Элементарлық алгебрада қолданылуы
Мазмұны
Кіріспе
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .3
Негізгі бөлім
І БӨЛІМ: х және у бойынша алынған симметриялық көпмүшеліктер
1.1. Симметриялық көпмүшеліктерге келтірілетін
мысалдар ... ... ... ... ... ... ... 4
1.2. Екі айнымалысы бойынша симметриялық көпмүшеліктер туралы негізгі
теорема ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 11
1.3. және арқылы дәрежелік қосындыларды
өрнектеу ... ... ... ... ... ... .15
1.4. Негізгі теореманың
дәлелденуі ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ... ... .19
ІІ БӨЛІМ: Элементарлық алгебрада қолданылуы
2.1. Теңдеулер жүйесінің
шығарылуы ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... .30
2.2. Қосымша бегісіздерді
енгізу ... ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ... ..3 1
2.3. Квадрат теңдеулер туралы
есептер ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 35
2.4. Қайтарымды
теңдеулер ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
...37
2.5. Симметриялық көпмүшеліктерді көбейткіштерге
жіктеу ... ... ... ... ..40
2.6. Әртүрлі
есептер ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ... ... ..50
Қорытынды
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
... ... ... ... ... ...49
Пайдаланылған әдебиеттер
тізімі ... ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ... ... 51
Кіріспе
Табиғатта, техникада және тұрмыста кейбір денелердің өзара ұқсас,
үйлесімді орналасуын симметрия деп атайды. Симметрия грек сөзінен алынған
үйлесім сөзі сияқты бірдей өлшемділікті, белгілі бір реттілікпен
орналасқан деген ұғымды білдіреді.
Симметрия ұғымымен барлық жерде – табиғатта, техникада, өнерде, ғылымда
жиі ұшырасамыз. Симметрия ұғымы адам шығармашылығының көпғасырлық тарихымен
тығыз байланысты. Симметрия принцпі физика мен математикада, химия мен
биологияда, техника және архитектурада, поэзия мен музыкада маңызды роль
атқарады.
Симметрия табиғаттың негізгі фундаментальды қасиеті болып табылады.
Ескерткіштерді археологиялық зерттеулер нәтижесі адамзаттың мәдениетінің
қалыптаса бастаған кезеңінен бері олардың симметрия туралы ұғым болғанын
және суреттер мен тұрмыстық заттарында бейнелеп көрсете білгенін дәлелдеді.
Өзінің барлық өмірін симметрияны зерттеуге арнаған академик А. В. Шубников
(1887 – 1970) симметрияны алғашқы өндірісте қолану тек эстетикалық мотивке
негіделмеген, сондай-ақ белгілі мөлшерде дұрыс формаларды практикада
қолданудың жарамдылығына деген адамның сенімділігіне де байланысты болған
деген ұйғарым жасады.
Симметрия органикалық емес, әлем мен тірі табиғатта түрлі құрылымдар
кездеседі және маңызды рольге ие.
Симметрия әр түрлі болады. Симметрияның ең қарапайым түрі – түзуге
қатысты симметрия. Егер түзу бойымен бүктегенде жазықтықтағы екі фигура бір-
бірімен беттесетін болса, ондай фигуралар түзуге қатысты симметриялы
фигуралар деп аталады.
Симметриялы фигуралар өзара тең болады.
Егер түзу фигураны симметриялы екі бөлікке бөлсе, онда ондай фигура
осьтік симметриялы фигура деп аталады, ал түзу сол фигураның симметрия осі
деп аталады. Тік төртбұрыш, квадрат, шеңбер – осьтік симметриялы фигуралар.
Тік төртбұрыштың екі симметрия осі бар, квадраттың төрт симметрия осі бар.
Шеңбердің кез келген диаметрі арқылы өтетін түзу оның симметрия осі болады.
Сондықтан шеңбердің симметрия осьтері шексіз көп. Бұрыш – осьтік симмтриялы
фигура. Бұрыштың симметрия осі бойындағы бұрыштың төбесінен басталатын
сәулені биссектриса деп атайды. Бұрыштың биссектрисасы оны градустық
өлшемтері тең екі бұрышқа бөледі.
Симметрияның екінші түрі – нүктеге қатысты симметрия.
О нүктесіне қатысты симметриялы нүктелер фигураның өзінде жатса, ол
фигура центрлік симметриялы фигура деп аталады. О нүктесі фигураның
симметрия центрі деп аталады. Тік төртбұрыш, шеңбер, кесінді – центрлік
симметриялы фигуралар. Тік төрт бұрыштың қарама-қарсы төбелерін қосатын
кесінді диагональ деп аталады. Тік төртбұрыштың диагональдарының қиылысу
нүктесі – оның симметрия центрі. Шеңбердің симметрия центрі – шеңбердің
центрі болатын О нүктесі. Кесіндіні тең екі бөлікке бөлетін О нүктесі –
оның симметрия центрі.
Координаталық жазықтықтағы координаталар басы О нүктесіне катысты
симметриялы нүктелердің координаталары қарама-қарсы сандар болады.
Табиғатта симметрияның 2 түрі билатеральды және радиальды кездеседі.
19 ғасырдың зерттеулер нәтижесінде Жердің тарту күші әсерінен табиғаттағы
формалар әрбір нүктесінде конустық симметриялы болатыны жөнінде айтылған
болатын. Табиғаттағы денелер формасы осы заңға бағынады: Өсетін немесе
вертикаль қозғалатындар, яғни жер бетіне қатысты жоғары-төмен қозғалатындар
радиальды симметрияға, ал жер бетіне қатысты горизанталь өсетін немесе
қозғалатындар билатеральды симметрияға бағынады.
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4
1
1 5 10 10 5
1
1 6 15 20 15 6
1
Оқушыларға алгебрадағы ең қиын бөлімдерінің бірі жоғары дәрежелі
теңдеулер жүйесін шығару болып табылады.
Бір белгісізбен квадраттық теңдеулер үшін
стандартты түрін көрсететін мынадай формула шығады:
,
Бірінші дәрежелі теңдеулер үшін де стандартты түрде шығарылуы бар
(белгісізді жою, коэффициенттердің теңдігі және т.б.). Бірақ жоғары
дәрежелі теңдеулерді шығару үшін қиынырақ болады.
Көбінесе мұндай жүйелерді шығарғанда белгісіздерді жою әдісі қолданылады.
Келесі мысалда бұл әдіс көрсетіледі:
{
Бірінші теңдеуде у-ті х арқылы өрнектейік. Біз y=4-x таптық. Екінші
теңдеуде у-тің орнына 4-х мәнін қояйық, сонда жаңа теңдеуде бір ғана
белгісіз х мүшесі шығады:
Өрнекті ықшамдағаннан кейін мынадай теңдеу шығады:
,
Оны шығара отырып, екі түбірін табамыз:
, .
Табылған әрбір түбіріне у-тің мәні сәйкес келеді (y=4-x арқылы
табылатын):
, .
Тексеру кезінде жауаптарының екеуі де
{ {
теңдеулер жүйесін қанағаттандыратынын көрсетеді.
Белгісіздерді жою әдісі жалпы болып табылады. Теориялық жағынан
қарағанда, кез келген жүйеден екі алгебралық теңдеуде екі белгісіз үшін бір
белгісіз мүшені жойып екінші белгісіз мүшесі болатын теңдеуді шығаруға
болады. Бірақ белгісіздерді жою әдісі әрқашанда тиімді болмайды. Кейбір
жағдайларда белгісіздерді жою әдісі жоғары дәрежелі теңдеулер жүйесіне
әкеліп соқтырады (жүйе арқылы шығарылу, қиындық туғызады). Егер бірінші
теңдеулер жүйесінің (екі белгісіз мүшелері болса) дәрежесі n, ал
екіншісінің дәрежесі m болса, онда жоюдан кейін, анықтама бойынша, mn
дәрежесіндегі теңдеу жоғары алгебрада бар екенін дәлелдейді.
Мысалы, мынадай жүйені алайық
{.
Бірінші теңдеуден: табайық, одан
.
Сол сияқты екінші теңдеуден: шығады.
үшін екі жағын теңестіріп, тек бір белгісіз у бар теңдеу шығады:
.
Бірақ бұл теңдеу 6-шы дәрежелі ( - жоғары алгебрадағы айтылған
теоремаға қатысты), ал формулалар 6-шы дәрежелі теңдеулерді оқушылар шығару
үшін қолданылады. Жоқ! Бұл әдіс бізді қиын жолға әкеледі.
Бұл қиындықтар туғанда жою әдісі (жоғары дәрежелі теңдеулер жүйесін
шығарғанда) мектепте сирек қолданылады. Көбінесе бұл жүйені жасанды әдіспен
шығарады. Бірақ жалпы анықтама бойынша мұндай әдістер қолданылмайды. Әрбір
жүйе өзінің тәсілімен шығарылады, және бір жүйені шығару кезінде алынған
тәжірибе, екінші жүйені шығару кезінде аз көмек береді. Нәтижесінде
мектептегі математикада бұл бөлім оқушыларға өте қиын болып көрінеді және
әрбір жүйенің шығару тәсілдері әр түрлі болып келеді.
Бұл дипломдық жұмыста жоғары дәрежелі теңдеулер жүйесінің жалпы шығару
әдісінің тиімді жолдары көрсетіледі. Бұл әдістер жою әдісі сияқты барлығына
қолданыла бермейді, ол кез келген жүйеге сәйкес келмейді. Бірақ бұл әдісті
оқушылар көбінесе барлық жүйелерге қолданылады. Расында да жою әдісімен
салыстырғанда бұл әдіс теңдеудің дәрежесін жоғарлатпай, керісінше
төмендетеді.
Айтылып отырған әдіс симметриялық көпмүшеліктер теориясына сүйеніп
шығарылады. Кез келген адам бұл әдіске қарапт мынадай жағдайларды ескереді:
өте жиімді және жеңіл; алгебралық жүйелерді шығаруғы көмектеседі
(иррационалдық теңдеулерді шығару, тепе-теңдіктер мен теңсіздіктерді
дәлелдеу, көбейткіштерді жіктеу және т.б.). Бұл дипломдық жұмыста есептер
шығарылып көрсетіледі. Есептердің ішінде күрделі есептер шығарылып, ал
кейбіреулері математикалық олимпиадаларда да қолданылады. Симметриялық
көпмүшеліктер теориясы көмегімен бұл күрделі есептердің шығару жолы
жеңілдетіледі, стандарт түрге келеді.
Дипломдық жұмыс екі бөлімнен тұрады. 1-бөлімде нақты сандардың және
комплекс сандардың дамуы жайында айтылады. Натурал, бүтін, рационал
сандарға амалдар қолдану, сандардың бөлінгіштік белгілері, жай және құрама
сандар, ең кіші ортақ еселік, ең үлкен ортақ бөлгіш, олардың қасиеттері
талданады.
Рационал сандар жиынының өріс құрайтындығы жайлы қарастырылады. Ондық
бөлшектер, шексіз периодты ондық бөлшектерге мысалдар келтіріледі.
Нақты сандар дәләрек айтсақ рационал және иррационал сандар айырмашылығы
Екінші бөлім комплекс сандарға арналады. Комплекс сандардың геометриялық
мағынасы, комплекс сандардың алгебралық және тригонометриялық түрлерінің
айырмашылығы, әртүрлі мысалдар келтіріледі.
І БӨЛІМ
х және у бойынша алынған симметриялық көпмүшеліктер
1.1. Симметриялық көпмүшеліктерге келтірілетін мысалдар
В.Б. Лидский, Л.В.Овсяников, А.Н.Тулайкова және М.И.Шабуниннің
Элементарлық математикадан есептер (М., 1960) кітабынан мысалдар
қарастырайық. Солардың ішінде ең күрделілері жоғарғы дәрежелі теңдеулер
жүцелерін таптық.
Мысалы:
Бұл барлық жүйелердің бір жалпы қаситі – x және y бірдей кіретін сол
жақтарында көпмүшеліктер бар теңдеулер. Сондай теңдеулер жүйесіне мынадай
тәсілдер қолданылады.
X және y бірдей кіретін көпмүшеліктер симметриялық көпмүшеліктер деп
аталады. Яғни,
x және y бойынша көпмүшеліктер симметриялық көпмүшеліктер дейміз, егер
x-ті y-пен, ал y-ті x-пен алмастырғанда өзгермейтін болса.
- симметриялық көпмүшелік, ал - симметриялық көпмүшелік
болмайды. X-ті y-пен, ал y-ті x-пен алмастыратын болсақ, ло мына түрге
келеді бұл көпмүшелік бастапқыға тең болмайды.
Енді негізгі симметриялық көпмүшеліктерге мысалдар келтірейік.
Қосылғыштардың орындарын ауыстырғанмен қосындының мәні өзгермейтіні бізге
арифметикадан белгілі , мұндағы х, у кез келген сандар. Бұл тепе-
теңдік көпмүшелігі симметриялық екенін көрсетеді. Сол сияқты
көбейтудің коммутативтік заңдылығы көбейтіндісі симметриялық
болатынын көрсетеді. және көпмүшеліктері ең қарапайым
симметриялық көпмүшеліктер болып табылады. Оларды және бойынша
элементарлық симметриялық көпмүшеліктер деп атайды. Оларды және
арқылы белгілейді:
, .
және -ден басқа , , ..., , ... дәрежелік
қосындылыр кездеседі. көпмүшелігін деп белгілеу қалыптасқан.
Сонда:
1.2 Екі айнымалы бойынша симметриялы көпмүшеліктер туралы теорема
Симметриялық көпмүшеліктерді алу үшін жеңіл әдіс бар. Симметриялық
емес кез келген және бойынша көпмүшеліктерді алып, және
-нің орнына және қояйық. және бойынша
симметриялық көпмүшелігі шығатыны белгілі (, -ті -пен
немесе -ті -пен алмастырғаннан және көпмүшеліктері
өзгермейді). Мысалы, көпмүшеліктерінен мынадай симетриялық көпмүшелік
шығады:
.
Сонымен, және көпмүшеліктерді алып, және -нің
орнына , -ті апарып қойсақ, онда және бойынша
симмметриялық көпмүшелігі шығады.
Бұл әдіс арқылы кез келген симметриялық көпмүшелікті алуға бола ма? –
деген сұрақ туындайды.
Мысалдарды қарастырудан кейін бұл тұжырым ақиқат екеніне көз
жеткіземіз. Мысалы, , , , дәрежелік қосындылар
және арқылы жеңіл өрнектеледі:
симметриялық көпмүшелікті келесі түрге келтірейік:
.
Қандай болсын қиын немесе жеңіл симметриялық көпмүшелікті алсақ та,
оларды және рақылы өрнектеп шығаруға болады. Осы мысалдардың
негізінде келесі теореманың ақиқаттығы шығады:
Теорема. Кез келген және бойынша симметриялық
көпмүшеліктерді
және арқылы өрнектеуге болады.
Әрине миллиондаған мысалдар қарастырсақ та, ол бізге дәлелдеудің орнын
толықтырмайды.
Математика тарихынан бізге бірнеше қателікті көрсетеді. Француз
математигі Пьер Ферма сандарын қарастырғанда, болса, онда бұл
сандар жай сандар болатынын тауып, енді кез келген сан болса да жай
сан болады деп ұйғарды. Бірақ ол тұжырымды Леонард Эйлер жалған екенін
дәлелді. болғанда онтаңбалы саны шықты, ол жай сан болмайтынын
көрсетті (өйткені шыққан сан 641-ге бөлінеді).
Эйлердің көмегімен көрсетілген басқа мысал. үшмүшелікке -
нің орнына 0-ді қойсақ, онда 41 жай саны шығады. болғанда, 43 жай
саны шығады. сандарын үшмүшелікке қойсақ, жай сандар шыға береді.
кез келген бүтін сандар үшін үшмүшелігі жай сандар үшін
орындалады. Бірақ бұл тұжырым да қате! сандары үшін шынымен де
орындалады. Бірақ болғанда үшмүшеліктің мәні мынадай бұл сан
құрама сан. Бұл мысалдар бізге дәлелдеудің жалпы түрі керектігін көрсетеді.
Көрсетілген теореманың дәлелдеуіне келеміз. Оның екі жолмен көрсетеміз.
1.3 және арқылы дәрежелік қосындыларды өрнектеу
Алдымен симметриялық көпмүшеліктердің кез келгеніне емес, тек
дәрежелік қосындыларға қатысты теореманы дәлелдейміз. Басқаша айтқанда,
мынаны анықтаймыз
әрбір дәрежелік қосындыны және арқылы өрнектелген
көпмүше түрінде көрсетуге болады.
Сондықтан біз теңдеуінің екі жағын да -ге көбейтеміз.
Сонда:
Сонымен,
. (1)
Бұл формуладан теореманың ақиқаттығы шығады. Шынымен де және
дәрежелік қосындыларды және арқылы көпмүшеліктерге
жіктелетінін біз бұрын да тексердік. , , , ,
дәрежелік қосындылар және арқылы көпмүшеліктерге жіктелетінін
білетін болсақ, онда (1) формулаға қойған кезде біз және арқылы
өрнектелген дәрежелік қосындыны аламыз. Басқа сөзбен айтқанда, біз
және -ні біле отырып және арқылы дәрежелік
қосындыларды бірінен соң бірін таба аламыз. (1) формула бойынша -ті
табамыз, содан соң , және т.с.с.. Ерте ме кеш пе біз кез келген
дәрежелік қосынды үшін және арқылы өрнектелеген
өрнекті таба аламыз. Сонымен біздің тұжырымдамамыз дәлелденді.
Дәлелдеменің негізін қалайтын (1) формула дәрежелік
қосындыны және арқылы өрнектеуге болатынын ғана емес, сонымен
қатар бірінен соң бірін дәрежелік қосындыларды және
арқылы есептеп табуға болатынын анықтайды. Сонымен (1) формула арқылы біз
бірінен соң бірі мыналарды таба аламыз:
;
;
;
және т.б.. 1-кестеде , , , дәрежелік қосындылардың
және арқылы өрнектелген түрі берілген. Бүл өрнектерді есеп
шығарған үшін қолдануға болады.
[pic [pic
] ]
[pic [pic
] ]
[pic [pic
] ]
[pic [pic
] ]
[pic [pic
] ]
[pic
][pi
c]
Варинг формуласы. 16 п. дәлелденген (3) формула рекурренттік қатынас
болып табылады. Sk дәрежелік қосындының σ1, σ2, σ3 арқылы өрнектеуді
алғашқы дәрежелік қосындылырды тапқаннан кейін ғана табуға мүмкіндік
береді. Бірақ оның көмегімен нақты sk дәрежелік қосындының өрнегін σ1, σ2,
σ3 арқылы табуға болады. Бұл өрнек төмендегідей (Варинг формуласы):
Бұл формулада қосынды барлық теріс емес бүтін λ1, λ2, λ3 сандарына
ортақ, мұндағы λ1+2λ2+3λ3=k. Егер 0! өрнегі кездескен жағдайда оның мәне 1-
ге тең деп аламыз.
λ1+2λ2+3λ3=k,
Варинг формуласындағы λ1, λ2, λ3 арқылы өрнектелген қатынасы келесі
жағдаймен байланысты. σ1 симметриялы көпмүшелігі y, z арқылы өрнектелетін
бірінші дәрежелі, σ2 – екінші дәрежелі, σ3 – үшінші дәрежелі. Сондықтан
егер бірмүшесіне қарапайым симметриялы σ1, σ2, σ3 көпмүшеліктерін x,
y, z арқылы өрнектесек, онда x, y, z арқылы өрнектелген дәрежесі
λ1+2λ2+3λ3=k болатын біркелкі көпмүшені аламыз. Осыдан sk дәрежелік
қосындысын жіктеуде тек λ1+2λ2+3λ3=k болатын бірмүшеліктері кіреді.
Егер (3) байланыспен пайдаланса Варингтiң формуласының дәлелi индукция
бойынша өткiзуге қиын емес. Сонымен бiрге келесi оңай қолдануға дәл келедi
дәлелделетiн тепе-теңдiк:
мұндағы, k =λ1+2λ2+3λ3.
Мысал ретiнде қарапайым симметриялық көпмүшелiктер арқылы s6 дәрежелi
қосындысының өрнегiн табайық. Варингтiң формуласы бойынша алғашқыда
теңдеудiң әр түрлi терiс емес шешiмдерін алуы керек
λ1+2λ2+3λ3=6.
4-кестеде көрсетілгендей бұл теңдеудің жеті шешімі болады:
4-кесте
Сондықтан
6-ға көбейтіп, келесі түрін аламыз:
Қайтарымды теңдеулер. Симметриялық көпмүшелiктерді кейбiр
жоғары дәрежелі теңдеулерiнiң шешiмi табу үшiн қолдану мүмкiн. Бұл бөлімде
біз қайтарымды теңдеулерді қарастырамыз.
көпмүшесін қайтарымды деп атайық, егер оның шеткі коэффициенттері сәйкес
келсе, яғни a0=an, a1=an-1, a2=an-2, ... Мысалы, қайтарымды көпмүшеліктер
мыналар болып табылады
Сол жақ бөлігі қайтарымды көпмүшелік болып табылатын f(z)=0 теңдеуін
қайтарымды дейміз.
Қайтарымды теңдеуді шешудің негізі мынада
Теорема. Барлық қайтарымды көпмүшеліктер
2k жұп дәрежелі келесі түрде беріледі
мұндағы, және - қандайда бір ό-дан k бойынша алынған
көпмүшелік.
Барлық қайтарымды f(z) теріс дәрежелі көпмүшелік -ге бөлінеді
де, бөлінді жұп дәрежелі қайтарымды көпмүшеге айналады.
Дәлелдеуі.
І БӨЛІМ
Натурал, бүтін, рационал, нақты сандар
1.1. Cан ұғымының дамуы. Санау жүйесі
Карл Гаусс математиканың сан салаларына сарапқа сала келіп арифметиканы
математиканың патшасы деп бағалаған. Ал арифметиканың негізгі ұғымы – сан.
Ендеше , сол сан ұғымының қалай пайда болуын ашу , білу – ғылыми
методологиялық үлкен мәселе.
Сан туралы ұғым адамзат мәдениетінің тууымен және оның дамуымен тығыз
байланысты. Шынында , егер осы ұғым болмаса , өзіміздің рухани өміріміз бен
практикалық қызметімізді тиісті дәрежеде көрсете алмас едік. Есеп – қисап
жүргізу , уақыт пен қашықтықты өлшеу , еңбек нәтижесінің қорытындысын
есептеу сан ұғымынсыз мүмкін емес.
Сан әуел баста заттарды санаудың қажеттілігінен туған
математикалы ұғымдардың бірі. Кейін ол математикалық білімнің дауына қарай
жетілдірілді. Бұл ұғым өте ерте заманда адамдардың практикалық
қызметтерінінен қажеттілігінен келіп туды.
Сан- әуел баста заттарды санаудың қажеттілігінен туған негізгі
математикалық ұғымдардың бірі. Кейін ол математикалық білімдердің дамуына
қарай жетілдірілді.
Бұл ұғым өте ерте заманда, күллі математика ғылымы сияқты адамдардың
практикалық қызметінің қажеттілігінен келіп туды. Ол өте баяу қалыптасты,
сөйтіп, барған сайын күрделене түскен әуелі практикалық, ал сонан соң
теориялық сипаттағы мәселелерді шешу барысында көптеген ғасырлар бойы
біртіндеп кеңейіп және жалпыланып отырды.
Нәрселерді санаудың нәтижесінде натурал сандар шыққан. Натурал сандырдың
әрқайсысын белгілеу үшін жасалған таңбалар цифрлар деп аталады.
Цифрлар: 1,2,3,4,5,6,7,8,9, және 0. Бұл цифрлар алғашқыда Үнді (Индия)
елінде қолданылған, бірақ Еуропаға бұл цифрлардың арабтар әкелген. Осыдан
бұл цифрлар араб цифрлары деп аталған.
Осындай цифрлардан сандар құрастырылып, олар белгілі бір тәсілмен аталып
таңбаланған.
Натурал сан ұғымының дамуы ерте заманда адамның заттар жиынтығының санын
оларды санамай-ақ, яғни өзара бір мәнді сәйкестікті тағайындай негізінде
қабылданумен сипатталады. Өте ұзақ санаудың нәтижесінде адам натурал
сандарды жасаудың келесі кезеңіне жетті - жиындарды салыстыру үшін аралық
жиындарды қолдана бастады. Бұл кезеңде сан саналатын жиындардан
ерекшеленген жоқ.Адам аралық жиындарды қолдануға үйренгеннен кейін барып
қана объектілер мен аралық жиындар арасындағы ортақ нәрсені анықтады.
Аралық жиындарды, оның элементтері табиғатынан дерексіздендіру мүмкін
болғаннан кейін натурал сан туралы түсіні пайда болды.
Уақыт өте келе адамдар сандарды атауды ғана емес, оларды белгілеуді де,
сондай-ақ олармен амалдар орындауды да үйренді. Осындай мәселелерді
шешудегі көптеген қиыншылықтар Ежелгі Үндістанда сандардың ондық жазуы мен
нөл ұғымының жасалуы нәтижесінде ғана жойылды. Әуелде санның жоқтығын
білдірген нөл теріс сандар ұғымы енгізілгеннен кейін ғана сан ретінде
қарастырылатын болды. Натурал сандар жиынының шексіздігі туралы түсінік
біртіндеп қалыптасты. “Натурал сан” терминін тұңғыш рет римдік ғалым
А.Боэций (шамамен 480-524 жылдар) қолданған. Санаудың ондық жүйесі қазіргі
түрінде біздің заманымыздың VI ғасырында Үндістанда қалыптасты. Нөл үшін
ерекше белгі енгізу үндістандықмаңызды жетістігі болды. Нөл енгізілгеннен
кейін ғана жазудың ондық жүйесі толығымен аяқталды. Алдымен нөлдің абактың
тиісті разрядында тастардың жоқтығын белгілеу үшін пайда болуы да ықтимал.
Натурал сан ұғымы қалыптасқаннан кейін сандар дербес объектілерге айналды
және оларды математикалық объектілер ретінде зерттеудің мүмкіндігі пайда
болды. Арифметика – сандарды және оларға қолданатын амалдарды зерттейтін
ғымым, ол Ежелгі Шығыс елдерінде: Вавилонда, Қытайда, Үндістанда, Египетте
дүниеге келді. Осы елдерде жинақталған математикалық білімдерді Ежелгі
Грецияның ғалымдары дамытып, жалғастырды. Орта ғасырда арифметиканың
дамуына Үндістанның, араб елдері мен Орта Азия математикатері, ал XIII
ғасырдан бастап – европалық ғалымдар үлкен үлес қосты.
Сөйтіп, ежелгі дүние ғалымдары еңбектерінің өзінде-ақ натурал сандар
қатарының шексіздігі анықталды. (біздің дәуірге дейінгі ІІІ ғ.).
XIX ғасырда ғалымдардың назары натурал санның математикалық теорияларын,
яғни натурал сандармен есептеулер жүргізуге негіз болған теорияларды құруға
және логикалық тұрғыдан негіздеуге аударылды. Санның натурал қатарындағы
терең заңдылықтарды зерттеу қазіргі уақытқа дейін жалғастырылып, сандар
теориясын да қамтуда. Натурал сандар ұғымының өте қарапайым және табиғи
көрінетіні сондай, ғылымда ұзақ уақыт бойы оны қандай да болсын қарапайым
ұғымдардың терминдерімен анықтау туралы мәселе қойылған жоқ.
Жалпы алғанда сан ұғымы басқа ешқандай емес тек шындық дүниеден шыққан.
Өте ерте заманда пайда болған сан ұғымы көптеген ғасырлар бойы жалпыланып
,кеңейе түсті . Сонда сан жайындағы түсініктер адамзаттың практикалық
мұқтаждығына, мәселен , шамаларды өлшеудің қажеттілігіне және математиканың
өзінің ішкі мұқтаждығына байланысты кеңейіп отырғандығы байқалады.Мысалы
шамаларды дәлірек өлшеудің мұқтаждығы оң бөлшек ұғымының тууына себепті
болса, теңдеулерді шешу тәжірибелері мен осы санаудағы теориялық
зерттеулерге байланысты теріс сандар пайда болды. Бастапқыда санның жоқ
екенін белгілеу үшін қолданылған нөл саны теріс сандар енгізілгеннен кейін
сан ретінде қарастырылатын болды.
Француз математигі Рене Декарт (1596-1650) 1637 жылы координаталық түзуді
енгізіп теріс және оң сандарға түсінік берді.
-3 -2 -1 0 1 2 3
Нөл саны , натурал сандар және оған қарама –қарсы сандар бүтін сандар
жиынын құрайды. Оны Z әріпімен белгілейді. Ал бүтін сандар жиыны және теріс
бөлшектер рационал сандар жиынын құрайды. Рационал сандар жиынын Q әріпімен
белгілейді. Рационал термині латын тіліндегі ratio деген сөзден шыққан.
Ол қазақшаға аударғанда бөлінді , қатынас деген мағынаны береді.Яғни
бұл жерде рационал сан бүтін сандардың қатынасы деп түсіндіріледі.
Мысалы 7=7\1 ;7=14\2; 7=28\4
Бұлар бөлшек сандар. Жалпы рационал сан ұғымы әртүрлі шамаларды –
ұзындықты , салмақты . ауданды, перимеитрді және тағы сол сияқты өлшеу
процесіне байланысты пайда болды.
Нәрселерді санауда пайдаланылатын сандарды натурал сандар деп аталады.
Натурал сандар қатары 1 санынан басталады.Оның мүшелері шексіз
болады.Натурал сандар ұғымының дамуы ерте заманада адамдардың заттар
жиынтнғының санын оларды санамай-ақ , яғни өзара бірмәнді сәйкестікті
тағайындау негізінде қабылдануымен сипатталады.
Уақыт өте келе адамдар сандарды атауды ғана емес, сонымен қатар оларды
белгілеуді де, сондай-ақ олармен амалдар қолдануды да үйренді.
Натурал сан терминін тұнғыш рет римдік ғалым А. Боэций (шамамен 480-514
жылдар) қолданған. Натурал сан ұғымы қалыптасқаннан кейін сандар дербес
объектлерге айналды.
ХІХ ғасырда ғалымдардың назары натурал сандармен есептеулер жұргізуге
негіз болған теорияларды құруға және логикалық тұрғыдан негіздеуге
аударылды. Натурал сандар ұғымының өте қарапайым және табиғи көрінетіні
сондай, ғылымда ұзақ уақыт бойы оны қандай да болсын қарапайым ұғымның
терминдерімен анықтау туралы мәселе қойылған жоқ. Бөлшектердің пайда болуы
шамаларды өлшеумен пайда болды.
Ерте кезде адамдарға сауда – саттық және түрлі есептеу жұмыстарында
бөлшектер мен үлестерді есептеу қажет болған.
Алғашында математикада бөлшектерді сынық сандар деп атаған. Бөлшектер
туралы түсініктің дамуында үш түрлі бөлшектер ұғымы қалыптасқан.
1) Бірлік бөлшектер – алымдары 1 болатын бөлшектер.
2) Жүйеленген бөлшектер. Жүйеленген бөлшектің алымы кез келген бүтін
сан, бөлімі тек 10 санының немесе 60 санының дәрежелері ғана
болған.
3) Жалпы түрдегі бөлшек. Жалпы түрдегі бөлшектің алымы да , бөлімі де
кез келген натурал сан болды.
Бөлшектердің мұндай әртүрлілігі есептеу және өлшеу жұмыстарында көптеген
қиындықтар туғызды. Бөлшек ұғымының дамуы ғылым мен сауда-саттық
жұмыстарында өркендеген елдерде: Мысырда , Вавилонда, Үндістанда және Римде
қалыптасты.
Ертеде әртүрлі елдер бөлшек сандарды белгілеуде өздерінің түрліше
символдарын енгізді. Мысалы, мысырлықтар 1\10-ді -белгісімен, 1\2-ні-
- белгісімен және 1\3 –ді -белгісімен көрсеткен. Ежелгі
Үндістанда жай бөлшектерді жазуда оның бөлшек сызығын сызбай, алымын
үстіне , бөлімін астына жазған. Мысалы, 1\3-ді түрінде жазған.
Бөлшекті осы түрде жазу тәжік ғалымы әл-Насави (1030 жылдар) ғылыми
жұмыстарында орын алған. Ежелден 1\2-ді жарты, 1\4-ді ширек , 1 +1\2-ді
бір жарым және т.с.с, деп атаған. Осылайша жарты , ширек ұғымдары
қалыптасқан.
Бөлшек сызығын Уал-Хасара және итальяндық Леонардо Пизанский өздерінің
жазба есептеулерінде пайдаланған. Леонардо Пизанский бөлшек деген сөзді
енгізді.Бөлшек сызығы ХҮІ ғасырда ғана белгілеуге толық неді.
Ертедегі вавилондықтар өздерінің ғылыми зерттеулерінде алпыстық
бөлшектерді (бөлімі алпыс болатын сан) пайдаланылады. Осыдан қалған бөлшек
жүйесінен қазіргі уақыт бірлігіндегі 60-тық жүйе қалыптасқан.
1 мин = 1\60сағ; 1сек = 1\60мин. Бөлшектегі алым , бөлім атауларын
ХІІІ ғасырда грек математигі Максим Плаунд енгізген, жалпы түрдегі m\n
бөлшегі ежелгі грек ғалымы Архимедтің еңбектерінде пайдаланылған. ХХ
ғасырдың алғашқы жылдарында үнділер жай бөлшектерге амалдар қолдануды
қалыптастырды.
Самарқанд қаласындағы астрономиялық обсерваторияның негізін салушы әл-
каши бөлшек сандарды жазудың барлық түрлендірулер мен есептеулерін
айтарлықтай ықшамдайтын түрін, яғни ондық бөлшек деп аталатын жаңа түрін
ашты.
ХҮІІ ғасырдың басында ондық бөлшекті жазуды, айыру таңбасы ретінде үтір
немесе нүкте қолданыла бастады.
Ондық бөлшектерді есептеу натурал сандарды есептеуге ұқсас және ыңғайлы
болғандықтан,ғылымдағы,өндірістегі, күнделікті өмірдегі есептеулерге жиі
пайдаланылады. Ондық бөлшектер және ондық бөлшектерге амалдар қолдану
туралы ортаазиялық ғалым Әл-Каши өзінің Арифметика кілті (1437ж) атты
кітабында жазды. Әл-Каши ондық бөлшектерді жазуда үтірді пайдаланбаған,
бірақ ол үтірдің орнына тік сызық қойған. Ал, индерландиялық математик
Стевин Симон (1548-1620) өзінің ондық бөлшек туралы Ондық атты (1585)
кітабында үтірді пайдаланбай , бөлшектің бүтін бөлігі мен бөлшек бөлігін
бір қатарға үтірсіз жазған. Мысалы, 37,48 ондық бөлшегін мына түрде жазған:
37 0 4 1 8 2. Үтірдің орнына бірліктің үстіне нөл жазған. 1, 2, 3, ...
цифрларымен ондық таңбалардың ретін белгілеген.
Өмірде, тұрмыста , кездесетін көптегшен шамалар ( жылдамдық, биіктік,
температура , баға, т.б.) көбейіп, азайып өзгеріп отырады. Шамалардың
өзгерістерін белгілеу үшін оң сандармен қатар теріс сандар енгізілді. Теріс
сандар туралы ең алғашқы ұғым біздің заманымызға дейінгі ІІ ғасырдағы
қытай математиктерінің еңбектерінде кездескен. Оң санды өсу өзгерісінде
қолданса , теріс санды кему ретінде қолданған немесе теріс сандар қарыз
мағынасында қолданса , оң сандарды қолда бар зат мүлік деп түсінген.
Кейбір шамалардың тура мағынасы,тура бағыты болумен қатар, қарама- қарсы
мағынасы ,қарма –қарсы бағыты болады. Шамалардың өзгерісінің сан мәнін
жазғанда,оқығанда оның тура мағынасының сан мәнінің алдына + таңбасы
қойылады. Шаманың қарама-қарсы мағынасының сан мәнінің алдына - таңбасы
қойылады. Координаталық түзудегі оң (оңға қарай) бағытқа қарама-қарсы
(солға қарай) бағыт теріс бағыт деп аталып, ол бағытта теріс сандар
кескінделеді. Бір-бірінен тек қана таңбаларымен ажыратылатын сандар қарама-
қарсы сандар деп аталады.
Математикаға теріс сандардың енгізілуімен қатар нөл саны да жаңа
мағынаға ие болды. Нөл саны санақ басы болып және қарама-қарсы сандардың
қосындысы деп есептелді. Үнділер нөлді сунья (қазақша бос деген
мағынаны білдіреді) деп атаған, ал арабтар ас-сифр деп аударған,
сондықтан ХҮІІ ғасырға дейін нөл цифр деп аталып келген .
Нөл қазақшаға аударғанда ешқандай дегенді білдіретін латынның
nullus деген сөзінен шыққан.
Қазіргі кездердегі түсінігімізше нөл – сан. Оны басқа сандар
сияқты қосуға,азайтуға , көбейтуге, бөлуге болады , тек қана 0-ге санды
бөлуге болмайды.
Нөл саны координаталық түзуде санақ басы болатын О нүктесінің
координатасы,0 – саны оң сандар мен теріс сандарды ажыратып тұратын сан,
сондықтан 0 саны оң санға да,теріс санға да жатпайды. 0 саны бүтін сандар
жиынына жатады.
Қорытындылай келе,натурал сандар жиыны бүтін сандар жиынының ішкі
жиыны,бүтін сандар жиыны шектеусіз жиын. Бүтін сандар жиыны,оң және теріс
бөлшектер жиыны рационал сандар жиынын құрайды. Мына суретте натурал сандар
жиыны бүтін сандар жиынының, ал бүтін сандар жиыны рационал сандар жиынының
ішкі жиыны екені Эйлер – Венн дөңгелектері арқылы көрсетілген.
Жалпы , сан ұғымы мұнымен шектеліп қана қоймайды , сандар өте көп әрі
шексіз. Рационал сандар жиынына бүтін сандар , оң бөлшек және теріс бөлшек
сандар жататыны белгілі. Кез келген рационал санды шектеусіз периодты ондық
бөлшекпен жазуға болады. Шектеусіз периодсыз ондық бөлшек түрінде
өрнектелген санды иррационал сандар деп атайды. Рационал және иррационал
сандар жиындарын нақты сандар жиыны құрайды. Иррационал сандарға және тағы
басқа сандар жиынына алдағы уақыттарда толығырақ тоқталып осы баяндаманы
әрі қарай жалғастырамыз деген мақсаттамыз.
Сандардың аталуының және таңбалануының жалпы тәсілін санау жүйесі деп
атайды.Санау жүйелері-сандарды өрнектеудің қандайда бір тәсілі және оған
сәйкес сандармен әрекет жасау ережелері деп те айтады.Бұрынғы және қазіргі
қолданылып жүрген барлық санау жүйелері позициялық және позициялық емес
санау жүйелері болып екі үлкен топқа бөлінеді.Позициялық санау жүйелерінде
цифрдың мәні орналасу мәніне тәуелді,ал позициялық емес санау жүйелерінде
тәуелді емес.Позициялық емес санау жүйелерінің мынадай кемшіліктері
бар:
1)үлкен сандарды жазу үшін әрдайым жаңа таңбалардыенгізіп отыру қажет;
2)бөлшек және теріс таңбалы сандарды өрнектеу мүмкүн емес;
3)орындау алгоритмі болмағандықтан,арифметикалық амалдарды орындау қиын;
Позициялық емес санау жүйесінің мысалы ретінде Римдіктерде қалыптасқан
бестік санау жүйесін айтуға болады. Сандарды Рим цифрларымен жазуда осы
бесттік жүйе қолданылған: бір-I, бес-V, он- X, елу-L, жүз-C, бес жүз-D, мың-
M таңбаларымен белгіленген.Римдік санау жүйесі позициялық емес.
Сонда Рим цифрлары: I,V,X,L,C,D,M.
Рим цифрларымен сандарды жазуда қосу,азайту принциптері қолданылады.
Егер мәні кіші цифр мәні үлкен цифрдан кейін тұрса,онда олардың мәндері
қосылады.Мысалы,7 саны VII,51 сан LI, 110 саны CX, 550 саны DL түрінде
жазылады.
Егер мәні кіші цифр мәні үлкен цифрдың алдында тұрса, онда үлкен мәннен
кішісі азайтылады.
Мысалы, 4 саны IV, 9 саны IX, 990 сан XM, т.б. Рим цифрлары қазіргі
кезенде көбінесе кітап тарауларын,айларды, ғасырларды,т.б. нөмірлеу үшін
қолданылады.
Әрбір позициялық жүйенің нақты анықталған цифрлар алфавиті мен негізі
бар.
Санау жүйесінің ішіндегі тұңғыш пайда болғаны екілік санау жүйесі.Бұл
жүйе бойынша қолданылатын сандар: бір және екі. Австралия және Полинезия
тайпалары осы бір мен екі сандарынан үшті,төртті,бесті,алтыны
құрастырған.Алтыдан артық сандарды көп немесе сан жетпес сандар
деген.Америкалық ғалым Джон фон Нейман принципі бойынша ЭЕМ арифметикалық
есептеулерді екілік санау жүйесінде орындайды,яғни кез-келген мәлімет 0
және 1-ге сәйкес сигналдардың 2 түрлі тізбегімен қолданылады.Мысалы:
Қазіргі кездегі электрондық есептегіш машиналардың құрылысы осы екілік
жүйеге негізделген.Дүниені, табиғат құбылыстарын зерттеудегі қажеттіліктен
адамзат сандарды атаумен қатар, жазуға да үйренген.
Қазіргі кезеңдерде қолданылатын халықаралық санау жүйесі – ондық
жүйе.Ондық жүйедегі кез келген разрядтың 10 бірлігі, одан жоғарғы келесі
разряд бірлігін құрайды.Натурал сандар осы ондық жүйемен жазылады.Ондық
жүйедегі әрбір цифрдың мәні оның жазылуындағы тұрған орнына
байланысты.Сондықтан бұл санау жүйесін позициялық ондық санау жүйесі деп те
атайды.Позициялық ондық санау жүйесі шығыс елдерінде IX ғасырдан бастап
тарады.Адамда он саусақ бар,ал ол алғашқы құрал болғандықтан 10 саны
санаудың негізі ретінде бекінді.
1.2 Натурал сандар
Натурал сандар деп заттарды санау кезінде қолданылатын сандарды айтамыз.
Мысалы, бір, екі, он, жиырма, жүз, екі жүз елу алты, мың және т.б. Мысалы,
А={k, l, p, m} жиынының элементтерін санауды қалай жүргіземіз? Осы жиынның
әрбір элементін көрсете отырып біз бірінші, екінші, үшінші,
төртінші деп айтамыз.
Натурал сан ұғымы алғашқы математика ұғымдарының қарапайым ұғымына жатады
және басқа қарапайым ұғымдар арқылы анықтауға жатпайды. Натурал сандар
олардың өсу реті бойынша орналасады: натурал санның әрбір келесі натурал
саны алдыңғы санға бірлікті қосқанда пайда болады. Өсу ретімен орналасқан
натурал сан:
1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15 ,...,
Натурал сандар натурал қатар құрайды. Көпнүкте бұл қатардың шексіз
жалғасу мүмкіндігін көрсетеді. Бұл мағынада шексіз натурал сандар жиыны бар
екендігі айтылады. Бір – ең кіші натурал сан; натурал қатардың ең үлкен
саны болмайды. Ондық жүйеде натурал сандарды жазу принципі он цифр арқылы
жүзеге асады:
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.
Натурал сандарды оңынан солға қарай оқу арқылы сандарды жазуға қатысатын
цифрлар берілген санда қанша бірлік, одан соң ондық,жүздік, мыңдық және
т.б. бар екенін тізбектеп көрсетеді. Жалпы алғанда оң жағынан санағанда, к-
ші орында тұрған цифр берілген санның қанша 10к-1 бірлік разрядын
қамтитынын көрсетеді.
Мысалы,
18=1·10+8,
347=3·102+4·10+7,
5096=5·103+0·102+9·10+6
және жалпы алғанда, m орынды am саны үшін:
am=c1·10m-1+c2·10m-2+...+cm-1·10+cm.
(1.1.1)
мұндағы, с1,с2,...,сm цифрлары арқылы аm санын түрінде жазады.
(Мұнда жоғарыдағы сызықша аm санын с1,с2,...,сm сандарының көбейтіндісімен
шатаспас үшін қойылады.)
Ескерту: Ондық санау жүйесі – жалғыз ғана санау жүйесі емес. Ежелде
(Вавилонда) ондық санау жүйесімен қатар 60 (алпыстық) санау жүйесі де
қолданған. Оның әсері әлі күге дейін сақталған, себебі қазіргі күнге дейін
бір сағатта 60 минут, дөңгелекте 360 градус және т.б. бөлінген. Ертедегі
вавилондық астрономдар санау жүйесі үшін алпыстық жүйені алған, осыған
байланысты уақыттың (сағаттың), бұрыштың градустық өлшемін санау тәсілі
алпыстық жүйемен алынғаны белгілі.Санаудың позициялық принципке негізделген
көне жүйесі алпыстық жүйе болып есептелінеді.Ол ежелгі Вавилонда бұдан
шамамен 4000 жыл бұрын шықты.
Сегіздік санау жүйесінің негізі 8-ге тең,0,1,2,3,4,5,6,7 сандары
алфавиттік болып табылады.
Он алтылық санау жүйесі көп жағдайда мәліметтерді өрнектеу үшін және
компьютерлерде жадыны адрестеу үшін қолданылады.
Сандарды позициялық санау жүйелеріне көшіру.
Сандарды ондық санау жүйесіне көшіру.Екілік,сегіздік,он алтылық санау
жүйелерінде жазылған сандарды ондық жүйеге түрлендіруді орындау өте
жеңіл.Бұл үшін санды жаймаланған түрде жазып,оның мәнін есептеу жеткілікті.
Сандарды екілік жүйеден ондыққа көшіру.Кез келген екілік жүйедегі санды
,11,012 аламыз. Оны жаймаланған түрде жазып, есептеулер жүргіземіз:
11,012=1*21+1*20+0*2-1+1*2-2=2+1+0+ 14=3.2510
Cандарды сегіздік жүйеден ондыққа көшіру.Кез келген сегіздік санды,
мысалы 17,48 аламыз.Оны жаймаланған түрде жазып,есептеулер
жүргіземіз:17,48=1*8+7*80+4*81=8+7+ 48=15,510
Сандарды он алтылықтан ондыққа көшіру.Кез келген он алтылық санды
,мысалы, 51С16 аламыз. Оны жаймаланған түрде жазып,есептеу жүргіземіз.
15С16=5*162+1*161+12*160=1280+16+12 =130810
Санды екілік санау жүйесінен сегіздік және он алтылық жүйелерге
көшіру.Екілік санау жүйесінде берілген санды сегіздікке көшіру үшін оны
оңнан солға қарай 3 цифрдан топтап бөлген соң,әрбір топты сегіздік цифрға
түрлендіреміз.Егер соңгы сол жақтағы топ 3 цифрдан аз болса,оны нөлдермен
сол жақтан толтыру қажет.
Екілік санау жүйесіндегі 1011112 санын сегіздік жүйеге көшіру мысалын
қарастырайық:1011112→1*22+0*21+1*20 1*22+1*21+1*20→558→578
Екілік жүйедегі бүтін санды он алтылық санау жүйесіне көшіру үшін оны
оңнан солға қарай топтап,4 цифрдан бөлу қажет.Әрбір топты он алтылық цифрға
түрлендіреміз.Егер соңғы сол жақ топтағы цифрлардың саны төрттен аз
болса,оны нөлдермен сол жақтан толықтыру қажет.
Екілік жүйедегі 00101112 санын он алтылық жүйеге көшіру;
0010 11112→0*23+0*22+1*21+0*20 1*23+1*22+1*21+1*20→2Ғ16
Позициялық санау жүйелеріндегі арифметикалық
амалдар
Қосу.Екілік жүйеде сандарды қосу екілік жүйедегі сандарды қосу кестесіне
негізделген.Екілік жүйеде қосу кестесі өте қарапайым.Тек 1+1 қосу амалын
орындағанда ғана жоғары разрядқа көшіру орындалады.
0+0=0
0+1=1
1+0=1
1+1=10
Екілік жүйедегі сандарды қосуға бірнеше мысалдар қарастырайық;
1001 1101 11111
1010011,111
1010 1011 1
11001,110
10011 11000 100000
1101101,101
Ондық санау жүйесін есептеуге тексеру жүргіземіз.Ол үшін екілік санау
жүйесіндегі санды ондық санау жүйесіне көшіріп,оларды қосамыз;
10012=1*23+0*22+0*21+1*20=910
10102=1*23+0*22+1*21+0*20=1010
910+1010=1910
Енді алынған нәтижені ондыққа көшіреміз;
100112=1*24+0*23+0*22+1*21+1*20=191 0
Нәтижелерді салыстыра отырып,қосудың дұрыс орындалғанына көз жеткіземіз.
Азайту.Екілік жүйеде азайту амалын орындау екілік жүйедегі сандарды
азайту кестесіне негізделген. Азайту амалын орындау барысында әрдайым
абсалют шамасы бойынша үлкенінен кішісі алынып, үлкен санның таңбасы
қойылады.
0-0=0
0-1=1
1-0=1
Екілік сандарды азайтудың бірнешеи мысалдарын қарастырайық;
10111001,1 110101101
- -
10001101,1 101011111
00101100,0 001001110
Қазіргі уақытта компьютерлік программаларда екілік және сегізді санау
жүйесі қолданады. Мысал ретінде бірнеше санның үштік санау жүйесінде
көрсетейік. Бұл жағдайда тек қана 0,1,2 сандарын ғана қолданады. 3 саны
үштік санау жүйесінде ондық санау жүйесіндегі 10 санының рөлінде болады
және 10 ретінде белгіленуі керек. 32=9 санының орнына 100 жазамыз және т.б.
Келесі жазу ондық санау жүйесінде және үштік санау жүйесінде көрсетіледі:
Ондық санау жүйесі Үштік
санау жүйесі
17
22 (=32+2·3+2·1)
55
2001(=2·33+0·32+0·3+1·1)
100
10201(=1·34+0·33+2·32+0·3+1·1)
Иррационал сандар
ζ(3)— √2 — √3 — √5 — φ — α — e — π — δ
Санау жүйесі Π санын бағалау
екілік 11,00100100001111110110...
ондық 3,1415926535897932384626433832795...
Он алтылық 3,243F6A8885A308D31319...
Рационалды жақындау 22⁄7, 223⁄71, 355⁄113,10399333102, ...
(дәлдік өсу ретімен жазылған)
үзіліссіз бөлшек [3; 7, 15, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 3, 1, 14, 2, 1,
1, ... ]
(бұл үзіліссіз бөлшек периодты емес)
Евклидтік геометрия π радиан = 180°
1-кесте
Пи иррационал санының әртүрлі санау жүйесінде 1-кестеде көрсетілген.
Алгебрада және арифметикада сандармен әртүрлі амалдар қарастырылады:
қосу, алу, көбейту, бөлу, дәреже шығару, түбірден алу және т.б. Бұл
амалдардың бірінші төртеуі арифметикалық немесе рационалды деп атайды.
Бірақ оның ішінде қосу және көбейту амалдары натурал сандар облысында
орындалады: натурал сандар қосындысы және натурал сандар көбейтіндісі
қайтадан натурал сандар шығады.
Қосу және көбейту амалдары бағынатын заңдарды тұжырымдайық; бұл
амалдардың қатал анықтамалары және олардың қасиеттерінің дәлелденулері
(бірнеше аксиомалардан шығатын) теоретикалық арифметикада қарастырылады.
Қосу амалының ауыстырымдылық (немесе коммутативті) заңы:
а + b = b + a
(1.1.2)
Қосылғыштардың орнын ауыстырғанмен қосынды өзгермейді.
Кез-келген натурал а және b сандары үшін а + b = b + a теңдігі
орындалады.
Көбейту амалының ауыстырымдылық (немесе коммутативті) заңы:
а · b = b · a
(1.1.3)
Көбейткіштердің орнын ауыстырғанмен көбейтінді өзгермейді.
Қосу амалының терімділік (немесе ассоциативті) заңы:
(а + b) + с =( b + a) + с
(1.1.4)
Қосынды қосылғыштарды топтағанға байланысты емес.
Бұл заң қосындының қосылғыштарын жақшасыз жазуға мүмкіндік береді.
Мысалы:
(а + b) + с =( b + a) + с = a + b+ c
Көбейту амалының терімділік (немесе ассоциативті) заңы:
(а · b) · с =( b · a) · с
(1.1.5)
Көбейтінді көбейткіштерін топтағанға байланысты емес.
Бұл заң көбейтіндінің көбейткіштерін жақшасыз жазуға мүмкіндік береді.
Мысалы:
(а · b) · с =( b · a) · с = a
· b· c
Көбейту амалының қосуға байланысты уйлестірімділік (немесе
дистрибутивті) заңы:
(а + b) · с =a · с + b · с
(1.1.6)
Бұл заң есептеулер мен түрлендіруде жиі қолданатын жақшаны ашу негізгі
ережесі болып саналады.
1.3 Жай және құрама сандар. Бөлінгіштік белгілері.
Егер а және b натурал сандар, және де
a = bq,
мұндағы, q- де натурал сан, онда a санының b санына бөлгендегі бөліндісі
дейді, және келесі түрде жазады:
q =a b.
Және де басқаша да айтуға болады, a саны b санына бүтін немесе қалдықсыз
бөлінеді дейді. Қандайда b саны a санына қалдықсыз бөлінсе, a санының
бөлгіш деп айтады. Ал , a саны өзінің бөлінгішіне қарағанда бөлінгіш деп
аталады. b санына бөлінгіш сандар
b, 2b, 3b, 4b,...
2 бөлінетін сандар (яғни, 2 санына қалдықсыз бөлінетін сандар) жұп сандар
деп аталады. 2 санына бүтін бөлінбейтін сандар тақ сандар деп аталады.
Әрбір натурал сан немесе жұп немесе тақ болады.Егер әрбір а1,а2 натурал
сандары b санына бөлінетін болса, онда а1+а2 қосындысы да b санына
бөлінеді. Бұл келесі жазуда көрінеді:
а1 = bq1, a2= bq2, а1+а2 = b(q1+ q2)
Керісінше, егер а1 және а1+а2 натурал сандары b-ға бөлінетін болса,
онда a2 саны да b санына бөлінеді.
Кез келген 1 санынан өзгеше натурал санның кем дегенде екі бөлінгіші
болады: бірлік және өзі. Егер санның бірлік және өзінен басқа ешқандай
бөлінгіші болмаса, онда бұл сан жай сан деп аталады. Бірлік және өзінен
басқа бөлінгіші бар сан құрама сан деп аталады. 1 санын жай санға да,
құрама санға да жатқызбайды. Келесі өсі ретімен берілген бірнеше жай
сандар берілген:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ...
2 саны - жалғыз жұп жай сан; қалғандары тақ жай сандар.
Жай сандардың шексіз көп болатындығы ерте ғасырлардан белгілі (Евклид,
біздің эрамызға дейін ІІІ ғасыр).
Жай санның шексіз көп болатындығы туралы Евклид идеясы өте қарапайым
дәлелденеді. Осы осы айтылған тұжырымға кері дәлелденеді. Жай сандарды
қандайда бір шегі бар деп есептейік; олардың барлығын өсу ретімен
тізбектейік,
2, 3, 5, ... , p
(1.3.1)
Осы сандарға бірді қосқандағы көбейтіндісі болатын санды құрайық:
а = 2· ... жалғасы
Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.
Кіріспе
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .3
Негізгі бөлім
І БӨЛІМ: х және у бойынша алынған симметриялық көпмүшеліктер
1.1. Симметриялық көпмүшеліктерге келтірілетін
мысалдар ... ... ... ... ... ... ... 4
1.2. Екі айнымалысы бойынша симметриялық көпмүшеліктер туралы негізгі
теорема ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 11
1.3. және арқылы дәрежелік қосындыларды
өрнектеу ... ... ... ... ... ... .15
1.4. Негізгі теореманың
дәлелденуі ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ... ... .19
ІІ БӨЛІМ: Элементарлық алгебрада қолданылуы
2.1. Теңдеулер жүйесінің
шығарылуы ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... .30
2.2. Қосымша бегісіздерді
енгізу ... ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ... ..3 1
2.3. Квадрат теңдеулер туралы
есептер ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 35
2.4. Қайтарымды
теңдеулер ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
...37
2.5. Симметриялық көпмүшеліктерді көбейткіштерге
жіктеу ... ... ... ... ..40
2.6. Әртүрлі
есептер ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ... ... ..50
Қорытынды
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
... ... ... ... ... ...49
Пайдаланылған әдебиеттер
тізімі ... ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ... ... 51
Кіріспе
Табиғатта, техникада және тұрмыста кейбір денелердің өзара ұқсас,
үйлесімді орналасуын симметрия деп атайды. Симметрия грек сөзінен алынған
үйлесім сөзі сияқты бірдей өлшемділікті, белгілі бір реттілікпен
орналасқан деген ұғымды білдіреді.
Симметрия ұғымымен барлық жерде – табиғатта, техникада, өнерде, ғылымда
жиі ұшырасамыз. Симметрия ұғымы адам шығармашылығының көпғасырлық тарихымен
тығыз байланысты. Симметрия принцпі физика мен математикада, химия мен
биологияда, техника және архитектурада, поэзия мен музыкада маңызды роль
атқарады.
Симметрия табиғаттың негізгі фундаментальды қасиеті болып табылады.
Ескерткіштерді археологиялық зерттеулер нәтижесі адамзаттың мәдениетінің
қалыптаса бастаған кезеңінен бері олардың симметрия туралы ұғым болғанын
және суреттер мен тұрмыстық заттарында бейнелеп көрсете білгенін дәлелдеді.
Өзінің барлық өмірін симметрияны зерттеуге арнаған академик А. В. Шубников
(1887 – 1970) симметрияны алғашқы өндірісте қолану тек эстетикалық мотивке
негіделмеген, сондай-ақ белгілі мөлшерде дұрыс формаларды практикада
қолданудың жарамдылығына деген адамның сенімділігіне де байланысты болған
деген ұйғарым жасады.
Симметрия органикалық емес, әлем мен тірі табиғатта түрлі құрылымдар
кездеседі және маңызды рольге ие.
Симметрия әр түрлі болады. Симметрияның ең қарапайым түрі – түзуге
қатысты симметрия. Егер түзу бойымен бүктегенде жазықтықтағы екі фигура бір-
бірімен беттесетін болса, ондай фигуралар түзуге қатысты симметриялы
фигуралар деп аталады.
Симметриялы фигуралар өзара тең болады.
Егер түзу фигураны симметриялы екі бөлікке бөлсе, онда ондай фигура
осьтік симметриялы фигура деп аталады, ал түзу сол фигураның симметрия осі
деп аталады. Тік төртбұрыш, квадрат, шеңбер – осьтік симметриялы фигуралар.
Тік төртбұрыштың екі симметрия осі бар, квадраттың төрт симметрия осі бар.
Шеңбердің кез келген диаметрі арқылы өтетін түзу оның симметрия осі болады.
Сондықтан шеңбердің симметрия осьтері шексіз көп. Бұрыш – осьтік симмтриялы
фигура. Бұрыштың симметрия осі бойындағы бұрыштың төбесінен басталатын
сәулені биссектриса деп атайды. Бұрыштың биссектрисасы оны градустық
өлшемтері тең екі бұрышқа бөледі.
Симметрияның екінші түрі – нүктеге қатысты симметрия.
О нүктесіне қатысты симметриялы нүктелер фигураның өзінде жатса, ол
фигура центрлік симметриялы фигура деп аталады. О нүктесі фигураның
симметрия центрі деп аталады. Тік төртбұрыш, шеңбер, кесінді – центрлік
симметриялы фигуралар. Тік төрт бұрыштың қарама-қарсы төбелерін қосатын
кесінді диагональ деп аталады. Тік төртбұрыштың диагональдарының қиылысу
нүктесі – оның симметрия центрі. Шеңбердің симметрия центрі – шеңбердің
центрі болатын О нүктесі. Кесіндіні тең екі бөлікке бөлетін О нүктесі –
оның симметрия центрі.
Координаталық жазықтықтағы координаталар басы О нүктесіне катысты
симметриялы нүктелердің координаталары қарама-қарсы сандар болады.
Табиғатта симметрияның 2 түрі билатеральды және радиальды кездеседі.
19 ғасырдың зерттеулер нәтижесінде Жердің тарту күші әсерінен табиғаттағы
формалар әрбір нүктесінде конустық симметриялы болатыны жөнінде айтылған
болатын. Табиғаттағы денелер формасы осы заңға бағынады: Өсетін немесе
вертикаль қозғалатындар, яғни жер бетіне қатысты жоғары-төмен қозғалатындар
радиальды симметрияға, ал жер бетіне қатысты горизанталь өсетін немесе
қозғалатындар билатеральды симметрияға бағынады.
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4
1
1 5 10 10 5
1
1 6 15 20 15 6
1
Оқушыларға алгебрадағы ең қиын бөлімдерінің бірі жоғары дәрежелі
теңдеулер жүйесін шығару болып табылады.
Бір белгісізбен квадраттық теңдеулер үшін
стандартты түрін көрсететін мынадай формула шығады:
,
Бірінші дәрежелі теңдеулер үшін де стандартты түрде шығарылуы бар
(белгісізді жою, коэффициенттердің теңдігі және т.б.). Бірақ жоғары
дәрежелі теңдеулерді шығару үшін қиынырақ болады.
Көбінесе мұндай жүйелерді шығарғанда белгісіздерді жою әдісі қолданылады.
Келесі мысалда бұл әдіс көрсетіледі:
{
Бірінші теңдеуде у-ті х арқылы өрнектейік. Біз y=4-x таптық. Екінші
теңдеуде у-тің орнына 4-х мәнін қояйық, сонда жаңа теңдеуде бір ғана
белгісіз х мүшесі шығады:
Өрнекті ықшамдағаннан кейін мынадай теңдеу шығады:
,
Оны шығара отырып, екі түбірін табамыз:
, .
Табылған әрбір түбіріне у-тің мәні сәйкес келеді (y=4-x арқылы
табылатын):
, .
Тексеру кезінде жауаптарының екеуі де
{ {
теңдеулер жүйесін қанағаттандыратынын көрсетеді.
Белгісіздерді жою әдісі жалпы болып табылады. Теориялық жағынан
қарағанда, кез келген жүйеден екі алгебралық теңдеуде екі белгісіз үшін бір
белгісіз мүшені жойып екінші белгісіз мүшесі болатын теңдеуді шығаруға
болады. Бірақ белгісіздерді жою әдісі әрқашанда тиімді болмайды. Кейбір
жағдайларда белгісіздерді жою әдісі жоғары дәрежелі теңдеулер жүйесіне
әкеліп соқтырады (жүйе арқылы шығарылу, қиындық туғызады). Егер бірінші
теңдеулер жүйесінің (екі белгісіз мүшелері болса) дәрежесі n, ал
екіншісінің дәрежесі m болса, онда жоюдан кейін, анықтама бойынша, mn
дәрежесіндегі теңдеу жоғары алгебрада бар екенін дәлелдейді.
Мысалы, мынадай жүйені алайық
{.
Бірінші теңдеуден: табайық, одан
.
Сол сияқты екінші теңдеуден: шығады.
үшін екі жағын теңестіріп, тек бір белгісіз у бар теңдеу шығады:
.
Бірақ бұл теңдеу 6-шы дәрежелі ( - жоғары алгебрадағы айтылған
теоремаға қатысты), ал формулалар 6-шы дәрежелі теңдеулерді оқушылар шығару
үшін қолданылады. Жоқ! Бұл әдіс бізді қиын жолға әкеледі.
Бұл қиындықтар туғанда жою әдісі (жоғары дәрежелі теңдеулер жүйесін
шығарғанда) мектепте сирек қолданылады. Көбінесе бұл жүйені жасанды әдіспен
шығарады. Бірақ жалпы анықтама бойынша мұндай әдістер қолданылмайды. Әрбір
жүйе өзінің тәсілімен шығарылады, және бір жүйені шығару кезінде алынған
тәжірибе, екінші жүйені шығару кезінде аз көмек береді. Нәтижесінде
мектептегі математикада бұл бөлім оқушыларға өте қиын болып көрінеді және
әрбір жүйенің шығару тәсілдері әр түрлі болып келеді.
Бұл дипломдық жұмыста жоғары дәрежелі теңдеулер жүйесінің жалпы шығару
әдісінің тиімді жолдары көрсетіледі. Бұл әдістер жою әдісі сияқты барлығына
қолданыла бермейді, ол кез келген жүйеге сәйкес келмейді. Бірақ бұл әдісті
оқушылар көбінесе барлық жүйелерге қолданылады. Расында да жою әдісімен
салыстырғанда бұл әдіс теңдеудің дәрежесін жоғарлатпай, керісінше
төмендетеді.
Айтылып отырған әдіс симметриялық көпмүшеліктер теориясына сүйеніп
шығарылады. Кез келген адам бұл әдіске қарапт мынадай жағдайларды ескереді:
өте жиімді және жеңіл; алгебралық жүйелерді шығаруғы көмектеседі
(иррационалдық теңдеулерді шығару, тепе-теңдіктер мен теңсіздіктерді
дәлелдеу, көбейткіштерді жіктеу және т.б.). Бұл дипломдық жұмыста есептер
шығарылып көрсетіледі. Есептердің ішінде күрделі есептер шығарылып, ал
кейбіреулері математикалық олимпиадаларда да қолданылады. Симметриялық
көпмүшеліктер теориясы көмегімен бұл күрделі есептердің шығару жолы
жеңілдетіледі, стандарт түрге келеді.
Дипломдық жұмыс екі бөлімнен тұрады. 1-бөлімде нақты сандардың және
комплекс сандардың дамуы жайында айтылады. Натурал, бүтін, рационал
сандарға амалдар қолдану, сандардың бөлінгіштік белгілері, жай және құрама
сандар, ең кіші ортақ еселік, ең үлкен ортақ бөлгіш, олардың қасиеттері
талданады.
Рационал сандар жиынының өріс құрайтындығы жайлы қарастырылады. Ондық
бөлшектер, шексіз периодты ондық бөлшектерге мысалдар келтіріледі.
Нақты сандар дәләрек айтсақ рационал және иррационал сандар айырмашылығы
Екінші бөлім комплекс сандарға арналады. Комплекс сандардың геометриялық
мағынасы, комплекс сандардың алгебралық және тригонометриялық түрлерінің
айырмашылығы, әртүрлі мысалдар келтіріледі.
І БӨЛІМ
х және у бойынша алынған симметриялық көпмүшеліктер
1.1. Симметриялық көпмүшеліктерге келтірілетін мысалдар
В.Б. Лидский, Л.В.Овсяников, А.Н.Тулайкова және М.И.Шабуниннің
Элементарлық математикадан есептер (М., 1960) кітабынан мысалдар
қарастырайық. Солардың ішінде ең күрделілері жоғарғы дәрежелі теңдеулер
жүцелерін таптық.
Мысалы:
Бұл барлық жүйелердің бір жалпы қаситі – x және y бірдей кіретін сол
жақтарында көпмүшеліктер бар теңдеулер. Сондай теңдеулер жүйесіне мынадай
тәсілдер қолданылады.
X және y бірдей кіретін көпмүшеліктер симметриялық көпмүшеліктер деп
аталады. Яғни,
x және y бойынша көпмүшеліктер симметриялық көпмүшеліктер дейміз, егер
x-ті y-пен, ал y-ті x-пен алмастырғанда өзгермейтін болса.
- симметриялық көпмүшелік, ал - симметриялық көпмүшелік
болмайды. X-ті y-пен, ал y-ті x-пен алмастыратын болсақ, ло мына түрге
келеді бұл көпмүшелік бастапқыға тең болмайды.
Енді негізгі симметриялық көпмүшеліктерге мысалдар келтірейік.
Қосылғыштардың орындарын ауыстырғанмен қосындының мәні өзгермейтіні бізге
арифметикадан белгілі , мұндағы х, у кез келген сандар. Бұл тепе-
теңдік көпмүшелігі симметриялық екенін көрсетеді. Сол сияқты
көбейтудің коммутативтік заңдылығы көбейтіндісі симметриялық
болатынын көрсетеді. және көпмүшеліктері ең қарапайым
симметриялық көпмүшеліктер болып табылады. Оларды және бойынша
элементарлық симметриялық көпмүшеліктер деп атайды. Оларды және
арқылы белгілейді:
, .
және -ден басқа , , ..., , ... дәрежелік
қосындылыр кездеседі. көпмүшелігін деп белгілеу қалыптасқан.
Сонда:
1.2 Екі айнымалы бойынша симметриялы көпмүшеліктер туралы теорема
Симметриялық көпмүшеліктерді алу үшін жеңіл әдіс бар. Симметриялық
емес кез келген және бойынша көпмүшеліктерді алып, және
-нің орнына және қояйық. және бойынша
симметриялық көпмүшелігі шығатыны белгілі (, -ті -пен
немесе -ті -пен алмастырғаннан және көпмүшеліктері
өзгермейді). Мысалы, көпмүшеліктерінен мынадай симетриялық көпмүшелік
шығады:
.
Сонымен, және көпмүшеліктерді алып, және -нің
орнына , -ті апарып қойсақ, онда және бойынша
симмметриялық көпмүшелігі шығады.
Бұл әдіс арқылы кез келген симметриялық көпмүшелікті алуға бола ма? –
деген сұрақ туындайды.
Мысалдарды қарастырудан кейін бұл тұжырым ақиқат екеніне көз
жеткіземіз. Мысалы, , , , дәрежелік қосындылар
және арқылы жеңіл өрнектеледі:
симметриялық көпмүшелікті келесі түрге келтірейік:
.
Қандай болсын қиын немесе жеңіл симметриялық көпмүшелікті алсақ та,
оларды және рақылы өрнектеп шығаруға болады. Осы мысалдардың
негізінде келесі теореманың ақиқаттығы шығады:
Теорема. Кез келген және бойынша симметриялық
көпмүшеліктерді
және арқылы өрнектеуге болады.
Әрине миллиондаған мысалдар қарастырсақ та, ол бізге дәлелдеудің орнын
толықтырмайды.
Математика тарихынан бізге бірнеше қателікті көрсетеді. Француз
математигі Пьер Ферма сандарын қарастырғанда, болса, онда бұл
сандар жай сандар болатынын тауып, енді кез келген сан болса да жай
сан болады деп ұйғарды. Бірақ ол тұжырымды Леонард Эйлер жалған екенін
дәлелді. болғанда онтаңбалы саны шықты, ол жай сан болмайтынын
көрсетті (өйткені шыққан сан 641-ге бөлінеді).
Эйлердің көмегімен көрсетілген басқа мысал. үшмүшелікке -
нің орнына 0-ді қойсақ, онда 41 жай саны шығады. болғанда, 43 жай
саны шығады. сандарын үшмүшелікке қойсақ, жай сандар шыға береді.
кез келген бүтін сандар үшін үшмүшелігі жай сандар үшін
орындалады. Бірақ бұл тұжырым да қате! сандары үшін шынымен де
орындалады. Бірақ болғанда үшмүшеліктің мәні мынадай бұл сан
құрама сан. Бұл мысалдар бізге дәлелдеудің жалпы түрі керектігін көрсетеді.
Көрсетілген теореманың дәлелдеуіне келеміз. Оның екі жолмен көрсетеміз.
1.3 және арқылы дәрежелік қосындыларды өрнектеу
Алдымен симметриялық көпмүшеліктердің кез келгеніне емес, тек
дәрежелік қосындыларға қатысты теореманы дәлелдейміз. Басқаша айтқанда,
мынаны анықтаймыз
әрбір дәрежелік қосындыны және арқылы өрнектелген
көпмүше түрінде көрсетуге болады.
Сондықтан біз теңдеуінің екі жағын да -ге көбейтеміз.
Сонда:
Сонымен,
. (1)
Бұл формуладан теореманың ақиқаттығы шығады. Шынымен де және
дәрежелік қосындыларды және арқылы көпмүшеліктерге
жіктелетінін біз бұрын да тексердік. , , , ,
дәрежелік қосындылар және арқылы көпмүшеліктерге жіктелетінін
білетін болсақ, онда (1) формулаға қойған кезде біз және арқылы
өрнектелген дәрежелік қосындыны аламыз. Басқа сөзбен айтқанда, біз
және -ні біле отырып және арқылы дәрежелік
қосындыларды бірінен соң бірін таба аламыз. (1) формула бойынша -ті
табамыз, содан соң , және т.с.с.. Ерте ме кеш пе біз кез келген
дәрежелік қосынды үшін және арқылы өрнектелеген
өрнекті таба аламыз. Сонымен біздің тұжырымдамамыз дәлелденді.
Дәлелдеменің негізін қалайтын (1) формула дәрежелік
қосындыны және арқылы өрнектеуге болатынын ғана емес, сонымен
қатар бірінен соң бірін дәрежелік қосындыларды және
арқылы есептеп табуға болатынын анықтайды. Сонымен (1) формула арқылы біз
бірінен соң бірі мыналарды таба аламыз:
;
;
;
және т.б.. 1-кестеде , , , дәрежелік қосындылардың
және арқылы өрнектелген түрі берілген. Бүл өрнектерді есеп
шығарған үшін қолдануға болады.
[pic [pic
] ]
[pic [pic
] ]
[pic [pic
] ]
[pic [pic
] ]
[pic [pic
] ]
[pic
][pi
c]
Варинг формуласы. 16 п. дәлелденген (3) формула рекурренттік қатынас
болып табылады. Sk дәрежелік қосындының σ1, σ2, σ3 арқылы өрнектеуді
алғашқы дәрежелік қосындылырды тапқаннан кейін ғана табуға мүмкіндік
береді. Бірақ оның көмегімен нақты sk дәрежелік қосындының өрнегін σ1, σ2,
σ3 арқылы табуға болады. Бұл өрнек төмендегідей (Варинг формуласы):
Бұл формулада қосынды барлық теріс емес бүтін λ1, λ2, λ3 сандарына
ортақ, мұндағы λ1+2λ2+3λ3=k. Егер 0! өрнегі кездескен жағдайда оның мәне 1-
ге тең деп аламыз.
λ1+2λ2+3λ3=k,
Варинг формуласындағы λ1, λ2, λ3 арқылы өрнектелген қатынасы келесі
жағдаймен байланысты. σ1 симметриялы көпмүшелігі y, z арқылы өрнектелетін
бірінші дәрежелі, σ2 – екінші дәрежелі, σ3 – үшінші дәрежелі. Сондықтан
егер бірмүшесіне қарапайым симметриялы σ1, σ2, σ3 көпмүшеліктерін x,
y, z арқылы өрнектесек, онда x, y, z арқылы өрнектелген дәрежесі
λ1+2λ2+3λ3=k болатын біркелкі көпмүшені аламыз. Осыдан sk дәрежелік
қосындысын жіктеуде тек λ1+2λ2+3λ3=k болатын бірмүшеліктері кіреді.
Егер (3) байланыспен пайдаланса Варингтiң формуласының дәлелi индукция
бойынша өткiзуге қиын емес. Сонымен бiрге келесi оңай қолдануға дәл келедi
дәлелделетiн тепе-теңдiк:
мұндағы, k =λ1+2λ2+3λ3.
Мысал ретiнде қарапайым симметриялық көпмүшелiктер арқылы s6 дәрежелi
қосындысының өрнегiн табайық. Варингтiң формуласы бойынша алғашқыда
теңдеудiң әр түрлi терiс емес шешiмдерін алуы керек
λ1+2λ2+3λ3=6.
4-кестеде көрсетілгендей бұл теңдеудің жеті шешімі болады:
4-кесте
Сондықтан
6-ға көбейтіп, келесі түрін аламыз:
Қайтарымды теңдеулер. Симметриялық көпмүшелiктерді кейбiр
жоғары дәрежелі теңдеулерiнiң шешiмi табу үшiн қолдану мүмкiн. Бұл бөлімде
біз қайтарымды теңдеулерді қарастырамыз.
көпмүшесін қайтарымды деп атайық, егер оның шеткі коэффициенттері сәйкес
келсе, яғни a0=an, a1=an-1, a2=an-2, ... Мысалы, қайтарымды көпмүшеліктер
мыналар болып табылады
Сол жақ бөлігі қайтарымды көпмүшелік болып табылатын f(z)=0 теңдеуін
қайтарымды дейміз.
Қайтарымды теңдеуді шешудің негізі мынада
Теорема. Барлық қайтарымды көпмүшеліктер
2k жұп дәрежелі келесі түрде беріледі
мұндағы, және - қандайда бір ό-дан k бойынша алынған
көпмүшелік.
Барлық қайтарымды f(z) теріс дәрежелі көпмүшелік -ге бөлінеді
де, бөлінді жұп дәрежелі қайтарымды көпмүшеге айналады.
Дәлелдеуі.
І БӨЛІМ
Натурал, бүтін, рационал, нақты сандар
1.1. Cан ұғымының дамуы. Санау жүйесі
Карл Гаусс математиканың сан салаларына сарапқа сала келіп арифметиканы
математиканың патшасы деп бағалаған. Ал арифметиканың негізгі ұғымы – сан.
Ендеше , сол сан ұғымының қалай пайда болуын ашу , білу – ғылыми
методологиялық үлкен мәселе.
Сан туралы ұғым адамзат мәдениетінің тууымен және оның дамуымен тығыз
байланысты. Шынында , егер осы ұғым болмаса , өзіміздің рухани өміріміз бен
практикалық қызметімізді тиісті дәрежеде көрсете алмас едік. Есеп – қисап
жүргізу , уақыт пен қашықтықты өлшеу , еңбек нәтижесінің қорытындысын
есептеу сан ұғымынсыз мүмкін емес.
Сан әуел баста заттарды санаудың қажеттілігінен туған
математикалы ұғымдардың бірі. Кейін ол математикалық білімнің дауына қарай
жетілдірілді. Бұл ұғым өте ерте заманда адамдардың практикалық
қызметтерінінен қажеттілігінен келіп туды.
Сан- әуел баста заттарды санаудың қажеттілігінен туған негізгі
математикалық ұғымдардың бірі. Кейін ол математикалық білімдердің дамуына
қарай жетілдірілді.
Бұл ұғым өте ерте заманда, күллі математика ғылымы сияқты адамдардың
практикалық қызметінің қажеттілігінен келіп туды. Ол өте баяу қалыптасты,
сөйтіп, барған сайын күрделене түскен әуелі практикалық, ал сонан соң
теориялық сипаттағы мәселелерді шешу барысында көптеген ғасырлар бойы
біртіндеп кеңейіп және жалпыланып отырды.
Нәрселерді санаудың нәтижесінде натурал сандар шыққан. Натурал сандырдың
әрқайсысын белгілеу үшін жасалған таңбалар цифрлар деп аталады.
Цифрлар: 1,2,3,4,5,6,7,8,9, және 0. Бұл цифрлар алғашқыда Үнді (Индия)
елінде қолданылған, бірақ Еуропаға бұл цифрлардың арабтар әкелген. Осыдан
бұл цифрлар араб цифрлары деп аталған.
Осындай цифрлардан сандар құрастырылып, олар белгілі бір тәсілмен аталып
таңбаланған.
Натурал сан ұғымының дамуы ерте заманда адамның заттар жиынтығының санын
оларды санамай-ақ, яғни өзара бір мәнді сәйкестікті тағайындай негізінде
қабылданумен сипатталады. Өте ұзақ санаудың нәтижесінде адам натурал
сандарды жасаудың келесі кезеңіне жетті - жиындарды салыстыру үшін аралық
жиындарды қолдана бастады. Бұл кезеңде сан саналатын жиындардан
ерекшеленген жоқ.Адам аралық жиындарды қолдануға үйренгеннен кейін барып
қана объектілер мен аралық жиындар арасындағы ортақ нәрсені анықтады.
Аралық жиындарды, оның элементтері табиғатынан дерексіздендіру мүмкін
болғаннан кейін натурал сан туралы түсіні пайда болды.
Уақыт өте келе адамдар сандарды атауды ғана емес, оларды белгілеуді де,
сондай-ақ олармен амалдар орындауды да үйренді. Осындай мәселелерді
шешудегі көптеген қиыншылықтар Ежелгі Үндістанда сандардың ондық жазуы мен
нөл ұғымының жасалуы нәтижесінде ғана жойылды. Әуелде санның жоқтығын
білдірген нөл теріс сандар ұғымы енгізілгеннен кейін ғана сан ретінде
қарастырылатын болды. Натурал сандар жиынының шексіздігі туралы түсінік
біртіндеп қалыптасты. “Натурал сан” терминін тұңғыш рет римдік ғалым
А.Боэций (шамамен 480-524 жылдар) қолданған. Санаудың ондық жүйесі қазіргі
түрінде біздің заманымыздың VI ғасырында Үндістанда қалыптасты. Нөл үшін
ерекше белгі енгізу үндістандықмаңызды жетістігі болды. Нөл енгізілгеннен
кейін ғана жазудың ондық жүйесі толығымен аяқталды. Алдымен нөлдің абактың
тиісті разрядында тастардың жоқтығын белгілеу үшін пайда болуы да ықтимал.
Натурал сан ұғымы қалыптасқаннан кейін сандар дербес объектілерге айналды
және оларды математикалық объектілер ретінде зерттеудің мүмкіндігі пайда
болды. Арифметика – сандарды және оларға қолданатын амалдарды зерттейтін
ғымым, ол Ежелгі Шығыс елдерінде: Вавилонда, Қытайда, Үндістанда, Египетте
дүниеге келді. Осы елдерде жинақталған математикалық білімдерді Ежелгі
Грецияның ғалымдары дамытып, жалғастырды. Орта ғасырда арифметиканың
дамуына Үндістанның, араб елдері мен Орта Азия математикатері, ал XIII
ғасырдан бастап – европалық ғалымдар үлкен үлес қосты.
Сөйтіп, ежелгі дүние ғалымдары еңбектерінің өзінде-ақ натурал сандар
қатарының шексіздігі анықталды. (біздің дәуірге дейінгі ІІІ ғ.).
XIX ғасырда ғалымдардың назары натурал санның математикалық теорияларын,
яғни натурал сандармен есептеулер жүргізуге негіз болған теорияларды құруға
және логикалық тұрғыдан негіздеуге аударылды. Санның натурал қатарындағы
терең заңдылықтарды зерттеу қазіргі уақытқа дейін жалғастырылып, сандар
теориясын да қамтуда. Натурал сандар ұғымының өте қарапайым және табиғи
көрінетіні сондай, ғылымда ұзақ уақыт бойы оны қандай да болсын қарапайым
ұғымдардың терминдерімен анықтау туралы мәселе қойылған жоқ.
Жалпы алғанда сан ұғымы басқа ешқандай емес тек шындық дүниеден шыққан.
Өте ерте заманда пайда болған сан ұғымы көптеген ғасырлар бойы жалпыланып
,кеңейе түсті . Сонда сан жайындағы түсініктер адамзаттың практикалық
мұқтаждығына, мәселен , шамаларды өлшеудің қажеттілігіне және математиканың
өзінің ішкі мұқтаждығына байланысты кеңейіп отырғандығы байқалады.Мысалы
шамаларды дәлірек өлшеудің мұқтаждығы оң бөлшек ұғымының тууына себепті
болса, теңдеулерді шешу тәжірибелері мен осы санаудағы теориялық
зерттеулерге байланысты теріс сандар пайда болды. Бастапқыда санның жоқ
екенін белгілеу үшін қолданылған нөл саны теріс сандар енгізілгеннен кейін
сан ретінде қарастырылатын болды.
Француз математигі Рене Декарт (1596-1650) 1637 жылы координаталық түзуді
енгізіп теріс және оң сандарға түсінік берді.
-3 -2 -1 0 1 2 3
Нөл саны , натурал сандар және оған қарама –қарсы сандар бүтін сандар
жиынын құрайды. Оны Z әріпімен белгілейді. Ал бүтін сандар жиыны және теріс
бөлшектер рационал сандар жиынын құрайды. Рационал сандар жиынын Q әріпімен
белгілейді. Рационал термині латын тіліндегі ratio деген сөзден шыққан.
Ол қазақшаға аударғанда бөлінді , қатынас деген мағынаны береді.Яғни
бұл жерде рационал сан бүтін сандардың қатынасы деп түсіндіріледі.
Мысалы 7=7\1 ;7=14\2; 7=28\4
Бұлар бөлшек сандар. Жалпы рационал сан ұғымы әртүрлі шамаларды –
ұзындықты , салмақты . ауданды, перимеитрді және тағы сол сияқты өлшеу
процесіне байланысты пайда болды.
Нәрселерді санауда пайдаланылатын сандарды натурал сандар деп аталады.
Натурал сандар қатары 1 санынан басталады.Оның мүшелері шексіз
болады.Натурал сандар ұғымының дамуы ерте заманада адамдардың заттар
жиынтнғының санын оларды санамай-ақ , яғни өзара бірмәнді сәйкестікті
тағайындау негізінде қабылдануымен сипатталады.
Уақыт өте келе адамдар сандарды атауды ғана емес, сонымен қатар оларды
белгілеуді де, сондай-ақ олармен амалдар қолдануды да үйренді.
Натурал сан терминін тұнғыш рет римдік ғалым А. Боэций (шамамен 480-514
жылдар) қолданған. Натурал сан ұғымы қалыптасқаннан кейін сандар дербес
объектлерге айналды.
ХІХ ғасырда ғалымдардың назары натурал сандармен есептеулер жұргізуге
негіз болған теорияларды құруға және логикалық тұрғыдан негіздеуге
аударылды. Натурал сандар ұғымының өте қарапайым және табиғи көрінетіні
сондай, ғылымда ұзақ уақыт бойы оны қандай да болсын қарапайым ұғымның
терминдерімен анықтау туралы мәселе қойылған жоқ. Бөлшектердің пайда болуы
шамаларды өлшеумен пайда болды.
Ерте кезде адамдарға сауда – саттық және түрлі есептеу жұмыстарында
бөлшектер мен үлестерді есептеу қажет болған.
Алғашында математикада бөлшектерді сынық сандар деп атаған. Бөлшектер
туралы түсініктің дамуында үш түрлі бөлшектер ұғымы қалыптасқан.
1) Бірлік бөлшектер – алымдары 1 болатын бөлшектер.
2) Жүйеленген бөлшектер. Жүйеленген бөлшектің алымы кез келген бүтін
сан, бөлімі тек 10 санының немесе 60 санының дәрежелері ғана
болған.
3) Жалпы түрдегі бөлшек. Жалпы түрдегі бөлшектің алымы да , бөлімі де
кез келген натурал сан болды.
Бөлшектердің мұндай әртүрлілігі есептеу және өлшеу жұмыстарында көптеген
қиындықтар туғызды. Бөлшек ұғымының дамуы ғылым мен сауда-саттық
жұмыстарында өркендеген елдерде: Мысырда , Вавилонда, Үндістанда және Римде
қалыптасты.
Ертеде әртүрлі елдер бөлшек сандарды белгілеуде өздерінің түрліше
символдарын енгізді. Мысалы, мысырлықтар 1\10-ді -белгісімен, 1\2-ні-
- белгісімен және 1\3 –ді -белгісімен көрсеткен. Ежелгі
Үндістанда жай бөлшектерді жазуда оның бөлшек сызығын сызбай, алымын
үстіне , бөлімін астына жазған. Мысалы, 1\3-ді түрінде жазған.
Бөлшекті осы түрде жазу тәжік ғалымы әл-Насави (1030 жылдар) ғылыми
жұмыстарында орын алған. Ежелден 1\2-ді жарты, 1\4-ді ширек , 1 +1\2-ді
бір жарым және т.с.с, деп атаған. Осылайша жарты , ширек ұғымдары
қалыптасқан.
Бөлшек сызығын Уал-Хасара және итальяндық Леонардо Пизанский өздерінің
жазба есептеулерінде пайдаланған. Леонардо Пизанский бөлшек деген сөзді
енгізді.Бөлшек сызығы ХҮІ ғасырда ғана белгілеуге толық неді.
Ертедегі вавилондықтар өздерінің ғылыми зерттеулерінде алпыстық
бөлшектерді (бөлімі алпыс болатын сан) пайдаланылады. Осыдан қалған бөлшек
жүйесінен қазіргі уақыт бірлігіндегі 60-тық жүйе қалыптасқан.
1 мин = 1\60сағ; 1сек = 1\60мин. Бөлшектегі алым , бөлім атауларын
ХІІІ ғасырда грек математигі Максим Плаунд енгізген, жалпы түрдегі m\n
бөлшегі ежелгі грек ғалымы Архимедтің еңбектерінде пайдаланылған. ХХ
ғасырдың алғашқы жылдарында үнділер жай бөлшектерге амалдар қолдануды
қалыптастырды.
Самарқанд қаласындағы астрономиялық обсерваторияның негізін салушы әл-
каши бөлшек сандарды жазудың барлық түрлендірулер мен есептеулерін
айтарлықтай ықшамдайтын түрін, яғни ондық бөлшек деп аталатын жаңа түрін
ашты.
ХҮІІ ғасырдың басында ондық бөлшекті жазуды, айыру таңбасы ретінде үтір
немесе нүкте қолданыла бастады.
Ондық бөлшектерді есептеу натурал сандарды есептеуге ұқсас және ыңғайлы
болғандықтан,ғылымдағы,өндірістегі, күнделікті өмірдегі есептеулерге жиі
пайдаланылады. Ондық бөлшектер және ондық бөлшектерге амалдар қолдану
туралы ортаазиялық ғалым Әл-Каши өзінің Арифметика кілті (1437ж) атты
кітабында жазды. Әл-Каши ондық бөлшектерді жазуда үтірді пайдаланбаған,
бірақ ол үтірдің орнына тік сызық қойған. Ал, индерландиялық математик
Стевин Симон (1548-1620) өзінің ондық бөлшек туралы Ондық атты (1585)
кітабында үтірді пайдаланбай , бөлшектің бүтін бөлігі мен бөлшек бөлігін
бір қатарға үтірсіз жазған. Мысалы, 37,48 ондық бөлшегін мына түрде жазған:
37 0 4 1 8 2. Үтірдің орнына бірліктің үстіне нөл жазған. 1, 2, 3, ...
цифрларымен ондық таңбалардың ретін белгілеген.
Өмірде, тұрмыста , кездесетін көптегшен шамалар ( жылдамдық, биіктік,
температура , баға, т.б.) көбейіп, азайып өзгеріп отырады. Шамалардың
өзгерістерін белгілеу үшін оң сандармен қатар теріс сандар енгізілді. Теріс
сандар туралы ең алғашқы ұғым біздің заманымызға дейінгі ІІ ғасырдағы
қытай математиктерінің еңбектерінде кездескен. Оң санды өсу өзгерісінде
қолданса , теріс санды кему ретінде қолданған немесе теріс сандар қарыз
мағынасында қолданса , оң сандарды қолда бар зат мүлік деп түсінген.
Кейбір шамалардың тура мағынасы,тура бағыты болумен қатар, қарама- қарсы
мағынасы ,қарма –қарсы бағыты болады. Шамалардың өзгерісінің сан мәнін
жазғанда,оқығанда оның тура мағынасының сан мәнінің алдына + таңбасы
қойылады. Шаманың қарама-қарсы мағынасының сан мәнінің алдына - таңбасы
қойылады. Координаталық түзудегі оң (оңға қарай) бағытқа қарама-қарсы
(солға қарай) бағыт теріс бағыт деп аталып, ол бағытта теріс сандар
кескінделеді. Бір-бірінен тек қана таңбаларымен ажыратылатын сандар қарама-
қарсы сандар деп аталады.
Математикаға теріс сандардың енгізілуімен қатар нөл саны да жаңа
мағынаға ие болды. Нөл саны санақ басы болып және қарама-қарсы сандардың
қосындысы деп есептелді. Үнділер нөлді сунья (қазақша бос деген
мағынаны білдіреді) деп атаған, ал арабтар ас-сифр деп аударған,
сондықтан ХҮІІ ғасырға дейін нөл цифр деп аталып келген .
Нөл қазақшаға аударғанда ешқандай дегенді білдіретін латынның
nullus деген сөзінен шыққан.
Қазіргі кездердегі түсінігімізше нөл – сан. Оны басқа сандар
сияқты қосуға,азайтуға , көбейтуге, бөлуге болады , тек қана 0-ге санды
бөлуге болмайды.
Нөл саны координаталық түзуде санақ басы болатын О нүктесінің
координатасы,0 – саны оң сандар мен теріс сандарды ажыратып тұратын сан,
сондықтан 0 саны оң санға да,теріс санға да жатпайды. 0 саны бүтін сандар
жиынына жатады.
Қорытындылай келе,натурал сандар жиыны бүтін сандар жиынының ішкі
жиыны,бүтін сандар жиыны шектеусіз жиын. Бүтін сандар жиыны,оң және теріс
бөлшектер жиыны рационал сандар жиынын құрайды. Мына суретте натурал сандар
жиыны бүтін сандар жиынының, ал бүтін сандар жиыны рационал сандар жиынының
ішкі жиыны екені Эйлер – Венн дөңгелектері арқылы көрсетілген.
Жалпы , сан ұғымы мұнымен шектеліп қана қоймайды , сандар өте көп әрі
шексіз. Рационал сандар жиынына бүтін сандар , оң бөлшек және теріс бөлшек
сандар жататыны белгілі. Кез келген рационал санды шектеусіз периодты ондық
бөлшекпен жазуға болады. Шектеусіз периодсыз ондық бөлшек түрінде
өрнектелген санды иррационал сандар деп атайды. Рационал және иррационал
сандар жиындарын нақты сандар жиыны құрайды. Иррационал сандарға және тағы
басқа сандар жиынына алдағы уақыттарда толығырақ тоқталып осы баяндаманы
әрі қарай жалғастырамыз деген мақсаттамыз.
Сандардың аталуының және таңбалануының жалпы тәсілін санау жүйесі деп
атайды.Санау жүйелері-сандарды өрнектеудің қандайда бір тәсілі және оған
сәйкес сандармен әрекет жасау ережелері деп те айтады.Бұрынғы және қазіргі
қолданылып жүрген барлық санау жүйелері позициялық және позициялық емес
санау жүйелері болып екі үлкен топқа бөлінеді.Позициялық санау жүйелерінде
цифрдың мәні орналасу мәніне тәуелді,ал позициялық емес санау жүйелерінде
тәуелді емес.Позициялық емес санау жүйелерінің мынадай кемшіліктері
бар:
1)үлкен сандарды жазу үшін әрдайым жаңа таңбалардыенгізіп отыру қажет;
2)бөлшек және теріс таңбалы сандарды өрнектеу мүмкүн емес;
3)орындау алгоритмі болмағандықтан,арифметикалық амалдарды орындау қиын;
Позициялық емес санау жүйесінің мысалы ретінде Римдіктерде қалыптасқан
бестік санау жүйесін айтуға болады. Сандарды Рим цифрларымен жазуда осы
бесттік жүйе қолданылған: бір-I, бес-V, он- X, елу-L, жүз-C, бес жүз-D, мың-
M таңбаларымен белгіленген.Римдік санау жүйесі позициялық емес.
Сонда Рим цифрлары: I,V,X,L,C,D,M.
Рим цифрларымен сандарды жазуда қосу,азайту принциптері қолданылады.
Егер мәні кіші цифр мәні үлкен цифрдан кейін тұрса,онда олардың мәндері
қосылады.Мысалы,7 саны VII,51 сан LI, 110 саны CX, 550 саны DL түрінде
жазылады.
Егер мәні кіші цифр мәні үлкен цифрдың алдында тұрса, онда үлкен мәннен
кішісі азайтылады.
Мысалы, 4 саны IV, 9 саны IX, 990 сан XM, т.б. Рим цифрлары қазіргі
кезенде көбінесе кітап тарауларын,айларды, ғасырларды,т.б. нөмірлеу үшін
қолданылады.
Әрбір позициялық жүйенің нақты анықталған цифрлар алфавиті мен негізі
бар.
Санау жүйесінің ішіндегі тұңғыш пайда болғаны екілік санау жүйесі.Бұл
жүйе бойынша қолданылатын сандар: бір және екі. Австралия және Полинезия
тайпалары осы бір мен екі сандарынан үшті,төртті,бесті,алтыны
құрастырған.Алтыдан артық сандарды көп немесе сан жетпес сандар
деген.Америкалық ғалым Джон фон Нейман принципі бойынша ЭЕМ арифметикалық
есептеулерді екілік санау жүйесінде орындайды,яғни кез-келген мәлімет 0
және 1-ге сәйкес сигналдардың 2 түрлі тізбегімен қолданылады.Мысалы:
Қазіргі кездегі электрондық есептегіш машиналардың құрылысы осы екілік
жүйеге негізделген.Дүниені, табиғат құбылыстарын зерттеудегі қажеттіліктен
адамзат сандарды атаумен қатар, жазуға да үйренген.
Қазіргі кезеңдерде қолданылатын халықаралық санау жүйесі – ондық
жүйе.Ондық жүйедегі кез келген разрядтың 10 бірлігі, одан жоғарғы келесі
разряд бірлігін құрайды.Натурал сандар осы ондық жүйемен жазылады.Ондық
жүйедегі әрбір цифрдың мәні оның жазылуындағы тұрған орнына
байланысты.Сондықтан бұл санау жүйесін позициялық ондық санау жүйесі деп те
атайды.Позициялық ондық санау жүйесі шығыс елдерінде IX ғасырдан бастап
тарады.Адамда он саусақ бар,ал ол алғашқы құрал болғандықтан 10 саны
санаудың негізі ретінде бекінді.
1.2 Натурал сандар
Натурал сандар деп заттарды санау кезінде қолданылатын сандарды айтамыз.
Мысалы, бір, екі, он, жиырма, жүз, екі жүз елу алты, мың және т.б. Мысалы,
А={k, l, p, m} жиынының элементтерін санауды қалай жүргіземіз? Осы жиынның
әрбір элементін көрсете отырып біз бірінші, екінші, үшінші,
төртінші деп айтамыз.
Натурал сан ұғымы алғашқы математика ұғымдарының қарапайым ұғымына жатады
және басқа қарапайым ұғымдар арқылы анықтауға жатпайды. Натурал сандар
олардың өсу реті бойынша орналасады: натурал санның әрбір келесі натурал
саны алдыңғы санға бірлікті қосқанда пайда болады. Өсу ретімен орналасқан
натурал сан:
1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15 ,...,
Натурал сандар натурал қатар құрайды. Көпнүкте бұл қатардың шексіз
жалғасу мүмкіндігін көрсетеді. Бұл мағынада шексіз натурал сандар жиыны бар
екендігі айтылады. Бір – ең кіші натурал сан; натурал қатардың ең үлкен
саны болмайды. Ондық жүйеде натурал сандарды жазу принципі он цифр арқылы
жүзеге асады:
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.
Натурал сандарды оңынан солға қарай оқу арқылы сандарды жазуға қатысатын
цифрлар берілген санда қанша бірлік, одан соң ондық,жүздік, мыңдық және
т.б. бар екенін тізбектеп көрсетеді. Жалпы алғанда оң жағынан санағанда, к-
ші орында тұрған цифр берілген санның қанша 10к-1 бірлік разрядын
қамтитынын көрсетеді.
Мысалы,
18=1·10+8,
347=3·102+4·10+7,
5096=5·103+0·102+9·10+6
және жалпы алғанда, m орынды am саны үшін:
am=c1·10m-1+c2·10m-2+...+cm-1·10+cm.
(1.1.1)
мұндағы, с1,с2,...,сm цифрлары арқылы аm санын түрінде жазады.
(Мұнда жоғарыдағы сызықша аm санын с1,с2,...,сm сандарының көбейтіндісімен
шатаспас үшін қойылады.)
Ескерту: Ондық санау жүйесі – жалғыз ғана санау жүйесі емес. Ежелде
(Вавилонда) ондық санау жүйесімен қатар 60 (алпыстық) санау жүйесі де
қолданған. Оның әсері әлі күге дейін сақталған, себебі қазіргі күнге дейін
бір сағатта 60 минут, дөңгелекте 360 градус және т.б. бөлінген. Ертедегі
вавилондық астрономдар санау жүйесі үшін алпыстық жүйені алған, осыған
байланысты уақыттың (сағаттың), бұрыштың градустық өлшемін санау тәсілі
алпыстық жүйемен алынғаны белгілі.Санаудың позициялық принципке негізделген
көне жүйесі алпыстық жүйе болып есептелінеді.Ол ежелгі Вавилонда бұдан
шамамен 4000 жыл бұрын шықты.
Сегіздік санау жүйесінің негізі 8-ге тең,0,1,2,3,4,5,6,7 сандары
алфавиттік болып табылады.
Он алтылық санау жүйесі көп жағдайда мәліметтерді өрнектеу үшін және
компьютерлерде жадыны адрестеу үшін қолданылады.
Сандарды позициялық санау жүйелеріне көшіру.
Сандарды ондық санау жүйесіне көшіру.Екілік,сегіздік,он алтылық санау
жүйелерінде жазылған сандарды ондық жүйеге түрлендіруді орындау өте
жеңіл.Бұл үшін санды жаймаланған түрде жазып,оның мәнін есептеу жеткілікті.
Сандарды екілік жүйеден ондыққа көшіру.Кез келген екілік жүйедегі санды
,11,012 аламыз. Оны жаймаланған түрде жазып, есептеулер жүргіземіз:
11,012=1*21+1*20+0*2-1+1*2-2=2+1+0+ 14=3.2510
Cандарды сегіздік жүйеден ондыққа көшіру.Кез келген сегіздік санды,
мысалы 17,48 аламыз.Оны жаймаланған түрде жазып,есептеулер
жүргіземіз:17,48=1*8+7*80+4*81=8+7+ 48=15,510
Сандарды он алтылықтан ондыққа көшіру.Кез келген он алтылық санды
,мысалы, 51С16 аламыз. Оны жаймаланған түрде жазып,есептеу жүргіземіз.
15С16=5*162+1*161+12*160=1280+16+12 =130810
Санды екілік санау жүйесінен сегіздік және он алтылық жүйелерге
көшіру.Екілік санау жүйесінде берілген санды сегіздікке көшіру үшін оны
оңнан солға қарай 3 цифрдан топтап бөлген соң,әрбір топты сегіздік цифрға
түрлендіреміз.Егер соңгы сол жақтағы топ 3 цифрдан аз болса,оны нөлдермен
сол жақтан толтыру қажет.
Екілік санау жүйесіндегі 1011112 санын сегіздік жүйеге көшіру мысалын
қарастырайық:1011112→1*22+0*21+1*20 1*22+1*21+1*20→558→578
Екілік жүйедегі бүтін санды он алтылық санау жүйесіне көшіру үшін оны
оңнан солға қарай топтап,4 цифрдан бөлу қажет.Әрбір топты он алтылық цифрға
түрлендіреміз.Егер соңғы сол жақ топтағы цифрлардың саны төрттен аз
болса,оны нөлдермен сол жақтан толықтыру қажет.
Екілік жүйедегі 00101112 санын он алтылық жүйеге көшіру;
0010 11112→0*23+0*22+1*21+0*20 1*23+1*22+1*21+1*20→2Ғ16
Позициялық санау жүйелеріндегі арифметикалық
амалдар
Қосу.Екілік жүйеде сандарды қосу екілік жүйедегі сандарды қосу кестесіне
негізделген.Екілік жүйеде қосу кестесі өте қарапайым.Тек 1+1 қосу амалын
орындағанда ғана жоғары разрядқа көшіру орындалады.
0+0=0
0+1=1
1+0=1
1+1=10
Екілік жүйедегі сандарды қосуға бірнеше мысалдар қарастырайық;
1001 1101 11111
1010011,111
1010 1011 1
11001,110
10011 11000 100000
1101101,101
Ондық санау жүйесін есептеуге тексеру жүргіземіз.Ол үшін екілік санау
жүйесіндегі санды ондық санау жүйесіне көшіріп,оларды қосамыз;
10012=1*23+0*22+0*21+1*20=910
10102=1*23+0*22+1*21+0*20=1010
910+1010=1910
Енді алынған нәтижені ондыққа көшіреміз;
100112=1*24+0*23+0*22+1*21+1*20=191 0
Нәтижелерді салыстыра отырып,қосудың дұрыс орындалғанына көз жеткіземіз.
Азайту.Екілік жүйеде азайту амалын орындау екілік жүйедегі сандарды
азайту кестесіне негізделген. Азайту амалын орындау барысында әрдайым
абсалют шамасы бойынша үлкенінен кішісі алынып, үлкен санның таңбасы
қойылады.
0-0=0
0-1=1
1-0=1
Екілік сандарды азайтудың бірнешеи мысалдарын қарастырайық;
10111001,1 110101101
- -
10001101,1 101011111
00101100,0 001001110
Қазіргі уақытта компьютерлік программаларда екілік және сегізді санау
жүйесі қолданады. Мысал ретінде бірнеше санның үштік санау жүйесінде
көрсетейік. Бұл жағдайда тек қана 0,1,2 сандарын ғана қолданады. 3 саны
үштік санау жүйесінде ондық санау жүйесіндегі 10 санының рөлінде болады
және 10 ретінде белгіленуі керек. 32=9 санының орнына 100 жазамыз және т.б.
Келесі жазу ондық санау жүйесінде және үштік санау жүйесінде көрсетіледі:
Ондық санау жүйесі Үштік
санау жүйесі
17
22 (=32+2·3+2·1)
55
2001(=2·33+0·32+0·3+1·1)
100
10201(=1·34+0·33+2·32+0·3+1·1)
Иррационал сандар
ζ(3)— √2 — √3 — √5 — φ — α — e — π — δ
Санау жүйесі Π санын бағалау
екілік 11,00100100001111110110...
ондық 3,1415926535897932384626433832795...
Он алтылық 3,243F6A8885A308D31319...
Рационалды жақындау 22⁄7, 223⁄71, 355⁄113,10399333102, ...
(дәлдік өсу ретімен жазылған)
үзіліссіз бөлшек [3; 7, 15, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 3, 1, 14, 2, 1,
1, ... ]
(бұл үзіліссіз бөлшек периодты емес)
Евклидтік геометрия π радиан = 180°
1-кесте
Пи иррационал санының әртүрлі санау жүйесінде 1-кестеде көрсетілген.
Алгебрада және арифметикада сандармен әртүрлі амалдар қарастырылады:
қосу, алу, көбейту, бөлу, дәреже шығару, түбірден алу және т.б. Бұл
амалдардың бірінші төртеуі арифметикалық немесе рационалды деп атайды.
Бірақ оның ішінде қосу және көбейту амалдары натурал сандар облысында
орындалады: натурал сандар қосындысы және натурал сандар көбейтіндісі
қайтадан натурал сандар шығады.
Қосу және көбейту амалдары бағынатын заңдарды тұжырымдайық; бұл
амалдардың қатал анықтамалары және олардың қасиеттерінің дәлелденулері
(бірнеше аксиомалардан шығатын) теоретикалық арифметикада қарастырылады.
Қосу амалының ауыстырымдылық (немесе коммутативті) заңы:
а + b = b + a
(1.1.2)
Қосылғыштардың орнын ауыстырғанмен қосынды өзгермейді.
Кез-келген натурал а және b сандары үшін а + b = b + a теңдігі
орындалады.
Көбейту амалының ауыстырымдылық (немесе коммутативті) заңы:
а · b = b · a
(1.1.3)
Көбейткіштердің орнын ауыстырғанмен көбейтінді өзгермейді.
Қосу амалының терімділік (немесе ассоциативті) заңы:
(а + b) + с =( b + a) + с
(1.1.4)
Қосынды қосылғыштарды топтағанға байланысты емес.
Бұл заң қосындының қосылғыштарын жақшасыз жазуға мүмкіндік береді.
Мысалы:
(а + b) + с =( b + a) + с = a + b+ c
Көбейту амалының терімділік (немесе ассоциативті) заңы:
(а · b) · с =( b · a) · с
(1.1.5)
Көбейтінді көбейткіштерін топтағанға байланысты емес.
Бұл заң көбейтіндінің көбейткіштерін жақшасыз жазуға мүмкіндік береді.
Мысалы:
(а · b) · с =( b · a) · с = a
· b· c
Көбейту амалының қосуға байланысты уйлестірімділік (немесе
дистрибутивті) заңы:
(а + b) · с =a · с + b · с
(1.1.6)
Бұл заң есептеулер мен түрлендіруде жиі қолданатын жақшаны ашу негізгі
ережесі болып саналады.
1.3 Жай және құрама сандар. Бөлінгіштік белгілері.
Егер а және b натурал сандар, және де
a = bq,
мұндағы, q- де натурал сан, онда a санының b санына бөлгендегі бөліндісі
дейді, және келесі түрде жазады:
q =a b.
Және де басқаша да айтуға болады, a саны b санына бүтін немесе қалдықсыз
бөлінеді дейді. Қандайда b саны a санына қалдықсыз бөлінсе, a санының
бөлгіш деп айтады. Ал , a саны өзінің бөлінгішіне қарағанда бөлінгіш деп
аталады. b санына бөлінгіш сандар
b, 2b, 3b, 4b,...
2 бөлінетін сандар (яғни, 2 санына қалдықсыз бөлінетін сандар) жұп сандар
деп аталады. 2 санына бүтін бөлінбейтін сандар тақ сандар деп аталады.
Әрбір натурал сан немесе жұп немесе тақ болады.Егер әрбір а1,а2 натурал
сандары b санына бөлінетін болса, онда а1+а2 қосындысы да b санына
бөлінеді. Бұл келесі жазуда көрінеді:
а1 = bq1, a2= bq2, а1+а2 = b(q1+ q2)
Керісінше, егер а1 және а1+а2 натурал сандары b-ға бөлінетін болса,
онда a2 саны да b санына бөлінеді.
Кез келген 1 санынан өзгеше натурал санның кем дегенде екі бөлінгіші
болады: бірлік және өзі. Егер санның бірлік және өзінен басқа ешқандай
бөлінгіші болмаса, онда бұл сан жай сан деп аталады. Бірлік және өзінен
басқа бөлінгіші бар сан құрама сан деп аталады. 1 санын жай санға да,
құрама санға да жатқызбайды. Келесі өсі ретімен берілген бірнеше жай
сандар берілген:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ...
2 саны - жалғыз жұп жай сан; қалғандары тақ жай сандар.
Жай сандардың шексіз көп болатындығы ерте ғасырлардан белгілі (Евклид,
біздің эрамызға дейін ІІІ ғасыр).
Жай санның шексіз көп болатындығы туралы Евклид идеясы өте қарапайым
дәлелденеді. Осы осы айтылған тұжырымға кері дәлелденеді. Жай сандарды
қандайда бір шегі бар деп есептейік; олардың барлығын өсу ретімен
тізбектейік,
2, 3, 5, ... , p
(1.3.1)
Осы сандарға бірді қосқандағы көбейтіндісі болатын санды құрайық:
а = 2· ... жалғасы
Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.
Ұқсас жұмыстар
Пәндер
- Іс жүргізу
- Автоматтандыру, Техника
- Алғашқы әскери дайындық
- Астрономия
- Ауыл шаруашылығы
- Банк ісі
- Бизнесті бағалау
- Биология
- Бухгалтерлік іс
- Валеология
- Ветеринария
- География
- Геология, Геофизика, Геодезия
- Дін
- Ет, сүт, шарап өнімдері
- Жалпы тарих
- Жер кадастрі, Жылжымайтын мүлік
- Журналистика
- Информатика
- Кеден ісі
- Маркетинг
- Математика, Геометрия
- Медицина
- Мемлекеттік басқару
- Менеджмент
- Мұнай, Газ
- Мұрағат ісі
- Мәдениеттану
- ОБЖ (Основы безопасности жизнедеятельности)
- Педагогика
- Полиграфия
- Психология
- Салық
- Саясаттану
- Сақтандыру
- Сертификаттау, стандарттау
- Социология, Демография
- Спорт
- Статистика
- Тілтану, Филология
- Тарихи тұлғалар
- Тау-кен ісі
- Транспорт
- Туризм
- Физика
- Философия
- Халықаралық қатынастар
- Химия
- Экология, Қоршаған ортаны қорғау
- Экономика
- Экономикалық география
- Электротехника
- Қазақстан тарихы
- Қаржы
- Құрылыс
- Құқық, Криминалистика
- Әдебиет
- Өнер, музыка
- Өнеркәсіп, Өндіріс
Қазақ тілінде жазылған рефераттар, курстық жұмыстар, дипломдық жұмыстар бойынша біздің қор #1 болып табылады.
Ақпарат
Қосымша
Email: info@stud.kz