Модуль белгісімен берілген анықталмаған теңсіздіктер жүйесі

Жұмыс түрі: Дипломдық жұмыс
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 21 бет
Таңдаулыға:

Мазмұны

Кіріспе . . . 3

1 Нақты санның модулі және оның қасиеттері . . . 5

1. 1 Нақты санның модулі . . . 5 1. 2 Нақты санның модулінің қасиеттері . . . 6

2 Теңсіздік және теңдік теңдеулерінің түсініктері . . . 9

3 Модуль белгісімен берілген анықталмаған теңдеулер . . . 14

4 Модульмен берілген теңдеулер жүйесі . . . 18

5 Модуль белгісімен берілген анықталмаған теңсіздіктер жүйесі . . . 50

5. 1 Модульмен берілген қарапайым теңсіздіктер . . . 55 5. 2 түріндегі теңсіздіктер . . . 57 5. 3 түріндегі теңсіздік . . . 58 5. 4 түріндегі теңсіздік . . . 61

6 Өздігінен шығаруға арналған есептер . . . 72

Қорытынды . . . 76

Пайдаланған әдебиеттер тізімі . . . 77

Кіріспе

Модуль түсінігі нақты сандар облысында да, комплексті сандар облысында да санның маңызды сипаттамаларының бірі болып табылады. «Модуль» сөзі латын тілінің «modulus»- «өлшем» деген сөзінен шыққан. Бұл терминді алғаш ағылшын математигі Р. Котес (1682 - 1716), ал модуль белгісін К. Вейерштрасс (1815 - 1897) в1841ж. енгізді [1] .

Тақырыптың өзектілігі: Модуль түсінігі мектептегі математика курсының әр түрлі бөлімдерінде ғана емес ЖОО- нда оқылатын жоғарғы математика курсында, физикада және техникалық ғылымдарда кеңінен қолданылады. Мысалы: жуықталған есептеулер теориясында жақындатылған санның абсолютті және қатыстың қателіктер түсінігі қолданылады. Механика және геометрияда вектор және оның ұзындығы (вектор модулі) түсініктері оқылады. Математикалық талдауда санның абсолютті ұзындығы түсінігі шек, шектік функция және т. б. негізгі түсініктердің анықтамаларының құрамына кіреді. Абсолютті ұзындықпен байланысты есептер математикалық олимпиадаларда, ҰБТ- да жиі кездеседі. Практика көрсеткендей, модуль түріндегі тапсырмалар оқушылар мен талапкерлерге жеткілікті түрде қиын, бұл обективті қиындық мынамен түсіндіріледі, яғни мектептегі математика курсы оқушылардың берік білім-білік дағдыларын қалыптастыруға жеткілікті дәрежеде қамтамасыз ете алмағандығында. Осындай проблемалық жағдайларды ескере отырып берілген дипломдық жұмыста модуль белгісімен берілген теңдеулер, теңсіздіктер, теңдеулер мен теңсіздіктер жүйесі түріндегі есептердің аналитикалық, геометриялық шығару жолдары жүйелеп қарастырылған. Теориялық жағынан қарастыратын болсақ, модульдің анықтамасы, қасиеттері, сүлбе нұсқалары көрсетілген. Оқушылар осы материалдарға сүйене отырып, кез келген модульмен берілген есептерді теориялық және практиктикалық тұрғыда жан жақты қолдануға мүмкіндікері зор.

Дипломдық жұмыстың мақсаты: Модульдер туралы теориялық білімдерін жүйелеу және оның қасиеттерін қолдана отырып, есептердің шығару жолдарын анықтау.

Зерттеу обьектісі: Мектеп үрдісінде модульмен берілген әр түрлі есептер.

Дипломдық жұмыстың міндеттері:

1. Модульдермен берілген есептерге талдау жасау;

2. Модульдермен берілген әр түрлі есептерді шешу әдістерін қарастыру;

3. Берілген тақырыпқа қатысты теңдеулер мен теңсіздіктер жүйесін қарастыру.

Дипломдық жұмыс алты бөлімнен тұрады:

Бірінші бөлімде модульдің анықтамалары, оның геометриялық интерпретациясы, абсолютті шама қасиеттері келтірілген. Модульді қолданып, анықталу облысы бірдей теңдік пен теңсіздіктің кез келген жүйесін бір салыстыру түрінде алуға болатыны мысал арқылы көрсетілген. Модуль қасиеті, теңдік немесе абсолютті шаманың белгісіне ие теңдікке мысал ретінде есептеу келтірілген.

Екінші бөлімде модульмен берілген теңдеулер жүйесін шешу тәсілдері келтірілген. Онда шығатын жүйені түрлендіріп, оның шешімдерін табамыз.

Үшінші бөлімде модулі белгісіз болатын теңдеулерді қарастыру. Оларды шешудің әртүрлі әдістерін.

Төртінші бөлімде абсолюттік шаманың белгісі бар теңдіктер мен теңсіздіктерді графикалық жолмен шешу тәсілдері келтірілген модульдермен берілген теңдеулер мен теңсіздіктерді графикалық шешу кейбір жағдайларда аналитикалық шешіміне қарағанда қолайлырақ болады. Бұл бөлімінде және функцияларының графиктерін салу қарастырылған.

Бесінші бөлімде модульдерге қолданылатын теңсіздіктер түрлері.

1) Модулдері бар қарапайым теңсіздіктер, модульдері бар теңсіздіктер және түріндегі теңсіздіктер болып табылады.

2) түріндегі теңсіздіктер,

3) түріндегі теңсіздіктер,

4) түріндегі теңсіздіктерді шеше білу.

Алтыншы бөлімде абсолютті шаманың түсінігімен байланысты есептерді шешу мысалдары келтірілген. «стандартты» есептердің шешімімен қатар, параметрі бар есептердің де шешімдері келтірілген Олардың шешімінде қандай да бір шешімдердің комбинациясын алу керек. Кейбір есептер үшін бірнеше шешу әдістері келтірілген, кейде шешу процесінде туындайтын қателіктер көрсетіледі. Барлық есептер үшін жылдамдығы бойынша ең тиімді шешімдер көрсетілген .

Нақты санның модулі және оның қасиеттеріНақты санның модулі

Анықтама. Егер х -саны теріс емес болса, онда оның өзі аталады.

Егер теріс болса х - санына қарама-қарсы сан кесінді ұзындығы аталады [2] . Қысқаша:

$x = \left\{ \begin{array}{r} x, \ \ егер\ x \geq 0, \\ - x, \ \ егер\ x < 0. \end{array} \right. \$

Нақты санның модулінің геометриялық мағынасын қарастырайық.

Бұл сан координатасы болып табылатын, әрбір нақты санға сандық түзуден нүкте сәйкес келеді. Бұл санның модулі - осы сандық осьтегі сәйкес нүктеден координата басына дейінгі қашықтық (1. 1. 1-сурет) . А нүктесінен О нүктесіне дейінгі қашықтық $\ a\left( \rho(AO) = a, \ \rho(BO) = a \right)$ $\ a\left( \rho(AO) = a, \ \rho(BO) = a \right)$ тең.

А О В

- a 0 a

1. 1. 1- сурет

a, b сандарының модульдерінің айырымы $\left( a - b \right)$ $\left( a - b \right)$ , a және b $\rho(a; b)$ $\rho(a; b)$ нүктелерінің ара қашықтығына сәйкес (1. 1. 2-сурет) .

Equation. 3 Equation. 3

а о b

1. 1. 2- сурет

1. 2 Нақты санның модулінің қасиеттері

1) Модульдің квадраты модуль ішіндегі өрнектің квадратына тең, яғни кез келген $x$ $x$ үшін $x^{2} = x^{2}$ $x^{2} = x^{2}$ .

Ескерту. Бұл формула тек солдан оңға ғана емес, яғни $x^{2} = x^{2}$ $x^{2} = x^{2}$ , оңнан солға да: $x^{2} = x^{2}$ $x^{2} = x^{2}$ қолданылады.

2) Кез келген нақты санның модулінде теріс сан бар, яғни барлық $a$ $a$ үшін $a \geq 0$ $a \geq 0$ .

3) Нақты санның модулі осы саннан кем емес, яғни барлық $a$ $a$ үшін $a \geq a$ $a \geq a$ .

4) $a$ $a$ нақты санының модулі, $a$ $a$ және $-a$ $-a$ екі қарама-қарсы санның максимумна тең, яғни $a = \max\left\{ a; - a \right\}$ $a = \max\left\{ a; - a \right\}$ .

5) Олардың қосындысы осы сандардың модульдерінің қосындысына тең болғанда, сонда тек сонда ғана сандар теріс емес, яғни $\left u_{1} \right + \left u_{2} \right + . . . + \left u_{n} \right$ $\left u_{1} \right + \left u_{2} \right + . . . + \left u_{n} \right$ қосындысы $\left\{ \begin{array}{r} u_{1} \geq 0, \\ u_{2} \geq 0, \\ \ldots\ldots\ldots. \\ u_{n} \geq 0 \end{array} \right. \$ $\left\{ \begin{array}{r} u_{1} \geq 0, \\ u_{2} \geq 0, \\ \ldots\ldots\ldots. \\ u_{n} \geq 0 \end{array} \right. \$ жүйесіне пара-пар.

6) Олардың модульдерінің қосындысы осы сандардың қосындысына қарама-қайшы болғанда, сонда тек сонда ғана сандар оң емес, яғни

$\left u_{1} \right + \left u_{2} \right + . . . + \left u_{n} \right = - u_{1} - u_{2} - . . . - u_{n}$ $\left u_{1} \right + \left u_{2} \right + . . . + \left u_{n} \right = - u_{1} - u_{2} - . . . - u_{n}$ теңдігі $\left\{ \begin{array}{r} u_{1} \leq 0, \\ u_{2} \leq 0, \\ \ldots\ldots\ldots. \\ u_{n} \leq 0 \end{array} \right. \$ $\left\{ \begin{array}{r} u_{1} \leq 0, \\ u_{2} \leq 0, \\ \ldots\ldots\ldots. \\ u_{n} \leq 0 \end{array} \right. \$ жүйесіне пара-пар.

7) Олардың модульдерінің қосындысы олардың қосындысының модуліне тең болғанда, сонда тек сонда ғана сандар бір уақытта теріс емес және оң да емес, яғни $\left u_{1} \right + \left u_{2} \right + . . . + \left u_{n} \right = \left u_{1} + u_{2} + . . . + u_{n} \right$ $\left u_{1} \right + \left u_{2} \right + . . . + \left u_{n} \right = \left u_{1} + u_{2} + . . . + u_{n} \right$ теңдігі $\left\{ \begin{array}{r} u_{1} \geq 0, \\ u_{2} \geq 0, \\ \ldots\ldots\ldots \\ u_{n} \geq 0 \end{array} \right. \$ $\left\{ \begin{array}{r} u_{1} \geq 0, \\ u_{2} \geq 0, \\ \ldots\ldots\ldots \\ u_{n} \geq 0 \end{array} \right. \$ немесе $\left\{ \begin{array}{r} u_{1} \leq 0, \\ u_{2} \leq 0, \\ \ldots\ldots\ldots. \\ u_{n} \leq 0 \end{array} \right. \$ $\left\{ \begin{array}{r} u_{1} \leq 0, \\ u_{2} \leq 0, \\ \ldots\ldots\ldots. \\ u_{n} \leq 0 \end{array} \right. \$ екі теңдеулер жүйесіне пара-пар.

8) Екі санның модульдерін салыстыру олардың квадраттарының салыстыруына пара-пар, яғни келесідей пара-парлық орын алады:

$\left f(x) \right < \left \varphi(x) \right$ $\left f(x) \right < \left \varphi(x) \right$ пара-пар $f^{2}(x) < \varphi^{2}(x) ;$ $f^{2}(x) < \varphi^{2}(x) ;$

$\left f(x) \right \leq \left \varphi(x) \right$ $\left f(x) \right \leq \left \varphi(x) \right$ пара-пар $f^{2}(x) \leq \varphi^{2}(x) ;$ $f^{2}(x) \leq \varphi^{2}(x) ;$

$\left f(x) \right = \left \varphi(x) \right$ $\left f(x) \right = \left \varphi(x) \right$ пара-пар $f^{2}(x) = \varphi^{2}(x) ;$ $f^{2}(x) = \varphi^{2}(x) ;$

$\left f(x) \right > \left \varphi(x) \right$ $\left f(x) \right > \left \varphi(x) \right$ пара-пар $f^{2}(x) > \varphi^{2}(x) ;$ $f^{2}(x) > \varphi^{2}(x) ;$

$\left f(x) \right \geq \left \varphi(x) \right$ $\left f(x) \right \geq \left \varphi(x) \right$ пара-пар $f^{2}(x) \geq \varphi^{2}(x) .$ $f^{2}(x) \geq \varphi^{2}(x) .$

9) Екі нақты санның көбейтіндісінің модулі көбейткіш модулінің көбейтіндісіне тең, яғни $ab = a \bullet b$ $ab = a \bullet b$ .

10) Бөлімі нөлден өзгеше бөлшектің модулі, жеке бөлінген алымы мен бөлімінің модульдарына тең, яғни мұндағы b

11) Кез келген бүтін $m$ $m$ мәні үшін $\left a^{m} \right = a^{m}$ $\left a^{m} \right = a^{m}$ .

12) Егер $n\$ $n\$ - жұп сан болса, онда $a^{n} = a^{n}$ $a^{n} = a^{n}$ .

13) Түбір астындағы квадраттық сан осы санның модуліне тең: $\sqrt{a^{2}} = a$ $\sqrt{a^{2}} = a$ .

14) Екі нақты санның айырымының модулі олардың модульдерінің айырымынан кіші емес $a - b \geq a - b$ $a - b \geq a - b$ .

15) Екі нақты санның қосындысының модулі олардың модульдерінің айырымынан кіші емес $a + b \geq a - b$ $a + b \geq a - b$ .

16) Кез келген $a$ $a$ және $b$ $b$ нақты сандары үшін қос теңсіздік орын алады:

$a - b \leq a + b \leq a + b,$

$a - b \leq a - b \leq a + b.$

17) Кез келген $a$ $a$ және $b$ $b$ нақты сандары үшін теңсіздігі әділ:

$\left a - b \right \leq a + b \leq a + b,$

$\left a - b \right \leq a - b \leq a - b.$

18) Кез келген $a$ $a$ және $b$ $b$ нақты сандары үшін теңдігі әділ:

$a + b + a - b = \left a + b \right + \left a - b \right.$

19) Кез келген нақты сандардың қосындысының модулі олардың модульдерінің қосындысынан аспайды, яғни

$\left u_{1} + u_{2} + . . . + u_{n} \right \leq \left u_{1} \right + \left u_{2} \right + . . . + \left u_{n} \right$ $\left u_{1} + u_{2} + . . . + u_{n} \right \leq \left u_{1} \right + \left u_{2} \right + . . . + \left u_{n} \right$ .

20) Екі нақты сандардың қосындысы теріс емес, ал олардың көбейтіндісі оң, сонда тек сонда ғана модульдерінің айырымының модулі осы сандардың қосындысына тең, яғни $\left u - v \right = u + v$ $\left u - v \right = u + v$ теңдігі $\left\{ \begin{array}{r} u + v \geq 0, \\ u \leq 0\ \ немесе\ v \leq 0. \end{array} \right. \$ $\left\{ \begin{array}{r} u + v \geq 0, \\ u \leq 0\ \ немесе\ v \leq 0. \end{array} \right. \$

22) $x - a + x - b = a - b$ $x - a + x - b = a - b$ теңдеуі $(x - a) (x - b) \leq 0$ $(x - a) (x - b) \leq 0$ теңсіздігіне пара-пар.

23) $x - a + x - b = b - a$ $x - a + x - b = b - a$ теңдеуі $a \leq x \leq b$ $a \leq x \leq b$ , егер $b \geq a$ $b \geq a$ қос теңсіздігіне пара-пар [3] .

2 Теңсіздік және теңдік теңдеулерінің түсініктері

Анықтама 1. Егер (1) -ші теңдеудің шешімі (2) -ші теңдеудің болса, онда (2) -ші теңдеу (1) -ші теңдеудің салдары деп аталады.

Қысқаша былай жазылады: мұндағы « » -логикалық бағыт белгісі.

-жазылудың оқылуы: « (1) теңдеуінен (2) теңдеу шығады»

Анықтама 2. Егер (1) -ші теңдеу (2) -ші теңдеуінің саладары болса, керісінше, (2) -ші теңдеу (1) -ші теңдеудің салдары бола алса, немесе екі тендеу де шешімдері болмаса, онда екі теңдеудің (1) және (2) бірдей белгісізі бар тепе-тең (эквиваленті) теңдеу деп аталады.

Теңдеулердің тепе-теңдігі қысқаша былай жазылады: (1) (2), мұндағы « »-логикалық тепе-теңдіктің (эквиваленттің) белгісі.

Басқаша айтқанда, белгісіз екі теңдеу бір-біріне қатысты тепе-тең, егер шешімдерінің көбі сәйкес келсе.

Теңдеулердің тепе-тең түрлендіруі туралы теоремның қалыптастыруына келмей тұрып, «тепе-тең бірдей өрнектердің» және «тепе-тең өзгертудің» маңызды түсініктерін қарастырайық.

Анықтама 3. Егер мүмкін мәндер облыстары оларға сәйкес келсе және мүмкін мәндердің облысынан алынған барлық әріптердің мағыналарына өрнектердің сандық мағыналары тең болса, тепе-тең бірдей екі өрнек деп аталады.

Анықтама 4. Басқа өзгертумен тепе-тең бір өрнектің ауыстыруы аталады, оған тепе-тең бірдеймен .

Мысал қарастырайық. (1) өрнегі (2) өрегімен ауыстырылсын. (1) өрегінде мүмкін мәндердің обылысы (ММО) жүйе түрінде беріледі, ал (2) -ші өрнекте ММО жүйе түрінде беріледі. (1) және (2) өрнегтерінің ММО сәйкес келмегендіктен, (1) және (2) өрнегі тепе-тең емес.

өрнегін (3) өрнегімен ауыстырайық. Мына (1) және (3) екі өрнегінің ММО сәйкес келеді, себебі (3) өрнегінің ММО жүйесі түрінде беріледі, яғни (1) өрнектің ММО-дай болғандықтан.

Бірақ ММО-лары бірдей болғанымен, (1) және (3) өрнектері тепе-тең емес. Расыменде, мысалы ММО-на жататын деп алсақ, біз (1) -ші өрнегтің сандық мәні 2 тең, ал (3) өрнектің сандық мәні - (-2) тең болады. Демек, ММО-на жататын (1) және (3) өрнектерінің сандық мәнідері әріптердің кекелген мағыналарында емес.

өрнегін (4) өрнекпен ауыстырайық. (1) және (4) өрнегі тепе-тең (оқырманға мына бекіту негіздеуін пайдалануына береміз) . Теңдеуледің (теңсіздіктердің) тепе-теңдігі келесі теоремалардың арқасында орынадалады.

Теорема 1. Егер осы теңдеуді алмастырғанда, облыстар аймағы ауыспайтын тап осы екі теңдеудің бөліктеріне тепе-тең өзгертулер енгізсек, онда тап осыған тепе-тең теңдеуді аламыз.

Теорема 2. Егер дәл осы берілген теңдеудің екі бөлігіне де дәл сол санды немесе дәл сол өрнекті қоссақ, берілген теңдеудің анықталу обылысындағы барлық белгісіздерде мағнасына бар, тап осыған тепе-тең тендеу аламыз.

Салдары. Теңдеудің мүшелерін таңбаларын қарама-қарсы таңбаға ауыстыра отырып, бір бөліктен басқа бөлікке ауыстыруға болады.

Теорема 3. Егер берілген теңдеудің екі бөлігінде дәл осы санға, нөлге тең емес, немесе дәл осы өрнекке көбейтсе, берілген теңдеудің анықталу обылысындағы барлық белгісіздерде мағнасы бар және нөлге тең емес болса, онда тап осыған тепе-тең теңдеуді аламыз.

Салдар 1. Егер теңдеудіуің мүшелерінің арасында бөлшек сандар кездессе, онда теңдеудің олардан екі бөлігінде « ең кіші жалпы еселі « бөлшек мүшелердің бөлгіштерін көбейтуімен құтылуға болады, және де алынған теңдеу, » ең кіші жалпы еселі « нөльге тең емес, белгісіздің барлық мағыналарында тап осыған тепе-тең.

Салдар 2. Егер берілген теңдеудің анықталу обылысындағы барлық белгісіздерде мағнасы бар және нөлге тең емес, барлық мүшелері бірдей санға немесе өрнекке бөлінсе, онда оларды осы санға немесе өрнекке бөлуге болады.

Теорема 4. Егер (1) теңдеуі (2) теңдеуіне тепе-тең болса, ал (2) теңдеуі (3) теңдеуіне тепе-тең болса, онда (1) теңдеуі (3) теңдеуіне тепе-тең.

Егер берілген теңдеудің шешімі 1, 2, 3, 4, теоремалары арқылы өткізілсе, онда табылған түбірдің тексерілуі қажет емес. Егер де осы теоремалар шартына кірмейтін басқа да бір өзгертулер қолданылса, онда табылған белгізідің берілген теңдеудің шартына сәйкес тексерілуі керек, яғни теңдеудің шешімінің құрамдас бөлігі болады [4] .

Соңғы ескерту иррационалдық, көрсеткіш, логарифмдік, көрсеткіш дәреже, көрсеткіш-логарифмдік және тригонометриялық теңдеулерге ерекеше қатысты.

Тепе-тең теңсіздіктерге (теңдеулерге) келтірілетін негізгі операцияларды көрсетейік.