Мектеп курсындағы тригонометриялық теңсіздіктерді оқыту әдістемесі
Қостанай мемлекеттік педагогикалық институты
Жаратылыстану-математика факультеті
Физика-математика және жалпы техникалық пәндер кафедрасы
Қорғауға жіберілді ___________201__ ж.
Қолы __________Калаков Б.А
(кафедра меңг.)
ДИПЛОМДЫҚ ЖҰМЫС
Мектеп курсындағы тригонометриялық теңсіздіктерді оқыту әдістемесі
5В010900 – Математика
Орындаған: Әбибұлла Ж.Ж.
Ғылыми жетекші: Мнайдарова Ж.С.
Қостанай, 2016
Мазмұны
Кіріспе ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .
1. Мектеп курсындағы тригонометриялық теңсіздіктердің оқыту әдістемесінің
теориялық
негіздері ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
... ... ... ... ... ... ...
1.1 Ғылым ретінде тригонометрияның даму
кезеңдері ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ...
1.2 Әр түрлі мектептердегі тригонометриялық материалдардың мазмұны мен
материалдары ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
1.3 Жалпы білім беретін мектептердегі тригонометриялық теңдеулер мен
теңсіздіктердің орны мен
ролі ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .
... ... ..
1.4 Тригонометриялық теңдеулер мен теңсіздіктерді шешуде қажет болатын
дағдылар ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
2. Мектеп курсындағы тригонометриялық теңсіздіктерді шешу
әдістемесі ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
2.1 Тригонометриялық теңсіздік және оны шешу
тәсілдері ... ... ... ... ... ... .. ... ... ...
2. Тригонометриялық теңсіздіктерді шешу жолдарын құру
әдістемесі ... ... ... ...
2.3 Тригонометриялық теңсіздіктерді дәлелдеу
жолдары ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .
2.4 Педагогикалық
эксперимент ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ... ... .
Қорытынды ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
Пайдаланылған әдебиеттер
тізімі ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
... ..
Қосымша
Кіріспе
Қазіргі уақытта қайта құру, дамытушылық функциялары мектептегі білім
берудегі қайта бағдарлаудың негізгі міндеттері болып табылады.
Интеллектуалды тұлғаның дамуы, оқу – танымдық қызметінің алғашқы
жоспарларына шығатындығын білдіреді. Қазіргі уақытта мектептерде оқу –
танымдық ойларын дамытуға математикамен бәсекеге түсе алатын пән жоқ.
Бірнеше ондаған жылдар бойы тригонометрия мектеп курсының жеке пәні ретінде
қарастырылмайды, сондықтан ол мектеп курсындағы геометрия және алгебра
ғана емес, алгебра және анализ бастауында да кездеседі. Тарихи түрде
тригонометриялық теңдеулер және теңсіздіктер мектеп курсында ерекше орын
алады. Гректер тригонометрияны ғылымдар ішіндегі ең маңызды ғылым ретінде
есептеген. Сондықтан да біз тригонометрияны мектеп курсындағы және барлық
математика ғылымдарының ішіндегі маңызды бөлім деп есептейміз. Мектеп
курсындағы тригонометриялық теңсіздіктер орта білім беру мектептерінде
маңызды орын алады, олардың мазмұнына, оқу материалына және оқу – танымдық
қызметіне байланысты, сондай – ақ құрылымына және қолдануына, көптеген
есептердің шешуіне және теориялық, қолданбалы сипатқа ие. Мектептегі
математикалық білімнің тригонометриялық теңдеу мен теңсіздіктерді шешуінің
бірнеше бағыттары бар:
- Теңсіздіктерді шешу;
- Теңсіздіктердің жүйесін құру;
- Теңсіздіктерді дәлелдеу.
Ғылыми – әдістемелік және математикалық әдебиеттер талдауы көрсетіп
отырғандай, бірінші және екінші бағыттарға көп көңіл бөлінеді. Математиканы
оқытуда қолданбалы бағытты қолдануды күшейту, біздің уақыттың талабына сай
болып келеді. Талдаулар көрсеткендей мектептегі білім беру,
тригонометриялық теңдеулердің шешу мүмкіндіктерін, әсіресе тригонометриялық
теңсіздіктерді шешу бағыттары бұл тұрғыдан жеткілікті. Сонымен қатар айта
кету керек, тригонометриялық теңдеулер мен теңсіздіктер оқушылардың білім
сапасы үшін алғышарттар қояды, яғни мектеп курсы бойынша барлық
тригонометриялық материалдар (мысалы, тригонометриялық функцияның
қасиеттері, тригонометриялық өрнектерді түрлендіру және т.б) және алгебра
материалымен тығыз байланыс жасауға мүмкіндік береді (теңдеулер,
теңсіздіктер, тепе - теңдік түрлендіру, алгебралық өрнектер және т.б ).
Басқаша айтқанда, тригонометриялық теңдеулер мен теңсіздіктерді шешу
әдістерін қарастырғанда оны өзіндік жаңа мазмұнға көшіру қарастырылды.
Зерттеудің өзектілігі: тригонометриялық теңсіздіктерді шешуге арналған 10
сынып оқулықтарының әр түрлі авторлардың "Алгебра және анализ бастамалары",
тригонометриялық теңсіздіктердің зерттеу мақсаттарын есепке алу, сондай –
ақ қаралып отырған тақырып бойынша оқыту нәтижелері куәландырады. Мұғалім
алдында оқушылардың әр түрде берілген теңсіздіктерді шешуін, осылайша
жалпы тригонометриялық түсінік беру міндеті тұр.
Зерттеу мақсаты: оқушылардың тригонометриялық теңсіздіктерді шешуіне
бағытталған әдістемені құру.
Зерттеу объектісі: математика оқыту процесі.
Зерттеу пәні: тригонометриялық теңсіздіктерді шешуіне бағытталған
әдістеме.
Зерттеу гипотезасы: егер тригонометриялық теңсіздіктерді бөліп алсақ
және әдістемесін құрсақ, онда бұл сапалы түрде тригономериялық
теңсіздіктерді шешуге ықпал етеді. Тригонометрияны сапалы зерттеумен, біз
оқыту процесін түсінеміз, сонымен қатар тұлғалық бағдарлы оқытуды жүзеге
асырылатынын ескере отырып, формальді білім беру және схоластикалық
пысықтауды іске асыру кезінде оған жол берілмейді, яғни тригонометрияны
зерттеу логикалық, оқу - танымдық ойлауға сүйенуге тиіс, бұл ретте
оқушыларға саралау және даралау мүмкіндіктері беріледі. Гипотезаның зерттеу
процесінде және зерттеудің дұрыстығын тексеру үшін, келесі міндеттерді шешу
қажет болды:
-Әдістемелік әдебиеттерді зерттеп, психологиялық – педагогикалық талдау
жүргізу;
- Математиканы оқытудағы тригонометриялық теңсіздіктредің рөлін анықтау;
- Тригонометриялық теңсіздіктердің негізігі шешу амалдарын бөлу;
- Тригонометриялық теңсіздіктерді шешу әдістерін жіктеу;
- Тригонометриялық теңсіздіктерді шешу әдістерінде білік пен дағдыны
қалыптастыру;
- Құрылған әдістеме бойынша эксперимент жүргізу.
Берілген есептерді шешу үшін келесі әдістер қолданылды:
Психологиялық – педагогикалық және әдістемелік әдебиеттерді талдау;
оқулықтарды, оқу – әдістемелік құралдарды, дидактикалық материалдарды
талдау; бақылау, мұғалімдермен әңгімелесу, педагогикалық эксперимент.
Жұмыс құрылымы: Жұмыс екі тараудан, кіріспе және қорытындыдан тұрады.
Кіріспесінде зерттеудің өзектілігі атап өтілді. Бірінші тарау математика
курсындағы тригонометрияның теориялық материалдары, тригонометриялық
теңсіздіктерге жіктеуге арналды, тригонометриялық теңсіздіктердің шешу
амалдары, әдістемесіне арналды, ал екінші бөлімінде тригонометриялық
теңсіздіктерің шешу әдістемелеріне толыққанды тоқталуға арналады.
Әдебиеттер тізіміне 40 аса кітап кіреді.
1. Мектеп курсындағы тригонометриялық теңсіздіктердің оқыту
әдістемесінің теориялық негіздері
1.1 Ғылым ретінде тригонометрияның даму кезеңдері
Тригонометрия XVIII ғасырда ғана қорытынды рәсімдеуді алған қарапайым
математиканың ең жас бөлімдерінің бірі, дегенмен оның кейбір идеялары
ежелгіге, көне әлемге және үнділердің математикалық жұмыстарына тиесілі
болып табылады (К. Птолемей, II ғ., Аль Баттани, IX ғ., және т.б.).
Еуропалық математиктер синус пен тангенстің кестелерін есептеуде үздік
жоғары дәрежеге жетті (Региомонтанус, XV ғ., Ретикус и Питискус, XVI ғ.,
және т.б.).
Тригонометрия атауы грек сөзінен шыққан, үшбұрышты өлшеу деген
мағынаны білдіреді: (тригонон) – үшбұрыш, (метрейн) – өлшеу.
[1.,б.5-6]
Тригонометрияның ғылыми дамуы Л.Эйлердің
Jntroductioinanalysisinfinitorum (1748) еңбегі арқылы жүзеге асырылды. Ол
тригонометрияны функция туралы ғылым ретінде құрды, оған аналитикалық
мәлімдеме берді және бірнеше негізгі формулалардан формулалардың барлық
жиынтығын шығарды. Үлкен әріптермен сәйкес, қабырғаларды және қарама-қарсы
бұрыштарды кішкентай әріптермен белгілеу – барлық формулаларды оңайлатуға
және оларды нақты, үйлесімді жасауға мүмкіндік береді. Эйлерге
тригонометриялық функцияларды, шеңбердің радиусына сәйкес сызықтардың
қатынасы, яғни сан ретінде қарастыру ойы тиесілі, сонымен қатар ол толық
синус ретінде шеңбердің радиусын бірлік ретінде қабылдады. Эйлер жаңа
қарама-қатынастар қатарын алды, тригонометриялық функциялармен көрсеткіштер
арасында байланыс орнатты, барлық төрт бөліктерге ережелер берді,
жалпыланған формуланы келтіруді алды және тригонометрияны барлық дерлік
еуропалық математика оқулықтарында жіберілетін көптеген қателерден
дұрыстады. [2.,б.28]
Л.Эйлердің жазғаны, кейінірек тригонометрия оқулықтары үшін іргетас
ретінде қызмет атқарды. Бірінші нұсқалықтардың бірі, Сокращённая
математика С. Румовского (1760), Начальные основания плоской
тригонометрии бөлімі, келесідей мәлімдемесін бастады: Тригонометрия
арифметикалық есептеулер арқылы үшбұрыштарды геометриялық сызумен табатын,
жазық білім болып табылады. Барлық мәлімдемелер үшбұрыштарды шешумен
аяқталады (ең оңай жағдайлар), есептеулер өте күрделі жолмен жүргізіледі,
функцияларды үйрету жүргізілмейді.
Осылайша, тригонометрия геометрияның негізінде пайда болды.
Геометриялық тілге ие болды және геометриялық міндеттерді шешуде
қолданылды. Алгебралық таңбалардың дамуы тригонометриялық қарама-
қатынастарды формула түрінде жазуға мүмкіндік берді; теріс сандардың
қолданылуы бағытталған бұрыштар мен доғаларды қарастыруға және
тригонометриялық сызықтар түсінігін (шеңбердің нақты бір сегменті) кез
келген бұрыштарға таратуға мүмкіндік берді. Осы кезеңде зерттеу үшін негізі
тригонометриялық (дөңгелек) функцияның аналитикалық теориясы болған,
тригонометриялық функцияларды сандық аргумент функциясы ретінде қарастыру
базасы құрылды. Кез келген дәлдік дәрежесінде тригонометриялық
функциялардың мәндерін есептеуге мүмкіндік беретін аналитикалық құрылғыны
Ньютон жасады.
Тригонометрия заманауи түрді Ресей ғылым академиясының Л. Эйлер (1707
– 1783) ұлы ғұлама еңбектерінде алды. Эйлер тригонометриялық функция ұғымын
сан ретінде қарастырып, шеңбердегі тригонометриялық сызық шамасы ретінде
радиусы бірлікке қабылданды (Тригонометриялық шеңбер немесе Бірлік
шеңбер). Эйлер тригонометриялық функциялардың кез келген бөлігінде
шешуінің түпкілікті шешімін берді. Барлық тригонометриялық формулаларды
бірнеше негізгі формулалардан шығарып, сондай-ақ оған дейін білмеген
бірнеше белгісіз формулаларды орнатып, біркелкі белгілерді енгізді. Дәл
оның еңбектерінде алғаш рет жазулары кездеседі. Сондай – ақ ол
тригонометрия мен кешенді аргументтегі көрсеткіштік функция арасындағы
байланысты ашты. Эйлердің жұмыстарының негізінде қатаң ғылыми реттілігінде
тригонометрия оқулықтары жасалған. [3.,б.35-36]
Эйлерден бастау алған, тригонометриялық функцияның теориясын талдау
(геометрияға тәуелді емес), құру, ұлы орыс ғалымның Н.И. Лобачевскийдің
еңбектерінде аяқтауға ие болды.
Қазіргі заманғы көзқарас тригонометриялық функциялардың сандық
аргументтің функциясы ретінде қарастыру физика, механика, техника
ғылымдарының дамуына негіз болды. Бұл функциялар математикалық аппарат
негізіне жатты, оның көмегімен әр түрлі үдерістер зерттеледі: тербеліс
қозғалысы, толқындар тарату, қозғалыс механизмдері, айнымалы электр тоғының
ауытқуы. Ж . Фурье (1768 – 1830) көрсеткендей, кез келген периодтты
қозғалысты кез келген дәреже дәлдігімен қарапайым синусоидағы
(гармоникалық) тербелістер түрінде көрсетуге болады. Егер даму басында
қатынасы квадраттардың аудандарының тәуелділігін білдірсе,
гипотенузасы 1-ге тең тік бұрышты үшбұрыштың қабырғасы жағында салып, онда
кейіннен бұл қатынас интерференция бойымен өтетін екі тербелмелі
қозғалыстың қатынасы ретінде көрсетіледі. [4.,б.23-24]
Осылайша, бастапқы сатыларындағы дамуында тригонометрия өзінің
геометриялық есептерді шешу құралы ретінде қызмет етті. Оның мазмұны
ретінде қарапайым геометриялық фигуралар элементтерінің шешуі есептелді,
яғни үшбұрыш. Бірақ қазіргі тригонометрия дербес және тригонометриялық
функциялардың қасиеттерін зерттеу маңызды болып табылады. Бұл
тригонометрияның даму кезеңі барлық даму барысымен дайындалды, тербелмелі
механика қозғалысы, физика дыбыстары, жарық және электромагниттік
толқындар.
Осы кезеңде көптеген тригонометрия терминдер және, атап айтқанда,
қатынастарды шығару теңдеуіне, онда n – натурал сан және т.б. sinx
және cosx функцияларын дәрежелік қатарлардың қосындысы ретінде
қарастырамыз:
В. Никитина және Т. Суворов оқулықтарында осылай дерлік жазылған.
Толық ғылыми баяндауды академик М. Е. Головин өзінің 1978 жылы Жазықтық
және сфералық тригонометрия алгебралық дәлелдеулермен оқулығында
тригонометрияға түсінік береді. Бұл кітаптан барлық маңызды
тригонометриялық формулаларды табуға болады, яғни XIX ғасырдағы мазмұнына
(кері тригонометриялық функцияларды қоспағанда). Автор бұл оқулықта секанс
және косеканстың баяндауын енгізген жоқ, өйткені бұл функциялар іс –
жүзінде сирек жағдайларда ғана қолданылады. 1804 жылы
Н. Фуссаның оқулығы шығады. Оқулық гимназияларға арналған, 4 бөліктен
тұрады: жалпы ұғымдардан, үшбұрыштарды шешу, тригонометриялық практика мен
геодезиға арналған тригонометриялық қосымшалар және қосу теоремасы.
Фуссаның оқулығы сфералық тригонометриядан ерекшеленеді.
1851 жылы М. В. Остроградский алға қадам жасайды. Ол өзінің
конспектілері бойынша тригонометрияға басшылық жасау үшін әскери оқу
орындарында ол тригонометриялық функцияның анықталуына жақтаушы ретінде
шығады. Бірінші кезеңінде тікбұрышты үшбұрыштардың қабырғаларының
қатынастарын зерттеп, олардың анықтау жән кез келген бұрыштардың шамаларына
таралуын оқып – үйретеді. [5.,б.21]
1.2 Әр түрлі мектептердегі тригонометриялық материалдардың мазмұны мен
материалдары
10 сыныптардағы тригонометриялық теңдеулер және теңсіздіктерді шешуге
арналған А.Н.Шыныбековтың Алгебра және анализ бастамалары және
А.Е.Әбілқасымова Алгебра және анализ бастамалары оқулықтарын талдап,
бұдан тригонометриялық теңдеулер және теңсіздіктер әр түрлі орта
мектептерге арналған математика оқулықтарында ұсынылған екені көрсетіледі.
Сондықтан, мұғалім міндеті – әр түрлі теңсіздіктер шешу үшін оқушылардың
қабілетін қалыптастыру. 10 сыныптарға арналған тригонометриялық
оқулықтардың материалдарының мазмұнын қарастырып, ол материалдарды
салыстыру, талдау және мектеп курсындағы ең оңтайлы тәсілді қалыптастыру
мақсатында мектептерде қолдану болды. [6., б.45]
А.Н.Шыныбековтың 10 сыныпқа арналған Алгебра және анализ бастамалары
оқулығына талдау
Оқулық 7 тарауға бөлінген. Әрбір тарау сұрақтар мен тапсырмалар
тізімімен ашылады. Содан соң, әр тарауды оқып болғаннан кейін қол жеткізуге
болатын нәтижелерді тұжырымдайды. Тақырыпқа байланысты Тригонометриялық
теңдеулер және теңсіздіктерді шешу материалы ІІ тарауда көрсетілген, ал
Функциялары мен графиктер, Тригонометриялық өрнектерді түрлендіру,
Кері тригонометриялық функциялар, Тригонометриялық теңдеулер тақырыбын
оқып болғаннан кейін Тригонометриялық теңсіздіктер тақырыбы ұсынылған.
Функцияның жалпы қасиеттері бірінші тарауда кездеседі, бірақта олар
тригонометрияның облысына жатпайды, ал Теңсіздіктер екінші тарауда
кездесіп тригонометриялық теңсіздіктерде соңғы тақырыптарда кездеседі.
А.Е.Әбілқасымованың 10 сыныпқа арналған Алгебра және анализ
бастамалары. оқулығына талдау
ІІ тараудағы А.Е.Әбілқасымованың Тригонометриялық функциялар
тақырыбына тоқталсақ, онда бұрыштарды өлшеу, үшбұрыштардың қатынасы,
айнымалы қозғалыс, есептеу техникасы тақырыптарын қайталау қажет деп
санаймыз. Содан соң тригонометриялық функциялардың анықтамасын және
қарапайым қасиеттерін, қысқарту формулаларын, тригонометриялық
функциялардың мәндері енгізілген. Ал бұл жерде де негізгі тригонометриялық
теңсіздіктер бар. Осы тарауда Әбілқасымова қарапайым тригонометриялық
теңдеулердің тригонометриялық графиктерді салу арқылы шешулерін
қарастырған. Осы тарауда Тригонометриялық функцияларды зерттеу және Тепе-
тең түрлендірулер тақырыбына арналған. Тек осы тараудан кейін, Теңдеулер
мен теңсіздіктерді шешу тақырыбынан соң теңдеулер мен теңсіздіктердің
түрлері, типтері енгізіледі. Тиісінше, осы тарауда біз олардың шешу жолдары
мен әдістері туралы атап айтамыз. [7.,б.80]
Тригонометриялық мен теңсіздіктер тақырыбын зерттеу, келесі схемалар
арқылы анықталады: функция → теңдеулер → түрлендірулер.
А.Г.Мордкович. 10 – 11 сыныптарға арналған Алгебра және анализ
бастамалары. оқулықтарына талдау
Оқулық 8 тарауға бөлінген. Әр тараудың зерттеу соңында негізгі зерттеу
нәтижелері баяндалады. 10-шы сыныпта математиканы оқыту Тригонометриялық
функциялар тақырыбын зерттеумен басталады. Мұнда автор координаталық
жазықтықтағы тригонометриялық шеңбер ұғымын, синустар және косинустар
ұғымын, негізгі тригонометриялық қатынастар ұғымын және қарапайым
теңдеулерді тригонометриялық шеңбермен шешуді көрсетеді. Бұл формулалар
тригонометриялық функциялардың бұрыш аргументтерін зерттеуден кейін
енгізіледі. Енді біз тригонометриялық функциялардың қасиеттері мен
графиктерін қарастырамыз. [8.,б.142-143]
ІІ тарауда, Тригонометриялық теңдеулер тақырыбы егжей-тегжейлі
қаралып, ондағы қарапайым тригонометриялық теңдеулер, бұрын енгізілген
арксинус, арккосинус, арктангенс ұғымдарымен нақтыланады. Осы тарауда біз
келесі әдістерді зерттейміз: жіктеу және жаңа айнымалы енгізу,
тригонометриялық теңдеулердің біртекті шешімдер әдісі болып табылады. Ал
келесі әдістерді ІІІ тарауда Тригонометриялық теңдеулерді түрлендіру
оқыған соң қарастырамыз.
Мұнда зерттеу схемасы келесі түрде анықталады: функция → теңдеулер →
түрлендірулер.
А.Г.Мордковичтың ойы бойынша, оқулықты дербес зерттеу оқушыларға өте
қолайлы, өйткені онда күшті теориялық база енгізілген. Оқулықтың теориялық
материалын баяндау өте егжей – тегжейлі жүзеге асырылады. Сыныптағы оқыту
уақытының жетіспеушілігін ескере отырып, оқушылардың оқулықпен жұмысының
мәні арттырады. Оқулық негізінде, мұғалім, оқушыларға тез есте сақтап және
үйде оқып келетіндей, сабақ түсіндіру қажет екенін жақсы түсінетін болады.
Оқулықтың кемшілігіне, тақырып бойынша жаттығулар аз берілгені болып
табылады.
А.Н. Колмогоровтың Алгебра және анализ бастамалары.оқулығына талдау
Оқулық 4 тараудан тұрады. Тригонометриялық теңдеулер мен
теңсіздіктерді шешу тақырыбының зерттеу схемасы алдындағы тақырыптардың
схемасынан ерекшеленеді, өйткені бұнда бірінші тригонометриялық
функциялардың сандық аргументін және негізгі тригонометриялық теңдеулерді
қарастырамыз. Осы бірінші тарауда, бірақ кейінірек, негізгі
тригонометриялық функциялардың қасиеттері және олардың графиктері,
зерттеулері қарастырылады. Осыдан кейін арксинус, арккосинус, арктангенс,
арккотангенс ұғымдары, және осы шешіммен тригонометриялық теңдеулер және
тепе – теңдіктер параллель енгізіледі. Автор тригонометриялық
теңдеулердің шешу әдістерін атап айтпайды, ал ол шешу алгоритмдерін
сипаттайды. Бұл тригонометриялық тепе – теңдіктердің шешуіне де қатысты.
[9.,б.23]
Осылайша, зерттеу схемасы көрінеді: түрлендіру → функция →теңдеу.
Бұл оқулықта көптеген қарапайым және одан да күрделі дидактикалық
материалдар бар екенін атап кету керек. Бұл мұғалімдерге тапсырмаларды
оқушыларға әр түрлі етіп беруге мүмкіндік береді.
Берілген теориялық материалға байланысты, бұл оқулық оқушыларға өз
бетінше зерттеуге өте қолайлы деп айтуға болмады.
Тригонометриялық теңдеулер тақырыбының мазмұнын талдағаннан кейін,
келесі тұжырымға әкеледі:
1) қарапайым тригонометриялық теңдеулер басым болып табылады, олардың
шешуі арксинус, арккосинус, арктангенс сандар функцияларының түсінігі
бойынша шешуіне негізделген;
2) іс жүзінде тригонометриялық теңдеулер жоқ, олардың шешуі шектеулі
синус және косинус қасиеттеріне негізделген;
3) егер тригонометриялық теңдеулердің шешімін тригонометриялық немесе
алгебралық өрнектердің шешімі мен қарым – қатынасын айтсақ, онда
бұл әдістер оқулықта өте қарапайым және біркелкі жазылғанын атап өткен жөн;
а) тригонометриялық өрнектер:
негізгі тригонометриялық айырманы пайдалануды қабылдау;
қосарланған және жарты аргумент формуласын пайдалануды қабылдау;
туындыдағы тригонометриялық өрнектердің қосындысының түрлендіруін қабылдау;
б) алгебралық өрнектер:
көбейткіштерге жіктеуді қабылдау;
синус және косинусқа байланысты біртекті көпмүше білдіретін,
тригонометриялық өрнектердің түрлендірулерін қабылдау.
Тригонометриялық тендеулер тақырыбына байланысты қолданылған қабылдаулар
қарастырылады, олар шартты түрде мынадай түрлерге бөлуге болатындығына әкеп
соқтырады :
а) тригонометриялық функцияларды квадратқа қатысты келтіру;
б) тригонометриялық функцияларды рациональ бөлшектерге қатысты келтіру;
в) біртекті келтіру ;
г) түрде болсын, онда - тригонометриялық функция келтіру.
[9.,б. 55]
1.3 Жалпы білім беретін мектептердегі тригонометриялық теңдеулер мен
теңсіздіктердің орны мен ролі
Тригонометрия дәстүрлі түрде мектептегі математика курсының ең маңызды
құрамдыс бөлігі болып табылады. Бұл курс барлық тақырыптарды өткеннен кейін
есептерді шешу мақсатын қамтиды.
Математика бойынша оқулықтарды талдау тригонометриялық теңсіздіктер
теңдеу сызығында зерттеу және теңсіздік сызығында зерттеу орынын анықтайды.
Тригонометриялық теңдеулерді шешу тақырыбын зерттеу
Тригонометриялық өрнектерді түрлендіру және Тригонометриялық функцияның
негізгі қасиеттері және графигі тақырыбын алдын ала зерттеуге әкеп
соқтырады. Тригонометриялық теңдеулер мен теңсіздіктерді шешу тарауында
біз арксинус, арккосинус, арктангенс ұғымдарымен таныстық.
Математика оқыту тәжірибесін көрсетеді, яғни оқушылар материалды
оқығанда материалдың маңыздылығын түсінбейді, ал оны практика жүзінде
қолданғанда ғана түсінеді. Содан кейін ғана ол шешу құралына айналады.
[10.,б.63]
Мысалы: теңдеуін шешейік. Бұл қарапайым cosx=1 теңдеуіне
әкеледі, бұл жекеше түрде қарапайым, кейін қарапайым түрлендіргеннен соң
сол жағын тригонометрияның қосу формулалары бойынша табамыз.
Тригонометриялық теңсіздіктерді шешу кезінде осындай жағдайлар туындауы
мүмкін. Теңсіздікті
түрінде, бұл негізінен өрнектің оң жағын түрлендіргенде ғана шешіледі.
өрнегін аламыз, ал содан соң негізігі тригонометриялық функциялардың
таблица мәндер көмегімен біз қарапайым теңсіздігін алып, бұны шешу
оқушыларға қиындық туғызбайды.
Біз дәл осы жерде оқушыларға тригонометриялық формулалардың
маңыздылығын байқай аламыз. Олардың көмегімен бірінші көзқараспен қиын
теңдеулер мен теңсіздіктер қарапайым түрге, ең бастысы таныс түрге ие
болады. Тригонометриялық теңсіздіктерді шешкен кезде де осындай жағдайлар
болады. Мұндай жолмен тригонометрияны зерттеу, бұл теңдеулер мен
теңсіздіктерді тригонометриялық формулаларды түрлендіруден кейін
оқытылады. Тригонометриялық өрнектерді түрлеyдіру және Тригонометриялық
функциялардың негізгі қасиеттері және графиктері тақырыбы бойынша
тригонометриялық теңдеулер мен теңсіздіктердін білімі анықталады. Егер
тригонометриялық теңдеулер мен теңсіздіктер Тригонометриялық өрнектерді
түрлендіру тақырыбына дейін оқытылса, онда олардың зерттеу орыны мүлде
қарама – қарсы түрде анықталады. Мұнда тригонометриялық теңдеулерді
зерттеуге көп уақыт бөлінеді: егер жаңа формула пайда болса, онда оны
бірден теңдеулер мен теңсіздіктерді шешуге пайдаланады. Яғни,
тригонометриялық теңдеулер мен теңсіздіктерді шешу құралы боп түрлендіру
емес, ал теңдеулер құрал ретінде көрсетіледі. Осылайша, кез келген
тригонометрияны зерттеу көзқарасы, теңдеулер мен теңсіздіктерді оқыту
рөліне қарамастан орасан зор болып табылады. Ал соның салдары ретінде
тригонометриялық теңдеулер мен теңсіздіктерді шешу әдістерінің орны ауқымды
және орасан. Яғни, оқулық авторлары тригонометриялық теңдеулер мен
теңсіздіктердің әдістеріне қажетті көңіл бөлмейді. Теңдеулер мен
теңсіздіктерді жіктеп және олардың шешу әдістерін көрейік. [11.,б.12-13]
1.4 Тригонометриялық теңдеулер мен теңсіздіктерді шешуде қажет болатын
дағдылар
Әдістемелік әдебиетте дағды деген сөз тіркесі бар. Мысалы,
А.В.Петровский дағды дегенді нақты бір теориялық немесе практикалық
тапсырмаларды шешу үшін өзінің қабілеттерін, білімін және түсінігін қолдана
алу деп түсінеді. Т.Б.Булыгинаның ойынша Дағды – ол белгілі бір істі
саналы түрде жасау. М.В.Матюхина келесі түрде анықтама береді: Дағды –
бұл қызметті табысты түрде орындауды қамтамасыз ететін білім мен
қабілеттердің ұйқастылығы. Дағдылар – бұл істерді орындаудағы
роботтандырылған әдіс. Білім– бұл түсініктегі түрлердің субъектілік
түрлілігі. Түсінік – бұл бір оқшауланғандықты және ерекшелікті
көрсететін,бір уақытта және барлығын қосып алғандағы білім түрі. Келесі
түсініктерді қарастырайық: Дағдыларды қалыптастыру. Ол мұғалімнің
оқушыларды оқытқан сәтте белгілі бір әлеуметтік тәжірибені алуын білдіреді.
Дағдыларды қалыптастыру – бұл пәннен алынатын білімде бар ақпараттарды
анықтау және қайта қарастыру бойынша барлық қиын жүйелерді меңгеру.
Дағдыларды қалыптастыру бұл негізінде білімді тереңдету түрінде
қолданылады. Дағды зерттелетін белгілі бір заттар туралы түсініктерді
меңгеру негізінде қалыптасады. Дағдыларды қалыптастырудағы негізгі жол –
бұл оқушыларды заттардың барлық жақтарын көруге, оларға әртүрлі түсініктер
беру, сол затқа әртүрлі көзбен қарауды үйрету. Затты талдау арқылы
синтездің көмегімен түрлендіруді оқушыларға үйрету. Қолданылатын түрлендіру
қандай қарым-қатынас және тәуелділік талап етілуіне байланысты. Осындай
түрлендірулер тапсырмаларды шешу жоспары болып саналады. Дағдыларға үйрету
әртүрлі жолдар арқылы жүзеге асыруға болады. Оның бірі оқушыларға қажетті
білімді беріп, содан соң оларға орындау үшін тапсырмалар береді. Содан соң
оқушы сол тапсырманы шешу үшін мүмкіндіктер мен қателерді қолдану арқылы
сәйкес бағдарларды, ақпараттарды қарастыру және қызметте қодану арқылы
шешім іздейді. Бұл жолды мәселелі оқыту деп атайды. Келесі жол, ол
тапсырманы шешу үшін оның түрін және талаптарын жедел анықтау бойынша
белгілерге үйретеді. Бұл жолды алгоритмделген оқыту немесе толық
бағдарланған негіздегі оқыту деп атайды.[12.,б.56] Соңында, бұл жол ол
оқушының білімін қолдану үшін психикалық қызметке үйрету болып табылады.
Бұл жағдайда мұғалім оқушыны тек қана белгілер мен тапсырмаларды айыра алу
бағдарларына ғана үйретіп қоймай, сонымен қатар алға қойылған тапсырмаларды
шешу үшін алынған ақпараттарды қолдануды ұйымдастырады. Бірінші кезеңде
заттың бұл бағдарлары (маңызды ерекшеліктер) оқушыға дайын, заттты түрде,
сызба түрінде, символ, зат түрінде, ал бағдарларды анықтау бойынша шаралар
заттай іс-әрекеттер түрінде қолданылады. Бағдарлар мен заттай бағдарлар
екінші кезеңде қалады, оларды ойлау шаралары, сөйлеу және жасау түрлерімен
алмасады. Үшінші кезеңде сөйлесу әрекеттері де түсіп қалып , оларды ойлау
шаралары алмастырады, ол барлық сызба бойынша таралады. Бұл кезеңді ойлау
қабілеттерін қалыптастыру әдісі деп атайды. Бірақ қарапайым түрде оқытуда
бұл кезеңдер саналы түрде ұйымдастырылады. Сондықтан оқушы өзі қажет
белгілерді анықтап, ал бастысы – осы әрекетті өзі таңдау керек.
Қателіктерге көп жол беріледі. Түсініктер әрқашан толық әрі дұрыс болмайды.
Дәстүрлік оқыту, дербес ойлану мен нәтижелері арқылы түзетуге
негізделгендіктен, оқушының дұрыс түсінбеуіне алып келеді. Сонымен қатар
оқушының қызметі ұғымдарды құруға, олардың белгілерін іздеуге қосарланбауы
керек, соған қоса, түсініктерді мағына берумен толықтыру үшін, оның қолдану
тәсілдерін меңгеру керек – бұл қызмет жалғыз өзі ғана маңызды заттарды
белгілері бойынша іздеу емес, ал осы белгілерді қолдану. Түсінік толық әрі
қатесіз құрылу үшін, оқушының сәйкес жұмысы толық бағдарлы негізде құрылуы
тиіс. Олай болмаса, мұғалім оқушыларға заттардың барлық дайын белгілерін
беруі керек, сонымен қатар әрбірін анықтау мен қолдану үшін қажетті
шараларға баланы оқыту қажет. Тригонометриялық теңдеулер мен теңсіздіктерді
шешу туралы айта отырып, ол бір толық кешенді құрайтындығын, оған келесілер
кіретіндігін білу қажет:
- Тапсырылған сандарға сәйкес санды шеңберде сәйкес (, және
т.б.) және сәйкес емес (М(2), М(-7), М(6)және т.б) нүктелерді тауып
алу;
- Сандарды шеңбер санымен суреттеуді және нүктелерді жаза білу (көрсетілген
нүктеге сәйкес келетін барлық сандар );
- Тригонометриялық жүйелердің бірінің мағынасы бойынша санды шеңберде санды
салу;
- Доға санды шеңбер үшін қос теңсіздікті құру;
- Белгілі бір түрге келтіру үшін негізгі мақсат арқылы теңдеу мен теңсіздік
көмегімен талдау шығара білу;
- Шешім қабылдауда негізгі таңдау жасай білу;
- Тригонометриялық дөгелектің кестесінің көмегімен қарапайым
тригонометриялық теңдеулерді және теңсіздіктерді шеше білу;
- Теңдеулер мен теңсіздіктерді шешуде тригонометриялық жүйелерді қолдана
алу;
- Алгебралық анықтамалар мен сәйкес тригонометриялық формулаларды
қолданудағы тригонометриялық анықтамаларды орындай білу;
-Белгілі бір алгебралық теңдеулерді шеше білу (сызықты, төртбұрышты, доғал,
бірсызықты, көрсетілген түрдегі алгебралық теңдеулерді) және т.б.
[13.,б.78]
Көрсетілген біліктіліктер ұзақ уақыт бойы қалыптасады, қасындағы оқушылар
тригонометриялық теңдеулерді білулері тиіс. Бірақ тригонометриялық
теңдеулер мен теңсіздіктерді шешу тәсілдері осы білімдерді жаңа мағынаға
ауыстыра білуге алып келеді. Орта мектептердегі математика бойынша
бағдарлама талдауы, қарастырылып отырған тақырыппен байланысты
тригонометриялық теңдеулер мен теңсіздіктерді зерделеуді есепке алу
мақсаты, сонымен қатар оқытудың негізгі нәтижелері көрсетілген білімдер
қолданылуы қажет, атап айтқанда Үлгі бойынша жағдайларда қолданылуы тиіс.
Төменде көрсетілген әдістемелер оқушылармен қарапайым тригонометриялық
теңдеулер мен теңсіздіктерді шешуді, тригонометриялық теңдеулер мен
теңсіздіктерді шешудегі басқа да шаралармен танысуды қарастырады.
2. Мектеп курсындағы тригонометриялық теңсіздіктерді шешу әдістемесі
2.1 Тригонометриялық теңсіздік және оны шешу тәсілдері
Тригонометриялық теңсіздіктерді шешу үшін бірнеше маңызды кезеңдерден
өту керек. sin x, cos x, tg x и ctg x ұғымдарын енгізу. Радиусы 1-ге тең,
центрі координаталар басында жататын шеңберді бірлік шеңбер деп атайды.
Бірлік шеңбердің Ра нүктесі Р0 (1; 0) нүктесін а радианға тең бұрышқа
бұрғанда шыққан болсын. Ра нүктесінің координатасы - а бұрышының косинусы
екенін аңғару қиын емес
Анықтама. у = sin х және у = cos х формулаларымен берілген сандық
функцияларды сәйкесінше синус және косинус деп атайды
Анықтама. у = tg х және у = ctg х формулаларымен берілген сандық
функцияларды сәйкесінше тангенс және котангенс деп атайды
1. Келесі қадам функцияларды енгіземіз y = sin x, y = cos x, y =
tg x и y = ctg x. Бұл кезеңде осы функциялардың қасиетері,
анықталу облысы мен мәндер облысы қарастырылып өтеді, ал ең
маңызды – графиктерімен танысу.
2. Тригонометриялық теңсіздіктерді шешуге дайындыққа ең соңғы
кезең. Бұл кезеңде оқушылар маңызды тригонометрия формулаларымен
және оларды қалай қолдану керек екендігімен танысады. Бұл
кезеңде алынған білімін оқушылар бүкіл математика курсында
колдана алады. Меңгерілген формулалар көмегімен өте қиын,
көлемді тригонометриялық теңдеулер мен теңсіздіктерді жеңіл
шешуге болады. [14.,б.86]
Енді оқушылар бастапқы кезеңдерді жақсы меңгеріп, біздің
тақырыбымызға жетеді, яғни тригонометриялық теңсіздіктерге жетеді. Әрине
теңсіздіктерді шешу қарапайымдардан басталады sin x a, sin x a; cos x
a, cos x a; tg x a, tg x a. Осы теңсіздіктерді меңгергеннен кейін
қиындығы жоғары теңсіздіктерге келеді, бұнда әр түрлі дәрежелі күрделі
функциялар. Әрине 16-17 жастағы балалар үшін мұндай материалды меңгеруді
жеңіл деп айта алмайсың. Ол абстракті ойлауды, мидың аналитикалық
қалыптасуы және ең маңыздысы ойлаудың шапшаңдығын қажет етеді. Сол себептен
бұндай күрделі материалды Егер қарапайым теңсіздіктер өзі шешіліп тұрса,
онда теңсіздіктерді шешуге арнайы әдіс-тәсілдердің ойластырылуының қажеті
не? Бірақ бұған жауап беруге болады, кез – келген тригонометриялық
теңсіздік, сырттан қарағанда ауқымды және күрделі болып көрінсе де оларға
негізгі тригонометриялық түрлендірулерді қолданып қарапайым түрге келтіруге
болады. Түрлендіргеннен кейін теңсіздікті тригонометриялық шеңбер арқылы
немесе функцияның графигі арқылы шешеміз.
Негізінде мектеп курсында тригонометриялық теңдеулерді шешуде қандай
әдісті қолдану тиімді екендігі жөнінде нақты нұсқаулар жоқ. Бұл жерде
таңдау тек мұғалімдердің өз қалауларына байланысты болады. Менің ойымша
тригонометриялық шеңберді қолдану тиімдірек болады. Себебі бұл өте көрнекі
тәсіл және дәптерде аз орын алады. Негізі қарапайым тригонометриялық
теңсіздіктерді шығарған кезде уақыт мүмкіндік беріп жатса екі тәсілді де
қолданған жөн. Сонымен айтып кеткенімдей тригонометриялық теңсіздіктеріне
тригонометриялық түрлендірулер қолданып оны қарапайым түрге келтіргеннен
кейін тригонометриялық шеңбер немесе графикалық әдісті қолданамыз.
[15.,б,63]
Қарапайым тригонометриялық теңсіздіктерді шешу: Заманауи математика
кітаптарының көптеген авторлары көрсетілген тақырыпты қарастыруды жеңіл
тригонометриялық теңсіздіктерді шешуден бастауды ұсынады. Қарапайым
тригонометриялық теңсіздіктерді шешу қағидасы тригонометриялық дөңгелекте
тек қана негізгі тригонометриялық бұрыштарды анықтап және білуге ғана емес,
сонымен қатар басқа да белгілерге негізделген. Сонымен қоса, мына
теңсіздіктерді шешуді , , , келесі түрде жүзеге
асыруға болады: алдымен көрсетілген теңсіздік орындалатын бір кеңістікті
тауып аламыз (), содан соң синус пен косинустың ара қашықтығында
табылған кеңістікті тауып жазамыз: (). Сонымен қатар, мағынасы
жеңіл табылады ол және . мағынасын табу оқушылардың ойлау
қабілеттеріне, олардың синус пен косинустың бөлек симетрияларын қолдану
арқылы доғаның немесе бөлшектердің теңдіктерін табуларына байланысты болып
келеді. Бұл көп жағдайда көптеген оқушылардың шеше алмаулары алып келеді.
Соңғы жылдары кітаптардағы көрсетілген қиындықтарды шешу мақсатында жеңіл
тригонометриялық теңсіздіктерді шешу үшін әртүрлі шаралар жүзеге асырылған
бірақ оқыту барысында ешқандай оң нәтижелер берген жоқ. Біз ұзақ жылдар
бойы тригонометриялық теңсіздіктерді шешу үшін сәйкес келетін теңдеулердің
түбір формулаларын қолданып келеміз.
Көрсетілген тақырыпты зерттеу келесі түрде жүзеге асырылады:
1. және у = а кестесін құрамыз, санаймыз.
Содан соң теңдеуін құрамыз , оның шешімі . n 0; 1; 2, бере
отырып, құрылған теңдеудің үш түбірін табамыз: . мағынасы
және у = а. кестесінің үш қиылысу нүктсінің абсциссасы болады. Әрқашан
() ара қашықтығында теңсіздігі , ал () ара қашықтығында
теңсіздігі қолданылады.
Осы ара қашықтықтардың соңына синусқа қатысты санды қосып, бірінші
кезекте мына түрдегі шешімге қол жеткіземіз ; екінші жағдайда
– теңсіздігін мына түрде шешеміз .
2. Әрі қарай косинус үшін ұқсас дәлел келтіреміз
Бірақ синусқа қарағанда n = 0 , теңдігін шешімі болып табылатын
формуласынан екі түбірді табамыз , ал түріндегі n = 1
болғандағы үшінші түбір болады. тағыда и кестелерінің
қиылысу нүктелерінің абсциссасы болады.() аралығында теңсіздігі
, ал () аралығында– теңсіздігі қолданылады.
Ал енді және теңсіздігінің шешімін жазу қиын емес.
Бірінші жағдайда : ;
Екінші жағдайда : қол жеткіземіз.
Нәтиже шығарамыз. немесе теңсіздігін шешу үшін, қажетті
теңдеуді құрып, оны шешу қажет. Алынған теңдеуден и тауып,
теңсіздік түріндегі жауапты жазу керек.
теңсіздігін шешу барысында, формуласының сәйкес түбірінен
и түбірін табамыз және теңсіздік жауабын мына түрде :
жазамыз.
Бұл тәсіл оқушылардың істей алатындықтарына, қабілеттеріне тіреліп,
оларға тригонометриялық теңсіздіктерді шешуге көмектеседі.
Бұл қарапайым теңсіздіктерді шешіп және формуладағы өзгерістерді табу.
Сонымен қатар,а санының модулін және оның белгісінің мағынасын теңсіздік
белгісіне байланысты барлық тәсілдерін анықтау үшін мұғалімнің басшылығымен
көптеген жаттығуларды нақтылап шешу қажет емес.
Сонымен қатар, теңсіздікті шешу үдерісі қысқа әрі бірыңғай болып
табылады.
Көрсетілген тәсілдің тағы бір оңтайлы жағы ол, синус пен косинустың
бірінші бөлігі кесте түрінде болмаса да теңсіздікті шешу жеңіл болып
табылады. [16.,б.43]
Бұны нақты үлгі де шешіп көрейік. теңсіздігін шешу қажет делік.
қажет теңдеу құрып және оны шешеміз:
n= 1
n = 2
и мағыналарын табамыз.
Көрсетілген теңсіздіктің нақты жауабын жазамыз:
немесе
.
tgxb, tgxb Қарапайым тригонометриялық теңсіздіктер берілсін. y=tgx
Функцияның анықталу облысы нүктелерінен басқа бүкіл сандық түзу
болып табылады. Сондықтан берілген теңсіздіктердің ММО сандарынан
басқа барлық нақты сандардың Х жиыны болады. y=tgx Функциясының Х
жиынындағы мәндерінің облысы y= жиыны болып табылады.
y-tgx пен y=b функцияларының графиктерін саламыз (4-сурте). Ең алдымен
ұзындығы y=tgx функциясының бас периодына тең аралығындағы берілген
теңсіздіктерді шешуді қарасттыру керек екені сурттен көрінеді. Сурет
сонымен бірге осы аралықта y=tgx фукциясының өсуін пайдалану керектігін
ойға салады.
aралығында y=tgx функция мәндер облысы y=(- және ол өседі,
сондықтан Y-тен алынған әрбір сандық мәнін ол бір рет қана қабылдайды.
Ендеше, болғанда ол b мәнін қабылдайды, ал болатындай әрбір
xx0 үшін ол b – дан үлкен мән, ал болатындай әрбір xx0 үшін b
–дан кіші мән қабылдайды. Демек, аралығында tgxb теңсіздігінің
барлық шешімдер жиыны (5-суретте) интервалы, ал tgxb теңсіздігінің
барлық шешімдер жиыны (6-суретте) интервалы болады, мұндағы .
y=tgx Функциясының периодтылығын пайдаланып, әрбір b үшін tgxb
теңсіздігінің барлық шешімдер жиыны интервалдарынң үйірі, ал tgxb
теңсіздігінің барлық шешімдер жиыны интервалдарының үйірі болады.
[17.,б.93]
tgxb, tgxb теңсіздіктерін шешудің нәтижесін былай қортындылаймыз: tgxb
теңсздігінің шешімдері теңсіздігінің шешімдері жиыны болады.
Eнді ctgxb, ctgxb қарапайым тригонометриялық теңсіздіктер берілсін.
Жоғарыдағыға ұқсас талқылаулар жүргізіп, ctgb теңсіздігінің барлық
шешімдер жиыны (7-суретте) әрбір b үшін интервалдар үйірі, ал ctgxb
теңсіздігінің барлық шешімдер жиыны (8 суретте) интервалдар үйірі
болатынын аламыз.
Ctgxb, ctgxb Теңсіздіктерін шешудің нәтижелерін былай қортындылаймыз:
ctgxb теңсіздігінің шешімдері теңсіздігінің шешімдері жиыны
болады. Көрсетілген үлгідегі жеңіл тригонометриялық теңсіздікті шешудегі
бір кемшілік ол, формолизмнің нақты бөлігінің болуы. Егер барлығына тек
қана осы теңдеулер арқылы баға беретін болсақ,онда формализмде төрт бұрышты
теңдеудің түбір формулаларын, және тригонометриялық теңдіктерді шешудегі
басқа да шешімдерін кінәлауға болады. Көрсетілген тәсіл тригонометриялық
теңсіздіктерді шешуде лайықты орын алғанымен, тригонометриялық
теңсіздіктерді шешудегі басқа да тәсілдерді ұмытпау керек. Осындайларға
аралық тәсілі жатады. Оның мәнін қарастырайық.
Интервалдар әдісі: Математика мұғалімдерінің көп жылдық тәжірибесі,
тригонометриялық теңдеулерді жақсы шешетін оқушылар жиі тригонометриялық
теңсіздіктерді шешуде қиындықтарға тап болатындығын көрсетеді, олар
жұмыстың негізгі бөлігі аяқталғаннан кейін, нақты шешім қабылдауда көптеген
қателіктер жібереді. Оқушыларың немқұрайлықтарынан немесе олар
теңсіздіктердің арнайы ерекшеліктерін толық түсінбегендіктерінің салдарынан
кателерге жол беріледі. Тексерістер де оң нәтиже бермейді. Қатені табуда
ол жеткіліксіз. Сонымен қатар жауапта бір немесе екі аралық болса тексеріс
қиындай түседі, ал аралықтар көбейсе тексерістің техникалық қиындығы арта
түседі. Осыған байланысты тригонометриялық теңсіздікті шешуге ерекше әдіс
қарастырылды, ол арнайы құрастырылған алгоритм көмегімен оқушыларға
түсінікті береді:
1. Теңсіздіктің бір бөлігінде (мысалы оң) нөл тұру керек;
2. Теңсіздіктің сол жағында тұрған жүйенің нөлдері мен нүктелерін
анықтап алу;
3. Барлық табылған сандардың негізі болып табылатын бөлікке
нүктелерді қойып шығу;
4. Алдындағы сандарға сәйкес келмейтін кез келген санды таңдап алу
(теңсіздіктің сол жағында тұрған жүйенің дәлелді
мағынасы);
5. Координаталық сәулеге бұрышы арқылы сәулесін алып
келіп Ох;
6. сәулесінде бақылау нүктесін табу. Ол үшін
санын теңсіздіктің сол жағына қойып және алынған белгіні
анықтау. Егер мәні нөлден артық болса, онда - ол
сәуленің бірлік шеңберінің жан жағында жатпаған еркін
нүкте;
- бұл сәулесі бірлік шеңберінің жан-жағында жатқан еркін
нүкте.
7. нүктесінен бастап сағат тіліне қарсы бірлік шеңберді жан-
жақты айналып өту тәртібімен барлық белгіленген нүктелерде
қиылысып өту арқылы басты сызық өткізу. Барлық нүктелерді
өткеннен кейін сызық нүктесіне қайта оралуы керек.
8. Сызылған сызық құрғандай, қажетті конфигурация бөліктерін
таңдап алу керек. Ол үшін:
Егер теңсіздіктің сол жағында тұрған нөлден артық болса, онда бірлік
шеңберінің жан-жағында жатпаған сан бөліктерін таңдап алу керек.
Не болмаса оқшауланған бірлік шеңберінің ішінде жатқан фигураны таңдап
алу керек.
9. Таңдап алынған бөліктерге қатысты оқшауланған бірлік шеңбердегі
оң бағдардағы доғаның бағытындағы сызықтарды белгілеу керек. Бұл
доғалар көптеген теңсіздіктерді шешуге көмектеседі. [18.,б.32]
Көрсетілген интервалдар тәсілін тригонометриялық теңсіздіктерді шешуге
қолданып көрейік.
1 мысал. теңсіздігін шешіңіз.
Теңсіздіктің сол жақ бөлігін түріне келтіріп және теңдеуді
қарастырамыз , ол мына теңдеуге сай келді: .
Біріншіден Бұл кешенді теңдеуден мағынаның I сериясын береді х:
Екіншіден кешенді теңдеуден II серияға алып келеді .
Әрі қарай тригонометриялық шеңберді сәйкес нүктелермен толтырамыз. I
серияға алған жеткілікті. Онда белгісі тең болады (
басқа мағыналарды n нүктесі тексеріледі). сериясының мағынасының
оқшауланған шеңберін n=0 и n=1 алынған и нүктелермен
белгілеуге болады.
Енді қойып соңғы нүктесін табамыз. тең болады.
Онда, бұл жағдайда сәулесі Ох координаторлық сәулесімен тең
келеді (аралығындағы бұрыш нөлге тең). сәулесінде оқшауланған
шеңбердің сыртындағы еркін нүктесін белгілейміз . нүктесін суретте
көрсетілгендей оқшауланған шеңбер нүктелерімен қосамыз.
Көрсетілген теңсіздікті шешуге бірлік шеңберіндегі доғаның суреттегі
көрсетілген + белгісімен көрсетілген сурет сәйкес келеді. Нақты жауап
жазар алдында екі жақтың бірінде (ол сызық арқылы көрсетілген) кішіден х
айнымалысы үлкен белгіге ауысу бұзылатындығын ескеру қажет. Мұндай жағдайда
кіші белгісіне қосу керек . Сонымен нақты жауапты кешенді
аралық түрінде жазуға болады.:
, n(Z
Айта кету керек, егер ирек сызык түріндегі сызықты барлық белгіленген
нүктелер арқылы айналып өткеннен кейін нүктесіне қайта алып келе
алмаса, онда шешу барысында категе жол берілген деп есептелінеді, атап
айтқанда түбірлердің есептік саны қалып қойған. [19.,б.47]
Көрсетілген мысалдың бір ерекшелігі бар. және бөліктері
бірлік шеңберінде сәйкес келмейтін нүктелер береді. Егер де әртүрлі
бөліктеріндегі нүктелер сәйкес келсе, онда оларды қысқа деп атаймыз. Жұп
сандар бөліктерінде қайталанатын нүктелерді жұп сандар қысқашы деп атаймыз,
ал тақ сандар бөліктеріндегі қайталанатын сандарды тақ сандар қысқашы деп
атайды. нүктесінен келетін ирек сызық бөлінбейтін қысқаша нүктемен
кездескеннен кейін басқа жаққа ауысуы қажет, егер ол бірлік шеңбердің
сыртында болса, онда енді оның ішінде болады. Бірақ бөлінетін қысқаша нүкте
біздің сызыққа басқа жаққа ауысуға мүмкіндік бермейді. Бұны нақты үлгіде
қарастырайық:
2 мысал: теңсіздігін шешу.
Теңдеудің кешенділіген қарастырайық бұдан
Оқшауланған шеңберде сериясының мағынасы екі нүкте арқылы
көрсетілген 0 және . сериясы нүктелерін береді.
сериясынан нүктелерін аламыз. Осы нүктелердің барлығын жақшаның
ішіне олардың мағыналарын көрсетіп ,оқшауланған шеңберге жазамыз.
Енді саны тең болсын. Белгі бойынша шешеміз:
. Онда, нүктесін оқшауланған шеңбердің сыртында
бұрышын құратын Ох сәулесін қосамыз. ( Белгілеп кету керек қосалқы
сәулесін суретте мүлде көрсетпеуге болады. нүктесі жақынырақ таңдалып
алынады). нүктесінен ирек сызықты барлық белгіленген нүктелерге
қосамыз. нүктелерінде біздің нүкте бір бағыттан екінші бағытқа
ауысады: егер ол оқшауланған шеңбердңғ сыртында болса, онда ішіне ауысады.
нүктесіне келгенде, бұл нүктенің ұзындығы бөлінетін сан болғандықтан
сызық ішкі жаққа ... жалғасы
Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.
Жаратылыстану-математика факультеті
Физика-математика және жалпы техникалық пәндер кафедрасы
Қорғауға жіберілді ___________201__ ж.
Қолы __________Калаков Б.А
(кафедра меңг.)
ДИПЛОМДЫҚ ЖҰМЫС
Мектеп курсындағы тригонометриялық теңсіздіктерді оқыту әдістемесі
5В010900 – Математика
Орындаған: Әбибұлла Ж.Ж.
Ғылыми жетекші: Мнайдарова Ж.С.
Қостанай, 2016
Мазмұны
Кіріспе ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .
1. Мектеп курсындағы тригонометриялық теңсіздіктердің оқыту әдістемесінің
теориялық
негіздері ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
... ... ... ... ... ... ...
1.1 Ғылым ретінде тригонометрияның даму
кезеңдері ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ...
1.2 Әр түрлі мектептердегі тригонометриялық материалдардың мазмұны мен
материалдары ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
1.3 Жалпы білім беретін мектептердегі тригонометриялық теңдеулер мен
теңсіздіктердің орны мен
ролі ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .
... ... ..
1.4 Тригонометриялық теңдеулер мен теңсіздіктерді шешуде қажет болатын
дағдылар ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
2. Мектеп курсындағы тригонометриялық теңсіздіктерді шешу
әдістемесі ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
2.1 Тригонометриялық теңсіздік және оны шешу
тәсілдері ... ... ... ... ... ... .. ... ... ...
2. Тригонометриялық теңсіздіктерді шешу жолдарын құру
әдістемесі ... ... ... ...
2.3 Тригонометриялық теңсіздіктерді дәлелдеу
жолдары ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .
2.4 Педагогикалық
эксперимент ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ... ... .
Қорытынды ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
Пайдаланылған әдебиеттер
тізімі ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
... ..
Қосымша
Кіріспе
Қазіргі уақытта қайта құру, дамытушылық функциялары мектептегі білім
берудегі қайта бағдарлаудың негізгі міндеттері болып табылады.
Интеллектуалды тұлғаның дамуы, оқу – танымдық қызметінің алғашқы
жоспарларына шығатындығын білдіреді. Қазіргі уақытта мектептерде оқу –
танымдық ойларын дамытуға математикамен бәсекеге түсе алатын пән жоқ.
Бірнеше ондаған жылдар бойы тригонометрия мектеп курсының жеке пәні ретінде
қарастырылмайды, сондықтан ол мектеп курсындағы геометрия және алгебра
ғана емес, алгебра және анализ бастауында да кездеседі. Тарихи түрде
тригонометриялық теңдеулер және теңсіздіктер мектеп курсында ерекше орын
алады. Гректер тригонометрияны ғылымдар ішіндегі ең маңызды ғылым ретінде
есептеген. Сондықтан да біз тригонометрияны мектеп курсындағы және барлық
математика ғылымдарының ішіндегі маңызды бөлім деп есептейміз. Мектеп
курсындағы тригонометриялық теңсіздіктер орта білім беру мектептерінде
маңызды орын алады, олардың мазмұнына, оқу материалына және оқу – танымдық
қызметіне байланысты, сондай – ақ құрылымына және қолдануына, көптеген
есептердің шешуіне және теориялық, қолданбалы сипатқа ие. Мектептегі
математикалық білімнің тригонометриялық теңдеу мен теңсіздіктерді шешуінің
бірнеше бағыттары бар:
- Теңсіздіктерді шешу;
- Теңсіздіктердің жүйесін құру;
- Теңсіздіктерді дәлелдеу.
Ғылыми – әдістемелік және математикалық әдебиеттер талдауы көрсетіп
отырғандай, бірінші және екінші бағыттарға көп көңіл бөлінеді. Математиканы
оқытуда қолданбалы бағытты қолдануды күшейту, біздің уақыттың талабына сай
болып келеді. Талдаулар көрсеткендей мектептегі білім беру,
тригонометриялық теңдеулердің шешу мүмкіндіктерін, әсіресе тригонометриялық
теңсіздіктерді шешу бағыттары бұл тұрғыдан жеткілікті. Сонымен қатар айта
кету керек, тригонометриялық теңдеулер мен теңсіздіктер оқушылардың білім
сапасы үшін алғышарттар қояды, яғни мектеп курсы бойынша барлық
тригонометриялық материалдар (мысалы, тригонометриялық функцияның
қасиеттері, тригонометриялық өрнектерді түрлендіру және т.б) және алгебра
материалымен тығыз байланыс жасауға мүмкіндік береді (теңдеулер,
теңсіздіктер, тепе - теңдік түрлендіру, алгебралық өрнектер және т.б ).
Басқаша айтқанда, тригонометриялық теңдеулер мен теңсіздіктерді шешу
әдістерін қарастырғанда оны өзіндік жаңа мазмұнға көшіру қарастырылды.
Зерттеудің өзектілігі: тригонометриялық теңсіздіктерді шешуге арналған 10
сынып оқулықтарының әр түрлі авторлардың "Алгебра және анализ бастамалары",
тригонометриялық теңсіздіктердің зерттеу мақсаттарын есепке алу, сондай –
ақ қаралып отырған тақырып бойынша оқыту нәтижелері куәландырады. Мұғалім
алдында оқушылардың әр түрде берілген теңсіздіктерді шешуін, осылайша
жалпы тригонометриялық түсінік беру міндеті тұр.
Зерттеу мақсаты: оқушылардың тригонометриялық теңсіздіктерді шешуіне
бағытталған әдістемені құру.
Зерттеу объектісі: математика оқыту процесі.
Зерттеу пәні: тригонометриялық теңсіздіктерді шешуіне бағытталған
әдістеме.
Зерттеу гипотезасы: егер тригонометриялық теңсіздіктерді бөліп алсақ
және әдістемесін құрсақ, онда бұл сапалы түрде тригономериялық
теңсіздіктерді шешуге ықпал етеді. Тригонометрияны сапалы зерттеумен, біз
оқыту процесін түсінеміз, сонымен қатар тұлғалық бағдарлы оқытуды жүзеге
асырылатынын ескере отырып, формальді білім беру және схоластикалық
пысықтауды іске асыру кезінде оған жол берілмейді, яғни тригонометрияны
зерттеу логикалық, оқу - танымдық ойлауға сүйенуге тиіс, бұл ретте
оқушыларға саралау және даралау мүмкіндіктері беріледі. Гипотезаның зерттеу
процесінде және зерттеудің дұрыстығын тексеру үшін, келесі міндеттерді шешу
қажет болды:
-Әдістемелік әдебиеттерді зерттеп, психологиялық – педагогикалық талдау
жүргізу;
- Математиканы оқытудағы тригонометриялық теңсіздіктредің рөлін анықтау;
- Тригонометриялық теңсіздіктердің негізігі шешу амалдарын бөлу;
- Тригонометриялық теңсіздіктерді шешу әдістерін жіктеу;
- Тригонометриялық теңсіздіктерді шешу әдістерінде білік пен дағдыны
қалыптастыру;
- Құрылған әдістеме бойынша эксперимент жүргізу.
Берілген есептерді шешу үшін келесі әдістер қолданылды:
Психологиялық – педагогикалық және әдістемелік әдебиеттерді талдау;
оқулықтарды, оқу – әдістемелік құралдарды, дидактикалық материалдарды
талдау; бақылау, мұғалімдермен әңгімелесу, педагогикалық эксперимент.
Жұмыс құрылымы: Жұмыс екі тараудан, кіріспе және қорытындыдан тұрады.
Кіріспесінде зерттеудің өзектілігі атап өтілді. Бірінші тарау математика
курсындағы тригонометрияның теориялық материалдары, тригонометриялық
теңсіздіктерге жіктеуге арналды, тригонометриялық теңсіздіктердің шешу
амалдары, әдістемесіне арналды, ал екінші бөлімінде тригонометриялық
теңсіздіктерің шешу әдістемелеріне толыққанды тоқталуға арналады.
Әдебиеттер тізіміне 40 аса кітап кіреді.
1. Мектеп курсындағы тригонометриялық теңсіздіктердің оқыту
әдістемесінің теориялық негіздері
1.1 Ғылым ретінде тригонометрияның даму кезеңдері
Тригонометрия XVIII ғасырда ғана қорытынды рәсімдеуді алған қарапайым
математиканың ең жас бөлімдерінің бірі, дегенмен оның кейбір идеялары
ежелгіге, көне әлемге және үнділердің математикалық жұмыстарына тиесілі
болып табылады (К. Птолемей, II ғ., Аль Баттани, IX ғ., және т.б.).
Еуропалық математиктер синус пен тангенстің кестелерін есептеуде үздік
жоғары дәрежеге жетті (Региомонтанус, XV ғ., Ретикус и Питискус, XVI ғ.,
және т.б.).
Тригонометрия атауы грек сөзінен шыққан, үшбұрышты өлшеу деген
мағынаны білдіреді: (тригонон) – үшбұрыш, (метрейн) – өлшеу.
[1.,б.5-6]
Тригонометрияның ғылыми дамуы Л.Эйлердің
Jntroductioinanalysisinfinitorum (1748) еңбегі арқылы жүзеге асырылды. Ол
тригонометрияны функция туралы ғылым ретінде құрды, оған аналитикалық
мәлімдеме берді және бірнеше негізгі формулалардан формулалардың барлық
жиынтығын шығарды. Үлкен әріптермен сәйкес, қабырғаларды және қарама-қарсы
бұрыштарды кішкентай әріптермен белгілеу – барлық формулаларды оңайлатуға
және оларды нақты, үйлесімді жасауға мүмкіндік береді. Эйлерге
тригонометриялық функцияларды, шеңбердің радиусына сәйкес сызықтардың
қатынасы, яғни сан ретінде қарастыру ойы тиесілі, сонымен қатар ол толық
синус ретінде шеңбердің радиусын бірлік ретінде қабылдады. Эйлер жаңа
қарама-қатынастар қатарын алды, тригонометриялық функциялармен көрсеткіштер
арасында байланыс орнатты, барлық төрт бөліктерге ережелер берді,
жалпыланған формуланы келтіруді алды және тригонометрияны барлық дерлік
еуропалық математика оқулықтарында жіберілетін көптеген қателерден
дұрыстады. [2.,б.28]
Л.Эйлердің жазғаны, кейінірек тригонометрия оқулықтары үшін іргетас
ретінде қызмет атқарды. Бірінші нұсқалықтардың бірі, Сокращённая
математика С. Румовского (1760), Начальные основания плоской
тригонометрии бөлімі, келесідей мәлімдемесін бастады: Тригонометрия
арифметикалық есептеулер арқылы үшбұрыштарды геометриялық сызумен табатын,
жазық білім болып табылады. Барлық мәлімдемелер үшбұрыштарды шешумен
аяқталады (ең оңай жағдайлар), есептеулер өте күрделі жолмен жүргізіледі,
функцияларды үйрету жүргізілмейді.
Осылайша, тригонометрия геометрияның негізінде пайда болды.
Геометриялық тілге ие болды және геометриялық міндеттерді шешуде
қолданылды. Алгебралық таңбалардың дамуы тригонометриялық қарама-
қатынастарды формула түрінде жазуға мүмкіндік берді; теріс сандардың
қолданылуы бағытталған бұрыштар мен доғаларды қарастыруға және
тригонометриялық сызықтар түсінігін (шеңбердің нақты бір сегменті) кез
келген бұрыштарға таратуға мүмкіндік берді. Осы кезеңде зерттеу үшін негізі
тригонометриялық (дөңгелек) функцияның аналитикалық теориясы болған,
тригонометриялық функцияларды сандық аргумент функциясы ретінде қарастыру
базасы құрылды. Кез келген дәлдік дәрежесінде тригонометриялық
функциялардың мәндерін есептеуге мүмкіндік беретін аналитикалық құрылғыны
Ньютон жасады.
Тригонометрия заманауи түрді Ресей ғылым академиясының Л. Эйлер (1707
– 1783) ұлы ғұлама еңбектерінде алды. Эйлер тригонометриялық функция ұғымын
сан ретінде қарастырып, шеңбердегі тригонометриялық сызық шамасы ретінде
радиусы бірлікке қабылданды (Тригонометриялық шеңбер немесе Бірлік
шеңбер). Эйлер тригонометриялық функциялардың кез келген бөлігінде
шешуінің түпкілікті шешімін берді. Барлық тригонометриялық формулаларды
бірнеше негізгі формулалардан шығарып, сондай-ақ оған дейін білмеген
бірнеше белгісіз формулаларды орнатып, біркелкі белгілерді енгізді. Дәл
оның еңбектерінде алғаш рет жазулары кездеседі. Сондай – ақ ол
тригонометрия мен кешенді аргументтегі көрсеткіштік функция арасындағы
байланысты ашты. Эйлердің жұмыстарының негізінде қатаң ғылыми реттілігінде
тригонометрия оқулықтары жасалған. [3.,б.35-36]
Эйлерден бастау алған, тригонометриялық функцияның теориясын талдау
(геометрияға тәуелді емес), құру, ұлы орыс ғалымның Н.И. Лобачевскийдің
еңбектерінде аяқтауға ие болды.
Қазіргі заманғы көзқарас тригонометриялық функциялардың сандық
аргументтің функциясы ретінде қарастыру физика, механика, техника
ғылымдарының дамуына негіз болды. Бұл функциялар математикалық аппарат
негізіне жатты, оның көмегімен әр түрлі үдерістер зерттеледі: тербеліс
қозғалысы, толқындар тарату, қозғалыс механизмдері, айнымалы электр тоғының
ауытқуы. Ж . Фурье (1768 – 1830) көрсеткендей, кез келген периодтты
қозғалысты кез келген дәреже дәлдігімен қарапайым синусоидағы
(гармоникалық) тербелістер түрінде көрсетуге болады. Егер даму басында
қатынасы квадраттардың аудандарының тәуелділігін білдірсе,
гипотенузасы 1-ге тең тік бұрышты үшбұрыштың қабырғасы жағында салып, онда
кейіннен бұл қатынас интерференция бойымен өтетін екі тербелмелі
қозғалыстың қатынасы ретінде көрсетіледі. [4.,б.23-24]
Осылайша, бастапқы сатыларындағы дамуында тригонометрия өзінің
геометриялық есептерді шешу құралы ретінде қызмет етті. Оның мазмұны
ретінде қарапайым геометриялық фигуралар элементтерінің шешуі есептелді,
яғни үшбұрыш. Бірақ қазіргі тригонометрия дербес және тригонометриялық
функциялардың қасиеттерін зерттеу маңызды болып табылады. Бұл
тригонометрияның даму кезеңі барлық даму барысымен дайындалды, тербелмелі
механика қозғалысы, физика дыбыстары, жарық және электромагниттік
толқындар.
Осы кезеңде көптеген тригонометрия терминдер және, атап айтқанда,
қатынастарды шығару теңдеуіне, онда n – натурал сан және т.б. sinx
және cosx функцияларын дәрежелік қатарлардың қосындысы ретінде
қарастырамыз:
В. Никитина және Т. Суворов оқулықтарында осылай дерлік жазылған.
Толық ғылыми баяндауды академик М. Е. Головин өзінің 1978 жылы Жазықтық
және сфералық тригонометрия алгебралық дәлелдеулермен оқулығында
тригонометрияға түсінік береді. Бұл кітаптан барлық маңызды
тригонометриялық формулаларды табуға болады, яғни XIX ғасырдағы мазмұнына
(кері тригонометриялық функцияларды қоспағанда). Автор бұл оқулықта секанс
және косеканстың баяндауын енгізген жоқ, өйткені бұл функциялар іс –
жүзінде сирек жағдайларда ғана қолданылады. 1804 жылы
Н. Фуссаның оқулығы шығады. Оқулық гимназияларға арналған, 4 бөліктен
тұрады: жалпы ұғымдардан, үшбұрыштарды шешу, тригонометриялық практика мен
геодезиға арналған тригонометриялық қосымшалар және қосу теоремасы.
Фуссаның оқулығы сфералық тригонометриядан ерекшеленеді.
1851 жылы М. В. Остроградский алға қадам жасайды. Ол өзінің
конспектілері бойынша тригонометрияға басшылық жасау үшін әскери оқу
орындарында ол тригонометриялық функцияның анықталуына жақтаушы ретінде
шығады. Бірінші кезеңінде тікбұрышты үшбұрыштардың қабырғаларының
қатынастарын зерттеп, олардың анықтау жән кез келген бұрыштардың шамаларына
таралуын оқып – үйретеді. [5.,б.21]
1.2 Әр түрлі мектептердегі тригонометриялық материалдардың мазмұны мен
материалдары
10 сыныптардағы тригонометриялық теңдеулер және теңсіздіктерді шешуге
арналған А.Н.Шыныбековтың Алгебра және анализ бастамалары және
А.Е.Әбілқасымова Алгебра және анализ бастамалары оқулықтарын талдап,
бұдан тригонометриялық теңдеулер және теңсіздіктер әр түрлі орта
мектептерге арналған математика оқулықтарында ұсынылған екені көрсетіледі.
Сондықтан, мұғалім міндеті – әр түрлі теңсіздіктер шешу үшін оқушылардың
қабілетін қалыптастыру. 10 сыныптарға арналған тригонометриялық
оқулықтардың материалдарының мазмұнын қарастырып, ол материалдарды
салыстыру, талдау және мектеп курсындағы ең оңтайлы тәсілді қалыптастыру
мақсатында мектептерде қолдану болды. [6., б.45]
А.Н.Шыныбековтың 10 сыныпқа арналған Алгебра және анализ бастамалары
оқулығына талдау
Оқулық 7 тарауға бөлінген. Әрбір тарау сұрақтар мен тапсырмалар
тізімімен ашылады. Содан соң, әр тарауды оқып болғаннан кейін қол жеткізуге
болатын нәтижелерді тұжырымдайды. Тақырыпқа байланысты Тригонометриялық
теңдеулер және теңсіздіктерді шешу материалы ІІ тарауда көрсетілген, ал
Функциялары мен графиктер, Тригонометриялық өрнектерді түрлендіру,
Кері тригонометриялық функциялар, Тригонометриялық теңдеулер тақырыбын
оқып болғаннан кейін Тригонометриялық теңсіздіктер тақырыбы ұсынылған.
Функцияның жалпы қасиеттері бірінші тарауда кездеседі, бірақта олар
тригонометрияның облысына жатпайды, ал Теңсіздіктер екінші тарауда
кездесіп тригонометриялық теңсіздіктерде соңғы тақырыптарда кездеседі.
А.Е.Әбілқасымованың 10 сыныпқа арналған Алгебра және анализ
бастамалары. оқулығына талдау
ІІ тараудағы А.Е.Әбілқасымованың Тригонометриялық функциялар
тақырыбына тоқталсақ, онда бұрыштарды өлшеу, үшбұрыштардың қатынасы,
айнымалы қозғалыс, есептеу техникасы тақырыптарын қайталау қажет деп
санаймыз. Содан соң тригонометриялық функциялардың анықтамасын және
қарапайым қасиеттерін, қысқарту формулаларын, тригонометриялық
функциялардың мәндері енгізілген. Ал бұл жерде де негізгі тригонометриялық
теңсіздіктер бар. Осы тарауда Әбілқасымова қарапайым тригонометриялық
теңдеулердің тригонометриялық графиктерді салу арқылы шешулерін
қарастырған. Осы тарауда Тригонометриялық функцияларды зерттеу және Тепе-
тең түрлендірулер тақырыбына арналған. Тек осы тараудан кейін, Теңдеулер
мен теңсіздіктерді шешу тақырыбынан соң теңдеулер мен теңсіздіктердің
түрлері, типтері енгізіледі. Тиісінше, осы тарауда біз олардың шешу жолдары
мен әдістері туралы атап айтамыз. [7.,б.80]
Тригонометриялық мен теңсіздіктер тақырыбын зерттеу, келесі схемалар
арқылы анықталады: функция → теңдеулер → түрлендірулер.
А.Г.Мордкович. 10 – 11 сыныптарға арналған Алгебра және анализ
бастамалары. оқулықтарына талдау
Оқулық 8 тарауға бөлінген. Әр тараудың зерттеу соңында негізгі зерттеу
нәтижелері баяндалады. 10-шы сыныпта математиканы оқыту Тригонометриялық
функциялар тақырыбын зерттеумен басталады. Мұнда автор координаталық
жазықтықтағы тригонометриялық шеңбер ұғымын, синустар және косинустар
ұғымын, негізгі тригонометриялық қатынастар ұғымын және қарапайым
теңдеулерді тригонометриялық шеңбермен шешуді көрсетеді. Бұл формулалар
тригонометриялық функциялардың бұрыш аргументтерін зерттеуден кейін
енгізіледі. Енді біз тригонометриялық функциялардың қасиеттері мен
графиктерін қарастырамыз. [8.,б.142-143]
ІІ тарауда, Тригонометриялық теңдеулер тақырыбы егжей-тегжейлі
қаралып, ондағы қарапайым тригонометриялық теңдеулер, бұрын енгізілген
арксинус, арккосинус, арктангенс ұғымдарымен нақтыланады. Осы тарауда біз
келесі әдістерді зерттейміз: жіктеу және жаңа айнымалы енгізу,
тригонометриялық теңдеулердің біртекті шешімдер әдісі болып табылады. Ал
келесі әдістерді ІІІ тарауда Тригонометриялық теңдеулерді түрлендіру
оқыған соң қарастырамыз.
Мұнда зерттеу схемасы келесі түрде анықталады: функция → теңдеулер →
түрлендірулер.
А.Г.Мордковичтың ойы бойынша, оқулықты дербес зерттеу оқушыларға өте
қолайлы, өйткені онда күшті теориялық база енгізілген. Оқулықтың теориялық
материалын баяндау өте егжей – тегжейлі жүзеге асырылады. Сыныптағы оқыту
уақытының жетіспеушілігін ескере отырып, оқушылардың оқулықпен жұмысының
мәні арттырады. Оқулық негізінде, мұғалім, оқушыларға тез есте сақтап және
үйде оқып келетіндей, сабақ түсіндіру қажет екенін жақсы түсінетін болады.
Оқулықтың кемшілігіне, тақырып бойынша жаттығулар аз берілгені болып
табылады.
А.Н. Колмогоровтың Алгебра және анализ бастамалары.оқулығына талдау
Оқулық 4 тараудан тұрады. Тригонометриялық теңдеулер мен
теңсіздіктерді шешу тақырыбының зерттеу схемасы алдындағы тақырыптардың
схемасынан ерекшеленеді, өйткені бұнда бірінші тригонометриялық
функциялардың сандық аргументін және негізгі тригонометриялық теңдеулерді
қарастырамыз. Осы бірінші тарауда, бірақ кейінірек, негізгі
тригонометриялық функциялардың қасиеттері және олардың графиктері,
зерттеулері қарастырылады. Осыдан кейін арксинус, арккосинус, арктангенс,
арккотангенс ұғымдары, және осы шешіммен тригонометриялық теңдеулер және
тепе – теңдіктер параллель енгізіледі. Автор тригонометриялық
теңдеулердің шешу әдістерін атап айтпайды, ал ол шешу алгоритмдерін
сипаттайды. Бұл тригонометриялық тепе – теңдіктердің шешуіне де қатысты.
[9.,б.23]
Осылайша, зерттеу схемасы көрінеді: түрлендіру → функция →теңдеу.
Бұл оқулықта көптеген қарапайым және одан да күрделі дидактикалық
материалдар бар екенін атап кету керек. Бұл мұғалімдерге тапсырмаларды
оқушыларға әр түрлі етіп беруге мүмкіндік береді.
Берілген теориялық материалға байланысты, бұл оқулық оқушыларға өз
бетінше зерттеуге өте қолайлы деп айтуға болмады.
Тригонометриялық теңдеулер тақырыбының мазмұнын талдағаннан кейін,
келесі тұжырымға әкеледі:
1) қарапайым тригонометриялық теңдеулер басым болып табылады, олардың
шешуі арксинус, арккосинус, арктангенс сандар функцияларының түсінігі
бойынша шешуіне негізделген;
2) іс жүзінде тригонометриялық теңдеулер жоқ, олардың шешуі шектеулі
синус және косинус қасиеттеріне негізделген;
3) егер тригонометриялық теңдеулердің шешімін тригонометриялық немесе
алгебралық өрнектердің шешімі мен қарым – қатынасын айтсақ, онда
бұл әдістер оқулықта өте қарапайым және біркелкі жазылғанын атап өткен жөн;
а) тригонометриялық өрнектер:
негізгі тригонометриялық айырманы пайдалануды қабылдау;
қосарланған және жарты аргумент формуласын пайдалануды қабылдау;
туындыдағы тригонометриялық өрнектердің қосындысының түрлендіруін қабылдау;
б) алгебралық өрнектер:
көбейткіштерге жіктеуді қабылдау;
синус және косинусқа байланысты біртекті көпмүше білдіретін,
тригонометриялық өрнектердің түрлендірулерін қабылдау.
Тригонометриялық тендеулер тақырыбына байланысты қолданылған қабылдаулар
қарастырылады, олар шартты түрде мынадай түрлерге бөлуге болатындығына әкеп
соқтырады :
а) тригонометриялық функцияларды квадратқа қатысты келтіру;
б) тригонометриялық функцияларды рациональ бөлшектерге қатысты келтіру;
в) біртекті келтіру ;
г) түрде болсын, онда - тригонометриялық функция келтіру.
[9.,б. 55]
1.3 Жалпы білім беретін мектептердегі тригонометриялық теңдеулер мен
теңсіздіктердің орны мен ролі
Тригонометрия дәстүрлі түрде мектептегі математика курсының ең маңызды
құрамдыс бөлігі болып табылады. Бұл курс барлық тақырыптарды өткеннен кейін
есептерді шешу мақсатын қамтиды.
Математика бойынша оқулықтарды талдау тригонометриялық теңсіздіктер
теңдеу сызығында зерттеу және теңсіздік сызығында зерттеу орынын анықтайды.
Тригонометриялық теңдеулерді шешу тақырыбын зерттеу
Тригонометриялық өрнектерді түрлендіру және Тригонометриялық функцияның
негізгі қасиеттері және графигі тақырыбын алдын ала зерттеуге әкеп
соқтырады. Тригонометриялық теңдеулер мен теңсіздіктерді шешу тарауында
біз арксинус, арккосинус, арктангенс ұғымдарымен таныстық.
Математика оқыту тәжірибесін көрсетеді, яғни оқушылар материалды
оқығанда материалдың маңыздылығын түсінбейді, ал оны практика жүзінде
қолданғанда ғана түсінеді. Содан кейін ғана ол шешу құралына айналады.
[10.,б.63]
Мысалы: теңдеуін шешейік. Бұл қарапайым cosx=1 теңдеуіне
әкеледі, бұл жекеше түрде қарапайым, кейін қарапайым түрлендіргеннен соң
сол жағын тригонометрияның қосу формулалары бойынша табамыз.
Тригонометриялық теңсіздіктерді шешу кезінде осындай жағдайлар туындауы
мүмкін. Теңсіздікті
түрінде, бұл негізінен өрнектің оң жағын түрлендіргенде ғана шешіледі.
өрнегін аламыз, ал содан соң негізігі тригонометриялық функциялардың
таблица мәндер көмегімен біз қарапайым теңсіздігін алып, бұны шешу
оқушыларға қиындық туғызбайды.
Біз дәл осы жерде оқушыларға тригонометриялық формулалардың
маңыздылығын байқай аламыз. Олардың көмегімен бірінші көзқараспен қиын
теңдеулер мен теңсіздіктер қарапайым түрге, ең бастысы таныс түрге ие
болады. Тригонометриялық теңсіздіктерді шешкен кезде де осындай жағдайлар
болады. Мұндай жолмен тригонометрияны зерттеу, бұл теңдеулер мен
теңсіздіктерді тригонометриялық формулаларды түрлендіруден кейін
оқытылады. Тригонометриялық өрнектерді түрлеyдіру және Тригонометриялық
функциялардың негізгі қасиеттері және графиктері тақырыбы бойынша
тригонометриялық теңдеулер мен теңсіздіктердін білімі анықталады. Егер
тригонометриялық теңдеулер мен теңсіздіктер Тригонометриялық өрнектерді
түрлендіру тақырыбына дейін оқытылса, онда олардың зерттеу орыны мүлде
қарама – қарсы түрде анықталады. Мұнда тригонометриялық теңдеулерді
зерттеуге көп уақыт бөлінеді: егер жаңа формула пайда болса, онда оны
бірден теңдеулер мен теңсіздіктерді шешуге пайдаланады. Яғни,
тригонометриялық теңдеулер мен теңсіздіктерді шешу құралы боп түрлендіру
емес, ал теңдеулер құрал ретінде көрсетіледі. Осылайша, кез келген
тригонометрияны зерттеу көзқарасы, теңдеулер мен теңсіздіктерді оқыту
рөліне қарамастан орасан зор болып табылады. Ал соның салдары ретінде
тригонометриялық теңдеулер мен теңсіздіктерді шешу әдістерінің орны ауқымды
және орасан. Яғни, оқулық авторлары тригонометриялық теңдеулер мен
теңсіздіктердің әдістеріне қажетті көңіл бөлмейді. Теңдеулер мен
теңсіздіктерді жіктеп және олардың шешу әдістерін көрейік. [11.,б.12-13]
1.4 Тригонометриялық теңдеулер мен теңсіздіктерді шешуде қажет болатын
дағдылар
Әдістемелік әдебиетте дағды деген сөз тіркесі бар. Мысалы,
А.В.Петровский дағды дегенді нақты бір теориялық немесе практикалық
тапсырмаларды шешу үшін өзінің қабілеттерін, білімін және түсінігін қолдана
алу деп түсінеді. Т.Б.Булыгинаның ойынша Дағды – ол белгілі бір істі
саналы түрде жасау. М.В.Матюхина келесі түрде анықтама береді: Дағды –
бұл қызметті табысты түрде орындауды қамтамасыз ететін білім мен
қабілеттердің ұйқастылығы. Дағдылар – бұл істерді орындаудағы
роботтандырылған әдіс. Білім– бұл түсініктегі түрлердің субъектілік
түрлілігі. Түсінік – бұл бір оқшауланғандықты және ерекшелікті
көрсететін,бір уақытта және барлығын қосып алғандағы білім түрі. Келесі
түсініктерді қарастырайық: Дағдыларды қалыптастыру. Ол мұғалімнің
оқушыларды оқытқан сәтте белгілі бір әлеуметтік тәжірибені алуын білдіреді.
Дағдыларды қалыптастыру – бұл пәннен алынатын білімде бар ақпараттарды
анықтау және қайта қарастыру бойынша барлық қиын жүйелерді меңгеру.
Дағдыларды қалыптастыру бұл негізінде білімді тереңдету түрінде
қолданылады. Дағды зерттелетін белгілі бір заттар туралы түсініктерді
меңгеру негізінде қалыптасады. Дағдыларды қалыптастырудағы негізгі жол –
бұл оқушыларды заттардың барлық жақтарын көруге, оларға әртүрлі түсініктер
беру, сол затқа әртүрлі көзбен қарауды үйрету. Затты талдау арқылы
синтездің көмегімен түрлендіруді оқушыларға үйрету. Қолданылатын түрлендіру
қандай қарым-қатынас және тәуелділік талап етілуіне байланысты. Осындай
түрлендірулер тапсырмаларды шешу жоспары болып саналады. Дағдыларға үйрету
әртүрлі жолдар арқылы жүзеге асыруға болады. Оның бірі оқушыларға қажетті
білімді беріп, содан соң оларға орындау үшін тапсырмалар береді. Содан соң
оқушы сол тапсырманы шешу үшін мүмкіндіктер мен қателерді қолдану арқылы
сәйкес бағдарларды, ақпараттарды қарастыру және қызметте қодану арқылы
шешім іздейді. Бұл жолды мәселелі оқыту деп атайды. Келесі жол, ол
тапсырманы шешу үшін оның түрін және талаптарын жедел анықтау бойынша
белгілерге үйретеді. Бұл жолды алгоритмделген оқыту немесе толық
бағдарланған негіздегі оқыту деп атайды.[12.,б.56] Соңында, бұл жол ол
оқушының білімін қолдану үшін психикалық қызметке үйрету болып табылады.
Бұл жағдайда мұғалім оқушыны тек қана белгілер мен тапсырмаларды айыра алу
бағдарларына ғана үйретіп қоймай, сонымен қатар алға қойылған тапсырмаларды
шешу үшін алынған ақпараттарды қолдануды ұйымдастырады. Бірінші кезеңде
заттың бұл бағдарлары (маңызды ерекшеліктер) оқушыға дайын, заттты түрде,
сызба түрінде, символ, зат түрінде, ал бағдарларды анықтау бойынша шаралар
заттай іс-әрекеттер түрінде қолданылады. Бағдарлар мен заттай бағдарлар
екінші кезеңде қалады, оларды ойлау шаралары, сөйлеу және жасау түрлерімен
алмасады. Үшінші кезеңде сөйлесу әрекеттері де түсіп қалып , оларды ойлау
шаралары алмастырады, ол барлық сызба бойынша таралады. Бұл кезеңді ойлау
қабілеттерін қалыптастыру әдісі деп атайды. Бірақ қарапайым түрде оқытуда
бұл кезеңдер саналы түрде ұйымдастырылады. Сондықтан оқушы өзі қажет
белгілерді анықтап, ал бастысы – осы әрекетті өзі таңдау керек.
Қателіктерге көп жол беріледі. Түсініктер әрқашан толық әрі дұрыс болмайды.
Дәстүрлік оқыту, дербес ойлану мен нәтижелері арқылы түзетуге
негізделгендіктен, оқушының дұрыс түсінбеуіне алып келеді. Сонымен қатар
оқушының қызметі ұғымдарды құруға, олардың белгілерін іздеуге қосарланбауы
керек, соған қоса, түсініктерді мағына берумен толықтыру үшін, оның қолдану
тәсілдерін меңгеру керек – бұл қызмет жалғыз өзі ғана маңызды заттарды
белгілері бойынша іздеу емес, ал осы белгілерді қолдану. Түсінік толық әрі
қатесіз құрылу үшін, оқушының сәйкес жұмысы толық бағдарлы негізде құрылуы
тиіс. Олай болмаса, мұғалім оқушыларға заттардың барлық дайын белгілерін
беруі керек, сонымен қатар әрбірін анықтау мен қолдану үшін қажетті
шараларға баланы оқыту қажет. Тригонометриялық теңдеулер мен теңсіздіктерді
шешу туралы айта отырып, ол бір толық кешенді құрайтындығын, оған келесілер
кіретіндігін білу қажет:
- Тапсырылған сандарға сәйкес санды шеңберде сәйкес (, және
т.б.) және сәйкес емес (М(2), М(-7), М(6)және т.б) нүктелерді тауып
алу;
- Сандарды шеңбер санымен суреттеуді және нүктелерді жаза білу (көрсетілген
нүктеге сәйкес келетін барлық сандар );
- Тригонометриялық жүйелердің бірінің мағынасы бойынша санды шеңберде санды
салу;
- Доға санды шеңбер үшін қос теңсіздікті құру;
- Белгілі бір түрге келтіру үшін негізгі мақсат арқылы теңдеу мен теңсіздік
көмегімен талдау шығара білу;
- Шешім қабылдауда негізгі таңдау жасай білу;
- Тригонометриялық дөгелектің кестесінің көмегімен қарапайым
тригонометриялық теңдеулерді және теңсіздіктерді шеше білу;
- Теңдеулер мен теңсіздіктерді шешуде тригонометриялық жүйелерді қолдана
алу;
- Алгебралық анықтамалар мен сәйкес тригонометриялық формулаларды
қолданудағы тригонометриялық анықтамаларды орындай білу;
-Белгілі бір алгебралық теңдеулерді шеше білу (сызықты, төртбұрышты, доғал,
бірсызықты, көрсетілген түрдегі алгебралық теңдеулерді) және т.б.
[13.,б.78]
Көрсетілген біліктіліктер ұзақ уақыт бойы қалыптасады, қасындағы оқушылар
тригонометриялық теңдеулерді білулері тиіс. Бірақ тригонометриялық
теңдеулер мен теңсіздіктерді шешу тәсілдері осы білімдерді жаңа мағынаға
ауыстыра білуге алып келеді. Орта мектептердегі математика бойынша
бағдарлама талдауы, қарастырылып отырған тақырыппен байланысты
тригонометриялық теңдеулер мен теңсіздіктерді зерделеуді есепке алу
мақсаты, сонымен қатар оқытудың негізгі нәтижелері көрсетілген білімдер
қолданылуы қажет, атап айтқанда Үлгі бойынша жағдайларда қолданылуы тиіс.
Төменде көрсетілген әдістемелер оқушылармен қарапайым тригонометриялық
теңдеулер мен теңсіздіктерді шешуді, тригонометриялық теңдеулер мен
теңсіздіктерді шешудегі басқа да шаралармен танысуды қарастырады.
2. Мектеп курсындағы тригонометриялық теңсіздіктерді шешу әдістемесі
2.1 Тригонометриялық теңсіздік және оны шешу тәсілдері
Тригонометриялық теңсіздіктерді шешу үшін бірнеше маңызды кезеңдерден
өту керек. sin x, cos x, tg x и ctg x ұғымдарын енгізу. Радиусы 1-ге тең,
центрі координаталар басында жататын шеңберді бірлік шеңбер деп атайды.
Бірлік шеңбердің Ра нүктесі Р0 (1; 0) нүктесін а радианға тең бұрышқа
бұрғанда шыққан болсын. Ра нүктесінің координатасы - а бұрышының косинусы
екенін аңғару қиын емес
Анықтама. у = sin х және у = cos х формулаларымен берілген сандық
функцияларды сәйкесінше синус және косинус деп атайды
Анықтама. у = tg х және у = ctg х формулаларымен берілген сандық
функцияларды сәйкесінше тангенс және котангенс деп атайды
1. Келесі қадам функцияларды енгіземіз y = sin x, y = cos x, y =
tg x и y = ctg x. Бұл кезеңде осы функциялардың қасиетері,
анықталу облысы мен мәндер облысы қарастырылып өтеді, ал ең
маңызды – графиктерімен танысу.
2. Тригонометриялық теңсіздіктерді шешуге дайындыққа ең соңғы
кезең. Бұл кезеңде оқушылар маңызды тригонометрия формулаларымен
және оларды қалай қолдану керек екендігімен танысады. Бұл
кезеңде алынған білімін оқушылар бүкіл математика курсында
колдана алады. Меңгерілген формулалар көмегімен өте қиын,
көлемді тригонометриялық теңдеулер мен теңсіздіктерді жеңіл
шешуге болады. [14.,б.86]
Енді оқушылар бастапқы кезеңдерді жақсы меңгеріп, біздің
тақырыбымызға жетеді, яғни тригонометриялық теңсіздіктерге жетеді. Әрине
теңсіздіктерді шешу қарапайымдардан басталады sin x a, sin x a; cos x
a, cos x a; tg x a, tg x a. Осы теңсіздіктерді меңгергеннен кейін
қиындығы жоғары теңсіздіктерге келеді, бұнда әр түрлі дәрежелі күрделі
функциялар. Әрине 16-17 жастағы балалар үшін мұндай материалды меңгеруді
жеңіл деп айта алмайсың. Ол абстракті ойлауды, мидың аналитикалық
қалыптасуы және ең маңыздысы ойлаудың шапшаңдығын қажет етеді. Сол себептен
бұндай күрделі материалды Егер қарапайым теңсіздіктер өзі шешіліп тұрса,
онда теңсіздіктерді шешуге арнайы әдіс-тәсілдердің ойластырылуының қажеті
не? Бірақ бұған жауап беруге болады, кез – келген тригонометриялық
теңсіздік, сырттан қарағанда ауқымды және күрделі болып көрінсе де оларға
негізгі тригонометриялық түрлендірулерді қолданып қарапайым түрге келтіруге
болады. Түрлендіргеннен кейін теңсіздікті тригонометриялық шеңбер арқылы
немесе функцияның графигі арқылы шешеміз.
Негізінде мектеп курсында тригонометриялық теңдеулерді шешуде қандай
әдісті қолдану тиімді екендігі жөнінде нақты нұсқаулар жоқ. Бұл жерде
таңдау тек мұғалімдердің өз қалауларына байланысты болады. Менің ойымша
тригонометриялық шеңберді қолдану тиімдірек болады. Себебі бұл өте көрнекі
тәсіл және дәптерде аз орын алады. Негізі қарапайым тригонометриялық
теңсіздіктерді шығарған кезде уақыт мүмкіндік беріп жатса екі тәсілді де
қолданған жөн. Сонымен айтып кеткенімдей тригонометриялық теңсіздіктеріне
тригонометриялық түрлендірулер қолданып оны қарапайым түрге келтіргеннен
кейін тригонометриялық шеңбер немесе графикалық әдісті қолданамыз.
[15.,б,63]
Қарапайым тригонометриялық теңсіздіктерді шешу: Заманауи математика
кітаптарының көптеген авторлары көрсетілген тақырыпты қарастыруды жеңіл
тригонометриялық теңсіздіктерді шешуден бастауды ұсынады. Қарапайым
тригонометриялық теңсіздіктерді шешу қағидасы тригонометриялық дөңгелекте
тек қана негізгі тригонометриялық бұрыштарды анықтап және білуге ғана емес,
сонымен қатар басқа да белгілерге негізделген. Сонымен қоса, мына
теңсіздіктерді шешуді , , , келесі түрде жүзеге
асыруға болады: алдымен көрсетілген теңсіздік орындалатын бір кеңістікті
тауып аламыз (), содан соң синус пен косинустың ара қашықтығында
табылған кеңістікті тауып жазамыз: (). Сонымен қатар, мағынасы
жеңіл табылады ол және . мағынасын табу оқушылардың ойлау
қабілеттеріне, олардың синус пен косинустың бөлек симетрияларын қолдану
арқылы доғаның немесе бөлшектердің теңдіктерін табуларына байланысты болып
келеді. Бұл көп жағдайда көптеген оқушылардың шеше алмаулары алып келеді.
Соңғы жылдары кітаптардағы көрсетілген қиындықтарды шешу мақсатында жеңіл
тригонометриялық теңсіздіктерді шешу үшін әртүрлі шаралар жүзеге асырылған
бірақ оқыту барысында ешқандай оң нәтижелер берген жоқ. Біз ұзақ жылдар
бойы тригонометриялық теңсіздіктерді шешу үшін сәйкес келетін теңдеулердің
түбір формулаларын қолданып келеміз.
Көрсетілген тақырыпты зерттеу келесі түрде жүзеге асырылады:
1. және у = а кестесін құрамыз, санаймыз.
Содан соң теңдеуін құрамыз , оның шешімі . n 0; 1; 2, бере
отырып, құрылған теңдеудің үш түбірін табамыз: . мағынасы
және у = а. кестесінің үш қиылысу нүктсінің абсциссасы болады. Әрқашан
() ара қашықтығында теңсіздігі , ал () ара қашықтығында
теңсіздігі қолданылады.
Осы ара қашықтықтардың соңына синусқа қатысты санды қосып, бірінші
кезекте мына түрдегі шешімге қол жеткіземіз ; екінші жағдайда
– теңсіздігін мына түрде шешеміз .
2. Әрі қарай косинус үшін ұқсас дәлел келтіреміз
Бірақ синусқа қарағанда n = 0 , теңдігін шешімі болып табылатын
формуласынан екі түбірді табамыз , ал түріндегі n = 1
болғандағы үшінші түбір болады. тағыда и кестелерінің
қиылысу нүктелерінің абсциссасы болады.() аралығында теңсіздігі
, ал () аралығында– теңсіздігі қолданылады.
Ал енді және теңсіздігінің шешімін жазу қиын емес.
Бірінші жағдайда : ;
Екінші жағдайда : қол жеткіземіз.
Нәтиже шығарамыз. немесе теңсіздігін шешу үшін, қажетті
теңдеуді құрып, оны шешу қажет. Алынған теңдеуден и тауып,
теңсіздік түріндегі жауапты жазу керек.
теңсіздігін шешу барысында, формуласының сәйкес түбірінен
и түбірін табамыз және теңсіздік жауабын мына түрде :
жазамыз.
Бұл тәсіл оқушылардың істей алатындықтарына, қабілеттеріне тіреліп,
оларға тригонометриялық теңсіздіктерді шешуге көмектеседі.
Бұл қарапайым теңсіздіктерді шешіп және формуладағы өзгерістерді табу.
Сонымен қатар,а санының модулін және оның белгісінің мағынасын теңсіздік
белгісіне байланысты барлық тәсілдерін анықтау үшін мұғалімнің басшылығымен
көптеген жаттығуларды нақтылап шешу қажет емес.
Сонымен қатар, теңсіздікті шешу үдерісі қысқа әрі бірыңғай болып
табылады.
Көрсетілген тәсілдің тағы бір оңтайлы жағы ол, синус пен косинустың
бірінші бөлігі кесте түрінде болмаса да теңсіздікті шешу жеңіл болып
табылады. [16.,б.43]
Бұны нақты үлгі де шешіп көрейік. теңсіздігін шешу қажет делік.
қажет теңдеу құрып және оны шешеміз:
n= 1
n = 2
и мағыналарын табамыз.
Көрсетілген теңсіздіктің нақты жауабын жазамыз:
немесе
.
tgxb, tgxb Қарапайым тригонометриялық теңсіздіктер берілсін. y=tgx
Функцияның анықталу облысы нүктелерінен басқа бүкіл сандық түзу
болып табылады. Сондықтан берілген теңсіздіктердің ММО сандарынан
басқа барлық нақты сандардың Х жиыны болады. y=tgx Функциясының Х
жиынындағы мәндерінің облысы y= жиыны болып табылады.
y-tgx пен y=b функцияларының графиктерін саламыз (4-сурте). Ең алдымен
ұзындығы y=tgx функциясының бас периодына тең аралығындағы берілген
теңсіздіктерді шешуді қарасттыру керек екені сурттен көрінеді. Сурет
сонымен бірге осы аралықта y=tgx фукциясының өсуін пайдалану керектігін
ойға салады.
aралығында y=tgx функция мәндер облысы y=(- және ол өседі,
сондықтан Y-тен алынған әрбір сандық мәнін ол бір рет қана қабылдайды.
Ендеше, болғанда ол b мәнін қабылдайды, ал болатындай әрбір
xx0 үшін ол b – дан үлкен мән, ал болатындай әрбір xx0 үшін b
–дан кіші мән қабылдайды. Демек, аралығында tgxb теңсіздігінің
барлық шешімдер жиыны (5-суретте) интервалы, ал tgxb теңсіздігінің
барлық шешімдер жиыны (6-суретте) интервалы болады, мұндағы .
y=tgx Функциясының периодтылығын пайдаланып, әрбір b үшін tgxb
теңсіздігінің барлық шешімдер жиыны интервалдарынң үйірі, ал tgxb
теңсіздігінің барлық шешімдер жиыны интервалдарының үйірі болады.
[17.,б.93]
tgxb, tgxb теңсіздіктерін шешудің нәтижесін былай қортындылаймыз: tgxb
теңсздігінің шешімдері теңсіздігінің шешімдері жиыны болады.
Eнді ctgxb, ctgxb қарапайым тригонометриялық теңсіздіктер берілсін.
Жоғарыдағыға ұқсас талқылаулар жүргізіп, ctgb теңсіздігінің барлық
шешімдер жиыны (7-суретте) әрбір b үшін интервалдар үйірі, ал ctgxb
теңсіздігінің барлық шешімдер жиыны (8 суретте) интервалдар үйірі
болатынын аламыз.
Ctgxb, ctgxb Теңсіздіктерін шешудің нәтижелерін былай қортындылаймыз:
ctgxb теңсіздігінің шешімдері теңсіздігінің шешімдері жиыны
болады. Көрсетілген үлгідегі жеңіл тригонометриялық теңсіздікті шешудегі
бір кемшілік ол, формолизмнің нақты бөлігінің болуы. Егер барлығына тек
қана осы теңдеулер арқылы баға беретін болсақ,онда формализмде төрт бұрышты
теңдеудің түбір формулаларын, және тригонометриялық теңдіктерді шешудегі
басқа да шешімдерін кінәлауға болады. Көрсетілген тәсіл тригонометриялық
теңсіздіктерді шешуде лайықты орын алғанымен, тригонометриялық
теңсіздіктерді шешудегі басқа да тәсілдерді ұмытпау керек. Осындайларға
аралық тәсілі жатады. Оның мәнін қарастырайық.
Интервалдар әдісі: Математика мұғалімдерінің көп жылдық тәжірибесі,
тригонометриялық теңдеулерді жақсы шешетін оқушылар жиі тригонометриялық
теңсіздіктерді шешуде қиындықтарға тап болатындығын көрсетеді, олар
жұмыстың негізгі бөлігі аяқталғаннан кейін, нақты шешім қабылдауда көптеген
қателіктер жібереді. Оқушыларың немқұрайлықтарынан немесе олар
теңсіздіктердің арнайы ерекшеліктерін толық түсінбегендіктерінің салдарынан
кателерге жол беріледі. Тексерістер де оң нәтиже бермейді. Қатені табуда
ол жеткіліксіз. Сонымен қатар жауапта бір немесе екі аралық болса тексеріс
қиындай түседі, ал аралықтар көбейсе тексерістің техникалық қиындығы арта
түседі. Осыған байланысты тригонометриялық теңсіздікті шешуге ерекше әдіс
қарастырылды, ол арнайы құрастырылған алгоритм көмегімен оқушыларға
түсінікті береді:
1. Теңсіздіктің бір бөлігінде (мысалы оң) нөл тұру керек;
2. Теңсіздіктің сол жағында тұрған жүйенің нөлдері мен нүктелерін
анықтап алу;
3. Барлық табылған сандардың негізі болып табылатын бөлікке
нүктелерді қойып шығу;
4. Алдындағы сандарға сәйкес келмейтін кез келген санды таңдап алу
(теңсіздіктің сол жағында тұрған жүйенің дәлелді
мағынасы);
5. Координаталық сәулеге бұрышы арқылы сәулесін алып
келіп Ох;
6. сәулесінде бақылау нүктесін табу. Ол үшін
санын теңсіздіктің сол жағына қойып және алынған белгіні
анықтау. Егер мәні нөлден артық болса, онда - ол
сәуленің бірлік шеңберінің жан жағында жатпаған еркін
нүкте;
- бұл сәулесі бірлік шеңберінің жан-жағында жатқан еркін
нүкте.
7. нүктесінен бастап сағат тіліне қарсы бірлік шеңберді жан-
жақты айналып өту тәртібімен барлық белгіленген нүктелерде
қиылысып өту арқылы басты сызық өткізу. Барлық нүктелерді
өткеннен кейін сызық нүктесіне қайта оралуы керек.
8. Сызылған сызық құрғандай, қажетті конфигурация бөліктерін
таңдап алу керек. Ол үшін:
Егер теңсіздіктің сол жағында тұрған нөлден артық болса, онда бірлік
шеңберінің жан-жағында жатпаған сан бөліктерін таңдап алу керек.
Не болмаса оқшауланған бірлік шеңберінің ішінде жатқан фигураны таңдап
алу керек.
9. Таңдап алынған бөліктерге қатысты оқшауланған бірлік шеңбердегі
оң бағдардағы доғаның бағытындағы сызықтарды белгілеу керек. Бұл
доғалар көптеген теңсіздіктерді шешуге көмектеседі. [18.,б.32]
Көрсетілген интервалдар тәсілін тригонометриялық теңсіздіктерді шешуге
қолданып көрейік.
1 мысал. теңсіздігін шешіңіз.
Теңсіздіктің сол жақ бөлігін түріне келтіріп және теңдеуді
қарастырамыз , ол мына теңдеуге сай келді: .
Біріншіден Бұл кешенді теңдеуден мағынаның I сериясын береді х:
Екіншіден кешенді теңдеуден II серияға алып келеді .
Әрі қарай тригонометриялық шеңберді сәйкес нүктелермен толтырамыз. I
серияға алған жеткілікті. Онда белгісі тең болады (
басқа мағыналарды n нүктесі тексеріледі). сериясының мағынасының
оқшауланған шеңберін n=0 и n=1 алынған и нүктелермен
белгілеуге болады.
Енді қойып соңғы нүктесін табамыз. тең болады.
Онда, бұл жағдайда сәулесі Ох координаторлық сәулесімен тең
келеді (аралығындағы бұрыш нөлге тең). сәулесінде оқшауланған
шеңбердің сыртындағы еркін нүктесін белгілейміз . нүктесін суретте
көрсетілгендей оқшауланған шеңбер нүктелерімен қосамыз.
Көрсетілген теңсіздікті шешуге бірлік шеңберіндегі доғаның суреттегі
көрсетілген + белгісімен көрсетілген сурет сәйкес келеді. Нақты жауап
жазар алдында екі жақтың бірінде (ол сызық арқылы көрсетілген) кішіден х
айнымалысы үлкен белгіге ауысу бұзылатындығын ескеру қажет. Мұндай жағдайда
кіші белгісіне қосу керек . Сонымен нақты жауапты кешенді
аралық түрінде жазуға болады.:
, n(Z
Айта кету керек, егер ирек сызык түріндегі сызықты барлық белгіленген
нүктелер арқылы айналып өткеннен кейін нүктесіне қайта алып келе
алмаса, онда шешу барысында категе жол берілген деп есептелінеді, атап
айтқанда түбірлердің есептік саны қалып қойған. [19.,б.47]
Көрсетілген мысалдың бір ерекшелігі бар. және бөліктері
бірлік шеңберінде сәйкес келмейтін нүктелер береді. Егер де әртүрлі
бөліктеріндегі нүктелер сәйкес келсе, онда оларды қысқа деп атаймыз. Жұп
сандар бөліктерінде қайталанатын нүктелерді жұп сандар қысқашы деп атаймыз,
ал тақ сандар бөліктеріндегі қайталанатын сандарды тақ сандар қысқашы деп
атайды. нүктесінен келетін ирек сызық бөлінбейтін қысқаша нүктемен
кездескеннен кейін басқа жаққа ауысуы қажет, егер ол бірлік шеңбердің
сыртында болса, онда енді оның ішінде болады. Бірақ бөлінетін қысқаша нүкте
біздің сызыққа басқа жаққа ауысуға мүмкіндік бермейді. Бұны нақты үлгіде
қарастырайық:
2 мысал: теңсіздігін шешу.
Теңдеудің кешенділіген қарастырайық бұдан
Оқшауланған шеңберде сериясының мағынасы екі нүкте арқылы
көрсетілген 0 және . сериясы нүктелерін береді.
сериясынан нүктелерін аламыз. Осы нүктелердің барлығын жақшаның
ішіне олардың мағыналарын көрсетіп ,оқшауланған шеңберге жазамыз.
Енді саны тең болсын. Белгі бойынша шешеміз:
. Онда, нүктесін оқшауланған шеңбердің сыртында
бұрышын құратын Ох сәулесін қосамыз. ( Белгілеп кету керек қосалқы
сәулесін суретте мүлде көрсетпеуге болады. нүктесі жақынырақ таңдалып
алынады). нүктесінен ирек сызықты барлық белгіленген нүктелерге
қосамыз. нүктелерінде біздің нүкте бір бағыттан екінші бағытқа
ауысады: егер ол оқшауланған шеңбердңғ сыртында болса, онда ішіне ауысады.
нүктесіне келгенде, бұл нүктенің ұзындығы бөлінетін сан болғандықтан
сызық ішкі жаққа ... жалғасы
Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.
Ұқсас жұмыстар
Пәндер
- Іс жүргізу
- Автоматтандыру, Техника
- Алғашқы әскери дайындық
- Астрономия
- Ауыл шаруашылығы
- Банк ісі
- Бизнесті бағалау
- Биология
- Бухгалтерлік іс
- Валеология
- Ветеринария
- География
- Геология, Геофизика, Геодезия
- Дін
- Ет, сүт, шарап өнімдері
- Жалпы тарих
- Жер кадастрі, Жылжымайтын мүлік
- Журналистика
- Информатика
- Кеден ісі
- Маркетинг
- Математика, Геометрия
- Медицина
- Мемлекеттік басқару
- Менеджмент
- Мұнай, Газ
- Мұрағат ісі
- Мәдениеттану
- ОБЖ (Основы безопасности жизнедеятельности)
- Педагогика
- Полиграфия
- Психология
- Салық
- Саясаттану
- Сақтандыру
- Сертификаттау, стандарттау
- Социология, Демография
- Спорт
- Статистика
- Тілтану, Филология
- Тарихи тұлғалар
- Тау-кен ісі
- Транспорт
- Туризм
- Физика
- Философия
- Халықаралық қатынастар
- Химия
- Экология, Қоршаған ортаны қорғау
- Экономика
- Экономикалық география
- Электротехника
- Қазақстан тарихы
- Қаржы
- Құрылыс
- Құқық, Криминалистика
- Әдебиет
- Өнер, музыка
- Өнеркәсіп, Өндіріс
Қазақ тілінде жазылған рефераттар, курстық жұмыстар, дипломдық жұмыстар бойынша біздің қор #1 болып табылады.
Ақпарат
Қосымша
Email: info@stud.kz