Матрицаларға қолданылатын амалдар туралы

Жұмыс түрі: Реферат
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 14 бет
Таңдаулыға:

Кіріспе

Математика - нақты өмірдегі сандық қатынастар мен кеңістіктік формалар туралы ғылым. Математикада математикалық модельдер зерттеледі. Ол нақты құбылыстардың тура математикалық модельдері болуымен қатар осы модельдерді зерттеуге арналған (структуралар) объект болуы мүмкін. Бір математикалық модель тура мазмұны жағынан бір-бірінен қашық жатқан нақты құбылыстардың қасиеттерін көрсетуі мүмкін. Мысалы, бір дифференциалдық теңдеу халықтың өсу процессін де жəне макроэкономикалық динамикасын да көрсетеді. Математика үшін қарастырылып отырған объектілердің табиғи мəні емес, олардың арасындағы қатынастардың маңызы зор. Математика жаратылыс ғылымдарында, инженер-техникалық жəне гуманитарлық зерттеулерде маңызды роль атқарады. Ол көптеген білім бөлімдерінде тек қана сандық есептеу жасау үшін ғана емес, сонымен қатар дəлірек зерттеудің тəсілі жəне ұғымдар мен проблемалардың шекті тура тұжырымдарын беру құралы болады. Адам өміріндегі əртүрлі салалардағы прогресс жетілдірілген логикалық жəне есептеу аппараты бар қазіргі замандағы математикасыз мүмкін емес. Математика қолданбалы есептерді шешуге арналған күшті құрал жəне ғылымның əмбебап тілі ғана емес, сонымен қатар ол негізгі мəдениеттің элементі де болып есептеледі. Сондықтанда математикалық білім осы заманға экономистерді фундаментальды дайындау жүйесіндегі маңызды бөлім болады.

1. Матрица

Математикада кез келген жиынның элементтерінен құрылған және m жол мен n бағаннан тұратын тік төртбұрышты А кестесі. Матрицаны түзетін нысандар оның элементтері деп аталады. Матрицаның элементтері оның жолдары немесе бағаналарының бойымен орналасады. Матрицаның элементтері аіj түрінде қос индекспен өрнектеледі, мұндағы бірінші индекс і -- Матрицаның аіj элементі орналасқан жолының нөмірін, екінші индекс j -- оның аіj элементі орналасқан бағананың нөмірінкөрсетеді. Матрица символдық түрде не дөңгелек жақша, не қос тік сызық арқылы өрнектеледі. Мұндай матрицаны (m n) өлшемді тікбұрышты матрица деп, ал егер m=n болса, квадрат матрица деп, n санын оның реті деп атайды.

(1-сурет) Матрица

Матрицаны қысқаша былай белгілейді: (аіj) . Жолдарының саны мен бағаналары санының бірі немесе екеуі де шексіз болатын матрицаны шексіз матрица деп түсінеміз. Бір ғана жолдан немесе бір ғана бағанадан тұратын матрицалар да болады. аіі диагональ элементтері ғана нөлден өзгеше болатын квадрат матрицаны диагональ М. деп аталып, dіag(а1 ... аn) таңбасымен белгіленеді. Диагональ матрицаның барлық элементтері (аі=1) болса, бірлік матрица деп аталады. Егер барлық (аі=а) болса, онда скаляр матрица шығады. Барлық элементтері нөлге тең М. нөлдік М. деп аталады. Жолдары мен бағаналарын ауыстыру арқылы алынған матрица транспозицияланған матрица деп аталып, А немесе АТ арқылы белгіленеді. Егер матрицаның элементтерін комплекс түйіндеске ауыстырсақ, онда комплекс түйіндес матрицасы шығады. Егер А транспозицияланған матрица элементтерін комплекс түйіндеске ауыстырсақ, онда А матрицамен түйіндес болатын А* матрицасышығады. Квадрат матрицаның анықтауышы A немесе det A деп белгіленеді.

(2-сурет) Ұзындықтары бірдей жолдан тұратын сандардың тік бұрышты кестесін матрица деп атайды.

2. Матрицаларға қолданылатын амалдар

1) Матрицаларды қосу: Тең ретті
және
матрицалары берілген. Қысқаша, бұл матрицаларды , деп белгілейміз. Мұндағы -матрицаның жатық, -тік жолдарының саны.
А және В матрицаларының қосындысы деп, элементтері , формулалары бойынша есептелетін матрицаны айтамыз. Сонымен,
2) Матрицаларды санға көбейту: матрицасының санына көбейтіндісі деп, элементтері
,
формулалары арқылы анықталатын матрицасын айтамыз. Сонымен, .
3) Матрицаны матрицаға көбейту:
реттіжәне ретті матрицалары берілсін. А матрицасының В матрицасына көбейтіндісі деп элементтері

формулалары бойынша анықталатын, ретті матрицасын айтамыз. Сонымен,
.

4) Матрицаны транспонирлеу: Матрицаның жатық жолдарын, орналасу ретін сақтап, тік жолдарымен алмастыру матрицаны транспонирлеу деп аталады. Егер

болса, онда

транспонирленген матрица болады.

Матрицаны элементар түрлендіру

Мынандай түрлендірулер матрицаны элементар түрлендіру болып табылады.
Матрицаның кез келген екі жолының (бағанының) орнын ауыстыру
Матрицаның кез келген жолын (бағанын) нольден өзгеше санға көбейту (бөлу)
Матрицаның кез келген жолының (бағанының) элементтерін бір санға көбейтіп (бөліп) басқа бір жолдың (бағанның) сәйкес элементтеріне қосуға болады.
Егер В матрицасы А матрицасын элементар түрлендіру арқылы алынса, онда оларды эквивалентті матрицалар деп атап, ~ түрінде белгілейді.
Элементар түрлендірулер арқылы кез келген матрицаны бас диагоналінің қатарынан бірнеше элементі бір, қалған элементтері ноль болатын матрицаға келтіруге болады. Мұндай матрицаны канондық матрица деп атайды.

2.1. Кері матрица

Квадратты матрица. Жатық жолдар саны тік жолдар санына тең матрица квадратты деп аталады. квадратты матрицасы берілген.
Егер , демек болса, онда А симметриялы матрица деп аталады.
Квадратты А матрицаның анықтауышын деп белгілейміз. Әлбетте, . Анықтауышы нөлге тең матрица ерекше деп аталады.
бірлік матрица деп аталады.
ретті А және В матрицалары берілсін. Егер В матрицасы үшін
(4)
теңдігі орындалса, онда В матрицасы А-ға кері матрица деп аталады да деп белгіленеді. Осы белгі арқылы (4) теңдігі түрінде жазылады.
Егер А ерекше матрица болмаса, демек болса, онда А-ға кері бірден-бір матрица бар болады және кері матрица
(5)
формуласы бойынша анықталады.
Матрицаның рангісі:
Анықтама 6. жатық және тік жолдардан тұратын

кестесі ретті матрица деп аталады. Әдетте, матрица бір бас әріппен белгіленеді, мысалы М деп.
Осы матрицаның кез келген жатық және тік жолдарын белгілеп алып, осы жолдардың қиылысуындағы элементтерден, олардың берілген матрицадағы орналасу ретін сақтап құрылған - ретті анықтауыш - ретті минор деп аталады (.
Егер М матрицасында нөлге тең емес ретті минор бар болса, ал реттері -ден жоғары барлық минорлар нөлге тең болса, онда саны осы матрицаның рангі деп аталады және деп белгіленеді: .
Барлық элементтері нөлге тең матрица нөлдік матрица деп аталады. Келісім бойынша, нөлдік матрицаның рангі нөлге тең.
ретті, сәйкес элементтері өзара тең екі матрица тең матрицалар деп аталады.
Рангті есептеу әдістері: 1) Көмкерген минорлар әдісі. Берілген матрицаның -ретті минорының көмкеруі деп осы минор енетін кез келген ретті минорын айтады.
Теорема 1 Егер берілген М матрицасының нөлге тең емес -ретті миноры бар болса және осы минорды көмкеретін барлық ретті минорлар нөлге тең болса, онда бұл матрицаның рангі -ге тең: .
2) Рангті берілген матрицаның элементтерін түрлендіру арқылы есептеу. Бұл әдіс төмендегі теоремаларға негізделген.
1) Жатық жолдардың орнын алмастыру;
2) Кез келген жатық жолын нөлге тең емес санға көбейту;
3) Кез келген жатық жолына осы матрицаның басқа жатық жолын бір санға көбейтіп қосу;
4) Бірыңғай нөлден тұратын жолын алып тастау, матрицаның рангін өзгертпейді.
Бас диагоналы астындағы элементтері нөлге тең матрица сатылы деп аталады. Квадратты матрицаның сатылы түрі үшбұрышты деп аталады.
Теорема 3 Сатылы түрге келтірілген матрицаның рангі оның бас диагонолындағы нөлге тең емес элементтерінің санына тең.
Сызықты теңдеулер жүйесі
белгісізі бар теңдеулер жүйесі мына түрде беріледі:
(6)
Мұндағы - белгісіз шамалар, -нөмерлі теңдеудегі нөмерлі белгісіздің коэффициенті, - нөмерлі теңдеудің бос мүшесі,
(6) теңдеулер жүйесінің коэффициентерінен құрылған мына матрица
(7)
негізгі матрица деп аталады, ал мына матрица
(8)
осы жүйенің кеңейтілген матрицасы делінеді.
Егер (6) теңдеулер жүйесінің барлық бос мүшелері нөлге тең болса, онда бұл жүйе біртекті деп аталады.
1.2 пунктініњ 2-ші және 3-ші анықтамаларда аталған теңдеулер жүйесінің шешімі үйлесімді, үйлесімсіз, анықталған және анықталмаған теңдеулер жүйесі туралы ұғымдар өздерінің мағыналарын толық сақтайды.
(6) теңдеулер жүйесінің белгісіздері мен бос мүшелерінен
және
матрицаларын құрып осы жүйені мына матрицалық теңдеу түрінде жазамыз:
. (9)
белгісізі бар теңдеулер жүйесін шешу әдістері
1) Крамер әдісі: Біртекті емес белгісізді теңдеулер жүйесі берілсін:
(10)
Осы жүйенің негізгі матрицасының анықтауышы

нөлге тең болмасын.
Осы анықтауыштың нөмерлі тік жолының элементтерін (10) жүйесінің сәйкес бос мүшелерімен алмастырғанда шыққан анықтауышты деп белгілеік:
,
Осы анықтауыштар бойынша (10) теңдеулер жүйесінің шешімі Крамер формулалары арқылы анықталады:
.
2) Гаусс әдісі Гаусс әдісі матрицаның рангін өзгертпейтін элементар түрлендірулерге негізделген. Бұл түрлендірулер теңдеулер жүйелерінің эквиваленттігін сақтайды. Шешімдері бірдей немесе екеуі де ... жалғасы

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.