МЕКТЕП КУРСЫНДА ЫҚТИМАЛДЫҚ-СТАТИСТИКАЛЫҚ БІЛІМ БЕРУДІҢ ҚАЖЕТТІЛІГІ

Жұмыс түрі: Дипломдық жұмыс
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 44 бет
Таңдаулыға:

Мазмұны

Кіріспе . . . 3-4

Қысқаша тарихи шолу . . . 5

1 МАТЕМАТИКАЛЫҚ СТАТИСТИКА ЭЛЕМЕНТТЕРІ

1. 1 Таңдалым. Қарапайым үлестірімділік функциясы. Гистограмма . . . 6-8

1. 2 Статистикалық болжам. Нөлдік және конкуренттік, жай және күрделі болжамдар . . . 8-9

1. 3 Таңдаманың кейбір сандық сипаттамалары . . . 9-11

1. 4 Таңдаманың дисперсиясы . . . 12-15

1. 5 Статистикалық мәліметтердің кестелік тәсілдерінің көрінісі . . . 16

1. 6 9-шы сыныпқа арналған статистикадан бақылау жұмысының үлгісі . . . 17-19

2 ЫҚТИМАЛДЫҚ ТЕОРИСЫНЫҢ ЭЛЕМЕНТТЕРІ

2. 1 Кездейсоқ шамалар ұғымы . . . 20-23

2. 2 Кездейсоқ шаманың үлестірімдік заңы . . . 23-26

2. 3 Кездейсоқ шаманың қосындысы мен көбейтіндісінің үлестірім заңы . . . 27-32

2. 4 Кездейсоқ шаманың сандық сипаттамалары . . . 33-35

2. 5 Кездейсоқ шаманың дисперсиясы мен орташа квадраттық ауытқуы . . . 36-40

3 МЕКТЕП КУРСЫНДА ЫҚТИМАЛДЫҚ-СТАТИСТИКАЛЫҚ БІЛІМ БЕРУДІҢ ҚАЖЕТТІЛІГІ

3. 1 Орта мектепте ықтималдық-статистикалық білім берудің қажеттілігі . . . 41-44

3. 2 Қазіргі мектеп бағдарламасындағы статистикалық заңдар мен түсініктер . . . 45-48

Қорытынды … . . . 49-50

Пайдаланылған әдебиеттер тізімі . . . 51

Кіріспе

Қазақстанның әлемдік экономикалық жүйеге, біртұтас білім беру кеңістігіне енуі халықаралық деңгейдегі талаптарға сай болатындай мамандарды дайындау мәселесін тудырады. Қазақстан Республикасы мен шет елдердің мектептерінің математикалық білім беру мазмұнындағы айырмашылықтар білім беру эквиваленттігі проблемасын шешуде кедергі болады. Математикалық дайындықтың деңгейін анықтау мақсатында жүргізілген халықаралық зерттеулер ТМД елдерінде оқушыларды дайындауда математиканың кейбір бөлімдері бойынша ауытқу бар екендігін көрсетті. Атап айтқанда, барлық дамыған елдердің орта мектеп бағдарламаларына стохастика элементтері енгізілген. Өйткені ықтималдық-статистикалық материалдарды оқып үйрену оқушының жеке басын дамытып жетілдіреді, оның осы күнгі ақпарат көздерімен қатынас жасау мүмкіндігін кеңейтеді, коммуникациялық қабілеттіліктері қоғамдық процестерде бағдарлану біліктілігін жетілдіреді, жағдайларды талдауына және негізделген шешімдер қабылдауына мүмкіндік береді, өмірге көзқарастары жүйесін кездейсоқ факторлар тобының заңдылықтары туралы саналы түрде алған түсініктерімен байытады. Бұл материалдар халықаралық білім стандартына да кіргізілген. Осыған орай, біздің елімізде де негізгі мектептің математика курсына элементар математика негіздерімен қатар ықтималдықтар теориясы мен математикалық статистика элементтері енгізілуде.

Мектеп бағдарламасына оқушыларды қоршаған болмыстың көптеген құбылыстардың ықтималдық табиғатымен таныстыруға бағдарланған ықтималдық-статистикалық бағыттың енгізілуі бағдарламаның жалпы мәдениеттік потенциалын арттыруға, жаңа терең негізделген пәнаралық байланыстардың пайда болуына, мектептегі математикалық білім беруді гуманитандыруға жәрдемдеседі.

Оқылатын стохастикалық құбылыстың сипатын түсіну негізгі ұғымды бөліп алу біліктілігіне, кестелерді, диаграммаларды, графиктерді қарастыру кезінде олардың ерекшеліктері мен өзгеру жағдайларын түсіне білуге байланысты. Кестелер мен графиктерді «оқудың» қарапайым дағдылары бақыланатын құбылыстардың кейбір заңдылықтарын аңғаруға, статистикалық берілгендердің бейнелеу түрлерінен әрі құбылыстардың нақтылы қасиеттерін оларға тән ерекшеліктер мен себептік байланыстармен қоса көре білуге мүмкіндік береді.

Оқылатын құбылыстарға тән белгілер, олардың өзгеру жағдайлары орташа статистикалық сипаттамалар арқылы анықтала алады. Арифметикалық орта сияқты ең қрапайым орташа көрсеткіштердің мағынасын түсіну әр оқушыға қажет. Орташа температура, орташа жалақы, орташа табыс тағы басқалар баспасөзде, теледидарда, жиналыстарда үнемі айтылып жатады. Осы көрсеткіштерде бағдар таба білу білікті адамға дұрыс шешім қабылдауға, өзіне келіп жеткен хабарды дұрыс мағынасында қабылдауға көмектеседі. Бізді қоршаған ортадағы болып жататын құбылыстардың стохастикалық сипатын олардың дәрежесін түсінбей тұрып ұғыну мүмкін емес.

Сондықтан стохастикалық берілгендердің шашырауын сандық бағалау қажеттігі туады, ол стохастикалық жиынтықтың мәнісін оның дәрежесі бойынша тереңірек түсінуге жағдай жасайды.

Ықтималдық-статистикалық білімдер әр түрлі пәндерді оқу барысында да қажет. Бүгінгі таңда физика, химия, биология, тағы да басқа пәндердің оқытушалары осы ғылымдардың негізгі заңдылықтарын ықтималдықтың ұғымдары тілінде өрнектеудің аса қажеттігін сезінуде.

Ықтималдықтар теориясы мен математикалық статистикалық әдістері барлық жаратылыстану және техника ғылымдарында, экономикада, өндірісті жоспарлау және ұйымдастыру мәселелерінде, байланыс саласында, тіпті математикадан алыс жатқан лингвистика, археология, геология сияқты ғылымдар да қолданылады.

Мемлекеттік кірісті ұлғайту, соның нәтижесінде адамдардың әл-ауқатының деңгейін көтеру мәселелерін шешу көптеген статистикалық мәліметтерді тиянақты түрде талдау және олардың дұрыс қорытындылар жасауды қажет етеді. Сонда, қорыта айтқанда, ғылымның барлық салаларында даму жағдайы орта мектептің курсына ықтималдық-статистикалық материалдарды енгізуді талап етеді. Сонда, қорыта айтқанда, ғылымның барлық салаларының даму жағдайы орта мектептің курсына ықтималдық- статистикалық материалдарды енгізуді талап етеді.

Бұл дипломдық жұмыстың негізгі мақсаты - оқулықтарда берілген ықтималдықтар теориясы мен математикалық статистика курсының материалын қарастырып, кейбір есепке нұсқаулар беріп және мұғалімдерге арналған қосымша мәліметтер ұсыну.

Қысқаша тарихи шолу

Ықтималдықтар теориясы 17-18 ғасырлар қойнауында дүниеге келген математика ғылымының саласы. Оның басында француз ғалымдары Б. Паскаль (1623-1662), П. Ферма (1601-1665), голландиялық ғалым Х. Гюйгенс (1629-1695) тұрады.

Ары қарай бұл ғылым саласының дамуына швейцариялық ғалым Я. Бернулли (1654-1705) елеулі үлес қосты. Ол дәлелденген және кейін Үлкен сандардың заңы деп аталған теоремада бұған дейінгі ықтималдықтар теориясына қатысты фактілер ғылыми тұрғыда жүйеленеді. Сол сияқты бұл кезеңде аталған ғылым саласының аяғынан тік тұрып кетуіне француз математиктері П. Лапластың (1749-1827), С. Пуассонның (1781-1840), ағылшын математигі шыққан тегі француз А. Муаврдың (1667-1754), неміс математигі К. Гаустың (1777-1855) еңбектері үлкен себеп болды.

Ықтималдықтар теориясының қалыптасуы мен дамуына орыс және бұрынғы кеңес одағы математиктері П. Л. Чебышев, А. А. Марков, А. М. Ляпунов, А. Н. Колмогоров, А. Я. Хинчин, Б. В. Гнеденко, Н. В. Смирнов және тағы басқалары қомақты үлес қосты.

Я. Бернулли, П. Л. Чебышев, А. А. Марков, А. М. Ляпунов және тағы басқа ғалымдар статистикалық дамуына ХХ ғасырда кеңес үкіметінің В. И. Ломановский, Е. Е. Слуцкий, А. Н. Колмогоров және тағы басқа ғалымдарымен қатар ағылшынның Стьдент, Р. Фишер, Э. Пирсон және американдық Ю. Нейман, А. Вальд есімді ғалымдардың еңбектері зор үлес қосты.

Қазақстанда да ықтималдықтар теориясы мен математикалық статистика элементтері мәселесіне байланысты кең көлемде ғылыми-зерттеу жұмыстары жүргізілуде. Бұл іске көп жағдайда халық шаруашылығы бағытындағы жоғары оқу орындары оқытушы - профессорлары белсенділік көрсетуде екендігін атап көрсетуге болады. Аталған мәселе жайлы елімізде жайлы елімізде Қ. Б. Бектаев, Б. С. Жаңбырбаев, Р. Т. Келтенова, Н. Аханбаева, О. М. Мейрамқұлов, Қ. Ж. Серікбаева, Р. Г. Мейірманова, М. Ж. Бекбатшаев, Н. С. Саханов, Қ. Н. Бағысбаева, А. К. Казешов, С. А. Нұрпейісов, О. Сатыбалдиев, Қ. Қаңлыбаев және тағы басқа ғалым - педагогтар ғылыми және педагогикалық жұмыстар жүргізді. Соның негізінде бұған дейін ықтималдықтар теориясы мен математикалық статистика элементтері жайлы біраз оқу құралдары да жарық көріп үлгерді.

1 МАТЕМАТИКАЛЫҚ СТАТИСТИКА ЭЛЕМЕНТТЕРІ

Таңдалым. Қарапайым үлестірімділік функциясы. Гистограмма.

Жаңа терминдер: жиынтық, таңдама, таңдаманың көлемі, варияциялар, варияциялық қатар, салыстырмалы жиілік, таңдама үлестірімі.

Жаппай кездейсоқ құбылыстарының заңдылықтарын анықтау статистикалық мәліметтерді - бақылау нәтижелерін ықтималдықтар теориясы тәсілдерімен оқып үйренуге негізделген. Математикалық статистика алдына екі мәселе қойылады: 1) Бақылау, сынақ және арнайы жүргізілген эксперимент нәтижелерін жинақтау тәсілін және статистикалық мәліметтерді топтау тәсілдерін көрсету. 2) Зерттеу мақсатына тәуелді статистикалық мәліметтерді талдау тәсілдерін жасау; а) КШ белгісіз ықтималдығын, үлестірімділік функциясын және үлестірімділік заңының түрі белгілі болған жағдайда оның параметрлерін бағалау; бұл КШ бір немесе бірнеше КШ-ға тәуелділігін анықтау және т. с. с. ; ә) Белгісіз үлестірімділік заңы жөнінде статистикалық болжамдарды (гипотезеларды) тексеру немесе үлестірімділік заң белгілі болған жағдайда, оның белгісіз параметрлерінің шамасы жөніндегі болжамдарды тексеру. Сонымен математикалық статистиканың мақсаты - тиісті ғылыми және практикалық қорытыныдылар жасау үшін статистикалық мәліметтерді жинақтау және өңдеу тәсілдерін қалыптастыру. Олай болса, математикалық статистиканы - айқындалмағандықтар шартында тиісті шешімдер қабылдау жөніндегі ғылым деп түсіну қажет.

Айталық, қайсыбір біртекті объектілер жиынтығын, оны толық сипаттайтын сапалық немесе мөлшерлік белгілірін оқып үйрену қажет болсын. Әрине, бұл жиынтықтың әрбір элементін зерттесе, онда оның қасиеттері жөнінде толық мәліметтер алатынымыз анық. Кейбір дербес жағдайларды тап осылай жасайды. Мысалы, мемлекет тұрғындарының жасы, жынысы, мамандығы және т. с. с. бойынша үлестірімділігін зерттеу. Дегенмен, осындай жиынтық элементтерінің «бас-басын» толық зерттеу көптеген жағдайларда өте қиын немесе тіпті мүмкін емес іс-шараға айналады. Мысалы, берілген құралдың (прибордың) қателіктерінің үлестірімділігі элементтерін толық жеке-жеке зерттеу мүмкін емес іс-шара. Мұндай жағдайларда зерттелетін жиынтықтың бір шектеулі бөлігін алып зерттейді.

Сонымен ξ КШ барлық мүмкін емес мәндері жиынтығын басты жиынтық деп атайды. Ал n тәуелсіз сынақтар (бақылау) нәтижесінде алынатын ξ КШ n мәндерін (яғни басты жиынтық бөлігін) көлемі n-ге тең таңдалым деп атайды:

х ₁ , х ₂ , . . . , х _n (1)

Өсу тәртібімен орналасқан таңдалымды вариациялық қатар деп атайды.

Егер көлемі n -ге тең таңдалымның әр түрлі k элементтері - z ₁ , z ₂ , …, z _k бар және мұнда z _i элементі m _i рет кездесетін болса, онда μ _{i =}

\[\frac{m_{i}}{n}\]

саны z _i элементінің салыстырмалы жиілігі деп атайды. Әрине,

\[\sum_{i=1}^{k}m_{i}=n\]

теңдігі орындалады.

(z _i ; m _i ) қос сандары тізбесін статистикалық қатар деп атайды. Әдетте, статистикалық қатарды, бірінші жолында z _i элементтері, ал екінші жолда олардың жиіліктері орналасатындай етіп, кесте түрінде жазады:

z _i

z ₁

z ₂

…

z _n

zi: m _i

z1: m _i

z2: m ₂

…: …

zn: m _n

Бұл кестені жиіліктердің статистикалық қатары деп атайды. Осыған қоса салыстырмалы жиіліктердің статистикалық қатарын да қолданады:

z _i

z ₁

z ₂

…

z _n

zi: m _i /n

z1: m _i /n

z2: m ₂ /n

…: …

zn: m _n /n

Төбелері (z _i ; m _i ) нүктелерінде (сәйкесінше (z _i ; μ _i ) нүктелерінде) орналасқан сынық сызықты жиіліктер (салыстырмалы жиіліктер) алқабы (полигоны) деп атайды.

\[F_{n}(x)={\frac{k}{n}}\]

функциясын, мұнда n - таңдалым көлемі, ал k - ξ КШ таңдалымдағы х -тан кіші мәндері саны, ξ КШ эмпирикалық (қарапайым, тұрпайы) үлестірімділік функциясы деп атайды. F _n (x) функциясы белгісіз үлестірімділік функциясы Ғ(х) -тың жуық баламасы іспетті, яғни F _n (x) ≈ Ғ(х) . F _n (x) кемімейтін функция, оның графигі сатылы түрде бейнеленеді.

Айталық, ξ үлестірімділік тығыздығы f (x) - белгісіз болатын үздіксіз КШ болсын. х ₁ , х ₂ , . . . х _n таңдалымы бойынша f(x) - ті бағалау үшін ξ КШ анықталу облысын h _i , (i=1, 2, . . . , s) , интервалдарына бөледі. x _i арқылы h _i интервалының ортасын, ал η _i арқылы осы интервалға тиісті таңдалым элементтері санын белгілейік. Онда

\[f^{Y}(x_{i})\approx{\frac{\eta_{i}}{n h_{i}}}\]

, (i=1, 2, . . . , s) өрнегі ξ КШ x _i нүктелеріндегі үлестірімділік функциясы тығыздығының жуық бағасы. Тік бұрышты координаталар жүйесінде табаны h _i - ге және биіктігі

\[\frac{\eta_{i}}{n h_{i}}\]

- ге тең тік төртбұрыштарды саламыз. Осылай салынған фигураны таңдалым гистограммасы деп атайды.

Статистикалық болжам. Нөлдік және конкуренттік, жай және күрделі болжамдар

Басты жиынтықты оқып үйрену барысында оның үлестірімділік заңдылықтарын білу қажеттілігі жиі туындайды. Егер үлестірімділік заңы белгісіз болса, дегенмен бұл заңның түрі ( А түрінде болсын делік) жөнінде болжам жасауға негіз бар болсын делік, яғни бұл КШ А заңы бойынша үлестірілген деген болжам ұсынылады.

КШ үлестірімділік заңының түрі белгілі, ал оның параметрі белгісіз болатын жағдайлар бар. Егер белгісіз θ параметрінің мәні θ ₀ -ге тең деп айтуға негіз бар болса, онда θ=θ ₀ деген болжам ұсынылады. Бұл болжамдарды статистикалық болжамдар деп атайды.

Әдетте, ұсынылған болжамдармен қатар, оған мағынасы қарама-қайшы келетін болжамдарды ажырата білу қажет. Ұсынылған Н ₀ болжамын нөлдік (негізгі) болжам деп, ал оған мағынасы қарама-қайшы келетін болжамдарды конкуренттік (альтернативалық) болжам деп атайды. Мысалы, нөлдік гипотеза қалыпты үлестірілген КШ белгісіз а математикалық үміті 10 -ға тең дегенді білдірсе, онда конкуренттік болжам а ≠ 10, Н ₁ : а ≠ 10 .

Құрамында бір немесе бірнеше жорулары бар болжамдарды күрделі болжамдар деп атайды. Мысалы, егер λ - көрсеткіштік үлестірім параметрі болса, онда Н ₀ : λ=10 - жай болжам, ал Н: λ >10 елі болжамы шексіз көп Н ₁ : λ=b түріндегі жай болжамдардан құралған, мұнда b-10 -нан артық кез келген сан.

Ұсынылған нөлдік болжам дұрыс немесе дұрыс емес болуы мүмкін. Сондықтан нөлдік болжамды тексеру қажеттігі туындайды. Нөлдік болжамды тексеру статистикалық тәсілдермен жүргізілетін болғандықтан, бұл тексеруді статистикалық деп атайды. Нөлдік болжамды статистикалық тексеру барысында екі түрлі жағдайда қате шешімдер қабылдануы мүмкін, яғни екі түрлі қателіктер кездеседі: 1-ші текті қателік - шын мәнінде дұрыс болжам қате деп танылып, теріске шығарылады; 2 -ші текті қателік - шын мәнінде дұрыс емес болжам дұрыс деп танылып, қабылданады. 1 -ші текті қателікке бой алдыру ықтималдығын α арқылы, ал 2 -ші текті қателік жіберу ықтималдығын β арқылы белгілейді.

Нөлдік болжамды тексеру үшін дәл немесе жуық үлестірімділік заңы белгілі арнайы бір кездейсоқ шама алынады. Жалпы жағдайда оны К арқылы белгілейді. (Мысалы, егер бұл КШ Фишер-Снедекор заңымен үлестірілген болса, онда оны Ғ арқылы белгілейді) . Нөлдік болжамды тексеруге арналған К кездейсоқ шамасын статистикалық критерий деп атайды. Мысалы, егер екі басты жиынтық дисперсияларының теңдігі жөніндегі (Н ₀ : σ ₁ ² = σ ₂ ² ) болжамды тексеру қажет болса, онда тексеру критерийң ретінде түзетілген дисперсиялар қатынасын алады:

\[F={\frac{\delta}{\sigma}}\]

. Бұл Фиршер-Снедекор заңымен үлестірілген КШ екені анықталған. Таңдалым бойынша алдымен критерийге енетін шамалар мәндер есептелінеді, яғни критерийдің дербес (бақыланатын) мәні анықталады.

Таңдаманың кейбір сандық сипаттамалары

Жаңа терминдер: медиана, мода, таңдаманың ауқымы.

Әр түрлі орталардың ішінде ең кең қолданылатыны - арифметикалық орта. Бұл басқаларына қарағанда мағынасы жағынан да және есептеу тәсілі жағынан да қарапайым. Берілген сандық мәліметтер х ₁ , х ₂ , . . . , х _n болсын. Олардың саны n . Сандық мәліметтердің орташа мәні

\[\overline{{\scriptsize{\overline{{O}}}}}\]

деп белгілесек, ол былайша есептеледі.

\[\vec{\sigma}=\frac{\vec{\sigma}_{1}+\vec{\sigma}_{2}+\sum\vec{\sigma}_{3}}{\partial}\]

(1. 3. 1)

Мысалы, оқушының алты оқу күнінде мектепке баруға кететін уақыты (минут есебімен) мынадай болған:

35, 35, 25, 40, 30, 45.

Оқушының мектепке баруға орташа есеппен бір күнде қанша уақыт керек екенін есептейік. Ол үшін орташа мән табу формуласын қолданамыз:

\[\overline{{{\sigma}}}=\frac{35+35+25+40+30+45}{6}=\frac{210}{6}=35\]

Сонымен, оқушы мектепке баруға бір күнде орташа есеппен 35 минут уақыт жібереді екен.

Егер көлемі n болатын таңдама жиілік үлестірімімен берілсе:

Кесте 1. 3. 1

х _i

x ₁

x ₂

…

x _k

хi: n _i

x1: n ₁

x2: n ₂

…: …

xk: n _k

38-кесте

онда таңдаманың орта мәні

\[\overline{{O}}\]

былайша есептеледі:

\[{\overline{{\sigma}}}={\frac{{\tilde{\sigma}}_{1}n_{1}+x_{2}n_{2}+\ldots+x_{n}n_{k}}{n}}\]

(1. 3. 2)

Мұндағы n = n ₁ + n ₂ + … + n _k

Мысалы таңдама мынадай жиілік үлестірімімен берілсе:

Кесте 1. 3. 2

х _i

хi: n _i

1: 10

3: 3

4: 6

7: 1

О нда таңдаманың орташа мәні

\[\overline{{\scriptsize{\overline{{O}}}}}\]

былайша есептеледі:

\[\widetilde{\sigma}={\frac{1\times\!\mathrm{d}0+3\times3+4\times6+7\times}{10+3+6+1}}={\frac{50}{20}}=2.5\]

Сонымен, таңдаманың орташа мәні

\[\overline{{O}}\]

= 2, 5.

Тағы да бір мысал қарастырайық. Сыныптағы 23 оқушының 11 - і жыл бойы бірде бір әдеби кітап оқымаған, 8 -і тек бір ғана кітап оқыған, екеуі 3 кітаптан және екеуі 30 кітаптан оқып шыққан. Сыныптың орташа көрсеткіші бола алатын бір оқушы неше кітап оқығанын есептейік. Алдымен берілгендерді кесте түрінде жазып алайық:

Кесте 1. 3. 3

Кітаптар саны (х _i )

Кітаптар саны (хi): Балалар саны (n _i )

0: 11

1: 8

3: 2

30: 2

Орташа мәнді есептейтін формуланы қолдансақ,

\[\tilde{\sigma}=\frac{0\times1+1\times8+3\times A+30\Re}{11+8+2+2}=\frac{74}{23}=3\]

Сонымен, сыныптың «орташа» оқушысы 3 кітаптан оқиды екен. Бірақ осы нәтижені сыныптағы 19 оқушының (сыныптың 80% ) жылда оқыған кітаптар саны бірден артпай тұрғанда, дұрыс деп айтуға болмайды. Олай болса, сұраққа жауап беретін басқа жол іздеу керек.

Анықтама: Өсу ретімен орналасқан таңдаманы тең екі бөлікке бөлетін мәнді таңдаманың медианасы деп атайды да, М _D деп белгілейді. Егер таңдама көлемі тақ сан болса, медиана тең ортада тұрған мән болады да, ал таңдама көлемі жұп сан болса, медиана тең ортада тұрған екі мәннің арифметикалық ортасы болады.

Жоғарыдағы мысалда алынған таңдаманы бір қатарға жазып алайық:

0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 3, 3, 30, 30.

Қатарда 23 сан бар, яғни таңдама көлемі 23 - тақ сан. Таңдама медианасы он екінші орында тұрған сан, ол жерде 1 тұр, яғни М _D =1 . Сонда осы сыныптың «орташа» оқушысы жылына 1 кітап оқыған. Міне, осы нәтижені дұрыс жасалған деп қабылдауға болады. Шыныда да, ықтималдықтар тұрғысынан қарастырсақ, сыныптағы кез келген оқушының оқыған кітаптар саны бірден артпау ықтималдығы мен оқыған кітаптар саны бірден кем болмау ықтималдығы өзара тең. Медиана осы ықтималдықтардың теңдігін қамтамасыз ететін сан.

Енді таңдама көлемі жұп сан болатын жағдайға мысал қарастырайық.

Мынадай таңдама берілсін: 1, 2, 2, 3, 4, 4, 5, 6.

Таңдама көлемі 8. Ортада 3 және 4 саны тұр. Таңдама медианасы осы екі санның арифметикалық ортасы болады.

\[\dot{I}\ ={\frac{3+4}{2}}=3,5\]

Анықтама: Вариациялық қатардың жиілігі ең көп вариантасын мода деп атайды да, М _О деп белгілейді.

Мысалы мынадай таңдама жиілік үлестірімімен берілсін:

Кесте 1. 3. 4

х _i

хi: n _i

2: 1

3: 15

4: 6

5: 3

Ең көп жиілік n ₂ =15 . оған сәйкес келетін варианта х ₂ =3 . Олай болса, таңдаманың М _О = 3.

Практикада сандық мәліметтердің (таңдамалардың) орташа мәнін табу жиі кездеседі. Кейбір жағдайда осы мәліметтердің орташа мәннен қаншалықты алшақ орналасқанын да білу қажет болады.

Анықтама: Вариациядағы ең үлкен варианта мен ең кіші вариантаның айырымы таңдаманың ауқымы деп аталады да R деп белгіленеді.

R=х _max - х _min ,

Сыныптағы «орташа» оқушының жыл бойы оқыған кітап саны жөніндегі есептегі таңдама айқымын есептейік. Таңдамадағы ең үлкен варианта х _max = 30 ал ең кіші варианта х _min =0. Олай болса, таңдама ауқымы мынаған тең:

R=30-0=30

Егер таңдама ауқымы үлкен сан болса, онда таңдама дұрыс көрсеткіш бермейді.

Сыныпта № 709, 710, 711, 713, 715, 717, 717, 718, 719-722 есептерді шығаруға болады.

№ 719-722 есептер оқушының тақырыпты толық түсінгенін анықтау мақсатында шығартуға болады. № 718 есепте алдында өтіп кеткен тақырыпқа қайталау жасауға арналып, берілген тақырыпты бекітуге арналған.

1. 4 Таңдаманың дисперсиясы

Жаңа терминдер: ауытқу, таңдама дисперсиясы.

Арифметикалық орта, медиана, мода, тағы басқа орталар белгінің сандық сипаттамасын бергенімен, олар бірліктің жиынтыққа қаншалықты бірқалыпты қолданылуы жайлы ештеме айтпайды. Мысалы, арифметикалық орта төңірегінде тығыз орналасса, арифметикалық ортамен белгі мәндерінің ауытқу мөлшері кіші болса, екіншісінікі мейлінше үлкен болуы мүмкін. Олай болса, белгіні тек арифметикалық ортамен (жалпы ортамен) сипаттау жеткіліксіз. Демек белгіні сипаттау үшін сол арифметикалық ортамен қатар белгі мәндерінің арифметикалық ортадан ауытқуын өзгеруін (вариациясын) дәйекті бағалаудан, яғни сипаттамасын анықтаудың қажеттігі туады.