Ықтималдылықтар теориясының элементтері

Жұмыс түрі: Дипломдық жұмыс
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 43 бет
Таңдаулыға:

Кіріспе

Қазіргі кездегі ғылым мен техниканың қарыштап өсу дәуірінде
ықтималдықтар теориясының әдістері практиканың сан алуан салаларында
кеңінен қолданып физика, химия, биология құбылыстарының, техника мен
экономика процестерінің заңдылықтарын жан-жақты және терең түсінуге орасан
зор ықпалын тигізуде.
Орта мектептердегі жаңа бағдарламаларға сәйкес алгебра пәніне
ықтималдықтар теориясын енгізу және оның оқыту әдістемесін жасау алға
қойылған міндеттердің бірі. Ықтималдықтар теориясы туралы алғашқы зерттеу
жұмыстары ХҮІІ ғасырда басталды. Европа елдерінде әр түрлі құмар ойындардың
кең таралуына байланысты әр ойыншы өзінің жеңілмеу ықтималдығын алдын ала
анықтауға тырысты. Сол кездегі математиктер де бұл мәселеге назар аударып
бірнеше рет қайталанатын кездейсоқ оқиғалар туралы заңдылықтар алуға
талпынды.
ХҮІІІ ғасыр аяғы мен ХІХ ғасыр басында А.Муавр, Л.Эйлер,
Н.Бернулли, француз П.Лаплас, С.Пуссон, неміс ғалымы К.Гаусс геодезия мен
астрономия өркендеуіне қатысты өлшеу қателіктерін бағалау, ату
теориясындағы снарядтардың жағдайларын анықтау үшін ықтималдықтар
теориясының ролін көрсету мақсатында ғылыми жұмыстар жүргізді.
ХІХ ғасыр ортасында Ф.Гальтон, Л.Больцман, А.Кетле, А.М.Ляпунов,
П.Л.Чебышев, А.К.Колмагоров сияқты ғалымдар жиындар теориясы, нақты
айнымалылар функциялар теориясы, функционалдық анализ сияқты жоғары
математиканың жаңа табыстарына сүйенетін ықтималдықтар теориясының
өркендеуіне негіз салды.
Ықтималдықтар теориясының дамуына байланысты оның адамзат өмірінде
қолдану мүмкіндігі артты. Жалпы алғанда ықтималдықтар теориясының әдісі
ғылымның барлық саласына өз үлесін қосады. Ал математика ғылымында алатын
орны ерекше.
ХХ ғасырдың екінші жартысынан бастап құбылыстардың сандық өлшемдері
әр түрлі процестердің, атап айтсақ, өндірісті математикалық модельдеу мен
ғылыми шығармашылықтың алғашқы шарты болды, яғни ықтималдық ерекше маңызға
ие болды. Оқиға туралы ғылым көптеген мамандық иелерінің: инженерлер,
экономистер, дәрігерлер және басқа да саладағы мамандардың ортасына енді.
Бүкіл әлемде осы ғылымға қызығушылықтың артқаны соншалық, тіпті
ықтималдықтар теориясы жиі қолданатын болды деп айтсақ, қателеспейміз.
Қазіргі таңда ықтималдықтар теорисының әдістері кең қолданыс табатын
ғылым мен техниканың жаңа салаларының пайда болуы және олардың тез
қарқынмен дамуына байланысты математиканың бұл тарауына деген сұраныс күрт
артып отыр. Атап айтқанда, кейінгі кезде ықтималдық теориясын медицинада
және биология, әскери ғылым мен косманавтика, лингвистика , психология
теориясы мен оқыту теориясы, т.б ғылымда да қолдана бастады. Бұлар –
ақпарат теориясы, сенімділік теориясы, сапаны статистикалық бақылау,
тәжірибені жоспарлау және т.с.с. сондықтан да ықтималдық теориясы мен
математикалық статистика аэлементтері тек қана жоғары немесе арнаулы оқу
орындарында ғана емес, жалпы білім беретін орта мектептерде оқытылуда.
Ықтималдықтар теориясы мен математикалық комбинаторика, статистика
элементтерін мектеп тәжірибесіне енгізу қазіргі қоғам талабына сай
математикалық білім берудің мақсатынан, яғни оқушыларды әдіснамалық тұрғыда
тәрбиелеуде, математика курсының дүниетанымдық көзқарасына бағдарлауына,
терең әрі негізделген пәнаралық байланыстарды құрудың мүмкіндіктерінен
шығады. Бұл оқу материалдары адамның ақпаратты, сауатты түсінуіне және
талдауға білікті болуына, нақты тәуелділіктердің ықтималдық сипатын және
оның түрлі формасын анықтауына, қарапайым есептеулерді жүргізе алуына өте
қажет.
Қазақстан Республикасының орта білім беру мемлекеттік стандартында
математикада ықтималдық теориясы мен математикалық статистика элементтері
бойынша оқушыларға қойылатын талаптар ауқымы айқындалған.
Комбинаторика, ықтималдық теориясы мен математикалық статистика
элементтері бастамалары математикалық білім беру бағдарламасының мазмұнынан
нақты орын алады.
Комбинаториканың кейбір элементтері б.з.д. ІІ ғасырдың өзінде-ақ
Үндістандабелгілі болған.
ХІІ ғ. Бхаскара бірігу мен орын ауыстырулардың кейбір түрлерін
есептеді. Үнді ғалымдары бірігулерерді поэтикада, шығармашылық туындылар
мен өлең құрылымы туралы ғылыммен байланыстыра игерген деп болжайды,
мысалы, п буыннан тұратын ұзақ және қысқа буынды бірігулердің мүмкін
мәндерімен байланыстырады.
Апиан (ХҮІ ғ.), Штифель мен Тартальяға тәуелсіз француз математигі
Эригон (ХҮІІ ғ.) өзінің Практикалық арифметикасында (1634) - і
анықтайды. Екінші француз авторы А.Такке Арифметика теориясы мен
практикасы (1656) кітабында бірігулер мен ауыстыруларға бір тарауды
толығымен арнайды.
Комбинаторика термині 1666 ж. Г.Лейбництің бірігулер мен
ауыстырулар ілімі ғылыми негіз болып табылатын Комбинаторика өнері туралы
толғам атты еңбегінен кейін қолдана бастады. Орналастырулар ұғымын
алғаш рет Я.Бернулли өзінің 1713 ж. жарық көрген атақты ARS
conjectandi(Болжау өнері) кітабының екінші бөлімінде қарастырды. Ол біз
қолданып жүрген ауыстырулар терминін енгізді. Ал бірігулер терминін
Б.Паскаль да қолданған.
Жоғарыда айтылғандар диплом тақырыбын осылай таңдауға себеп болды.
Диплом жұмысының мазмұнына ықтималдықтар теориясы және жаратылыстану
ғылымдары бағытындағы комбинаторика элементтеріне қолданып шығарылатын
көптеген негізгі мысалдар қарастырылды.
Диплом жұмысының мақсаты комбинаторика және ықтималдықтар теориясы
сапалы білім беру оқу үрдісін ұтымды ұйымдастыруғы қолданыс мүмкіндіктерін
қарастыру.
Алға қойған мақсатқа жету үшін төмендегі міндеттер шешімін тапты:
-оқу -әдебиет көздеріне шолу жасалып, талдаулар жүргізу;
-комбинаторикалық есептердің теориялық негіздерін қарастыру;
-тақырыптың ерекше қарастырылуының себебі, оқу әдістемелік
құралдармен қамтамасыз етуді қарастыру;
-оқушыларға теориялық білімді меңгертуде ақпараттық технология
мүмкіндіктерін пайдалана отырып жүргізу.
Дипломдық жұмыстың бірінші тарауында комбинаторика элементтері туралы
айтылса, екінші тарауда ықтималдықтар теориясының білім беруде қолдану
мүмкіндіктері кқрсетілген.

1. Математикалық комбинаторика элементтері

1. Комбинаторика ұғымы

Комбинаторика қандай да бір шектелген жиынның элементтерінен
құрастырылған бірігулердің (біріктірулердің) әр түрлі тектерімен
айналысады. Комбинаторика термині латынның combina – біріктіру деген
сөзінен шыққан.
Кез келген А оқиғасының ықтималдығын классикалық анықтама бойынша
есептеу үшін А-ға тиісті нүктелердің (А оқиғасына қолайлы жағдайлардың)
санын барлық нүктелер (барлық жағдайлар) санына бөлуіміз керек. Бұл –
комбинаторика ережелерін қолдану арқылы жеңіл жүргізіледі.
Комбинаторика – математика тарауларының бірі. Мұнда шекті жиын
элементтерінің түрлі қосылыстары, басқа айтқанда, әр қилы конфигурациялары
қарастырылып, олардың сандары саналады және де есептеледі.
Теориялық зерттеу тұрғысынан алғанда комбинаторика алғаш рет XVII
ғасырдағы Я.Бернулли, Эйлер еңбектерінде қарастырылған. Ұлы математиктердің
бұл шығармаларында комбинаторикалардың кездесуі бір жағынан алғанда
тұрмыстық сан алуан мұқтаждарына байланысты болса, ал екінші жағынан
алғанда, математиканың өз ішіндегі дамуларымен ұштасып жатыр.
Классикалық анықтамаға негізделген ықтималдықтарды есептеу А
оқиғасының пайда болуына қолайлы, элементар оқиғалар саны m - ды және
барлық элементар оқиғалар саны n - ды табу тіреледі. Ықтималдықтар
теориясында m мен n мәндері, ілгеріде көрсетілгендей оп-оңай анықтала
бермейді. Бұларды табу үшін қайсыбір жиын элементтерін түрліше алу
тәсілдерін қарастыруға тура келеді. Мәселен, жәшіктегі әріптер жиыны a, b,
c элементтерінен құралған десек, онда бұл жиыннан әріптерді: 1) бір-бірден
3 тәсілмен аламыз (a, b, c); 2) екі-екіден 6 тәсілмен аламыз (ab, ba, ac,
ca, bc, cb); 3) үш-үштен 6 тәсілмен аламыз (abc, acb, bac, bca, cab).
Мұндағы алынған әріп тіркестерінің бір-бірінен айырмашылығы
элементтерінде, не элементтерінің орналасу ретінде болып отыр. Мұндай
тіркестер – жиын элементтерінің комбинациясы (қосылысы) болып, бірнеше
реттелген жиындар жасайды. Мысалы, көрсетілген үш элементті жиыннан
әрқайсысы екі элементтен 6 реттелген жиын алып отырмыз. Сондай-ақ
4элементті {a, b, c, d} жиыннан әрбір екі элементтен тұратын 12 реттелген
жиын алуға болады және және т.с.с. Сонымен , шешуі: нешеу, неше
тәсілмен деген сұрауларға жауап беруді қажет ететін есептер
комбинаторикалық есептер делінеді. Мұндай есептерді шешумен айналысатын
математика саласы комбинаторика деп аталады.
Кейінгі жылдары комбинаториканың практикада кең қолданыс табуына
электрондық есептегіш техниканың дамуы шектеулі математика ролінің артуы
негізгі себеп болып отыр.
Комбинаториканы пайдаланып, оқиға ықтималдығын анықтау таңдаманы
жиыннан алу тәсіліне байланысты. Мұны түсіндіруді мысалдан бастайық.
1-мысал. Елімізде автомашиналардың серияларын анықтау ісімен мемлекеттік
автоиспекция шұғылданады. Олар екі, үш әріптен неше комбинация жасайтынын
білуі тиіс. Бұл фактіні байланыс қызметкері де, кодылау мамандары да білуге
тиіс. Сонымен, орыс алфавитіндегі 32 әріптен үш әріптен құралатын
комбинацияны неше тәсілмен жасауға болады.
Шешуі: бұл есепті шешу әріптер жиынынан алынатын үш әріп комбинациясына
қойылатын талапқа байланысты. Түсінікті болу үшін бұл әріптердің әрбіреуін
формасы бірдей жеке карточкаларға жазайық. Сөйтіп оларды топтастырайық,
яғни бір колода етейік. Сонда колодадағы карточкалар жиын болады. Әріптерді
колодадан екі түрлі жолмен таңдап алуға болады.
Бірінші тәсіл (қайталанбайтын таңдама).Бірінші алынатын әріп колодадағы
32 әріптің бірі болады, яғни оны 32 тәсілмен алуға болады. Ал, екінші әріп
колода да қалған 31 әріптен алынады. Сонда шығатын әр түрлі екі әріпті
комбинациялар саны 32 ( 31 = 992 болады. Бұл екі әріпті тіркестердің
әрқайсысы үшінші алынатын әріппен тіркесіп үш әріпті тіркес құрайды. Сонда
олар 32 ( 31 ( 30 = 29760 тәсілмен алынады. Бұл жағдайда әрбір үш әріпті
тіркестегі әріптер әр түрлі болып кездеседі.
Екінші тәсіл (қайталанатын таңдама). Бірінші алынған әріп таңбасы
белгіленген соң , ол колодаға қайыра салынады. Сонда екінші алынатын әріп
те колодадағы 32 әріптің бірі болады. Олай болса, екі әріпті тіркестіреді
тәсілмен алуға болады. Осы сияқты үш әріпті тіркестер
32∙32∙32==32768
тәсілмен жасалады. Бұл жағдайда үш әріпті тіркестердің жасалуына ешқандай
шек қойылмайды,яғни мұнда әрбір әріп бір тіркестердің ішінде екі рет,үш рет
қайталанып келуі мүмкін.
Сонымен, 32 әріптен үш-үштен алу таңдама болып табылады. Бірінші жолы
колодадан қай әріп алынатыны белгіленгеннен кейін, колодаға ол қайта
салынған жоқ. Сондықтан мұндай таңдама қайталанбайтын таңдама деп атаймыз.
Екінші жолы колодадан алынған әріп белгіленіп алынғаннан кейін, ол қайтадан
колодаға салынады. Сонда екінші әріп колодаға онда екінші әріп колодаға 32
әріптің ішінен алынады. Үшінші әріпті алғанда өзгермейді. Сондықтан бұлай
таңдауды қайталанатын таңдама деп атайды. Ал, элементтері алынып отырған
жиын, яғни 32 әріп жиыны бас жиын болады. Әдетте, бас жиындағы әріптер сол
жиын элементтері болады.
Көбейту ережесі. Егер А жиыны a1, a2, ... , am, элементтерінен, яғни m
элементтен, ал В жиыны b1, b2, ... , bk элементтерінен, яғни k элементтен
құралатын болса (бұл екі жиын бір жиыннан алынуы да мүмкін), онда олардың
әрқайсысынан бір-бір элементтен ылынған әр түрлі (ai, bj) комбинациялары
саны mk болады (i = 1, 2, ... , k).
Шынында да, бұлардың (ai, bj) түрінде m горизонталь және k вертикаль
жолдардан тұратын мына таблицаға орналастыруға болады.

1 – кесте

В b1 b2 ... bk
А
a1 (a1 ,b1) (a1 ,b2) ... (a1 ,bk)
a2 (a2 ,b1) (a2 ,b2) ... (a2 ,bk)
... ... ... ... ...
am (am ,b1) (am ,b1) ... (am ,bk)

Бұл кестедегі әрбір (ai, bj) тек бір реттен ғана кездеседі. Олардың
барлық саны – mk. Бұл ереже жиын саны екіден артық болғанда да орындалады.
Мысалы, элементтер саны сәйкес m, k , h болатын үш жиын А = {a1, a2, ... ,
am}, B = {b1, b2, ... , bk}, C = {c1, c2, ... , ch} берілсін. Әр жиыннан тек
бір элементтен ғана алынған әр түрлі (ai, bj, cl) үш элемент комбинациясын
жасауға болады, мұндағы i = 1, 2, ... , k және i = 1, 2, ... , h. Олардың саны
m, k, h болады, өйткені А және В жиындарынан алынған әрбір (ai, bj) пары
үшінші жиынның әрбір элементімен комбинацияланады. Бұл комбинациялар саны,
әрине (mk) h = mkh санына тең. Енді комбинаторика ұғымын ықтималдықтар
теориясының есептерін шешуге қолданамыз. Ол үшін формулаларды қорытудың
қажеттігі туады. Бұл формулалар екі түрлі жағдайда қарастырылады. Біріншісі
қайталанбайтын таңдама үшін болса, екіншісі қайталанатын таңдама үшін
болады.

2. Комбинаториканың негізгі элементтері

Табиғатта,қоғамда,ғылым мен техникада, өндіріс орындарында, күнделікті
өмірде әртүрлі әдістермен шешілетін, шешімдері көп есептер жиі кездеседі.
Мұндай есептерді шешумен айналысатын математика саласы комбинаторика деп
аталады.Комбинаториканың қарапайым бөлімдері орналыстырулар, алмастырулар,
терулер деп аталады.
Комбинаториканың негізгі принципі. Әр қайсысы шеткі А1 , A2 ,...,Ak
жиындары берілсін.осы жиындардың жазылу нөмерлеріне қарап, бұл міндетті
түрде , бір – бірлеп элементтерін алалық.осындай тәртіппен алынған
элементтерін кортеж деп атайды және оны былай жазады.
Т е о р е м а. А1 , A2 ,...,Ak жиындарының элементтерінен жасалған барлық
кортеждердің саны n(A1) n(A2) ...n(Ak) көбейтіндісіне тең.
Д ә л е л д е у. Толық математикалық индукция әдісін
қолданамыз.Индукцияны k бойынша жүргіземіз. k=2 болсын. A1= және
A2= деп белгілелік. an1 элементтерінен (аn1,bn2) кортежін
құралық. Сонда кортеж парға айналды. Сөйтіп мұндай кортеждердің саны n(A1)∙
n(A2) көбейтіндісіне тең. Сонымен, k=2 үшін теорема дәлелденді.
Мысалдар.
1.Бірде – бір цифры қайталанбайтын төрторынды сандардың саны қанша?
Шешуі. Төрторынды санды (i, j, k, l) кортежі деп қарастырамыз. i – дің
орнында 1,2,3,4,5,6,7,8,9 цифрларының бірі тұра алады. j – дің орнында
қалған 9 цифрлардың біреуі тұра алады, өйткені бұл жерде нөлде болуы
мүмкін. Сондай – ақ k және i-дің орнында тұра алатын цифрлардың саны – 8
және 7. Сөйтіп, көбейтінді теоремасы бойынша әртүрлі және цифрлары
қайталанбайтын төрторынды сандардың саны n=9∙9∙8∙7=4536.
2. Телефон станциясы төрт цифрдан тұратын нөмері бар телефон
аппараттарын қамтамасыз етеді. Станция жабдықтайтын барлық аппараттар саны
қанша?
Шешуі. Әрбір аппараттарын нөмерін ( i, j, k, l) кортежі деп қарастыруға
болады. i, j, k, l элементтері цифрлардың қайсысын болса да қабылдай алады.
Демек, барлық телефон аппараттарының саны n=10∙10∙10∙10=10000. Кейбір
оқулықтарда кортеж дегеннің орнына бір- бірлеп алынған комбинация деп
те атайды.
Қайталанбайтын таңдамалар үшін комбинаторика формулалары.
1. О р н а л а с т ы р у л а р. Түрлі комбинаторикалардың ұғымын
енгізудің бірнеше жолдары бар. Орналастырулар үшін де осылай айтуға болады.

Ықтималдықтарды есептеуге қолайлылығын пайдаланып, орналастырулар ұғымын
кортеждер арқылы берелік.
n элементтен тұратын M={a1,a2, ... an} жиынынан k көлемді кортеж
құралық.Бұл жерде k көлемді кортеж деп отырғанымыз кортежге енетін
элементтердің саны k-ға тең болатындығын көрсетеді. М жиыннан
(ai1,ai2,...,aik) кортежі екі түрлі әдіспен жасалуы мүмкін: екіншісі –
кортежге M жиынының элементі бірнеше рет кіруі мүмкін. Бірінші жағдайда
кортеждерді, n элементтен k – дан жасалған орналастырулар деп, екінші
жағдайда кортеждерді n элементтен k – дан жасалған қайталамалы
орналастырулар деп атайды.
Т е о р е м а: n элементтен k – дан жасалған орналастырулар саны n(n-
1)(n-2)...(n-k+1) көбейтіндісіне, ал қайталамалы орналастырулар саны nk-не
тең.
Д ә л е л д е у: Орналастыруларды былай жасап шығалық: алдымен М
жиынынан ai1 элементін аламыз; содан кейін қалған n – 1 элементтердің
ішінен ai2 элементін аламыз. Кортеж элементтерін тағы да сол сияқты
біртіндеп ала отырып, ақырында, қалған n – (k - 1) элементтердің ішінен
aik элементін аламыз. Сөйтіп, (ai1,ai2,...,aik) кортежі шығады. Сонда,
көбейтіндінің теоремасы бойынша, барлық кортеждердің саны n(n-1)...(n-k+1)
көбейтіндісіне тең болады. Теореманың бірінші бөлігі дәлелденді. Енді,
қайталамалы орналастыруларды жасап шығалық: алдымен М жиынынан ai1
элементін аламыз да, оны тіркеп болғаннан кейін М жиынының өзіне қайта
оралтамыз; содан кейн М жиынының тағы да ai2 элементін аламыз және оны
тіркелгеннен кейін қайтарамыз. Міне, осы процесті қайталай отырып,
(ai1,ai2,...,aik) кортежін жасап шығарамыз. Сонда, көбейтіндінің теоремасы
бойынша мұндай кортеждердің саны n(n(...(n=nk-не тең болады. Теорема толық
дәлелденді.
Демек, n элементтен k – дан жасалған орналастырулар саны n(n-1)(n-
2)(n-k+1) көбейтіндісіне, ал қайталамалы орналастырулар саны nk – не тең,
яғни n элементтен k – дан жасалған орналастырулардың жалпы саны үшін ,
ал қайталамалы орналастырулар саны үшін белгілерін енгізсек:

= n(n-1)(n-2)...(n-k+1)= (1.1)
(1.2)

мұнда n! - эн факториал деп оқылады, ол 1-ден n – ге дейінігі натурал
сандардың көбейтіндісіне тең, яғни n!=1(2(3(...(n, ал 0! =1 деп қабылданады.
1-мысал. 7 әріптен төрт- төрттен неше тәсілмен алуға болады. Шешуі:
Есеп шарты бойынша n=7, k=4 енді (1.1) формуланы пайдалансақ:

=

2-мысал. Үш ойын сүйегін лақтырғанда қанша жағдайлар болады. Шешуі:
формула бойынша 63=216 – ға тең,өйткені n =6 және n=3. Себебі үш ойын
сүйегін лақтырғанда пайда болатын ұпайларда ( i, j, k) кортежін жасалық ,
мұндағы i, j, k 1,2,3,4,5,6 сандарының тек біреуін қабылдайды, сондықтан
іздейтін сан формула бойынша ізделінеді. Екі ойын сүйегін лақтырғанда
барлық жағдайлар саны 62=6=36. Егер S ойын сүйегін лақтырсақ, онда
барлық жағдайлардың саны 6s –не тең болар еді. Сол сияқты m теңгені
лақтырғанда барлық жағдайлар саны 2m –не тең.
3-мысал. 7 жолаушысы бар лифт 10 этаждың әрқайсысына тоқтап өтеді. Әрбір
жолаушы қай этажда түсіп қалам десе бәрі-бір. Әрбір этажда бірден артық
жолаушы түсіп қалмау ықтималдығы қандай?
Шешуі: Тәжірибедегі барлық жағдайлардың, яғни элементар оқиғалардың
санын есептеу үшін 7 адамның қайсысы болсада біреуі i-ші этажда түсіп
қалуын а арқылы белгілейік. Сонда бір жағдай деп отырғанымыз (a1, a2, ... an)
кортежі болады. Ал бұл – қайталамалы орналастыру. (1.2) формуланы қолданып
барлық жағдайлардың санын табамыз: n = = 107.
А арқылы әр этажда бірден артық жолаушы түсіп қалмайды оқиғасын
белгілейік. А қолайлы кортеж (a1, a2, ... a10) болады, бірақ ол
орналастырудың өзі. Демек бірдей екі формуланы қолданып, қолайлы жағдайлар
санын табамыз:
Енді А-ның ықтималдығын есептейміз:

2. А л м а с т ы р у л а р. N элементтен N-нен алынған орналастыруларды
алмастырулар деп атайды. N элементтен жасалған алмастырулар санын Pn
арқылы белгілейді. Сонымен,

Pn = n!=1∙2∙3∙ ... ∙n (1.3)

Орта мектепке арналған оқу құралдарында алмастыруды шекті жиынның
элементтерін реттеу әдісі есебінде анықтайды. Сонда екі әр түрлі алмастыру
дегеніміз – жиынды реттеп шығудың екі түрлі әдісі. Кортеж арқылы
анықтағанымызда алмастыру ұғымы осы мағынада қалып қоятындығын түсіну
қиын емес.
1-мысал. Жас бала кубиктерді қатар қойып ойнап отырған, ал кубиктерде А,
А, М, Л әріптері жазылған. Сонда АЛМА сөзінің шығу ықтималдығы қандай?
Шешуі. Есептегі тәжірибенің элементар нәтижені оқиға болатындығы жас
бала деген сөздермен берілген (сауаты жоқ деген мағынада, басқа жағдайда
тәжірибе нәтижесі қалай болса солай бола алмайды). Тәжірибе нәтижесін төрт
әріптен тұрған кортеждер деп қарастыруға болады. Және олардың бір-бірінен
айырмашылығы әріптердің алыну ретінде. Олай болса, тәжірибенің әрбір
нәтижесі алмастырулар болады. Демек, n= 4! = 24. В арқылы АЛМА сөзінің
шығуын белгілейік. Екі А әріпінің орнын алмастырғаннан АЛМА сөзі өзгермей
қалады. Сондықтан В-ға қолайлы жғдайлардың саны m = 2! = 2 (1.3) формула
бойынша

2-мысал. 0, 1, 2, 3, 4 цифрларынан әр түрлі қанша сан жасап шығуға
болады.
Шешуі: Берілген цифрлардан көлемі 5-ке тең кортеждер жасалық, бұлардың
саны 5! болады. Бұл кортеждер бес орынды сан бола бермейді, өйткені бірінші
орында 0 тұрғанда, ол бес орынды сан болмайды, ал мұндайлардың саны 4!-ға
тең. Сөйтіп, ізделінді сандардың саны n= 5! – 4! = 120 – 24 = 96.
(1.1), (1,2) және (1.3) формулалардан теру, орналастыру және алмастыру
сандарының арасында

байланысы шығады.
3 – мысал. Бес орындыққа бес адамды отырғызу қанша тәсілмен шешіледі.
Шешуі:

Жауабы: 120 тәсіл
3.Т е р у л е р. N элементтен әрқайсысы k - дан алынған
орналастыруларды бір – бірінен айырмашылығы не элементтерінде, не
элементтерінің орналасу ретінде болатын комбинациялар деп қарастырдық.
Орналастырулардың айырмашылығы тек элементтерінің орналасу ретінде ғана
болатын дербес түрін алмастырулар дедік. Сондай – ақ айырмашылығы кемінде
бір элементінде болатын орналастырулардың дербес түрі теру деп аталады.
Сонымен, N элементтен әрқайсысы k элементтен алынған терулер санын
деп белгілесек, k элементтен жасалған алмастыруды десек, онда сол N
элементтен k – дан алынған орналастыруда () алмастырудың да, терудің
де қасиеттері қамтылғандықтан

болады.
1. - ден бастап n – ге дейінгі натурал сандардың көбейтіндісі үшін n!
(эн факториал) белгілеуі енгізіледі. Сөйтіп, n!=1∙2...∙n. Дәлелдеуін
келтірмей - ақ терулердің сандарын есептейтін формулаларды берелік.

немесе (1.4)

мұндағы
М ы с а л д а р.
1. n бұрышты көпбұрыштың диагональдарының санын табу керек.
Шешуі. Көпбұрыштың төбелерінің саны n – ге тең. Төбелердің кез келген
үшеуі бір түзудің бойында жатпайды. Ал, кез келген екі нүктені
кесінділерімен қосуға болады. Сол кесінділердің ішінде n кесінді
көпбұрыштың қабырғалары болады да, қалғандары диоганальдар жасайды.
Сондықтан да диоганальдар саны

2.Спортлото (49- дан 6) ойынына қатысушы бір билетті сатып алып ұтысқа
қатысу үшін оны толтырған. Сонда әр түрлі жағдайлардың саны қанша?
Шешуі:
Спортлото ойынының ережесі бойынша билеттегі 1 – ден 49 – ға дейін
жазылған натурал сандардың алтауын сызу керек. Ұтысқа қатысу үшін алты
санды қандай тәртіппен сызса да бәрібір. Сондықтан ізделінді сан .
Математикада С=1 теңдігін қабылдауға келісілген. Теру сандарын есептеу
барысында оны жеңілдететін бір формула:
(1.5)
3.Бір айналымды шахмат турниріне 12 ойыншы қатысты. Турнирде барлығы
неше партия ойналды?
Шешуі:
Әрбір партияға 2 ойыншы қатысады. Сондықтан, турнирде ойналған барлық
партиялар саны 12 – ден 2 бойынша алынған терулер санына тең:

Қайталамалы таңдамалар үшін комбинаторика формулалары.

1.Қ а й т а л а м а л ы о р н а л а с т ы р у л а р. Осы уақытқа дейін
элементтер жиынынан орналастырулар жасағанда одан алынған элемент жиынға
қайыра енбейтін еді, ондай орналастырулар қайталанбайтын орналастырулар
болды. Біз енді қайталамалы орналастыруларды, яғни жиыннан алынған элемент
сол жиынға қайыра енетін жағдайды қарастырамыз.
1 – мысал. 1, 2, 3 цифрларынан екі таңбалы неше сан жазуға болады?
Шешуі. Бұл есепті екі тәсілмен шешуге болады.
Бірінші тәсіл: цифрлары қайталанбайтын әр түрлі екі таңбалы сандарды
тәсілмен жасаймыз, олар: 12, 13, 21, 31, 32.
Екінші тәсіл: цифрлары қайталана алатын әр түрлі екітаңбалы сандарды
біртіндеп жазсақ, мыналар шығады: 11, 12, 13, 21, 22, 23, 31, 32, 33, яғни
олардың барлық саны 3∙3=9 болады. Басқаша айтқанда цифрлардың әрқайсысы да
3 тәсілмен алынды, сонда бірінші алынған цифр әр жолы екінші цифрмен
комбинацияланады, сөйтіп, екі цифр комбинациясын 3∙3=32=9 тәсілмен аламыз.
Бұл мысалды әрә қарай да кеңейте беруге болады.
2- мысал. Осы 1, 2, 3 цифрларының қайталамалы орналастырулар
тәсілімен үштаңбалы, төрттаңбалы, k таңбалы неше сан құруға болады?
Шешуі: Үштаңбалы санның бірінші цифрын 3 тәсілмен алуға болады.Сонда
алдыңғы екі цифрлы санды 3∙3=32 тәсілмен аламыз. Бұлардың әрқайсысы үшінші
цифрмен комбинацияланады. Сонда үш цифрлы санды 32∙3=33=27 тәсілмен құруға
болады. Осылай талқыласақ, осы үш цифрдан 4 цифрлы сандарды 34=81 тәсілмен,
k – цифрлы сандарды 3k тәсілмен құруға болатынын байқау қиын емес.
Енді есептің шартын өзгертіп, яғни берілген 1, 2, 3 цифрлары орнына 1,
2, 3, ..., N цифрларын алайық. Сонда N цифрдан әр екі цифрлы сандарды N∙N=N2
тәсілмен, ал k – цифрлы әр түрлі сандарды Nk тәсілмен құруға болады.
Сонымен, мынандай қорытындыға келеміз.
Элементтері қайталанып келетін N элементтен k – дан алынған
орналастырулар
(1.6)
формуласымен өрнектеледі. Мұны қайталамалы орналастырулар немесе
қайталамалы таңдама формуласы деп атайды. Қайталанбайтын орналастырулар мен
алмастыруларды айтқанда таңдама көлемі k≤ N болатын.
2– мысал. Соғылатын телефонның нөмірі 4 цифрдан (орыннан ) құралған.
Ол нөмірдің: а) барлық цифрлары әр түрлі болып келу ықтималдығын: ә) барлық
цифрларының жұп болып келу ықтималдығын анықтау керек.
Шешуі: 4 – таңбалы нөмірдің әр цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
цифрларының кез – келгені болуы мүмкін. Олай болса, әр түрлі төрт таңбалы
нөмерлердің барлық саны 104 болады. Олар 0000 – ден 9999 – ға дейінгі
нөмірлер саны. Бұлардың ішінде бізге қажетті цифрлары әр түрлі төрттаңбалы
сандар, олар 10 цифрдан 4 – тен алынған орналастырудың санына тең, яғни
. Бұл оқиғаның пайда болуына қолайлы жағдайлар (элементар оқиғалар)
саны. Оқиғалардың толық тобын құрайтын элементар оқиғалардың жалпы саны
n=104 . Демек, іздеген ықтималдық

ә) 2, 4, 6, 8 төрт цифрдан телефонның әр түрлі нөмірлерін 44 тәсілімен
құрастыруға болады, бұл сан оқиғаның пайда болуына қолайлы жағдайлар саны.
Олай болса, іздеген ықтималдық

2– мысал. Дөңгелек үстел басында отырған 12 адамның туған жылдары
қазақша бір мүшел деп аталатын, 12 жыл ішінде болсын дейік. Осы 12 адамның
әр қайсысының тшуған жылы: а) 12 жылдың әрбір жылына келу ықтималдығын
анықтау керек; ә) үшеуінің бір жылда қалғандарының әр жылда туғаны
ықтималдығын анықтау керек.
Шешуі: 12 адамның әр қайсысынан сұрадық дейік. Сонда бірінші отырған
адамның туған жылы 12 жылдың бірі болуы мүмкін, яғни бірінші сұралған
адамның туған жылы туралы 12 түрлі тең мүмкіндікті нәтижелер шығады. Екінші
адамның да туған жылы сол 12 жылдың бірі. Бірінші адамның туған жылы жайлы
табылған нәтижелер, екінші адамның әрбір болатынтуған жылы мен
комбинациялап келеді. Сонда екі адамнан сұрай келе туған жылдар туралы
12∙12=144 – тен мүмкіндікті нәтижелер аламыз. Ал үш адамнан сұрасақ
122∙12=123 және т.с.с тең мүмкіндікті нәтижелер аламыз. Ал 12 – нан түгел
сұрағанда барлық тең мүмкіндікті нәтижелер (элементтер оқиғалар саны n –
1212) болады. а)енді осылардың ішінде туған жылдары әр түрлі болуға қолайлы
нәтижелер саны m – ді есептейік. Бірінші адамның туған жылы сол 12 жылдың
кез келген бірі, ал екіншінің туған жылы болса, қалған 11 жылдың бірі
болады, үшінші адамның туған жылы қалған 10 жылдың бірі болады т.б. Ең
соңғы адамның туған жылы қалған бір жылға келеді. Бұлар бір – бірімен
комбинацияланып келетіндіктен қолайлы нәтижелер саны мынаған тең:
m=12∙11∙10...∙2∙1=12! Демек, іздеген ықтималдық –

ә) Үш адамның туған жылы 12 жылға тәсілмен орналасуы мүмкін.
Қалған 9 адамның туған жылы 12 жылдан әр бір жылына 12, 11,...,4 тәсілмен
орналастыруға болады. Сонда m =, бұдан

5 – мысал. 9 қабатты Алматы қонақ үйінің бірінші қабатында лифтіге үш
адам мінді. Бұлардың әрқайсысының кез келген қабатта түсу мүмкіндіктері
бірдей деп алып:
а) үшеуінің де 5 қабатта түсу ықтималдығын ;
ә) үшеуінің кез келген бір қабатта түсу ықтималдығын;
б) екеуі бірге кез келген бір қабатта, ал үшіншісі кез келген өзге
қабатта түсу ықтималдығын анықтау керек.
Шешуі: Адам саны –3, қабат саны - 8 (өйткені бірінші қабат есепке
алынбайды). а) 5 – этаж біреу- ақ. Демек, мұның ықтималдығы

ә) 3 адамды лифтімен 8 қабаттың әрқайсысына тәсілмен шығаруға
болады, яғни m=. Олай болса,

б) Екі адамды 8 қабаттың әрқайсысына тәсілмен шығаруға болады,
ал бір адам тәсілмен шығарылады. Бұлардың комбинациясы ∙.
Демек, іздеген ықтималдық мәні –

2.Қ а й т а л а м а л ы а л м а с т ы р у л а р. Жоғарыда
қарастырылған алмастыруды элементтердің барлығы да әр түрлі еді. Бірақ
алмастырулар жасалатын N элементтің кейбіреуі (бірнешеуі) қайталанып отыруы
мүмкін. Мұндай алмастыруларды қайтамалы алмастырулар деп айтады.
1 мысал. Бірдей карточкаларға жазылған А, А, Қ, Р, Т, У әріптерінен: а)
7 әріптен алғанда неше алмастыру шығатынын; ә) Қаратау сөзінің шығу
ықтималдығын анықтау керек.
Шешуі: а) Таңдамадағы әріптер әр түрлі болса, жеті әріптен жазылатын
сөздер саны 7! болар еді. Ал біздің мысалымызда үш әріп бірдей. Сондықтан 7
әріпті әртүрлі сөздер (оның басым көпшілігі мағынасыз тіркестер) саны 7! –
дан кемиді. Өйткені А әріптері өзара орындарын ауыстырғанда жаңа сөз
шықпайды. Сондықтан есепті шешу үшін алдымен бірдей сөз құрайтын
алмастырулар санын анықтап аламыз. А әріпінің өзара орын ауыстырулары
саны анықтап аламыз. А әріпінің орнын ауыстырулар саны – 31. Бұл әр
типтегі сөздердің қайталану саны болмақ.
Бұл жағдайды 7 әріпті сөздердің бір типі Қаратау деген сөзбен
көрсетейік. Түсіну оңай болу үшін алдымен сөз құралатын алмастырудың
түрлері төменде цифрлармен келтіріледі:

1 2 3 4 5 6 7
A A A Қ Р Т У
Қ А Р А Т А У
4 1 5 2 6 3 7
4 1 5 3 6 2 7
4 2 5 1 6 3 7
4 2 5 3 6 1 7
4 3 5 1 6 2 7
4 3 5 2 6 1 7

тәсілімен шығады.
а) Бұл алмастырулардың әрқайсысының шығу мүмкіндігі барлық элементар
оқиғалар саны n =840.Бұлардың ішінде ҚАРАТАУ сөзінің шығу мүмкіндігі
біреу – ақ. Олай болса, P(A)=P (ҚАРАТАУ)=1840.
2 – мысал. Бірдей карточкаларға А, А, А, Е, И, К, М, М, Т, Т, әріптері
жазылған. а) Олардан 10 әріптен тұратын сөздерді неше тәсілмен құруға
болатынын; ә) МАТЕМАТИКА сөзінің шығу ықтималдығын анықтау керек.
Шешуі. а) Алмастыруға енетін әріптер саны n=10. Бұл әріптердің барлығы
да әр түрлі десек, онда не бары P10=10! алмастырулар жасауға болады. Бірақ,
біздің мысалымызда А әріпі үщ рет қайталанып отыр. Егер А – дан өзге
қалған әріптер әр түрлі десек, онда, өткен мысалға сәйкес, алмастырулар
саны 10!3! болар еді. Бірақ А- дан басқа М әріпі екі рет және Т әріпі де
екі рет қайталанып отыр. Сондықтан алмастырудың жалпы саны мынаған тең
болады.

ә) 10 әріпті тіркестер тең мүмкіндікті қос – қостан үйлесімсіз
оқиғалардың жалпы саны n=151200. Бұлардың ішінде аталған сөзіміздің шығуына
қолайлы жағдайлар саны біреу – ақ. Олай болса, іздеген ықтималдық
P(A)=1151200. Мұны бірден

деп жазуға болады. Сонымен барлық тең мүмкіндікті жағдайлар (элементар
оқиғалар ) саны 10! ал аталған сөздің пайда болуына қолайлысы – m =3!∙2!∙2!
болады. Бұл мысалдардан шыққан нәтижелерді пайдаланып, мынадай қорытындыны
жасайық. M жиыны a1, a2, ... ak элементтерінен құралсын. Мұнда a1 элементі
n1 рет, a2 элементі n2 рет және т. с. с. ak элементі nk рет қайталанатын
болсын. Сонда N элементтен берілген n1, n2, ...,nk – дан алынған
алмастырулар саны мына формуламен анықталады:

3. Қ а й т а л а м а л ы т е р у л е р. n элементтен k – дан
жасалған қайталамалы терулер деп әрқайсысы k элементтен тұратын топтаады
айтады және де әрбір элемент осы n топтардың біреуіне тиісті. Барлық
қайталамалы түрлер саны арқылы белгілейміз.
Т е о р е м а. n элементтен k – дан жасалған қайталамалы терулер саны
мына формуламен анықталады.

Д ә л е л д е у. Әрбір қайталамалы теруге бір және тек қана
қайталамалы
алмастыру сәйкестендіруге болады. Міне, осы сәйкестікті қалай орнатуға
болатындығын көрсетелік. Мысалдар келтірелік a, b, c және d элементтерінен
aaabbcdddd және abbbbbbbbd терулерін жасалық. Қандай да болмасын бір
элемент қанша рет қайталанса, сонша рет 1 жазамыз, әртүрлі екі элементке
сәйкес бірлердің арасына 0 жазамыз; егер белгілі бір элемент теруге
қатыспаса, онда 0 жазамыз. Сонда 0 мен 1- лерден жасалған n+k – 1 ретті
қайталамалы алмастырулары шығады, ал бұларда 0 цифры n – 1 рет және 1
цифры k рет кездеседі. aaabbcddd теруіне 111011010111 алмастыруы
abbbbbbbd және 10111111001 алмастыруы сәйкес келеді.
Сонымен ізделінді саны 0 цифры n – 1 рет және 1 цифры k рет
кездесетін қайталамалы алмастыру санына тең, яғни

формуланы ескерсек,
(1.5)
соңғы екі теңдіктерден шығады.
М ы с а л. f(x1,x2, ...,xn) аналитикалық функцияның k – шы ретті дербес
туындылары дифференциялаудаудың реттеріне байланысты емес, тек әрбір
айнымалы бойынша қанша дифференциалдауға байланысты. Сондықтанда, (1.5)
формуланы қолданып, әр түрлі k – шы ретті дербес туындылары саны
болатындығын көреміз.
Қайталамалы терулерді анығырақ түсіну үшін бір ескерту жасалық.
n элементтен k – дан жасалған қайталамалы теруді белгілі бір
элемент қанша рет енетіндігі ғана еске алынады. Мысалы, a, b, c және d төрт
элементінің 8 – ден жасалған aaabbcdd, ababcdd, dcbdadaa терулерінің бәрі
бірдей, өйткені бұлардың бәрінде де а әріпі үш рет, b әріпі екі рет,
с әріпі бір рет, d әріпі екі рет еніп тұр.
1 – мысал.
Гүл сататын дүкенде гүлдердің 6 түрі бар. Олардан 7 гүлден құралған гүл
шоғын неше түрлі тәсілмен жасауға болады? Мұнда гүлдердің шоғырдағы
орналасу тәртіптері есепке алынбайды.
Шешуі:
Бұл есепте X жиыны 6 элементтен құралған (6 түрлі гүлдер), ал әрбір гүл
шоғын ұзындығы 7 – ге тең тең шеру болады деп санаймыз. Сонда барлық бізге
қажет гүл шоқтарының саны 6 – дан 7 бойынша алынған қайталамалы терулер
санына тең:

3. Комбинаторика мен Ньютон биномын ықтималдықтар теориясында
қолдану.

Осы тақырыпты оқу барысында не үйренеміз?
Бұл тақырыпты игере отырып, ықтималдықтың классикалық анықтамасы
бойынша m және n сандарын комбинаториканың формулалары көмегімен оқиғалар
ықтималдықтарын есептеуді, Ньютон биномының жіктелуінің кез келген мүшесін
анықтайтын формула мен Бернулли формуласының арасындағы байланысты тауып,
ықтималдық теориясына есептер шығарып үйренеміз.
Төменгі сыныптардан алгебраның бөлімдері ретінде ықтималдықтар
теориясының негізгі элементтері : оқиғалардың түрлері, ықтималдықтардың
классикалық анықтамасы, қосу,көбейту (тәуелді және тәуелсіз оқиғалар үшін)
теоремалар белгілі. Енді ықтималдықтар теориясында комбинаторика мен Ньютон
биномын қолдануды қарастырамыз.
7 – сыныптың алгебра курсынан қысқаша көбейту формулалары, оның ішінде
екі мүшенің қосындысының квадраты мен кубы, яғни
(x+a)2=x2+2ax+a2 , (x+a)3=x3+3a2x+3ax2+a3
белгілі.
Егер осы екі мүшенің қосындысын кез келген натурал дәрежеге шығару
формуласы қажет болса, онда оны жоғарыдағы формулалардың көмегімен қорытып
шығаруға болады.
Мысалы, екі мүшенің қосындысының төртінші дәрежесін есептейтін
формуланы қорытып шығару үшін екі мүшенің қосындысының кубының формуласы
мен көпмүшені көпмүшеге көбейту ережесін қолданамыз.
Сонда,
(x+a)4=(x+a)3∙(x+a)=(x3+3a2x+3ax2+a 3)∙(x+a)=x4+4ax3+6a2x2+4a3x+a4.
Екі мүшенің қосындысын n дәрежеге шығару келесі формуламен
анықталады:

(1)
Енді осы формуланың оң жағын терулер санының формуласын
пайдаланып тепе-тең түрлендірсек,
(2)
шығады. Соңғы формуладағы ...;

1) немесе (2) формулалар Ньютон биномының формуласы деп аталады.
Бином сөзі француз тілінен аударғанда алгебралық екі мүше ұғымын
білдіреді.
Анықтама. Ньютон биномының формуласындағы коэффициенттерді биномдық
коэффициент деп аталады.
Ньютон биномының қасиеттері:
1. Қосылғыштар санының бином дәреже көрсеткішінен біреуі артық, яғни дәреже
п болса, қосылғыштар саны (n+1);
2. x-тің дәреже көрсеткіші п-нен нөлге дейін кемиді, а-ның дәреже
көрсеткіші нөлден n-ге дейін өседі. Әрбір қосылғышта олардың дәреже
көрсеткіштерінің қосындысы бином дәреже көрсеткішіне тең;
3. Қосылғыштардың коэффицинттері терулер санының қасиетіне байланысты
анықталады, яғни жіктелудің басынан және соңынан санағанда бірдей
қашықтықта тұрған қосылғыштардың коэффициенттері өзара тең болады;
4. Биномның кез келген мүшесі
(4)

5. Егер x=a=1 болса, онда, , яғни бином мүшелерінің коэффициентерінің
қосындысы 2n дәрежесіне тең;
6. Егер бином дәреже көрсеткіші тақ натурал сан болса, онда жіктелу
қосылғыштарының саны жұп болады. Ал бином дәреже көрсеткіші жұп сан
болса, онда жіктелу қосылғыштарының саны тақ болады;
7. Коэффициенттері үлкен қосылғыштар биномның орта мүшелері деп аталады.
Бином дәреже көрсеткіші тақ болса, орта мүшелерінің саны екеу, жұп сан
болған жағдайда орта мүшесі біреу болады.
Ньютон биномын қолдануға мысалдар қарастырайық.
1-мысал. (x+a)21 биномының орта мүшелерін табайық.
Шешуі: (x+a)21 биномын қосылғыштарға жіктегенде, 22 қосылғыш болады, сонда
10 мүше алдыңғы қосылғыштардан, 10 мүше соңғы қосылғыштардан қалады және
ортадағы мүшелер 11мүше мен 12 мүше болады.
Сонда (4) формула бойынша k=10 және k=11 болатын мүшелер.

2-мысал. (x+a)16 биномының үшінші және он бесінші мүшелерін табыңдар.
Шешуі: (x+a)16 биномының үшінші мүшесі.

9 – сыныптан белгілі оқиға ықтималдығының классикалық анықтамасы, яғни
(2)
( мұндағы m саны А оқиғасының түсу ықтималдығын көрсететін сан, n –
барлық элементар оқиғалар саны) формуласын пайдаланып есептер шығарайық.
1-мысал. Сыныпта оқушы бар, олардың 15-і математика үйірмесіне
қатысады. Оқушылар арасынан кез келген 3 оқушының маьематика үйірмесіне
қатысу ықтималдығын табайық.
Шешуі: А оқиғасы кездейсоқ үш оқушының математика үйірмесіне қатысатын
оқушы екені, онда осы оқиғаның түсу мүмкіндігі ал барлық элементар
оқиғалар саны . Демек,
Сонда
Жауабы:
2-мысал. Жақтары 1-ден 6-ға дейін нөмірленген екі кубик лақтырылды. Осы
кубиктердің түскен жақтарындағы сандардың қосындысы 11 немесе 4 болсын. 11
немесе 4 болсын. Осы оқиғалардың қайсысының ықшамдылығы жоғары?
Шешуі: Бірінші кубиктегі түскен санды х деп, ал екінші кубиктегі түскен
санды у деп белгілесек, онда (х;у) айнымалы нүкте (x-тің мәні 1-ден 6-ға
дейін, y-тің мәні 1-ден 6-ға дейін) барлық элементар оқиғалар санын
береді, яғни п-36. Кубиктердің түскен жақтарындағы сандардың қосындысы 11
болу үшін үш екі мүмкіндік бар, яғни (6;5) және (5;6), ал 4 болу үшін үш
мүмкіндік бар, яғни (1;3), (3;1) және (2;2).
Сонда , ал болғандықтан, қосындының саны 4 болу
ықтималдығы жоғары.
Жауабы: В оқиғасының
ықтималдығы жоғары
3-мысал. Бір жәшікте 18 ақ шар, 12 жасыл шар бар. Осы жәшіктен
кездейсоқ үш шар алынады. Осы шарлардың екеуі ақ, біреуі жасыл болу
ықтималдығын табу керек.
Шешуі: барлық элементар оқиғалар саны терулер саны, ал ,
себебі екі шар 18 шардан алынады, бір жасыл шар 12 жасыл шардан алынады.
Осы оқиғаның ықтималдығы формуласымен есептеледі. Сонда

Жауабы:
4-мысал. 10 сылақшы және 5 сырлаушыдан тұратын бригаданың құрамында 5
құрылысшы маман бар. Кездейсоқтық заңдылықпен бөлініп алған осы бригаданың
құрамында 3 сылақшы, 2 сырлаушы болу ықтималдығын табу керек.
Шешуі: Құрылысшылар жалпы саны 15, осыдан құралған бригадада 5
құрылысшы алынған. Сонда барлық элементар оқиғалар саны алынған
терулер санына тең. Құрылған бригадада 3 сылақшы, 2 сырлаушы және
тәсілдерімен ... жалғасы

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.