ТРИГОНОМЕТРИЯЛЫҚ ЖҮЙЕ БОЙЫНША ҚҰРЫЛҒАН ФУРЬЕ ҚАТАРЛАРЫНЫҢ КЕЙБІР ҚАСИЕТТЕРІ

Жұмыс түрі: Дипломдық жұмыс
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 39 бет
Таңдаулыға:

ҚАЗАҚСТАН РЕСПУБЛИКАСЫНЫҢ БІЛІМ ЖӘНЕ ҒЫЛЫМ МИНИСТРЛІГІ

Ш. Уәлиханов АТЫНДАҒЫ КӨКшЕТАУ МЕМЛЕКЕТТІК

УНИВЕРСИТЕТі

ФИЗИКА-МАТЕМАТИКА ФАКУЛЬТЕТІ

Математика ЖӘНЕ ОҚЫТУ ӘДІСТЕМЕСІ кафедрасы

Тригонометриялық жүйе бойынша құрылған Фурье қатарларының кейбір қасиеттері.

ДИПЛОМДЫҚ ЖҰМЫС

МАМАНДЫҒЫ: «МАТЕМАТИКА»

Көкшетау

ҚАЗАҚСТАН РЕСПУБЛИКАСЫНЫҢ БІЛІМ ЖӘНЕ ҒЫЛЫМ МИНИСТРЛІГІ

Ш. Уәлиханов АТЫНДАҒЫ КӨКШЕТАУ МЕМЛЕКЕТТІК

УНИВЕРСИТЕТі

ФИЗИКА-МАТЕМАТИКА ФАКУЛЬТЕТІ

Математика ЖӘНЕ ОҚЫТУ ӘДІСТЕМЕСІ кафедрасы

Қорғауға жіберілді

Кафедра меңгерушісі

профессор, т. ғ. д. Қ. Ж. Байшагиров.

“ ” _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 200 г

ДИПЛОМДЫҚ ЖҰМЫС

Тригонометриялық жүйе бойынша құрылған Фурье қатарларының кейбір қасиеттері.

МАМАНДЫҒЫ: «МАТЕМАТИКА»

Студент

Ғылыми жетекшісі

ф. -м. ғ. к., доцент Жантілесов Ж. Х.

Көкшетау

Кіріспе

Тригонометриялық Фурье қатарларының теориясы ең алғаш рет 1807 жылы Ж. Фурьенің жылуөткізгіштер есептерін шешу барысында пайда болды. Ол алғашында функцияны тек (0, 2

\[\overline{{f T}}\]

) интервалында ғана қарастырды.

Фурье өз шығармасында функцияның тригонометриялық жіктелуі дұрыстығын дәлелдемек болып әрекет жасайды, алайда оның келтірген талқылаулары аналитикалық дәлдігі жағынан мүлтіксіз емес еді, бірақ оның геометриялық формаға келтірген негізгі идеясы дұрыс болатын-ды. Бұдан кейін басқа авторлар да, соның ішінде Коши де, талаптанып көрді, бірақ бұларға қарсы пікір айтушылар да табылды.

Фурье айтқан ұйғарымның бірінші болып шын мәніндегі мүлтіксіз дәлелдемесін келтірген Дирихле (1829 ж. ) еді; ол дәлелдемесінде шындығында Фурьенің идеясын пайдаланады. Алайда осыған қатысты еңбегінің аталуында Дирихле «кез келген функцияны» ескерткенімен, іс жүзінде қарастыратын функциялар класын дәлдеп шектейді: бұлар

\[\left[-p\ \pi\right]\]

аралықта анықталған және шектеулі, үзінді-үздіксіз және үзінді-монотонды функциялар. Егер f(x) функциясы осы талаптарды қанағаттандыратын болса, онда Фурье формулалары бойынша ол функция үшін құрастырылған тригонометриялық қатар

\[\mathbf{\epsilon}\circ\mathbf{\lambda}\times x\subset\pi\]

болғанда

\[\frac{f(x+0)+f(x-0)}{2}\]

қосындысына жинақталады да, ал

\[x=\pm\pi\]

болғанда

\[\frac{f(c\;p+0)+f(\pi-0)}{2}\]

қосындысына жинақталады.

1834-1835 жылдары Лобачевский де жіктеу теоремасының дәлелдемесін көрсетті, оның функцияға қойған шарттары Дирихле көрсеткеннен өзгеше еді. Иә, Лобачевский тек саны шектеулі секірістер мен функцияның өзі не оның туындысы сол немесе оң жағынан

\[\pm\infty\]

-ке айналатын нүктелерден басқа нүктелерде функцияны жалпы дифференциалданатын деп алады, мұнымен бірге функция интегралданатын болып қала беруі тиіс - меншікті не меншікті емес мағынада. Дирихле мен Лобачевский екеуінің қойған шарттары өз ара қабыспайды.

Бертін келе басқа авторлар Фурье қатарының алғашқы функцияға жинақты болуының анағұрлым жалпылау бірқатар жеткіліктілік белгілерін тағайындап берді.

Тригонометриялық қатарлар теориясын дамытуда Риманның белгілі диссертациясы маңызды орын алады (1854 ж., ал 1867 ж. жарық көрді) . Ол - мәселенің тарихы жөніндегі очеркпен басталады. Бұдан кейін автор анықталған интеграл ұғымын айқындай түседі және оның болу шартын тағайындайды. Осының өзі Фурье қатарларының қолданылу облысын кеңейтті, мысалы, Дирихле теоремасында функцияның үздіксіздігі жөнінде ешқандай ұйғарым жасаудың қажет еместігі анықталды. Алайда еңбектің негізгі мазмұны тригонометриялық қатарлардың жалпы түрін

\[{\frac{a_{0}}{2}}+\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}\cos n x+b_{n}\sin n x\]

(1)

карастырумен және периоды

\[2\pi\]

кез келген функцияны бұған ұқсас қатар түрінде көрсету үшін қажетті шарттарды анықтаумен байланысты еді. Жоғарыдағы (1) түріндегі қатарды Риман

\[{\frac{a_{0}}{4}}\,x^{2}+\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{a_{n}\cos n x+b_{n}\sin n x}{n^{2}}}\]

қатарымен салыстырады. Бұл қатар жоғарыдағы қатарды мүшелеп екі қайтара интегралдағанда формальды түрде шығады. Ал

\[a_{n}\to0\]

және

\[b_{n}\to0\]

шарттары орындалғанда, соңғы қатар бүкіл

\[-\ \infty\]

-пен

\[{}+\,\infty\]

-ке дейінгі аралықта бір қалыпты жинақталады және ол аралықта үзіліссіз F (х) функциясын анықтайды. F (х) функциясының қасиеттеріне және оның f (x) функциясымен байланысына еңбектің соңғы бөлімі арналған. Риман диссертациясына оның (1) қатарды зерттеу әдісін пайдаланған басқа авторлардың бірқатар еңбектері және тапқан нәтижелері жақын келеді.

Ең алдымен функцияның тригонометриялық жіктеуінің бірден-бірлігі жөніндегі мәселе туды: өйткені осындай жіктеудің коэффициенттерін беретін Эйлер - Фурье формулалары қатарды мүшелеп интегралдау жолымен табылды, ал өткен ғасырдың екінші жартысында бұл сияқты тәсілді сөзсіз қолдану мүмкін еместігі жете түсінілді. Бұл мәселені алғаш рет қойған 1870 ж. Гейне еді, алайда оның толық шешімін сол тұста-ақ Қантор көрсеткенді, ол мынадай жалпы теореманы дәлелдеді: егер f (х) фунциясын

\[\left[-p\ \pi\right]\]

аралықта (1) түріндегі қатарға жіктеу жалпы мүмкін болса, ондай жіктеу бірден-бір ғана.

Көрсетілген аралықта қатардың қосындысы, тіпті оның жинақтылығы жөнінде де ештеңе белгісіз болатын ерекше нүктелер бар болғанның өзінде де жіктеудің бірден-бірлігі сақталып қала береді (тек қана осындай ерекше нүктелер жиыны шектеусіз болса, оны қандай бір шарттармен шектеуге тура келеді) .

Интегралданатын f (x) функциясының бірден-бір жіктеуінің (егер ол мүмкін дейтін болсақ) коэффициенттері қандай болмақ? Олар қашан да сол Фурье коэффициенттері болмақ па? Әрине, бұл сұрақты Эйлер - Фурье формулаларындағы интегралдардың жалпы мағынасы болатын функциялар жөнінде қойған дұрыс болар еді. Бір тамашасы, ол сұраққа мақұлдап жауап беруге болады екен, бұны алдымен 1872 ж. үздіксіз функциялар үшін Асколи, ал меншікті мағынасында интегралданатын функциялар үшін дю Буа-Реймон тағайындады. Бертін келе бұл нәтиже анағұрлым жалпылау мағынада интегралданатын функцияларға да қолданылатын болды. Зерттеушілердің фунцияларды Фурье қатарларына жіктеу мәселесіне ерекше назар аударғандығы осы еңбектермен ақталғандай болды.

Енді тағы бір мәселеге тоқтап өтейік. Дирихле периодты әрбір үздіксіз функция Фурье қатарына жіктеледі деп нық сенді, алайда мұны ол дәлелдей алмады, Бұл пікірді, сірә, басқа математиктер де қолдаған сияқты. Алайда дю Буа-Реймон Дирихле ұйғарымының дұрыстығын дәлелдемек болып бірқатар әрекеттенгеннен кейін, 1876 жылы мысалмен оны теріске шығарды, бұл үшін ол мейлінше кішкене аралықтағы шектеусіз көп нүктелер жиынында Фурье қатары жинақты болмайтын үздіксіз функция құрды.

Ең алдымен, бүл теориямен функция ұғымының өзі тығыз байланысты. Эйлер мен Д. Бернуллидің «кез келген» функцияны тригонометриялық қатарға жіктеу женіндегі айтысының кейбір ағат және теріс пікірлерді жою үшін көп себі тиді, кейін бүл Фурье еңбектерінде қорытындыланды. Функцияға қазір беріліп жүрген жалпы анықтаманы Лобачевский мен Дирихленің тригонометриялық қатарлар жөніндегі зерттеулерінен біздің тауып отырғанымыз кездейсоқ емес!

Фурье қатарларының теориясының қажеттігімен байланысты, Римананның анықталған интеграл ұғымын айқындап, жалпылады. Кантор шектеусіз жиындар теориясын жасағанда алғашқы қадамын тригонометриялық жіктеудің бірден-бірлігі жөніндегі мәселе тұрғысынан жасады. Қазіргі кездегі жинақты емес қатарлардың жалпыланған қосындылау теориясы тригонометриялық қатарларды қосындылау жөніндегі Пуассон зерттеулерінен басталады. Тіпті егер анализдің қайсы бір нәзік ұғымдары (мысалы, сандық қатардың абсолют және абсолют емес жинақтылығы, функционалдық қатардың бір қалыпты және бір қалыпты емес жинақтылығы) тригонометриялық қатарлар теориясымен байланыссыз пайда болса да, осы қатарларға бірден қолданылып кетті, мұның өзі бір олардың мән-мағынасын байқау үшін қажет болғандай.

Тригонометриялық қатарлар математикалық физикада тікелей қолданылып жүр (ішектің тербелісі жөніндегі есеп) және де техниканың басқа салаларында да қолданылып жүр. Ал «Фурье жалпыланған қатарлары», яғни ортогональ функциялардың әр түрлі басқа системалары бойынша жіктеулері аса кең қолданылып жүр; бұлар үшін Фурье қатарларының теориясымен тығыз ұштасып жататын тригонометриялық жіктеулер мен теория үлгі деп саналады.

Дипломдық жұмыс екі тараудан, қорытындыдан және қолданылған әдебиеттерт тізімінен тұрады.

Дипломдық жұмыстың мақсаты функцияларды тригонометриялық жүйе бойынша Фурье қатарларына жіктеп, олардың қасиеттерін, атап айтсақ, жинақталу шарттарын зерттеу.

Бірінші тарауда периоды

\[{\mathcal{D}}T\]

болатын функциялардың тригонометриялық жүйе бойынша құрылған Фурье қатарларының қасиеттері, Фурье коэффициентерінің формулалары және осы жүйе бойынша функцияларды Фурье қатарларына жіктеу мысалдары берілген. Осы тарауда Фурье қатарының негізі болып саналатын Риман ұстамы дәлелденген.

Екінші тарауда f функциясының тригонометриялық Фурье қатары x нүктесінде f(x) мәніне жинақталуы щарттары және Фурье қатарының үзіліс және үзіліссіздік нүктелеріндегі жинақталуының жеткілікті шарттары, Дини және Липшиц теоремалары берілген.

1-тарау. ТРИГОНОМЕТРИЯЛЫҚ ЖҮЙЕ БОЙЫНША ҚҰРЫЛҒАН ФУРЬЕ ҚАТАРЛАРЫНЫҢ ҚАСИЕТТЕРІ.

§1. Периодты шамалар және гармониялық анализ.

Ғылым мен техникада периодты құбылыстар, мысалы, белгілі бір уақыт аралығынан, Т (бұл период деп аталады) кейін де сол бұрынғы күйіне кайыра түсіп отыратын құбылыстар өте жиі ұшырасады. Бұған мысал ретінде бу машинасының әбден қалыптасқан қозғалысын айтуға болады; бұл толық айналым уақыты өткеннен кейін, машина қайтадан өзінің бастапқы жағдайына келеді, сондай-ақ осы айтылғанға айнымалы ток құбылысы т. б. мысал бола алады. Қарастырылып отырған периодты құбылыстармен байланысты келетін әр түрлі шамалар период Т уакыт өткеннен кейін, өздерінің бұрынғы мәндеріне қайыра оралады да, сөйтіп, уақыттың периодты функциялары болып табылатын болады, бұларды мынадай теңдікпен сипаттап көрсетуге болады:

\[j_{\mathit{\Omega}}\left(t+T\right)=\phi\left(t\right)\]

Мысалы, айнымалы токтың күші мен кернеуі не болмаса-бу машинасын мысалға алғанда - крейцкопфтың жолы, жылдамдығы және үдеуі, бу қысымы, кривошип шабағына түсірілген жанама күш т. с. с. осындай функциялар болып табылмақ.

Периодты функциялардың ішіндегі ең қарапайымы синусоидалық шама болмақ:

\[{\cal A}\,\mathrm{Sin}\bigl(w t+\alpha\,\bigr)\]

, мұнда

\[{\mathcal{O}}\]

- жиілік, оның период

\[{\mathcal{T}}\]

-мен байланысы мынадай:

\[w={\frac{2\pi}{T}}\]

(1)

Осы сияқты карапайым периодты функциялардан бұдан гөрі күрделірек функцияны құруға да болады. Ең алдымен мынаны ескерген жөн: құрастырушы синусоидалық шамалардың, жиіліктері әр түрлі болуы шарт, олай болмағанда жиілігі бірдей синусоидалык шамаларды қосқанда басқа шама шықпай, қайтадан жиілігі сол бұрынғыдай синусоидалық шама шығады. Ал керісінше жағдайда, егер мынадай бірнеше шамаларды қосатын болсақ:

\[\begin{array}{l c r}{y_{0}=A_{0},}\\ {y_{1}=A_{1}\sin(w t+a_{1})}\\ {y_{2}=A_{2}\sin(2w t+a_{2})}\\ {y_{3}=A_{3}\sin(3w t+a_{3})K,}\end{array}\]

бұлардың жиіліктері тұрақты болмағанда,

\[w,2w,3w,K\]

болады да, бұлар ішіндегі ең кішісі

\[{\mathcal{O}}\]

-ға еселі болады және периодтары

\[T,{\frac{1}{2}}T,{\frac{1}{3}}T,K\]

болатын периодты функция шығады.

Мысал үшін синусоидалық үш шаманы қосып көрсетейік (1-сурет) :

\[\sin t+{\frac{1}{2}}\sin2t+{\frac{1}{4}}\sin3t;\]

бұл функцияның графигі сипаты жағынан алғанда синусоидадан әлдеқайда өзгеше шамалардан құралған шектеусіз

1-сурет.

қатардың қосындысын алатын болсақ, олардың графигіндегі айырмашылық күшейе түседі.

Енді бұған керісінше сұрақты қою орынды-ақ: периоды Т болатын берілген периодты

\[\phi({\mathbf{t}},\]

функцияны синусоидалық шамалардың шектеулі, тіпті болмаса шектеусіз жиынының қосындысы түрінде өрнектеп көрсетуге бола ма? Функциялардың айтарлықтай көлемді класына қатысты айтқанда бұл сұраққа, егер осы шамалардың бүкіл шектеусіз тізбегін қамтитын болсақ, қанағаттанарлық жауап беруге болатынын кейін байқаймыз.

Осы класс функцияларын «тригонометриялық қатарға» жіктеуге болады:

\[\begin{array}{l}{{j\left(t\right)=A_{0}+A_{1}\sin\left(w t+a_{1}\right)+A_{2}\sin\left(2w t+a_{2}\right)+A_{3}\sin\left(3w t+a_{3}\right)+\mathrm{K}~=}}\\ {{=A_{0}+\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}A_{n}\sin\left(n w t+a_{n}\right)}}\end{array}\]

(3)

мұндағы

\[A_{0},A_{1},Q_{1},A_{2},Q_{2},\mathbb{K}\]

осындай функциялардың әрқайсысы үшін ерекше мәнге ие болатын тұрақты шамалар, ал

\[{\mathcal{O}}\]

жиілік (1) формуламен анықталады.

Геометрия тұрғысынан түсіндіргенде, периодты функцияның графигі бірқатар синусоидаларды бір-біріне қосқаннан немесе азайтқаннан шығады.

Егерде әрбір синусоидалық шаманы гармониялық тербелмелі қозғалысты білдіреді деп механикалық түрде түсіндіретін болсақ, онда

\[\phi({\mathbf{}}t\,)\]

функциясымен сипатталатын күрделі тербеліс жекелеген гармониялық тербелістерге жіктеледі деуге де болады. Осымен байланысты (3) жіктеудің құрамына енетін жекелеген синусоидалық шамаларды

\[\phi({\mathbf{t}},\]

функциясының гармониялық құраушылары деп не оларды жай ғана гармоникалар деп атайды. Ал периодты функцияның гармоникаларға ажырау үрдісінің өзі гармониялық анализ делінеді.

Егер тәуелсіз айнымалы деп

\[x=w t={\frac{2\pi}{T}}\]

алсақ, онда

\[{\mathcal{N}}\]

-ке тәуелді функция шығады:

\[f(x)=j~\frac{\alpha x}{\mathrm{e}}\hat{\bar{\mathrm{e}}}\]

бүл да периодты функция, оның периоды

\[2\pi\]

Сонымен, (3) түрдегі жіктеуді жаңадан енгізілген х аргументі арқылы

\[\begin{array}{l}{{f\left(x\right)=A_{0}+A_{1}\sin\left(x+a_{1}\right)+A_{2}\sin\left(2x+a_{2}\right)+A_{3}\sin\left(3x+a_{3}\right)+\mathrm{K}\ =}}\\ {{=A_{0}+\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}A_{n}\sin\left(n x+a_{n}\right)}}\end{array}\]

(4)

түрінде жазамыз.

Бұл қатардың мүшелеріндегі қосындының синусын формула бойынша ашып жазып және былай деп алсақ:

\[\begin{array}{l l}{{A_{0}=a_{0},}}\\ {{A_{n}\sin a=a_{n},}}&{{}}\\ {{A_{n}\cos a_{n}=b_{n}}}&{{}}\\ {{A_{n}\cos a_{n}=b_{n}}}&{{}}\end{array}\]

тригонометриялық жіктеудің ақырғы формасын шығарып аламыз:

(5)

Мұнда х бұрышына тәуелді, периоды

\[2\pi\]

функция

\[{\mathcal{N}}\]

-ке еселі бұрыштардың синустары мен косинустары бойынша жіктелген болып табылады. Біз мәселені периодты тербелмелі құбылыстардан және бұлармен байланысты шамалардан бастай отырып, функцияны тригонометриялық қатарға жіктеу мәселесіне келдік.

Мынаны атап өту орынды: қазірдің өзінде-ақ, бұған ұқсас жіктеулер белгілібір шектеулі аралықта берілген және ешбір тербелмелі құбылыстың нәтижесі емес функцияларды зерттеп тексергенде пайдалы болып шығатын жағдай жиі ұшырайды.

§2. Синус және косинус функцияларының қасиеттері

Теорема . Кез келген

\[[2k p\,,(2k+1)r]\]

сегментінде сosх функциясы +1-ден -1-ге шейін кемиді; кез келген

сегментінде сosх функциясы -1-ден 1-ге дейін өседі.

Дәлелдеу : Бұл теореманы тек [0, π] және [-π, 0] екі сегменттері үшін дәлелдесек жеткілікті.

сosх функциясының [0, π] сегментінде 1-ден -1-ге шейін кемитінін дәлелдейік. Ол үшін мына үш тұжырымды дәлелдеу қажет.

1 ⁰ . сosх функциясы [0, π] сегментінде кемиді.

2 ⁰ . Сегменттің шекаралық нүктелерінде косинустың мәндері +1 мен -1-ге тең, яғни cos0= 1 , cosπ=- 1.

3 ⁰ . сosх функциясы [0, π] сегментінде -1 мен 1 аралығында кейбір нүктелерінде m мәнін қабылдайды. Шынында да [0, π] сегментінде бір ғана доға бар болады, мұнда косинус мынаған тең: cos c =m .

1 ⁰ тұжырымды дәлелдеу ғана қалды. Айталық, . Мұнда х ₁ және х ₂ [0, π] сегментінен алынған аргументтің мәндері. cos x ₂ - cos x ₁ айырымын құрамыз, оны мына көбейтінді түрінде жазамыз:

\[\cos x_{2}\leftarrow\cos x_{1}=-2\sin{\frac{x_{2}\cdot\,x_{1}}{2}}\sin{\frac{x_{2}+x_{1}}{2}}.\]

(*)

\[\begin{array}{l}{{0\:\Xi\:\:x_{1}\ \Xi\:\:x_{2}\ \ \le\pi}}\end{array}\]

теңсіздігінен

\[0<\frac{x_{1}+x_{2}}{2}<\pi\]

және

\[0<\frac{X_{2}\,-\,X_{1}}{2}<\frac{\mathcal{\pi}}{\mathcal{Z}}\]

шығады. Демек,

\[\sin{\frac{x_{2}-x_{1}}{2}}\]

және

\[\sin{\frac{x_{2}+x_{1}}{2}}\]

функциялары берілген аралықта анықталғандықтан, олардың көбейтіндісі бар болып, қашанда оң болады. Себебі,

cos x ₂ - cos x ₁ <0 және cos x ₂ < cos x ₁ .

Сонымен, аргументтің үлкен мәніне косинустың кіші мәні сәйкес келеді, демек, берілген сегментте сosх функциясы кемиді.

сosх функциясы [-π, 0] сегментінде -1-ден 1-ге шейін өседі.

1 ⁰ . Егер

\[-\ \mathcal{T}\ \Xi\ \mathcal{X}_{1}\prec\mathcal{X}_{2}\ <0\]

болса, онда

\[\left.-\,\pi\,<\frac{x_{1}+x_{2}}{2}<0\right.\]

және

\[0<\frac{X_{2}+X_{1}}{2}<\frac{\pi}{2}\]

Осыдан кейін (*) теңдеуінен

\[\sin{\frac{x_{1}+x_{2}}{2}}\]

теріс анықталған, себебі,

cos x ₂ - cos x ₁ >0 және . cos x ₂ > cos x ₁ , демек, берілген сегментте сosх функциясы өседі.

2 ⁰ . cos(-π) =- 1 , cos 0 = 1 екені белгілі.

3 ⁰ . Егер онда cos c =m.

Теорема . Кез келген сегментінде sinx функциясы -1-ден 1-ге шейін өседі; кез келген

\[\widehat{\underline{{{\mathrm{e}}}}2}+2k p\,,\frac{3p}{2}+2k\pi\widehat{\Pi}_{1}\]

сегментінде 1-ден -1-ге дейін sin x функциясы кемиді. Оның дәлелдеу жолы сos х функциясының дәлелдеу жолымен ұқсас.

y=a cos x + b (немесе a sin x + b) функциясы ең үлкен және ең кіші мәнге ие болады, яғни

\[y_{\mathrm{max}}=b+|a|\]

және

\[y_{\mathrm{min}}=b-|a|\]

\[y=\sqrt{a^{2}+b^{2}}\sin(x+a)\]

функциясының ең үлкен және ең кіші мәні мынаған тең:

\[y_{\mathrm{min}}=-\sqrt{a^{2}+b^{2}}\]

және

\[y_{\mathrm{max}}={\sqrt{a^{2}+b^{2}}}.\]

Осыдан мына теңсіздік шығады:

\[-\ \sqrt{a^{2}+b^{2}}\ \Xi\ a\,{\mathrm s i n}\ x+b\,{\cos x}\ \Xi\ \sqrt{a^{2}+b^{2}}\,.\]

Теорема. Тригонометриялық функциялар анықталу облыстарында үзіліссіз.

1 ⁰ Синус және косинус периодты функциялар, олардың периоды

\[{\mathcal{D}}T\]

-ге тең :

Sin( x +

\[{\mathcal{D}}T\]

) = sinx

Сos(х+

\[{\mathcal{D}}T\]

) = сosх.

2 ⁰ Синус тақ функция, ал косинус жұп функция.

Синус функциясының графигі координатаның бас нүктесіне қатысты симметриялы болады.

3 ⁰ Косинус функциясының графигі ординатаға қатысты симметриялы болады.

4 ⁰

\[\left[-p\ \pi\right]\]

аралығында синус және косинус функциялары үшін келесі интегралдық теңдіктер орындалады:

\[\begin{array}{l l}{{\pi_{}}}&{{\hat{v}_{}S S n x d x=0}}\\ {{\cdot\hat{v}}}&{{\hat{v}^{}}}\end{array}\]

\[\textstyle{\bigwedge}_{p}\mathbf{\hat{n}}\ n\mathbf{z}d x=0\]

\[\begin{array}{l l}{{\pi_{}}}&{{\hat{\zeta}_{\mathrm{OS}}n x\cos m x d x=0}}\\ {{\cdot\hat{\gamma}_{}}}&{{\hat{\eta}_{}}}\end{array}\]

\[\textstyle{\frac{\pi}{r}}{\hat{\mathrm{jn}}}\,n x\,{\mathrm{sin}}\,m x d x=0\]

\[\begin{array}{r}{{\pi}\left\lbrace{\mathrm{OS}}^{2}\,n x d x=\pi\,\right.}\end{array}\]

\[-\\|\mathbf{j}\ln^{2}n x d x=\pi\]

\[\textstyle\bigcap_{p}d x=2\pi\]

§ 3. Тригонометриялық жүйе бойынша құрылған Фурье қатарларының коэффициенттерін есептеу.

Периоды

\[2\pi\]

-ға тең f(x) функциясы үшін

\[\begin{array}{l}{{f(x)=a_{0}+a_{1}\cos x+b_{1}\sin x+a_{2}\cos2x+b_{2}\sin2x+a_{3}\cos3x+b_{3}\sin3x+\mathrm{K}=}}\\ {{=a_{o}+\frac{\sum}{\hbar}(a_{e}\cos n x+b_{s}\sin n x)}}\end{array}\]

тригонометриялық жіктеудің мүмкін болатындығын тағайындау үшін, коэффициенттердің

\[a_{0},a_{1},b_{1},a_{2},b_{2},\mathrm{K}\]

нақтылы жиынтығын аламыз.

Айталық, f(x) функциясы

\[\left[-p\ \pi\right]\]

аралығында интегралданып және жоғарыда айтылғандай, тригонометриялық функциялардың қосындысы түрінде өрнектелсін, яғни

... жалғасы

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.