Модуль ішінде айнымалысы бар теңдеулер

Жұмыс түрі: Дипломдық жұмыс
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 50 бет
Таңдаулыға:

Мазмұны

Кіріспе ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .3

1. Нақты санның модулі және оның
қасиеттері ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... .5

1. Модульдің
анықтамасы ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
... ... ... ... ...5
1.2 Модульдің
қасиеттері ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ... ... ... ...5
1.3 Модульдің қасиеттерін қолданып шығарылатын
есептер ... ... ... ... ... ... ..7

2. Модуль ішінде айнымалысы бар
теңдеулер ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ..10

2.1 түріндегі
теңдеулер ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... . 10
2.2 түріндегі
теңдеулер ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .1
0
2.3 түріндегі
теңдеулер ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..14
2.4 түріндегі теңдеулер ... ... ... ... ... ... .. ... ..15
2.5 Тұжырымдар және олардың дәлелдеулері, оларға келтірілген

мысалдар ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 49

3. Модуль ішінде белгісіз айнымалысы теңдеулерді графикалық әдіспен

шешу ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...59
3.1 Алгебралық және графикалық әдістердің ерекше
жағдайлары ... ... ... ... ...59
3.2 Графикалық әдіспен мысалдарды
шығару ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . ... ...59

Тапсырмалар ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .63

Қорытынды ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..68

Қолданылған
әдебиеттер ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ... ... ... ... .69

Кіріспе

Тақырыптың өзектілігі: модуль түсінігі мектептегі математика курсының
әр түрлі бөлімдерінде ғана емес ЖОО-нда оқылатын жоғарғы математика
курсында, физикада және техникалық ғылымдарда кеңінен қолданылады. Мысалы:
Механика және геометрияда вектор және оның ұзындығы (вектор модулі)
түсініктері оқылады. Математикалық талдауда санның абсолютті ұзындығы
түсінігі шек, шектік функция және т. б.
Модуль түсінігімен оқушылар 6-сыныптан бастап таныса бастайды. Ал
дәл осы модуль ішінде айнымалысы бар теңдеулер 11-сынып оқулығында берілген
және ол жылдық жоспар бойынша төртінші тоқсанда өткізілуге жоспарланған.
Яғни, оқушылардың ҰБТ-ге қызу дайындалатын кезеңі, бұл дегеніміз осы
тақырыпқа кездескен есептерді тез және оңтайлы әдіспен шешуді үйретуде өз
септігін тигізетіні анық.

Тақырыптың мақсаты:
– жалпы модульдер туралы білімді жетілдіру;

– модульдің барлық қасиеттерін толыққанды, терең қолдану;

– ҰБТ тапсырмасында кездесетін модульмен берілген есептерді ыңғайлы
әдіспен, жылдам шығаруға бейімдеу.

Зерттеу пәні: Модульмен берілген есептер.

Зерттеу объектісі: модульмен берілген әр түрлі есептерді (мектеп
курсындағы күрделі, ҰБТ-де кездесетін есептер) шығару.

Дипломдық жұмыстың міндеттері:

- Модульдермен берілген есептер қарастырылатын ғылыми- математикалық
әдебиеттерге талдау жасау;

- Модульдермен берілген әр түрлі есептерді шешу әдістерін қарастыру;

- Берілген жұмысқа қатысты комплексті есептерге талдау жасау.

Дипломдық жұмыс 3 бөлімнен тұрады:

Бірінші бөлімде модульдің анықтамалары , оның геометриялық интерпретациясы,
абсолютті ұзындық қасиеттері келтірілген. Модульді қолданып, анықталу
облысы бірдей теңдік пен теңсіздіктің кез келген жүйесін бір салыстыру
түрінде алуға болатыны мысал арқылы көрсетілген. Модуль қасиеті, теңдік
немесе абсолютті ұзындық белгісіне ие теңдікке мысал ретінде есептеу
келтірілген

Екінші бөлімде модульдерге қолданылатын теңдеулер түрлері.

1)Модульмен берілген қарапайым теңдеудер:

1.1 түріндегі теңдеулер

1.2. түріндегі теңдеулер

1.3 түріндегі теңдеулер

1.4 түріндегі теңдеулер

Үшінші бөлімде абсолюттік ұзындық белгісі бар теңдеулерді графикалық жолмен
шешу тәсілдері келтірілген, модульдермен берілген теңдеулер кейбір
жағдайларда алгебралық шешіміне қарағанда қолайлырақ болады.

Абсолютті ұзындықтың түсінігімен байланысты тестілік есептерді шешу
мысалдары келтірілген. стандартты есептердің шешімімен қатар, параметрі
бар есептердің де шешімдері келтірілген Олардың шешімінде қандай да бір
шешімдердің комбинациясын алу керек. Кейбір есептер үшін бірнеше шешу
әдістері келтірілген, кейде шешу процесінде туындайтын қателіктер
көрсетіледі. Барлық есептер үшін жылдамдығы бойынша ең тиімді шешімдер
көрсетілген.

1. Нақты санның модулі және оның қасиеттері.

1.1 Нақты санның модулінің анықтамасы

Анықтама. Нақты санның модулі (абсолютті шамасы) деп (
белгіленуі) егер ол сан теріс болмаса осы санның өзі аталады, егер ол теріс
болса,онда қарама-қарсы таңбасымен алынған осы сан аталады.

Нақты санның модулінің геометриялық мағынасын қарастырайық.
Бұл сан координатасы болып табылатын , әрбір нақты санға сандық түзуден
нүкте сәйкес келеді. Бұл санның модулі – осы сандық осьтегі сәйкес нүктеден
координата басына дейінгі қашықтық (1.1.1-сурет). А нүктесінен О нүктесіне
дейінгі қашықтық тең.

А О
В
a 0 a

1.1.1-сурет
,b сандарының модульдерінің айырымы , a және b
нүктелерінің ара қашықтығына сәйкес (1.1.2-сурет).

a 0 a

1.1.2-сурет

1.2 Нақты санның модулінің қасиеттері

1) Модульдің квадраты модуль ішіндегі өрнектің квадратына тең, яғни
кез келген үшін .
Ескерту. Бұл формула тек солдан оңға ғана емес, яғни , оңнан
солға да: қолданылады.
2) Кез келген нақты санның модулінде теріс сан бар, яғни барлық
үшін .
3) Нақты санның модулі осы саннан кем емес, яғни барлық
үшін .
4) нақты санының модулі, және екі қарама-қарсы
санның максимумна тең, яғни .
5) Олардың қосындысы осы сандардың модульдерінің қосындысына тең
болғанда, сонда тек сонда ғана сандар теріс емес, яғни қосындысы
жүйесіне пара-пар.
6) Олардың модульдерінің қосындысы осы сандардың қосындысына
қарама-қайшы болғанда, сонда тек сонда ғана сандар оң емес, яғни
теңдігі жүйесіне пара-пар.
7) Олардың модульдерінің қосындысы олардың қосындысының модуліне
тең болғанда,сонда тек сонда ғана сандар бір уақытта теріс емес және оң да
емес, яғни теңдігі немесе екі теңдеулер жүйесіне пара-
пар.
8) Екі санның модульдерін салыстыру олардың квадраттарының
салыстыруына пара-пар,яғни келесідей пара-парлық орын алады:
пара-пар
пара-пар
пара-пар
пара-пар
пара-пар
9 ) Екі нақты санның көбейтіндісінің модулі көбейткіш модулінің
көбейтіндісіне тең, яғни .
10) , мұндағы
11) Кез келген бүтін мәні үшін .
12) Егер - жұп сан болса, онда .
13) Түбір астындағы квадраттық сан осы санның модуліне тең: .
14) Екі нақты санның айырымының модулі олардың модульдерінің
айырымынан кіші емес .
15) Екі нақты санның қосындысының модулі олардың модульдерінің
айырымынан кіші емес .
16) Кез келген және нақты сандары үшін қос теңсіздік
орын алады:

17) Кез келген және нақты сандары үшін теңсіздігі
әділ:

18) Кез келген және нақты сандары үшін теңдігі әділ:

19) Кез келген нақты сандардың қосындысының модулі олардың
модульдерінің қосындысынан аспайды, яғни
.
20) Екі нақты сандардың қосындысы теріс емес, ал олардың
көбейтіндісі оң, сонда тек сонда ғана модульдерінің айырымының модулі осы
сандардың қосындысына тең, яғни теңдігі
22) теңдеуі теңсіздігіне пара-пар.
23) теңдеуі , егер қос теңсіздігіне пара-пар.

1.3 Модульдің қасиеттерін қолданып шығарылатын есептер

1.3.1-есеп. Өрнекті ықшамдаңыз:
Шешуі:
Бөлшек -ның кез келген мәніне анықталған. болғанда
болғанда
Басқада шешімдер мүмкін:
.

Жауабы:
болғанда
болғанда
1.3.2-есеп. Өрнекті ықшамдаңыз: .
Шешуі:
Бөлшек үшін анықталған. 0 және 1 сандық ості аралықтарына
бөледі.
Бөлшекті әр аралықта ықшамдайық.

Жауабы: болғанда

болғанда

болғанда
1.3.3-есеп. айырымы бүтін сан болады. Осы санды табыңыз.
Шешуі:
Алғашқы өрнекті А әрпімен белгілейік. болғандықтан, онда А –
теріс сан (және есептің шарты бойынша бүтін).
екнін ескеріп, табамыз:

болса, онда болады,бірақ жоғарда аталып өтілгендей,
саны теріс, яғни
Жауабы:
1.3.4-есеп. Өрнектің ең кіші мәнін табыңыз: .
Шешуі:
Модульмен берілген көптеген есептер сияқты мына есепті де
интервалдар әдісімен шығаруға болады.
Көптеген жағдайларда керек болатын тұжырымды қолдануға қолданамыз.
1.3.5-есеп. өрнегінің мәнін есептеңіз.
Шешуі:

.
Жауабы: .
1.3.6-есеп. өрнегінің мәнін есептеңіз, егер
Шешуі:

екенін ескеріп, модульдің анықтамасын қолданып аламыз.
Жауабы.
2.Модуль ішінде айнымалысы бар теңдеулер

2.1 түріндегі теңдеу

Берілген теңдеу теңсіздігіне пара-пар.
2.1.1-есеп. Теңдеуді шешіңіз: .
Шешуі:
Берілген теңдеу теңсіздігіне пара-пар, мұндағы .
Жауабы:
2.1.2-есеп. Теңдеуді шешіңіз: .
Шешуі:
Берілген теңдеуді түрінде жазамыз. Бұл теңдеу теңсіздігіне
пара-пар, мұндағы .

Жауабы:

2. түріндегі теңдеу

Бұндай теңдеулерді екі әдіспен шешуге болады.
Бірінші әдіс - функциясы функциясына қарағанда
қарапайымдылау болған жағдайда қолданылады.
болғанда, теңдігі орындалды және теңдеу түріне
енеді; болғанда, теңдігі орындалды және теңдеу түріне
енеді.
Керсінше, егер және болса, онда тең, ал егер
және болса, онда тағы да немесе

тең.
Сонымен қатар теңсіздікті шешудің қажеті жоқ, тек оған сәйкес
теңдеуден алынған шешімді орынына қою керек.былай жасауға да болады:
теңдеулер жиынтығын шешу керек, сосын жай ғана тексеруге болады.
Берілген теңдеу

жүйесіне пара-пар деп айтуға болады.
2.2.1-есеп. Теңдеуді шешіңіз:
Шешуі:
Теңдеу келесідей жүйелер жиынтығына пара-пар:

Жауабы:

2.2.2-есеп. Теңдеуді шешіңіз:
Шешуі:

Жауабы:

Екінші әдіс-функциясы функциясына қарағанда
қарапайымдылау болған жағдайда қолданылады.
Егер болса, онда теңдеуінің шешімі болмайтынын көреміз.
Егер де болса,онда болғанда,теңдеу түріне енеді,ал
болғанда, теңдеу түріне енеді. Осыдан шығатыны

2.2.3-есеп. Теңдеуді шешіңіз:
Шешуі:
Бұл мысалды екінші әдіспен шешкен тиімді,себебі түбірлер үшін шартына
қарағанда шартын тексерген әлде қайда жеңілірек.
Сондықтан, егер болса, онда

Бірінші теңдеудің сол жақ бөлігі топтастырылған көбейткіштер оңай
жіктеледі, ал екінші теңдеуде түбірі іздестіріледі және пара-пар
жиынтық шығады

болатыны ескеріліп, жауапты аламыз.
Жауабы:Шешімі жоқ.
2.2.4-есеп. Теңдеуді шешіңіз:
Шешуі:
Берілген теңдеу
бұдан
жүйесіне пара-пар.
, сандары теңсіздігін қанағаттандырады және олар
берілген теңдеудің түбірлері болады.
Жауабы: , .
2.2.5-есеп. Теңдеуді шешіңіз:
Шешуі:
Берілген теңдеу

бұдан
жүйесіне пара-пар.
, сандары теңсіздігін қанағаттандырмайды және олар
берілген теңдеудің түбірлері болмайды.
Жауабы:

2.2.6-есеп. Теңдеуді шешіңіз:
Шешуі :
Модульдің анықтамасына байланысты

болады.
Теңсіздікті интервалдар әдісімен шешейік:
а) теңсіздіктің сол жақ бөлігі теріс емес, онда
бірігу аралығындағы -тің бұл мәні осы теңсіздіктің шешімі болады.
б) теңсіздіктің сол жақ бөлігі аралығында теріс.
Берілген теңдеуді әр аралықта шешейік.
а) бұдан
Алынған екі санда көрсетілген бірігу аралығына жатады және сондықтан олар
алғашқы теңдеудің түбірі болады.
б)
Жүйенің теңдеуінде нақты түбірлер болмайды, сондықтан аралығында
алғашқы теңдеудің түбірлері болмайды.
Жауабы:

теңдеуін шешу үшін теңдеу- салдарына көшуге болады.
Бұны мысалмен көрсетейік (2.2.7-есеп).
2.2.7-есеп. Теңдеуді шешіңіз:
Шешуі:
Берілген теңдеудің екі жақ бөлігін квадраттасақ, алғашқы теңдеу салдары
болып табылатын теңдеуін аламыз.
Теңдеудің барлық мүшелерін сол жағына көшіріп,ортақ көбейткішті
жақша сыртына шығарамыз, негізгі тригонометриялық тепе-теңдікті қолдана
отырып, соңғы теңдеуді түрінде жазамыз. Бұл теңдеудің жалғыз ғана
шешімдер топтамасы болады.
Тексеру көрсеткендей, осы барлық сандар берілген теңдеудің
шешімдері болады.
Жауабы:

3. түріндегі теңдеу.

Теңдеудің екі жақ бөлігі теріс болмағандықтан, онда

және біз пара-парлық шартын аламыз

Оның ыңғайлылығы сол, таңбаларымен ешқандай байланысы жоқ.
2.3.1-есеп.Теңдеуді шешіңіз:
Шешуі:

Біз мынандай жауап аламыз:
Жауабы:
2.3.2-есеп.Теңдеуді шешіңіз:
Шешуі:
Берілген теңдеу, теңдеулер жиынтығына пара-пар
бұдан
Жауабы:
2.3.3-есеп.Теңдеудің барлық түбірлері кіретін аралықты көрсетіңіз:
1) 2) 3) 4)
Шешуі:

Бұл 3 түбірде кесіндісінде жатады.
Жауабы: 3.

4. түріндегі теңдеу.

Бұл теңдеу қос теңсіздікке пара-пар (ол туралы жоғарда айтылып
кетті).
2.4.1-есеп. Теңдеуді шешіңіз:
Шешуі:
Берілген теңдеуде тең,онда Берілген теңдеу қос
теңсіздігіне пара-пар.
Жауабы:

2.4.2-есеп. Теңдеуді шешіңіз:
Шешуі:
Модуль ішіндегі өрнек және болғанда нөлге
айналдырады. Теңдеудің анықталу облысы , сандары үш аралыққа
бөлетін барлық сандар түзуі: .

2.4.1-сурет

Берілген теңдеуді әр интервалда шешейік.
1)бұдан саны аралықта жатпайды, демек қаралып
жатқан аралықта теңдеудің түбірі болмайды.
2)бұдан саны аралықта жатпайды, демек берілген
теңдеудің де түбірі болмайды.
3) бұдан саны аралықта жатпайды,демек берілген
теңдеудің түбірі болмайды.
Жауабы: теңдеудің түбірі болмайды.
2.4.3-есеп.Теңдеуді шешіңіз:
Шешуі:
Теңдеудің анықталу облысын табайық:
Онда болады және сонымен қатар . теңдеуін аламыз. Осыны
шешетін болсақ , оған пара-пар теңдеу құрамыз:

Жауабы:
2.4.4-есеп. Теңдеуді шешіңіз:
Шешуі:
нүктелерінде модуль ішіндегі өрнек нөлге тең болады.
Берілген теңдеу

Жауабы:
2.4.5-есеп. Теңдеуді шешіңіз:
Шешуі:
Белгілеу енгізейік:
Онда алғашқы теңдеу + түріне енеді.
Модульдің қасиеті бойынша, бір уақытта және
болғанда, сонда тек сонда ғана соңғы теңдік орындалуы мүмкін. Сондықтан
алғашқы теңдеу теңсіздіктер жүйесіне пара-пар, ол өз кезегінде

жүйесіне пара-пар, бұдан
Жауабы: 0.
2.4.6-есеп.Теңдеуді шешіңіз:
Шешуі:
қасиеті бойынша берілген теңдеуін мынандай түрде жазуға болады:
. алмастыру енгізе отырып теңдеуін аламыз.Виет
теоремасы бойынша
тең. Онда бұдан =7 бұдан
Жауабы:
2.4.7-есеп. Теңдеуді шешіңіз: Жауабында барлық табылған түбірлердің
қосындысын көрсетіңдер.
Шешуі:
екенін ескере отырып, қатысты квадраттық теңдеуге
келеміз.
Алмастыру жасайық: теңдеуін аламыз.Бұны шешсек,
түбірлерін аламыз. саны шартын қанағаттандырмайды.
Мұндағы болғанда,, бұдан болады.
Түбірлерінің қосындысы -ге тең.
Жауабы:
2.4.8-есеп. Теңдеуді шешіңіз:
Шешуі:
Алғашқы теңдеуді

немесе

түрінде жазайық.
1 және 2 нүктелері сандық түзуді аралықтарға бөледі,әр аралықта
модульді ашайық.
1) Онда теңдеуі

түріне енеді.Мұндағы шартына қарама-қайшы. Сондықтан берілген
теңдеудің қарастырылып отырған аралықта түбірлері болмайды.
2) Онда теңдеуі

түріне енеді. Мұндағы Сондықтан теңдеудің аралығында -тің
барлық мәндері дұрыс.
3) Онда теңдеуі

немесе

түріне енеді. Бірақ соңғы теңдік шартына қарама-қайшы, сондықтан
алғашқы теңдеудің қарастырылып отырған аралықта түбірлері болмайды.
Жауабы:
2.4.9-есеп.Теңдеуді шешіңіз:
Шешуі:
Модуль ішіндегі өрнек болғанда нөлге айналады. Осы
нүктелермен сандық түзуді арлықтарға бөлеміз және берілген теңдеуді осы
аралықтарда қарастырайық.
1) болсын. Аралас жүйені аламыз.

Сонымен аралығында алғашқы теңдеудің түбірі болады.
2) болсын. Онда бұл жағдайда

жүйесін аламыз.
аралығында жатпайды. Сондықтан бұл аралықта алғашқы
теңдеудің түбірі болмайды.
4) болсын.

жүйесін аламыз.
Жүйедегі теңдеуден шығатыны , аралығында жататын
кез келген сан, демек осы аралықта жататын -тің барлық мәндері
алғашқы теңдеудің түбірлері болады.
Жауабы:
5) Күрделі модульдерімен теңдеу.
Күрделі модуль деп, модуль ішінде функциясы бар,ж азылуында бір
немесе бірнеше модулі болатын өрнекті атаймыз.
Күрделі модульдерімен теңдеуді интервалдар әдісімен шешуге болады.
2.4.10-есеп.Теңдеуді шешіңіз:
Шешуі:
Алғашқы теңдеу екі теңдеулер жиынтығына пара-пар
аламыз,бұдан
бос жиынды білдіреді (теңдеудің түбірлері болмайды).
Жауабы:
2.4.11-есеп. Теңдеуді шешіңіз:
Шешуі:
Алғашқы теңдеудің екі теңдеулер жиынтығына пара-пар
Жиынтықтың екінші теңдеуінен табамыз, онда -ге тең.
Жиынтықтың бірінші теңдеуінен бұдан жиынтығына пара-пар.
Алынған шешімдерді біріктіру арқылы жауабын табамыз.
Жауабы:
Күрделі модульмен теңдеуді біртіндеп модульдерді ашу арқылы (іш
жағынан)шешкен жөн. Мысылдар қарастырайық.
2.4.12-есеп. Теңдеуді шешіңіз:
Шешуі:
нүктесінде модуль ішіндегі өрнектің ішкі нөлге
айналады. нүктесі сандық түзуді аралықтарға бөліп, берілген
теңдеуді осы әр аралықта қарастырамыз.
1)
нүктесімен (бұл модуль ішіндегі өрнектің түбірі) аралығын
екі аралыққа бөлеміз: және
1а) бұдан
саны көрсетілген аралықта жатпайтындықтан, ол теңдеудің түбірі
болмайды.
1б) бұдан
саны аралығында жатпайды, демек түбірі болмайды.
2)
нүктесімен аралығын екі аралыққа бөлеміз: және
.Жүйедегі теңдеулерді осы әр аралықта қарастырамыз.
2а) бұдан
саны аралығында жатпайды, демек теңдеудің түбірі
болмайды.
2б) бұдан
саны аралығында жатпайды және сондықтан теңдеудің
түбірі болмайды.
Жауабы: теңдеудің түбірі болмайды.
Функцияның жұптығының қасиетін қолдана отырып шығарылатын
модульмен берілген теңдеулер болады. Мысалдар келтірейік.
2.4.13-есеп. Теңдеуді шешіңіз: ,жауабында түбірлерінің қосындысын
көрсетіңіз.
Шешуі:

теңдеуі

жиынтығына пара-пар.
Жиынтығының екінші теңдеуінің шешімі болмайды,ал бірінші теңдеуі
жаңа жиынтыққа пара-пар

Түбірлерінің қосындысы тең.
Жауабы:
2.4.14-есеп. Теңдеуді шешіңіз:
Шешуі:
Берілген теңдеуді түрінде жазамыз.Соңғы теңдеу

жиынтығына пара-пар.
Жиынтықтың бірінші теңдеуі

жиынтығына пара-пар. жүйенің шешімі болады.
Екінші теңдеу келесі жүйеге пара-пар.

мәні де жүйенің шешімі болады.
Жауабы:
2.4.15-есеп. Теңдеуді шешіңіз:
Шешуі:

Жиынтықтың бірінші теңдеуінің шешімі болмайды. Жиынтықтың екінші теңдеуінің
түбірлері сандары болады.
Жауабы:
2.4.16-есеп. Теңдеуді шешіңіз:
Шешуі:

Жауабы:
2.4.17-есеп.Теңдеуді шешіңіз:
Шешуі:
Модульдің анықтамасы бойынша аламыз.
1) теңдеуін шешеміз,бұдан
шығады. Онда немесе және , бұдан шығады.
2) теңдеуін шешеміз, бұдан
немесе және (соңғы теңдеудің шешімі болмайды).
Сонымен , бұдан шығады.
Жауабы:
Модулі бар теңдеулерді шешуге көшейік.
2.4.18-есеп. Теңдеуді шешіңіз:
Шешуі:
функциясы жұп, оның анықталу облысы нөлге қарағанда
симметриялы болады және

.
Теңдеудің түбірі болсын. Онда функция жұп болғандықтан,
де теңдеудің түбірі болады.
аралығында алғашқы теңдеу түріне енеді, бұдан
. Бұл теңдеудің түбірі болмайды. аралығында алғашқы теңдеу
түріне енеді, бұдан
функциясының жұптылығына байланысты теңдеудің
екінші түбірі болады.
Уақытты үнемдеу үшін, үш аралықты қарастырудың орнына біз тек
екі аралықты қарастырдық.
Жауабы:
2.4.19-есеп. Теңдеуді шешіңіз:
Шешуі:
Сандық түзуді нүктелерімен аралықтарына бөлейік
( теңдеудің анықталу облысына кірмейді,себебі тің бұл мәнінде
бөлімі нөлге айналып кетеді). Енді берілген теңдеуді әр аралықта
қарастырайық.
1) болсын. Онда

аламыз.
Көріп тұрғанымыздай,-тің ешқандай мәнінде теңдігі
орындалмайды.
2) болсын. Онда

аламыз,бұдан , бірақ -тің бұл мәні аралығына кірмейді,
сондықтан алғашқы теңдеудің бұл аралықта түбірі болмайды.
3) болсын. Онда

аламыз, бұдан шығатыны, барлық мәндері теңдеуінің түбірі
болады, демек алғашқы теңдеудің де түбірі болады .
Жауабы:
2.4.20-есеп. Теңдеуді шешіңіз:
Шешуі:
Модуль ішіндегі өрнек болғанда нөлге айналады, екі
жағдайды қарастырайық.
1) бұдан, жүйедегі теңдеудің екі жақ бөлігін
квадраттағаннан кейін,

аламыз.
Жүйенің теңдеуін шеше келіп, , , теңдеуіне
келеміз. аралығына тек саны жатады.
2)
Теңдеудің сол жақ бөлігінде арифметикалық квадрат теріс емес
түбір, ал оң жақ бөлігінде теріс сан тұрғандықтан жүйедегі теңдеулердің
түбірлері болмайды.
Жауабы:
2.4.21-есеп. Теңдеуді шешіңіз:
Шешуі:
-тің кез келген нақты мәнінде түбір астындағы өрнек оң,
демек берілген теңдеудің анықталу облысы жиыны болады.
Теңдеудің екі жақ бөлігін

өрнегіне көбейтейік.

аламыз.
Берілген теңдеудің анықталу облысының барлық -да соңғы
теңдеудің сол жақ бөлігі теріс емес, ал теңдеудің оң жақ бөлігі оң емес.
Теңдеудің оң жақ және сол жақ бөлігі де нөлге тең болса, яғни
болған жағдайда ғана теңдік орындалады. Тексеру көрсеткендей
берілген теңдеудің түбірі болады.
Жауабы:
2.4.22-есеп. Теңдеуді шешіңіз:
Шешуі:
Теңдеудің анықталу облысы жүйемен беріледі.
мұндағы
болғанда, берілген теңдеудің екі жақ бөлігін
квадраттағаннан кейін, пара-пар теңдеу аламыз:

бұдан

шығады.
модуль ішіндегі өрнектің түбірі теңдеудің
анықталу облысын екі аралыққа бөледі: және теңдеуін әр
аралықта қарастырайық.

1) бұдан

шығады.

саны аралыққа жатпайды және түбірі болуы мүмкін
емес. саны да бұл аралықта жатпайды. Демек сандары бөгде
түбірлер.
2) бұдан
шығады.
аралығына тек саны ғана жатады.
Жауабы:
2.4.23-есеп. Теңдеуді шешіңіз:
Шешуі:
Теңдеудің анықталу облысын жүйемен беріледі.
бұдан
Берілген теңдеуді түрінде жазамыз.
модуль ішіндегі өрнектің түбірі теңдеудің анықталу
облысын екі аралыққа бөледі: және .
1) бұдан

шығады.
және екі санда аралығында жатпайды,
демек олар жүйенің теңдеудің түбірлері болмайды.
2) бұдан

шығады.
және екі санда аралығында жатпайды,
демек бөгде түбірлер болады.
Жауабы: Теңдеудің түбірлері болмайды.
2..4.24-есеп. Теңдеуді шешіңіз:
Шешуі:
Модульдің қосындысын ажыратайық:
Сосын модуль ішіндегі өрнектің алгебралық қосындысы
түрінде жазуға бола ма соны анықтауға тырысамыз.

болғандықтан

түріндегі теңдікті аламыз.Мұндағы Сондықтан алғашқы теңдеу

жүйесіне пара-пар.

Жауабы:

2.4.25-есеп. Теңдеуді шешіңіз:
Шешуі:
Берілген есепті шешуді анықтама бойынша модульді ашудан
бастаймыз, таңбаны анықтау үшін келесі кестені құрамыз.(2-кесте)
2-кесте

Берілген теңдеу төрт жүйенің жиынтығына пара-пар.

(Соңғы пара-парлық шығады).
Бірінші жүйе жиынтығында аралықта шешімі болады,
себебі осындай барлық үшін теңдігі дұрыс болатынын оңай
көруге болады.
Екінші жүйеде көрсетілген барлық иррационалдық
теңдеудің оң жақ бөлігі оң,сондықтан екі жағында квадраттауға болады:
, демек екінші теңдеулер жүйсінің шешімі
болмайды.
Үшінші жүйедегі көрсетілген барлық иррационалдық
теңдеудің оң жақ бөлігі оң,сондықтан бұның да екі жағын да квадраттауға
болады:

демек үшінші жүйедегі теңдеудің шешімі болады.
Және соңғысы, төртінші жүйенің шешімі жоқ, себебі барлық
теңдігі дұрыс, демек теңдеу түріне енеді.
Жауабы:
2.4.26-есеп. Теңдеуді шешіңіз:
Шешуі:
болсын. Онда Алғашқы теңдеу келесідей түрге
енеді:

(Соңғы пара-парлық шығады).
Жауабы:
2.4.27-есеп. Теңдеуді шешіңіз:
Шешуі:
Берілген теңдеу келесі жүйеге пара-пар:

Бұл жүйенің бірінші теңдеуін шешейік:

болғанда жүйедегі екінші теңсіздік орындалмайды.
болғанда екінші теңсіздік орындалады.
болсын. Жүйенің үшінші шартын тексерейік:
,
яғни жүйенің шешімі болмайды. болғанда да, дәл солай жасаймыз:

яғни жүйенің шешімі болады.
Жауабы: .
2.4.28-есеп. Теңдеуді шешіңіз:
Шешуі:
Берілген теңдеу екі жүйенің жиынтығына пара-пар:

Жауабы:
2.4.29-есеп. Теңдеуді шешеңіз:
Шешуі:
Модулі бар көрсеткіштік-дәрежелік теңдеу берілсін.
негізгі дәреже және тең болғандағы жағдайын
қарастырамыз.
1) болсын, онда Бұл санды орнына қойып тексерейік:
Соңғы теңдіктің оң және сол жақ бөліктерінің мағынасы
болмайды, демек теңдеудің түбірі болмайды.
2)болсын, онда немесе Бұл сандарды орнына
қойып тексерейік:
а) болғада, аламыз, бұдан , демек
теңдеудің түбірі болады.
б) болғанда, аламыз, бұдан , демек
теңдеудің түбірі болады.
Біз көрсеткіштері тең болатын (дәреженің негізі тең) тағы
бір жағдайды қарастырумыз керек.
3) бұдан аламыз. Виет теоремасы бойынша
шығады.
санын ғана тексереміз, себебі біз тексерген
болатынбыз.
болғанда аламыз, бұдан шығады. Бұл теңдік
дұрыс болғандықтан, берілген теңдеудің түбірі болады.
Жауабы:
2.4.30-есеп. Теңдеуді шешіңіз.
Шешуі:
Берілген теңдеу

жүйесіне пара-пар.
Ары қарай екі жағдайды қарастырамыз.
а) болсын, онда жүйедегі теңдеу

түріне енеді.
Бұл мән аралығында жатады, демек берілген теңдеудің
шешімі болады.
б) болсын, онда
Бұнда тек бір ғана түбірі аралығына тиісті.
Жауабы:
2.4.31-есеп. Теңдеуді шешіңіз:
Шешуі:
Берілген теңдеудің сол жақ бөлігі тек басқа
барлық үщін мағынасы бар.Егер онда Бұдан
шығатыны, берілген теңдеу келесі теңдеуге пара-пар:

аламыз, бұдан .
Егер болса, онда
Берілген теңдеу ,бұдан
түріне енеді.
Жауабы:
2.4.32-есеп. кесіндісінде жататын теңдеуінің түбірін табыңыз.
Шешуі:
Келтіру формулаларын қолдана отырып, берілген теңдеуді мына
түрінде жазамыз:
Егер және болса, онда және , сондықтан
теңдеу түріне енеді, бұл теңдеудің екі жақ бөлігін де бөлсек,
аламыз; қарастырылып отырған аралықта ғана жатады.
Егер болса, онда және , cондықтан теңдеу
түріне енеді, теңдеудің екі жақ бөлігін бөлгеннен кейін,
аламыз; қарастырылып отырған аралықта түбірі жатады.
Жауабы:;
2.4.33-есеп. Теңдеудің шешіңіз:
Шешуі:
функциялары жұп болғандықтан, егер берілген
теңдеудің түбірі болса, онда бұл теңдеудің түбірі болады. Теңдеуге
кіретін функцияның жұптылығының күшімен, теңдеуді болғанда ғана
шешеміз.

1) бұдан ескерсек, онда аламыз.
2) бұдан

Соңғы теңдеу екі теңдеулер жиынтығына пара-пар
бұдан
Теңдеудің анықталу облысын ескерсек (, мәні
берілген теңдеудің түбірі болуы мүмкін емес.
Біз ғана қарастырып отырғанымызды ескерсек
шешімінен тек қалдырамыз.
Сонымен жауабы:
Жауабы:
2.4.34-есеп.Теңдеуді шешіңіз:
Шешуі:
Берілген теңдеу

жүйесіне пара-пар.
болсын, онда

немесе

яғни
шектелгенін ескерсек, аламыз.
Жауабы:
2.4.35-есеп.Теңдеуді шешіңіз:
Шешуі:
Екі жағдайды қарастырайық:
1)
a)
б) және болғандықтан жүйенің шешімі жоқ.
2)
а)
б) және болғандықтан үйлесімсіз жүйе.
Алынған топтамаларды бір жауапқа біріктірсек:
Жауабы:
2.4.36-есеп. Теңдеулерді шешіңіз:
Шешуі:
1)
болғанда теңсіздік орындалмайтынын, ал болғанда
орындалатынын тексереміз.
2)
болғанда теңсіздік орындалмайтынын, ал болғанда
орындалатынын тексереміз.
Жауабы:
2.4.37-есеп. Теңдеуді шешіңіз:
Шешуі:
және формулаларын қолданып, аламыз.
Екіге қысқартып, оң жақ бөлігін толық квадратқа ажыратсақ,

аламыз.
Теңдеудің сол жақ бөлігі екіден аспайтыны анық, ал оң жақ бөлігі
екіден онға (қоса алғанда) дейін өзгереді. Демек , теңдеу бір белгісізі
бар екі теңдеулер жүйесіне пара-пар

теңестіріп, және бүтін екі айнымалысы бар
теңдеуді аламыз (ол дифант деп аталады)

Егер болса, онда шешімі жоқ (сол жақ бөлігі тақ, ал оң
жағы- жұп); егер болса, онда .
Егер болса, онда тағы да жоғардағы себеппен шешімі жоқ:
егер болса, онда .

Жауабы:
2.4.38-есеп. интервалында теңдеуінің барлық шешімдерін
табыңдар.
Шешуі:
Екі жақ бөлігі квадратталған алғашқы теңдеуге пара-пар
теңдеуге көшейік; және болғандықтан, теңдеуді

түрінде жазамыз, бірақ сондықтан

теңсіздігін аламыз.
Жауабы:
2.4.39-есеп. Теңдеуді шешіңіз:
Шешуі:
теңдеуі үшін сұлба қолданамыз

Алғашқы теңдеу келесі жиынттыққа пара-пар

косинутың кему аралығы кесіндісінде болғандықтан

және

Жауабы:
2.4.40-есеп. теңдеуін қанағаттандыратын барлық мәндерін
табыныз.
Шешуі:
Егер болса, онда

яғни

Демек,

түріне енеді.
Қолданамыз:
а) модульдің қасиеті:
б) алғашқы теңдеудің сол жақ бөлігінің теріс болмауы.
Нәтижесінде пара-пар жүйе аламыз:

Екі жағдай мүмкін: немесе
Бірінші жағдайда:

2.4. 2-сурет

Екінші жағдайда:

Жауабы:
2.4.41-есеп. Теңдеуді шешіңіз:
Шешуі:
Екі жағдай мүмкін:
және .
Әр қайсысын қарастырайық.
1) болсын, онда . Келтіру формулаларын қолдана отырып,
жазамыз және алғашқы теңдеу

түріне енеді.
Косинустың қосындысын көбейткіштерге түрлендіріп, синустың қос бұрыштың
формулаларын қолдана отырып

аламыз.
Ортақ көбейткішті жақша сыртына шығарайық:

Алынған теңдеу екі теңдеудің жиынтығына эквивалентті.
а)
Бұл түбірлер шартын қанағаттандырады.
б)
жаңа белгісіз ретінде қабылданып, сәйкес квадраттық
теңдеуді шеше отырып, және аламыз. теңдеуінің түбірі
түбірлер жиынының арасында, ... жалғасы

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.