Теңдеулер жүйесін шешу


Мазмұны
Кіріспе . . . . . . 3
1 Екі айнымалысы бар симметриялық теңдеулер
1. 1 Екі айнымалысы бар симметриялық көпмүшелер және оның шығу тарихы . . . 5
1. 2 Симметриялық көпмүшеліктің анықтамалары . . . 13
1. 3 Екі айнымалы бойынша симметриялы көпмүшеліктер туралы теорема . . . 14
1. 4
1. 5 Негізгі теореманың дәлелдеуі . . . 17
1. 6 Симметриялық көмпүшелердің элементар алгебрада қолданылуы. Теңдеулер жүйесінің шығарылуы. . . . 18
1. 7 Қайтарымды теңдеулер . . . 23
1. 8 Симметриялық көпмүшеліктерді көбейткіштерге жіктеу . . . 28
2 Үш айнымалысы бар симметриялық теңдеулер
2. 1 Үш айнымалысы бар симметриялық теңдеулердің анықтамасы . . . 30
2. 2 Үш айнымалысы бар симметриялық көпмүшеліктер туралы негізгі теорема . . . 31
2. 3
2. 4 Бірмүшелердің орбиталары . . . 34
2. 5 Негізгі теореманың дәлелдеуі . . . 38
2. 6 Кері дәрежелік қосындылар . . . 40
3 Екі және үш айнымалыдан құралған симметириялық көпмүшелер есептердің шығарылуы және қасиеттерін жалпылау
3. 1 Екі айнымалысы бар симметриялық көпмүшелерге арналған есептер . . . 42
3. 2 Үш айнымалысы бар симметриялық көпмүшеліктерге арналған есептер . . . 48
Қорытынды . . . 52
Пайдаланылған әдебиеттер тізімі . . . 54
Кіріспе
Дипломдық жұмыс әртүрлі алгебралық есептерді шешуге арналған тиімді әдістерді қолдану жөнінде жазылған. Дипломдық жұмыс кіріспе, үш негізгі бөлімдерден, қорытындыдан тұрады. Мектепте алгебралық теңдеулер жүйелерін шешу кезінде ереже бойынша бір айнымалыны екіншісі арқылы өрнектеу әдісін қолдану ұсынылады. Бірақ жоғарғы дәрежелі теңдеулер жүйелерін шешуде бұл әдісті қолданып теңдеулер жүйелерінің дәрежелері жоғарлатып аламыз. Ал 4-ші және одан да жоғарғы дәрежелі теңдеулерді шешу оқушыға қиындық әкеледі.
Симметриялық көпмүшеліктердің қасиеттеріне негізделген әдіс, универсальді емес, бірақ қандай да бір анықталған шарттарға сүйенсек, теңдеулер жүйелерінің дәрежелерін төмендетуге болады. Сонымен қатар бұл әдіс басқа да алгебралық есептерді шешуге көмектеседі. Бірінші бөлім екі айнымалыдан құралған симметриялық көпмүшелер телориясының түсініктері мен фактілерін мазмұндауға арналған. Дипломдық жұмыс үш бөлімнен тұрады. Бірінші бөлімде екі айнымалысы бар симметриялық теңдеулер жайында айтылады.
Мұнда симметриялық көпмүшеліктерге мысалдар келтірілген, екі айнымалы бойынша симметриялы көпмүшеліктер туралы теорема, симметриялық көпмүшеліктерді
Екінші бөлімде үш айнымалысы бар симметриялық теңдеулер жайында айтылады. Мұнда симметриялық көпмүшеліктерге мысаладар келтірілген, үш айнымалы бойынша симметриялы көпмүшеліктер туралы теорема, симметриялық көпмүшеліктерді
Үшінші бөлімде екі және үш айнымалыдан құралған симметириялық көпмүшелер есептердің шығарылуы және қасиеттерін жалпылау енгізіледі.
Дипломдық жұмыстың өзектілігі: Егер есептің симметриялық шартын қолдансақ, элементар алгебраның көптеген есептерін шешу оңайға түседі. Бұл дипломдық жұмыста теңдеулер жүйесін, иррационал теңдеулерді, теңсіздіктерді шешкенде, теңсіздіктерді дәлелдегенде симметриялық көпмүшеліктерді қолдану жайлы айтылады. Бұл барлық есептер симметриялық көпмүшеліктер теориясына негізделген әдіспен шығарылады.
Мектеп оқулықтарында симметриялық көпмүшелерге арналған есептер көп кездеседі. Мектеп оқушыларына алгебраның ең қиын бөлімі жоғары дәрежелі теңдеулер жүйесі бөлімі болып саналады. Бірінші дәрежелі теңдеулер жүйесі ешқандай қиындық туғызбайды. Квадраттық теңдеулерді шешудің стандартты шешу жолы бар. Ал бірақ жоғары дәрежелі теңдеулерді шешу оқушыға қиынға соғады. Бұл дипломдық жұмыста қарастырылатын әдістің ерекшелігі жоғарғы дәрежелі теңдеулердің дәрежесін көбейтпейді, керісінше теңдеулер дәрежелерін азайтады. Бұдан есепті шешу оңайға түседі.
Дипломдық жұмыстың мақсаты: Жоғары дәрежелі теңдеулер жүйелерін симметриялық теорияны қолданып жалпы әдіспен шешу, элементар математика, алгебрада симметриялық көпмүшеліктердің қасиеттерін қарау, есептерді шығарып көрсету. Бұл әдіс универсалды емес және ерекше де емес. Себебі, барлық жүйелерге қолданыла бермейді. Бірақ бұл әдіс көптеген жүйелерде қолданылады және оқушыға көп кездеседі. Бұл әдіс симметриялық көпмүшеліктер деп аталатын теорияға негізделген. Бұл теория өте қарапайым және көптеген алгебралық теңдеулер жүйесін шешіп қоймай, басқада алгебралық есептерді (иррационал теңдеулерді шешу, теңдеулер мен теңсіздіктерді, көбейткіштерге жіктеу және т. б. ) шешуге көмектеседі.
Ол үшін біз екі айнымалы негізінде үш айнымалы көпмүшеліктердің қасиеттерін қараймыз.
Дипломдық жұмыстың міндеті: Симметриялық көпмүшеліктерді мынадай есептер шешу үшін қолданамыз:
1) алгебралық теңдеулер жүйесін шешу;
2) иррационал теңдеулер жүйесін шешу;
3) квадрат теңдеулердің есептерін шешу;
4) жоғары дәрежелі теңдеулерді шешу;
5) қайтарымды теңдеулерді шешу;
6) жоғары дәрежелі теңдеулерді симметриялық көпмүшеліктерге жіктеу арқылы теңдеулерді шешу.
Жұмыста келесі мәселелер қарастырылады:
Теорема: Егер
Дәрежелік қосындыны есептеу тәсілі:
Дәрежелік қосындыны есептеу тәсілі : Рекурренттік қатынас болып табылатын
1 Екі айнымалысы бар симметриялық теңдеулер
1. 1 Екі айнымалысы бар симметриялық көпмүшелер және оның шығу тарихы
Табиғатта, техникада және тұрмыста кейбір денелердің өзара ұқсас, үйлесімді орналасуын симметрия деп атайды. «Симметрия» грек сөзінен алынған «үйлесім» сөзі сияқты бірдей өлшемділікті, белгілі бір реттілікпен орналасқан деген ұғымды білдіреді.
Симметрия ұғымымен барлық жерде - табиғатта, техникада, өнерде, ғылымда жиі ұшырасамыз. Симметрия ұғымы адам шығармашылығының көпғасырлық тарихымен тығыз байланысты. Симметрия принципі физика мен математикада, химия мен биологияда, техника және архитектурада, поэзия мен музыкада маңызды роль атқарады.
Симметрия табиғаттың негізгі фундаментальды қасиеті болып табылады. Ескерткіштерді археологиялық зерттеулер нәтижесі адамзаттың мәдениетінің қалыптаса бастаған кезеңінен бері олардың симметрия туралы ұғым болғанын және суреттер мен тұрмыстық заттарында бейнелеп көрсете білгенін дәлелдеді. Өзінің барлық өмірін симметрияны зерттеуге арнаған академик А. В. Шубников (1887 - 1970) симметрияны алғашқы өндірісте қолану тек эстетикалық мотивке негізделмеген, сондай-ақ белгілі мөлшерде дұрыс формаларды практикада қолданудың жарамдылығына деген адамның сенімділігіне де байланысты болған деген ұйғарым жасады.
Симметрия органикалық емес, әлем мен тірі табиғатта түрлі құрылымдар кездеседі және маңызды рөлге ие.
Симметрия әр түрлі болады. Симметрияның ең қарапайым түрі - түзуге қатысты симметрия. Егер түзу бойымен бүктегенде жазықтықтағы екі фигура бір-бірімен беттесетін болса, ондай фигуралар түзуге қатысты симметриялы фигуралар деп аталады.
Симметриялы фигуралар өзара тең болады.
Егер түзу фигураны симметриялы екі бөлікке бөлсе, онда ондай фигура осьтік симметриялы фигура деп аталады, ал түзу сол фигураның симметрия осі деп аталады. Тік төртбұрыш, квадрат, шеңбер - осьтік симметриялы фигуралар. Тік төртбұрыштың екі симметрия осі бар, квадраттың төрт симметрия осі бар. Шеңбердің кез келген диаметрі арқылы өтетін түзу оның симметрия осі болады. Сондықтан шеңбердің симметрия осьтері шексіз көп. Бұрыш - осьтік симмтриялы фигура. Бұрыштың симметрия осі бойындағы бұрыштың төбесінен басталатын сәулені биссектриса деп атайды. Бұрыштың биссектрисасы оны градустық өлшемтері тең екі бұрышқа бөледі.
Симметрияның екінші түрі - нүктеге қатысты симметрия.
О нүктесіне қатысты симметриялы нүктелер фигураның өзінде жатса, ол фигура центрлік симметриялы фигура деп аталады. О нүктесі фигураның симметрия центрі деп аталады. Тік төртбұрыш, шеңбер, кесінді - центрлік симметриялы фигуралар. Тік төртбұрыштың қарама-қарсы төбелерін қосатын кесінді диагональ деп аталады. Тік төртбұрыштың диагональдарының қиылысу нүктесі - оның симметрия центрі. Шеңбердің симметрия центрі - шеңбердің центрі болатын О нүктесі. Кесіндіні тең екі бөлікке бөлетін О нүктесі - оның симметрия центрі.
Координаталық жазықтықтағы координаталар басы О нүктесіне катысты симметриялы нүктелердің координаталары қарама-қарсы сандар болады.
Табиғатта симметрияның 2 түрі «билатеральды» және «радиальды» кездеседі. 19 ғасырдың зерттеулер нәтижесінде Жердің тарту күші әсерінен табиғаттағы формалар әрбір нүктесінде конустық симметриялы болатыны жөнінде айтылған болатын. Табиғаттағы денелер формасы осы заңға бағынады: «Өсетін немесе вертикаль қозғалатындар, яғни жер бетіне қатысты жоғары-төмен қозғалатындар «радиальды» симметрияға, ал жер бетіне қатысты горизанталь өсетін немесе қозғалатындар «билатеральды» симметрияға бағынады.
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
Оқушыларға алгебрадағы ең қиын бөлімдерінің бірі жоғары дәрежелі теңдеулер жүйесін шығару болып табылады.
Бір белгісізбен квадраттық теңдеулер үшін
стандартты түрін көрсететін мынадай формула шығады:
Бірінші дәрежелі теңдеулер үшін де стандартты түрде шығарылуы бар (белгісізді жою, коэффициенттердің теңдігі және т. б. ) . Бірақ жоғары дәрежелі теңдеулерді шығару үшін қиынырақ болады.
Көбінесе мұндай жүйелерді шығарғанда белгісіздерді жою әдісі қолданылады. Келесі мысалда бұл әдіс көрсетіледі:
Бірінші теңдеуде
өрнекті ықшамдағаннан кейін мынадай теңдеу шығады:
,
оны шығара отырып, екі түбірін табамыз:
Табылған әрбір түбіріне
Тексеру кезінде жауаптарының екеуі де
теңдеулер жүйесін қанағаттандыратынын көрсетеді.
Белгісіздерді жою әдісі жалпы болып табылады. Теориялық жағынан қарағанда, кез келген жүйеден екі алгебралық теңдеуде екі белгісіз үшін бір белгісіз мүшені жойып екінші белгісіз мүшесі болатын теңдеуді шығаруға болады. Бірақ белгісіздерді жою әдісі әрқашанда тиімді болмайды. Кейбір жағдайларда белгісіздерді жою әдісі жоғары дәрежелі теңдеулер жүйесіне әкеліп соқтырады (жүйе арқылы шығарылу, қиындық туғызады) . Егер бірінші теңдеулер жүйесінің (екі белгісіз мүшелері болса) дәрежесі n, ал екіншісінің дәрежесі m болса, онда жоюдан кейін, анықтама бойынша, mn дәрежесіндегі теңдеу жоғары алгебрада бар екенін дәлелдейді.
Мысалы, мынадай жүйені алайық
Бірінші теңдеуден:
Сол сияқты екінші теңдеуден:
Бірақ бұл теңдеу 6-шы дәрежелі (
Бұл қиындықтар туғанда жою әдісі (жоғары дәрежелі теңдеулер жүйесін шығарғанда) мектепте сирек қолданылады. Көбінесе бұл жүйені жасанды әдіспен шығарады. Бірақ жалпы анықтама бойынша мұндай әдістер қолданылмайды. Әрбір жүйе өзінің тәсілімен шығарылады, және бір жүйені шығару кезінде алынған тәжірибе, екінші жүйені шығару кезінде аз көмек береді. Нәтижесінде мектептегі математикада бұл бөлім оқушыларға өте қиын болып көрінеді және әрбір жүйенің шығару тәсілдері әр түрлі болып келеді.
Бұл дипломдық жұмыста жоғары дәрежелі теңдеулер жүйесінің жалпы шығару әдісінің тиімді жолдары көрсетіледі. Бұл әдістер жою әдісі сияқты барлығына қолданыла бермейді, ол кез келген жүйеге сәйкес келмейді. Бірақ бұл әдісті оқушылар көбінесе барлық жүйелерге қолданылады. Расында да жою әдісімен салыстырғанда бұл әдіс теңдеудің дәрежесін жоғарлатпай, керісінше төмендетеді.
Айтылып отырған әдіс симметриялық көпмүшеліктер теориясына сүйеніп шығарылады. Кез келген адам бұл әдіске қарап мынадай жағдайларды ескереді: өте жиімді және жеңіл; алгебралық жүйелерді шығаруға көмектеседі (иррационалдық теңдеулерді шығару, тепе-теңдіктер мен теңсіздіктерді дәлелдеу, көбейткіштерді жіктеу және т. б. ) . Бұл дипломдық жұмыста есептер шығарылып көрсетіледі. Есептердің ішінде күрделі есептер шығарылып, ал кейбіреулері математикалық олимпиадаларда да қолданылады. Симметриялық көпмүшеліктер теориясы көмегімен бұл күрделі есептердің шығару жолы жеңілдетіледі, стандарт түрге келеді.
Жалғыздық теоремасы 1. 1. 1: Егер
(1. 1. 1)
Жалғыздық теоремасы (1. 1. 1) тұжырымнан шығатынын көрсетейік.
Сонда (1. 1. 1) тұжырымы дұрыс болса, онда
(1. 1. 1) тұжырымдамасын дәлелдеу үшін бізге екі айнымалысы бойынша үлкен мүшенің көпмүшелігі туралы түсінігі керек.
Келесі лемманы дәлелдейік:
Бірмүшенің үлкен мүшесі, жақшаны ашқаннан кейін
\[X^{k+l}y^{l}\]
тең.
Расында да (1. 1. 4) өрнегін былай көрсетуге болады:
.
k рет
Ең үлкен көрсеткіші болған мүше х бойынша шығады, егер әрбір жақшадағы х-ті алсақ. Сонда жақшалардың саны k-ға тең болса, онда бұл мүшенің түрі
(1. 1. 4) өрнегі
Енді (1. 1. 1) тұжырымдамасының сөйлемін дәлелдеуге көшейік. Бізге
Мысалы, егер
болса, онда біз бірінші
Енді біз
- Іс жүргізу
- Автоматтандыру, Техника
- Алғашқы әскери дайындық
- Астрономия
- Ауыл шаруашылығы
- Банк ісі
- Бизнесті бағалау
- Биология
- Бухгалтерлік іс
- Валеология
- Ветеринария
- География
- Геология, Геофизика, Геодезия
- Дін
- Ет, сүт, шарап өнімдері
- Жалпы тарих
- Жер кадастрі, Жылжымайтын мүлік
- Журналистика
- Информатика
- Кеден ісі
- Маркетинг
- Математика, Геометрия
- Медицина
- Мемлекеттік басқару
- Менеджмент
- Мұнай, Газ
- Мұрағат ісі
- Мәдениеттану
- ОБЖ (Основы безопасности жизнедеятельности)
- Педагогика
- Полиграфия
- Психология
- Салық
- Саясаттану
- Сақтандыру
- Сертификаттау, стандарттау
- Социология, Демография
- Спорт
- Статистика
- Тілтану, Филология
- Тарихи тұлғалар
- Тау-кен ісі
- Транспорт
- Туризм
- Физика
- Философия
- Халықаралық қатынастар
- Химия
- Экология, Қоршаған ортаны қорғау
- Экономика
- Экономикалық география
- Электротехника
- Қазақстан тарихы
- Қаржы
- Құрылыс
- Құқық, Криминалистика
- Әдебиет
- Өнер, музыка
- Өнеркәсіп, Өндіріс
Қазақ тілінде жазылған рефераттар, курстық жұмыстар, дипломдық жұмыстар бойынша біздің қор #1 болып табылады.

Ақпарат
Қосымша
Email: info@stud.kz