БАСТАУЫШ СЫНЫПТАРДА ТЕҢДЕУДІ ОҚЫТЫП ҮЙРЕТУДІҢ ӘДІСТЕМЕСІ

Жұмыс түрі: Дипломдық жұмыс
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 20 бет
Таңдаулыға:

МАЗМҰНЫ

КІРІСПЕ ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..3

1 ТЕҢДЕУ ҰҒЫМЫНЫҢ ЖӘНЕ ОНЫ ОҚЫТЫП ҮЙРЕТУДІҢ ТЕОРИЯЛЫҚ ӘДІСТЕМЕЛІК НЕГІЗДЕРІ

1.1 Теңдеу ұғымының мән-
мағынасы ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 6
1.2 Теңдеу жайында түсінік қалыптастыру және оны шешуді үйретудің
әдістемелік
негіздері ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ... ... ... ... ...24

2 БАСТАУЫШ СЫНЫПТАРДА ТЕҢДЕУДІ ОҚЫТЫП ҮЙРЕТУДІҢ ӘДІСТЕМЕСІ
2.1 Білім стандартын және оқу бағдарламасын, оқулықты талдау... 27
2. 2 Тәжірибелік жұмыс және оның
нәтижесі ... ... ... ... ... ... ... ... ... 39

ҚОРЫТЫНДЫ ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ... ... ... ...54

ПАЙДАЛАНҒАН ӘДЕБИЕТТЕР ТІЗІМІ ... ... ... ... ... ... ... ... ... .60

КІРІСПЕ
Зерттеу жымысының көкейкестілігі. Бастауыш сыныптардағы “Арифметика”
оқу пәнінің орнына “Математика” енгізілгеннен бері алгебралық элементтерді
білім мазмұнының құрамды бөлігіне айналды. Ал бастауыш сыныптардың
математика курсындағы алгебра элементтерінің аса маңыздысы теңдеу және оны
шешу тәсілдерін оқытып үйрету болып табылады. Ал алгебра элементтері болып
табылатын теңдеу жайында түсінік қалыптастыру санды теңдік, санды теңсіздік
және олардың тура немесе тура емес түрлері, санды және әріпті өрнектермен
олардың мәндерін табуға алдын ала құрастыруға көздейді.
Бастауыш сыныптардың математика курсы мазмұнының құрайтын, алгебраның
элементтерінің пәндік теориялық яғни математикалық негізі “Математика
негіздері” немесе “Бастауыш мектеп математикасының негіздері” атты көптеген
әдебиеттерде [1] қарастырылған. Ал осы мәселенің әдістемесіне әдіскер
ғалымдардың “Бастауыш сыныптарда математиканы оқытудың әдістемесі” атты
еңбектерінің бір тарауы арналған [2]. Демек, ғылыми теориялық және
әдістемелік тұрғыдан алғашта бұл мәселе жан-жақты зерттелген деуге толық
негіз бар.
Бірақта, алгебралық элементтерді бастауыш сыныптарда ұзақ уақыт бойы
оқытылып келе жатқанына қарамастан бүгінге дейін
бастауыш сынып оқушыларының көпшілігі теңдеуді шешумен және талдаумен
байланысты тапсырмаларды орындауда қате жіберітіндігі тәжірибеде байқалуды.
Біздің пікірімізше, оның басты себебітеңдеу ұғымын қалыптастыру және оларды
шешу тәсілдерін игерту барысында жұмыстардың өз
деңгейінде жүргізілмеуі сияқты. Шындығында бастауыш сыныптарға арналған әр
түрлі нұсқаудағы ( Ресейлік және Қазақстандық) оқулықтардың Методика
начального обучения математике, Средства обучения математике [3,4]
өзінде мәселеге бірізді әдістеме қалыптаспаған. Бастауыш сыныптарда сабақ
жүргізген мұғалімдер осы мәселені оқытудың әр түрлі әдістерін, тіпті кейде
бір-бірімен қолдануға бейім тұрақтығын да теріске шығаруға болмайды.
Осының нәтижесінде білім стандарты мен оқу бағдарламалары деңгейінде
білім, білік және дағдыларды қалыптастыруда кемшіліктер орын алуда.
Сондықтан да теңдеу жайында түсінік қалыптастыру және теңдеуді шешудің
тәсілдерін оқытып үйрету, әсіресе талаптарға сәйкес оқыту нәтижелеріне қол
жеткізу мәселесі көкейкесті болды.
Теңдеу және оны шешу тәсілдері бастауыш сыныптарда оқытудың теориясы
мен тәжірибесі арасындағыорын алып отырған қарама-қайшылық біздің “Бастауыш
сыныпта теңдеулермен жұмыс істеу әдістемесі” атты дипломдық жұмыс тақырыбын
даңдай алуғы негіз болды.
Зерттеу нысаны: бастауыш сыныптарға математиканы оқытудың үдерісі.
Зерттеу пәні: бастауыш сыныптарда теңдеуді оқытып үйрету үдерісі.
Зерттеудің болжамы: егер теңдеуді оқытудың пәндік теориялық және
әдістемелік негіздеріне орай теңдеуді оқыту әдістемесі тәжірибеде

қолданылса онда осы мәселені оқытып үйретумен байланысты жұмыс тиімді
ұйымдастырылады да, білім сапасын арттыруға ықпал етеді.
Жұмыстың жаңалығы теңдеу және оны шешу тәсілдері оқытып үйрету
әдістемесі мен тәжірибесі бір ғана сыныптың емес, бастауыш білім беру
деңгейінде біртұтас және өзара байланысы тұрғысын қарастырылуында.
Зерттеудің практикалық маңыздылығы жұмысты орындау барысындағы
тұжырымдалған қорытындылар мен ұсыныстардың бастауыш сыныптарда
математиканы оқыту барысында қолданылуының мүмкіндігімен сипаттайды.
Зерттеудің міндеттері
- теңдеу ұғымының мән-мағынасының оны шешу тәсілдер кезеңдерінің оларды
оқытудың теориялық және әдістемелік негіздемелеріне шолу жасау;
- Білім стандартта, оқу бағдарламаларына және оқулықтарға зерттеу
жұмысының мақсаты мен міндеттеріне орай талдау жасау;
- бастауыш сыныптар мұғалімдерінің теңдеу және оны шешу тәсілдері оқытып
үйрету тәжірибесімен танысу және осыған қатысты материалды жинақтау.
Зерттеудің негізгі көздері: математиканың негіздері және математиканы
бастауыш сыныптарда оқыту әдістемелері жөніндегі еңбектер және білім,
білік, дағдыларды қалыптастырудың психологиялық және педагогикалық
мәселелері қарастырылатын оқу құралдары, “Қазақстан Республикасы
мемлекеттік жалпыға міндетті білім стандарты” 1-4 сыныптарының
математикасының оқу бағдарламалары, 1-4 сыныптарға арналған математика
оқулықтары және оқыту әдістемелері, дидактикалық материалдар жиынтығы,
бастауыш сынып мұғалімдерінің озат тәжірибесі.
Зерттеу әдістері:
- зерттеу тақырыбымен байланысты әдебиеттермен оқып танысу және
пайдалану;
- Білім беру мәселесіне қатысты құқықтық, нормативтік және ресми
құжаттармен оқып танысу;
- әдістемелік құралдарды зерттеу тақырыбына орай талдау;
- оқу бағдарламалары мен оқулықтарды талдау;
- мұғалімдердің тәжірибесімен танысу, жинақтау және талдау.
Зерттеу жұмысы жүргізілген тірек оқу орны: Алматы қаласындағы .№ 104 жалпы
орта білім беретін мектебі.
Дипломның құрылымы. Диплом жұмысының кіріспе бөлімінде зерттеу жұмысының
ғылыми аппараты баяндалған.
Жұмысты бірінші бөлімі бөлімі теңдеу ұғымының және оны оқытып үйретудің
теориялық-әдістемелік негіздеріне арналған. Мұнда “теңдеу” ұғымының
математика әр түрлі жолмен анықталатыны және теңдеу жөнінде түсінік
қалыптастырудың әр түрлі әдістеменің ғылыми негіздері қарастырылған.
Жұмыстың екінші бөлігі бастауыш сыныптарда теңдеуді оқытып үйретудің
әдістемелік арналған. Мұнда білім стандарты, оқу бағдарламаларын,
оқулықтарды талдаудың нәтижелері баяндалған және мұғалімдердің
тәжірибесімен нақты мысалдар келтірілген.

1. Теңдеу ұғымының және оны оқытып- үйретудің теориялық-әдістемелік
негздері.

1. Теңдеу ұғымының мән-мағынасы

Бастауыш математика курсы бағдарламасында көрсетілгендей, алгебра
элементтерінің ішінде дидактикалық тұрғыдан алғанда аса маңыздысы – теңдеу
жайында түсінік беру және оны шешудің тәсілдерін оқытып үйрету, сондай-ақ
есепті алгебралық тәсілмен (теңдеудің көмегімен) шешудің мән-мағынасын ашу
болып табылады.
Жалпы білім беретін мектептердің бастауыш сатысындағы білім мазмұны
модельдерінің бір нұсқасын бейнелейтін маптематика бағдарламасының
түсініктеме бөлімінде былай деп айтылған: Математикалық бастауыш білім
мазмұны біртекті емес және екі (әр түрлі) деңгейді қамтиды; міндетті және
мүмкіндік деңгейлері.
Міндетті деңгейге бастауыш мектеп көлемінде гіберік игеріліу тиісті
материалдар жатады. Олар теріс емес бүтін сандардың ауызша және жазбаша
нумерациясы; аса маңызды шамалар және олардың өлшем бірліктері; жай
есептердіің негізгі түрлері және оларды шешу, т.б. Осы деңгейдің материалын
әр оқушы қанағаттанарлықтан төмен емес деңгейде меңгеруі тиіс. Осы
деңгейдегі математикалық дайындыққа жету үшін білімді көрсетілген үлгіге
орай, біршама өзгерген және жаңа жағдайларда қолдану керек болатын іс-
әрекеттер ұйымдастыру көзделеді.
Ал мүмкіндік деңгейлеріне мазмұны тұрғысынан алғанда негізгі мәселемен
үйлесетін, алайда оқушының математикалық ой-өрісін кеңейтуге бағытталатын,
үйреншікті емес түрде ұсынылатын және де оны орындау шығармашылық іс -
әрекетпен ұштасатын материалдар жатады. Мұның бәрі міндетті деңгейдің
материалын кеңейте және тереңдете түсуге қызмет етеді; математиканың жүйелі
курстарының аса маңызды тарауларын ілгеріде оқытып-үйретудің негізін
қалайды. Сондай-ақ, балалардың дамуына әсерін тигізеді және негізгі
материалдарды терең меңгеріп алуға көмектеседі. Олар: теңдеулер және оларды
шешудің әдістері, есептерді теңдеулердің көмегімен шешу, ... 100, 132б.
.
Бастауыш сынып оқушыларын теңдеу ұғымымен таныстыру жаңа бағдарлама
бойынша бірінші сыныптан басталады. Оқушыларда алдымен санды өрнектердің
табиғи жалғасы ретінде әріпті өрнек жайында түсінік қалыптастырылып, кейін
әріпті өрнек және оның мәнін табуға негізделіп 3+а=7, 10 - a=1, a - 2=6
түріндегі қарапайым теңтеу ұғымы енгізіледі. Мұндай қарапайым түрдегі
теңдеуді шешуде 3-ке қандай санды қосқанда қосынды 7-ге тең болады?
сұрағына жауап беруде, оқушылар өздеріне таныс белгіле сандарды біртіндеп 3-
ке қосу арқылы іздестіреді. Сөйтіп а=4 бол5анда6 3+4=7 тура санды теңдік
шығатынын табады. Бұл тәсіл іріктеу немесе сынап көру тәсілі деп
аталады.
Оқушылар теңдеуді шешудіңі ең алдымен іріктеу тәсілімен танысқаннан
кекйін тура санды теңдіктің немесе өзара кері амалдардың қасиеттеріне
негізделген тәсілдерімен, яғни амалдың компоненттері мен нәтижесінің
арасындағы өзара байланыстарға сүйеніп шешу тәсілдерімен танысады.
Әр алуан жаттығулар ( дай есептер шығару, ойлаған санды табу және т.б.)
бойынша теңдеулер құрылады. Теңдеудің көмегімен есепті шешу тәсілінің мән-
мағынасы және ерекшелігі екі амалмен шығарылатын есепті құрастыру барысында
ашылады.
Теңдеу құру дегеніміз есептің мазмұнын математика тіліне аудару
екендігін оқушыларға көрсеткен жөн. Сондықтан бастапқы кезде мазмұны
жағынан оңай есептерді қарастыру керек. Мысалы: ойлаған санға 3-ті
қосқанда 7 саны шықты. Ойлаған санымыз қандай сан? немесе Ойлаған сан
меен 2-нің айырмасы 6-ға тең. Ойлаған санды тап. Теңдеуді жаз: а мен 0-дің
қосындысы2-ге тең.
5+x=5, x - 3=6, 9 – x=7 түріндегі теңдеулермен оқушылар бірінші
сыныпта танысады. Мұндай түрдегі теңдеулерді құра білу және шеше білудің
білік, дағдылары қалыптасқанда ғана оқушылар мазмұнды есептерді теңдеу құру
арқылы шығара алатын болады.
Екінші сыныпта теңдеуді шешудің жаңа тәсілдері енгізіледі, қарапайым
теңдеулер құру және оларды шешу тура теңдіктердің, өзара кері амалдардың
қасиеттеріне сүйеніп жүргізіледі. Сондықтан, ол тәсілдердің теориялық
негіздері – сандық теңдіктердің қасиеті және өзара кері амалдар қосу мен
азайтудың арасындағы байланыс болып табылады.
Бұрын оқушылар арифметика есептерін екі тәсілмен: арифметикалық және
алгебралық тәсілмен шешетін еді. Ол кезде есепті арифметикалық тәсілмен
шешуге көп уақыт бөлінетін. Бірақ кейін есепті шешудің алгебралық тәсілін
меңгерген соң, арифметикалық тәсіл ұмытылып қалатын болды.
Мысалы, мазмұнды есептерді арифметикалық тәсілмен шешуді және сол
рақылы қалыптасқан бірліктер мен дағдылардың бірқатарын кейінірек сол
түрдегі есепті теңдеу құру арқылы шығару барысында пайдалануды оқушылардың
көпшілігі ұмытып қалатындығын оқыту тәжірибесі көрсетіп жүр.
Мазмұнды есептерді шешу үрдісінде қалыптасатын бірліктер мен
дағдылардың ішінде өзінің практикада қолданымын табатындарының ғана маңызы
бар.
Мазмұнды есептерді арифметикалық тәсілмен немесе алгебралық тәсілмен
шешкенде де бірдей қалыптасатын мынадай бірліктер мен дағдыларды атауға
болады:
1. Есеп шартын қысқаша жазу.
2. Есеп шартының сүлбелік кескінін сыза білу.
3. Бақылау мен салыстыру, анализ бен синтез, абстракциялау мен
нақтылау, жалпылау мен жіктеу, индуктивтісипаттағы ой қорыту,
аналогия бойыеша ойды тұжырымдау сияқты ойлау әрекеттерін қолдана
білу.
4. Сандарға арифметикалық амалдарды қолдана білу.
5. Санды (немесе белгілі бір шаманы) бірнеше бірлікке арттыру немесе
кеміту.
6. Санды (немесе шаманы) бірнеше есе арттыру немесе кеміту.
7. Сандарды (немесе шамаларды) айырмасы бойыншасалыстыру.
8. Сандарды (немесе шамаларды) еселігі бойынша салыстыру.
9. Амалдар компоненттерінің өзгеруіне байланысты оның нәтижесінің
өзгеру қасиетін пайдалану.
10. Есептің шешуін оның шарты бойынша тексеру.
Есептерді арифметикалық тәсілмен шешкенде қалыптаспайтын, ал алгебралық
тәсілмен шешкенде қалыптасатын мынадай бірліктер мен дағдыларды атауға
болады:
1. Айнымалыны енгізу.
2. Шамалар арасындағы тәуелділікті әріп пен сандар арқылы өрнектеп
жазу.
3. Сызықтық теңдеулерді құра білу.
4. Мазмұнды есептің шарты бойынша теңдеу құра білу.
Мұндай бірліктер мен дағдыларды қалыптастыру мазмұнды есептер шығаруда
маңызы айрықша.
Белгілі бір бірліктер мен дағдыларды қалыптастыру қайталанбас үшін
есепті шешудің алгебралық тәсілін пайдаланған жөн.
Екі санның қосындысы (немесе айырмасы) мен еселік қатынасы, олардың
қосындысы мен айырмасы бойынша санды табу, санның бөліндісін немесе
бөліндісі бойынша санды табуға берілген есептерді алгебралық тәсілмен шешу
тиімді болады.
Мұндай есептерді шешу үрдісінде оқушылар есеп мазмұны бойынша теңдеу
құрып, оны шеше білуге үйренеді, қалыптасқан біліктерді кейін құрылысы
күрделірек теңдеуді шешуде қолдана алады. Бұл жағдайда бір түрлі теңдеудің
үш жағдайының (мысалы, х+5=27, 27-x=5, x-22=5 сияқты ) әрқайсысын шешуде
оларды салыстыру, қосуды азайтумен, азайтуды қосумен тексеру іс-әрекеттерін
жасауға оқушылар машықтандырылып, теңдеуді шеше білудегі біліктер мен
дағдылар қалыптасатын болады. Мектеп тәжірибесі көрсеткендей мұндай есептер
қазіргі жаңа оқулықтарда 63, 64, 66 жеткілікті берілген және оқушылардың
меңгеруіне қолайлы екендігі белгілі болып отыр.
Есептерді алгебралық тәсілмен шешу үрдісінде қалыптасатын біліктер мен
дағдылардың жалпылау деңгейі тым жоғары болатындықтан, олар әр түрлі
есептерді шығару барысында біртіндеп қалыптасады, яғниосы мақсатта
біртіндеп күрделене түсетін есептер жиынтығын құрастыруға көңіл бөлген жөн
болады.
Ол үшін сандық өрнектерді құра білу, жаза білу және оқи білу
дағдыларын қалыптастырып, әрі қарай жетілдіре берген пайдалы. Ондай
дағдылардың кейін әріпті өрнектер мен теңдеулерді құруға үлкен көмегі
тиеді.
Осы мақсатта біз зерттеу жұмысымызда берілу формасы жағынан да,
мазмұндық жағынан да өзгертіліп берілген оқу есептерін қарастыруға
тырыстық.
Мазмұнды есептерді теңдеу құру арқылы шығаруға үйретуді мынадай
есептерден бастаған жөн: Бірінші қосылғыш – 25, екінші қосылғыш –
белгісіз, қосынды – 42. Белгісіз қосылғышты табу керек.
Есеп мазмұны бойынша теңдеу құрамыз: 25+х=427
Мұндай теңдеу оқушыларға таныс теңдеу болғандықтан, оқушылар оны оңай
шеше алады.
Дәл осылай жай есептерді шығару арифметикалық амалдардың
компоненттерін табуға негізделетінін оқушыларға ұғындырған соң кесте
түрінде берілген жай есептерді оқи білуге және шығаруға үйретуге болады.
Осы мақсатта мынандай есепті қарастырған жөн:

Азайғыш х
Азайтқыш 5
Айырма 8

Оқушылар есепті оқиды: Азайғыш – белгісіз, азайтқыш – 5, айырма – 8.
Азайғышты табу керек
Оқушылар есеп мәтіні бойынша теңдеу құрады: х – 5 = 8. Бұл теңдеуді
шешу тәсілімен оқушылар таныс, сондықтан оны шешу арқылы кесте түрінде
берілген есепті шығаруды оқушылар оңай меңгереді.
Бұдан соң сюжеттік есептерді шығаруға көшуге болады.
Мысалы мынадай есеп ұсынылады:
Ерланның бірнеше дәптері бар кді, ол тағы 4-уін сатып алды, сонда
Ерланда 12 дәптер болды. Ерланда қанша дәптер болған еді? Есептің шартын
талдау кезеңінде бірнеше деген сөз белгісіз дегенді білдіретіндігі
анықталады, яғни х әрпімен белгілінеді де, есептің шартын қысқаша
жазылады:
Болды - х (1 қосылғыш)
Сатып алды - 4 (2 қосылғыш)
Барлығы - 12 (қосынды)
Есептің шарты түрлендіріліп оқылады:
Бірінші қосылғыш - х, қосылғыш – 4, қосынды – 12, бұл
теңдеу белгісіз қосылғышты табу ережесіне сүйеніп оңай шешіледі. Осылайша
берілген сюжеттік есептің шешуі табылады.
Мазмұнды есептердің шарты бойынша сандық өрнектерді, әсіресе
айнымалысы бар өрнектерді құра білу – есептерді теңдеу құру арқылы шығаруға
үйрену жолындағы ең бір негізгі мәселе.
Оқыту тәжірибесі көрсетіп отырғандай, оқушылар есепте берілген
шамалар арасындағы байланыстарды, тәуелділіктерді математикалық таңбалар
арқылы өрнектегенде жиі қателеседі, теңдеу құруда есептің шартында
берілгендердің кейбірін пайдаланбай, тастап кетеді, осыдан барып құрылған
теңдеу есеп мазмұнына сәйкес келмей шығады. Сөйтіп, оқушылар алынған теңдеу
есепте баяндалған жағдайдың математикалық таңбаларымен жазылған млделі
екенін түсінбейді. Мұндай жағдайда әрбір теңдеудің қандай да бір мағынасы
болатындығын ұғындыратын жаттығулар жүйесін қарастырған тиімді.
1. Компоненттерінің мағынасы белгілі болғанда өрнектің мағынасын анықтау
1. Бір сан ойла, оны 5-ке арттыр. Шыққан санды өрнек түрінде жаз.
2. Ойлаған санды а деп белгіле және 7-ге кемітіп, шыққан өрнекті 10-
ға теңестір.
3. х санын 2 есе арттыр, шыққан санды өрнек түрінде жаз және оны 6-
ға тең деп алып, теңдеуді шеш.
4. х санынан 3 есе кем болатын санды 4-ке арттыр және оны өрнек
түрінде жазып көрсет.
5. Мәндері бірдей болатын өрнекті тап және оларды теңдік таңбасы
арқылы жаз:
5-3, 7-4, 8-6, 10-7.
6. Қосындыны жаз: 5 пен 4-тің көбейтіндісіне 5 пен 6-ның
көбейтіндісін қос.
7. 8 саны мен а –ның айырмасы 5-ке тең. Теңдеуді жаз және оны шеш.
8. 7, 2, 10, 1 сандарынан тура теңдік құр.
9. Әйнекшенің орнына қандай сандар қоюға болады?
50+0= - 206 5-3 = 10- 6 1+7=9- 6 -3=7-4
10. 8-5 жазуы нені білдіреді, егер Айнұрдың жасы 8-де, Әселдің
жасы 5-те екені белгілі болса.
11. 25-(10+7) өрнегінің мағынасын түсіндір: асханаға әелінген
25 кг жемістің 10 кг түскі асқа, 7 кешкі асқа жұмсалды. Есеп мазмұнын
толықтыратын сұрақ қой.
2. Есептің мазмұнына байланысты теңдеу құру мен оның компоненттерінің
мағынасын анықтауға берілген жай теңдеулер.
1. Үшбұрыштың қабырғалары х см және 3 см, периметрі 15 см.
Үшбұрыштың үшінші қабырғасын өрнек түрінде жаз.
2. Есепті теңдеу құру арқылы шығар:

Бір жейдеге жұмсалғанЖейденің саны Барлық жейдеге
мата жұмсалған мата
Бірдей 2 м
? 18 м

Бұл есепте бірдей сөзінің теңдеу құруда мағынасын анықтауға мән
беріледі.
3. Теңдеуді шеш және шешуін тексер.
X+235=859, 859-x=235, x-624=235
4. Теңдеуді шеш:
19-а=15-9.
5. Тік төртбұрыштың ұзындығы еніне 3 есе артық, ал периметрі 32 см, оның
ені мен ұзындығын тап.
Мұндай есептерді шығару барысында олардың тұжырымдалуындағы
өзгешеліктер оқушылықтар ойлау әрекеттерін күшейтіп, есептің мазмұнын
түсініп, оған талдау жасай білулеріне пайдалы әсер етеді.
Есептерді теңдеу құру арқылы шығару әдетте белгілі бір жоспар бойынша
іске асырылады: 1) есептің шартын талдау; 2) негізгі белгісізді таңдап
алу; 3) қалған белгісіздерді сандар мен негізгі белгісіз арқылы өрнектеу;

4) теңдеу құру; 5) теңдеуді шешу; 6) тексеру.
Оқушылар есеп мазмұнымен танысқан соң, есепте қандай шамалар туралы
айтылып тұрғаны, олардың арасында қандай тәуелділік бар екенін анықтаулары
керек. Шамалардың қандай мәндері туралы айтылып тұр, олардың қаншасы
белгілі деген сұрақтарға жауапты мұғалімнің көмегімен анықтап алады.
Белгісізді х деп белгілеп алған соң, қалған белгісіздерді х арғқылы
өрнектейді де, анықталған қатынас немесе тәуелділіктерді пайдаланып, теңдеу
құрылады. Теңдеуді шешуді балалар өздеріне белгілі тәсілдер арқылы
орындайды. Бұдан кейін есептің шешуін тексеру орындалады, оның негізгі
мақсаты – теңдеудің табылған түбірінің сан мәні есеп сұрағына жауап
болатынын немесе болмайтынын анықтау.
Есеп шешуін оның шарты бойынша тексеру – оқушылар үшін қиын мәселе.
Сондықтан есеп шығарудың бұл кезеңіне мұғалім көбірек назар аудару тиіс,
оқушылар ұғындары білуі қажет.
Теңдеу құру арқылы шығарылытын есептердің шешуін оған кері есептер
құру, оларды шығару арқылы текесеруге болады, бірақ есептің шешуін
тексеруді теңдеудің шешімін тексерумен шатыстыруға болмайды.
Бастауыш сыныптарда теңдеу құру арқылы шығарылатын есептерді екі
топқа бөлуге болады: 1) бір ғана шаманың (мысалы, салмақтың немесе
қашықтықтың ) әр түрлі мәндерін қарастыратын есептер; 2) өзара байланысты
әр түрлі үш шаманы (мысалы заттың бағасы, саны, құны) қарастыратын есептер.
Теңдеу құруда қандай да бір мәндерді салыстыруүшін мынандай әдістер
қолданылады:
1) айырмалық салыстыру (мысалы, 3-ке артық, 5-ке кем)
2) еселігі арқылы салыстыру (2 есе артық, 3 есе аз).
Оқу есептерін пайдаланып теңдеу құруға үйрету – мектептегі
математикакурсының ең негізгі және бірнеше оқу жылына созылатын көлемді
мәселелерінің бірі. Сондықтан, оны оқып-үйрену барысында сабақтастылық,
үнемі жүзеге асырылып отырылуы тиіс. Есептің шарты бойынша теңдеу құру
мынадай жағдайлар бойынша іске асырылуы мүмкін: 1) бір ғана шаманы немесе
теңшамаларды анықтайтын екі өрнекті теңестіру арқылы теңдеу құру; 2) есеп
шартында берілген екі шаманың айырымын (қосындысын) немесе олардың
арасындағы қатынасты пайдаланып теңдеу құру;
3) есеп мазмұнында берілген шамалардың арасындағы тәуелділіктерді
өрнектейтін формулаларды пайдаланып теңдеу құру.
Теңдеу құруға берілген есептердің осы айтылған ретпен күрделене
түсетінін мұғалімдер өз жұмыстарында ескерулері қажет. Компоненттерінің
бірі белгісізі бар өрнек болып келген теңдеулер күрделірек болып табылады.
Мұндай теңдеулерді шешкенде белгісіз компонентті табу ережесін екі рет
қолдану керек болады.
Есепті теңдеу құру арқылы шығарудың үшінші кезеңінде оқушылар кейбір
белгісіз шамаларды енгізілген белгісіз (х) және берілген сандар арқылы
өрнектеулері керек. Бұл кезең қандай да бір есепті арифметикалық тәсілмен
шығаруға сәйкес болады. Сондықтан осы кезеңде орындалатын амалдарының
санытуралы айтуға болады. Есептерді іріктеп алу үрдісінде оны шығару үшін
қажет болатын амалдардың санын да ескерген жөн.
Бастауыш сыныпта сәл күрделілеу 17+х=28-5, (20+6)-х=15 және т.б.
осыған ұқсас теңдеулермен танысу, оларды шеше білуге үйрену есептің қысқаша
жазылуында қолданылатын амал компоненттері көрсетілген сюжеттік есептер
шығарумен байланысты да қарастырылады. Мысалы, оқушыларды 15+х=32-14
түріндегі теңдеумен және оны шешу жолымен таныстыруда мынадай есепті
ұсынуға болады.
Бірінші қосылғыш – 15, екінші – белгісіз, ал қосынды – 32 мен 14
сандарының айырмасы. Белгісіз қосылғышты табу керек
Есепті шығару үшін белгісіз қосылғышты х деп белгілеп, есеп мәтіні
бойынша теңдеу құрылады: 15+х=32-14.
Мұғалім 15 пен х сандарының қосындысы санмен емес, 32 мен 14 сандарының
айырмасы арқылы өрнектеліп тұрғандығына оқушылардың назарын аударады да
айырманвң мәнін есептеу керек екенін айтады. Оқушылар есептеп айырманың
мәні 18-ге тең екенін табады. Мұғалім 32 мен 14 сандарының айырмасының
орнына оның мәнін жазу керек екенін айтады. Сонда 15+х=18 түріндегі жаңа
теңдеу алынады. Ал мұндай теңдеу оқушыларға бұрыннан таныс болғандықтан,
оқушылар теңдеуді әрі қарай өздері шеше алады.
Мұғалім теңдеудің шешімін тексерудің шешімін тексерудің жазылуының
ерекшелігін көрсетеді. Жалпы, теңдеуді шешудің жазылуы төмендегідей болады.
15+х=32-14
15+x=18
x =18-15
x=3__________
15+3=32-14
18=18
Мұғалім теңдеуді шешу барысындағы түрлендірулер мен теңдеудің шешімін
тексеруге оқушылардың назарын қайталап аударады, содан кейін 28+х=12+5, x-
6=7+8, т.с.с. теңдеулерінің шешімін табу арқылы теңдеуді шешу тәсілі,
дағдылары бекітіледі. Дәл осы сияқты оқушыларды (20+6)-х =15
теңдеуімен және оны шешу әдісімен таныстыруға болады:
Азайғыш - 20 және 6 сандарының қосындысы, азайтқыш белгісіз, айырма
– 15 Азайтқышты табу керек .
Есептің мәтіні бойынша теңдеу құрылады: (20+6)-х=15 мұнда мұғалім
ыңғайлылық үшін алдымен 26 санын қоюды ұсынады. Сонда 26-х=15 түрінде
жазылады, одан әрі теңдеуді шешудегі іс-әрекеттер жоғарыдағы есепті
шығарумен бірдей болады.
Оқушылар көрсетілген түрдегі теңдеулердің шешімін табуды үйренген
соң, меңгенген білік, дағдыларын кесте түрінде берілген есептерді шығаруда
қолдана білуге жаттықтырылады. Мұндай есептерді шығаруға үйрету әдістемесі
көбіне өрнек құруға берілген есептерді шығаруға үйрету әдістемесіне ұқсас
боп келеді. Мысалы, мынадай есеп берілсін:
Төмендегі кестедегі есепті оқы және шығар:
1 қосылғыш х 17- 9
2 қосылғыш 8 х
қосынды 3*5 20

Бұл кестеде екі есеп бар:
1) Бірінші қосылғыш белгісіз, екінші қосылғыш – 8, қосынды – 3*5
өрнегі. Белгісіз қосылғышты тап:
2) Бірінші қосылғыш – 17 мен 9 сандарының айырмасы, екінші қосылғыш
белгісіз, қосынды -20. Екінші қосылғышты табу керек.
Есептің осындай жеңілдетілген түрде берілуі бойынша немесе кесте бойынша да
бірден есептерге сәйкес теңдеулер құрылып, олардың шешімдері табылады.
Төртінші сыныпта оқушылар теңдеудің х* 12+36=60, 560: x=57-376 (х-
380):50=2000, 10*x=8*25 және т.б. түрдегі жаңа түрлерімен танысады. Сол
кезеңде оқушылар сюжеттік есептерді теңдеу құру арқылы шығаруға үйретіледі.
Мысалы: Әйгерімнің сурет альбомының 20 беті бар, әр бетте 3 суреттен
салынған. Әйгерім тағы бірнеше суретті альбомға желімдеді, сонда альбомда
78 сурет болды. Әйгерім альбомға неше сурет желімдеген?
Мұғалімнің көмегімен оқушылар есепте не белгісіз екенін анықтап алады
(Әйгерім желімдеген суреттер саны) және оны х әрпімен белгілейді. Тірек
сөздері таңдап алынады да, есептің шарты қысқаша жазылады
Болды - 3*20 (1 қосылғыш)
Желімдеді - х (2 қосылғыш)
Барлығы - 78 ( қосынды)
Оқушылар есептің шартын түрлендіріп, қосу амалының компоненттерін
қолданып оқиды: Бірінші қосылғыш - 3 пен 20 сандарының көбейтіндісі,
екінші қосылғыш белгісіз, қосынды – 78. Екінші қосылғышты табу керек.
Бұдан теңдеу оңай құрылады: 3*20 + х=78 және белгілі ереже (алгоритм)
бойынша шешімі оңай табылады.
Мазмұнды есептерді теңдеу құру арқылы шығару үшінші сыныпта басталады.
Оқушылардың көпшілігі қарапайым теңдеулерді қиналмай шешетін болғанымен,
есептің мазмұны бойынша теңдеу құру олар үшін өте қиынға түседі. Сондықтан
да мазмұнды есептерді теңдеу құру арқылы шығару оқушыларға теңдеу ұғымын
меңгеруге, теңдеуді шеше білу біліктерін бекітуге және есеп мазмұнында
кездесетін өмірден алынған жағдайларды математикалық тілге аудара білуге
көмектеседі, оқушылардың ойлау әрекеттерін күшейтуге әсер етеді.
Теңдеу ұғымының мән-мағынасы ашу барысында басқадай алгебралық ұғымдары
тірек білім ретінде пайдалануға тура келеді. Сондықтан теңдеу ұғымы санды
теңдік, санды теңсіздік, санды өрнек, әріпті өрнек, тепе-теңдік сияқты
мәселелерімен ол теңдеуді шешу тәсілі мәндестік сақталатын
теңбе-тең түрлендіру жүргізумен байланысты. Сондықтан да осылардың
барлығының пәндік теориялық негіздемелеріне қысқаша шолу жасамақпыз. Ол
жайында көптеген әдебиеттерде Бастауыш мектепте математиканы оқытудың
теориясы және технологиясы, Жаңа буын оқулықтары бойынша бастауыш
сыныптарда математиканы оқыту әдістемесі [5,6] жеткілікті мағлумат
берілген.
Математикада әр алуан сөйлемдер қарастырылады. Солардың қайсы бірі табиғи
тілде сөздерден құралады, ал сөздер болса өз кезегінде қандай да бір
алфавиттің әріптерінен тұрады. Енді кейбіреулері арнайы математикалық
таңбалардан
символдардан құралады. Ал математика тілінің алфавиті цифрлардан
таңба-белгілерден , латын алфавитінің әріптерінен,
арнайы символдардан жақшалардан, үтірден және т.б. тұрады.
Математикалық алфавиттің таңбаларынан символдардан белгілі бір
ережелер бойынша сөздер және сөйлемдер түзіледі. Осындай сөйлемдердің
мысалдарына мына сияқты жазулар жатады: 12 : 3+5 қосынды , 4 * 45 -
3+47
айырма , 7+3 *5 көбейтінді , 7+32:3+4 бөлінді және
т.б. Бұларды сандық өрнектер дейді.
Сандақ өрнек дегеніміз сандардан, амалдардың таңбаларынан және
жақшалардан түзіледі құрастырылады. Жеке санның өзін де сандық өрнек деп
есептейді.
Өрнекте көрсетілген амалдарды біртіндеп орындаудың нәтижесінде шығатын
санды өрнектің мәні деп айтады.
Сандық мәні болмайтын өрнектердің де болуы мүмкін. Мұндай өрнектер
жайында, олардың мән-мағынасы болмайды дейді. Мысалы: 16:5-5; -16.
Санды өрнекті есептен шығарғанда амалдарды орындаудың рет-тәртібі
жайындағы мынадай ережелерді басшылыққа алады.
1. Егер сандық өрнектер жақшалар болмаса, онда оны бір-бірінен қосу және
азайту таңбалары арқылы ажыратылған бөліктерге бөлу керек және де
көбейтуді және бөлуді солдан оңға қарай ретімен орындап, әр бөліктің
мәнін есептеу керек, сонан кейін әр бөлікті өзінің мәнімен ауыстырып,
қосуды және азайтуды солдан оңға қарай ретімен орындап, өрнектің мәнін
табу керек.
2. Егер сандық өрнекте жақшалар болса, онда өрнектің сол жақтағы және оң
жақтағы жақшаларының арасындағы бөлігін және басқадай жақшалары жок
бөлігін алу керек, сол бөліктердің мәндерін 1ереже бойынша табу керек
және жақшаларды алып тастап, оларды шыққан мәндерімен алмастыру керек.
Егер осыдан кейін жақшасыз өрнек шықса, оның мәнін 1 ереже бойынша
есептеу керек. Керісінше болса 2 ережені қайталап қлдану керек.
Арифметикалық амалдарды орындаудың рет-тәртібінің ережелері бойынша
жақшасыз өрнектерде алдымен көбейту мен бөлуді соладан оңға қарай
ретімен, ал сонан кейін қосу мен азайтуды солдан оңға қарай ретімен
орындауға келісілген. Демек, көбейту мен бөлу екінші басқыштың, ал қосу мен
азайту – бірінші басқыштың амалдары деп есептеледі. Сонымен алдымен екінші
басқыштың, сонан кейін ғана бірінші басқыштың амаладры орындалады. Егер
сандық өрнекте дәрежеге шығару дәрежелеу және түбір табу амалдары болса,
онда бұлар үшінші басқыштың амалдары деп есептеледі және де жоғары
басқыштың амалдары болуы себепті, олар алдымен орындалады, ал содан кейін
екінші басқыштың және ең соғында бірінші басқыштың амалдары орындалады.
Егер теңдік = таңбасымен екі сандық өрнекті жалғастырып жазсақ, онда
сандық теңдік деп аталатын сөйлем шығады. Мысалы: 5+3=9-1; 5 * 3=45 : 15.
Логика тұрғысына келсек, сандық теңдік дегеніміз – пікір, демек ол ақиқат
немесе жалған болады.
Сандық өрнектердің теңдік қатынасы рефлексивтік, симметриялық және
транзитивтік қасиеттерге ие, яғни эквиваленттік қатынас болып табылады.
Айталық p, q, r қандай да бір сандық өрнектер болсын, сонда:
1 p=p
2 p=q= q=p
3 (p=q ^ q=p)= p=r.
Бұдан, егер p=q және r=t болса, мұндағы p, q, r, t – сандық
өрнектер, онда сәйкес амалдардың орындалуы мүмкін болғанда, мына
теңдіктердің де ақиқаттығы келіп шығады:
1 p+r=q+t ; 2 p-r=q-t; 3 p*r=q*t; 4 p:r=q
: t.
Ақиқат сандық теңдіктердің мынадай қасиеттері өте жиі қолданылады:
1 Егер ақиқат p=q сандық теңдіктің екі бөлігіне мән-мағынасы
болатын r сандық өрнекті мүшелеп қосса, онда шыққан p+r=q+t сандық
теңдік те ақиқат болады, яғни (p= q)= p+r-q+r.
2 Егер ақиқат p=q сандық теңдіктің екі бөлігін де мән-мағынасы
болатын r сандық өрнекке мүшелеп көбейтсе, сонда, шыққан pr=qr сандық
теңдік те ақиқат болады, яғни p=q= pr=qr.
Нақты сандарды қосу және көбейту амалдарының заңдары теңбе-теңдіктер
болып табылады. Ақиқат сандық теңдіктерде теңбе-теңдіктер болып есептеледі.
Мысалы: (а+b) c=ac+bc, кез-келген a, b, c R үшін.
а - b
--------------- = a + 2a + 4,
a≠2 болғанда
a – 2
Көпшілік жағдайларда, бір өрнекті, оған теңбе – тең болатын басқа
өрнекпен алмастырады. Ал, бір өрнекті онымен теңбе-тең болатын екінші
өрнекпен алмастыруды өрнекті теңбе-тең түрлендіру немесе қысқаша өрнекті
түрлендіру дейді. Сонда, күрделірек өрнекті алмастырған кезде, оны тек қана
қарайымдылық түрге келтіруді мақсат етіп қоймайды, мұнда қойылып отырған
мәселені тиімдірек және қолайлырақ шешуге баса көңіл бөлінеді.
Бір айнымалысы бар айнымалылы теңдеулер мен теңсіздіктер ұғымдарын
әр түрлі анықтайды. Солардың ішінен біздер тек қана екі вариантын
қарастырайық.
1. Осы ұғымдарды айнымалысы бар өрнек және предикат ұғымдары арқылы
анықтайық.
Егер х€Х болатын айнымалысы бар f1(x) және f2(x) өрнектерді
берілсін. Теңдік теңсіздік деп бір орынды f1(x)= f2(x), х€Х(f1(x))
f2(x), х€Х предикатты айтамыз. Ал теңдеуді теңсіздік шешу дегеніміз
теңдеуге теңсіздікке қойған кезде оны ақиқат теңдікке теңсіздікке
айналдыратын х айнымалының мәнін табу, яғни берілген предикаттың ақиқаттық
Т жиынын табу. Сонда f1(x)= f2(x), х€Х(f1(x)) f2(x), х€Х предикатының
ақиқаттық жиынын теңдеудің теңсіздіктің шешулер жиыны, ал, сол жиынға
тиісті сандарды теңдеудің түбірлері теңсіздіктің шешулері дейміз.
Есте болатын бір жай, f1(x)= f2(x), (f1(x)) f2(x)), теңдеуін
теңсіздігін шешпес бұрын f1(x) және f2(x) өрнектері нақты мәндерге ие
болатындай D жиынын тауып алған қолайлы. Бұл жиынды х айнымалының мүмкін
мәндерінің облысы немесе теңдеудің теңсіздіктің анықталу облысы дейді.
2. Енді теңдеу теңсіздік ұғымын функция ұғымы арқылы анықтайық. Айталық

f1(x) ) және f2(x) функциялары берілсін. Егер , f1(x)= f2(x)
(f1(x)) f2(x)), теңдігіне теңсіздігіне қатысты, айнымалының оны тура
санды теңдікке теңсіздікке айналдыратын барлық мәндерін табу мәселесі
қойылса, онда бір айнымалысыбар теңдеу теңсіздік берілген дейді. Теңдеуді
теңсіздікті ақиқат теңдікке теңсіздікке айналдыратын айнымалы мәндерін
теңдеудің теңсіздіктің түбірі деп атайды. Теңдеуді теңсіздікті шешу
дегеніміз оның түбірлерінің шешулерінің жиынын табу немесе оның жоқ
екенін дәлелдеу. Осы жиынды теңдеудің теңсіздіктің шешуі деп те айтады.
Айнымалы х-тің екі
f1(x) және f2(x) өрнектерінің де қатарынан мән-мағынасы болатын
мәндерінің жиынын теңдеудің теңсіздіктің анықталу облысы дейді. Ал
теңдеудің теңсіздіктің анықталу облысын тағайындау үшін берілген f1(x)
) және f2(x) функциялары анықталатын жиындардың қиылысуын табу қажет.
Егер f1(x)= f2(x) және q1(x) =q2(x) теңдеулері шешулерінің жиындары
тең болса, яғни бірінші теңдеудің әрбір шешуі екінші теңдеуді де
қанағаттандырса және керісінше, екінші теңдеудің кез-келген шешуі бірінші
теңдеуді де қанағаттандырса, онда оларды мәндес немесе эквиваленті деп
атайды. Сонымен бірге екі теңдеудің де анықталу облысын бір ғана Х хиыны
деп есептейді.
Егер f1(x)= f2(x) теңдеуі шешулерінің жиыны q1(x) =q2(x) теңдеуі
шешулерінің ішкі жиыны болса, онда екінші теңдеу бірінші теңдеудің салдары
деп аталады. Егер екі рет теңдеудің бірі екіншісінің салдары және керісінше
болса, онда осындай екі теңдеуді мәндес деп айтады.
Егер q(x) өрнегі х€Х айнымалының барлық мәндерінде анықталған болса,
онда f1(x)= f2(x), х€Х (1) және f1(x)+ q(x)= f2(x)+ q(x), х€Х 2
теңдеулері мәндес болады.
Егер артық немесе кем не таңбасымен екі сандық өрнекті
жалғастырып жазсақ, онда сандық теңсіздік деп аталатын сөйлем шығады.
Логика тұрғысынан келсек, сандық теңсіздік дегеніміз – пікір, демек,
ол ақиқат немесе жалған болады.
Осы жерде ескерте кетейік, сандық теңсіздік пен теңдік пікірлер
боле\уы себепті, оларға конъюкция, дизъюкция, импликация және т.б.
логикалық операцияларды амалдарды қолдануға болады.
Кем артық қатынастары – қатаң сызықтық қатынас болып табылады,
яғни ол асимметриялы және транзитивті.
Айталық p, q, r – қандай да бір әр түрлі сандық өрнектер болсын
сонда:
1. pq және qp қатарынан орындала алмайды, яғни pq сөйлемінен qp
келіп шықпайды және ... жалғасы

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.