Параболалық түрдегі теңдеулерге келтірілетін қарапайым есептер

Жұмыс түрі: Дипломдық жұмыс
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 47 бет
Таңдаулыға:

Мазмұны

Кіріспе ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..3

I . Параболалық түрдегі теңдеулерге келтірілетін қарапайым
есептер
1.1 Жылудың таралуы туралы сызықтық есеп ... ... ... ... ... ...5
1.2 Диффузия теңдеуі ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 9
1.3 Жылудың кеңістікте таралуы ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 10
1.4 Шеттік есептердің қойылымы ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...13
1.5 Максималды мәнінің принципі ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..18
1.6 Жалғыздық теоремасы ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .20
1.7 Шексіз түзу үшін жалғыздық теоремасы ... ... ... ... ... ... 22

II . Айнымалыларды ажырату әдісі
2.1 Біртекті шеттік есеп ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...24
2.2 Негізгі функция ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .30
2.3 Бастапқы үзілісті шарттары бар шеттік есептер ... ... ... ...32
2.4 Біртексіз жылуөткізгіштік теңдеуі ... ... ... ... ... ... ... ... .36
2.5 Ортақ бірінші шеттік есеп ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...39

III . Шексіз түзудегі есептер
3.1 Жылудың шексіз түзудегі таралуы . Шектеусіз облыс үшін
ағынның функциясы ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...41
3.2 Жартылай шектелген түзу үшін шеттік есептер ... ... ... ...53

IV. Жылуөткізгіштік пен диффузия теңдеулеріне байланыс -
ты есептер ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 58

Қорытынды ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .64

Қолданылған әдебиеттер ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...66

Кіріспе

Математикалық физикалық теңдеулер ғылыми зерттеу мен қолданбалы
математикада қолданылады . Математикалық физиканың есептерін шешудің
негізгі әдістері : сипаттаушылық , айнымалыларды ажыратып шешетін –
Фурье , интегралдық түрлендіру , Грин функциясын құру және
потенциалдар әдістері болып табылады . Физика , техника , биология тағы
басқа ғылымдардың күделі проблемалары мен табиғаттағы түрліше
физико – химиялық құбылыстарды математика әдістермен зерттеу көп
жағдайда дербес туындылы дифференциалдық теңдеулерді шешуге алып
келеді .
Олардың ең қарапайымдары :
1 Толқындық теңдеу :

,

мұндағы - тұрақты толқынның жылдамдығы , - Лаплас операторы
деп аталады .
2 Жылуөткізгіштік теңдеуі :

,

мұндағы , - ортаның ішкі жылуөткізгіш коэффициенті ,
- жылу сыйымдылығы , - тығыздық .
3 Лаплас теңдеуі
,
Пуассон теңдеуі

,

Гельгольц теңдеуі

,

- тұрақты .
Бұлар матеметикалық физиканың негізгі теңдеулері .
Математикалық физика әдістерін қолдану үшін зерттейтін
құбылысты анықтайтын шамаларды таңдап , соннан соң физика – химиядық
заңдылықтар мен қағидаларды пайдаланып , белгісіздер мен белгілі
шамаларды байланыстыратын теңдеулер немесе теңдеу жүйесін құрады .
Әдетте , дифференциалдық теңдеулердің шешімдері көп болады .
Солардың ішінен қажетті жалғыз шешімін таңдап алу үшін қосымша
шарттар ( бастапқы , шекаралық , түйіндес , периодты , т.б. ) белгілі
заңдар негізінде қорытылады .
Математикалық физиканың есептері нақты физикалық процестерді
сипаттайды және бұл бөлімнің көптеген есептері параболалық типтегі
теңдеулермен беріледі . Параболалық типтегі негізгі теңдеулері
жылуөткізгіштік теңдеуі мен диффузия теңдеуі болып табылады .
Жылудың тасымалдау әдістері .Біртексіз температура өрісі бар
кеңістіктегі жылудың өздігінен пайда болатын қайтымсыз тасымалдау
процесі жылуалмасу деп аталады . Жалпы жағдайда , жылу тасымалдауы тек
температураның таралуының біртексіздігінен ғана емес , сонымен қатар
басқа да физикалық шамалар өрісінің біртексіздігінен де пайда бола
алады , мысалыға концентрациялар айырымын жатқызуға болады .
Жылу тасымалдауы үш әдіспен жүзеге асырылуы мүмкін :
жылуөткізгіштік арқылы , конвенкциямен және жылудың таралуы арқылы .
Жылуөткізгіштік деп температураның таралуының біртексіздігімен
келісілген , ортадағы микробөлшектердің жылылық қозғалысы арқылы пайда
болған жылу тасымалдауы айтылады .
Конвенкция деп ортадағы температураның біртексіз таралуы
кезіндегі, микроскопиялық элементтердің және олардың орын
ауыстырулары арқылы жүзеге асырылатын жылу тасымалдауын атайды .
Жылудың таралуы тек температура мен берілген дененің оптикалық
қасиеттерін ғана шартқа ала отырып , электромагниттік толқындар
арқылы пайда болатын жылудың таралу процесін көрсетеді .
Температуралық өріс . Жылуөткізгіштіктің аналитикалық теориясының
негізгі есебі : температурасының ( мұндағы - кеңістіктік
тік бұрышты координаталар , - уақыт ) – жылуөткізгіштік процесін
сипаттайтын , негізгі физикалық шаманың кеңістікті - уақыттық
өзгеруін қарастыру және анықтау болып табылады.
Температуралық өріс деп берілген уақытындағы кеңістіктің
барлық нүктелері температура мәндерінің жинағын атайды .
Температуралық өріс скаляр болып табылады , өйткені температураның
өзі - скаляр шама .Егер температура тек кеңістік
координаталардың ғана функциясы болып табылса , онда өріс анықталған
немесе стационарлы деп аталады . Егер де жалпы жағдайда температура
уақыт бойынша да өзгеретін болса , онда өріс анықталмаған немесе
стационарлы емес деп аталады .

1. Параболалық түрдегі теңдеулерге келтірілетін қарапайым есептер

1.1 Жылудың таралуы туралы сызықтық есеп . ұзындығы бар
бүйірлері жылумен оқшауланған біркелкі өзекті қарастырайық , кез-келген
уақытта көлденең қиманың барлық нүктелердегі температураны бірдей
деп есептеу үшін өзек жеткілікті жіңішке болып алынған . Егер
өзектің және ұштарын қалыпты температурамен қолдап
отырсақ , онда өзек бойымен температураның сызықтық таралуы
анықталады . ( 1 сурет )

=+
(1)

Жылу ағымы өзектің ыстық ұшынан жылы ұшына қарай тарала
бастайды . Өзек қимасының S ауданы арқылы t бірлік ішінде өтетін
жылу , келесі экспериментальді формула бойынша есептеледі

1- сурет

(2)

мұндағы – өзектің жасалу материалына байланысты , жылу
өткізгіштік коэффициенті .
Егер жылу – ке қарай өсу бойынша таралса , онда жылылық
ағынның көлемі оң болып есептелінеді .
Өзектегі температураның таралу процесін қарастырайық . Бұл процес
уақыттағы қимасындағы температураны көрсететін
функциясымен анықталуы мүмкін . функциясы қанағат болатын
теңдеуді анықтайық . Ол үшін жылудың таралуына байланысты ,
процестерді анықтайтын физикалық заңдылықтарды қалыптастыру қажет .
1.Фурье заңы .Егер дене температурасы бірқалыпсыз болса , онда оның
ішінде жылылық ағындар пайда болады . Бұл ағындар жоғары температура
жағынан температурасы төмен жағына қарай бағытталған болады .
уақыт аралығында қимасы арқылы өтетін жылу келесі
формуламен анықталады

(3)

мұндағы
(4)

бірлік уақыт ішінде 1 см2 ауданы арқылы өтетін жылудың көлеміне
тең , жылылық ағынның тығыздығы . Бұл заңдылық (2) формуланы
жалпылайды . Оған қоса бұл формуланы интеграл түріне келтіруге
болады

(5)

мұндағы уақыт аралығында қимасы арқылы өтетін жылудың
көлемі . Егер де өзек біркелкі болмаса , онда – тің
функциясы болады. 2.Дененің
температурасын -ға дейін көтеру үшін , біркелкі денеге
қатынастыратын жылу

(6)

тең болады , мұндағы – салыстырмалы жылу сыйымдылығы , –
дене массасы , дене тығыздығы , - көлем .
Егер өзектің кез-келген бөлігіндегі температураның өзгеруі
әртүрлі шамаға тең болса және өзек біркелкі болмаса , онда

(7)

3.Өзек ішіндегі жылу жұтылуы немесе пайда болуы мүмкін (мысалы: тоқ
өтуі кезінде , химиялық реакциялар нәтижесінде т.б) .
Бұл бастаулардың әсерінен уақыт аралығында өзектің
бөлігіндегі бөлініп шығатын жылудың көлемі

(8)

немесе интеграл түрінде

(9)

мұндағы уақыт аралығындағы өзектің бөлігіндегі бөлініп
шығатын жылу мөлшері .
Кейбір уақыт аралығы ішінде кейбір кесіндідегі жылу
балансын есептегенде жылу өткізгіштік теңдеуі шығады . Қуаттың
сақталу заңын қолдана отырып , (5) , (6) , (7) формулаларды пайдаланып
, келесі теңдікті жазуға болады

(10)

бұл жылу өткізгіштік теңдеуінің интеграл түріндегі формуласы .
Жылу өткігіштік теңдеуінің дифференциалды түрін алу үшін ,
функциясының және үзіліссізсіз туындылары бар деп
ұйғарайық .
Орташа туралы формуланы қолдана отырып , келесі теңдікті
шығарамыз

(11)

бұл теңдікті шекті өсімшелер туралы теореманың көмегімен келесі
түрге келтіруге болады

(12)

мұндағы және () және () интервалдарының
аралық нүктелері .
Бұдан , -ке қысқартқанда шығатыны

(13)

Бұл тұжырымдар кез-келген () және () аралықтарына қатысты.
және шектеріне көшкенде теңдеу келесі түрде , яғни

(14)

жылу
өткізгіштік теңдеу деп аталады .
Кейбір дербес жағдайларды қарастырайық .
1 Егер өзек біртекті болса , онда k , c , - тұрақты деп
есептеуге болады және теңдеу әдетте мына түрде жазылады

мұндағы - тұрақты , температура өткізгіштік коэффициенті деп
аталады . Егер бастаулары болмаса , яғни , онда жылу өткізгіштік
теңдеу қарапайым түрге келеді

(14' )

2 Жылу бастауларының тығыздығы температураға байланысты болуы
мүмкін. Ньютон заңына сәйкес , қоршаған ортамен жылу алмасу
жағдайында, бірлік ұзындық пен уақытқа есептелген өзектің бөліп
шығаратын жылу мөлшері

мұндағы - қоршаған ортаның температурасы , – жылу алмасу
коэффициенті . Сонымен , уақыт ішінде нүктесіндегі жылылық
бастаулардың тығыздығы

(15)

тең болады , мұндағы - басқа жылу бастауларының тығыздығы .
Егер өзек біртекті болса , онда бүйір жылу алмасуы бар жылу
өткізгіштік теңдеу келесі түрде болады

мұндағы - белгілі функция .
және температураның баяу өзгеретін функциялардың
коэффициенттері. Квазисызықтық жылуөткізгіш теңдеуіне әкелетін үлкен
интервалдағы температуралардың өзгерісі , келесі түрде

.

1.2 Диффузия теңдеуі . Егер ортадағы газ бірқалыпсыз орналасса ,
онда диффузия бар , яғни жоғары концентрациядан төменгі концентрация
орнына ауысуы . Егер ерітілген заттың концентрациясы белгілі бір
көлемде бірқалыпсыз болса , онда бұл құбылыс ерітінділерде де орын
табады .
Диффузия процесін толық түтікшеде немесе кеуек ортамен
толтырылған түтікшеде қарастырайық , бірақ қандай уақытта болса да
түтікшенің қимасы бойынша газдың (ерітіндінің) концентрациясы бірдей
екенін ұйғаруымыз керек . Онда диффузия процесі уақытындағы
қимасында концентрацияны көрсететін функциямен сипатталуы
мүмкін .
Нернст заңына сәйкес , уақыт ішінде қимасы арқылы
өтетін газдың массасы мынаған тең болады

(16)

мұндағы - диффузия коэффициенті , S- түтікше қимасының ауданы ,
аудан бірлігі арқылы , бірлік уақыт ішінде өтетін газдың
массасына тең болатын диффузиялық ағынның тығыздығы .
Концентрацияның анықталуы бойынша , көлемдегі газ мөлшері

тең болады , бұдан концентрацияның ға өзгергендегі түтікшенің
бөлігінде газ массасының өзгерісі шығады , ол

мұндағы - кеуек коэффициенті .
уақыт ішінде бөлігінде газ массасының баланс теңдеуін
құрастырайық

Бұдан келесі теңдеу шығады

(17)

бұл диффузия теңдеуі болып табылады . Ол жылуөткізгіштік теңдеуіне
ұқсас .
Егер диффузия коэффициенті тұрақты болса , онда диффузия
теңдеуі келесі түрде болады , яғни

мұндағы

Егер кеуек коэффициенті ал диффузия коэффициенті тұрақты
болса , онда диффузия теңдеуі келесі түрде болады

1.3 Жылудың кеңістікте таралуы . Жылудың кеңістікте таралу процесі
ң функциясы болатын температурасымен сипатталуы мүмкін.
Егер температура бірқалыпсыз болса , онда жоғары температуралы
орыннан төменгі температуралы орынға бағытталған жылылық ағындар
пайда болады .
нүктесінде n нормалі бар кейбір аудан болсын . Фурье заңына
сәйкес бірлік уақыт ішінде арқылы өтетін жылу мөлшері

Wn)

тең болады , мұндағы - жылуөткізгіштік коэффициенті , - n
нормалінің ға бағыт бойынша туындысы , ол келесіге тең

coscoscosgrad.

Фурье заңы көбінесе келесі түрде жазылады

W = ,

мұндағы W – жылылық ағын тығыздығының векторы .
Егер орта изотроптық болса , онда скаляр шама болады .
Ортаның изотроптық емес жағдайында тензор , ал жылылық ағынның
векторы W. тензорының - grad u векторына туындысын көрсетеді .
Біз тек изотроптық орталарды ғана қарастырамыз .
Жылуөткізгіштік теңдеуінің қорытындысына көшетін болсақ .
S бетімен шектелген , кейбір көлемін қарастырайық .
уақыт ішінде V көлемі үшін жылу балансының теңдеуі келесі түрде
болады

, (18)

мұндағы - интегралдану нүктесі , - көлем элементі , -
көлем бірлігінің жылу сыйымдылығы , - жылылық ағынның тығыздығын
құрайтын нормаль . Бұл теңдеу уақыт ішінде көлеміндегі
жылудың сақталу заңын өрнектейді . уақытында көлемдегі
жылу мөлшерінің өзгерісі шекаралық беті арқылы өтетін жылу
ағынымен ескерілген , сонымен қатар жылылық бастаулардың нәтижесінде
уақыт ішінде көлемінен бөлініп шыққан көлем мөлшері .
Интегралдық баланс теңдеуінен дифференциалдық теңдеуге көшу
үшін, екені және оның бойынша екі рет , бойынша
бір рет дифференциалданады деп ұйғарайық . Онда Остроградский
формуласын қолдануға болады

W .

Баланс теңдеуін келесі түрге түрлендіреміз

W .

Орташа туралы теореманы және көпайнымалылы функцияларға
байланысты шекті өсімшелер туралы теореманы пайдалана отырып ,
келесіні шығарып аламыз

W ,

мұндағы интервалдағы аралық нүктелері , ал көлеміндегі
нүктелер . көлемінің ішінен нүктесін белгілеп алып , -
ні бұл нүктеге жинай бастаймыз , ал -ні нөлге ұмтылады деп
аламыз. Шекті көшуді -ге қысқартқаннан кейін , шығатыны

W .

W - ның орнына W = - grad u формуладағы мәнін қоя отырып ,
жылуөткізгіштік дифференциалды теңдеу шығарып аламыз

W ,

мұндағы интервалындағы аралық нүктелері , ал көлеміндегі
нүктелер . көлемінің ішінен нүктесін белгілеп алып, -
ны нөлге ұмтылады деп аламыз .
Шекті көшуді - ге қысқартқаннан кейін , шығатыны :

W .

W-ның орнына W формуладағы мәнін қоя отырып , жылуөткізгіштік
дифференцмалды теңдеу шығарып аламыз

немесе
.

Егер орта біртекті болса , онда бұл теңдеу келесі түрге келеді

,

мұндағы - температураөткізгіштік коэффициенті , немесе

,

мұндағы - Лаплас операторы .

1.4 Шеттік есептердің қойылымы . Жылуөткізгіштік теңдеудің жалғыз
шешімін айырып алу үшін , оған бастапқы және шекаралық шарттарды
қосуымыз қажет .
Бастапқы шарты бастапқы уақытындағы функцияға
мән беру болып табылады .
Шекаралық шарттар шекарадағы температураға байланысты әр түрлі
болуы мүмкін :
1 Өзек ұшынан температура берілген

,

мұндағы аралығындағы берілген функция , ал ондағы -
процесті қарастыру уақыт арлығы .
2 Ұшынан туындыға мән берілген

.

Егер өзектің кесік қимасы арқылы өтетін жылылық ағынның
шамасы берілген болса , онда біз келесі шартқа келеміз ,

,

бұдан , мұндағы - төмендегі формула бойынша берілген
ағын арқылы өрнектелетін белгілі функция

.

3 Ұшынан функция мен туынды арасындағы сызықтық қатынас
берілген

.

Бұл шекаралық шарт Ньютон заңы бойынша қоршаған ортасы бар
дене бетіндегі жылуалмасуға сәйкес келеді , оның температурасы
белгілі . қимасы арқылы өтетін жылылық ағыны үшін екі өрнекті
пайдалануға болады

және

бұдан келесі түрдегі үшінші шекаралық шарттың математикалық
тұжырымын шығарып аламыз

,

мұндағы - жылуалмасу коэффициенті , - кейбір берілген функция
. ұщы үшін өзектің үшінші шекаралық шарты

.

және болғандағы шекаралық шарттың түрліше түрлері
болуы мүмкін , сондықтан түрлі есептердің саны өте үлкен .
Бірінші шеттік есеп жылуөткізгіштік теңдеуінің шешімін
табуға бағытталады

мұндағы 0 , 0 ,
,
, , ,

шарттарын қанағаттандырады , мұндағы және - берілген
функциялар .
Одан да күрделі түрі бар шеттік шарттар болуы мүмкін .
Мысалыға , өзек ұшында - шоғырланған жылу сыйымдылығы
орнатылған ( мысалы , үлкен жылуөткізгіштігі бар дене , нәтижесінде
бұл дененің түгел көлемі бойынша температураны тұрақты деп санауға
болады) және Ньютон заңы бойынша сыртқы ортамен жылуалмасу жүріледі.
Онда болғандағы шеттік шарт келесі түрде болады

,

мұндағы - сыртқы ортаның температурасы . Бұл шартта ( егер
теңдеуін ескерсе , ) туындысы бар .
Егер орта бірқаліпсыз және теңдеу коэффициенттері үзілісті
функциялар болса , онда есептің шешімі ізделінетін аралығы
коэффициенттердің үзілу нүктелері арқылы бірнеше бөлікке бөлінеді .
Қарапайым жағдайында бұл шарттар жылылық ағынның үзіліссіздігі
мен температураның үзіліссіздігінде қамтылады

,
,

мұндағы - коэффициенттердің үзілу нүктелері .
Ұзын өзектегі жылуөткізгіштік процесін қарастырайық . Бұл
жағдайда өзектің ұзындығына мән берілмейді , өйткені оның ұзындығы
бізге қажетті бөлігіндегі температураға әсер етпейді ; бұндай
есептерде өзек ұзындығы көбінесе шексіз деп саналады . Ол үшін ,
температураның шексіз түзудегі таралуы туралы бастапқы шарттары бар
есеп ( Коши есебі ) қойылады :

(
-+ ) ,

шарттарын қанағаттандыратын , - және
облысындағы жылуөткізгіштік теңдеуінің шешімін табу , мұндағы -
берілген функция . Бұндай есептерде , әдетте , өзек жартылай шексіз
және ұшынан бастап есептелетін координата шегінде өзгереді
деп саналады . Мысал ретінде жартылай шексіз өзек үшін бірінші
шеттік есептің тұжырымын келтірейік :
0 және облысындағы жылуөткізгіштік
теңдеуінің шешімін табу , ол келесі шарттарды қанағаттандыруы тиіс

,

,

мұндағы және - берілген функциялар .
Жоғарыда келтірілген есептер негізгі шеттік есептердің шектік
жағдайын ( яғни азғындауын ) көрсетеді . Температураның өзек бойымен
таралуы кезінде бастапқы шарттардың әсері уақыт өткен сайын
әлсірейді . Егер бізге қажетті уақыт бастапқыдан алыстатылған болса ,
онда өзек температурасы шекаралық шарттармен анықталады , өйткені
бастапқы шарттардың өзгерісі температураның күйіне әсерін тигізбейді
.
Сонымен , біз бастапқы шарттары жоқ шеттік есептерге келеміз ,

,
,

шарттарын қанағаттандыратын , мұнда және - үшін
жылуөткізгіштік теңдеуінің шешімі табылады

,

мұндағы - берілген функция , шартын қанағаттандыратын ,
үшін жылуөткізгіштік теңдеуінің шешімін табу қажет болғандағы
бастапқы шарттары жоқ жартылай шексіз өзектің есебі өте маңызды
болып табылады .
Периодты шекаралық тәртіп болғандағы бастапқы шарттары жоқ
есептер көп кездеседі .
Жоғарыда атап өткен сызықтық шеттік есептерден басқа ,
шекаралық шарттары бар сызықтық емес есептер де қойылады , мысалы

.

Бұл шекаралық шарт кесігінен температурасы бар
ортада Стефан – Больцман заңы бойынша таралуына сәйкес келеді .
Шеттік есептердің қойылымына толық тоқталып өтейік . Шектелген
облыс үшін бірінші шеттік есепті қарастырайық .
Келесі қасиеттерге ие болатын функциясын бірінші шеттік
есептің шешімі деп атаймыз :
1) келесі тұйық облыста анықталған және үзіліссіз

, ;

2) ашық облыста жылуөткізгіштік теңдеуін қанағаттандырады

, ;

3) бастапқы және шекаралық шарттарды қанағаттандырады ,
яғни

, ,

мұндағы - үзіліссіз функциялар , келесі түйіндесу шарттарын
қанағаттандырады

және
,

олар - функцияның тұйық облыста үзіліссіздігі үшін қажетті .
фазалық жағдайлардың жазықтығын қарастырайық . (2- сурет )
ABCD тік бұрыштың ішінде анықталған функциясы табылады . Бұл
облыс есептің қойылымымен анықталады , өйткені өзектегі
уақыт аралығында жылудың таралу процесі зерттеледі .
болсын ; біз функциясы
, болғанда ғана теңдеуге қанағат болады , бірақ
( AB қабырғасы ) болғанда емес және , ( AD және BC)
болғанда емес , ондағы бастапқы және шекаралық шарттары функцияның
мәндерімен беріледі деп ұйғарым жасаймыз .
Төмендегідей анықталған функциясын қарастырайық :

2 – сурет
, ,
,
,

мұндағы - еркін тұрақты . функциясы 2) шартын , сонымен
қатар шекаралық шарттарды қанағаттандырады . Бірақ бұл функция
бастапқы температура кезінде температураның таралу процесін
көрсетпейді және шекара температурада да , өйткені ол ,
, болғанда үзілісті болғандықтан .
теңдеуді қанағаттандырғандықтан , болғанда бұл
функцияның үзіліссіздігі шығады . Бұдан , болғанда
үзіліссіздік талабы тек шекаралық және бастапқы мәндері берілген
нүктеге қатысты . Кейін шекаралық шарттарды қанағаттандыратын теңдеу
шешімі деген кезде , біз 1) , 2) , 3) талаптарды қанағаттандыратын
функция деп түсінеміз .
Оларға ұқсас басқа да шеттік есептер , солардың ішінде шексіз
өзекке байланысты есептер және бастапқы шарттары жоқ есептерді
жатқызуға болады .
Жоғарыда айтылғандар бірнеше тәуелсіз геометриялық айнымалылары
бар есептерге де орындалады . Бұл есептерде болғанда бастапқы
температура , ал дене бетінде – шекаралық шарттар беріледі . Сонымен
қатар шексіз облыс үшін есептерді қарастыруға болады .
Қойылған әрбір есепке байланысты келесі сұрақтар пайда болуы
мүмкін:
1) қойылған есептің шешімінің даралығы ;
2) шешімінің бар болуы ;
3) қосымша шарттардан шыққан шешімінің үзіліссіз тәуелділігі .

1. Максималды мәннің принципі . Енді біз тұрақты
коэффициенттерібар теңдеуді қарастыра бастаймыз

.

Теңдеудегі қойылым

мұндағы ,

келесі түрге келеді

.

Бұл теңдеудің келесі шешімдер қасиетін дәлелдейік , бұны біз
максималды мәнінің принципі деп атаймыз .
Егер функциясы және тұйық облыста
анықталған және үзіліссіз , облыс нүктесінде жылуөткізгіштік
теңдеуін қанағаттандырса

(19)

онда функциясының максималды және минималды мәндеріге бастапқы
уақытта немесе немесе шекаралық нүктесінде жетеді .
функциясы жылуөткізгіштік теңдеуін қанағаттандырады және
максималды ( минималды ) мәнге кез-келген нүктеде жететіні айқын
көрінеді . Дегенмен , бұл теоремаға қайшылық болмайды , егер максималды
(минималды ) мәнге облыс ішінен жетуге болса , онда болғанда
немесе немесе болған жағдайда да жетуі тиіс .
Бұл теореманың физикалық мағынасы : егер температура шекарада
және бастапқы уақытта кейбір мәніне жетпесе , онда дене ішінде
ағындар қатыспаған кезде температура тудырыла алмайды . Ең алдымен ,
максималды мәнге қатысты теореманың дәлелдеуіне тоқталайық .
Теореманы қарсы жору бойынша дәлелдейміз : немесе
болғанда - ның максималды мәнін - арқылы белгілейік ,
және функциясы кейбір , нүктесінде өзінің
максималды мәніне жетті деп айталық , келесіге тең

(19) теңдеудің нүктесінде оң және сол жақ бөліктерінің
таңбаларын салыстырайық . Бұдан функция нүктесінде өзінің
максималды мәніне жетеді , онда міндетті түрде

және
(20)
болуы тиіс
болғанда максималды мәніне жетеді , онда

(21)

(19) теңдеуінің сол және оң жақ бөліктерінің таңбаларын салыстыра
отырып , олардың әртүрлілігіне көзіміз жетеді . Бірақ бұл тұжырым
теореманы дәлелдемейді . Толық дәлелдеме үшін нүктесін тауып
аламыз , ондағы және . Ол үшін көмекші функцияны
қарастырайық

,
(22)

мұндағы - кейбір тұрақты сан . Демек ,

және

- ты - нан кіші болатындай , деп таңдап аламыз , яғни
; онда -ның максималды мәні немесе ,
болғанда да -ден аспайды , яғни

немесе немесе
(23)

өйткені (22) формуланың бірінші қосылғыштың аргументтері - нен ,
ал екіншісі - - нан аспайды .
Үзіліссіздік қасиетіне байланысты функциясы кейбір
нүктесінде өзінің максималды мәніне жетуі тиіс .

екені айқын . Сондықтан және , өйткені немесе
, болғанда (23) теңсіздік орын табады . (20) және (21)
формулалардың ұқсастығына байланысты нүктесінде ,
болуы тиіс . (22) – ні ескере отырып , келесіні табамыз :

,

Бұдан ,
,

яғни (19) теңдеу ішкі нүктеде қанағаттандырылмайды .

1.6 Жалғыздық теоремасы . Егер және екі функция
, облысында анықталған және үзіліссіз , жылуөткізгіштік
теңдеуіне қанағат болса ,

, үшін )
(24)

сонымен қатар , бастапқы және шекаралық шарттарына да

,
,
,
онда .
Бұл теореманы дәлелдеу үшін келесі формуланы қарастырамыз

.
,
,

болғанда , және функциялары үзіліссіз болғандықтан ,
олардың айырымына тең функциясы да бұл облыста үзіліссіз .
, облысындағы жылуөткізгіштік теңдеуінің екі шешімінің
айырымы ретінде функциясы да бұл облыста жылуөткізгіштік
теңдеуінің шешімі болып табылады . Сонымен , максималды мәнінің
принципін осы функцияға қолданайық , яғни немесе немесе
болғанда , ол өзінің максималды және минималды мәндеріне
жетеді. Бірақ шартқа байланысты :

, , .
Сондықтан
,
яғни
.

Бұдан , бірінші шеттік есептің шешімі жалғыз екені шығады .
Максималды мән принципінен шығатын бірқатар салдарлар
дәлелдейік
1. Егер жылуөткізгіштік теңдеуінің және екі шешімі
келесі шарттарды қанағаттандырса

,
, ,
онда

барлық мәндері үшін , .
2. Егер жылуөткізгіштік теңдеудің , , үш шешімі

, және болғанда

шарттарын қанағаттандырса , онда , болғанда барлық
үшін де бұл теңсіздіктер орындалады . Бұл тұжырым , және
, функцияларына бірінші салдардың қолданылуын көрсетеді .
3. Егер жылуөткізгіштік теңдеудің және екі шешімі
келесі теңсіздікте орын тапса

, , үшін
онда

тепе-тең , яғни барлық үшін орын табады

, .

Бұл тұжырым екінші салдардан шығады , егер бұл тұжырымды
жылуөткізгіштік теңдеуінің шешімдеріне қолданса

,
,
.

Үшінші салдар бірінші шеттік есеп шешімінің бастапқы және
шекаралық мәндерден шыққан үзіліссіз тәуелділікті қалыптастыруға
көмектеседі . Егер біз кейбір физикалық есептегі жылуөткізгіштік
теңдеуінің бастапқы және шекаралық шарттарға

, , ,

сәйкес келетін шешімінің орнына , басқа бастапқы және шекаралық
мәндерге ие болатын , , , функциялармен анықталатын ,
, және функциясынан берілген дәрежелік дәлдік
шегінде ерекшеленбейтін , шешімін алсақ :

, ,
,

онда функциясы функциясынан дәлдік шегінде
ерекшелінетін болады .
Міне осында , физикалық анықтық принципі түйінделеді .

1.7 Шексіз түзу үшін жалғыздық теоремасы . Егер және
- үзіліссіз , функциясының айнымалыларының барлық өзгеру
облысында шектелген

,
(19)

жылуөткізгіштік теңдеуіне , сонымен қатар

,

шартын қанағаттандыратын болса , онда

, .

Төмендегі функцияны қарастырайық

функциясы үзіліссіз , жылуөткізгіштік теңдеуіне қанағаттандырады ,
оған қоса

,

облысында шектелген және

шартын қанағаттандырады .
Бұнда максималды мәнінің принципін пайдалану үшін , келесі
облысты қарастырайық

,

мұндағы - біз кейін шектеусіз үлкейтетін қосымша сан және
функция

(25)

функциясы үзіліссіз , жылуөткізгіштік теңдеуіне қанағаттандырады
, сонымен қатар келесі қасиеттерге ие :

,

(26)

, шектелген облыс үшін максималды мәнінің принципі тура.
, және функциялары үшін екінші салдарды қолдана
отырып , (26) ескере отырып , келесіні :

-

шығарып аламыз .
Кейбір мәнді белгілеп , таңдауын шектеусіз
үлкейтеміз . шегіне көшкенде :

шығады , теорема дәлелденді .

2 Айнымалыларды ажырату әдісі
2.1 Біртекті шеттік есеп . Кесіндідегі жылуөткізгіштік теңдеуіне
арналған бірінші шеттік есептің шешуіне кірісейік :

, ,
(1)

мұнда бастапқы шарты :

,
(2)

және шекаралық шарты :

(3)

Жалпы бірінші шеттік есеппен таныса отырып , алдымен келесі
қарапайым есептің шешіміне бастайық :
Бастапқы шартты

,
(2)

және біртекті шекаралық шарттарды

, ,
(4)

қанағаттандыратын біртекті теңдеудің

,

тұйық облыстағы , үздіксіз шешімін табу керек .
Айнымалыларды ажырату әдісі бойынша бұл есептің шешуін
қарастыру үшін , ең алдымен негізгі көмекші есепті , яғни тепе-теңдік
нөлге тең емес және де

,
(5)

біртекті шекаралық шарттарды қанағаттандыратын

теңдеудің шешімін табу қажет .
Теңдеуді келесі түрде көрсетуге болады

(6)

мұндағы - тек айнымалымының функциясы , - тек
айнымалысының функциясы .
Ұйғаруымызша алынған (6) шешімін (4) теңдеуге қоя отырып ,
тепе-теңдіктің екі жағын да - ге бөлсек , онда :

,
(7)

шығады , мұндағы , өйткені теңдіктің сол жағы -ге , ал оң
жағы - ке тәуелді .
Бұдан :

,
(8)

( 8 )

(5)-ші шекаралық шарттар төмендегідей мән береді :

,
(9)

Біз меншікті мағыналары бар ( Штурма – Лиувилль есебі ) есепті
функциясын анықтау үшін келесіні шығарып аламыз

, ,
(10)

Есептің тривиалдық емес шешімдері бар болатын параметрінің
мәнін табу қажет

(11)

параметр мәндерімен қоса , есептің шешімдерін де табу
керек . параметрінің бұндай мәндері меншікті мәндер , оларға
сәйкес келетін тривиалдық емес (11) есептің меншікті функциялары
деп аталады . Осылай тұжырымдалған бұл есепті Штурм –Лиувилль есебі
деп аталады .
Енді параметрінің теріс , оң таңбалы немесе 0 –ге тең
жағдайларын жеке – жеке қарастырайық .
1. болғанда есебіміздің тривиалдық емес шешімдері
болмайды. Шынында да , (8) теңдеудің жалпы шешімі келесі түрде
болады

.

Шекаралық шартымыз

;
,
яғни
және

Бірақ бұл жағдайда - нақты және оң , сондықтан .
Бұдан

,
демек ,
.

2. болған жағдайда ізделінді шешімдеріміз жоқ . Шынында
да , бұл жағдайда (8) теңдеудің жалпы шешімі

Шекаралық шарттар
,
,

яғни және нәтижесінде

.

3. болған кезде теңдеудің жалпы шешімі келесі түрде
жазылуы мүмкін

Шекаралық шартымыз

Егер нөлге тепе-тең болмаса , онда , сондықтан

(12)
немесе
,

мұндағы - кез-келген бүтін сан , солай болғандықтан , (11)
есептің тривиалдық емес шешімдері тек төмендегі мәнге ие болғанда
ғана болуы мүмкін

Осы меншікті мәндерге меншікті функциялар сәйкес келеді

,

мұндағы - кез- келген тұрақты .
Сонымен

(13)

мәндерінде ғана (11) есептің тривиалдық емес шешімдері бар болады

,
(14)

мәндеріне сәйкес (8 ) теңдеудің шешімдері

(15)

мұндағы - әзірше анықталмаған коэффициенттер .
Негізгі көмекші есепке қайта келе

,
(16)

функциялары (4) теңдеудің нөлдік шекаралық шарттарды
қанағаттандыратын дербес шешімдері екенін аңғарамыз .
Енді (1) есептің шешуіне оралайық . Формальді түрде қатар
құрастырсақ

(17)

Қатардың барлық мүшелері шекаралық шарттарға қанағат болғандықтан
функциясы да бұл шарттарға қанағат . Бастапқы шарттардың
орындалуын талап ете отырып , келесіні

(18)

шығарып аламыз , яғни функциясы синустар бойынша
интервалында қатарға жіктеу кезінде - Фурье коэффициенттері
болып шығады

(19)

19) формула бойынша анықталатын коэффициенттері
бар (17) қатарды қарастырайық , және бұл қатар
(1) есептің барлық шарттарына қанағат екенін
көреміз . Ол үшін , (15) қатармен анықталатын
функциясы , , облысында теңдеуге қанағат
екенін және осы облыстағы шекара нүктелерінде
, , болғанда ) үзіліссіз екенін ,
дифференциалданатынын дәлелдеу керек .
Лемма ( суперпозициялық жалпылау принципі ) :
Егер сызықты және біртекті дифференциалдық теңдеудің
дербес шешімі болса , онда қатары да теңдеудің шешімі бола
алады , егер теңдеудегі бойынша алынған туындыларын
қатарды мүшелеп дифференциалдау арқылы табуға болатын болса .
Сонымен (4) теңдеу сызықты болғандықтан , дербес шешімдерден
құралған қатар жиналса және де мүшелеп бойынша екі рет ,
бойынша бір рет дифференциалдауға болса , онда суперпозиция
принципіне сәйкес бұл қатар да шешім болады
( - кез-келген қосымша сан ) болғанда

және

туындылар қатарлары бірқалыпты жинақталатынын көрсетейік .Шынында,

.

функциясы кейінірек тұжырымдалатын қосымша талаптарды
қанағаттандыруы тиіс . Алдымен , функциясы шектелген деп
ұйғарайық, ; онда

,

бұдан , үшін
;

сол сияқты , ... жалғасы

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.