МЕКТЕП КУРСЫНДА ЫҚТИМАЛДЫҚ-СТАТИСТИКАЛЫҚ БІЛІМ БЕРУДІҢ ҚАЖЕТТІЛІГІ

Жұмыс түрі: Дипломдық жұмыс
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 44 бет
Таңдаулыға:

Мазмұны

Кіріспе
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...3-4
Қысқаша тарихи
шолу ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ... ... ... ... .5

1 МАТЕМАТИКАЛЫҚ СТАТИСТИКА ЭЛЕМЕНТТЕРІ

1.1 Таңдалым. Қарапайым үлестірімділік функциясы.
Гистограмма ... ... ... ... .6-8
1.2 Статистикалық болжам. Нөлдік және конкуренттік, жай және күрделі
болжамдар ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...8-9
1.3 Таңдаманың кейбір сандық
сипаттамалары ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... 9-11
1.4 Таңдаманың
дисперсиясы ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ... ... 12-15
1.5 Статистикалық мәліметтердің кестелік тәсілдерінің
көрінісі ... ... ... ... ... ... .16
1.6 9-шы сыныпқа арналған статистикадан бақылау жұмысының үлгісі ... ...17-
19

2 ЫҚТИМАЛДЫҚ ТЕОРИСЫНЫҢ ЭЛЕМЕНТТЕРІ

2.1 Кездейсоқ шамалар
ұғымы ... ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... .20-23
2.2 Кездейсоқ шаманың үлестірімдік заңы
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 23-26
2.3 Кездейсоқ шаманың қосындысы мен көбейтіндісінің үлестірім
заңы ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .27-32
2.4 Кездейсоқ шаманың сандық сипаттамалары
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...33-35
2.5 Кездейсоқ шаманың дисперсиясы мен орташа квадраттық ауытқуы ... ...36-40

3 МЕКТЕП КУРСЫНДА ЫҚТИМАЛДЫҚ-СТАТИСТИКАЛЫҚ БІЛІМ БЕРУДІҢ ҚАЖЕТТІЛІГІ
3.1 Орта мектепте ықтималдық-статистикалық білім берудің қажеттілігі ... 41-
44
3.2 Қазіргі мектеп бағдарламасындағы статистикалық заңдар мен
түсініктер ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..45-48

Қорытынды
... ... ... ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ... ... ... ... ... .49-50

Пайдаланылған әдебиеттер тізімі
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 51

Кіріспе

Қазақстанның әлемдік экономикалық жүйеге, біртұтас білім беру
кеңістігіне енуі халықаралық деңгейдегі талаптарға сай болатындай
мамандарды дайындау мәселесін тудырады. Қазақстан Республикасы мен шет
елдердің мектептерінің математикалық білім беру мазмұнындағы айырмашылықтар
білім беру эквиваленттігі проблемасын шешуде кедергі болады. Математикалық
дайындықтың деңгейін анықтау мақсатында жүргізілген халықаралық зерттеулер
ТМД елдерінде оқушыларды дайындауда математиканың кейбір бөлімдері бойынша
ауытқу бар екендігін көрсетті. Атап айтқанда, барлық дамыған елдердің орта
мектеп бағдарламаларына стохастика элементтері енгізілген. Өйткені
ықтималдық-статистикалық материалдарды оқып үйрену оқушының жеке басын
дамытып жетілдіреді, оның осы күнгі ақпарат көздерімен қатынас жасау
мүмкіндігін кеңейтеді, коммуникациялық қабілеттіліктері қоғамдық
процестерде бағдарлану біліктілігін жетілдіреді, жағдайларды талдауына
және негізделген шешімдер қабылдауына мүмкіндік береді, өмірге көзқарастары
жүйесін кездейсоқ факторлар тобының заңдылықтары туралы саналы түрде алған
түсініктерімен байытады. Бұл материалдар халықаралық білім стандартына да
кіргізілген. Осыған орай, біздің елімізде де негізгі мектептің математика
курсына элементар математика негіздерімен қатар ықтималдықтар теориясы мен
математикалық статистика элементтері енгізілуде.
Мектеп бағдарламасына оқушыларды қоршаған болмыстың көптеген
құбылыстардың ықтималдық табиғатымен таныстыруға бағдарланған ықтималдық-
статистикалық бағыттың енгізілуі бағдарламаның жалпы мәдениеттік
потенциалын арттыруға, жаңа терең негізделген пәнаралық байланыстардың
пайда болуына, мектептегі математикалық білім беруді гуманитандыруға
жәрдемдеседі.
Оқылатын стохастикалық құбылыстың сипатын түсіну негізгі ұғымды бөліп
алу біліктілігіне, кестелерді, диаграммаларды, графиктерді қарастыру
кезінде олардың ерекшеліктері мен өзгеру жағдайларын түсіне білуге
байланысты. Кестелер мен графиктерді оқудың қарапайым дағдылары
бақыланатын құбылыстардың кейбір заңдылықтарын аңғаруға, статистикалық
берілгендердің бейнелеу түрлерінен әрі құбылыстардың нақтылы қасиеттерін
оларға тән ерекшеліктер мен себептік байланыстармен қоса көре білуге
мүмкіндік береді.
Оқылатын құбылыстарға тән белгілер, олардың өзгеру жағдайлары орташа
статистикалық сипаттамалар арқылы анықтала алады. Арифметикалық орта сияқты
ең қрапайым орташа көрсеткіштердің мағынасын түсіну әр оқушыға қажет.
Орташа температура, орташа жалақы, орташа табыс тағы басқалар баспасөзде,
теледидарда, жиналыстарда үнемі айтылып жатады. Осы көрсеткіштерде бағдар
таба білу білікті адамға дұрыс шешім қабылдауға, өзіне келіп жеткен хабарды
дұрыс мағынасында қабылдауға көмектеседі. Бізді қоршаған ортадағы болып
жататын құбылыстардың стохастикалық сипатын олардың дәрежесін түсінбей
тұрып ұғыну мүмкін емес.
Сондықтан стохастикалық берілгендердің шашырауын сандық бағалау
қажеттігі туады, ол стохастикалық жиынтықтың мәнісін оның дәрежесі бойынша
тереңірек түсінуге жағдай жасайды.
Ықтималдық-статистикалық білімдер әр түрлі пәндерді оқу барысында да
қажет. Бүгінгі таңда физика, химия, биология, тағы да басқа пәндердің
оқытушалары осы ғылымдардың негізгі заңдылықтарын ықтималдықтың ұғымдары
тілінде өрнектеудің аса қажеттігін сезінуде.
Ықтималдықтар теориясы мен математикалық статистикалық әдістері
барлық жаратылыстану және техника ғылымдарында, экономикада, өндірісті
жоспарлау және ұйымдастыру мәселелерінде, байланыс саласында, тіпті
математикадан алыс жатқан лингвистика, археология, геология сияқты ғылымдар
да қолданылады.
Мемлекеттік кірісті ұлғайту, соның нәтижесінде адамдардың әл-
ауқатының деңгейін көтеру мәселелерін шешу көптеген статистикалық
мәліметтерді тиянақты түрде талдау және олардың дұрыс қорытындылар жасауды
қажет етеді. Сонда, қорыта айтқанда, ғылымның барлық салаларында даму
жағдайы орта мектептің курсына ықтималдық–статистикалық материалдарды
енгізуді талап етеді. Сонда, қорыта айтқанда, ғылымның барлық салаларының
даму жағдайы орта мектептің курсына ықтималдық– статистикалық материалдарды
енгізуді талап етеді.
Бұл дипломдық жұмыстың негізгі мақсаты – оқулықтарда берілген
ықтималдықтар теориясы мен математикалық статистика курсының материалын
қарастырып, кейбір есепке нұсқаулар беріп және мұғалімдерге арналған
қосымша мәліметтер ұсыну.

Қысқаша тарихи шолу

Ықтималдықтар теориясы 17-18 ғасырлар қойнауында дүниеге келген
математика ғылымының саласы. Оның басында француз ғалымдары Б.Паскаль
(1623-1662), П.Ферма (1601-1665), голландиялық ғалым Х.Гюйгенс (1629-1695)
тұрады.
Ары қарай бұл ғылым саласының дамуына швейцариялық ғалым Я.Бернулли
(1654-1705) елеулі үлес қосты. Ол дәлелденген және кейін Үлкен сандардың
заңы деп аталған теоремада бұған дейінгі ықтималдықтар теориясына қатысты
фактілер ғылыми тұрғыда жүйеленеді. Сол сияқты бұл кезеңде аталған ғылым
саласының аяғынан тік тұрып кетуіне француз математиктері П.Лапластың (1749-
1827), С. Пуассонның (1781-1840), ағылшын математигі шыққан тегі француз
А.Муаврдың (1667-1754), неміс математигі К.Гаустың (1777-1855) еңбектері
үлкен себеп болды.
Ықтималдықтар теориясының қалыптасуы мен дамуына орыс және бұрынғы
кеңес одағы математиктері П.Л.Чебышев, А.А.Марков, А.М.Ляпунов,
А.Н.Колмогоров, А.Я. Хинчин, Б.В.Гнеденко, Н.В. Смирнов және тағы басқалары
қомақты үлес қосты.
Я.Бернулли, П.Л.Чебышев, А.А.Марков, А.М.Ляпунов және тағы басқа
ғалымдар статистикалық дамуына ХХ ғасырда кеңес үкіметінің
В.И.Ломановский, Е.Е.Слуцкий, А.Н.Колмогоров және тағы басқа ғалымдарымен
қатар ағылшынның Стьдент, Р.Фишер, Э.Пирсон және американдық Ю. Нейман,
А.Вальд есімді ғалымдардың еңбектері зор үлес қосты.
Қазақстанда да ықтималдықтар теориясы мен математикалық статистика
элементтері мәселесіне байланысты кең көлемде ғылыми-зерттеу жұмыстары
жүргізілуде. Бұл іске көп жағдайда халық шаруашылығы бағытындағы жоғары оқу
орындары оқытушы – профессорлары белсенділік көрсетуде екендігін атап
көрсетуге болады. Аталған мәселе жайлы елімізде жайлы елімізде
Қ.Б.Бектаев, Б.С.Жаңбырбаев, Р.Т.Келтенова, Н.Аханбаева, О.М.Мейрамқұлов,
Қ.Ж.Серікбаева, Р.Г.Мейірманова, М.Ж.Бекбатшаев, Н.С.Саханов,
Қ.Н.Бағысбаева, А.К.Казешов, С.А.Нұрпейісов, О.Сатыбалдиев, Қ.Қаңлыбаев
және тағы басқа ғалым – педагогтар ғылыми және педагогикалық жұмыстар
жүргізді. Соның негізінде бұған дейін ықтималдықтар теориясы мен
математикалық статистика элементтері жайлы біраз оқу құралдары да жарық
көріп үлгерді.

1 МАТЕМАТИКАЛЫҚ СТАТИСТИКА ЭЛЕМЕНТТЕРІ

1. Таңдалым. Қарапайым үлестірімділік функциясы. Гистограмма.

Жаңа терминдер: жиынтық, таңдама, таңдаманың көлемі, варияциялар,
варияциялық қатар, салыстырмалы жиілік, таңдама үлестірімі.
Жаппай кездейсоқ құбылыстарының заңдылықтарын анықтау статистикалық
мәліметтерді – бақылау нәтижелерін ықтималдықтар теориясы тәсілдерімен оқып
үйренуге негізделген. Математикалық статистика алдына екі мәселе қойылады:
1) Бақылау, сынақ және арнайы жүргізілген эксперимент нәтижелерін жинақтау
тәсілін және статистикалық мәліметтерді топтау тәсілдерін көрсету. 2)
Зерттеу мақсатына тәуелді статистикалық мәліметтерді талдау тәсілдерін
жасау; а) КШ белгісіз ықтималдығын, үлестірімділік функциясын және
үлестірімділік заңының түрі белгілі болған жағдайда оның параметрлерін
бағалау; бұл КШ бір немесе бірнеше КШ-ға тәуелділігін анықтау және т.с.с.;
ә) Белгісіз үлестірімділік заңы жөнінде статистикалық болжамдарды
(гипотезеларды) тексеру немесе үлестірімділік заң белгілі болған жағдайда,
оның белгісіз параметрлерінің шамасы жөніндегі болжамдарды тексеру. Сонымен
математикалық статистиканың мақсаты – тиісті ғылыми және практикалық
қорытыныдылар жасау үшін статистикалық мәліметтерді жинақтау және өңдеу
тәсілдерін қалыптастыру. Олай болса, математикалық статистиканы –
айқындалмағандықтар шартында тиісті шешімдер қабылдау жөніндегі ғылым деп
түсіну қажет.
Айталық, қайсыбір біртекті объектілер жиынтығын, оны толық
сипаттайтын сапалық немесе мөлшерлік белгілірін оқып үйрену қажет болсын.
Әрине, бұл жиынтықтың әрбір элементін зерттесе, онда оның қасиеттері
жөнінде толық мәліметтер алатынымыз анық. Кейбір дербес жағдайларды тап
осылай жасайды. Мысалы, мемлекет тұрғындарының жасы, жынысы, мамандығы және
т.с.с. бойынша үлестірімділігін зерттеу. Дегенмен, осындай жиынтық
элементтерінің бас-басын толық зерттеу көптеген жағдайларда өте қиын
немесе тіпті мүмкін емес іс-шараға айналады. Мысалы, берілген құралдың
(прибордың) қателіктерінің үлестірімділігі элементтерін толық жеке-жеке
зерттеу мүмкін емес іс-шара. Мұндай жағдайларда зерттелетін жиынтықтың бір
шектеулі бөлігін алып зерттейді.
Сонымен ξ КШ барлық мүмкін емес мәндері жиынтығын басты жиынтық деп
атайды. Ал n тәуелсіз сынақтар (бақылау) нәтижесінде алынатын ξ КШ n
мәндерін (яғни басты жиынтық бөлігін) көлемі n-ге тең таңдалым деп атайды:
х1, х2,...,хn
(1)
Өсу тәртібімен орналасқан таңдалымды вариациялық қатар деп атайды.
Егер көлемі n-ге тең таңдалымның әр түрлі k элементтері – z1, z2, ...,
zk бар және мұнда zi элементі mi рет кездесетін болса, онда μi =
саны zi элементінің салыстырмалы жиілігі деп атайды. Әрине,
теңдігі орындалады.
(zi;mi) қос сандары тізбесін статистикалық қатар деп атайды.
Әдетте, статистикалық қатарды, бірінші жолында zi элементтері, ал екінші
жолда олардың жиіліктері орналасатындай етіп, кесте түрінде жазады:
zi z1 z2 ... zn
mi mi m2 ... mn

Бұл кестені жиіліктердің статистикалық қатары деп атайды. Осыған қоса
салыстырмалы жиіліктердің статистикалық қатарын да қолданады:

zi z1 z2 ... zn
min min m2n ... mn n

Төбелері (zi ; mi) нүктелерінде (сәйкесінше (zi ; μi ) нүктелерінде)
орналасқан сынық сызықты жиіліктер (салыстырмалы жиіліктер) алқабы
(полигоны) деп атайды.
функциясын, мұнда n – таңдалым көлемі, ал k – ξ КШ
таңдалымдағы х-тан кіші мәндері саны, ξ КШ эмпирикалық (қарапайым,
тұрпайы) үлестірімділік функциясы деп атайды. Fn(x) функциясы белгісіз
үлестірімділік функциясы Ғ(х)-тың жуық баламасы іспетті, яғни Fn(x) ≈
Ғ(х). Fn(x) кемімейтін функция, оның графигі сатылы түрде бейнеленеді.
Айталық, ξ үлестірімділік тығыздығы f (x) – белгісіз болатын
үздіксіз КШ болсын. х1, х2, ... хn таңдалымы бойынша f(x)- ті
бағалау үшін ξ КШ анықталу облысын hi, (i=1, 2, ..., s), интервалдарына
бөледі. xi арқылы hi интервалының ортасын, ал ηi арқылы осы интервалға
тиісті таңдалым элементтері санын белгілейік. Онда , (i=1, 2, ..., s)
өрнегі ξ КШ xi нүктелеріндегі үлестірімділік функциясы тығыздығының жуық
бағасы. Тік бұрышты координаталар жүйесінде табаны hi - ге және биіктігі
- ге тең тік төртбұрыштарды саламыз. Осылай салынған фигураны
таңдалым гистограммасы деп атайды.

2. Статистикалық болжам. Нөлдік және конкуренттік, жай және күрделі
болжамдар

Басты жиынтықты оқып үйрену барысында оның үлестірімділік
заңдылықтарын білу қажеттілігі жиі туындайды. Егер үлестірімділік заңы
белгісіз болса, дегенмен бұл заңның түрі (А түрінде болсын делік) жөнінде
болжам жасауға негіз бар болсын делік, яғни бұл КШ А заңы бойынша
үлестірілген деген болжам ұсынылады.
КШ үлестірімділік заңының түрі белгілі, ал оның параметрі белгісіз
болатын жағдайлар бар. Егер белгісіз θ параметрінің мәні θ0 -ге тең деп
айтуға негіз бар болса, онда θ=θ0 деген болжам ұсынылады. Бұл болжамдарды
статистикалық болжамдар деп атайды.
Әдетте, ұсынылған болжамдармен қатар, оған мағынасы қарама-қайшы
келетін болжамдарды ажырата білу қажет. Ұсынылған Н0 болжамын нөлдік
(негізгі) болжам деп, ал оған мағынасы қарама-қайшы келетін болжамдарды
конкуренттік (альтернативалық) болжам деп атайды. Мысалы, нөлдік гипотеза
қалыпты үлестірілген КШ белгісіз а математикалық үміті 10-ға тең дегенді
білдірсе, онда конкуренттік болжам а ≠ 10, Н1 :а ≠ 10 .
Құрамында бір немесе бірнеше жорулары бар болжамдарды күрделі
болжамдар деп атайды. Мысалы, егер λ – көрсеткіштік үлестірім параметрі
болса, онда Н0 : λ=10 – жай болжам, ал Н: λ 10 елі болжамы шексіз көп
Н1: λ=b түріндегі жай болжамдардан құралған, мұнда b–10-нан артық кез
келген сан.
Ұсынылған нөлдік болжам дұрыс немесе дұрыс емес болуы мүмкін.
Сондықтан нөлдік болжамды тексеру қажеттігі туындайды. Нөлдік болжамды
тексеру статистикалық тәсілдермен жүргізілетін болғандықтан, бұл тексеруді
статистикалық деп атайды. Нөлдік болжамды статистикалық тексеру барысында
екі түрлі жағдайда қате шешімдер қабылдануы мүмкін, яғни екі түрлі
қателіктер кездеседі: 1-ші текті қателік – шын мәнінде дұрыс болжам қате
деп танылып, теріске шығарылады; 2-ші текті қателік – шын мәнінде дұрыс
емес болжам дұрыс деп танылып, қабылданады. 1-ші текті қателікке бой алдыру
ықтималдығын α арқылы, ал 2-ші текті қателік жіберу ықтималдығын β арқылы
белгілейді.
Нөлдік болжамды тексеру үшін дәл немесе жуық үлестірімділік заңы
белгілі арнайы бір кездейсоқ шама алынады. Жалпы жағдайда оны К арқылы
белгілейді. (Мысалы, егер бұл КШ Фишер-Снедекор заңымен үлестірілген болса,
онда оны Ғ арқылы белгілейді). Нөлдік болжамды тексеруге арналған К
кездейсоқ шамасын статистикалық критерий деп атайды. Мысалы, егер екі
басты жиынтық дисперсияларының теңдігі жөніндегі (Н0: σ12= σ22) болжамды
тексеру қажет болса, онда тексеру критерийң ретінде түзетілген дисперсиялар
қатынасын алады: . Бұл Фиршер-Снедекор заңымен үлестірілген КШ
екені анықталған. Таңдалым бойынша алдымен критерийге енетін шамалар мәндер
есептелінеді, яғни критерийдің дербес (бақыланатын) мәні анықталады.

3. Таңдаманың кейбір сандық сипаттамалары

Жаңа терминдер: медиана, мода, таңдаманың ауқымы.
Әр түрлі орталардың ішінде ең кең қолданылатыны – арифметикалық орта.
Бұл басқаларына қарағанда мағынасы жағынан да және есептеу тәсілі жағынан
да қарапайым. Берілген сандық мәліметтер х1, х2, ... , хn болсын. Олардың
саны n. Сандық мәліметтердің орташа мәні деп белгілесек, ол былайша
есептеледі.

(1.3.1)
Мысалы, оқушының алты оқу күнінде мектепке баруға кететін уақыты
(минут есебімен) мынадай болған:
35,35,25,40,30,45.
Оқушының мектепке баруға орташа есеппен бір күнде қанша уақыт керек
екенін есептейік. Ол үшін орташа мән табу формуласын қолданамыз:

Сонымен, оқушы мектепке баруға бір күнде орташа есеппен 35 минут
уақыт жібереді екен.
Егер көлемі n болатын таңдама жиілік үлестірімімен берілсе:

Кесте 1.3.1
хi x1 x2 ... xk
ni n1 n2 ... nk

38-кесте
онда таңдаманың орта мәні былайша есептеледі:
(1.3.2)
Мұндағы n = n1 + n2 + ... + nk
Мысалы таңдама мынадай жиілік үлестірімімен берілсе:
Кесте 1.3.2
хi 1 3 4 7
ni 10 3 6 1

Онда таңдаманың орташа мәні былайша есептеледі:

Сонымен, таңдаманың орташа мәні = 2,5.
Тағы да бір мысал қарастырайық. Сыныптағы 23 оқушының 11- і жыл бойы
бірде бір әдеби кітап оқымаған, 8-і тек бір ғана кітап оқыған, екеуі 3
кітаптан және екеуі 30 кітаптан оқып шыққан. Сыныптың орташа көрсеткіші
бола алатын бір оқушы неше кітап оқығанын есептейік. Алдымен берілгендерді
кесте түрінде жазып алайық:

Кесте 1.3.3
Кітаптар саны 0 1 3 30
(хi)
Балалар саны 11 8 2 2
(ni)

Орташа мәнді есептейтін формуланы қолдансақ,

Сонымен, сыныптың орташа оқушысы 3 кітаптан оқиды екен. Бірақ осы
нәтижені сыныптағы 19 оқушының (сыныптың 80%) жылда оқыған кітаптар саны
бірден артпай тұрғанда, дұрыс деп айтуға болмайды. Олай болса, сұраққа
жауап беретін басқа жол іздеу керек.
Анықтама: Өсу ретімен орналасқан таңдаманы тең екі бөлікке бөлетін
мәнді таңдаманың медианасы деп атайды да, МD деп белгілейді. Егер таңдама
көлемі тақ сан болса, медиана тең ортада тұрған мән болады да, ал таңдама
көлемі жұп сан болса, медиана тең ортада тұрған екі мәннің арифметикалық
ортасы болады.
Жоғарыдағы мысалда алынған таңдаманы бір қатарға жазып алайық:
0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 3, 3, 30, 30.
Қатарда 23 сан бар, яғни таңдама көлемі 23 – тақ сан. Таңдама
медианасы он екінші орында тұрған сан, ол жерде 1 тұр, яғни МD=1. Сонда осы
сыныптың орташа оқушысы жылына 1 кітап оқыған. Міне, осы нәтижені дұрыс
жасалған деп қабылдауға болады. Шыныда да, ықтималдықтар тұрғысынан
қарастырсақ, сыныптағы кез келген оқушының оқыған кітаптар саны бірден
артпау ықтималдығы мен оқыған кітаптар саны бірден кем болмау ықтималдығы
өзара тең. Медиана осы ықтималдықтардың теңдігін қамтамасыз ететін сан.
Енді таңдама көлемі жұп сан болатын жағдайға мысал қарастырайық.
Мынадай таңдама берілсін: 1, 2, 2, 3, 4, 4, 5, 6.
Таңдама көлемі 8. Ортада 3 және 4 саны тұр. Таңдама медианасы осы екі
санның арифметикалық ортасы болады.

Анықтама: Вариациялық қатардың жиілігі ең көп вариантасын мода деп
атайды да, МО деп белгілейді.
Мысалы мынадай таңдама жиілік үлестірімімен берілсін:
Кесте 1.3.4
хi 2 3 4 5
ni 1 15 6 3

Ең көп жиілік n2=15. оған сәйкес келетін варианта х2 =3. Олай болса,
таңдаманың МО = 3.
Практикада сандық мәліметтердің (таңдамалардың) орташа мәнін табу жиі
кездеседі. Кейбір жағдайда осы мәліметтердің орташа мәннен қаншалықты
алшақ орналасқанын да білу қажет болады.
Анықтама: Вариациядағы ең үлкен варианта мен ең кіші вариантаның
айырымы таңдаманың ауқымы деп аталады да R деп белгіленеді.
R=х max - хmin,
Сыныптағы орташа оқушының жыл бойы оқыған кітап саны жөніндегі
есептегі таңдама айқымын есептейік. Таңдамадағы ең үлкен варианта х max= 30
ал ең кіші варианта хmin=0. Олай болса, таңдама ауқымы мынаған тең:
R=30-0=30
Егер таңдама ауқымы үлкен сан болса, онда таңдама дұрыс көрсеткіш
бермейді.
Сыныпта № 709, 710, 711, 713, 715, 717, 717, 718, 719-722 есептерді
шығаруға болады.
№ 719-722 есептер оқушының тақырыпты толық түсінгенін анықтау
мақсатында шығартуға болады. № 718 есепте алдында өтіп кеткен тақырыпқа
қайталау жасауға арналып, берілген тақырыпты бекітуге арналған.

1.4 Таңдаманың дисперсиясы

Жаңа терминдер: ауытқу, таңдама дисперсиясы.
Арифметикалық орта, медиана, мода, тағы басқа орталар белгінің сандық
сипаттамасын бергенімен, олар бірліктің жиынтыққа қаншалықты бірқалыпты
қолданылуы жайлы ештеме айтпайды. Мысалы, арифметикалық орта төңірегінде
тығыз орналасса, арифметикалық ортамен белгі мәндерінің ауытқу мөлшері
кіші болса, екіншісінікі мейлінше үлкен болуы мүмкін. Олай болса,
белгіні тек арифметикалық ортамен (жалпы ортамен) сипаттау жеткіліксіз.
Демек белгіні сипаттау үшін сол арифметикалық ортамен қатар белгі
мәндерінің арифметикалық ортадан ауытқуын өзгеруін (вариациясын) дәйекті
бағалаудан, яғни сипаттамасын анықтаудың қажеттігі туады.
Мысалы, баскетбол командасындағы ойыншылардың бойлары мынадй болған:
185, 186, 186, 187, 188, 188, 189, 190, 191, 196.
Команда ойыншыларының орташа бойын есептейік:

Сонымен команда ойыншыларының орташа бойы болды.
Енді осыны басқаша есептейік. Команда ойыншыларының бойы а=188
шамасының маңында өзгереді. Әрбір мәннен осы шаманы алып тастасақ, мынадай
қатар аламыз:
-3, -2, -2, -1, 0, 0, 1, 2, 3, 8
Осы қатардың орташа мәнін есептесек:

Қатардың орташа мәні болды. Сонда жаңа қатардың орташа мәнін а
шамасына қоссақ,

Негізгі қатардың орташа шамасымен бірдей болды. Тек екінші орташа
мәнді есептеу біріншісімен салыстырғанда әлдеқайда жеңіл.
Жалпы түрде х1, х2, ... , хn - берілген таңдама, ал оның орташа мәні
болсын. Осы таңдама қандай да бір шама а шамасы маңында шоғырланған
болсын. шамалардан мынадай қатар құрайық:

Алынған жаңа қатардың орташа мәнін деп белгілесек, берілген
қатардың орташа мәні мынаған тең болады:

(1.4.1)
Сандық мәліметтердің орташа мәнде шашыраңқы орналасқандығының тағы бір
көрсеткіші дисперсия мен орташа квадраттық ауытқу.
Көлемі n болатын таңдама берілсін. Таңдамадағы сандық мәліметтер әр
түрлі дейік:
х1 , х2, ... , хк
Таңдаманың орта мәні болсын.
Анықтама: ауытқу квадраттарының ортасы таңдама дисперсиясы деп аталады
да DT деп белгіленеді.
Сонымен, таңдама дисперсиясы мынаған тең екен:
(1.4.2)
Ал, егер таңдама жиілік үлестіріммен берілсін (Кесте 1.4.1). Онда дисперсия
формуласы мына түрде жазылады:
(1.4.3)
Мұндағы n = n1 + n2+ ... + nk. Әдетте дисперсия оңай есептелетін
мынадай теорема қолданылады.
Теорема: Таңдаманың дисперсиясы таңдама квадратының орташа мәні мен
орташа мән квадратының айырымына тең:

(1.4.4)
мұндағы

ал

Дисперсия таңдамадағы мәліметтердің орташа мәнін қаншалықты шашырап
орналасқанын көрсетеді. Дисперсия артқан сайын мәліметтердің орташа мәнінен
шашырауы да арта түседі.
Келесі мысалды қарастырайық. Лабораторияда қандай да бір сұйықтықты
200 миллилитрлік құтыға құятын екі өлшеуіш прибор бар. Екі прибордың
қаншалықты дәл жұмыс істеуін тексеру мақсатында, әрқайсысымен 10 реттен
алып өлшегенде нәтиже төмендегідей болған:

Кесте 1.4.1

Бірінші 200,9 199,8 200 200,2
прибор
көрсеткіші
(А)
4 22 7 87 120

Төрт дөңгелектік диаграмманың ішінде (1.6.1 суретіне сәйкес) қайсысы
берілген кестені көрсетеді?

2-ші тапсырма.
1.6. 2 суретке сәйкес диаграммада Қазақстандағы фабрикалар мен зауыттардағы
жұмысшылар саны көрсетілген. Диаграмманың көмегімен келесі сұрақтарға жауап
беріңіз:
а) Қай айда жұмысшылар санының жылдам көтерілуі бақыланады? б) Мамыр айына
қарағанда маусым айында жұмысшылар саны қаншаға көтерілді?
в) Екінші жарты жылдықтың қай айларында алдыңғы айға қарағанда жұмысшылар
санының төмендеуі бақыланады (1.6.2 суретіне сәйкес)?

3-ші тапсырма.
Кестеде әлемдегі аудан бойынша 10 ірі елдегі интернетпен қолданатын
қолданушылардың саны көрсетілген.
а) қолданушылар санының арифметикалық ортасын табыңдар.
б) қолданушылар санының медианасын табыңдар
в) қай елдерде арифметикалық ортаға қарап интернетпен пайдаланатын
қолданушылар саны жақсы сипатталады?

Елдер Қолданушылар саны (млн)
Ресей 30
Канада 24
АҚШ 220
Қытай 213
Бразилия 68
Австралия 15
Аргентина 11
Үндістан 81
Қазақстан 2
Судан 4

Кесте 1.6.2

4-ші тапсырма.
Швейцар сағатты арнайы тесттің көмегімен дәлдікке сыналады.
Тесттің жүргізілуі барысында уақыттың өлшеуіндегі қателіктің
айқындалуы (тәулік ішіндегі секунд есебімен) әр түрлі температурада,
механизмнің әр түрлі қолданысында және ылғалдылығында.
Сағат дәлдік сертификатын егер қателік қарқыны тәулік ішінде 4,5
секунд байқалса, ал дисперсиясы 3 кем болуы керек. Егер орта қателігі 2
секундтен асса, онда сағатты жөндеу керек.
Кестеде бір сағаттық механизмнің бес тәжірибеден кейінгі
қорытындылары берілген:

Кесте 1.6.1
Тәжірибе 1 2 3 4 5
нөмірі
Қателігі -1,1 -2,7 -0,8 -5,5 -2,9
(с)

а) қатенің дисперсиясын, орташа қателігін және қарқынын есепте.
б) осы сағат дәлдік сертификатын алатынын анықтаңдар.
в) Осы сағат жөндеуді талап ететіндігін анықтаңдар.

Жауаптары.
Тапсырмала нөмірі Жауаптары
1 3
2 а) маусымда; б) 230 мың адам шамасында;
в) тамыз, қараша және желтоқсан
3 а) 66,8 млн; б) 27 млн; в) медиана, өйткені
берілгені мағынасы жағынан басқаға
қарағанда ерекшеленеді
4 а) орташа қателігі 2,6 (немесе -2,6) с;
қарқыны 4,7с; дисперсиясы 2,8. б) қарқыны
4,5с асқандықтан сағат алмайды.
в) жөндеуді қажет етеді, өйткені орта
қателігі 2 с жоғары.

2 Ықтималдылықтар теориясының элементтері

10-сынып матеметикасында кездейсоқ оқиға түрлерімен (үйлесімсіз және
үйлесімді оқиғалар, тең мүмкіндікті оқиғалар, мүмкін болатын оқиғалар,
тәуелді және тәуелсіз оқиғалар) танысып, олардың ықтималдылықтары қандай
деген мәселені қарастырды. Басқаша айтқанда, тәжірибе нәтижесінде пайда
болатын оқиғаның сапалық сипаттамасы – кездейсоқ оқиғамен жұмыс жасалынды.
Енді 11-сыныпта оқиғалардың сандық сипаттамасымен танысады. Сандық
болғандықтан оқиға қандай да бір сандық шамамен сипатталуы керек. Мысалы,
бір тәуліктің сандық сипаттамасы ретінде оның ұзақтығын алуға болады. Бір
тәулікте 24 сағат бар. Ол өзгермейді, яғни тұрақты шама. Ал осы бір тәулік
ішінде адамның жұмыс істеу уақытын алатын болсақ, ол өзгереді, яғни
кездейсоқ шама болады. [16]

2.1 Кездейсоқ шамалар

Жаңа терминдер: кездейсоқ шама, дискретті кездейсоқ шама, үзіліссіз
кездейсоқ шама, кездейсоқ шамаларды қосу, кездейсоқ шамаларды көбейту,
Х квадрат шама.
Практикада бірқатар мәндер қабылдайтын шамалар жиі кездеседі, бірақ
олардың қарастырылып отырған тәжірибеде, құбылыста, бақылауда қандай мән
алатынын алдын ала дәлдеп айту мүмкін емес. Оған төмендегі мысалдар айғақ.
1-мысал. Жаңа туған 50 нәрестенің нешеуі ұл бала болуы мүмкін?
Жаңа туған 50 нәрестенің нешеуі ұл болуын алдын-ала айта алмаймыз.
Өйткені ескеруге мүмкін емес көптеген себептер нәтижесінде нәрестенің ұл
бала саны 0,1,2, ... ,50 болып өзгеріпе отырады. Бұлар кездейсоқ шаманың
қабылдайтын мүмкін мәндері болады.
2-мысал. Кез-келген мақта қауашағында неше шит болуы мүмкін?
Қауашақта неше шит болуын алдын-ала айта алмаймыз, яғни бұл кездейсоқ
шама. Ал қауашақтағы шит саны 1, 2, 3, ... ,n болуы сол кездейсоқ шаманың
қабылдайтын мүмкін мәндері.
3-мысал. Ойын сүйегін лақтырғанда ұпай санының пайда болуын алдын-ала
айта алмаймыз.
Бұл мысалдар ұпай саны –кездейсоқ шама, ойын сүйегінің жақтарын
көрсететін 1, 2, 3, 4, 5, 6 сандары – кездейсоқ шаманың қабылдайтын мүмкін
мәндері.
4-мысал. Қолдағы лотереяның ұтыс мөлшерін білмейміз.
Лотереяның ұтыс мөлшері – кездейсоқ шама, ал оның ұту мөлшерінің
түрлі мәндері-сол кездейсоқ шама қабылдайтын мүмкін мәндер.
5-мысал. Кездескен оқушының математикадан сұрағанда алатын бағасы
қандай болатыны белгілі.
Оқушының үлгеруі-кездейсоқ шама. Ал оның 1, 2, 3, 4, 5, деген баға алуы
сол кездейсоқ шаманың қабылдайтын мүмкін мәндері.
6-мысал. Мезгеуі жететін аралықтағы нысанға дәлдеп оқ атылады. Неше
мәрте атылғанда нысанаға оқ тиеді?
Атылған оқтың нысанаға тиюі - кездейсоқ шама. Өйткені ол нысанаға
бірінші атылғанда, бәлкім екінші атылғанда тиюі мүмкін. Жалпы атылған
(шексіз атылған) оқтар тимеуі де мүмкін.
7-мысал. Нысанаға дәлдеп оқ атылды. Оқты атқан жер мен оның түскен
жеріне дейінгі аралық –кездейсоқ шама. Шынында да, бұл аралық көптеген
себептер (дәл көздеу қолының тұрақтылығы, психологиялық ұстамдылық)
нәтижесінде өзгеріп отырады. Бұл шаманың қабылдайтын мүмкін мәндері
қандайда бір аралықта болады.
8-мысал. Электролампаның белгілі бір уақұытқа дейін жануы; белгілі
бір мезгілде соғылатын телефон қоңырауы; сатушының белгілі бір мезгілде
қызмет етуі-кездейсоқ шамалар.
Бұл келтірілген мысалдардың бәріне де қарастырып отырған шаманың
пайда болуын алдын-ала айтуға мүмкін емес. Өйткені, оның өзгері қандай да
ескеруге болмайтын кездейсоқ себептерге байланысты. Сондықтан да олардың
қабылдайтын мәндері әр түрлі, мәселен, бірінші мысалда 0, 1, 2, ... 50,
екіншіде -1, 2, 3, ... , n, үшіншіде - 1, 2, 3, 4, 5, 6 сандары және тағы
сол сияқты.
Сонымен, сынау нәтижесінде қандай да бір мүмкін мәнді қабылдайтын
шаманы кездейсоқ шама дейміз. 1-6 мысалдарда кездейсоқ шамалардың
қабылдаған мүмкін мәндерін жекелеп, айырып санауға келетін мәндер болып
отыр. Мұндай шамаларды дискретті кездейсоқ шамалар дейміз. Дискретті
кездейсоқ шама қабылдайтын мүмкін мәндері шекті де (-5 мысалдар), саналымды
шексіз де (мысал) болуы мүмкін. Ал 7-8 мысалдарда кездейсоқ шаманың мүмкін
мәндері жекелеп, айырып санауға келмейді, белгілі аралықты біртұтас
толтырып отыр. Мұндай шаманы үздіксіз кездейсоқ шама дейміз.
Кездейсоқ шамалар латын алфавитінің бас әріптерімен Х, Ү, Z, ... , ал
олардың қабылдайтын мәндері кіші әріптерімен х1, х2, ... ,хn ; у1, у2, ...
уn ; z1, z2, ... , zn белгіленеді.
Анықтама: Х және Ү кездейсоқ шамаларының қабылдайтын барлық мүмкін
мәндерінің парланған әр түрлі қосындысын қабылдайтын кездейсоқ шаманы екі
кездейсоқ шаманың қосындысы деп атайды.
Екі кездейсоқ шаманың қосындысы Х+Ү деп белгіленеді.
Анықтама: Екі Х және Ү кездейсоқ шамаларының қабылдайтын барлық
мүмкін мәндерінің қабылдайтын барлық мүмкін мәндерінің парланған әр түрлі
көбейтіндіісі қабылдайтын кездейсоқ шаманы екі кездейсоқ шаманың
көбейтіндісі деп атайды.
Екі кездейсоқ шаманың көбейтіндісін Х·Ү деп белгілейді.
Айталық Х және Ү кездейсоқ шамалары сәйкес мынадай мәндер қабылдасын
Х:х1, х2; Ү:у1, у2

Сонда, кездейсоқ шаманың қабылдайтын мүмкін мәндері:
Х+Ү: х1 + у1 , х2 + у1; х1 + у2, х2 + у2,

ал, Х·Ү кездейсоқ шаманың қабылдайтын мәндері
Х·Ү: х1 · у1 , х2 · у1; х1 · у2, х2 · у2,

және бұл мүмкін мәндердің арсында өзара бірдейлері болса, оларды қайталап
жазбай, бір рет қана жаазады.
Мысалы: Х және Ү кездейсоқ шамалары сәйкес мынадай мәндер
қабылдасын:
Х: 0, 1, 2; Ү: 2, 3

Х+Ү кездейсоқ шаманың қабылдайтын мүмкін мәндерін табайық. Ол үшін
мүмкін мәндерінің парланған қосындысын құрайық:

0+2=2, 1+2=3, 2+2=4, 0+3=3, 1+3=4, 2+3=5.

Осы қосындылар арасындаағы әр түрлі мәндер Х+Ү кездейсоқ шаманың
қабылдайтын мүмкін мәндері болады, яғни

Х+Ү: 2, 3, 4, 5.

Жоғарыдағы Х және Ү кездейсоқ шамаларды көбейтейік. Ол үшін мүмкін
мәндерінің парланған көбейтіндісін құрайық:

0·2=2, 1·2=2, 2·2=4, 0·3=0, 1·3=3, 2·3=6

Осы көбейтінділер арасындаағы нөлден өзге әртүрлі мәндер Х·Ү
кездейсоқ шаманың қабылдайтын мүмкін мәндері болады, яғни
Х·Ү: 0, 2, 3, 4, 6.
Анықтама: Х кездейсоқ шаманың барлық мүмкін мәендерінің квадраттарын
қабылдайтын кездейсоқ шаманың Х квадрат шама деп атайды. Х квадрат шаманы
Х деп белгілейді.
Мысалы, Х кездейсоқ шамасы мынадай мәндер қабылдасын
Х: -2, 0, 1, 2, 3
Х шаманың қабылдайтын мүмкін мәндерін табайық. Х кездейсоқ шаманың
мәндерін квадраттайық:
(-2)2 =4, 02 =0, 12 =1, 22 =4, 32 =9
Осы квадраттар арсындағы әр түрлі мәндер Х кездейсоқ шаманың
қабылдайтын мүмкін мәндері болады, яғни

Х2: 0, 1, 4, 9

№ 597- 604 есептер кездейсоқ шама туралы материалды игеруге
арналған. № 605, 606 есептерде кездейсоқшаамаларға қосу амалын, ал № 607,
608 есептерге көбейту амалын қолдану керек.

2.2 Кездейсоқ шаманың үлестірім заңы

Жаңа терминдер: үлестірім заңы, үлестірім көпбұрышы.
Дискретті кездейсоқ шаманы анықтауүшін әдетте кесте құрады. Мұндай
кестеде екі жолболады. Оның бірінші жолында кездейсоқ (Х) шаманың
қабылдайтын мәндері х1, х2, ... , хm ал екінші жолында сол мәндерді
қабылдау ықтималдылықтары (Р) жазылады:

Кесте 2.2.1
Х х1 х2 ... хn
Р р1 р2 ... рn

Мұндай кестені кездейсоқ гамманың үлестірім кестесі немесе үлестірім
заңы деп атайды.
Мынадай мысалдар қарастырайық:
1-мысал. 6 парақ қағаз 5-тен 10-ға дейінгі сандар жазылған. 20 санын
сол парақтардың кез-келген біреуінде жазылған санға бөлейік. Сол бөлуден
қалған қалдықты дискретті кездейсоқ шама деп есептеп, оның үлестірім заңын
табайық. Кездейсоқ шама мынадай мәндерді қабылдауы мүмкін: 20:5=4(қалдық
0), 20:6=3(қалдық 2), 20:7=2(қалдық 6), 20:8=2(қалдық 4), 20:9=2(қалдық 2),
20:10=2(қалдық 0). Қалдықтың шамасы алынған парақта қандай сан жазылғанына
байланысты, ол қалдықтардың әрқайсысының ықтималдылығы . Сонда
үлестіірім заңы былай жазылады:
Кесте 2.2.2
Кездейсоқ Х 0 2 4 6
шамасы-ның
мәндері
Оларға сәйкес =[p=
ықтимал-дықтарic]
дың мәндері

Немесе
Кесте 2.2.3
Х 0 2 4 6
Р

2-мысал. Дүкеннен зат сатып алушы қателесіп, төлейтін ақшасын артық
есептеген (бірақ 3-теңгеден көп емес), кассир де қателесіп, зат бағасын кем
есептеген (бірақ 3-теңгеден көп емес). Аталған баға мен тауардың дұрыс
бағасы арасындағы айырымды дискретті кездейсоқ шама деп есептеп үлестірім
заңын жазайық.
Сатып алушының да, кассирдің де 1 теңгеге, 2 теңгеге, 3 теңгеге
қателесуінің мүмкіндіктері бірдей. Сатып алушы (+1) теңгеге қателескенде
кассир (-1) теңгеге, немесе (-2) теңгеге, немесе (-3) теңгеге қателесуі
мүмкін. Сондай қателерге сәйкес кездейсоқ шаманың мәндері 0, немесе -1,
немесе -2 болады. Бұл нәтижелердің әрқайсысының ықтималдылығын
ықтималдылықтарды көбейту формуласы бойынша табуға болады.

·=

Сатып алушы (+2) теңгег (+3) теңгеге қателескенде кассирдің жіберетін
қателерін ескере отырып, кездейсоқ шаманың мәндерін былай жазуға болады:

Кесте 2.2.4

Сатып алушы 1 Сатып алушы 2 Сатып алушы 3
теңгеге теңгеге теңгеге
қателескенде қателескенде қателескенде
Х 0 -1 -2 1 0
Р

Сонымен кездейсоқ шаманың мәндер қабылдау мүмкіндігін олардың
ықтималдылықтарымен сипаттауға болады екен.

Анықтама: Кездейсоқ шаманың қабылдайтын мәндері мен олардың сәйкес
ықтималдықтарын көрсетіп жазуды дискретті кездейсоқ шаманың үлестірімзаңы
деп атайды.
Дискретті кездейсоқ шаманың үлестірім заңы кездейсоқ шаманы толық
сипаттайды. Бұл заңды кесте түрінде көрсеттік. Дискретті кездейсоқ
шаманың үлестірім заңын графиктік түрде де бейнелеуге болады. Ол үшін
жазықтықтағы тікбұрышты координаттар жүйесінде (Х,Р) нүктелерін белгілейді
де, оларды ретіне қарай жалғастыратын кесінділер жүргізеді. Шыққан фигураны
үлестіру көпбұрышы төмендегі суреттерде салынған (1-мысалдың үлестіру
көпбұрышы 2.2.1 суретке сәйкес, ал 2-мысалдың үлестіру көпбұрышы 2.2.2
суретке сәйкес).

Р
Р

0 2 4 6 Х -2
-1 0 1 2 Х
Сурет 2.2.1
Сурет 2.2.2

1-мысалдағы оқиғалардың біреуінің орындалуы басқасын болдырмайды,
яғни олар үйлесімсіз және де тәжірибе нәтижесінде осы төрт оқиғадан басқа
мүмкін оқиға жоқ, онда бұлар мүмкін болатын оқиғалар болады. Үйлесімсіз,
мүмкін болатын оқиғалар ықтималдығының қосындысы қосындысы1-ге тең болуы
керек қой. Тексеріп көрейік:

+++===1

Жалпы айттсақ, кездейсоқ шаманың мүмкін мәндерін қабылдау
ықтималдықтарының қосындысы 1-ге тең болады:

р1 + р2 + ... + рn =1
(2.2.1)

№622 есеп. Х кездейсоқ шаманың үлестірім заңы мынадай:
Кесте 2.2.6
Х 0 1 2
Р1 0,25 Р2 0,25

Р2 қандай мән қабылдайтытын табыңдар.
Шешуі: Кездейсоқ шаманың мүмкін мәндерін қабылдау ықтималдықтарының
қосындысы бірге тең екені белгілі, сондықтан р2 келесі мәнді қабылдайды:

1-(0,25+0,25)=0,5

№ 631 есеп. Екі ойын сүйегі лақтырылды. Түскен ұпайлар санының
қосындысының үлестірім заңын жазыңдар.
Шешуі: Екі ойын сүйегіни лақтырғанда жоғары қарап түскен сандардың
қосындысы кездейсоқ шама болып табылады. Ұпайлар санының қосындысы 2, 3, 4,
... , 11, 12 болуы мүмкін, олар кездейсоқ шаманың қабылдайтын мүмкін
мәндері. Енді кездейсоқ шамалардың осы мәндерін қабылдау ықтималдығын
есептейік. Х кездейсоқ шаманың х1=2 мәнді қабылдау ықтималдығы екі ойын
сүйегін лақтырғанда мүмкін болатын жағдайлар ішіндегі бір ғана қолайлы
жағдай бар, ол сүәектердің жоғары қарап 1 және 1 сандарының түсуі.
Сондықтан р1=·х2=3 мәнін қабылдау ықтималдығы р2=. Өйткені барлық
мүмкін болатын жағдайлардың ішінен жоғары қарап 2 және 1 немесе 1 және 2
сандары түсуі мүмкін, сонда р2==. Сол сияқты х3= 4 болғандағы
мәнді қабылдауықтималдығы р3 ==. Осылайша келесі үлестірім
заңын аламыз:
Кесте 2.2.7
Х 2 3 4 5 6
Р 0,3 0,7 Р 0,4 0,6

Алдымен Х+Ү кезденйсоқ шамасының қабылдайтын мәндерін құрамыз:

Х+Ү: 20, 19, 18.

Енді Х+Ү кездейсоқ шаманың үлестірім заңын жазу үшін
{Х+Ү=20},{Х+Ү=19},{Х+Ү=18} оқиғаларының ықтималдықтарын есептеу керек.
{Х+Ү=20} оқиғасының ықтималдығын табайық. Егер екі мерген де 10
ұпайдан алса, онда осы оқиға орындалады. Басқаша айтқанда {Х=10} және
{Ү=10} оқи оқиғалары қатар орындалса:

{Х+Ү=20}={Х=10}·{Ү=10}

Х және Ү кездейсоқ шамалары тәуелсіз екенін ескеріп, ықтималдықтарын
табамыз.

Р({Х+Ү=20})=Р({Х=10})·Р({Ү=10})=0,3 ·0,4=0,12
Енді {Х+Ү=19} оқиғасының ықтималдығын табайық. Бұл оқиға бірінші
мерген 10 ұпай, ал екінші мерген 9 ұпай алса немесе бірінші мерген 9 ұпай,
ал екінші мерген 10 ұпай алса орындалады. Яғни:
{Х+Ү=19}={Х=10}·{Ү=9}+{Х=9}·{Ү=10}

... жалғасы

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.