Көпмүшенің түбірлері

Жұмыс түрі: Курстық жұмыс
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 24 бет
Таңдаулыға:

Мазмұны

Кіріспе ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . 3
1 Комплекс сандар ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..4
1.1 Комплекс сандардың өрісі ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...4
1.2 Комплекс санның түйіндесі және модулі ... ... ... ... ... ... ... ... ..6
1.3 Комплекс санның тригонометриялық тұлғасы ... ... ... ... ... ... ...7
1.4 Комплекс сандарды тригонометриялық тұлғада көбейту және
дәрежеге шығару ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .9
1.5 Комплекс санның көрсеткіштік тұлғасы ... ... ... ... ... ... ... ... ..10
1.6 Кез келген комплекс санның түбірлері ... ... ... ... ... ... ... ... ... 13
2 Көпмүшелер ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .15
2.1 Көпмүшелер сақинасының анықтамасы ... ... ... ... ... ... ... ... .. 15
2.2 Көпмүшенің дәрежесі ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..18
2.3 Көпмүшені х - х0 екімүшесіне қалдықпен бөлу. Безу теоремасы ... 18
2.4 Көпмүшенің түбірлері ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . 21
2.5 Қалдықпен бөлу туралы теорема ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 23
2.6 Евклид алгоритмі ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 25
2.7 Өрісте жіктелмейтін көпмүшелер ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...28
2.8 Өрістегі көпмүшені жіктелмейтін көбейткіштерге жіктеу ... ... ... ..29
3. Көпмүшенің жіктелмейтін еселі көбейткіштері және
еселі түбірлері ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 31
3.1 Көпмүшені x – c айырымының дәрежелері бойынша жіктеу ... ... ..31

3.2 Көпмүшенің еселі жіктелмейтін көбейткіштері ... ... ... ... ... ... .. 32

3.3 Көпмүшенің еселі түбірлері ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...32
4 Комплекс сандар өрісінің алгебралық тұйықтығы ... ... ... ... ... ... .35
4.1 Алгебраның негізгі теоремасы ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...35
4.2 Нақты көпмүшенің жорамал түбірлерінің түйіндестігі ... ... ... ... 36
4.3 Рационал бөлшектер ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 39
4.4 Үшінші дәрежелі теңдеулер ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. 43
4.5 Нақты кубтық теңдеулер ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...46
4.6 Төртінші дәрежелі теңдеулер ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..48
Қортынды ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . ..50
Қолданылған дебиеттер
тізімі ... ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... .51

Кіріспе

Қысқаша тарихи мәлімет

Комплекс сан үғымы тұңғыш рет XVI ғасырда итальяндықтар Дж. Кардано
және Р. Бомбелли қарастырған дискриминанты теріс квадрат теңдеулердің,
әсіресе кубтық теңдеулердің, шешімдеріне байланысты шыққан ұғым. 1572 жылы
шыққан Алгебра атты кітабында Р. Бомбёлли комплекс сандарға арифметикалық
операциялар колданған.
Алғашкы кезде комплекс сандардың іс жүзінде нақты түрде түсінігі (ин-
терпретациясы), болмағандықтан ондай түбірлерді мүмкін емес, жорамал
деп санап, ондай түбірлері бар теңдеулерді түбірі жоқ теңдеулер қатарына
қосатын болған. Комплекс сандардың жан-жақты қолданылуы тек XVIII ға-сырда
басталады. Міне осы кезде комплекс сандардың интегралдық есептеуде
механикада және геометрияда қолданулары комплекс аргументті функциялар-ды
қарауға әкеп соқты. Осы мәселелер жайындағы зерттеулерде туған жері
Швейцария болса да, отыз жылдан аса Петербург академиясында жұмыс істеп,
өзін орыс ғалымымын деп атап өткен Леонард Эйлер (1707—1783) мен француз
математигі және философы Даланбердің (1717—1783) үлесі көп.
Комплекс сандарға жазықтықтағы нүкте не вектор деп геометриялық тү-
сінікті 1797 жылы даниялық жер өлшеуші К. Вессель (1745—1818) берген,
бірақ тек атақты неміс математигі Карл Фридрих Гаусстың (1777-1855)
комплекс сандарды арифметикаға, алгебраға, геометрия және математикалық
анализге қолданған еңбектерінен кейін ғана көпшілік комплекс сандардың
геометриялық мағынасын қолданып, оны толық пайдалана бастайды. Ма-
тематикаға комплекс сан терминін қіргізген де, жоғарғы алгебраның негізгі
теоремасының толық дәлелдеуін тұңғыш рет (1799) ұсынған да К. Гаусс.
XIX ғасырдың аяғында жиындар теориясының дамуына байланысты комплекс сан
х+іу екі нақты сан х пен у-тің реттелген. пары (х, у) түрінде қаралуы
комплекс сандардың геометриялық кескінінен ешбір кем емес екендігі де
кейінгі кезде белгілі болып отыр[10].
Өзектілігі: Комплекс сандар мен көпмүшелер Алгебра және сандар
теориясы атты жоғары оқу орнындағы пәнінде өтіледі. Мектепті алсақ, осы
тақырып математиканы тереңдетіп оқытатын сыныптарда кездеседі.
Мақсаты: Комплекс сандар, олардың қасиеттері, комплекс сандарға
қолданатын амалдарын, комплес сандардың геометриялық тұлғасын, көрсеткіштік
тұлғасын, көпмүшелердің бөлінгіштігін, Безу теоремасын, көпмүшенің
түбірлерін, көпмүшелердің ең үлкен ортақ бөлгішін, алгебраның негізгі
теоремасын, кейбір үшінші және төртінші дәрежелі көпмүшелердің түбірлерін
анықтаудың жолдарын қарастыру.
Міндеттері: Қарастырылған тақырып бойынша алған білімдерімді мектеп
тәжірибиемде қолдану.

Комплекс сандар

1 Комплекс сандардың өрісі

Анықтама 1.1.1 Комплекс сан деп a + bi түріндегі өрнек аталады, мұндағы
a, b – нақты сандар және i – жорамал бірлік деп аталатын арнайы символ.
Комплекс сандарды басқаша Гаусс сандары деп те атайды.
Комплекс сандар жиыны C деп белгіленеді:
C = {a + bi (a, b ( R}
Егер екі z1 = (a1 + b1i), z2 = (a2 + b2i) комплекс санға a1 = a2 және
b1 = b2 болса, онда z1, z2 сандары тең деп есептеледі.
0 + 0(i комплекс саны нөлдік комплекс сан деп аталады және 0 деп
белгіленеді, 1 + 0(i саны бірлік комплекс сан деп аталады және 1 деп
белгіленеді.
Егер z = a + bi комплекс саны берілсе, онда a саны z санының нақты
бөлігі, b жорамал бөлігі деп аталады. Олар сәйкесінше Re z және Im z деп
белгіленеді.
Жорамал бөлігі нөл болатын комплекс сан, a + 0(i түріндегі сан, нақты a
санымен теңестіріледі, ал нақты бөлігі нөл болатын сан, 0 + bi түріндегі
сан, таза жорамал сан деп аталады.
Комплекс санын z = a + bi түріндегі жазуы z санының алгебралық тұлғасы
деп аталады.
Комплекс сандардың қосындысы
(a1 + b1i) + (a2 + b2i) = (a1 + a2) + (b1 + b2)i
және көбейтіндісі
(a1 + b1i)(a2 + b2i) = (a1b1 – b1b2) + (a1b2 + a2b1)i
формулаларымен анықталады.
Көбейту формуласынан i2 = i(i = (0 + 1(i)(0 + 1(i) = –1 екені шығады.
Сөйтіп, i2 = –1.
Теорема 1.1.1 Комплекс сандардың C жиыны анықталған қосу және көбейту
операцияларына қатысты өріс құрайды.
Дәлелдеу. Комплекс сандардың C жиыны анықталған қосу және көбейту
операцияларына қатысты коммутатив сақина құрайтынын Гаусс сандарға сияқты
дәлелдеуге болады.
Нолден өзгеше z = a + bi комплекс саны берілсін. Онда a ( 0 немесе b (
0, сондықтан a2 + b2 ( 0. Енді z санын = a + (–b)i санына көбейтейік:
z ( =
(a + bi)( a – bi) = a2 + b2. Осыдан z–1 = ( a – bi) = +
i. Сөйтіп, кез келген нөлден өзгеше z = a + bi комплекс санына кері
комплекс сан табылады. Сондықтан комплекс сандар жиыны өріс құрайды.
Анықтама 1.1.2 Сандар өрісі деп өзі өріс болатын комплекс сандар
өрісінің кез келген і-ші жиыны аталады.
Сан ұғымы қазір былай кеңейтіледі. Әуелі натурал сандар N = {1, 2,...}
жиынында қосу және көбейту операциялары беріледі. Одан кейін бүтін сандар Z
сақинасы натурал сандар жиынын қамтитын ең кіші сақина деп анықталады. Одан
кейін рационал сандардың Q өрісі бүтін сандар сақинасын қамтитын ең кіші
өріс деп анықталады. Атап айтқанда, рационал сандар өрісі бүтін сандар
сақинасының бөлінділер өрісі болады. Енді нақты сандар рационал сандардан
құралған жинақталатын тізбектердің шектері деп анықталады. Ол математикалық
анализ курсында қаралады.
1-теоремада нақты сандар өрісі комплекс сандар С өрісіне дейін
кеңейтілді. Сөйтіп, сан ұғымының дамуын N ( Z ( Q ( R ( C тібекшемен
көрсетуге болады. Ал сан ұғымын одан әрі кеңейтуге бола ма деген сұрақ
туады. XIX ғасырда ағылшын математиктері Гамильтон мен Кэли комплекс сандар
өрісін екі түрде ғана кеңейтуге болады. Бірінші жол кватерниондар K4
денесіне дейін, екінші жол Кэли алгебрасына немесе октавалар алгебрасына
деп аталатын алгебраға дейін. Кеңейтілсе де, кватерниондарға көбейту
коммутатив операция болмайды, ал октаваларға көбейту коммутатив және
ассоциатив операция болмайды [1].

2 Комплекс санның түйіндесі және модулі

Анықтама 1.2.1 Комплекс z = a + bi саны үшін = a – bi саны
түйіндес сан деп аталады.
z пен бір-біріне түйіндес екенін көруге болады.
Анықтама 1.2.2 z = a + bi саны үшін z = шамасы z санының
модулi деп аталады.
Теорема Кез келген комплекс z, z1, z2 сандары үшін келесі қасиеттер
орындалады.
1) = + ;
2) = –;
3) = ( ;
4) z ( R болғанда, сонда ғана = z болады;
5) z( = z 2;
6) z ( 0 және z = 0 болғанда, сонда ғана z = 0;
7) = ;
8) z1 + z2 ( z1 + z2 (үшбұрыш теңсіздігі);
9) z1 – z2 ( z1 – z2 ( z1 + z2 .
Дәлелдеу. z = a + bi, z1 = a1 + b1i, z2 = a2 + b2i болсын.
1. = (a1 + a2) – (b1 + b2)i = (a1 – b1i) + (a2 – b2i) =
+ .
2. Анықтама бойынша, = a – bi, – = (–a) + bi. Одан әрі –z =
–(a + bi) = (–a) + (–b)i. Осыдан = (–a) – (– b)i = (–a) + bi.
Сондықтан = –.
3. Бір жағынан = = = (a1a2 – b1b2) – (a1b2 + b1a2)i.
Екінші жағынан ( = (a1 – b1i) ( (a2 – b2i) = [a1a2 –
(–b1)(–b2)] + [a1(–b2) + (–b1)a2]i = (a1a2 – b1b2) – (a1b2 + b1a2)i.
Сондықтан = ( .
5. = (a + bi)(a – bi) = a2 – (bi)2 = a2 + b2 = = z 2.
7. = (a1a2 – b1b2) + (a1b2 + a2b1)i = = = =
= = = .
8. Теңсіздікті z2 = 0 болғанда орындалатынын дәлелдеу керегі де жоқ.
Одан әрі z2 ( 0 болсын.
Әуелі z + 1 ( z + 1 теңсіздігін дәлелдейік.
5-қасиет бойынша, z + 1 2 = (z + 1)( + 1) = 2 + z +
+ 1, ал z + = 2a ( = 2 z . Сондықтан z + 1 2 ( ( z +
1)2. Осыдан z + 1 ( z + 1.
Енді z1 + z2 = z2(z1z2–1 + 1) = z2 z1z2–1 + 1 . Жаңа ғана
дәлелдегеніміз бойынша, z2 z1z2–1 + 1 ( z2 ( z1z2–1 + 1) =
z2 (z1z2–1 + 1) = z1 + z2 . Сондықтан z1 + z2 ( z1 +
z2 .
Комплекс сандардың бөліндісі комплекс сан болады,

1.3 Комплекс санның тригонометриялық тұлғасы

Комплекс z = x + yi санының алгебралық тұлғасы деп аталған, мұндағы x,
y ( R.
Кез келген z = x + yi комплекс саны координаталық жазықтықта M(x, y)
нүктесімен немесе векторымен кескінделеді. Комплекс сандардың және
жазықтықтың нүктелері арасындағы сәйкестік өзара бірмәнді болады. Сондықтан
комплекс сандарды оларға сәйкес нүктелермен теңестіреді және координаталық
жазықтықты комплекс жазықтық деп атайды.
OX осі нақты ось, OY осі жорамал ось деп аталады.
OM кесіндінің ұзындығы оған сәйкес z санының модуліне тең: OM = z
= .
Енді z = x + yi комплекс саны координаталық жазықтықта M(x, y)
нүктесімен кескінделсін. Ал ОМ кесіндісі OX осімен жасайтын бұрыш ( болсын
(оң бағытта, яғни сағат тіліне қарсы бағытта). Осы ( бұрышы z санының
аргументі деп аталады және Arg z деп белгіленеді.
Одан әрі OM = z = , cos ( = , sin ( = . Ал cos (
және sin ( функциялары периодты және олардың периоды 2( болғандықтан Arg z
= ( + 2(k, k ( Z. Әдетте, 0 ( ( 2( болса, онда ( мәні аргументтің бас
мәні деп аталады және arg z деп белгіленеді. Осыдан z = x + yi = z cos (
+ z sin ((i = z (cos ( + isin ().
Сөйтіп,
z = z (cos ( + isin (). (1)
Бұл z санының тригонометриялық тұлғасы деп аталады. 1- сурет
Түйіндес z = a + bi және = a – bi сандары нақты оське қатысты
симметриялық нүктелермен, қарама-қарсы z, –z нүктелері координаталар басына
қатысты симметриялы нүктелермен кескінделеді[2].

2 - сурет 3 – сурет

Комплекс z1 = a + bi, z2 = c + di сандары M1(a, b), M2(c, d)
нүктелерімен кескінделсе, онда z1 + z2 = (a + c) + (b + d)i саны M3(a + c,
b + d) нүктесімен кескінделеді. Бұл және векторларын қосқанда,
векторы параллелограмм ережесімен анықталады.

4 - сурет

7 Комплекс сандарды тригонометриялық тұлғада көбейту және дәрежеге
шығару

Теорема Комплекс сандары тригонометриялық тұлғасында берілсін: z =
z (cos ( + isin (), z1 = z1 (cos (1 + isin (1), z2 = z2 (cos (2 +
isin (2). Онда
1) z1·z2 = z1 · z2 ·[cos ((1 + (2) + isin ((1 + (2)];
2) = [cos ((1 – (2) + isin ((1 – (2)];
3) zn = z n(cos n( + isin n(), n ( N;
4) (cos ( + isin ()n = (cos n( + isin n(), n ( N (Муавр формуласы).
Дәлелдеу. 1. z1·z2 = [ z1 (cos (1 + isin (1)][ z2 (cos (2 + isin
(2)] = z1 z2 (cos (1 + isin (1)(cos (2 + isin (2) = z1 z2 (cos
(1cos (2 – sin (1sin (2) + i(sin(1cos (2 + cos (1sin (2) = z1 · z2
·[cos ((1 + (2) + isin ((1 + (2)].
2. Енді z = (cos(–(2) + isin (–(2) )болсын. Онда 1-формула
бойынша, z2·z = z2··[cos ((2 – (2) + isin ((2 – (2)] = 1·(cos 0 +
isin 0) = 1. Сондықтан, z = z2–1, = z1· z2–1 = [ z1 (cos (1 + isin
(1)][ (cos(–(2) + isin (–(2)]. Осыдан 1-формула бойынша, = z1
[cos ((1 – (2) + isin ((1 – (2)] = [cos((1 – (2) + isin((1 –
(2)].
3. n = 1 үшін формула орындалады. Енді формула n ( 1 үшін орындалсын.
Онда zn+1 = zn·z = [ z n(cos n( + isin n()][ z (cos ( + isin ()].
Осыдан 1-формула бойынша, zn+1 = z n z [cos(n( + ( ) + isin(n( + ( )]
= z n+1[cos(n + 1)( + isin(n + 1)(].
Математикалық индукция принципі бойынша, кез келген натурал n үшін zn =
z n(cos n( + isin n().
4. Бұл 3-қасиеттің z = 1 жағдайы.

1.5 Комплекс санның көрсеткіштік тұлғасы

(cos ( + isin ()=eiφ Эйлер формуласынан, комплекс санның көрсеткіштік
тұлғасы шығады: z = a+bi= z (cos ( + isin ()=zeiφ

10 Бірдің түбірлері

Анықтама 1.6.1 Натурал n саны үшін zn = 1 болатын z комплекс саны
бірдің n-дәрежелі түбірі деп аталады.
Бірдің n-дәрежелі түбірлерінің жиыны Un деп белгіленеді.
Теорема 1.6.1. Бірдің n дәрежелі барлық түбірлерінің саны дәл n-ге тең
болады және олар
(k = cos + isin, k = 0, 1, ..., n – 1, (1)
формуласымен беріледі.
Дәлелдеу: (kn = (cos + isin)n = cos + isin =
cos(2(k) + isin(2(k) = 1, яғни, барлық (k бірдің түбір болады. Ал ,
, ..., сандары 2(-ден кем теріс емес әр түрлі сандар. Осы
бұрыштарға әртүрлі комплекс сандар сәйкес келеді. Сондықтан i ≠ j болса,
(I ≠ (j . Енді (k-лардан басқа бірдің түбірі жоқ екенін дәлелдейік.
Шынында, z = z (cos ( + isin () саны бірдің n-дәрежелі түбірі
болсын: zn = z n (cos n( + isin n() = 1. Осыдан z n (cos n( + isin
n() = 1, z ncos n( = 1, znsinn( = 0. Сондықтан z = 1, n( = 2(·m,
m ( Z. Енді m санын n ға қалдықпен бөліп, m = nq + k, 0 ( k n, түрінде
жазамыз. Осыдан z = cos + isin = cos + isin = cos
+ isin = cos + isin = (k, 0 ( k n. Сондықтан z = (k.

5 – сурет

Салдар. Бірдің n-дәрежелі түбірлеріне сәйкес нүктелер комплекс
жазықтықта центрі координаталар басында жататын бірлік шеңберге іштей
сызылған дұрыс көпбұрыштың төбелерінде жатады.
n = 6 жағдайы жоғарғы суретте көрсетілген.
Теорема 1.6.2. Бірдің n-дәрежелі түбірлерінің Un жиыны көбейту
операциясына қатысты коммутативтік топ құрайды.
Дәлелдеу. Егер u және v бірдің n-дәрежелі түбірі болса, онда un = 1
және vn = 1. Осыдан (uv)n = unvn = 1. Сондықтан бірдің n-дәрежелі
түбірлерінің көбейтіндісі де бірдің n-дәрежелі түбірі болады. Ал 1n = 1.
Сондықтан бірдің түбірлер жиынында 1 саны да болады. Ол көбейтуге қатысты
бейтарап элемент.
Егер u бірдің түбірі болса, онда un = 1. Осыдан u·un–1 = 1. Сондықтан u-
ға кері элемент un–1 саны болады. Ол да бірдің түбірі болады: (un–1)n =
(un)n–1 = 1.
Сөйтіп, бірдің n-дәрежелі түбірлерінің жиыны топ құрайды. Ал өрісте
көбейту коммутативтік болады. Сондықтан бірдің n-дәрежелі түбірлерінің Un
жиыны коммутативтік топ құрайды.
Анықтама 1.6.2 Егер бірдің n-дәрежелі n-нан кем оң дәрежелі түбір
болмаса, онда ол бірдің n-дәрежелі алғашқы түбірі деп аталады.
Басқа сөзбен айтқанда, комплекс z саны n-дәрежелі бірдің алғашқы түбірі
болады, егер zn = 1 және кез келген k, 0 k n, саны үшін zk ≠ 1 болса.
Теорема 1.6.3 1(. Комплекс z саны бірдің n-дәрежелі алғашқы түбірі
болады, сонда тек сонда ғана 1, z, z2,..., zn–1 сандары әртүрлі болады.
2(. Егер комплекс z саны бірдің n-дәрежелі алғашқы түбірі болса, онда
zk саны бірдің n-дәрежелі алғашқы түбірі болады, сонда тек сонда ғана k мен
n сандары өзара жай болады.
3(. Бірдің n-дәрежелі алғашқы түбірлерінің саны ((n) болады, мұндағы
((n) Эйлер функциясы, яғни n-нан кем және n-мен өзара жай сандардың саны.
Дәлелдеу. Комплекс z саны бірдің n-дәрежелі алғашқы түбірі және zi =
zj, n i ≥ j, болсын. Онда zi– j = 1 және 0 ≤ i – j n. Сондықтан i – j =
0 немесе i = j, өйткені z санының n-нан кем оң дәрежесі 1-ге тең бола
алмайды. Осыдан 1, z, z2,..., zn–1 дәрежелері әртүрлі болады.
Егер 1, z, z2,..., zn–1 дәрежелері әртүрлі болса, онда z саны бірдің n-
нан кем оң дәрежелі түбір болмайды.
2(. Комплекс z саны бірдің n-дәрежелі түбірі, 0 k n және d = (n, k)
болсын. Онда n = n1d, k = k1d, мұндағы (n1, k1) = 1.
Егер zk саны бірдің n-дәрежелі алғашқы түбірі болса, онда =
= = = 1. Сондықтан zk саны бірдің n1-дәрежелі түбірі
болады. Ал zk алғашқы түбір, сондықтан n1 = n. Осыдан d = 1 және n мен k
өзара жай болады.
Енді n мен k өзара жай және (zk)m = 1, 0 m ≤ n болсын. Онда zkm = 1
болғандықтан, kmn болу керек. Ал k мен n өзара жай, сондықтан
mn. Онда m = n болу керек, өйткені m ≤ n. Сондықтан zk санының 1-ге
тең болатын ең кіші оң дәрежесі (zk)n болады. Сөйтіп, zk саны бірдің n-
дәрежелі алғашқы түбірі болады.
3(. Бұл 2-қасиеттен және Эйлер функциясының анықтамасынан шығады.
Жоғары табылған бірдің 3-дәрежелі (0 = 1, (1 = – + i, (2 =
– – i түбірлерінің арасында алғашқы түбір (1 және (2 болады.
Бірдің 8-дәрежелі алғашқы түбірлері (1 = + i, (3 = – +
i, (5 = – – i, (7 = – i сандары болады [3].

1.7 Кез келген комплекс санның түбірлері

Анықтама. Комплекс z саны үшін un = z болатын u саны z санының n-
дәрежелі түбірі деп аталады.
Теорема 1.7.1 Нөлден өзге комплекс z санының n-дәрежелі түбірлерінің
саны дәл n болады. Егер ол сан z = z (cos ( + isin () тригонометриялық
тұлғасында болса, онда z санының n-дәрежелі түбірлері келесі формуламен
анықталады:
zk = (cos + isin, k = 0, 1, ..., n – 1. (2)
Дәлелдеу. 4-Теорема бойынша, zkn = [cos + isin] = z
[cos(( + 2(k) + isin(( + 2(k)] = z. Сондықтан барлық zk сандар z санының n
дәрежелі түбірлері болады және i ( j болса, онда zi ( zj. Енді осылардан
басқа түбір жоқ екенін дәлелдейміз. Айталық, u = u (cos ( + isin () үшін
un = z болсын. Онда un = u n(cos n( + isin n() = z (cos ( + isin ().
Осыдан u n = z , яғни u = , n( = ( + 2(m. Енді m санын n-ға
қалдықпен бөлейік: m = nq + k, 0 ( k n. Осыдан u = (cos +
isin) = (cos + isin) = (cos + isin) =
(cos + isin) = zk. Сөйтіп, u = zk.
Теорема 1.7.2 Комплекс u саны z санының n-дәрежелі түбірі және (
бірдің n-дәрежелі алғашқы түбірі болсын. Онда z санының барлық n-дәрежелі
түбірлері u, u(, u(2,..., u(n–1 сандары болады.
Дәлелдеу. Комплекс u саны z санының n-дәрежелі түбірі және ( бірдің n-
дәрежелі алғашқы түбірі болсын. Онда 7-теорема бойынша, 1, (, (2,..., (n–1
сандары бірдің әртүрлі n-дәрежелі түбірлері болады. Одан әрі i = 0, 1,...,
n–1 үшін (u(i)n = un((i)n = z( ((n)i = z. Сондықтан (i саны z санының n-
дәрежелі түбірі болады. Егер n i ≥ j ≥ 0 үшін u(i = u(j болса, онда (i =
(j. Сондықтан, 7-теорема бойынша, i = j. Осыдан n i j ≥ 0 үшін u(i ≠
u(j.

2. Көпмүшелер

2.1 Көпмүшелер сақинасының анықтамасы

Анықтама 2.1.1 Коммутатив K сақинасындағы көпмүше деп а0 + а1x + a2x2
+...+ anxn түріндегі формальды қосынды аталады, мұндағы n теріс емес бүтін
сан, ai ( K, x айнымал немесе белгісіз деп аталатын арнайы символ.
K сақинасындағы көпмүшелердің жиыны K[x] деп белгіленеді.
f(x) = а0 + а1x + a2x2 +...+ anxn көпмүшесінің ai элементтері f(x)
көпмүшесінің коэффициенттері, aixi қосылғышы мүшесі деп аталады. Жалғыз
мүшеден құралған aixi көпмүшесі бірмүше деп аталады. Коэффициенттері бәрі
нөлге тең көпмүше нөлдік көпмүше деп аталады және 0 деп белгіленеді.
Анықтама 2.1.2 Егер f(x) = а0 + а1x + a2x2 +...+ anxn және g(x) = b0 +
b1x + b2x2 +...+ bnxn көпмүшелеріне a0 = b0, a1 = b1,..., an = bn болса, онда
f(x) және g(x) көпмүшелері тең деп аталады.
Сонымен екі көпмүшенің сәйкес коэффициенттері тең болса, онда олар тең
болады.
f(x) = а0 + а1x + a2x2 +...+ anxn және g(x) = b0 + b1x + b2x2 +...+ bmxm
көпмүшелерінің қосындысы f(x) + g(x) = (а0 + b0) + (а1 + b1)х + (a2 + b2)x2
+ ...+ (аs + bs)xs деп анықталады, мұндағы s = max(m, n).
f(x) және g(x) көпмүшелерінің көбейтіндісінің h(x) = со + с1х + с2х2
+...+ сn+mxn+m көпмүшесі болады. Оның коэффициенттері сk = а0bk + а1bk–1 +
а2bk–2 +...+ аkb0 формуласымен есептеледі.
Теорема 9. Коммутатив K сақинасындағы көпмүшелердің K[x] жиыны
коммутатив сақина құрайды.
Дәлелдеу. Екі көпмүшенің қосындысы және көбейтіндісі көпмүше болатыны
анықтамадан шығады.
f(x) = а0 + а1x + a2x2 +...+ anxn, g(x) = b0 + b1x + b2x2 +...+ bnxn және
h(x) = c0 + c1x + c2x2 +...+ ckxk көпмүшелері берілсін, және s = max(m, n,
k) болсын.. Онда f(x) + [g(x) + h(x)] = (а0 + а1x + a2x2 +...+ asxs) + [(b0 +
c0) + (b1 + c1)x + (b2 + c2)x2 +...+ (bs + cs)xs] = [(а0 + (b0 + c0)] + [а1
+ (b1 + c1)]x + [a2 + (b2 + c2)]x2 +...+ [as+ (bs + cs)]xs = [(а0 + b0) +
c0] + [(а1 + b1) + c1]x + [(a2 + b2) + c2]x2 +...+ [(as+ bs) + cs]xs = [(а0 +
b0) + (а1 + b1)x + (a2 + b2)x2 +...+ (as+ bs)xs] + [c0 + c1x + c2x2 +...+ csxs]
= [f(x) + g(x)] + h(x). Берілген көпмүшелердің коэффициенттері K
сақинасының элементтері болғанлықтан, коэффициенттерге қосудың
ассоциативтілігі орындалады. Осы алдыңғы теңдіктерде қолданылды. Сөйтіп,
көпмүшелердің қосуына ассоциативтік ереже орындалады [4].
Нөлдік көпмүшені 0 = 0 + 0x + 0x2 +...+ 0xn деп келтіруге болады. Егер
f(x) = а0 + а1x + a2x2 +...+ anxn көпмүшесі берілсе, онда f(x) + 0 = (а0 +
а1x + a2x2 +...+ anxn) + (0 + 0x + 0x2 +...+ 0xn) = (а0 + 0) + (а1 + 0)х + (a2
+ 0)x2 + ...+ (аs + 0)xn = f(x). Осыған ұқсас 0 + f(x) = f(x) екенін де
көрсетуге болады. Сондықтан нөлдік көпмүше қосуға қатынасты бейтарап
элемент болады.
Енді f(x) = а0 + а1x + a2x2 +...+ anxn көпмүшесі үшін g(x) = (–а0) +
(–а1)x + (–a2)x2 +...+ (–an)xn деп алайық. Онда қосудың анықтамасы бойынша,
f(x) + g(x) = [а0 + (–а0)] + [а1 + (–а1)]х + [a2 + (–a2)]x2 + ...+ [аs +
(–an)]xs = 0 + 0x + 0x2 +...+ 0xn = 0. Осыған ұқсас g(x) + f(x) = 0 теңдігі
көрсетіледі. Сондықтан g(x) көпмүшесі f(x) көпмүшесіне қарама-қарсы болады.

Егер f(x) = а0 + а1x + a2x2 +...+ anxn, g(x) = b0 + b1x + b2x2 +...+ bnxn
берілсе, онда f(x) + g(x) = (а0 + b0) + (а1 + b1)х + (a2 + b2)x2 + ...+ (аn +
bn)xn = [b0 + b1х + b2x2 + ...+ bnxn] + [a0 + a1х + a2x2 + ...+ anxn] = g(x) +
f(x). Сондықтан қосуға коммутативтік ереже орындалады.
Сөйтіп, көпмүшелер қосуға қатынасты коммутатив топ құрайды.
Енді f(x) = а0 + а1x + a2x2 +...+ anxn, g(x) = b0 + b1x + b2x2 +...+ bnxn
және h(x) = c0 + c1x + c2x2 +...+ ckxk көпмүшелері берілсін. Одан әрі q(x) =
f(x)g(x), r(x) = q(x)h(x), s(x) = g(x)h(x), t(x) = f(x)s(x) және q(x) = q0
+ q1x + q2x2 +...+ qm+nxm+n, r(x) = r0 + r1x + r2x2 +...+ r(m+n)+kx(m+n)+k,
s(x) = s0 + s1x + s2x2 +...+ sn+kxn+k, t(x) = t0 + b1x + b2x2 +...+
bm+(n+k)xm+(n+k) болсын. Көбейтудің анықтамасы бойынша, qi = а0bi + а1bi–1
+ а2bi–2 +...+ аib0, sj = b0cj + b1cj–1 + b2cj–2 +...+ bjc0, rd = q0cd + q1cd–1
+ q2cd–2 +...+ qdc0, td = а0sd + а1sd–1 + а2sd–2 +...+ аds0. Осыдан rd =
(а0b0)cd + (а0b1 + а1b0)cd–1 + (а0b2 + а1b1 + а2b0)cd–2 +...+ (а0bd + а1bd–1
+ а2bd–2 +...+ аdb0)c0 = (а0b0)cd + (а0b1 )cd–1 + (а1b0)cd–1 + (а0b2)cd–2 +
(а1b1)cd–2 + (а2b0)cd–2 +...+ (а0bd)c0 + (а1bd–1)c0 + (а2bd–2)c0 +...+ (аdb0)c0
= а0(b0cd) + а0(b1cd–1) + а1(b0cd–1) + а0(b2cd–2) + а1(b1cd–2) + а2(b0cd–2)
+...+ а0(bdc0) + а1(bd–1c0) + а2(bd–2c0 ) +...+ аd(b0c0). Соңғы өрнектегі
мүшелерді басқаша топтаса, онда rd = [а0(b0cd) + а0(b1cd–1) + а0(b2cd–2)
+...+ а0(bdc0)] + [а1(b0cd–1) + а1(b1cd–2) + ... + а1(bd–1c0)] + [а2(b0cd–2) +
... + а2(bd–2c0 )] +... + [аd(b0c0)] = а0[b0cd + b1cd–1 + b2cd–2 +...+ bdc0] +
а1[b0cd–1 + b1cd–2 + ... + bd–1c0] + а2[b0cd–2 + ... + bd–2c0] +... + аd[b0c0].
Мұнда квадрат жақшаларда осы ретте алынған sd, sd–1, sd–2,..., s0
коэффициенттері болатынын көруге болады. Сондықтан rd = а0sd + а1s + а2sd–2
+ ... + аds0. Ал бүл td коэффициенті де болады. Сөйтіп, кез келген d = 0, 1,
2,..., m + n + k үшін rd = td. Сондықтан r(x) = t(x) немесе f(x)[g(x)h(x)] =
[f(x)g(x)]h(x). Бұл ассоциативтік теңдігі.
Осыған ұқсас дистрибутивтік ережесі орындалатынын көрсетуге болады:
f(x)[g(x) + h(x)] = f(x)g(x) + f(x)h(x) және [g(x) + h(x)]f(x) = g(x)h(x) +
h(x)f(x). Оған қоса, K сақинасы коммутатив болса, онда копмүшелердің
көбейтуі коммутатив болатынын да осылай көрсетуге болады.
Енді көпмүшелердің K[x] жиынында көбейтуге қатысты бейтарап элемент
табылатынын көрсетейік. f(x) = а0 + а1x + a2x2 +...+ anxn көпмүшесі берілсін.
Онда f(x)(1 = a0(1 + a0(1 + (a1(1)x + (a0(1)x2 +... + (a0(1)xn = f(x).
Осыған ұқсас 1(f(x) = f(x) теңдігін де көрсетуге болады. Сөйтіп, 1
көпмүшесі көбейтуге қатысты бейтарап элемент болады.
Сонымен, коммутатив K сақинасындағы көпмүшелердің K[x] жиыны коммутатив
сақина құрайды.
Анықтама 2.1.3 K[x] сақинасы K сақинасындағы бір айнымалды көпмүшелер
сақинасы деп аталады.
Екі f(x) = а0 + а1x + a2x2 +...+ anxn және g(x) = b0 + b1x + b2x2 +...+
bmxn көпмүшелерінің көбейтіндісін есептегенде көбейтіндінің
коэффициенттерін сk = а0bk + а1bk–1 + а2bk–2 +...+ аkb0 формуласымен іздемей,
сақинаның жоғары дәлелденген қасиеттері пайдалануға болады. Екі көпмүше
сәйкесінше aixi және bjxj бірмүшелерінің қосындысы болады. Сондықтан
көпмүшелердің көбейтіндісі (aixi)(bjxj) = (aibj)xi+j көбейтінділерінің
қосындысы болады: f(g = .

2.2 Көпмүшенің дәрежесі

Анықтама. f(x) = а0 + а1x + a2x2 +...+ amxm ( K[x] көпмүшесінің дәрежесі
деп ai ( 0 болатын ең үлкен теріс емес бүтін i саны аталады және deg(f) деп
белгіленеді.
Кей кезде нөлдік көпмүшенің дәрежесі –( деп алынады: deg(0) = –(.
Теорема 2.2.1 K коммутатив сақина болсын. Онда кез келген f(x), g(x) (
K[x] көпмүшелері үшін келесі қасиеттер орындалады.
1(. deg(f + g) ( max{deg(f), deg(g)}.
2(. deg(f·g) ( deg(f) + deg(g), мұнда deg(0) = –( деп алынды.
3(. Егер K біртұтастық аймақ болса, онда deg(f·g) = deg(f) + deg(g).
Теорема 2.2.2 Егер K біртұтастық аймақ болса, онда K[x] сақинасы да
біртұтас аймақ болады.
Теорема 2.2.3 Егер K біртұтас аймақ болса, онда K[x] сақинасының
бөлінділер өрісі табылады.
Дәлелдеу. Сақиналар теориясында кез келген біртұтастық аймақтың
бөлінділер өрісі болатыны дәлелденеді. Онда 10-теорема бойынша, K[x]
біртұтастық аймақ болады. Сондықтан K[x] біртұтас аймақтың бөлінділер өрісі
болады.

2.3. Көпмүшені х - х0 екімүшесіне қалдықпен бөлу. Безу теоремасы

c ( K элементі үшін f(x) = а0xn + а1xn–1 +...+ аn–1x + an ( K
көпмүшесінің f(c) мәні f(c) = а0cn + а1cn–1 +...+ аn–1c + an деп анықталады.
Қосу және көбейту алгебралық операция болғандықтан көпмүшенің мәні
бірмәнді анықталады.
Теорема 2.3.1 f(x) ( K[x] көпмүшесі берілсін. Кез келген х0 ( К үшін
f(x) көпмүшесін f(x) = g(x)(x – x0) + c түрінде бірмәнді жазуға болады,
мұндағы g(x) ( K[x], сонымен бірге c = f(x0) болады.
Дәлелдеу. n-дәрежелі f(x) ( K[x] көпмүшесі берілсін. Егер n = 0 болса,
онда g(x) = 0, с = а деп алуға болады. Сонымен бірге осы келтіру бірмәнді
болады. Енді n 1 болсын. Көпмүшедегі x-тың дәрежелерін кемімелі түрде
жазайық: f(x) = а0xn + а1xn–1 +...+ аn–1x + an. Егер f(x) = g(x)(x – x0) + c
түрінде келтіру болса, онда g(x)-ты анықталмаған коэфициенттермен алайық:
g(x) = b0хn–1 + b1хn–2 + ... + bn–2х + bn–1. Онда а0xn + а1xn–1 +...+ аn–1x +
an = b0хn + (b1 – х0b0)хn–1 + (b2 –x0b1)xn–2 +... + (bn–1 – х0bn–2)x + (c –
x0bn–1). Осы теңдіктің екі жағындағы x-тың дәрежелеріндегі сәйкес
коэфициенттерін теңестірейік:
b0 = a0,
b1 = a1 + x0b0,
b2 = a2 + x0b1,
. . . . . . .
(1)
bn–1 = an–1 + x0bn–2,
c = an + x0bn–1.
Осы формулалар бойынша біртіндеп b0, b1, b2, ..., bn–1 және с
коэффициентерінің мәндерін табуға болады. Сондықтан теореманың шартын
қанағаттандыратын g(x) көпмүшесі және c элементі табылады және олар
бірмәнді анықталады.
Енді f(x) = g(x)(x – x0) + c формуласына x-тың орнына x0 мәнін қойса,
онда f(x0) = g(x0)(x0 – x0) + c = c. Осымен теорема дәлелденді.
Теоремадағы f(x) көпмүшесі – бөлінгіш, g(x) – толымсыз бөлінді, c –
қалдық, x – x0 екімүшесі – бөлгіш деп аталады.
Егер c = 0 болса, онда f(x) көпмүшесі x – x0 екімүшесіне бөлінеді дейді
және оны сандарға сияқты f(x)(x – x0) деп белгілейміз.
K сақинасының х0 элементі f(x) ( K[x] көпмүшесінің түбірі деп аталады,
егер f(x0) = 0 болса.
Теорема 2.3.2 (Безу теоремасы). K[x] сақинасында f(x) көпмүшесі х – х0
көпмүшесіне бөлінгенде, тек сонда ғана x0 оның түбірі болады.
Дәлелдеу. 9-теорема бойынша, кейбір g(x) көпмүшесі және c ( K элементі
үшін f(x) = g(x)(x – x0) + c. Егер f(x)(x – x0) болса, онда c = 0.
Осыдан f(x) = g(x)(x – x0) және f(x0) = g(x0)(x0 – x0) = 0. Сондықтан x0 –
түбір.
Енді x0 түбір болса, онда f(x0) = 0 немесе g(x0)(x0 – x0) + c = 0.
Осыдан c = 0, яғни f(x)(x – x0).
(1) Теңдіктердегі формулалар f(x)-ты (х – х0)-қа бөлудің ыңғайлы
сұлбасын береді. Ол Горнер сұлбасы деп аталады.

a0 a1 a2 ... an–1 an
x0 b0 b1 = x0b0 + a1b2 = x0b1 + a2... bn–1 = x0bn–2 + c = x0bn–1 +
an–1 an

Ол былай толтырылады.
1) Әуелі бірінші жолда f(x) көпмүшесінің коэффициенттері жазылады.
2) b0 = a0 деп алынады.
3) Келесі bi коэффициенті x0-ді алдынғы bi–1-ге көбейтіліп, ai-ге
қосылады: bi = x0bi–1 + ai.
Мысалдар. 1) x4 –3x3 + 2x – 5 көпмүшесін x – 3 екімүшесіне бөлейік.
Бұл жағдайда x0 = 3. Бөлінгіштің коэффициенттері 1, 0, –3, 2, –5
болады. Оны бірінші жолға жазамыз.

1 –3 0 2 –5
3 1 3(1 – 3 = 0 3(0 + 0 = 0 3(0 + 2 = 2 3(2 + (–5) = 1

Сонымен g(x) = x3 + 2, қалдық c = 1 және x4 -3x3 + 2x – 5 = (x3 + 2)(x
– 3) + 1.
2) f(x) = ix3 + (2 – 3i)x2 – 5(1 + i)x + 4i ( C[x] көпмүшесінің x0 = 1
+ i санындағы мәнін табайық.
i2 – 3i–5 – 5i4i
1 + i i1 – 2i–2 – 6i– 4 –
4i

Сондықтан f(1 + i) = –4 – 4i.

2.4. Көпмүшенің түбірлері

Теорема 2.4.1 Егер K біртұтастық аймақ болса, онда K[x] сақинасының кез
келген n дәрежелі көпмүшенің түбірлерінің саны n-нан артық болмайды.
Дәлелдеу. Нөлден өзге f(x) ( K[x] көпмүшесінің дәрежесі n болсын.
Егер n = 0 болса, онда f(x) = a0, a0 ( K. Сондықтан көпмүшенің түбірі
болмайды. Бұл жағдайда теорема орындалады.
Енді n үшін теорема орындалсын, яғни кез келген n-дәрежелі көпмүшенің
түбірлер саны n-нен аспасын.
f(x)-тың дәрежесі n + 1 болсын. Егер оның түбірі болмаса, онда теорема
орындалады [5].
Егер оның түбірі х0 болса, онда Безу теоремасы бойынша, f(x) көпмүшесі
(х – х0)-ге бөлінеді: f(x) = g(x)( х – х0). Ал g(x) көпмүшесінің дәрежесі n
болады және, индукцияның жорымы бойынша, g(x)-тің түбірлерінің саны n-нен
аспайды. Осыдан f(x) көпмүшесінің түбірлерінің ... жалғасы

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.