Тригонометриялық функцияның туындысы

Қазақстан Республикасының Білім және Ғылым министрлігі

Ө. Сұлтанғазин атындағы Қостанай мемлекеттік педагогикалық университеті

Жаратылыстану - математика факультеті

Физика - математикалық пәндер кафедрасы

Турмагамбетова Айдана

Мектеп бағдарламасыда туынды тақырыбына қойылатын әдістемелік тақырыптар

Курстық жұмыс

5В01900 - математика

Ғылыми жетекшісі:

Аға оқытушы, магистрі

Фазылова А. А.

Қостанай, 2018

Мазмұны

Кіріспе

XII ғасыр математикасындағы ең басты жетістік математикалық анализдің ең іргелі тарауы саналатын дифференциалдық есептеулердің жасалуы болып саналады. Ол Ньютон мен Лейбництің және олардың серіктері мен шәкірттерінің еңбектерінде көрініс табады. Алайда шексіз анализдің шығуы бір немесе бірнеше адамның данышпандық тапқырлығының жемісі емес еді, ол шындығында, ішікі математикалық мәні дифференциалдық және интегралдық есептеулер мен қатарлар теориясы элементтерінің қорлануы және бөлінуі болатын ұзаққа созылған дамудың нәтижесінде туды.

Бұл принциптің қозғаушы күші ең әуелі механикада, астрономия мен физикада жатты. Бұл ғылымдар математиканың алдына шешілуге тиісті әртүрлі жаратылыстану мәселелерімен қоюмен қатар, олар математика объектілерін үздіксіз қозғалыстар мен шамалар, функциялық тәуелділіктердің мәні мен түрлері туралы жаңа, кең, терең ұғымдарымен байытты. Математика және оған байланысты ғылымдар өзара байланыса келіп, айнымалы шамалар математикасының негізгі инфинитезималдық («Инфинит» - шексіз деген сөзді білдіреді) әдістер қалыптаса бастайды.

Шексіз аздарды есептеуде XII ғасырда математиканың өз ішінде де жетерліктей алғы шарттар пісіп жетілген болатын. Олар: қалыптасқан символикалық алгебра мен септеу техникасы, аналитикалық геометриядағы айнымалы шамалар мен координаттар әдісі; ежелгі оқымыстылардың, әсіресе Архимедтің инфинитезималдық идеяларын игеру; квадратура, кубатура, ауырлық центрлерін табу, жанама жүргізу, экстремумдар табу т. б. есептерді шешу әдістерінің жинақталуы еді. Бұл тектес есептерді қарастыру, оларды шешу жалпы әдістерін іздестіру барысында, яғни шексіз аздар анализін жасау жолында Ньютон мен Лейбницке дейін Кеплер, Галилей, Кавальери, Торичелли, Паскаль, Валлис, Роберваль, Ферма, Декарт, Боррау және басқа көптеген айтулы оқымыстылар жемісті еңбек етті. Міне, осылай математикалық анализдің элементтерін, бастамаларын жасау көп ғалымдардың жан-жақты шығармашылық зерттеу жұмысының нәтижесі болды. Бұл авторлардың барлығының жетістіктерін қысқаша түрде болса да азды-көпті мағлұмат беру бұл жерде мүмкін емес. Сондықтан да математикалық анализдің алғы тарихын жасаушы кейбір математиктердің ғана еңбектеріне шолу жасаумен шектелмекпіз.

XVII ғасырда болашақ дифференциалдық әдістің нышаны, элементтері бой көтере бастайды. Бұл кезде дифференциалдық есептерді шешу, қисықтарға жүргізілген жанаманы анықтау, функциялардың максимумы мен минимумын табу, алгебралық теңдеулердің еселі түбірлерінің шарттарын іздестіру, механикада траекторияның кез келген нүктесіндегі бірқалыпты емес, әртүрлі әдістермен шығарылады. Әркім өз шама - шарқына қарай әрект жасады. Бұл бағыттағы ізденістер мен жекелеген жетістіктерді Галилей, Декарт, Ферма, Барроу т. б. бірсыпыра оқымыстылар еңбектерінен ұшыратамыз. Бұл жөнінде тек бірер мысалдармен шектелмекпіз. Аналитикалық геометрияны жасаушылардың бірі Ферма 1629 жылы «Максимум және минимум табу» атты шағын шығармасында кейіннен шексіз аздар анализінен тұрақты орын алған «функцияның экстремумын табу» әдісін жасайды. П. Ферма кез келген қисықтың $y = x^{n}, \ n$ бүтін сан, квадратурасын шешкен болатын (яғни, $\int_{}^{}{x^{n}dx = \frac{1}{n + 1}x^{n + 1}}$ формуласын қорытып шығарады) және осының нәтижесінде ауырлық центрлерін табу есептерінің бірқатарын шығарған. Ол әуелі бүтін алгебралық көпмүше $f(x) -$ тің экстремумын табудың жалпы ережесін тұжырымдайды. Қазіргі математикалық анализді таңбалануы бойынша Ферманың әдісі $f(x + h)$ өрнегінен тұрады және ол жуық түрде $f(x) -$ ке теңестіріледі. Сонан кейін $\ f(x + h) = f(x)$ жуық теңдігінде тең мүшелер қысқартылады ( $h$ -тің мүмкін жоғары дәрежесіне қысқартылады) . Ең соңында әлі де болса $h$ көбейткіші қалып қойған мүшелер алынып тасталады. Сонда шыққан теңдеуді шешу $\ f(x)$ ең үлкен немесе ең кіші мәнді қабылдайтындай $x$ -тің мәнін табуға мүмкіндік береді.

Ферманың бұл ережесі қазіргі дифференциалданатын функцияның экстремумының қажетті шартымен дәл келеді.

$$\lim_{h \rightarrow 0}{\frac{f(x + h) - f(x) }{h} = f'(x) = 0}$$

Айта кетерлік бір нәрсе, Ферма атап айтпаса да $h$ шамасын шексіз аз деп қарайды. Тағы бір еңбегінде Ферма осы әдісті пайдаланып, қандай да бір қисықтың берілген нүктелеріне жүргізілген жанаманы табуды қарастырады.

Ферма жанама табу әдісін $f(x, y) = 0$ функция жағдайына да қолданады. Мұнда табылған өрнекті біздің жазуымыздағы $\frac{\partial f}{\partial x} + y'\frac{\partial f}{\partial y} = 0$ теңдеуіне оп-оңай көшіруге болады. Ферма тек алгебралық полиномдық функцияларды қарастырады. Егер зерттелінетін функцияларда иррационалдық кездесе қалса, одан теңдеудің екі жағын дәрежелеп құтылады.

Шексіз аздар анализінің дәстүрлі «ескі» математика құрсағында эмбриональдық даму кезеңінің соңы дифференциалдық және интегралдық зерттеулердің байланысы мен олардың өзара кері амалдар екендігін тағайындау болады. Бұған түрткі болған себептер бірнешеу. Олардың ішіндегі ең негізгісі жанамаларға кері есептер еді. Бұл есептердің түп мәнісі - қазіргі терминмен айтқанда, дифференциалдық теңдеулерді шешу. Мәселен, $\frac{df}{dx} = f(x)$ теңдеуін интегралдау. Бұл салада Шотландия математигі Д. Грегори, ағылшын математигі Валлис бірсыпыра нәтижелерге жетті. Көп ұзамай геометрия терминдері арқылы квадратура (аудан табу) есептері мен жанама жүргізу есептерінің өзара кері екендігі туралы жалпы тұжырым айтылады. Бұл түбегейлі теореманың авторы Валлистің шәкірті, Ньютонның досы Кембридж университетінің профессоры Барроу (1630 - 1677) болатын. Ол мұны өзінің «Геометрия және оптика жөніндегі дәрістерінде» дәлелдейді. Жаңа анализ символикасы бойынша бұл теореманы былай өрнектеуге болатын еді:

$y = \int_{0}^{x}{zdx}\ теңдеуінен\ dy = zdx\$ керісінше дифференциалдық теңдігі және керсінше $dy = zdx$ дифференциалдық теңдігінен $y = \int_{0}^{x}{zdx}$ теңдігі шығады. Жаңа анализ тілінде Барроу теоремасы және оған дейінгі осы тектес теоремалар жоғары шегі айнымалы болып келген интегралды есептеу мен дифференциалдаудың өзара кері сипатта болатынын бейнеледі. Осы нәтижеге сүйеніп, Барроу көптеген жанамаға кері есептерді шешеді. Оның шығармалары Ньютон, Лейбниц және басқа оқымыстыларға кеңінен мәлім болған.

Сонымен, XII ғасырдың ортасында математикада дифференциалдық және интегралдық есептеулерді ашуға толық негіз қаланады.

Курстық жұмыстың мақсаты:

• математикалық анализдің, жалпы математиканың іргелі ұғымдарының бірі болып табылатын шек ұғымының нақты қолданылуының ең негізгілерінің бірі болып табылатын функцияның туындысы ұғымын оқушылардың ұғымын жетілдірудің шарттарын анықтау;
• туындыны қолданыуды меңгеру жолдарын, оны жүргізудің әдістемесін жасау.

Курстық жұмыстың міндеті:

• оқушыларда функцияның туындысы ұғымын қалыптастыру мен меңгертуді жүйелеу;
• функцияның туындысын талдау;
• функцияның туындысын оқып - үйренудің жалпы математиканы оқып үйренгенде алатын орнын көрсету;
• функцияның туындысын есептеудің тәсілдерін көрсету.

Құрылымы: кіріспеден, негізгі бөлімнен, есептер жинағынан, қорытындыдан және пайдаланылған әдебиеттерден тұрады.

1 Туынды

1. Туындының анықтамасы

Функцияны қарапайым қозғалыстар, құбылыстар мен процестерді және олардың өзгерісін математикалық модель тұрғысынан қарастыру мақсатында қолданады.

Алдымен аргумент және функцияның өсімшелері ұғымдарын анықтап алайық.

$y = f(x)$ функциясы берілсін. Аргументтің $x$ және $x_{1}$ мәндері функцияның анықталу облысынан алынған.

Анықтама: $x_{1} - x$ айырымын аргументтің $x$ нүктесіндегі өсімшесі деп атайды .

Өсімшені $\mathrm{\Delta}x$ таңбасымен белгіленіп, “дельта икс” деп оқылады, яғни $\mathrm{\Delta}x = x_{1} - x$ .

$y = f(x)$ функциясының анықталу облысына тиісті кез келген $x$ нүктесін алайық. Функцияның аргументі $x - ке\ \ \mathrm{\Delta}x$ өсімшесін берейік. $\mathrm{\Delta}x$ өсімшесін қабылдағаннан кейін аргументтің мәні $x + \mathrm{\Delta}x$ болады. Өсімшенің таңбасы оң да, теріс те болуы мүмкін. Егер $\mathrm{\Delta}x > 0$ болса, онда $x + \mathrm{\Delta}x$ нүктесі $x$ нүктесінің оң жағында, ал $\mathrm{\Delta}x < 0$ болса, онда $x + \mathrm{\Delta}x$ нүктесі $x$ нүктесінің сол жағында орналасады.

$\mathrm{\Delta}x < 0$ x $\mathrm{\Delta}x > 0$

$$x + \mathbf{\mathrm{\Delta}}xx + \mathbf{\mathrm{\Delta}}x$$

Сонымен аргумент өсімшесін

$\mathrm{\Delta}x = (x + \mathrm{\Delta}x) - x$ (1)

теңдігімен жазуға болады. Демек, аргумент өсімшесі аргументтің екі нүктедегі мәндерінің айырымына тең.

Енді функция өсімшесіне тоқталайық.

Аргумент $\ x - ке\ \ \mathrm{\Delta}x$ өсімшесін бергенде $y = f(x)$ функциясы да өсімше қабылдайды. Бұл функцияның өсімшесі $\mathrm{\Delta}y$ деп белгіленіп, $\ \mathrm{\Delta}y = (y + \mathrm{\Delta}y) - y$ немесе

$\mathrm{\Delta}y = f(x + \mathrm{\Delta}x) - f(x)$ (2)

теңдігімен анықталады.

Cонда функция өсімшесі функцияның екі нүктедегі мәндерінің айырымына тең.

1-мысал . ${y = x}^{3}$ функциясының аргументі $x$ нүктесінде $\mathrm{\Delta}x$ - ке тең болғандағы өсімшесін табайық.

Шешуі. $\mathrm{\Delta}x = (x + {\mathrm{\Delta}x) }^{3} - x^{3} = x^{3} + {3x}^{2}*\mathrm{\Delta}x + 3*x*{\mathrm{\Delta}x}^{2} + {\mathrm{\Delta}x}^{3} - x^{3} = {3x}^{2}*\mathrm{\Delta}x + 3x*{\mathrm{\Delta}x}^{2} + {\mathrm{\Delta}x}^{3}$ .

Сонымен, $\mathrm{\Delta}y = \left( {3x}^{2} + 3*x*\mathrm{\Delta}x + {\mathrm{\Delta}x}^{2} \right) *\mathrm{\Delta}x$ .

2-мысал. $y = kx + b$ сызықтық функциясының аргументі $x$ - тен $(x + \mathrm{\Delta}x)$ -ке ауысқандағы өсімшесінің аргумент өсімшесіне қатынасы $k$ санына тең екенін дәлелдейік.

Шешуі. $\mathrm{\Delta}y = k(x + \mathrm{\Delta}x) + b - (kx + b) = kx + k*\mathrm{\Delta}x + b - kx - b = k*\mathrm{\Delta}x$ .

Енді функция өсімшесін аргумент өсімшесіне бөлеміз. $\frac{\mathrm{\Delta}y}{\mathrm{\Delta}x} = \frac{k*\mathrm{\Delta}x}{\mathrm{\Delta}x} - k$ .

Сонымен $\frac{\mathrm{\Delta}y}{\mathrm{\Delta}x} - k$ .

3-мысал. Квадраттың қабырғасы 8 см. Егер квадраттың қабырғасы 0, 2 см-ге арттырылса, онда квадраттың периметрі мен ауданының өсімшесін табайық.

Шешуі: Есептің шарты бойынша квадраттың қабырғасы 8 см. Онда оның периметрі $P = 4*8 = 32\ см$ , ал ауданы $S = {64см}^{2}$ .

Егер квадраттың қабырғасын 0, 2-ге арттырса, онда оның қабырғасы 8+0, 2=8, 2 см болады. Бұл жағдайда периметрі $P_{1} = 4*8. 2 = 32. 8\ см - ге, \ ал\ ауданы\ \ \ \ \ S_{1} = 8. 2*8. 2 = 67. 24{\ см}^{2} - ге$ тең.

Енді квадраттың периметрі мен ауданының өсімшесін табамыз:

$$\mathrm{\Delta}P = P_{1} - P = 32. 8 - 32 = 0. 8\ см, \ яғни\ \mathrm{\Delta}P = 0. 8\ см$$

$$\mathrm{\Delta}S = S_{1} - S = 67. 24 - 64 = 3. 24{см}^{2}, \ яғни\ \mathrm{\Delta}S = 3. 24\ {см}^{2}.$$

Жауабы: $\mathrm{\Delta}P = 0. 8\ см; \ \mathrm{\Delta}S = 3. 24\ {см}^{2}.$

Енді функцияның туындысына анықтама берейік. Ол үшін функция өсімшесінің аргумент өсімшесіне қатынасын

$\frac{\mathrm{\Delta}y}{\mathrm{\Delta}x} = \frac{f(x + \mathrm{\Delta}x) - f(x) }{\mathrm{\Delta}x}$ (3)

алайық.

Анықтама: $\frac{\mathrm{\Delta}y}{\mathrm{\Delta}x} = \frac{f(x + \mathrm{\Delta}x) - f(x) }{\mathrm{\Delta}x}$ қатынасының аргумент өсімшесі $\mathrm{\Delta}x$ нөлге ұмтылғандағы шегі бар болса, онда ол шекті $\mathbf{y = f(x) }$ функциясының $\mathbf{x}$ нүктесіндегі туындысы деп атайды.

$y = f(x)$ функциясының x нүктесіндегі туындысы $y' = f'(x)$ деп белгіленіп, х -тен әф штрих деп оқылады.

Демек,

$\lim_{\mathrm{\Delta}x \rightarrow 0}{\frac{\mathrm{\Delta}y}{\mathrm{\Delta}x} = \lim_{\mathrm{\Delta}x \rightarrow 0}{\frac{f(x + \mathrm{\Delta}x) - f(x) }{\mathrm{\Delta}x} = f'(x) }}$ . (4)

Функцияның туындысын табу амалын функцияны дифференциалдау деп атайды.

$x$ нүктесінде функцияның туындысы бар болса, онда $f(x)$ функциясын осы нүктеде дифференциалданатын функция деп атайды. Егер функция аралықтың барлық нүктелерінде дифференциалданатын болса, онда осы аралықта дифференциалданатын функция деп атайды.

$y = f(x)$ функциясының $x_{0}$ нүктесінде туындысы бар болса, онда осы нүктеде функция үзіліссіз болады. Кері тұжырым барлық жағдайда дұрыс деп айтуға болмайды.

Анықтама бойынша туынды табу алгоритмі мынадай:

1. аргументкеΔx\mathrm{\Delta}xөсімшесін беру;
2. Δx\mathrm{\Delta}xөсімшеге сәйкес функция өсімшесін, яғниΔy=f(x+Δx) −f(x) \mathrm{\Delta}y = f(x + \mathrm{\Delta}x) - f(x) анықтау;
3. функция өсімшесінің аргумент өсімшесіне қатынасын табу, яғниΔyΔx=f(x+Δx) −f(x) Δx\frac{\mathrm{\Delta}y}{\mathrm{\Delta}x} = \frac{f(x + \mathrm{\Delta}x) - f(x) }{\mathrm{\Delta}x};
4. аргумент өсімшесіΔx\mathrm{\Delta}xнөлге ұмтылғандағы қатынастың шегін анықтау, яғниlim⁡Δx→0ΔyΔx=lim⁡Δx→0f(x+Δx) −f(x) Δx=f′(x) . \lim_{\mathrm{\Delta}x \rightarrow 0}{\frac{\mathrm{\Delta}y}{\mathrm{\Delta}x} = \lim_{\mathrm{\Delta}x \rightarrow 0}{\frac{f(x + \mathrm{\Delta}x) - f(x) }{\mathrm{\Delta}x} = f'(x) }}.

Осы алгоритмді қолданып, туынды табуға мысалдар қарастырайық.

4 -мысал. ${a) \ f(x) = x}^{2}; \ \ \ ә) \ f(x) = \sqrt{x}; \ б) \ f(x) = \frac{1}{x}$ функцияларының $x$ нүктесіндегі туындысын табайық.

Шешуі: $a) \ f(x) = x^{2}$ функциясының туындысын анықтайық.

Алгоритм бойынша

1. x+Δx; x + \mathrm{\Delta}x;
2. Δy=f(x+Δx) −f(x) =(x+Δx) 2−x2=x2+2x*Δx+(Δx) 2−x2=2xΔx+(x) 2; \mathrm{\Delta}y = f(x + \mathrm{\Delta}x) - f(x) = (x + \mathrm{\Delta}x) ^{2} - x^{2} = x^{2} + 2x*\mathrm{\Delta}x + (\mathrm{\Delta}x) ^{2} - x^{2} = 2x\mathrm{\Delta}x + (x) ^{2};
3. ΔyΔx=2xΔx+(Δx) 2Δx−2x+Δx; \frac{\mathrm{\Delta}y}{\mathrm{\Delta}x} = \frac{2x\mathrm{\Delta}x + (\mathrm{\Delta}x) ^{2}}{\mathrm{\Delta}x} - 2x + \mathrm{\Delta}x;
4. lim⁡Δx→0(2x+Δx) =2x+0=2x, \lim_{\mathrm{\Delta}x \rightarrow 0}{(2x + \mathrm{\Delta}x) = 2x + 0 = 2x, }олай болса, f′(x) =2xf'(x) = 2x.

$ә) \ f(x) = \sqrt{x}$ функциясының туындысын анықтайық.

1. x+Δx; x + \mathrm{\Delta}x;

$$\mathrm{\Delta}y = f(x + \mathrm{\Delta}x) - f(x) = \sqrt{x + \mathrm{\Delta}x} - \sqrt{x} = \frac{(\sqrt{x + \mathrm{\Delta}x} - \sqrt{x}) (\sqrt{x*\mathrm{\Delta}x} + \sqrt{x) }}{\sqrt{x + \mathrm{\Delta}x}*\sqrt{x}} = \frac{x*\mathrm{\Delta}x - x}{\sqrt{x + \mathrm{\Delta}x} + \sqrt{x}} = \frac{\mathrm{\Delta}x}{\sqrt{x*\mathrm{\Delta}x} + \sqrt{x}}; \$$

2. ΔyΔx=Δxx+Δx+x:x=1x+Δx+x; \frac{\mathrm{\Delta}y}{\mathrm{\Delta}x} = \frac{\mathrm{\Delta}x}{\sqrt{x + \mathrm{\Delta}x} + \sqrt{x}}:\sqrt{x} = \frac{1}{\sqrt{x + \mathrm{\Delta}x} + \sqrt{x}};
3. lim⁡Δx→01x+Δx+x=1x+x=12x, ондаf′(x) =12x; \lim_{\mathrm{\Delta}x \rightarrow 0}{\frac{1}{\sqrt{x + \mathrm{\Delta}x} + \sqrt{x}} = \frac{1}{\sqrt{x} + \sqrt{x}} = \frac{1}{2\sqrt{x}}, }онда\ f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}};

$б) \ f(x) = \frac{1}{x}$ функциясының туындысын анықтайық.

1. x+Δx; x + \mathrm{\Delta}x;
2. Δy=f(x+Δx) −f(x) =1x+Δx−1x=x−x−Δxx(x+Δx) =−Δxx(x+Δx) ; \mathrm{\Delta}y = f(x + \mathrm{\Delta}x) - f(x) = \frac{1}{x + \mathrm{\Delta}x} - \frac{1}{x} = \frac{x - x - \mathrm{\Delta}x}{x(x + \mathrm{\Delta}x) } = - \frac{\mathrm{\Delta}x}{x(x + \mathrm{\Delta}x) };
3. ΔyΔx=−Δxx(x+Δx) :Δx=−1x(x+Δ) ; \frac{\mathrm{\Delta}y}{\mathrm{\Delta}x} = - \frac{\mathrm{\Delta}x}{x(x + \mathrm{\Delta}x) }:\mathrm{\Delta}x = \frac{- 1}{x(x + \mathrm{\Delta}) };
4. lim⁡Δx→0(1x(x+Δx) ) =−1x(x+0) =−1x2, олайболса, f′(x) =−1x2. \lim_{\mathrm{\Delta}x \rightarrow 0}{\left( \frac{1}{x(x + \mathrm{\Delta}x) } \right) = - \frac{1}{x(x + 0) } = - \frac{1}{x^{2}}, }олай\ болса, \ f'(x) = - \frac{1}{x^{2}}.

---

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.

• Іс жүргізу
• Автоматтандыру, Техника
• Алғашқы әскери дайындық
• Астрономия
• Ауыл шаруашылығы
• Банк ісі
• Бизнесті бағалау
• Биология
• Бухгалтерлік іс
• Валеология
• Ветеринария
• География
• Геология, Геофизика, Геодезия
• Дін
• Ет, сүт, шарап өнімдері
• Жалпы тарих
• Жер кадастрі, Жылжымайтын мүлік
• Журналистика
• Информатика
• Кеден ісі
• Маркетинг
• Математика, Геометрия
• Медицина
• Мемлекеттік басқару
• Менеджмент
• Мұнай, Газ
• Мұрағат ісі
• Мәдениеттану
• ОБЖ (Основы безопасности жизнедеятельности)
• Педагогика
• Полиграфия
• Психология
• Салық
• Саясаттану
• Сақтандыру
• Сертификаттау, стандарттау
• Социология, Демография
• Спорт
• Статистика
• Тілтану, Филология
• Тарихи тұлғалар
• Тау-кен ісі
• Транспорт
• Туризм
• Физика
• Философия
• Халықаралық қатынастар
• Химия
• Экология, Қоршаған ортаны қорғау
• Экономика
• Экономикалық география
• Электротехника
• Қазақстан тарихы
• Қаржы
• Құрылыс
• Құқық, Криминалистика
• Әдебиет
• Өнер, музыка
• Өнеркәсіп, Өндіріс