Гомотетия негізі

Жұмыс түрі: Курстық жұмыс
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 24 бет
Таңдаулыға:

Қостанай мемлекеттік педагогикалық институт

факультеті

Физикаматематика кафедрасы

Жумабаева Назира Бердыбаевна

Гомотетия.

Курстық жұмыс

Ғылыми жетекші

. . .

Қостанай, 2018 ж.

Мазмұны

Кіріспе 3

1 Гомотетия негізі 4

1. 1 Гомотетия әдістері 4

1. 2 Гомотетия ерешеліктері 7

2 Салуға берілген есептерді ұқсас түрлендіру (гомотетия) әдісімен

шығару мысалдары 12

2. 1 Есеп шығарғанда гомотетия әдісін пайдалану реті 12

2. 2 Есептерді шығарғанда гомотетияны қолдану ерекшеліктері 24

Қорытынды 27

Пайдаланған әдебиеттер тізімі 28

Кіріспе

Шамалардың біртектілігін сараптау және теңдеулерді сараптау әдістерінің айырмашылығы - олардың физикалық қасиеттері мен құбылыстарын жете білуде болып табылады. Бірінші жағдайда шамалар біртектілігіне талдау жасау физикалық шамалардың біртектілігі формулаларына да қолданылады, екінші жағдайда - шамалар арасындағы аналитикалық байланысқа қолданылады.

Бұл бөлімде геометриялық модельдер мен натуралардың физикалық теңдеулер арөылы алыну мысалдары көрсетілген. Бұл жоба бойынша теңдеулерге талдама жасау әдісі біртекті шамаларды талдау әдісімен жақындастырылып, ұқсастықтың классикалық теориясымен сай келеді. Фигуралардың ұқсастығы жайлы ғылым б. э. дейін Ү-ІҮ ғ. ғ. Гиппократ Хиосскийдің, Архит Таренскийдің, Евдокс Книдский т. б. еңбектерінде жарық көрген. Ол Евклидтің ҮІ «Бастау» кітабында да баяндалды. Қасиеттері. Ұқсастық евклид кеңістігінің өзіне бейнеленуі.

Ұқсастық түзу бойындағы нүктелер ретін мақтайды, яғни егер нүкте нүктелер арасында жатса, және, , - олардың сай келетін бейнелері де сол нүктелер арасында жатады . және .

Бір нүктеде жатпайтын нүктелер, кез келген ұқсастықта бір түзу бойында жатпайтын нүктелерге ауысады.

Ұқсастық түзуді түзуге, кесіндіні кесіндіге, сәулені сәулеге, бұрышты бұрышқа, бұрышты бұрышқа, шеңберді шеңберге айналдырады.

Ұқсастық кезінде бұрыш өз шамасын сақтайды.

Ұқсастық өзіндік (өзіндік емес) деп аталынады, егер қозғалыс өзіндік (өзіндік емес) болса. Өзіндік ұқсастық фигуралар ориентациясын сақтайды, ал өзіндік емес - оны қарама-қарсыға өзгертеді.

Геометриялық есептерді шешу туралы жалпы білік - дағдылар әдетте көптеген есептерді шешу арқылы қалыптасады. Олай болса, мұғалім мен оқушының жүйелі түрде ұзақ уақыт еңбектенуіне тура келеді. Шешілу жолы беймәлім, әр түрлі теориялық фактілерді байланыстыруды қажет ететін, оқушылар шығара алмайтын жаңа есептер де жиі кездеседі. Сондықтан оқушыларды кез келген геометриялық есепті шешудің жалпы тәсілдерімен қаруландыру керек.

Зерттеудің міндеттері:Зерттеудің проблемасын шешу, болжамның дұрыстығына көз жеткізу және мақсатқа жету үшін келесі мәселелер орындалады:

- осы тақырып бойынша ғылыми-әдістемелік әдебиеттерді зерттеу;

- заманауи оқу құралдарына осы тақырыптың баяндалуына логикалық дидактикалық талдау жүргізу.

Жұмыстың құрылымы:кіріспеден, екі бөлімнен, қорытындыдан және пайдаланылған әдебиеттер тізімінен құралған.

1 Гомотетия негізі

1. 1 Гомотетия әдістері

Жазықтықтағы L түзуінің бойынан О және А нүктелерін аламыз. Осы түзудің бойында жатқан үшінші нүкте, алғашқы екі нүктеге қатысты қалай анықталатынын көрсетелік.

Анықтама. ОА ₁ = кОА шарты орындалатын А нүктесінің бейнесі А ₁ болатындай жазықтықты өзіне - өзін бейнелеуді О центрлі коэффициенті к О гомотетия деп атайды және оны (X) Х ₁ деп жазады. Мұндағы - центрі О, коэффициенті к болатын гомотетия. Белгілі бір жазықтықтан Ф фигурасы, О нүктесі, к О саны берілсін. Ф фигурасының кез келген А нүктесі үшін центрі О, коэффициенті гомотетия арқылы А нүктесінің бейнесі нүктесін табуға болады. Осы айтылған гомотетияны қолданғанда Ф фигурасының әрбір нүктесіне гомотетиялы барлық нүктелердің жиыны жаңа бір фигурасы болады. Сонымен, фигурасы центрі О және коэффициенті к гомотетияны қолданғанда Ф фигурасының бейнесі болады [32] .

Гомотетия коэффициенті к 0 санының әр түрлі мәндеріне қарай фигураға гомотетиялы фигура түрліше бейнеленеді.

1) К >0 болса, гомотетиялы фигуралар О центрінің бір жағында жатады.

а) 0< к < 1 болса, фигураға гомотетиялы фигура О центрімен әуелгі фигураның арасына бейнеленеді,

б) к > 1 болса, онда берілген фигураға гомотетиялы фигура бастапқы фигураның оң жағына бейнеленеді,

в) к = 1 болса, фигура теңбе-тең бейнеленеді.

2) к < 0 болса, онда гомотетиялы фигуралар О центрінің екі жағына орналасады.

а) к = - 1 гомотетия центрі О нүктесіне қарағандағы симметрия болады.

б) коэффициенті -1< к <0 болатын гомотетия әуелгі фигурадан өлшемдері жөнінен «кішірейітіліп бейнеленеді.

в) к < -1 болса, фигураға гомотетиялы фигура «үлкейіп» бейнеленеді (1-а, б, в, г - суреттер)

Сурет-1а Сурет-1 б

Сурет-1в Сурет-1г

1. АВ бағытталған кесіндісіне гомотетиялы фигура кесінді болады, яғни А ₁ В ₁ = к АВ. Бұл кесінді берілген кесіндіге параллель және оның ұзындығы к АВ болады.

2. Гомотетия центрі өзіне өзі бейнеленеді

3. Егер к >0 болса, онда гомотетиялы фигуралар О центрінен бір жақта жатады. Егер к <0 болса, онда гомотетиялы фигуралар О центрінің екі жағында жатады.

Салдар. 1) Гомотетияны қолданғанда фигураның барлық өлшемдері к санына пропорционал өзгереді.

1) . Гомотетиялы фигуралар ұқсас болады.

2) . Егер берілген Ф және екі фигураның біріне тең, ал екіншісіне гомотетиялы Ф ₂ фигурасы болса, онда Ф мен Ф ₁ фигуралары ұқсас деп аталады.

Мысал. Коэффициенті к болғандағы (N, r) шеңберіне гомотетиялы фигураны салу керек.

Берілгені (N, r) шеңбері, гомотетия коэффициенті к.

Ш е ш у і. - гомотетияны қарастыралық. Егер (0) = О,

= (N) және (М) = болса, онда O = kON, kNM,

O = kОМ тендіктері орналады, ендеше = kNM, болады. Сонымен, w(N, r) шеңбері гомотетия арқылы ( шеңберіне бейнеленеді [17] .

Гомотетияның мынадай қарапайым қасиеттері бар :

1. Гомотетия түзуді өзіне параллель түзуге көшіреді, ал гомотетия центрі арқылы өтетін түзуді өзіне - өзін көшіреді.

2. Гомотетия кесіндіні өзіне параллель кесіндіге көшіреді.

3. Гомотетия бұрышты өзіне тең бұрышқа көшіреді.

4. Гомотетия шеңберді шеңберге көшіреді. Жалпы, кез келген екі шеңберді өзара гомотетиялы деп қарастыруға болады. Мұнда ұқсастық коэффициенті олардың радиустарының қатынасына тең.

5. Егер нүктесі ОА сәулесінде жатса, онда центрі О болатын және А- ны А ₁ нүктесіне бейнелейтін бір ғана гомотетия табылады.

6. Әрбір ұқсастық түрлендіруін қозғалыс пен гомотетияны бірінен кейін бірін қолдану арқылы алуға болады. Мұнда ұқсастық түрлендіруі мен гомотетияның ұқсастық коэффициенттері бірдей болады.

Мысалы, 2-суретте ABC үшбұрышын А ₁ В ₁ С ₁ үшбұрышына ұқсастық түрлендіруі қарастырылған. Бұл ұқсастық түрлендіруін алу үшін, алдымен ABC үшбұрышына гомотетиялы А ₁ В ₁ С ₁ үшбұрышын тұрғызып, сонан соң бұл үшбұрышты А ₁ төбесінің маңында сағат тілінің бағытымен α бұрышына бұрамыз.

Сурет-2

Келтірілген қасиеттердің алғашқы бесеуі оңай дәлелденеді, ал 6°- қасиеттің дәлелдемесі мектеп бағдарламасына енбегендіктен, оны дәлелдеу қажет емес.

Ескерту. Гомотетияның анықтамасы бойынша А және А ₁ нүктелері ОА сәулесінде жатады деп айтылған. Енді А ₁ нүктесін ОА сәулесінің толықтауыш ОА сәулесін алып, = к шарты орындалсын делік (3-сурет) . Бұл түрлендіруді кері немесе теріс гомотетия деп те атайды. Ал біз бұл түрлендіруді гомотетияға қоспай, жай ұқсастық түрлендіруі ретінде қарастырамыз. Өйткені, әуелі ABC үшбұрышын (3-суреттегі) онымен гомотетиялы А ₂ В ₂ С ₂ үшбұрышына көшіріп, сонан соң бұл үшбұрышқа центрлік симметрияны қолданып, А ₁ В ₁ С ₁ үшбұрышын аламыз [7] .

Сурет-3

1. 2 Гомотетия ерешеліктері

Ұқсас түрлендіру анықтамасы қозғалыстың анықтамасына ұқсас: егер F фигураның Ғ ₁ фигурасына түрлендіру кезінде нүктелер арасындағы қашықтық бір санға бірнеше есе өссе, немесе кемісе, онда ол ұқсас түрлендіру деп аталады. Демек, F фигурасының кез келген A және В нүктелері түрлендіру кезінде F ₁ фигурасының сәйкесінше А ₁ және В ₁ нүктелеріне ауысса, онда А ₁ В ₁ = кАВ, к саны ұқсастық коэффициенті деп аталады.

Ұқсас түрлендірудің анықтамасын енгізген соң, гомотетия ұқсас түрлендіру болатындығы дәлелденеді. Теорема координаттар әдісін қолдану арқылы дәлелденеді. Центрі О нүктесі, коэффициенті к болатын гомотетия аламыз.

Координат жүйесін оның бас нүктесі гомотетия центрімен дәл келетіндей етіп таңдап аламыз. А. В. Погореловтың оқулығында бірдей ұқсас фигуралардың анықтамасы беріледі, содан соң үшбұрыштардың ұқсастығы қарастырылады.

А. С. Атанасянның және т. б. оқулығында әуелі ұқсас көпбұрыштаp оқытылады, содан соң ұқсас фигуралардың жалпы анықтамасы беріледі. Жалпы алғанда, түрлі оқулықтардағы ұқсас фигуралар анықтамаларының бір-бірінен айтарлықтай алшақтығы жоқ: «Егер Ғ және Ғ ₁ екі фигуралары бір-біріне ұқсас түрлендірулер арқылы көшетін болса, онда олар ұқсас деп аталады».

Ұқсас түрлендірулер қасиеттерінен, ұқсас көпбұрыштардың сәйкес бұрыштары тең, ал сәйкес қабырғалары пропорционал екендігі шығады. Жеке алғанда, ABC және A ₁ B ₁ C ₁ ұқсас үшбұрыштарында A= A ₁ , В= В ₁ , С= С ₁ ,

;

Үшбұрыштардың ұқсастық белгілерін тұжырымдайық:

1) Егер бір үшбұрыштың екі бұрышы, екінші үшбұрыштың сәйкес екі бұрышына тең болса;

2) Егер біреуінің екі қабырғасы, екіншісінің сәйкес екі қабырғасына пропорционал, ал олардың арасындағы бұрыштар тең болса;

3) Егер бір үшбұрыштың қабырғалары, екінші үшбұрыштың қабырғаларына пропорционал болса, онда ол үшбұрыштар ұқсас болады.

Бұл белгілер гомотетияны қолдану арқылы жиі дәлелденеді.

Бірінші дәлелдеудің сатыларын көрсетейік:

1) Центрін қалауымызша алып, к коэффициентімен ∆А ₁ В ₁ С ₁ үшбұрышына үшін гомотетия орындаймыз. Гомотетия нәтижесінде алынған үшбұрышты А ₂ В ₂ С ₂ деп белгілейміз.

2) ∆А ₂ В ₂ С ₂ = ∆АВС және _∆ А ₂ В ₂ С ₂ = ∆А ₁ В ₁ С ₁ екендігі дәлелденеді.

3) ∆А ₁ В ₁ С ₁ үшбұрышы ABC үшбұрышынан ұқсас түрлендіру және қозғалыс нәтижесінде алынғандықтан, олар ұқсас болады.

к - гомотетияның берілген коэффициенті.

Кез келген ( х; у ) нүктесі ( кх; ку ) нүктесіне көшетіндей түрлендіру қарастырамыз, осы түрлендірудің гомотетия екендігін дәлелдейміз.

Қандай да болмасын f фигурасының кез келген А( х ₁ , у ₁ ) нүктесін алайық, ол А ₁ ( кх ₁ ; ку ₁ ) нүктесіне ауысады.

ОА түзуі координат басынан өтеді, демек оның теңдеуі ах+ву= 0 түрінде болады. Ол А нүктесінің координаталарын қанағаттандырады, яғни ах ₁ + ву ₁ =0. А ₁ нүктесінің де координаталары да осы теңдеуді көрсетейік:

а ( кх ₁ ) + в(к у ₁ ) = к ( ах ₁ + ву ₁ ) = к ∙0 =0,

Демек, А ₁ нүктесі де ОА түзуінде жатады.

ОА= , ОА ₁ = .

Онда, ОА=к∙ОА ₁ ол гомотетия анықтамасы бойынша біздің түрлендіру центрі О нүктесі, коэффициент к болатын гомотетия.

Осы түрлендірудің ұқсас түрлендіру болатындығын дәлелдейік. Ол үшін A ₁ B ₁ = к∙АВ екендігін көрсетеміз. Мұндағы А және В - берілген нүктелер, ал А ₁ және В ₁ нүктелері осы гомотетияда А және В нүктелері көшетін нүктелер.

Қозғалыстағы сияқты ұқсас түрлендіру кезінде бір нүктеде жататын A, В, С нүктелері, бір түзуде жататын А ₁ В ₁ С ₁ нүктелеріне көшеді. Егер В нүктесі А және С нүктелерінің арасында жатса, онда В ₁ нүктесі А ₁ және С ₁ нүктелерінің арасында жатады. Бұдан ұқсас түрлендіру кезіңде түзудің түзуге, жарты түзудің жарты түзуге, кесіндінің кесіндіге көшіретіндігі шығады.

Гомотетияны қолдану арқылы ұқсас түрлендіру кезінде сәулелер арасындағы бұрыштардың өзгермейтіндігі дәлелденеді.

Ұқсастық түрлендіру жәрдемімен ұқсас фигуралар ұғымына анықтама беріледі.

Геометрия курстарында ұқсас фигуралар ұғымы қарастырылады. Кейде ұқсас фигуралардың жалпы анықтамасы мүлдем берілмейді, тек үшбұрыштар мен көпбұрыштардың ұқсастығы қарастырылады.

Кеңістіктегі гомотетия және ұқсас түрлендіру жазықтықтағы секілді анықталады. Кеңістіктегі гомотетия ұқсас түрлендіру болатындығы дәл осылай дәлелденеді [20] .

Теорема 1 . Егер бір үшбұрыштың екі бұрышы екінші үшбұрыштың eкі бұрышына тең болса, ондай үшбұрыштар ұқсас болады.

Д ә л е л д е у . Айталық, ABC және А ₁ В ₁ С ₁ үшбұрыштарында болсын. Сонда, ∆ABC ∞ ∆ А ₁ В ₁ С ₁ болатынын дәлелдейміз.

Айталық, болсын. А ₁ В ₁ С ₁ үшбұрышына ұқсастық

коэффициенті k болып келген қандай да бip ұқсас түрлендіруді, мысалы гомотетияны қолданайық (9-сурет) . Сонда АВС үшбұрышына тең қандай да бip A ₂ В ₂ C ₂ үшбұрышы шығады. Шынында да, ұқсас түрлендіру бұрыштарды сақтап қалдыратындықтан, болады. Олай болса, АВС және A ₂ В ₂ C ₂ үшбұрыштарында Әрі қарай, Олай болса, ABC және A ₂ В ₂ C ₂ үшбұрыштары екінші белгі бойынша (қабыр- ғасы мен оған іргелес жатқан бұрыштары бойынша) тең болады.

1-сурет

₁ В ₁ С ₁ және A ₂ В ₂ C ₂ үшбұрыштары гомотетиялы, ендеше, ұқсас болатындықтан, ал A ₂ В ₂ C ₂ және ABC үшбұрыштары тең және сондықтан ұқсас болатындықтан А ₁ В ₁ С ₁ және ABC үшбұрыштары ұқсас болады. Теорема дәлелденді [27] .

Есеп (1) . АВС үшбұрышының АВ қабырғасына параллель жүргізілген түзу оның АС қабырғасын A ₁ нүктесінде, ал ВС қабырғасын В ₁ нүктесінде қиып өтеді. Сонда ∆АВС ∞ ∆А ₁ В ₁ С ₁ болатынын дәлелдеңдер.

2-сурет

Ш е ш у i (2-сурет) . АВС және А ₁ В ₁ С ₁ үшбұрыштарының С төбесіндегі бұрышы ортақ, алСА ₁ В ₁ және CAB бұрыштары тең, өйткені оларАВменА ₁ В ₁ параллель түзулерін AC түзyi қиып өткенде шығатын сәйкес бұрыштар. Олай болса, eкi бұрышы бойынша∆АВС ∞ ∆А ₁ В ₁ С ₁ болады.

Үшбұрыштардың екі қабырғасы және олардың арасындағы бұрышы бойынша ұқсастық белгісі.

Теорема2. Егер бір үшбұрыштың eкi қабырғасы екінші үшбұрыштың қабырғасына пропорционал болып және осы қабырғалар жасайтын бұрыштар тең болса, ондай үшбұрыштар ұқсас болады [4] .

3-сурет

Д ә л е л д е у . (3 теореманың дәлелдеуіне ұқсас дәлелденеді) . Айталық, АВС және А ₁ В ₁ С ₁ үшбұрыштарында және AC = kA ₁ C ₁ , BC = kB ₁ C ₁ болсын. Сонда ∆АВС ∞ ∆А ₁ В ₁ С ₁ болатындығын дәлелдейміз.

А ₁ В ₁ С ₁ үшбұрышына коэффициенті kұқсас түрлендіруді, мысалы (гомотетияны, қолданамыз (11-сурет) . Сонда ABC үшбұрышына тең болатын қандай да бip A ₂ В ₂ C ₂ үшбұрышы шығады. Шынында да, ұқсас түрлендіру бұрыштарды сақтап қалдыратындықтан, болады. Демек, ABC мен A ₂ В ₂ C ₂ үшбұрыштарының болады. Әpi қарай A ₂ C ₂ = kA ₁ C ₁ = AC, В ₂ С ₂ ꞊ kВ ₁ С ₁ =BC. Олай болса, ABC және A ₂ В ₂ C ₂ үшбұрыштары бipiншi белгі (eкi қабырғасы және олардың арасындағы бұрышы) бойынша тең болады.

4-сурет

А ₁ В ₁ С ₁ және A ₂ В ₂ C ₂ үшбұрыштары гомотетиялы, ендеше ұқсас болатындықтан, ал A ₂ В ₂ C ₂ және ABС үшбұрыштары тең, сондықтан бұлар да ұқсас болғандықтан, А ₁ В ₁ С ₁ және АВС үшбұрыштары ұқсас болады. Теорема дәлелденді [4] .

Есеп (2) . С бұрышы сүйір болып келген ABC үшбұрышының АЕ мен BDбиіктіктері жүргізілген. (12 - сурет) . Сонда ∆ABC ∞ ∆EDC болатынын дәлелдеңдер.

Ill е ш у i. ABC мен EDC үшбұрыштарының С төбесіндегі бұрыш екеуіне ортақ. Осы бұрышпен іргелес жатқан қабырғалардың пропорционал болатынын дәлелдейік. Сонда, ЕС꞊AСcosγ, DC꞊ВС cosγ . Яғни үшбұрыштардың Сбұрышына іргелес жатқан қабырғалары пропорционал болады. Демек, eкi қабырғасы мен олардың арасындағы бұрышы бойынша ∆ABC ∞ ∆EDC болады.

2 Салуға берілген есептерді ұқсас түрлендіру (гомотетия) әдісімен шығару мысалдары

2. 1 Есеп шығарғанда гомотетия әдісін пайдалану реті

Есеп шығарғанда гомотетия әдісін пайдалануды мынадай ретпен жүргізген тиімді болады.

Есепке анализ жасап, іздеп отырған фигурамыздың өлшемдерін сипаттайтын шарттардың бірін алып тастайды. Мысалы, іздеп отырған үшбұрыштарымыздың қабырғасы жазықтықтың белгілі бір нүктесі арқылы өту керек деген немесе оның кез-келген бір төбесі берілген шеңбердің бойында жатуы тиіс деген шартын алып тастап, алдымен іздеп отырған Ф фигурасын емес, оған гомотетиялы Ф' фигурасын салу мүмкіндігін анықтайды. Сонан соң Ф' фигурасын салып, оны - түрлендіріп болған соң, бұрын тастаған шарт орындалатындай етіп, гомотетиялы түрлендірулер жасайды, сонда іздеп отырған Ф фигура шығады.

Жоғарыда айтылғандардан, гомотетия методымен шығарылатын есептер қатарына ең алдымен берілгендерінің ішінде тек біреуі ғана кесіндімен бейнеленіп, ал қалғандарының не бәрі бұрыштар, не бұрыштардың не кесінділердің қатынастары болып келген есептер жататындығы шығады.

Бұл типтес есептерді шешкенде мыналарды еске алу қажет.

1) Гомотетия центрі ретінде жазықтықтың кез-келген нүктесін алуға болады, ал іс жүзінде гомотетия центрін дұрыс таңдап алу салуды оңайлата түседі. Есепті оңай және тез шешуге келтіретін алдын ала таңдап алу есептің шарты мен талабына байланысты. Гомотетия центрі ретінде көбінесе берілген фигураға көмекші фигураның бір төбесін немесе сызықтық элементінің бір ұшын алатындығын байқауға болады. Мысалы, А төбесіндегі бұрышты және сырттай сызылған шеңбердің R радиусы бойынша тең бүйірлі ВАС үшбұрышын салу үшін ұқсас А төбесіндегі бұрышы мен тең бүйірлі В 'А' С' үшбұрышын салып, сонан соң осы үшбұрышты сырттай сызылған шеңбердің центрін гомотетия ретінде алып және k = R деп жоримыз да В 'А' С' үшбұрышын іздеп отырған үшбұрышқа түрлендіреміз.

2) Ұқсас екі фигураның сәйкес сызықтық элементтерінің қосындысының (айырмасының) қатынасы. Олардың ұқсас (сәйкес) сызықтық элементтерінің қатынасына және гомотетияның k коэффициентіне тең, мысалы, ұқсас үшбұрыштардың периметрлері олардың сәйкес қабырғаларының гомотетия коэффициенті ретінде алынады. Ұқсас екі фигураның аудандары олардың сәйкес элементтерінің квадраттарының қатынасындай болады [30] .

Әртүрлі коэффициентті гомотетияға мысалдар қарастырайық.

53 - суретте центрі М ₀ нүктеде және коэффициенті k=2 болған гомотетиядағы АВС үшбұрышының бейнесі құрылған, ал екіншіде центрі М ₀ нүктеде және коэффициенті k= - 2 болған гомотетия мысалы көрсетілген.

Бұл сызбалардан байқайтынымыз суреттерде жұп ұқсас үшбұрыштар бейнеленген. Екі жағдайда да ұқсастық коэффициенті 2 және де АВС және

А ¹ В ¹ С ¹ үшбұрыштарының сәйкес қабырғалары өзарапараллель.

Сурет - 53. Центрі М ₀ нүктеде және Сурет - 54 . Центрі М ₀ нүктеде және

коэффициенті k=2 болған гомотетия коэффициенті k=-2 болған гомотетия.

Мысал 27. Центрі үшбұрыш медианаларының қиылысу нүктесіндежәне

коэффициенті гомотетиядағы осы үшбұрыштың төбелері қарсы жатқан қабырғаларының ортасына өтеді.

Дәлелдеу. 55-суреттегі сызбаны қарастырайық. Үшбұрыш медианасының белгілі қасиеті бойынша, медианалар қиылысу нүктесі оларды төбеден бастағанда 2:1 қатынасында бөледі.

Сонымен, центрі М нүктеде және коэффициенті болатынгомотетияда, А төбесі А ₁ төбесіне , Втөбесі В ₁ төбесіне , ал С төбесі С ₁ төбесіне көшеді . Осыны дәлелдеу керек еді.

Сурет 56. 28 мысалға .

Сурет -55. 27 мысалға .

Ескерту. АВС және А ₁ В ₁ С ₁ үшбұрыштар гомотетиялы.

Мысал 28. Үшбұрыштың биіктіктері бір нүктеде қиылысады .

Дәлелдеу. А ₁ В ₁ С ₁ үшбұрышын қарастырайық. Оның төбелері арқылы қарама-қарсы түзулер жүргізейік. Берілген үшбұрышқа гомотетиялы АВС үшбұрышын аламыз. Бірінші үшбұрыштың төбелері екінші үшбұрыштың қабырғаларының орталары болатынын дәлелдеуді оңай көрсетуге болады (өздерің көрсетіңдер) . Берілген үшбұрыштың А ₁ Н ₁ , В ₁ Н ₂ и С ₁ Н ₃ төбелеріАВСүшбұрыш қабырғаларының орталарынан өтеді.

Қарастырылып жатқан үшбұрыштардың сәйкес қабырғаларының параллельдігінен, А1Н1, В1Н2 және С1Н3 түзулері АВСүшбұрыштың сәйкес қабырғаларына перпендикуляр болады. Басқаша айтқанда бұл түзулер АВС үшбұрыш қабырғаларының ортасына жүргізілген перпендикулярлар болады. Орталық перпендикулярлар бір нүктеде қиылысатындығы белгілі және оны дәлелдеу қиын емес. А1Н1, В1Н2 және С1Н3 қарастырылып жатқан түзулердің бір нүктеде орталық перпендикулярлар ретінде қиылысатындығынан А1В1С1 үшбұрыштың биіктіктері ретінде де қиылысатындығы келіп шығады. Осыны дәлелдеу керек еді.

... жалғасы

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.