - ), “логикалық қосу” (
+ ; v ), “логикалық көбейту” (Š ; ( ; &) пайдаланып құрастыруға болады.
Логика-лық тұжырымдардың өзара тепе-теңдігін ( = ) белгісі арқылы
көрсетеді.
Төменде 1.1.1 - кестеде “логикалық жоққа шығару”, “ло-гикалық қосу”,
“логикалық көбейту” амалдарын х1 және х2 логикалық айнымалыларына қолдану
арқылы логикалық “жоққа шығару” - ”инверсия”, “логикалық қосу” -
”дизъюнкция”, “логикалық көбейту” - ”конъюнкция” логикалық функцияларын
құрастыру мысалдары көрсетілген.
Бұл кестені логикалық функцияларының ақиқат кестесі дейді.
Сонымен, ақиқат кесте логикалық функциялардың логикалық айнымалыларының
мәндерін және оларға қолданылатын логикалық амалдарымен анықталатын
логикалық тұжырымдарды тағайындайды.
1.1.1 - к е с т е .
Логикалық Логикалық “логикалық “логикалық
айнымалы- “жоққа шығару” қосу”-”ди- көбейту”-
лар -”инверсия” зъюнкция” ”конъюнкция”
функциясы функциясы функциясы
x1 x2 Y1 =Ү2 = x2 Ү = x1 ( x2Ү = x1 ( x2
0 0 x1 1 0 0
0 1 1 0 1 0
1 0 1 1 1 0
1 1 0 0 1 1
0
Сонымен логикалық функцияларды екі әдіспен Буль ал-гебрасының өрнектері
арқы-лы (аналитикалық өрнек әдісі), не кестеге толтырылған мәндер
(ақиқат кестесі) арқылы беруге болатындығын көреміз.
Логикалық айнымалы, әсіресе, логикалық функция ұғым-дарын тереңірек
түсіну үшін мына төмендегі өмірден алынған мысалдарды қарастырайық.
1 - мысал ретінде абитуриенттің оқуға түсу мүмкіндігін қарастырайық.
Егер жолға ақша болса, емтиханнан жеткілікті ұпай алса, абитуриент жоғарғы
оқу орнына түседі деген тұжы-рымды логика алгебрасының қағидалары арқылы
өрнектейік. Мұнда оқуға түсу түспеуін анықтайтын логикалық Ү - функциясының
мәні екі: х1 - жолға ақшаның бар - жоқтығын (“бар” - ”1”, “жоқ” - ”0”), х2
- емтиханнан жеткілікті ұпай алған - алмағандығын көрсететін х1 және х2
логикалық айнымалардың мәндеріне байланысты. Сондықтан, абитуриенттің
оқуға түсу - түспеуін анықтау үшін х1, х2 логикалық айнымалылардың
мәндерінің әртүрлі комбинацияларымен және олардың арасында қолданылатын
логикалық амалдармен анықталатын логикалық Ү - функциясының мәндерін
анықтауымыз керек.
Абитуриенттің оқуға түсуін анықтайтын “иә түсемін” деген оң жауап алу
үшін, яғни логикалық Ү - функциясының мәні “иә” - ”1” деген мән қабылдау
үшін, логикалық х1, х2 ай-нымалылар бір мезгілде, қатарынан “1”- мәнін
қабылдаулары керек. Басқаша айтқанда, логикалық айнымалылар “1”- мәнін
қабылдап олар өзара “және” деген сөзбен жалғастырулары керек. Яғни, х1 = 1
және х2 = 1 болса Ү = 1 болады. Ал, егер екі логикалық айнымалылардың ең
болмағанда біреуі “0” деген мән қабылдаса Ү - функциясы “0” мәнін қабылдап,
“жоқ” - ”жоқ абитуриент оқуға түспейді” деген теріс логикалық тұжы-рым
алынады.
Қорытынды:
Абитуриенттің оқуға түсу түспеуін анықтау үшін, яғни х1, х2 логикалық
айнымалыларына тәуелді логикалық Ү - функциясының мәндерін анықтау үшін;
- бірінші, х1, х2 логикалық айнымалыларының мәндерінің жиынтықтарының
комбинацияларын: 0,1; 1,0; 0,0; 1,1 табу керек;
- екінші, айнымалылардың мәндерін “және” деген логикалық сөзбен
жалғастыруымыз керек: “0” және”1”, не “1” және ”0”, не “0” және “0”, не “1”
және “1”. Логикалық алгебра тілімен айтқанда х1, х2 айнымалылары өзара
“логикалық кө-бейтілулері” керек.
Логикалық көбейту функциясының ( Ү ) логикалық айнымалыларға тәуелділігі
не
Ү = х1. х2 ; Ү = х1 ( х2 ; Ү = х1 ( х2 (1.1.1)
өрнектерінің бірімен, не төмендегі 3.1.1- ақиқат кестесімен беріледі.
(1.1.1) - өрнегімен 1.1.1- кестесіндегі “.”, “(“, “(“ белгілер “логикалық
көбейту” амалының әртүрлі таңбалары.
Екінші мысал ретінде “Жигули” мәшинесін сатып алу - алмау
мәселесін қарастырайық.
Жигули мәшинесін сатып алу мүмкіндігі мына жағдайларға байланысты:
біріншіден, мәшинені сатып алу қажеттігі бар - жоқтығына, екіншіден, сатып
алушыда мәшинені жүргізуге рұқсат қағаз бар - жоқ екендігіне, үшіншіден,
мәшинені сатып алуға жеткілікті ақша бар - жоқтығына байланысты.
1.1.2 - к е с т е
л о г и к а л ы қ
Аргументтер функция
х1 х2 Ү = х1 ( х2
0 0 0
0 1 0
1 0 0
1 1 1
Бұл жағдайларды логикалық айнымалылар деп атап, мәшинені сатып алу
мүмкіндігін мына төмендегі 1.1.2 - кестедегідей жүйелеп көрсетуге болады.
Сонымен мәшинені сатып алу мәселесі үш жағдайдың ор-ындалуына
байланысты. Жоғарыдағы үш сұрақтың үшеуіне де бір мезгілде - қатарынан “иә”
деген оң жауаптар алынғанда ғана “иә” мәшине сатып алуға болады деген
оң қорытынды
1.1.3 - к е с т е
кірістегі айнымалылар шығыстағы айнымалылар
Логикалық Логикалық
Сұрақтар Жауаптар Сұрақ жауап-шешім
Мәшинені
х1 сатып алу Иә
єажеттігі бар
ма? Мәшине
сатып иә
алынды ма?
Мәшине
х2 жүргізуге Иә
рұқсат қағаз
бар ма?
Мәшинені
х3 сатып алуға Иә
жеткілікті
ақша бар ма?
алынады. Ал, егер үш сұрақтың ең болмағанда біреуіне “жоқ” деген жауап
алынса, онда “жоқ мәшине сатып ала алмаймыз” деген теріс логикалық тұжырым
алынады.
Сонымен, мәшинені сатып алуға жол ашатын “иә” деген оң жауап алу үшін,
біріншіден, қойылған үш сұраққа да “иә” деген үш жауап алынуы керек,
екіншіден ол логикалық жауаптар бір-бірімен “және” деген сөзбен өзара
жалғанулары керек, яғни “иә” деген жауаптардың арасында міндетті түрде
“және” деген сөздер болуы керек.
Математикалық логикада “иә” деген логикалық жауаптарды логикалық
айнымалылар дейді, ал олардың өзара байланыстарын, қарым-қатынасын, яғни
логикалық айнымалыларға қолданылатын логикалық амалдарды анықтайтын “және”
деген логикалық сөздерді логикалық функция дейді. “және” логикалық
функция “логикалық көбейтуді” анықтайды, яғни “және” деген сөзбен
жалғанған логикалық айнымалылар өзара “логикалық көбейтілуі” керек.
Ал, жоғарыдағы үш сұрақтың ең болмағанда біреуіне “иә”, ал қалғандарына
“жоқ” деген жауап алынған күнде мәшинені сатып алу-алмауын анықтайтын “иә”
деген оң логикалық жауап алыну үшін олар өзара “немесе” деген логикалық
сөзбен жалғастырылуы керек. Бұл жағдайда логикалық айнымалыларды
байланыстыратын “немесе” деген логикалық сөз логикалық функция болады.
“немесе” деген логикалық функция “логикалық қосу” амалын анықтайды, яғни
“немесе” деген логикалық сөзбен жалғастырылған логикалық айнымалылар өзара
логикалық қосылуы қажет.
Логикалық қосу математикалық логикада “+” не “V” таң -баларымен
белгіленеді.
Қалай болса да “және”, “немесе” логикалық функцияларының мәндері “иә” не
“жоқ” деген логикалық жауап болу керек.
Логикалық функциялар мәндерінің логикалық айнымалыларға байланысын
ақиқат кестесі арқылы беруге болады.
Аргументтері “иә” – “1” , “жоқ” – “0” логикалық айнымалылары болатын
және логикалық функциясының ақиқат кестелері төмендегі (1.1.4) және (1.1.5)
кестелерінде берілген.
1.1.4 - к е с т е
кірістегі айнымалылар “және” функ-ның мәні
ақша жѕргізуге қажетті
бар ма?рұқсат ақша бармәшине сатып алынды
қа-ғаз барма? ма?
- Б ма?
- Ә - А
0“жоқ” “жоқ” “жоқ” “жоқ” Мәні “жоқ” деген логикалық
1“жоқ” “жоқ” “иә” “жоқ” жауап болатын “немесе”
2“жоқ” “иә” “жоқ” “жоқ” логикалық функциясы.
3“жоқ” “иә” “иә” “жоқ”
4“иә” “жоқ” “жоқ” “жоқ”
5“иә” “жоқ” “иә” “жоқ”
6“иә” “иә” “жоқ” “жоқ”
7“иә” “иә” “иә” “иә” ”иә”үшін “және” функциясы.
1.1.5 ( к е с т е
кірістегі айнымалылар “және” функциясының мәні
ақша мәшинені Мәшине-
бар жүргізуге ні сатып
ма? рұқсат алу мәшсатып алынды
қағазы барқажеттігіинема?
ма? бар ма?
- Б - Ә - А
0“0” “0” “0” “0”Мәні “0”-“жоқ” деген
1“0” “0” “1” “0”логикалық жауап болатын
2“0” “1” “0” “0”“немесе” логикалық
3“0” “1” “1” “0”функциясы.
4“1” “0” “0” “0”
5“1” “0” “1” “0”
6“1” “1” “0” “0”
7“1” “1” “1” “1”“1”үшін “және”
функциясы.
1.2. Буль алгебрасының негізгі функциялары.
Буль алгебрасының негізінде “және” - ”конъюнкция”, “немесе” - ”или” -
”дизъюнкция”, “инверсия” (“жоққа шығару”, не “емес”, не “кері айналдыру”),
т.т. функциялары жатады. Осы функцияларды жеке-жеке қарастырайық.
1.3. “Емес”-”Жоққа шығару” (“Инверсия”) - “Кері айналдыру” логикалық
функциясы.
“Жоққа шығару”-”инверсия” логикалық функциясы логикалық тұжырымды жоққа
шығарып, кері тұжырымға айналдырады. “Инверсия” функциясының әсерінен “иә”
тұжырымы “жоқ” тұжырымына, яғни логикалық “1” логикалық “0”-ге айналады
және керісінше логикалық “0” логикалық “1”- ге айналады.
“Инверсия” функциясын (Ү) логикалық айнымалының төбесінде сызылған
сызықпен көрсетеді:
Бұл функция былай оқылады: “игірік x1 емес”, “игірік x2 емес”.
“Инверсия” функциясы сызба бейнелерде мына таңбала-рымен белгіленеді :
1.3.2
1.3.2 - сурет. “Инверсия” логикалық функциясының сызба жобадағы шартты
белгісі.
“Жоққа шығару” - ”инверсия” функциясының қызметін тағайындайтын амалын
мына төмендегі электр тізбегі арқылы жүзеге асыруға болады.
1.3.3
1.3.3 - сурет. “Инверсия” логикалық функциясының тағайындайтын
логикалық амалдарын жүзеге асыруға арналған электр тізбегі.
“Инверсия” функциясының ақиқат кестесі мынандай:
1.3.1- к е с т е
х1
0 1
1 0
1.3.1- сурет. “Инверсия” логикалық функциясы-ның ақиқат кестесі.
1.4. “Конъюнкция” (“Және”-”и”) функциясы.
“Және”-”конъюнкция” функциясы (Ү) логикалық айнымалыларды (х1, х2) өзара
логикалық көбейтуді талап етеді. “Конъюнкция” төмендегі алгебралық
өрнектермен анықталады.
(1.4.1)
“Және”-”конъюнкция” функциясының сызба жобалардағы белгілері:
1.4.2
1.4.2 - сурет. “Конъюнкция” функциясының сызба жобадағы шартты белгісі.
“Конъюнкция” логикалық функциясын айырғыш-қосқыш (вентиль, кран, кілт,
т.т.) қызметін атқаратын функция ретінде пайдалануға болады. “Конъюнкция”
логикалық функциясының тағайындайтын амалын, мына төмендегі электр тізбегі
арқылы іске асыруға болады.
1.4.3
1.4.3. - сурет. “Конъюнкция” логикалық функциясы тағайындайтын
логикалық амалдарын жүзеге асыру мүмкіндігін түсіндіретін электр
тізбегі.
1.4.1.- к е с
т е
х1 х2 Ү = х1
х2
0 0 0
0 1 0
1 0 0
1 1 1
1.4.1 - сурет. “Конъюнкция” - логикалық фун-кциясының ақиқат кестесі.
“Және”-”конъюнкция” логикалық функциясы үшін мына төмендегі тепе-
теңдіктер - аксиомалар орындалады.
1.5. “Немесе” - ”Или” - ”Дизъюнкция” логикалық функциясы.
“Немесе”-“дизъюнкция” логикалық функциясы логика-лық айнымалыларды бір
бірімен қосуды талап етеді.
Ең болмағанда біреуі логикалық “1” мәнін қабылдайтын логикалық х1, х2,
х3 ... айнымалыларына “немесе”-”дизъюн-кция” логикалық функциясы анықтайтын
логикалық қосуды, қолданғанда логикалық “1” шығады.
“Немесе”-”дизъюнкция” логикалық функциясының логикалық теңдеулері:
1.5.1- к е с т е
х1 х2 Ү = х1 ( х2
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 1
1.5.1 – сурет. “Немесе” - ”дизъюнкция” логика-лық функциясының ақиқат
кестесі.
1.5.2 - сурет. “Дизъюнкция” функциясының сызба
жобадағы шартты белгісі.
1.5.3 - сурет. “Дизъюнкция” логикалық функциясы тағайындайтын
логикалық қосу амалын жүзеге асыратын электр тізбегі.
1.6. “Және – жоққа шығару” - ”шеффер” (”и - не”) логикалық функциясы.
“Шеффер” логикалық функциясы логикалық айнымалыларға “конъюнкция” және
“инверсия” логикалық амалдарын бірінен кейін бірін қолдануды талап етеді.
“Шеффер” функциясы логикалық “1” мәнін қабылдау үшін оның логикалық
аргументтері барлығы бірдей – бір мезгілде логикалық “1” мәнін қабылдамау
керек. Басқаша айтқанда, “шеффер” функциясы “0” мәнін аргументтердің бір
ғана комбинациясында, тек барлығы бір мезгілде “1”-ге тең болған- да ғана
қабылдайды.
1.6.1 - сурет. “Шеффер” функциясының сызба жобадағы шартты белгісі.
(1.6.2) – өрнектерімен “Шеффер” функциясының Буль алгебрасындағы
аналитикалық түрі беріледі.
“Шеффер” функциясы ақиқат кестесі.
1.6.1-к е с т е
айнымалылар“шеффер”
функциясы
х1 х2
0 0 1
0 1 1
1 0 1
1 1 0
1.7. “Немесе – жоққа шығару” – ”Пирс” (”или - не”)логикалық функциясы.
“Пирс” функциясы логикалық айнымалыларға “дизъюнк-ция”, “инверсия”
логикалық амалдарын бірінен кейін бірін қолдануды талап етеді.
“Пирс” функциясы логикалық “1” мәнін қабылдау үшін оның логикалық
аргументтері қатарынан - бір мезгілде логикалық “0” мәнін қабылдаулары
керек.
“Пирс” функциясы сызба жобада төмендегі белгілерімен көрсетіледі.
1.7.1 - сурет. “Пирс” функциясының сызба жобадағы шартты белгілері.
“Пирс” функциясы Буль алгебрасында
теңдеулерімен анықталады.
“Пирс” функциясы төмендегі ақиқат кестесімен беріледі.
1.7.1 - к е с т е
Логикалық Логикалық “ПИРС”
айнымалылар функциясы
х1 х2
0 0 1
0 1 0
1 0 0
1 1 0
1.8. “Бірмәнділік” (равнозначность-эквивалентность)
-”Исключающее или-не”, Әрмәнділік”(неравнозначность)
-”Исключающее или” функциялары.
“Дизъюнкция”, “конъюнкция” және “инверсия” қарапай- ым логикалық
функциялар жиыны арқылы кезкелген логикалық функцияны құрастыруға болады.
Сондықтан, бұл үш қара- пайым логикалық функциялар, толық жиын құрайды.
Мысал ретінде, ЭЕМ-де пайдаланатын біраз логикалық функцияларды,
жоғарыдағы үш қарапайым логикалық функциялар арқылы құрастыруға
болатындығын көрсетейік.
“Әрмәнділік” логикалық функциясын “2 модуль бойынша қосу” функциясы деп
те атайды. Осы “әрмәнділік” функциясын қарастырайық.
“Әрмәнділік” функциясының сызба жобадағы шартты белгісі.
1.8.1 - сурет. “Әрмәнділік” логикалық функциясының сызба жобадағы
шартты белгісі
Егер х1, х2 логикалық айнымалылары бір мезгілде тең мәндер қабылдаса,
яғни х1 = х2 болса “әрмәнділік” логикалық функциясы “0”- дік мән
қабылдайды, ал егер х1 ( х2 болса, онда ол “1”- ге тең болады. Бұл
функцияны жоғарыдағы қарапайым функциялар арқылы былай құрастыруға болады:
(1.8.2)
“Әрмәнділік” (исключающее “или”) функциясы мына төмендегі ақиқат кестесі
арқылы беріледі.
1.8.1 - к е с т е
[pic[pic
] ]
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 0
Сонымен, “және”, “немесе”, “жоққа шығару” үш қарапа-йым логикалық
функцияларының жиыны толық жиын құрады.
“2 модуль бойынша қосу” логикалық функциясын “және”, “немесе”,
“логикалық жоққа шығару” логикалық функциялары арқылы құрастыру
мүмкіндіктерін төмендегі сызба жобалардан байқауға болады.
1.8.3 - сурет. “Әрмәнділік” логикалық функциясын қарапайым логикалық
функциялар арқылы құрастырудың үлгісі.
“2 модуль бойынша қосу” логикалық функциясының мына төмендегі маңызды
қасиеттеріне көңіл аударайық:
(1.8.4)
(1.8.5)
(1.8.6)
(1.8.7)
(1.8.8)
(1.8.4) тендігінен “2 модуль бойынша қосу” логикалық функциясының
аргументтерінің бірін логикалық кері тұжырымдасақ, оның шығысында да кері
тұжырым пайда болатындығы шығады. (1.8.4), (1.8.5) теңдіктерінен М2
функциясын сәйкесті құрылымның жұмысын реттеп басқаруға пайдалануға
болатындығын көрсетуге болады. Мысалы, құрылымның белгілі бір кірісіне не
логикалық “0”, не логикалық “1” түсірілсе оның екінші кірісіне түсірілген
ақпарат не өзгеріссіз қалады (1.8.4), не логикалық кері тұжырымға
айналады (1.8.6). М2 функциясы тағайындаған логикалық амалдарды орындайтын
цифрлық құрылым жұмысы реттелмелі инвертор болады. Іұрылымның басқарушы
кірісіндегі логикалық айнымалы х2 логикалық “1” қабылдаса, оның екінші
кірісіне түсірілген логикалық ақпарат х1 ол арқылы өткенде кері тұжырымға
айналады, яғни құрылым өзінен өткен дабылға “инверсия” логикалық
амалын қолданады.
“Бірмәнділік” логикалық функциясын қарастырайық. Бір мезгілде х1, х2
логикалық айнымалылары тең мәндер қабыл-дағанда, яғни х1 = х2 = 1 не х1 =
х2 = 0 болғанда “бірмәнділік” функциясы логикалық “1” мәнін қабылдайды ал
х1 ( х2 болса - “0” мәнін тағайындайды. “Бірмәнділік” функциясын жоғары-
дағы қарапайым логикалық функциялары арқылы былай құрас- тыруға болады:
(1.8.9)
“Бірмәнділік” функциясының сызба жобадағы шартты белгісі.
1.8.10 - сурет. “Бірмәнділік” функциясының сызба жобадағы шартты
белгісі.
“Бірмәнділік” (“исключающее или - не”) функциясын төмендегі ақиқат
кестесі арқылы беруге болады
1.8.2-к е с т е
[pic[pic
] ]
0 0 1
0 1 0
1 0 0
1 1 1
функцияларының ақиқат кестелерін мүқият талдау негізінде мынандай
маңызды қорытындылар жасауға болады:
не логикалық функцияларының тағайындайтын логикалық амалдарын
орындайтын цифрлық құрылымды екі логикалық тұжырымдарды өзара салыстыратын
құрылым ретінде пайдалануға болады. Мысалы, функциясының негізінде
құрылған цифрліық құрылымды қарастырайық (1.8.11-сурет)
1.8.11 - сурет. “Бірмәнділік” функциясының амалдарын орындайтын
құрылымның салыстырғыш құрал ретінде пайдалануға болатындығын түсінді-
руге арналған сызба жоба.
Мұнда құралдың х2 кірісіне белгілі дабылға сәйкесті логикалық айнымалының
мәні түсіріледі.Ал х1-кірісіне белгісіз дабыл беріледі. Егер белгісіз дабыл
х2 кірісіндегі дабылмен бірдей болса құрылымның шығысындағы “1” шығады,
яғни Ү==1 болады, ал егер х1 кірісіндегі дабыл х2 белгілі дабылдан
өзгеше болса Ү==0 болады, яғни құрылымның шығысынан “0” мәні шығады.
1.9. “Шеффер” логикалық функциясының жан-жақтылығы.
Жоғарыда “дизъюнкция”, “конъюнкция”, “инверсия”, “шеффер”, “пирс” т.т.
негізгі қарапайым логикалық функцияларымен таныстық.
1.9.1 - к е с т е
Логикалық Шартты “және-жоққа
функция Белгі шығару”логика- лық
функциясы арқылы құра
стыру үлгісі
“инверсия”
“дизъюн-кц
ия”
“конъюн-кц
ия”
“немесе-
жоққа
шы-ғару”
“әрмән-діл
ік”-”М2”
“бірмән-ді
лік”
1.9.1 - сурет. Қарапайым негізгі логикалық функцияларды “шеффер”
логикалық элементі негізінде құрастырудың үлгісі.
Алғашқы үш логикалық функциялар жиыны толық жиын құрса, кейінгі
“шеффер”, “пирс” функциялардың әрқайсысы толық жиын құрады.
“Шеффер” логикалық функциясы тағайындайтын логикалық амалдарды жүзеге
асыратын электрондық құралдар көп кездеседі. Сондықтан “шеффер” функциясы
арқылы басқа логикалық функцияларды қалай құрастыруға болатындығын
қарастырайық.
1.9.1 - кестеде “шеффер” функциясын пайдаланып “дизъюнкция”,
“конъюнкция”, “инверсия”, “пирс”, “әрмәнділік”, “бірмәнділік” функцияларын
құрастырудың жол-дары көрсетілген.
1.10 “Инверсия” функциясын пайдаланып бір логикалық функцияны екінші
логикалық функцияға айналдыру.
Күнделікті өмірде негізгі “конъюнкция”, “дизъюнкция”, “инверсия”,
“немесе-жоққа шығару” функцияларды пайдаланып басқа логикалық функцияларды
жасау керек болады. Бұл өмірдің талабын “инверсия” логикалық функциясы
арқылы қанағаттандыруға болады.
“Инверсия” функциясын пайдаланып, бір логикалық функцияны екінші
логикалық функцияға айналдыру әдістері 1.10.1 - суретте көрсетілген.
Мысалы, “конъюнкция” функциясының кірістеріндегі айнымалыларға “инверсия”
амалын қолдансақ, ол “пирс” логикалық функциясына айналады.
1.10.1 - сурет. “Конъюнкция” функциясының кіріс теріндегі айнымалыларға
“инверсия” амалын қолдансақ, ол “немесе – жоққа шығару” функциясына
айналатындығын көрсететін жоба.
1.10.1 - к е с т е
Логикалық элементтің шығысына
“инверсия” амалын қолдану
Логикалық элементтің кірісіне
“инверсия” амалын қолдану
Логикалық элементтің кірісіне де
шығысына да “инверсия” амалын
қолдану
1.10.2 - сурет. “Инверсия” функциясын пайдаланып логикалық функцияларды
өзгертуді түсіндіруге арналған кесте
1.11. Толықтауыш функциялар.
Бір біріне толықтауыш функциялар ұғымын жете түсіну үшін үш аргументі
(х1, х2, х3) “конъюнкция”, “дизъюнкция” логикалық функцияларының ақиқат
кестелерін мұқият қа- растырайық.
1.11.1 - кесте
х2 х3Y = х1 ( х2 ( х2 х3 Y = х1 ( х2 ( х3
х1 х3 х1
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0 1 1
0 1 0 0 0 1 0 1
1 0 0 0 1 0 0 1
0 1 1 0 0 1 1 1
1 0 1 0 1 0 1 1
1 1 0 0 1 1 0 1
1 1 1 1 1 1 1 1
а) б)
1.11.1 - сурет. “Конъюнкция” (а), “дизъюнкция” (б) логикалық
функцияларының ақиқат кестелерін өзара салыстыруға арналған деректер.
“Конъюнкция”, “дизъюнкция” логикалық функцияларының ақиқат кестелерінен
мынандай қорытындылар жасауға бо- лады.
1. а - ақиқат кестесі кірісіндегі логикалық “1”- лер үшін “конъюнкция”
логикалық функциясын, ал кірісіндегі логикалық “0”- дер үшін “дизъюнкция”
логикалық функциясын аны-қтайды.
2. б - ақиқат кестесі кірісіндегі логикалық “1”- лер үшін “дизъюнкция”
логикалық функциясын, ал кірісіндегі логикалық “0”- дер үшін “конъюнкция”
логикалық функциясын аны-қтайды.
3. а - ақиқат кестесімен анықталатын функцияға “инверсия” амалын
қолдансақ б - ақыйқат кестесімен анық- талатын функция шығады. Басқаша
айтқанда “конъюнкция” функциясы “дизъюнкция” функциясының толықтауышы және
керісінше, “дизъюнкция” функциясы “конъюнкция” функциясының толықтауышы,
яғни
қатынастары орындалады.
- айнымалысы х - айнымалысының толықтауышы болса,
(1.11.1)
теңдеулері орындалады. Мысалы, логикалық айнымалылары 0 және 1
логикалық айнымалыларының толықтауыштары, яғни
(1.11.2)
теңдіктері орындалады.
1.12. Буль алгебрасының постулаттары.
“Конъюнкция”, “дизъюнкция”, “инверсия”, функцияларының ақыйқат
кестелерінен мынандай постулаттар шығады.
“Конъюнкция” логикалық функциясы үшін
(1.12.1)
“Дизъюнкция” логикалық функциясы үшін
(1.12.2)
“Инверсия” логикалық функциясы үшін
(1.12.3)
қатынастары дұрыс болады.
1.13. Буль алгебрасының заңдары.
Буль алгебрасының постулаттарын және толықтауыш функцияларының
қасиеттерін пайдаланып күрделі өрнектерді ықшамдауға болады. Ол үшін
логикалық айнымалылармен (х) және олардың толықтауыштарын логикалық қосынды
не логикалық көбейтінді ретінде топтау керек.
Күрделі теңдеулерді ықшамдауда қолданылатын, теңдік-тер:
Бұл теңдіктердің дұрыстығына теңдіктің екі жағындағы логикалық
функциялардың ақиқат кестелерін тікелей құрас-тыру арқылы көз жеткізуге
болады.
1.14. Де Морган постулаттары.
1-постулат. Логикалық айнымалылардың логи-
калық қосындыларының толық-
тауышы айнымалылардың толық-
тауыштарының логикалық көбей-
тіндісіне тең:
(1.14.1)
2-постулат. Логикалық айнымалылардың логи-
калық көбейтінділерінің толықтау-
ышы айнымалылардың толықтау-
ыштарының логикалық қосынды-
сына тең:
(1.14.2)
Де Морган постулаттарының қорытындыларының орындалатындығына “және –
жоққа шығару”, “немесе – жоққа шығару” логикалық функцияларының ақиқат
кестелерін мұқият талдау арқылы көз жеткізуге болады.
a) 1.14.1 - к е с т е
[p[pi[pi
icc] c]
]
0 0 0 1 1
0 0 1 1 1
0 1 0 1 1
1 0 0 1 1
0 1 1 1 1
1 0 1 1 1
1 0 0 1 1
1 1 1 0 0
б)
[pic[pic[pic
] ] ]
0 0 0 1 1
0 0 1 0 0
0 1 0 0 0
1 0 0 0 0
0 1 1 0 0
1 0 1 0 0
1 1 0 0 0
1 1 1 0 0
1.14.1 - сурет. Де Морган постулаттарының тұжырымдарының дұрыстығын
талдауға арналған “және – жоққа шығару” (а), “немесе – жоққа шығару” (б)
логикалық функцияларының ақиқат кестелері
1.15. “0” мен “1” үшін күмәнсіздік функциялары (функция конституенты ”1” и
“0”).
Жоғарыда “конъюнкция”, “дизъюнкция”, “шеффер”, “Пирс” т.т. функцияларын
қарастырдық. Енді осы логикалық функцияларды басқа қырынан зерттейік. Ол
үшін ”“0” мен “1” үшін “күмәнсіздік функциясы” - “конституента функциясы”
ұғымын ендірейік.
Егер n аргументті логикалық функциясы аргументтердің тек бір ғана
комбинациясында “0”- мәнін қабылдап, ал басқа (2n-1) комбинацияларында “1”-
лік мән қабылдаса, онда оны “0”- дік мән үшін “күмәнсіздік функциясы” -
“конституента функциясы” дейді.
“Конъюнкция”, “дизъюнкция”, “пирс”, “шеффер” т.т. функциялары не “0” не
“1” мәндері үшін “күмәнсіздік” функциясы болады.
Дизъюнкция функциясы “0” мәні үшін “күмәнсіздік” функциясы. Себебі, ол
оның барлық аргументтері бір мезгілде “0” мәнін қабылдағанда ғана “0”-ге
тең болады. Ал аргументтерінің мәндерінің басқа комбинацияларында ол “1”-ге
тең мән қабылдайды (3.2.1.3-кесте).
“Конъюнкция” функциясы “1” үшін “күмәнсіздік” функциясы. Себебі ол
аргументтері тегіс бір мезгілде “1” мәнін қабылдағанда ғана “1”-ге тең
болады. Ал, аргументтерінің мәндерінің басқа комбинацияларында ол “0”-ге
тең болады (3.2.1.1-кесте).
Дәл осы сияқты “пирс” функциясы аргументтері бәрі тегіс бір мезгілде “0”
мәнін қабылдағанда ғана “1”-ге, ал аргумент-терінің мәндерінің басқаша
комбинациаларында “0”-ге тең болады (3.4.1-кесте). Яғни “пирс” логикалық
функциясы “1”-үшін “күмәнсіздік” функциясы болады.
“Шеффер” функциясының аргументтері бір мезгілде “1”-мәнін қабылдағанда
ғана “0”- ге тең болып, ал басқа комбинацияларында “шеффер” функциясы “1”
- лік мән қабылдайды (3.3.1-кесте).
Жоғарыдағы деректерден “конъюнкция”, “дизъюнкция”, “пирс”, “шеффер”
функциялары “1” не “0” үшін “күмән-сіздік” функциялар тобын құрайтындығын
байқаймыз.
1.16. Дизъюнктив және Конъюнктив түрлерінде берілген логикалық функциялар
Жоғарыдағы қарапайым логикалық функциялар логикалық жүйелерді, цифрлық
құрылымдарды талдау, құрастыру үшін пайдаланылады. Бұл функциялардың
көмегімен кезкелген күрделі логикалық функцияны құрастыруға болады.
Логикалық функцияларды құрастыруға өте ыңғайлы функциялар мыналар:
“инверсия”, “конъюнкция”, “дизъюнкция”.
“Дизъюнктив” және “конъюнктив” түрлеріндегі функциялар ұғымдарына
тоқталайық.
Егер логикалық функция “инверсия” және “конъюнкция” амалдарын қолдану
арқылы құрастырылған қосылғыштардың логикалық қосындысынан тұрса, басқаша
айтқанда, логикалық функция логикалық айнымалылармен (х) олардың сәйкесті
толықтауыштарының логикалық көбейтінділерінің логикалық қосындысынан
тұрса, ондай логикалық функцияны дизъюнктив түрінде берілген функция дейді.
Мысалы:
(1.16.1)
Егер логикалық функция әрқайсысы “дизъюнкция” және “инверсия” логикалық
амалдарын қолдану нәтижесінде құрастырылған логикалық көбейткіштердің
көбейтіндісінен тұрса, ондай логикалық функцияны конъюнктив түрде берілген
логикалық функция дейді.
Мысалы:
(1.16.2)
Енді күрделі логикалық функцияларды дизъюнктив не конъюнктив түрлеріне
келтіру әдістерін қарастырайық.
Кезкелген n аргументті “0” не “1” үшін “күмәнсіздік” функциясын
аргументтеріне логикалық жоққа шығару, қосу, көбейту амалдарын қолдану
арқылы дизъюнктив және конъюнктив түрлеріне келтіруге болатындығын
көрсетейік.
а) Логикалық функцияны дизъюнктив түрге келтіруді қарастырайық.
n аргументті логикалық функциясы, оны “1”- ге айналдыратын
аргументтерінің бірнеше тобымен (комбинацияларымен) берілсін.
Берілген логикалық функцияны дизъюнктив түрінде жазуды мына ретпен
жүргізеді :
Әр топтағы аргументтерді пайдаланып логикалық көбейту, логикалық жоққа
шығару амалдары көмегімен “1” үшін “күмәнсіздік” функциясын құрастырамыз.
Ол үшін
1. Әр топтың “0”дік мән қабылдайтын аргументтеріне “жоққа шығару”
логикалық амалын қолдану, ал қалған аргументтерін өзгеріссіз қалдыру
нәтижесінде жаңа топтар аламыз.
2. Табылған әр жаңа топтағы аргументтерді өзара логикалық көбейтіп, “1”
үшін логикалық күмәнсіздік функцияларын құрастырамыз.
3. Табылған “1” үшін “күмәнсіздік” функцияларын өзара логикалық қосу
нәтижесінде дизъюнктив түрде жазылған логикалық функция аламыз.
Мысалы: 4 аргументті логикалық функциясы аргумент-тердің мына екі тобы
арқылы “1”- ге айналдырылсын:
х1 = 1, х2 = 0, х3 = 1, х4 = 0,
х1 = 0, х2 = 0, х3 = 1, х4 = 0. (1.16.3)
Берілген функцияны дизъюнктив түріне мына ретпен келтіреміз:
1. “0” мәнін қабылдайтын аргументтерге “жоққа шығару” логикалық амалын
қолдану арқылы аргументтердің
(1.16.4)
жаңа топтарын аламыз.
2. Әр жаңа топтың аргументтерін өзара логикалық көбейту арқылы “1” үшін
“күмәнсіздік” екі логикалық
(1.16.5)
функцияларын табамыз.
3. Табылған логикалық функцияларды өзара логикалық қосу нәтижесінде
(1.16.6)
берілген логикалық функцияны дизъюнктив түрге келтіреміз.
б) Енді логикалық функцияны конъюнктив түрге келтіру әдісін
қарастырайық.
n аргументті логикалық функцияны “0”ге айналдыратын аргументтердің
бірнеше тобымен (комбинацияларымен) берілсін.
Бұл логикалық функцияны конъюнктив түрінде жазуды былай іске асырамыз.
Әр топтағы аргументтерден логикалық қосу, логикалық жоққа шығару
амалдарын пайдаланып “0” үшін күмәнсіздік функциясын құрастырамыз. Ол үшін
1. Әр топтың “1”- лік мән қабылдайтын аргументтеріне “жоққа шығару”
логикалық амалын қолдану, ал қалған аргументтерін өзгеріссіз қалдыру
нәтижесінде жаңа топтар аламыз;
2. Табылған әр жаңа топтағы аргументтерді өзара логикалық қосып “0” үшін
“күмәнсіздік” функцияларын құрастыра-мыз.
3. Табылған “0” үшін “күмәнсіздік” функцияларын өзара логикалық көбейтіп
берілген функцияны конъюнктив түрінде жазамыз.
Мысалы: 4 аргументті функция оны “0”- ге айналдыратын мына екі
аргументтер топтарымен берілсін:
(1.16.7)
Бұл функцияны конъюнктив түрінде былай жазамыз.
1. “1” мәндерін қабылдайтын аргументтерге “жоққа шығару” амалын қолдану
арқылы берілген топтардан
(1.16.8)
жаңа екі аргументтер тобын аламыз.
2. Әр жаңа топты құраушы аргументтерді логикалық қосу арқылы “0” үшін
“күмәнсіздік” екі логикалық
(1.16.9)
функцияларын табамыз.
3, Табылған “0”үшін “күмәнсіздік” функцияларын логикалық көбейту
нәтижесінде берілген функцияны конъюнктив түрде жазамыз.
(1.16.10)
Жоғарыдағы деректерден мынандай қорытындылар жасауға болады:
- кезкелген күрделі логикалық функцияны конъюнктив түрде де дизъюнктив
түрде де жазуға болады.
- логикалық функцияны дизъюнктив түрде жазу үшін оны логикалық “1”- ге
айналдыратын логикалық айнымалылар тобы пайдаланылады, ал конъюнктив түрде
жазу үшін оны логикалық “0”- ге айналдыратын логикалық айнымалылар тобы
пайдаланылады.
Логикалық функциясы мына төмендегі кестемен берілсін
1.16.1 - к е с т е
Y (х1, х2,0 1 0 1 1
х3 ) 0 1 0
х1 0 1 0 1 0
х2 1 0 1
х3 0 0 1 1 0
0 1 1
0 1 0 0 1
1 1 1
Кестеде берілген функцияны конъюнктив түрге келтіруді мына ретпен
жүргіземіз.
Бірінші, функцияны “1”- ге айналдыратын логикалық айнымалылардың
мәндерінің топтарын анықтаймыз. Олар төмен-де кестеде берілген.
1.16.2 - к е с т е
х1х2х3
1 0 1 -3.2.13.1-кестенің 2-бағанасында
1 1 0 орналасқан
0 0 1 -3.2.13.1-кестенің 4-бағанасында
0 1 1 орналасқан
-3.2.13.1-кестенің 5-бағанасында
орналасқан
-3.2.13.1-кестенің 7-бағанасында
орналасқан
Екінші, табылған топтардың мәндері “0”- ге тең логикалық айнымалыларына
”жоққа шығару” амалын қолдану арқылы жаңа топтар құрамыз.
- бірінші топ,
- екінші топ,
- үшінші топ,
- төртінші топ.
Үшінші, әр топтағы логикалық айнымалыларға логикалық көбейту амалын
қолдану арқылы.
(1.16.11)
“1” үшін “күмәнсіздік” функцияларын құрастырамыз.
Төртінші, табылған көбейтінділерді логикалық қосу арқы-лы логикалық
функцияны дизъюнктив түрге келтіреміз.
(3.2.14.12)
ІI-тарау. ЛогикалыҚ элементтердІҢ Қолданылуы.
Жоғарыда танысқан Буль алгебрасының элементтерін (логикалық
айнымалыларды, логикалық функцияларды), олардың аналитикалық өрнек, ақиқат
кестесі түрлерінде берілу әдістерін біле отырып, электрониканың өмір
талабынан шық-қан проблемаларын, мәселелерін шешуге болады
2.1. Буль қатынастарын пайдаланып электрондық жүйелерді құрастыру.
1. Дизъюнктив түрінде берілген логикалық функцияға сәйкесті электрондық
жүйені құрастыруды қарастырайық.
Y = х1 + х2 + х3 логикалық теңдеуіне сәйкесті, яғни, онымен анықталатын
логикалық амалдарды жүзеге асыратын электрондық жүйені құрастырайық.
Берілген логикалық теңдеуден электрондық құрылымның шығысында Y-ке тең
мән алу үшін оның кірісіндегі логикалық айнымалыларды бір бірімен “немесе”
деген логикалық амалдармен байланыстыру керектігін байқаймыз.
2.1.1 - сурет. Y = х1 + х2 + х3 логикалық теңдеуінің логикалық амалдары
жүзеге асыратын электрондық құрылым.
Енді күрделірек логикалық
(2.1.1)
теңдеуі арқылы тағайындалатын логикалық амалдарды жүзеге асыратын
электрондық жүйені қарастырайық.
Бұл теңдеу былай оқылады: “х1 емес” және “х2” немесе “х1” және “х2 емес”
немесе “х2 емес” және “х3”.
(2.1.1) теңдеуіне сәйкесті электрондық құрылымды құрастыруды екі саты
арқылы жүргіземіз.
1 - саты. логикалық функцияларына “немесе” логикалық амалын
қолданамыз. Бұл амал мына электрондық құрылыммен жүзеге асырылады.
2.1.2 - сурет. логикалық функцияларының өзара логикалық қосылуын
жүзеге асыратын электрондық құрылым.
2 - саты. Екінші сатыда алдымен “және”, “инверсия” логикалық
элементтері арқылы логикалық функцияларының амалдарын іске асыратын
құрылымдар құрастырамыз.
2.1.3 - сурет. логикалық функцияларының тағайындайтын логикалық
амалдарын жүзеге асыратын құрылымдар.
3 - сатыда 2.1.2 - ші және 2.1.3 - ші суреттердегі құрылым-дарды
біріктіріп 2.1.4 - суреттегі жобаны аламыз.
2.1.4 - сурет. логикалық теңдеуінің тағайындайтын логикалық
амалдарды іс жүзіне асыратын электрондық жоба.
Қорытынды : Дизъюнктив түрінде берілген логикалық функция тағайындайтын
логикалық амалдарды орындайтын электрондық жүйені құрастырғанда
біріншіден, құрастыруды сатылап жұргізу керек, екіншіден, құрастыруды
жобаның шығысынан кірісіне қарай жылжый жұргізу керек.
2. Конъюнктив түрінде берілген логикалық функцияға сәйкесті электронды
жобаны құрастырайық. Логикалық функция
(2.1.2)
теңдеумен берілсін. Бұл функцияға сәйкесті электрондық жобаны екі саты
арқылы құрастырамыз.
1 - сатыда функцияларын логикалық көбейтетін құрылымның
жобасын құрастырамыз (2.1.5-сурет).
2.1.5 - сурет. функцияларын өзара логикалық көбейтуді жүзеге
асыратын электрондық жоба.
2 - сатыда функцияларын жүзеге асыратын эдектрондық
құрылымдар құрастырамыз.
2.1.6 - cурет. , функцияларының тағайындaйтын логикалық
амалдарын жүзеге асыратын электрондық құрылымдардың жобалары.
2.1.7 - сурет. конъюнктив түрінде берілген логикалық
функциясына сәйкесті логикалық амалдарды орындауға арналған электрондық
құрылымның жобасы.
2.1.5 - және 2.1.6 - суреттердегі электрондық жобалар негізінде
берілген функцияның тағайындайтын логикалық амалдарын жүзеге асыратын
электрондық құрылымның жобасын құрастырамыз (2.1.7- сурет).
Іорытынды: Конъюнктив түріндегі логикалық функцияға сәйкесті электрондық
құрылымды құрастыру, біріншіден, конъюнкция, дизъюнкция, инверсия амалдарын
қолдану арқылы екі сатыда екіншіден, құрастыру жобаның ... жалғасы
Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.
Ұқсас жұмыстар
Пәндер
- Іс жүргізу
- Автоматтандыру, Техника
- Алғашқы әскери дайындық
- Астрономия
- Ауыл шаруашылығы
- Банк ісі
- Бизнесті бағалау
- Биология
- Бухгалтерлік іс
- Валеология
- Ветеринария
- География
- Геология, Геофизика, Геодезия
- Дін
- Ет, сүт, шарап өнімдері
- Жалпы тарих
- Жер кадастрі, Жылжымайтын мүлік
- Журналистика
- Информатика
- Кеден ісі
- Маркетинг
- Математика, Геометрия
- Медицина
- Мемлекеттік басқару
- Менеджмент
- Мұнай, Газ
- Мұрағат ісі
- Мәдениеттану
- ОБЖ (Основы безопасности жизнедеятельности)
- Педагогика
- Полиграфия
- Психология
- Салық
- Саясаттану
- Сақтандыру
- Сертификаттау, стандарттау
- Социология, Демография
- Спорт
- Статистика
- Тілтану, Филология
- Тарихи тұлғалар
- Тау-кен ісі
- Транспорт
- Туризм
- Физика
- Философия
- Халықаралық қатынастар
- Химия
- Экология, Қоршаған ортаны қорғау
- Экономика
- Экономикалық география
- Электротехника
- Қазақстан тарихы
- Қаржы
- Құрылыс
- Құқық, Криминалистика
- Әдебиет
- Өнер, музыка
- Өнеркәсіп, Өндіріс
Қазақ тілінде жазылған рефераттар, курстық жұмыстар, дипломдық жұмыстар бойынша біздің қор #1 болып табылады.
Ақпарат
Қосымша
Email: info@stud.kz