Параболалық түрдегі теңдеулерге келтірілетін қарапайым есептер

Жұмыс түрі: Дипломдық жұмыс
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 47 бет
Таңдаулыға:

Мазмұны

Кіріспе . . . ………3

I . Параболалық түрдегі теңдеулерге келтірілетін қарапайым

есептер

1. 1 Жылудың таралуы туралы сызықтық есеп . . 5

1. 2 Диффузия теңдеуі . . 9

1. 3 Жылудың кеңістікте таралуы . . . . 10

1. 4 Шеттік есептердің қойылымы . . . 13

1. 5 Максималды мәнінің принципі ………. . . . . ………18

1. 6 Жалғыздық теоремасы . . . ………. 20

1. 7 Шексіз түзу үшін жалғыздық теоремасы . . . …22

II . Айнымалыларды ажырату әдісі

2. 1 Біртекті шеттік есеп 24

2. 2 Негізгі функция 30

2. 3 Бастапқы үзілісті шарттары бар шеттік есептер . . . 32

2. 4 Біртексіз жылуөткізгіштік теңдеуі 36

2. 5 Ортақ бірінші шеттік есеп . . . . 39

III . Шексіз түзудегі есептер

3. 1 Жылудың шексіз түзудегі таралуы . Шектеусіз облыс үшін

ағынның функциясы 41

3. 2 Жартылай шектелген түзу үшін шеттік есептер . . . 53

IV. Жылуөткізгіштік пен диффузия теңдеулеріне байланыс -

ты есептер 58

Қорытынды . . . 64

Қолданылған әдебиеттер . . . 66

Кіріспе

Математикалық физикалық теңдеулер ғылыми зерттеу мен қолданбалы математикада қолданылады . Математикалық физиканың есептерін шешудің негізгі әдістері : сипаттаушылық, айнымалыларды ажыратып шешетін - Фурье, интегралдық түрлендіру, Грин функциясын құру және потенциалдар әдістері болып табылады . Физика, техника, биология тағы басқа ғылымдардың күделі проблемалары мен табиғаттағы түрліше физико - химиялық құбылыстарды математика әдістермен зерттеу көп жағдайда дербес туындылы дифференциалдық теңдеулерді шешуге алып келеді .

Олардың ең қарапайымдары :

\[\bigcap{}\]

Толқындық теңдеу :

\[u_{n}=a^{2}\mathrm{D}u+F(x,y,z,t)\]

мұндағы

\[{\mathcal Q}\,\]

- тұрақты толқынның жылдамдығы,

\[\operatorname{L}\!u=u_{x x}+u_{y y}+u_{z z}\]

- Лаплас операторы деп аталады .

\[\bigcap{}\]

Жылуөткізгіштік теңдеуі :

мұндағы

\[a^{2}={\frac{k}{c\rho}}\]

\[{\mathcal{N}}\]

- ортаның ішкі жылуөткізгіш коэффициенті,

\[\stackrel{\wedge}{\sim}^{\prime}\]

- жылу сыйымдылығы,

\[\mathcal{P}\]

- тығыздық .

\[\bigcap{}\]

Лаплас теңдеуі

\[\mathrm{D}u=0\]

Пуассон теңдеуі

\[\mathrm{D}u=f(x,y,z)\]

Гельгольц теңдеуі

\[{\mathcal{N}}\]

- тұрақты .

Бұлар матеметикалық физиканың негізгі теңдеулері .

Математикалық физика әдістерін қолдану үшін зерттейтін құбылысты анықтайтын шамаларды таңдап, соннан соң физика - химиядық заңдылықтар мен қағидаларды пайдаланып, белгісіздер мен белгілі шамаларды байланыстыратын теңдеулер немесе теңдеу жүйесін құрады .

Әдетте, дифференциалдық теңдеулердің шешімдері көп болады . Солардың ішінен қажетті жалғыз шешімін таңдап алу үшін қосымша шарттар ( бастапқы, шекаралық, түйіндес, периодты, т. б. ) белгілі заңдар негізінде қорытылады .

Математикалық физиканың есептері нақты физикалық процестерді сипаттайды және бұл бөлімнің көптеген есептері параболалық типтегі теңдеулермен беріледі . Параболалық типтегі негізгі теңдеулері жылуөткізгіштік теңдеуі мен диффузия теңдеуі болып табылады .

Жылудың тасымалдау әдістері . Біртексіз температура өрісі бар кеңістіктегі жылудың өздігінен пайда болатын қайтымсыз тасымалдау процесі жылуалмасу деп аталады . Жалпы жағдайда, жылу тасымалдауы тек температураның таралуының біртексіздігінен ғана емес, сонымен қатар басқа да физикалық шамалар өрісінің біртексіздігінен де пайда бола алады, мысалыға концентрациялар айырымын жатқызуға болады .

Жылу тасымалдауы үш әдіспен жүзеге асырылуы мүмкін : жылуөткізгіштік арқылы, конвенкциямен және жылудың таралуы арқылы .

Жылуөткізгіштік деп температураның таралуының біртексіздігімен келісілген, ортадағы микробөлшектердің жылылық қозғалысы арқылы пайда болған жылу тасымалдауы айтылады .

Конвенкция деп ортадағы температураның біртексіз таралуы кезіндегі, микроскопиялық элементтердің және олардың орын ауыстырулары арқылы жүзеге асырылатын жылу тасымалдауын атайды .

Жылудың таралуы тек температура мен берілген дененің оптикалық қасиеттерін ғана шартқа ала отырып, электромагниттік толқындар арқылы пайда болатын жылудың таралу процесін көрсетеді .

Температуралық өріс . Жылуөткізгіштіктің аналитикалық теориясының негізгі есебі :

\[{\cal T}\,=\,f(x,y,z.\tau)\]

температурасының ( мұндағы

\[X,\,y,\,z\]

- кеңістіктік тік бұрышты координаталар,

\[\overline{{T}}\]

- уақыт ) - жылуөткізгіштік процесін сипаттайтын, негізгі физикалық шаманың кеңістікті - уақыттық өзгеруін қарастыру және анықтау болып табылады.

Температуралық өріс деп берілген

\[\overline{{T}}\]

уақытындағы кеңістіктің барлық нүктелері температура мәндерінің жинағын атайды . Температуралық өріс скаляр болып табылады, өйткені температураның өзі - скаляр шама . Егер температура тек

\[(x,y,z)\]

кеңістік координаталардың ғана функциясы болып табылса, онда өріс анықталған немесе стационарлы деп аталады . Егер де жалпы жағдайда температура уақыт бойынша да өзгеретін болса, онда өріс анықталмаған немесе стационарлы емес деп аталады .

1. Параболалық түрдегі теңдеулерге келтірілетін қарапайым есептер

1. 1 Жылудың таралуы туралы сызықтық есеп .

\[\frac{\overline{{{\beta}}}}{\overline{{{\beta}}}}\]

ұзындығы бар бүйірлері жылумен оқшауланған біркелкі өзекті қарастырайық, кез-келген уақытта көлденең қиманың барлық нүктелердегі температураны бірдей деп есептеу үшін өзек жеткілікті жіңішке болып алынған . Егер өзектің

\[\ M_{1}\]

және

\[\dot{\cal{M}}_{2}\]

ұштарын қалыпты температурамен қолдап отырсақ, онда өзек бойымен температураның сызықтық таралуы анықталады . ( 1 сурет )

\[\mathit{d}_{2}\]
=
\[d_{\mathrm{i}}\]
+
\[{\frac{u_{2}\cdot u_{1}}{l}}\cdot x\]
(1)

Жылу ағымы өзектің ыстық ұшынан жылы ұшына қарай тарала бастайды . Өзек қимасының S ауданы арқылы t бірлік ішінде өтетін жылу, келесі экспериментальді формула бойынша есептеледі

1- сурет

\[Q=-\,k\,{\frac{u_{2}-u_{1}}{l}}S=-\,k\,{\frac{\|u}{\partial x}}S\]
(2)

мұндағы

\[{\mathcal{N}}\]

- өзектің жасалу материалына байланысты, жылу өткізгіштік коэффициенті .

Егер жылу

\[\textstyle{\mathcal{X}}\]

- ке қарай өсу бойынша таралса, онда жылылық ағынның көлемі оң болып есептелінеді .

Өзектегі температураның таралу процесін қарастырайық . Бұл процес

\[\frac{x{\mathcal{A}}}{\beta\quad\ }\]

уақыттағы

\[\textstyle{\mathcal{X}}\]

қимасындағы температураны көрсететін

\[M{\Big(}{\mathcal{X}}_{9}\,t{\Big)}\]

функциясымен анықталуы мүмкін .

\[M{\Big(}{\mathcal{X}}_{9}\,t{\Big)}\]

функциясы қанағат болатын теңдеуді анықтайық . Ол үшін жылудың таралуына байланысты, процестерді анықтайтын физикалық заңдылықтарды қалыптастыру қажет .

1. Фурье заңы . Егер дене температурасы бірқалыпсыз болса, онда оның ішінде жылылық ағындар пайда болады . Бұл ағындар жоғары температура жағынан температурасы төмен жағына қарай бағытталған болады .

\[(t,t+d t)\]

уақыт аралығында

\[\textstyle{\mathcal{X}}\]

қимасы арқылы өтетін жылу келесі формуламен анықталады

\[d Q=q S d t\]

(3)

мұндағы

\[q=-\ k(x){\frac{\mathbb{H}}{\partial x}}\]

(4)

бірлік уақыт ішінде 1 см ² ауданы арқылы өтетін жылудың көлеміне тең, жылылық ағынның тығыздығы . Бұл заңдылық (2) формуланы жалпылайды . Оған қоса бұл формуланы интеграл түріне келтіруге болады

\[Q=-{\cal S}sum_{t_{1}}^{t_{2}}\tilde{\frac{\mathbb{C}[u}{\partial x}}(x,t)d t\]

(5)

мұндағы

\[Q\leftarrow(t_{1},t_{2})\]

уақыт аралығында

\[\textstyle{\mathcal{X}}\]

қимасы арқылы өтетін жылудың көлемі . Егер де өзек біркелкі болмаса, онда

\[{\mathcal{N}}\]

\[\textstyle{\mathcal{X}}\]

- тің функциясы болады. 2. Дененің температурасын

\[\Delta u\]

-ға дейін көтеру үшін, біркелкі денеге қатынастыратын жылу

\[Q=c m\mathrm{D}u=c\rho\,V\Delta u\]

(6)

тең болады, мұндағы

\[{\widetilde{\mathcal{I}}}\]

- салыстырмалы жылу сыйымдылығы,

\[J/I\]

- дене массасы,

\[\rho-\]

дене тығыздығы,

\[\backslash\gamma\]

- көлем .

Егер өзектің кез-келген бөлігіндегі температураның өзгеруі әртүрлі шамаға тең болса және өзек біркелкі болмаса, онда

\[{\cal Q}=\stackrel{x_{2}}{\vdots}\!\beta\rho S\Delta u(x)d x\]

(7)

3. Өзек ішіндегі жылу жұтылуы немесе пайда болуы мүмкін (мысалы: тоқ өтуі кезінде, химиялық реакциялар нәтижесінде т. б) .

Бұл бастаулардың әсерінен

\[(t,t+d t)\]

уақыт аралығында өзектің

\[(x,x+d x)\]

бөлігіндегі бөлініп шығатын жылудың көлемі

\[d Q=S F(x,t)d x d t\]

(8)

немесе интеграл түрінде

\[Q=S_{\sum_{i_{1}}^{1}\alpha_{i}^{2}}f_{(x,t)d x d t}\]

(9)

мұндағы

\[Q-(t_{1},t_{2})\]

уақыт аралығындағы өзектің

\[\left(\mathcal{X}_{1},\mathcal{X}_{2}\right)\]

бөлігіндегі бөлініп шығатын жылу мөлшері .

Кейбір

\[(t_{1},t_{2})\]

уақыт аралығы ішінде кейбір

\[\left(\mathcal{X}_{1},\mathcal{X}_{2}\right)\]

кесіндідегі жылу балансын есептегенде жылу өткізгіштік теңдеуі шығады . Қуаттың сақталу заңын қолдана отырып, (5) , (6) , (7) формулаларды пайдаланып, келесі теңдікті жазуға болады

(10)

бұл жылу өткізгіштік теңдеуінің интеграл түріндегі формуласы .

Жылу өткігіштік теңдеуінің дифференциалды түрін алу үшін,

\[M{\Big(}{\mathcal{X}}_{9}\,t{\Big)}\]

функциясының

\[\textstyle W_{x x}\]

және

\[\textstyle{M_{t}}\]

үзіліссізсіз туындылары бар деп ұйғарайық .

Орташа туралы формуланы қолдана отырып, келесі теңдікті

шығарамыз

\[[k\frac{\P u}{\P_{\alpha}}(x,t\,)\Big|_{x=x_{2}}\cdot\ k\frac{\P u}{\P_{\alpha}}(x,t\,)\Big|_{x=x_{1}}\Im_{x=t_{3}}\Im/x\Im t+F(x_{4},t_{4})\mathrm{Dr}\mathrm{Dr}\mathrm{D}t=\{c r\,[u(x,t_{2})-u(\xi,t_{1})]\}_{\xi=x_{3}}\Delta{x},\]

(11)

бұл теңдікті шекті өсімшелер туралы теореманың көмегімен келесі түрге келтіруге болады

(12)

мұндағы

\[t_{3},t_{4},t_{5}\]

және

\[X_{3},{\mathcal{X}}_{4},{\mathcal{X}}_{5}\]

(

\[t_{1},t_{2}\]

) және (

\[{\mathcal{X}}_{1},\,{\mathcal{X}}_{2}\]

) интервалдарының аралық нүктелері .

Бұдан,

\[\mathrm{D}x\Delta y\]

-ке қысқартқанда шығатыны

\[\left.\frac{\P[}{\P[x}(k\frac{\P(u)}{\P(x)}\right|_{t=x_{s}}+F(x,t)\bigg|_{x=x_{4}}^{x=x_{4}}=c\rho\,\frac{\P[u]}{\partial t}\bigg|_{t=t_{s}}\]

(13)

Бұл тұжырымдар кез-келген (

\[{\mathcal{X}}_{1},\,{\mathcal{X}}_{2}\]

) және (

\[t_{1},t_{2}\]

) аралықтарына қатысты.

\[{\mathcal{N}}_{1},{\mathcal{N}}_{2}\longrightarrow\mathbf{\theta}\mathcal{X}\]

және

\[t_{1},t_{2}\to t\]

шектеріне көшкенде теңдеу келесі түрде, яғни

\[{\frac{\Phi}{\P\!\!\|x}}(k{\frac{\P\!\!\|u}{\P\!\!\|x}})+F(x,t)=c\rho\,{\frac{\Vert u}{\partial t}},\]

(14)

жылу өткізгіштік теңдеу деп аталады .

Кейбір дербес жағдайларды қарастырайық .

1 Егер өзек біртекті болса, онда k, c,

\[\mathcal{P}\]

- тұрақты деп есептеуге болады және теңдеу әдетте мына түрде жазылады

\[u_{t}=a^{2}u_{x x}+f(x,t),\]

\[a^{2}={\frac{k}{c r}},f(x,t)={\frac{F(x,t)}{c\rho}},\]

мұндағы

\[\textstyle a^{2}\]

- тұрақты, температура өткізгіштік коэффициенті деп аталады . Егер бастаулары болмаса, яғни

\[\textstyle F(x,t)=0\]

, онда жылу өткізгіштік теңдеу қарапайым түрге келеді

\[u_{t}=a^{2}u_{x x}\]
(14' )

2 Жылу бастауларының тығыздығы температураға байланысты болуы мүмкін. Ньютон заңына сәйкес, қоршаған ортамен жылу алмасу жағдайында, бірлік ұзындық пен уақытқа есептелген өзектің бөліп шығаратын жылу мөлшері

\[{\cal F}_{0}=h(u-\theta),\]

мұндағы

\[{\cal O}\left({\mathcal{X}},{\mathcal{I}}\right)\]

- қоршаған ортаның температурасы,

\[{\mathcal{J}}_{\bar{\imath}}\]

- жылу алмасу коэффициенті . Сонымен,

\[\frac{x{\mathcal{A}}}{\beta\quad\ }\]

уақыт ішінде

\[\textstyle{\mathcal{X}}\]

нүктесіндегі жылылық бастаулардың тығыздығы

\[{\cal F}\,=\,F_{1}(x,t)-\;h(u-\theta)\]

(15)

тең болады, мұндағы

\[F_{1}(\operatorname{}X,t)\]

- басқа жылу бастауларының тығыздығы .

Егер өзек біртекті болса, онда бүйір жылу алмасуы бар жылу өткізгіштік теңдеу келесі түрде болады

\[u_{t}=a^{2}u_{x x}-\,d u+f(x,t),\]

мұндағы

\[a\,={\frac{h}{c r}}\,;f(x,t)=a q\,(x,t)+{\frac{F_{1}}{c\rho}}\]

- белгілі функция .

\[{\mathcal{N}}\]

және

\[\stackrel{\wedge}{\sim}^{\prime}\]

температураның баяу өзгеретін функциялардың коэффициенттері. Квазисызықтық жылуөткізгіш теңдеуіне әкелетін үлкен интервалдағы температуралардың өзгерісі, келесі түрде

\[{\frac{\P}{\Vert x}}(k(u,x){\frac{\P(u)}{\P(x}})+F(x,t)=c(u,x)\rho\left(u,x\right){\frac{\P(u)}{\partial t}}\]

1. 2 Диффузия теңдеуі . Егер ортадағы газ бірқалыпсыз орналасса, онда диффузия бар, яғни жоғары концентрациядан төменгі концентрация орнына ауысуы . Егер ерітілген заттың концентрациясы белгілі бір көлемде бірқалыпсыз болса, онда бұл құбылыс ерітінділерде де орын табады .

Диффузия процесін толық түтікшеде немесе кеуек ортамен толтырылған түтікшеде қарастырайық, бірақ қандай уақытта болса да түтікшенің қимасы бойынша газдың (ерітіндінің) концентрациясы бірдей екенін ұйғаруымыз керек . Онда диффузия процесі

\[\frac{x{\mathcal{A}}}{\beta\prime}\]

уақытындағы

\[\textstyle{\mathcal{X}}\]

қимасында концентрацияны көрсететін

\[u(x,t)\]

функциямен сипатталуы мүмкін .

Нернст заңына сәйкес,

\[(t,t+\Delta t)\]

уақыт ішінде

\[\textstyle{\mathcal{X}}\]

қимасы арқылы өтетін газдың массасы мынаған тең болады

\[\begin{array}{l}{{d Q=-\ D_{\bar{\Psi}(x)}^{\bar{\Psi}(u)}(x,t)S d t=W S d t,}}\\ {{{}}}\\ {{{}}}\\ {{{}}}\\ {{{}}}\\ {{{}}}\\ {{{}}}\end{array}\]

(16)

мұндағы

\[\bar{\boldsymbol{I}}\]

- диффузия коэффициенті, S- түтікше қимасының ауданы,

\[W(x,t)-\]

аудан бірлігі арқылы, бірлік уақыт ішінде өтетін газдың массасына тең болатын диффузиялық ағынның тығыздығы .

Концентрацияның анықталуы бойынша,

\[\backslash\gamma\]

көлемдегі газ мөлшері

\[Q=u V\]

тең болады, бұдан концентрацияның

\[{\mathrm{D}}u{\mathrm{-}}\]

ға өзгергендегі түтікшенің

\[\left(\mathcal{X}_{1},\mathcal{X}_{2}\right)\]

бөлігінде газ массасының өзгерісі шығады, ол

\[\mathrm{D}Q=\sum_{x_{i}}^{x_{2}}\!\S(x)\mathrm{D}u\cdot S d x,\]

мұндағы

\[C{\bigl(}\chi{\bigr)}\]

- кеуек коэффициенті .

\[(t_{1},t_{2})\]

уақыт ішінде

\[\left(\mathcal{X}_{1},\mathcal{X}_{2}\right)\]

бөлігінде газ массасының баланс теңдеуін құрастырайық

\[S_{\;\;\mu_{1}}^{t_{2}}\Bigl[D(x_{2})\big]\big[u\big(x_{2},t\;\big)-\;D(x_{1})\frac{\P u}{\P x}(x_{2},t\;\big)\big]d t\;=S\sum_{x_{1}}^{x_{2}}(x)[u(x,t_{2})-u(x,t_{1})]d\xi.\]

Бұдан келесі теңдеу шығады

\[\textstyle\frac{\P}{\P\!\parallel x}(D\stackrel{\Vert}{\Vert\boldsymbol{u}})={c}^{\Vert\boldsymbol{u}\Vert}{\boldsymbol{u}}\,,\]

(17)

бұл диффузия теңдеуі болып табылады . Ол жылуөткізгіштік теңдеуіне ұқсас .

Егер диффузия коэффициенті тұрақты болса, онда диффузия теңдеуі келесі түрде болады, яғни

\[\begin{array}{l}{{\displaystyle{\cal M}_{t}}}\end{array}{\longrightarrow}\left.{\cal Q}^{2}{\cal M}_{\chi\chi}\right.\]

мұндағы

\[a^{2}={\frac{D}{c}}.\]

Егер кеуек коэффициенті

\[c=1,\]

ал диффузия коэффициенті тұрақты болса, онда диффузия теңдеуі келесі түрде болады

\[u_{t}=D u_{x x}.\]

1. 3 Жылудың кеңістікте таралуы . Жылудың кеңістікте таралу процесі

\[x,y,z,t-\]

ң функциясы болатын

\[u(x,y,z,t)\]

температурасымен сипатталуы мүмкін.

Егер температура бірқалыпсыз болса, онда жоғары температуралы орыннан төменгі температуралы орынға бағытталған жылылық ағындар пайда болады .

\[d d-P(x,h\,;\zeta\,)\]

нүктесінде n нормалі бар кейбір аудан болсын . Фурье заңына сәйкес бірлік уақыт ішінде

\[d{\bar{o}}\]

арқылы өтетін жылу мөлшері

\[W_{n}d\delta=(\]

Wn )

\[d d=-k\frac{\P u}{\partial n}d\bar{\theta}\]

тең болады, мұндағы

\[{\mathcal{N}}\]

- жылуөткізгіштік коэффициенті,

\[\frac{\mathbb{E}|u}{\mathbb{O}n}\]

- n нормалінің

\[d{\boldsymbol{\delta}}-v\]

ға бағыт бойынша туындысы, ол келесіге тең

\[\begin{array}{l}{{\P u}}\\ {{\P n}}\end{array}\]

cos

\[(n,x)+{\overline{{\emptyset_{y}}}}\]

cos

\[(n,y)+{\frac{\mathbb{H}}{\partial z}}\]

cos

\[(n,z)=(\]

grad

\[u_{i},n)\]

Фурье заңы көбінесе келесі түрде жазылады

W =

\[-k g r a d u\]

мұндағы W - жылылық ағын тығыздығының векторы .

Егер орта изотроптық болса, онда

\[{\mathcal{N}}\]

скаляр шама болады . Ортаның изотроптық емес жағдайында

\[k{\mathrm{-}}\]

тензор, ал жылылық ағынның векторы W.

\[{\mathcal{N}}\]

тензорының - grad u векторына туындысын көрсетеді . Біз тек изотроптық орталарды ғана қарастырамыз .

Жылуөткізгіштік теңдеуінің қорытындысына көшетін болсақ .

S бетімен шектелген, кейбір

\[\backslash\gamma\]

көлемін қарастырайық .

\[\mathbf{D}t=t_{2}-t_{1}\]

уақыт ішінде V көлемі үшін жылу балансының теңдеуі келесі түрде болады

, (18)

мұндағы

\[P=P(x,h,\zeta\;)\]

- интегралдану нүктесі,

\[d V_{p}=d x d h d\zeta\]

- көлем элементі,

\[{\boldsymbol{C}}\rho\]

- көлем бірлігінің жылу сыйымдылығы,

\[W_{n}\]

- жылылық ағынның тығыздығын құрайтын нормаль . Бұл теңдеу

\[\Delta t\]

уақыт ішінде

\[\backslash\gamma\]

көлеміндегі жылудың сақталу заңын өрнектейді .

\[\mathbf{D}t=t_{2}-t_{1}\]

уақытында

\[\backslash\gamma\]

көлемдегі жылу мөлшерінің өзгерісі

\[\mathbf{\Delta}_{\Delta}^{\mathrm{{C}}}\]

шекаралық беті арқылы өтетін жылу ағынымен ескерілген, сонымен қатар жылылық бастаулардың нәтижесінде

\[\Delta t\]

уақыт ішінде

\[\backslash\surd\]

көлемінен бөлініп шыққан көлем мөлшері .

Интегралдық баланс теңдеуінен дифференциалдық теңдеуге көшу үшін,

\[u(M,t)=u(x,y,z,t)\]

екені және оның

\[X,y,{\mathcal{L}}\]

бойынша екі рет,

\[\frac{x{\mathcal{A}}}{\beta\quad\ }\]

бойынша бір рет дифференциалданады деп ұйғарайық . Онда Остроградский формуласын қолдануға болады

\[d V\]

Баланс теңдеуін келесі түрге түрлендіреміз

\[\underline{{{\gg}}}\bar{\mathcal{Q}}\partial\{u(P,t_{2})-u(P,t_{1})\}d V_{p}=-\underline{{{\bigcup_{t_{1}}}}}~~\underline{{{\int}}}~d i{\Big\rbrace}\]

\[d V_{p}d t+\mathop{\setminus\setminus~\mathrm{\Large{\large|}}}^{t_{2}}~\int_{\displaystyle{\textsf{}}~}F\not{\rangle}d V_{p}d t\]

Орташа туралы теореманы және көпайнымалылы функцияларға байланысты шекті өсімшелер туралы теореманы пайдалана отырып, келесіні шығарып аламыз

\[c\rho\,\frac{\P u}{\P t}\biggl|_{t=t_{1}}^{\quad}\mathrm{D}t\lambda V=-d i\nu\]