Тригонометриялық функцияның туындысы
Қазақстан Республикасының Білім және Ғылым министрлігі
Ө. Сұлтанғазин атындағы Қостанай мемлекеттік педагогикалық университеті
Жаратылыстану - математика факультеті
Физика - математикалық пәндер кафедрасы
Турмагамбетова Айдана
Мектеп бағдарламасыда туынды тақырыбына қойылатын әдістемелік тақырыптар
Курстық жұмыс
5В01900 - математика
Ғылыми жетекшісі:
Аға оқытушы, магистрі
Фазылова А. А.
Қостанай, 2018
Мазмұны
Кіріспе ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
1Туынды ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
1.1Туындының анықтамасы ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .
1.2Туындыны табу ережелері ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
1.3Туындының физикалық және геометриялық мағынасы ... ... ... ... ... ..
Функцияның грфигіне жүргізілген жанама ... ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ...
1.4Күрделі функцияның туындысы ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
1.5Тригонометриялық функцияның туындысы ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .
Туындылар кестесі ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .
Есептер ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .
Қорытынды ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .
Қолданылған әдебиеттер тізімі ... ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .
3
6
6
9
12
12
20
21
25
26
28
29
Кіріспе
XII ғасыр математикасындағы ең басты жетістік математикалық анализдің ең іргелі тарауы саналатын дифференциалдық есептеулердің жасалуы болып саналады. Ол Ньютон мен Лейбництің және олардың серіктері мен шәкірттерінің еңбектерінде көрініс табады. Алайда шексіз анализдің шығуы бір немесе бірнеше адамның данышпандық тапқырлығының жемісі емес еді, ол шындығында, ішікі математикалық мәні дифференциалдық және интегралдық есептеулер мен қатарлар теориясы элементтерінің қорлануы және бөлінуі болатын ұзаққа созылған дамудың нәтижесінде туды.
Бұл принциптің қозғаушы күші ең әуелі механикада, астрономия мен физикада жатты. Бұл ғылымдар математиканың алдына шешілуге тиісті әртүрлі жаратылыстану мәселелерімен қоюмен қатар, олар математика объектілерін үздіксіз қозғалыстар мен шамалар, функциялық тәуелділіктердің мәні мен түрлері туралы жаңа, кең, терең ұғымдарымен байытты. Математика және оған байланысты ғылымдар өзара байланыса келіп, айнымалы шамалар математикасының негізгі инфинитезималдық (Инфинит - шексіз деген сөзді білдіреді) әдістер қалыптаса бастайды.
Шексіз аздарды есептеуде XII ғасырда математиканың өз ішінде де жетерліктей алғы шарттар пісіп жетілген болатын. Олар: қалыптасқан символикалық алгебра мен септеу техникасы, аналитикалық геометриядағы айнымалы шамалар мен координаттар әдісі; ежелгі оқымыстылардың , әсіресе Архимедтің инфинитезималдық идеяларын игеру; квадратура, кубатура, ауырлық центрлерін табу, жанама жүргізу, экстремумдар табу т.б. есептерді шешу әдістерінің жинақталуы еді. Бұл тектес есептерді қарастыру, оларды шешу жалпы әдістерін іздестіру барысында, яғни шексіз аздар анализін жасау жолында Ньютон мен Лейбницке дейін Кеплер, Галилей, Кавальери, Торичелли, Паскаль, Валлис, Роберваль, Ферма, Декарт, Боррау және басқа көптеген айтулы оқымыстылар жемісті еңбек етті. Міне, осылай математикалық анализдің элементтерін, бастамаларын жасау көп ғалымдардың жан-жақты шығармашылық зерттеу жұмысының нәтижесі болды. Бұл авторлардың барлығының жетістіктерін қысқаша түрде болса да азды-көпті мағлұмат беру бұл жерде мүмкін емес. Сондықтан да математикалық анализдің алғы тарихын жасаушы кейбір математиктердің ғана еңбектеріне шолу жасаумен шектелмекпіз.
XVII ғасырда болашақ дифференциалдық әдістің нышаны, элементтері бой көтере бастайды. Бұл кезде дифференциалдық есептерді шешу, қисықтарға жүргізілген жанаманы анықтау, функциялардың максимумы мен минимумын табу, алгебралық теңдеулердің еселі түбірлерінің шарттарын іздестіру, механикада траекторияның кез келген нүктесіндегі бірқалыпты емес, әртүрлі әдістермен шығарылады. Әркім өз шама - шарқына қарай әрект жасады. Бұл бағыттағы ізденістер мен жекелеген жетістіктерді Галилей, Декарт, Ферма, Барроу т.б. бірсыпыра оқымыстылар еңбектерінен ұшыратамыз. Бұл жөнінде тек бірер мысалдармен шектелмекпіз. Аналитикалық геометрияны жасаушылардың бірі Ферма 1629 жылы Максимум және минимум табу атты шағын шығармасында кейіннен шексіз аздар анализінен тұрақты орын алған функцияның экстремумын табу әдісін жасайды. П. Ферма кез келген қисықтың y=xn, n бүтін сан, квадратурасын шешкен болатын (яғни, xndx=1n+1xn+1формуласын қорытып шығарады) және осының нәтижесінде ауырлық центрлерін табу есептерінің бірқатарын шығарған. Ол әуелі бүтін алгебралық көпмүшеfx-тің экстремумын табудың жалпы ережесін тұжырымдайды. Қазіргі математикалық анализді таңбалануы бойынша Ферманың әдісі f(x+h)өрнегінен тұрады және ол жуық түрде fx-ке теңестіріледі. Сонан кейін fx+h=f(x) жуық теңдігінде тең мүшелер қысқартылады (h -тің мүмкін жоғары дәрежесіне қысқартылады). Ең соңында әлі де болса h көбейткіші қалып қойған мүшелер алынып тасталады. Сонда шыққан теңдеуді шешу fx ең үлкен немесе ең кіші мәнді қабылдайтындай x-тің мәнін табуға мүмкіндік береді.
Ферманың бұл ережесі қазіргі дифференциалданатын функцияның экстремумының қажетті шартымен дәл келеді.
limh--0fx+h-f(x)h=f'x=0
Айта кетерлік бір нәрсе, Ферма атап айтпаса да h шамасын шексіз аз деп қарайды. Тағы бір еңбегінде Ферма осы әдісті пайдаланып, қандай да бір қисықтың берілген нүктелеріне жүргізілген жанаманы табуды қарастырады.
Ферма жанама табу әдісін fx,y=0 функция жағдайына да қолданады. Мұнда табылған өрнекті біздің жазуымыздағы dfdx+y'dfdy=0 теңдеуіне оп-оңай көшіруге болады. Ферма тек алгебралық полиномдық функцияларды қарастырады. Егер зерттелінетін функцияларда иррационалдық кездесе қалса, одан теңдеудің екі жағын дәрежелеп құтылады.
Шексіз аздар анализінің дәстүрлі ескі математика құрсағында эмбриональдық даму кезеңінің соңы дифференциалдық және интегралдық зерттеулердің байланысы мен олардың өзара кері амалдар екендігін тағайындау болады. Бұған түрткі болған себептер бірнешеу. Олардың ішіндегі ең негізгісі жанамаларға кері есептер еді. Бұл есептердің түп мәнісі - қазіргі терминмен айтқанда, дифференциалдық теңдеулерді шешу. Мәселен, dfdx=fx теңдеуін интегралдау. Бұл салада Шотландия математигі Д. Грегори, ағылшын математигі Валлис бірсыпыра нәтижелерге жетті. Көп ұзамай геометрия терминдері арқылы квадратура (аудан табу) есептері мен жанама жүргізу есептерінің өзара кері екендігі туралы жалпы тұжырым айтылады. Бұл түбегейлі теореманың авторы Валлистің шәкірті, Ньютонның досы Кембридж университетінің профессоры Барроу (1630 - 1677) болатын. Ол мұны өзінің Геометрия және оптика жөніндегі дәрістерінде дәлелдейді. Жаңа анализ символикасы бойынша бұл теореманы былай өрнектеуге болатын еді:
y=0xzdx теңдеуінен dy=zdx керісінше дифференциалдық теңдігі және керсіншеdy=zdx дифференциалдық теңдігінен y=0xzdxтеңдігі шығады. Жаңа анализ тілінде Барроу теоремасы және оған дейінгі осы тектес теоремалар жоғары шегі айнымалы болып келген интегралды есептеу мен дифференциалдаудың өзара кері сипатта болатынын бейнеледі. Осы нәтижеге сүйеніп, Барроу көптеген жанамаға кері есептерді шешеді. Оның шығармалары Ньютон, Лейбниц және басқа оқымыстыларға кеңінен мәлім болған.
Сонымен, XII ғасырдың ортасында математикада дифференциалдық және интегралдық есептеулерді ашуға толық негіз қаланады.
Курстық жұмыстың мақсаты:
* математикалық анализдің, жалпы математиканың іргелі ұғымдарының бірі болып табылатын шек ұғымының нақты қолданылуының ең негізгілерінің бірі болып табылатын функцияның туындысы ұғымын оқушылардың ұғымын жетілдірудің шарттарын анықтау;
* туындыны қолданыуды меңгеру жолдарын, оны жүргізудің әдістемесін жасау.
Курстық жұмыстың міндеті:
+ оқушыларда функцияның туындысы ұғымын қалыптастыру мен меңгертуді жүйелеу;
+ функцияның туындысын талдау;
+ функцияның туындысын оқып - үйренудің жалпы математиканы оқып үйренгенде алатын орнын көрсету;
+ функцияның туындысын есептеудің тәсілдерін көрсету.
Құрылымы: кіріспеден, негізгі бөлімнен, есептер жинағынан, қорытындыдан және пайдаланылған әдебиеттерден тұрады.
1 Туынды
Туындының анықтамасы
Функцияны қарапайым қозғалыстар, құбылыстар мен процестерді және олардың өзгерісін математикалық модель тұрғысынан қарастыру мақсатында қолданады.
Алдымен аргумент және функцияның өсімшелері ұғымдарын анықтап алайық.
y=f(x)функциясы берілсін. Аргументтің x және x1 мәндері функцияның анықталу облысынан алынған.
Анықтама:x1-x айырымын аргументтің x нүктесіндегі өсімшесі деп атайды.
Өсімшені ∆x таңбасымен белгіленіп, "дельта икс" деп оқылады, яғни ∆x=x1-x.
y=f(x) функциясының анықталу облысына тиісті кез келген x нүктесін алайық. Функцияның аргументі x-ке ∆x өсімшесін берейік. ∆x өсімшесін қабылдағаннан кейін аргументтің мәні x+∆xболады. Өсімшенің таңбасы оң да, теріс те болуы мүмкін. Егер ∆x0 болса, онда x+∆x нүктесі x нүктесінің оң жағында, ал ∆x0болса, онда x+∆x нүктесіx нүктесінің сол жағында орналасады.
∆x0x∆x0
x+∆xx+∆x
Сонымен аргумент өсімшесін
∆x=x+∆x-x (1)
теңдігімен жазуға болады. Демек, аргумент өсімшесі аргументтің екі нүктедегі мәндерінің айырымына тең.
Енді функция өсімшесіне тоқталайық.
Аргумент x-ке ∆x өсімшесін бергендеy=f(x)функциясы да өсімше қабылдайды. Бұл функцияның өсімшесі ∆yдеп белгіленіп, ∆y=y+∆y-yнемесе
∆y=fx+∆x-f(x)(2)
теңдігімен анықталады.
Cонда функция өсімшесі функцияның екі нүктедегі мәндерінің айырымына тең.
1-мысал. y=x3 функциясының аргументі x нүктесінде ∆x - ке тең болғандағы өсімшесін табайық.
Шешуі.∆x=(x+∆x)3-x3=x3+3x2*∆x+3*x*∆ x2+∆x3-x3=3x2*∆x+3x*∆x2+∆x3.
Сонымен, ∆y=3x2+3*x*∆x+∆x2*∆x.
2-мысал.y=kx+bсызықтық функциясының аргументі x - тен (x+∆x) - ке ауысқандағы өсімшесінің аргумент өсімшесіне қатынасы kсанына тең екенін дәлелдейік.
Шешуі.∆y=kx+∆x+b-kx+b=kx+k*∆x+b-kx- b=k*∆x.
Енді функция өсімшесін аргумент өсімшесіне бөлеміз. ∆y∆x=k*∆x∆x-k.
Сонымен ∆y∆x-k.
3-мысал. Квадраттың қабырғасы 8 см. Егер квадраттың қабырғасы 0,2 см-ге арттырылса, онда квадраттың периметрі мен ауданының өсімшесін табайық.
Шешуі:Есептің шарты бойынша квадраттың қабырғасы 8 см. Онда оның периметрі P=4*8=32 см, ал ауданы S=64см2.
Егер квадраттың қабырғасын 0,2-ге арттырса, онда оның қабырғасы 8+0,2=8,2 см болады. Бұл жағдайда периметрі P1=4*8.2=32.8 см-ге, ал ауданы S1=8.2*8.2=67.24 см2-ге тең.
Енді квадраттың периметрі мен ауданының өсімшесін табамыз:
∆P=P1-P=32.8-32=0.8 см, яғни ∆P=0.8 см
∆S=S1-S=67.24-64=3.24см2, яғни ∆S=3.24 см2.
Жауабы:∆P=0.8 см; ∆S=3.24 см2.
Енді функцияның туындысына анықтама берейік.Ол үшін функция өсімшесінің аргумент өсімшесіне қатынасын
∆y∆x=fx+∆x-f(x)∆x (3)
алайық.
Анықтама:∆y∆x=fx+∆x-f(x)∆xқатынасын ың аргумент өсімшесі ∆x нөлге ұмтылғандағы шегі бар болса, онда ол шектіy=f(x) функциясының x нүктесіндегі туындысы деп атайды.
y=fx функциясының x нүктесіндегі туындысы y'=f'(x) деп белгіленіп, х-тен әф штрих деп оқылады.
Демек,
lim∆x--0∆y∆x=lim∆x--0fx+∆x-f(x)∆x =f'(x). (4)
Функцияның туындысын табу амалын функцияны дифференциалдау деп атайды.
x нүктесінде функцияның туындысы бар болса, онда f(x) функциясын осы нүктеде дифференциалданатын функция деп атайды. Егер функция аралықтың барлық нүктелерінде дифференциалданатын болса, онда осы аралықта дифференциалданатын функция деп атайды.
y=f(x) функциясының x0 нүктесінде туындысы бар болса, онда осы нүктеде функция үзіліссіз болады. Кері тұжырым барлық жағдайда дұрыс деп айтуға болмайды.
Анықтама бойынша туынды табу алгоритмі мынадай:
1) аргументке ∆x өсімшесін беру;
2) ∆x өсімшеге сәйкес функция өсімшесін, яғни ∆y=fx+∆x-f(x) анықтау;
3) функция өсімшесінің аргумент өсімшесіне қатынасын табу, яғни ∆y∆x=fx+∆x-f(x)∆x;
4) аргумент өсімшесі ∆x нөлге ұмтылғандағы қатынастың шегін анықтау, яғни lim∆x--0∆y∆x=lim∆x--0fx+∆x-f(x)∆x =f'(x).
Осы алгоритмді қолданып, туынды табуға мысалдар қарастырайық.
4-мысал.a) fx=x2; ә) fx=x; б) fx=1xфункцияларыныңx нүктесіндегі туындысын табайық.
Шешуі:a) fx=x2 функциясының туындысын анықтайық.
Алгоритм бойынша
1) x+∆x;
2) ∆y=fx+∆x-fx=x+∆x2-x2=x2+2x*∆x+∆x2-x 2=2x∆x+x2;
3) ∆y∆x=2x∆x+∆x2∆x-2x+∆x;
4) lim∆x--02x+∆x=2x+0=2x,олай болса, f'x=2x.
ә) fx=x функциясының туындысын анықтайық.
1) x+∆x;
∆y=fx+∆x-fx=x+∆x-x=(x+∆x-x)(x*∆x+x) x+∆x*x=x*∆x-xx+∆x+x=∆xx*∆x+x;
2) ∆y∆x=∆xx+∆x+x:x=1x+∆x+x;
3) lim∆x--01x+∆x+x=1x+x=12x,онда f'x=12x;
б) fx=1x функциясының туындысын анықтайық.
1) x+∆x;
2) ∆y=fx+∆x-fx=1x+∆x-1x=x-x-∆xxx+∆x=-∆ xxx+∆x;
3) ∆y∆x=-∆xxx+∆x:∆x=-1xx+∆;
4) lim∆x--01xx+∆x=-1xx+0=-1x2,олай болса, f'x=-1x2.
Сонымен қарастырылған мысалдардан (x2)'=2x , (x)'=12x, 1x'=-1x2.
Туындыны табу ережелері
Туындыны есептеудің бірнеше ережелерін қорытып шығарайық.
Алдымен ux және v(x) функцияларының х нүктесіндегі мәндерін қысқаша былай белгілейік: ux=u, vx=v, (u)'=u', (v)'=v'.
1-ереже: Егерu және υ функцияларының х нүктесінде u' , υ' туындылары бар болса, онда u+υ функциясының х нүктесіндегі туындысы бар және ол
(u+υ)' = u' + υ' (1)
формуласымен анықталады.
Дәлелдеуі: Дәлелдеу үшін туындының анықтамасы мен туынды табу алгоритмін қолданамыз.
Ол үшін екі функцияның қосындысы ux+vx=F(x) функциясын алайық және аргумент x-ке ∆xөсімшесін берейік. Сонда ∆Fx=Fx+∆x-Fx=ux+∆x-ux+vx+∆x-v(x) аламыз. Функция өсімшесін аргументөсімшесі ∆x-ке бөлсек,
∆Fx∆x=Fx+∆x-Fx∆x=ux+∆x-ux∆x+vx+∆x-v (x)∆x=∆u∆x+∆v∆x
өрнегі шығады. Осы өрнектің ∆x--0 ұмтылғандағы шегін табамыз:
lim∆x--0∆u∆x+∆v∆x=lim∆x--0∆u∆x+li m∆x--0∆v∆x=u'+v'.
Осы ережені қолдануға мысал қарастырайық
1-мысалы:fx=x2-x+5 функциясның туындысын табайық.
Шешуі:f'x=x2-x+5=(x2)'-x'-5'=2x-1+0 =2x-1.
Жауабы:x-1.
2 - ереже: Егерu жәнеvфункцияларының x нүктесінде туындылары бар болса, онда берілген функциялардың көбеитіндісі u*v функциясының осы х нүктесінде туындысы бар және ол
(u*v)'=u'v+uv' (2)
формуласымен анықталады.
Дәлелдеуі: Дәлелдеу үшін туындының анықтамасы мен туынды табу алгоритмін қолданамыз. Аргумент x-ке ∆x өсімшесін сәйкес келетін функциясының өсімшесінің өрнегін анықтайық. u+∆uv+∆v-uv=uv+∆u*v+u*∆v+∆u*∆v-uv=∆ u*v+u*∆v+∆u*∆v немесе u+∆uv+∆v-uv=∆u*v+u*∆v+∆u*∆v.
Теңдіктің екі жағын да аргумент өсімшесіне бөлеміз:
u+∆uv+∆v-uv∆x=∆u∆x*v+∆v∆x*u+∆u∆x*∆v .
∆x--0ұмтылғандағы шегін анықтайық:
lim∆x--0∆u∆x*v+u*∆v∆x+∆u∆x*∆v=v*li m∆x--0∆u∆x+u*lim∆x--0∆v∆x+∆v*lim∆ x--0∆u∆x=v*u'+u*v', себебі ∆x--0, ∆u--0, ∆v--0.
Салдар. Егер f(x) функциясының х нүктесінде туындысы бар болып, ал С тұрақты сан болса онда Cf(x) функциясының осы х нүктесінде туындысы бар және ол
Cfx'=C*f'(x) (3)
формуласымен анықталады.
2-мысал.y=(3x2-7x+5)(2x-3)функциясы ның туындысын табайық.
Шешуі: Мұнда u=3x2-7x+5;v=2x-3;u'=6x-7;v'=2-0=2, u*v'=u'*v+u*v'формуласын пайдаланамыз.
y'=3x2-7x+52x-3'=6x-72x-3+2*3x2-7x+ 5=12x2-14x-18x+21+6x2-14x+10=18x2-4 6x+31.
Жауабы: 18x2-46x+31.
3 - ереже: Егер u және v функцияларының х нүктесінде туындылары бар және v!=0 болса, онда uvфункциясының да х нүктесінде туындысы бар және ол туынды
uv'=u'v-uv'v2(4)
формуласы арқылы анықталады.
Дәлелдеу: Дәлелдеу үшін туындының анықтамасы мен туынды табу алгоритмін қолданамыз. Ол үшін аргументтің ∆x өсімшесін сәйкес келетін u функциясының өсімшесін∆u, ал v функциясының өсімшесін ∆v деп алып, uv функциясының өсімшесін анықтайық:
u+∆uv+∆v-uv=u+∆uv-uv+∆vv+∆vv=uv+∆u* v-uv-u*∆vv+∆v*v=∆u*v-u*∆vv+∆v*v.
Осы өрнекті аргумент өсімшесі ∆x-ке бөлеміз:
u+∆uv+∆v-uv∆x=∆u∆x*v-u*∆v∆xv+∆v*v.
Енді u=u(x)және v=vx функциялары үзсіліссіз болғанндықтан,∆x--0 жағдайда, ∆u--0 және ∆v--0 екенін ескеріп, ∆x--0шегін анықтаймыз:
lim∆x--∆u∆x*v+u*∆v∆xv+∆v-v=u'*v-u* v'v+0*v=u'*v-u*v'v2 бөліндінің туындысын анықтайтын (4) формула шығады.
3-мысал.y=x2x2+1 функциясының туындысын есептейік.
Шешуі: y'=x2x2+1'=x2'*x2+1-x2*(x2+1)'(x2+1 )2= 2x*x2+1-x2*2x(x2+1)2= 2x3+2x-2x3(x2+1)2= 2x(x2+1)2.
Жауабы: 2x(x2+1)2.
Енді дәрежелік функцияның туындысын есептеу формуласын берейік. 1-ден үлкен кез келеген n∈N үшін y=xn дәрежелі функцияның туындысы
xn'=nxn-1 (5)
Формуласымен есептелінеді.
Енді n бүтін теріс сан, яғни n=-m, ал m натурал сан болатын жағдайды қарастырайық. Бөліндінің туындысын табу ережесін және (5) формуланы қолданып, xn'=x-m'=1xm'=1'*xm-(xm)'xm2=-mxm-1 x2m=-m*x-m-1=nxn-1 аламыз.
Демек, кез келген бүтін n үшін xn'=nxn-1 теңдігі ақиқат болады.
4-мысал.а) y=x6; ә) y=12x8-3x7туындысын есептейік.
Шешуі:а) y'=(x6)'=6*x6-1=6x5;
ә) y'=12x8-3x7'= 12*(x8)'-3*(x-7)=12*8x7-3*(-7)*x-7- 1=4x7+21x8.
Жауабы: 6x5; 4x7+21x8.
Туындының физикалық және геометриялық мағынасы.
Функцияның графигіне жүргізілген жанама.
Алдымен туындының физикалық мағынасын қарастырайық.
Түзу сызық бойымен қозғалған физикалық дененің t уақыт ішінде жүріп өткен жолы stфункциясымен берілсен. Қозғалыстағы дененің t+∆tуақыт өткенен кейінгі жолыs(t+∆t) функциясымен анықталады. Сонда уақыт t - дан (t+∆t) - ға дейін өзгергенде жолдың шамасы
st+∆t-s(t)
айырымына тең. Енді осы айырымды∆t уақытқа бөлсек,
st+∆t-s(t)∆t
яғни қозғалыстағы дененің орташа жылдамдығы
vорт=st+∆t-s(t)∆t
шығады.
Соңғы өрнектен ∆tнөлге ұмтылғанда шекке көшсек,
lim∆t--0st+∆t-s(t)∆t=s'(t)=v(t)
теңдігін аламыз. Мұндағы st - қозғалыстағы дененің t уақыт ішіндегі жүрген жолы, ал s'(t)=v(t)- қозғалыстағы дененің t уақыт мезетіндегі лездік жылдамдығы.
Биіктіктен еркін құлаған дененің уақыт ішінде жүрген жолы функциясымен
Қозғалыстың лездік жылдамдығы туралы есеп
Функция туындысы түсінігін лездік жылдамдықты анықтау мен жанама жөніндегі есептерді шешуден бастайды. Физикадан таныс есепке назар аударайық. Нүктенің түзу бойымен қозғалысын қарастырайық. Айталық нүктенің t уақыт мезетіндегі x координатасы x(t) болсын. Физика курсынан белгілі болғандай, қозғалыс үздіксіз және біркелкі деп ұйғарайық. Басқаша айтқанда, нақтылы өмірде байқалатын қозғалыстар туралы сөз болып отыр. Өзімізге түсінікті болу үшін тас жолдың түзу сызықты бөлігіндегі материалдық нүктенің қозғалысы туралы есепті қарастырайық.
Мынадай есепті шығарайық: белгілі x(t) тәуелділігі бойынша, автомобильдің t уақыт мезетінен басталатын қозғалыстың жылдамдығын анықтау керек (бұл жылдамдық лездік жылдамдық деп аталады). Егер x(t) тәуелділігі сызықтық тәуелділік болса, жауабы оңай: кез келген уақыт мезетіндегі жылдамдық дегеніміз жүрілген жолдың уақытқа қатынасы. Егер қозғалыс бірқалыпсыз болса, есепті шығару қиынға соғады.
Материалдық нүкте бірқалыпты қозғалыспен жүретіні айқын. Яғни, ол бірдей уақыт аралықтарында ұзындықтары бірдей жол жүріп өтетін болса, онда бұл қозғалыс жылдамдықты береді. Бұл жылдамдықты табу оңай, ол үшін t уақыт мезетіндегі спидометрдің фотосуретін жасау керек. x(t) тәуелділігін біле отырып, vлезt0 жылдамдығын физикалық жолмен табуға болады.
t0-ден t0+∆t-ға дейінгі ұзақтығы ∆t уақыт аралығындағы орташа жылдамдық белгілі
vорт∆t=ΔxΔt(1.3.1)
Өзіміздің ұйғарғанымыздай дене бірқалыпты қозғалады. Сондықтан былай деп жорамалдау орынды: егер ∆t өте аз болса, онда осы уақыт аралығында жылдамдық өзгермейді. ∆t--0 ұмтылған жағдайда орташа жылдамдықтың мәні қандай да бір толық анықталған мәнге ұмтылады. Ол нүктені сол нүктенің t0 уақыт мезетіндегі материалдық нүктенің жылдамдығын лездік жылдамдық деп атайды. Сонымен,
vорт∆t=ΔxΔt--vt0, мұндағы ∆t--0
Бірақ туындының анықтамасы бойынша:
ΔxΔt--x't0, мұндағы ∆t--0
Сондықтан, v(t) лездік жылдамдығы кез келген x(t) функциясының дифференциалы болып табылады:
vt=x'(t0) (1.3.2)
Қысқаша айтқанда, уақыттан координатаға қарағандағы туынды жылдамдықтың өзін береді. Бұл жерде оқушыларға бұған ұқсас есепті кезінде Ньютон шешкенін айта кету керек. Ол туындыны флюксия, ал функцияны флюента деп атағанын түсіндіріп кету керек.
Ток күшіне арналған есеп
Мысалы, тогы бар электрлік тізбекті қарастырайық. t уақытта сым арқылы өткен электрдің санын q=q(t) (кулон) арқылы белгілейік. t уақытына электрдің саны сәйкес келгендіктен, уақыттың функциясы ретінде электрдің саны алынады. ∆t уақыттың бір мезеті, ∆q=qt+∆t-gt-tуақыт пен t+∆t уақыт аралығында сым арқылы өткен электрдің саны. Онда ∆q∆t қатынасын токтың орташа күші деп атайды. Егер тізбекте ауыспалы ток болса, онда уақыт мезетіне байланысты Iорт - ток та ауыспалы болады. Мұндай ток тізбегі үшін токтың лездік күші деген ұғым еңгізілді.
Токтың лездік жылдамдығын ∆-ның ∆t-ға қатынасын шекке апарып қойсақ, онда:
It≈lim∆t--0Iорт≈lim∆t--0∆q∆t
мұндағы ∆t--0 ұмтылады.
Химиялық реакцияға арналған есеп
Кейбір заттар химиялық реакцияға түссін. t уақытында реакцияға түскен заттардың санын y(t) арқылы белгілейік. y-t айнымалының функциясы. Егер ∆t уақыттың белгілі бір шамасы болса, t мен t+∆t уақыт аралығындағы реакцияға түскен заттардың саны ∆y=yt+∆t-y(t) тең болады. Бұдан ∆y∆t қатынасынан реакцияға түскен заттардың орташа жылдамдығы шығады. Бұл қатынасты шекке апарып қойсақ, онда келесі формула шығады:lim∆t--0ΔyΔt .
Туынды ұғымын оқытуда бір-екі физикалық еептерді көрсету жеткілікті. Бұл есептер негізінде туынды ұғымы еңгізіледі. Әсіресе қозғалыстың лездік жылдамдығы туралы есептің маңызы зор, өйткені бұл есеп туындының механикалық сипатын ашады, ал функцияның графигіне жүргізілген жанама туындының геометриялық маңызын ашады.
a,b аралығында алынатын f(x)функциясын қарастырайық. x0-a,bинтервалында берілген нүкте болсын, және кез келген x0+∆x - нүктелері берілсін. Яғни, ax0b, ax0+∆xb . мұндағы ∆x - аргумент өсімшесі. Бұл жерде аргумент өсімшесі мен функция өсімшесі деген ұғымдар пайдаланады. Оқушыларға міндетті түрде бұл ұғымдардың мағынасын түсіндіріп кету керек.
Айталық,x - қандай да бір белгіленіп алынған x0 нүктесінің маңайында жатқан еркін алынған нүкте болсын. x-x0 айырмасын тәуелсіз айнымалының
x0 нүктесіндегі өсімшесі (немесе аргументтің өсімшесі) деп атайды да, ∆xдеп белгілейді. Сонымен,
∆x=x-x0
бұдан x=x0+∆x болатыны шығады.
Аргументтің бастапқы x0 мәні ∆x өсімшесін алды деп те атайды. Осының салдарынан функциясының өсімшесі деп аталады және ∆f символымен белгіленеді, яғни анықтама бойынша
∆f=x0+∆x-fx0 1.3.4
бұдан
fx=fx0+∆x=fx0+∆f
x0 белгіленіп көрсетілгенде ∆f өсімшесі ∆x-тің функциясы болатынына назар аударыңдар.
∆f-тің ∆x-ке қатынасын қарастырайық:
Берілген қатынастан ∆x-тің барлық мәндері үшін (∆x=0-ден басқа)a-x, d-xинтервалында анықталған ∆x өсімшесінен өзі ... жалғасы
Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.
Ө. Сұлтанғазин атындағы Қостанай мемлекеттік педагогикалық университеті
Жаратылыстану - математика факультеті
Физика - математикалық пәндер кафедрасы
Турмагамбетова Айдана
Мектеп бағдарламасыда туынды тақырыбына қойылатын әдістемелік тақырыптар
Курстық жұмыс
5В01900 - математика
Ғылыми жетекшісі:
Аға оқытушы, магистрі
Фазылова А. А.
Қостанай, 2018
Мазмұны
Кіріспе ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
1Туынды ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
1.1Туындының анықтамасы ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .
1.2Туындыны табу ережелері ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
1.3Туындының физикалық және геометриялық мағынасы ... ... ... ... ... ..
Функцияның грфигіне жүргізілген жанама ... ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ...
1.4Күрделі функцияның туындысы ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
1.5Тригонометриялық функцияның туындысы ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .
Туындылар кестесі ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .
Есептер ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .
Қорытынды ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .
Қолданылған әдебиеттер тізімі ... ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .
3
6
6
9
12
12
20
21
25
26
28
29
Кіріспе
XII ғасыр математикасындағы ең басты жетістік математикалық анализдің ең іргелі тарауы саналатын дифференциалдық есептеулердің жасалуы болып саналады. Ол Ньютон мен Лейбництің және олардың серіктері мен шәкірттерінің еңбектерінде көрініс табады. Алайда шексіз анализдің шығуы бір немесе бірнеше адамның данышпандық тапқырлығының жемісі емес еді, ол шындығында, ішікі математикалық мәні дифференциалдық және интегралдық есептеулер мен қатарлар теориясы элементтерінің қорлануы және бөлінуі болатын ұзаққа созылған дамудың нәтижесінде туды.
Бұл принциптің қозғаушы күші ең әуелі механикада, астрономия мен физикада жатты. Бұл ғылымдар математиканың алдына шешілуге тиісті әртүрлі жаратылыстану мәселелерімен қоюмен қатар, олар математика объектілерін үздіксіз қозғалыстар мен шамалар, функциялық тәуелділіктердің мәні мен түрлері туралы жаңа, кең, терең ұғымдарымен байытты. Математика және оған байланысты ғылымдар өзара байланыса келіп, айнымалы шамалар математикасының негізгі инфинитезималдық (Инфинит - шексіз деген сөзді білдіреді) әдістер қалыптаса бастайды.
Шексіз аздарды есептеуде XII ғасырда математиканың өз ішінде де жетерліктей алғы шарттар пісіп жетілген болатын. Олар: қалыптасқан символикалық алгебра мен септеу техникасы, аналитикалық геометриядағы айнымалы шамалар мен координаттар әдісі; ежелгі оқымыстылардың , әсіресе Архимедтің инфинитезималдық идеяларын игеру; квадратура, кубатура, ауырлық центрлерін табу, жанама жүргізу, экстремумдар табу т.б. есептерді шешу әдістерінің жинақталуы еді. Бұл тектес есептерді қарастыру, оларды шешу жалпы әдістерін іздестіру барысында, яғни шексіз аздар анализін жасау жолында Ньютон мен Лейбницке дейін Кеплер, Галилей, Кавальери, Торичелли, Паскаль, Валлис, Роберваль, Ферма, Декарт, Боррау және басқа көптеген айтулы оқымыстылар жемісті еңбек етті. Міне, осылай математикалық анализдің элементтерін, бастамаларын жасау көп ғалымдардың жан-жақты шығармашылық зерттеу жұмысының нәтижесі болды. Бұл авторлардың барлығының жетістіктерін қысқаша түрде болса да азды-көпті мағлұмат беру бұл жерде мүмкін емес. Сондықтан да математикалық анализдің алғы тарихын жасаушы кейбір математиктердің ғана еңбектеріне шолу жасаумен шектелмекпіз.
XVII ғасырда болашақ дифференциалдық әдістің нышаны, элементтері бой көтере бастайды. Бұл кезде дифференциалдық есептерді шешу, қисықтарға жүргізілген жанаманы анықтау, функциялардың максимумы мен минимумын табу, алгебралық теңдеулердің еселі түбірлерінің шарттарын іздестіру, механикада траекторияның кез келген нүктесіндегі бірқалыпты емес, әртүрлі әдістермен шығарылады. Әркім өз шама - шарқына қарай әрект жасады. Бұл бағыттағы ізденістер мен жекелеген жетістіктерді Галилей, Декарт, Ферма, Барроу т.б. бірсыпыра оқымыстылар еңбектерінен ұшыратамыз. Бұл жөнінде тек бірер мысалдармен шектелмекпіз. Аналитикалық геометрияны жасаушылардың бірі Ферма 1629 жылы Максимум және минимум табу атты шағын шығармасында кейіннен шексіз аздар анализінен тұрақты орын алған функцияның экстремумын табу әдісін жасайды. П. Ферма кез келген қисықтың y=xn, n бүтін сан, квадратурасын шешкен болатын (яғни, xndx=1n+1xn+1формуласын қорытып шығарады) және осының нәтижесінде ауырлық центрлерін табу есептерінің бірқатарын шығарған. Ол әуелі бүтін алгебралық көпмүшеfx-тің экстремумын табудың жалпы ережесін тұжырымдайды. Қазіргі математикалық анализді таңбалануы бойынша Ферманың әдісі f(x+h)өрнегінен тұрады және ол жуық түрде fx-ке теңестіріледі. Сонан кейін fx+h=f(x) жуық теңдігінде тең мүшелер қысқартылады (h -тің мүмкін жоғары дәрежесіне қысқартылады). Ең соңында әлі де болса h көбейткіші қалып қойған мүшелер алынып тасталады. Сонда шыққан теңдеуді шешу fx ең үлкен немесе ең кіші мәнді қабылдайтындай x-тің мәнін табуға мүмкіндік береді.
Ферманың бұл ережесі қазіргі дифференциалданатын функцияның экстремумының қажетті шартымен дәл келеді.
limh--0fx+h-f(x)h=f'x=0
Айта кетерлік бір нәрсе, Ферма атап айтпаса да h шамасын шексіз аз деп қарайды. Тағы бір еңбегінде Ферма осы әдісті пайдаланып, қандай да бір қисықтың берілген нүктелеріне жүргізілген жанаманы табуды қарастырады.
Ферма жанама табу әдісін fx,y=0 функция жағдайына да қолданады. Мұнда табылған өрнекті біздің жазуымыздағы dfdx+y'dfdy=0 теңдеуіне оп-оңай көшіруге болады. Ферма тек алгебралық полиномдық функцияларды қарастырады. Егер зерттелінетін функцияларда иррационалдық кездесе қалса, одан теңдеудің екі жағын дәрежелеп құтылады.
Шексіз аздар анализінің дәстүрлі ескі математика құрсағында эмбриональдық даму кезеңінің соңы дифференциалдық және интегралдық зерттеулердің байланысы мен олардың өзара кері амалдар екендігін тағайындау болады. Бұған түрткі болған себептер бірнешеу. Олардың ішіндегі ең негізгісі жанамаларға кері есептер еді. Бұл есептердің түп мәнісі - қазіргі терминмен айтқанда, дифференциалдық теңдеулерді шешу. Мәселен, dfdx=fx теңдеуін интегралдау. Бұл салада Шотландия математигі Д. Грегори, ағылшын математигі Валлис бірсыпыра нәтижелерге жетті. Көп ұзамай геометрия терминдері арқылы квадратура (аудан табу) есептері мен жанама жүргізу есептерінің өзара кері екендігі туралы жалпы тұжырым айтылады. Бұл түбегейлі теореманың авторы Валлистің шәкірті, Ньютонның досы Кембридж университетінің профессоры Барроу (1630 - 1677) болатын. Ол мұны өзінің Геометрия және оптика жөніндегі дәрістерінде дәлелдейді. Жаңа анализ символикасы бойынша бұл теореманы былай өрнектеуге болатын еді:
y=0xzdx теңдеуінен dy=zdx керісінше дифференциалдық теңдігі және керсіншеdy=zdx дифференциалдық теңдігінен y=0xzdxтеңдігі шығады. Жаңа анализ тілінде Барроу теоремасы және оған дейінгі осы тектес теоремалар жоғары шегі айнымалы болып келген интегралды есептеу мен дифференциалдаудың өзара кері сипатта болатынын бейнеледі. Осы нәтижеге сүйеніп, Барроу көптеген жанамаға кері есептерді шешеді. Оның шығармалары Ньютон, Лейбниц және басқа оқымыстыларға кеңінен мәлім болған.
Сонымен, XII ғасырдың ортасында математикада дифференциалдық және интегралдық есептеулерді ашуға толық негіз қаланады.
Курстық жұмыстың мақсаты:
* математикалық анализдің, жалпы математиканың іргелі ұғымдарының бірі болып табылатын шек ұғымының нақты қолданылуының ең негізгілерінің бірі болып табылатын функцияның туындысы ұғымын оқушылардың ұғымын жетілдірудің шарттарын анықтау;
* туындыны қолданыуды меңгеру жолдарын, оны жүргізудің әдістемесін жасау.
Курстық жұмыстың міндеті:
+ оқушыларда функцияның туындысы ұғымын қалыптастыру мен меңгертуді жүйелеу;
+ функцияның туындысын талдау;
+ функцияның туындысын оқып - үйренудің жалпы математиканы оқып үйренгенде алатын орнын көрсету;
+ функцияның туындысын есептеудің тәсілдерін көрсету.
Құрылымы: кіріспеден, негізгі бөлімнен, есептер жинағынан, қорытындыдан және пайдаланылған әдебиеттерден тұрады.
1 Туынды
Туындының анықтамасы
Функцияны қарапайым қозғалыстар, құбылыстар мен процестерді және олардың өзгерісін математикалық модель тұрғысынан қарастыру мақсатында қолданады.
Алдымен аргумент және функцияның өсімшелері ұғымдарын анықтап алайық.
y=f(x)функциясы берілсін. Аргументтің x және x1 мәндері функцияның анықталу облысынан алынған.
Анықтама:x1-x айырымын аргументтің x нүктесіндегі өсімшесі деп атайды.
Өсімшені ∆x таңбасымен белгіленіп, "дельта икс" деп оқылады, яғни ∆x=x1-x.
y=f(x) функциясының анықталу облысына тиісті кез келген x нүктесін алайық. Функцияның аргументі x-ке ∆x өсімшесін берейік. ∆x өсімшесін қабылдағаннан кейін аргументтің мәні x+∆xболады. Өсімшенің таңбасы оң да, теріс те болуы мүмкін. Егер ∆x0 болса, онда x+∆x нүктесі x нүктесінің оң жағында, ал ∆x0болса, онда x+∆x нүктесіx нүктесінің сол жағында орналасады.
∆x0x∆x0
x+∆xx+∆x
Сонымен аргумент өсімшесін
∆x=x+∆x-x (1)
теңдігімен жазуға болады. Демек, аргумент өсімшесі аргументтің екі нүктедегі мәндерінің айырымына тең.
Енді функция өсімшесіне тоқталайық.
Аргумент x-ке ∆x өсімшесін бергендеy=f(x)функциясы да өсімше қабылдайды. Бұл функцияның өсімшесі ∆yдеп белгіленіп, ∆y=y+∆y-yнемесе
∆y=fx+∆x-f(x)(2)
теңдігімен анықталады.
Cонда функция өсімшесі функцияның екі нүктедегі мәндерінің айырымына тең.
1-мысал. y=x3 функциясының аргументі x нүктесінде ∆x - ке тең болғандағы өсімшесін табайық.
Шешуі.∆x=(x+∆x)3-x3=x3+3x2*∆x+3*x*∆ x2+∆x3-x3=3x2*∆x+3x*∆x2+∆x3.
Сонымен, ∆y=3x2+3*x*∆x+∆x2*∆x.
2-мысал.y=kx+bсызықтық функциясының аргументі x - тен (x+∆x) - ке ауысқандағы өсімшесінің аргумент өсімшесіне қатынасы kсанына тең екенін дәлелдейік.
Шешуі.∆y=kx+∆x+b-kx+b=kx+k*∆x+b-kx- b=k*∆x.
Енді функция өсімшесін аргумент өсімшесіне бөлеміз. ∆y∆x=k*∆x∆x-k.
Сонымен ∆y∆x-k.
3-мысал. Квадраттың қабырғасы 8 см. Егер квадраттың қабырғасы 0,2 см-ге арттырылса, онда квадраттың периметрі мен ауданының өсімшесін табайық.
Шешуі:Есептің шарты бойынша квадраттың қабырғасы 8 см. Онда оның периметрі P=4*8=32 см, ал ауданы S=64см2.
Егер квадраттың қабырғасын 0,2-ге арттырса, онда оның қабырғасы 8+0,2=8,2 см болады. Бұл жағдайда периметрі P1=4*8.2=32.8 см-ге, ал ауданы S1=8.2*8.2=67.24 см2-ге тең.
Енді квадраттың периметрі мен ауданының өсімшесін табамыз:
∆P=P1-P=32.8-32=0.8 см, яғни ∆P=0.8 см
∆S=S1-S=67.24-64=3.24см2, яғни ∆S=3.24 см2.
Жауабы:∆P=0.8 см; ∆S=3.24 см2.
Енді функцияның туындысына анықтама берейік.Ол үшін функция өсімшесінің аргумент өсімшесіне қатынасын
∆y∆x=fx+∆x-f(x)∆x (3)
алайық.
Анықтама:∆y∆x=fx+∆x-f(x)∆xқатынасын ың аргумент өсімшесі ∆x нөлге ұмтылғандағы шегі бар болса, онда ол шектіy=f(x) функциясының x нүктесіндегі туындысы деп атайды.
y=fx функциясының x нүктесіндегі туындысы y'=f'(x) деп белгіленіп, х-тен әф штрих деп оқылады.
Демек,
lim∆x--0∆y∆x=lim∆x--0fx+∆x-f(x)∆x =f'(x). (4)
Функцияның туындысын табу амалын функцияны дифференциалдау деп атайды.
x нүктесінде функцияның туындысы бар болса, онда f(x) функциясын осы нүктеде дифференциалданатын функция деп атайды. Егер функция аралықтың барлық нүктелерінде дифференциалданатын болса, онда осы аралықта дифференциалданатын функция деп атайды.
y=f(x) функциясының x0 нүктесінде туындысы бар болса, онда осы нүктеде функция үзіліссіз болады. Кері тұжырым барлық жағдайда дұрыс деп айтуға болмайды.
Анықтама бойынша туынды табу алгоритмі мынадай:
1) аргументке ∆x өсімшесін беру;
2) ∆x өсімшеге сәйкес функция өсімшесін, яғни ∆y=fx+∆x-f(x) анықтау;
3) функция өсімшесінің аргумент өсімшесіне қатынасын табу, яғни ∆y∆x=fx+∆x-f(x)∆x;
4) аргумент өсімшесі ∆x нөлге ұмтылғандағы қатынастың шегін анықтау, яғни lim∆x--0∆y∆x=lim∆x--0fx+∆x-f(x)∆x =f'(x).
Осы алгоритмді қолданып, туынды табуға мысалдар қарастырайық.
4-мысал.a) fx=x2; ә) fx=x; б) fx=1xфункцияларыныңx нүктесіндегі туындысын табайық.
Шешуі:a) fx=x2 функциясының туындысын анықтайық.
Алгоритм бойынша
1) x+∆x;
2) ∆y=fx+∆x-fx=x+∆x2-x2=x2+2x*∆x+∆x2-x 2=2x∆x+x2;
3) ∆y∆x=2x∆x+∆x2∆x-2x+∆x;
4) lim∆x--02x+∆x=2x+0=2x,олай болса, f'x=2x.
ә) fx=x функциясының туындысын анықтайық.
1) x+∆x;
∆y=fx+∆x-fx=x+∆x-x=(x+∆x-x)(x*∆x+x) x+∆x*x=x*∆x-xx+∆x+x=∆xx*∆x+x;
2) ∆y∆x=∆xx+∆x+x:x=1x+∆x+x;
3) lim∆x--01x+∆x+x=1x+x=12x,онда f'x=12x;
б) fx=1x функциясының туындысын анықтайық.
1) x+∆x;
2) ∆y=fx+∆x-fx=1x+∆x-1x=x-x-∆xxx+∆x=-∆ xxx+∆x;
3) ∆y∆x=-∆xxx+∆x:∆x=-1xx+∆;
4) lim∆x--01xx+∆x=-1xx+0=-1x2,олай болса, f'x=-1x2.
Сонымен қарастырылған мысалдардан (x2)'=2x , (x)'=12x, 1x'=-1x2.
Туындыны табу ережелері
Туындыны есептеудің бірнеше ережелерін қорытып шығарайық.
Алдымен ux және v(x) функцияларының х нүктесіндегі мәндерін қысқаша былай белгілейік: ux=u, vx=v, (u)'=u', (v)'=v'.
1-ереже: Егерu және υ функцияларының х нүктесінде u' , υ' туындылары бар болса, онда u+υ функциясының х нүктесіндегі туындысы бар және ол
(u+υ)' = u' + υ' (1)
формуласымен анықталады.
Дәлелдеуі: Дәлелдеу үшін туындының анықтамасы мен туынды табу алгоритмін қолданамыз.
Ол үшін екі функцияның қосындысы ux+vx=F(x) функциясын алайық және аргумент x-ке ∆xөсімшесін берейік. Сонда ∆Fx=Fx+∆x-Fx=ux+∆x-ux+vx+∆x-v(x) аламыз. Функция өсімшесін аргументөсімшесі ∆x-ке бөлсек,
∆Fx∆x=Fx+∆x-Fx∆x=ux+∆x-ux∆x+vx+∆x-v (x)∆x=∆u∆x+∆v∆x
өрнегі шығады. Осы өрнектің ∆x--0 ұмтылғандағы шегін табамыз:
lim∆x--0∆u∆x+∆v∆x=lim∆x--0∆u∆x+li m∆x--0∆v∆x=u'+v'.
Осы ережені қолдануға мысал қарастырайық
1-мысалы:fx=x2-x+5 функциясның туындысын табайық.
Шешуі:f'x=x2-x+5=(x2)'-x'-5'=2x-1+0 =2x-1.
Жауабы:x-1.
2 - ереже: Егерu жәнеvфункцияларының x нүктесінде туындылары бар болса, онда берілген функциялардың көбеитіндісі u*v функциясының осы х нүктесінде туындысы бар және ол
(u*v)'=u'v+uv' (2)
формуласымен анықталады.
Дәлелдеуі: Дәлелдеу үшін туындының анықтамасы мен туынды табу алгоритмін қолданамыз. Аргумент x-ке ∆x өсімшесін сәйкес келетін функциясының өсімшесінің өрнегін анықтайық. u+∆uv+∆v-uv=uv+∆u*v+u*∆v+∆u*∆v-uv=∆ u*v+u*∆v+∆u*∆v немесе u+∆uv+∆v-uv=∆u*v+u*∆v+∆u*∆v.
Теңдіктің екі жағын да аргумент өсімшесіне бөлеміз:
u+∆uv+∆v-uv∆x=∆u∆x*v+∆v∆x*u+∆u∆x*∆v .
∆x--0ұмтылғандағы шегін анықтайық:
lim∆x--0∆u∆x*v+u*∆v∆x+∆u∆x*∆v=v*li m∆x--0∆u∆x+u*lim∆x--0∆v∆x+∆v*lim∆ x--0∆u∆x=v*u'+u*v', себебі ∆x--0, ∆u--0, ∆v--0.
Салдар. Егер f(x) функциясының х нүктесінде туындысы бар болып, ал С тұрақты сан болса онда Cf(x) функциясының осы х нүктесінде туындысы бар және ол
Cfx'=C*f'(x) (3)
формуласымен анықталады.
2-мысал.y=(3x2-7x+5)(2x-3)функциясы ның туындысын табайық.
Шешуі: Мұнда u=3x2-7x+5;v=2x-3;u'=6x-7;v'=2-0=2, u*v'=u'*v+u*v'формуласын пайдаланамыз.
y'=3x2-7x+52x-3'=6x-72x-3+2*3x2-7x+ 5=12x2-14x-18x+21+6x2-14x+10=18x2-4 6x+31.
Жауабы: 18x2-46x+31.
3 - ереже: Егер u және v функцияларының х нүктесінде туындылары бар және v!=0 болса, онда uvфункциясының да х нүктесінде туындысы бар және ол туынды
uv'=u'v-uv'v2(4)
формуласы арқылы анықталады.
Дәлелдеу: Дәлелдеу үшін туындының анықтамасы мен туынды табу алгоритмін қолданамыз. Ол үшін аргументтің ∆x өсімшесін сәйкес келетін u функциясының өсімшесін∆u, ал v функциясының өсімшесін ∆v деп алып, uv функциясының өсімшесін анықтайық:
u+∆uv+∆v-uv=u+∆uv-uv+∆vv+∆vv=uv+∆u* v-uv-u*∆vv+∆v*v=∆u*v-u*∆vv+∆v*v.
Осы өрнекті аргумент өсімшесі ∆x-ке бөлеміз:
u+∆uv+∆v-uv∆x=∆u∆x*v-u*∆v∆xv+∆v*v.
Енді u=u(x)және v=vx функциялары үзсіліссіз болғанндықтан,∆x--0 жағдайда, ∆u--0 және ∆v--0 екенін ескеріп, ∆x--0шегін анықтаймыз:
lim∆x--∆u∆x*v+u*∆v∆xv+∆v-v=u'*v-u* v'v+0*v=u'*v-u*v'v2 бөліндінің туындысын анықтайтын (4) формула шығады.
3-мысал.y=x2x2+1 функциясының туындысын есептейік.
Шешуі: y'=x2x2+1'=x2'*x2+1-x2*(x2+1)'(x2+1 )2= 2x*x2+1-x2*2x(x2+1)2= 2x3+2x-2x3(x2+1)2= 2x(x2+1)2.
Жауабы: 2x(x2+1)2.
Енді дәрежелік функцияның туындысын есептеу формуласын берейік. 1-ден үлкен кез келеген n∈N үшін y=xn дәрежелі функцияның туындысы
xn'=nxn-1 (5)
Формуласымен есептелінеді.
Енді n бүтін теріс сан, яғни n=-m, ал m натурал сан болатын жағдайды қарастырайық. Бөліндінің туындысын табу ережесін және (5) формуланы қолданып, xn'=x-m'=1xm'=1'*xm-(xm)'xm2=-mxm-1 x2m=-m*x-m-1=nxn-1 аламыз.
Демек, кез келген бүтін n үшін xn'=nxn-1 теңдігі ақиқат болады.
4-мысал.а) y=x6; ә) y=12x8-3x7туындысын есептейік.
Шешуі:а) y'=(x6)'=6*x6-1=6x5;
ә) y'=12x8-3x7'= 12*(x8)'-3*(x-7)=12*8x7-3*(-7)*x-7- 1=4x7+21x8.
Жауабы: 6x5; 4x7+21x8.
Туындының физикалық және геометриялық мағынасы.
Функцияның графигіне жүргізілген жанама.
Алдымен туындының физикалық мағынасын қарастырайық.
Түзу сызық бойымен қозғалған физикалық дененің t уақыт ішінде жүріп өткен жолы stфункциясымен берілсен. Қозғалыстағы дененің t+∆tуақыт өткенен кейінгі жолыs(t+∆t) функциясымен анықталады. Сонда уақыт t - дан (t+∆t) - ға дейін өзгергенде жолдың шамасы
st+∆t-s(t)
айырымына тең. Енді осы айырымды∆t уақытқа бөлсек,
st+∆t-s(t)∆t
яғни қозғалыстағы дененің орташа жылдамдығы
vорт=st+∆t-s(t)∆t
шығады.
Соңғы өрнектен ∆tнөлге ұмтылғанда шекке көшсек,
lim∆t--0st+∆t-s(t)∆t=s'(t)=v(t)
теңдігін аламыз. Мұндағы st - қозғалыстағы дененің t уақыт ішіндегі жүрген жолы, ал s'(t)=v(t)- қозғалыстағы дененің t уақыт мезетіндегі лездік жылдамдығы.
Биіктіктен еркін құлаған дененің уақыт ішінде жүрген жолы функциясымен
Қозғалыстың лездік жылдамдығы туралы есеп
Функция туындысы түсінігін лездік жылдамдықты анықтау мен жанама жөніндегі есептерді шешуден бастайды. Физикадан таныс есепке назар аударайық. Нүктенің түзу бойымен қозғалысын қарастырайық. Айталық нүктенің t уақыт мезетіндегі x координатасы x(t) болсын. Физика курсынан белгілі болғандай, қозғалыс үздіксіз және біркелкі деп ұйғарайық. Басқаша айтқанда, нақтылы өмірде байқалатын қозғалыстар туралы сөз болып отыр. Өзімізге түсінікті болу үшін тас жолдың түзу сызықты бөлігіндегі материалдық нүктенің қозғалысы туралы есепті қарастырайық.
Мынадай есепті шығарайық: белгілі x(t) тәуелділігі бойынша, автомобильдің t уақыт мезетінен басталатын қозғалыстың жылдамдығын анықтау керек (бұл жылдамдық лездік жылдамдық деп аталады). Егер x(t) тәуелділігі сызықтық тәуелділік болса, жауабы оңай: кез келген уақыт мезетіндегі жылдамдық дегеніміз жүрілген жолдың уақытқа қатынасы. Егер қозғалыс бірқалыпсыз болса, есепті шығару қиынға соғады.
Материалдық нүкте бірқалыпты қозғалыспен жүретіні айқын. Яғни, ол бірдей уақыт аралықтарында ұзындықтары бірдей жол жүріп өтетін болса, онда бұл қозғалыс жылдамдықты береді. Бұл жылдамдықты табу оңай, ол үшін t уақыт мезетіндегі спидометрдің фотосуретін жасау керек. x(t) тәуелділігін біле отырып, vлезt0 жылдамдығын физикалық жолмен табуға болады.
t0-ден t0+∆t-ға дейінгі ұзақтығы ∆t уақыт аралығындағы орташа жылдамдық белгілі
vорт∆t=ΔxΔt(1.3.1)
Өзіміздің ұйғарғанымыздай дене бірқалыпты қозғалады. Сондықтан былай деп жорамалдау орынды: егер ∆t өте аз болса, онда осы уақыт аралығында жылдамдық өзгермейді. ∆t--0 ұмтылған жағдайда орташа жылдамдықтың мәні қандай да бір толық анықталған мәнге ұмтылады. Ол нүктені сол нүктенің t0 уақыт мезетіндегі материалдық нүктенің жылдамдығын лездік жылдамдық деп атайды. Сонымен,
vорт∆t=ΔxΔt--vt0, мұндағы ∆t--0
Бірақ туындының анықтамасы бойынша:
ΔxΔt--x't0, мұндағы ∆t--0
Сондықтан, v(t) лездік жылдамдығы кез келген x(t) функциясының дифференциалы болып табылады:
vt=x'(t0) (1.3.2)
Қысқаша айтқанда, уақыттан координатаға қарағандағы туынды жылдамдықтың өзін береді. Бұл жерде оқушыларға бұған ұқсас есепті кезінде Ньютон шешкенін айта кету керек. Ол туындыны флюксия, ал функцияны флюента деп атағанын түсіндіріп кету керек.
Ток күшіне арналған есеп
Мысалы, тогы бар электрлік тізбекті қарастырайық. t уақытта сым арқылы өткен электрдің санын q=q(t) (кулон) арқылы белгілейік. t уақытына электрдің саны сәйкес келгендіктен, уақыттың функциясы ретінде электрдің саны алынады. ∆t уақыттың бір мезеті, ∆q=qt+∆t-gt-tуақыт пен t+∆t уақыт аралығында сым арқылы өткен электрдің саны. Онда ∆q∆t қатынасын токтың орташа күші деп атайды. Егер тізбекте ауыспалы ток болса, онда уақыт мезетіне байланысты Iорт - ток та ауыспалы болады. Мұндай ток тізбегі үшін токтың лездік күші деген ұғым еңгізілді.
Токтың лездік жылдамдығын ∆-ның ∆t-ға қатынасын шекке апарып қойсақ, онда:
It≈lim∆t--0Iорт≈lim∆t--0∆q∆t
мұндағы ∆t--0 ұмтылады.
Химиялық реакцияға арналған есеп
Кейбір заттар химиялық реакцияға түссін. t уақытында реакцияға түскен заттардың санын y(t) арқылы белгілейік. y-t айнымалының функциясы. Егер ∆t уақыттың белгілі бір шамасы болса, t мен t+∆t уақыт аралығындағы реакцияға түскен заттардың саны ∆y=yt+∆t-y(t) тең болады. Бұдан ∆y∆t қатынасынан реакцияға түскен заттардың орташа жылдамдығы шығады. Бұл қатынасты шекке апарып қойсақ, онда келесі формула шығады:lim∆t--0ΔyΔt .
Туынды ұғымын оқытуда бір-екі физикалық еептерді көрсету жеткілікті. Бұл есептер негізінде туынды ұғымы еңгізіледі. Әсіресе қозғалыстың лездік жылдамдығы туралы есептің маңызы зор, өйткені бұл есеп туындының механикалық сипатын ашады, ал функцияның графигіне жүргізілген жанама туындының геометриялық маңызын ашады.
a,b аралығында алынатын f(x)функциясын қарастырайық. x0-a,bинтервалында берілген нүкте болсын, және кез келген x0+∆x - нүктелері берілсін. Яғни, ax0b, ax0+∆xb . мұндағы ∆x - аргумент өсімшесі. Бұл жерде аргумент өсімшесі мен функция өсімшесі деген ұғымдар пайдаланады. Оқушыларға міндетті түрде бұл ұғымдардың мағынасын түсіндіріп кету керек.
Айталық,x - қандай да бір белгіленіп алынған x0 нүктесінің маңайында жатқан еркін алынған нүкте болсын. x-x0 айырмасын тәуелсіз айнымалының
x0 нүктесіндегі өсімшесі (немесе аргументтің өсімшесі) деп атайды да, ∆xдеп белгілейді. Сонымен,
∆x=x-x0
бұдан x=x0+∆x болатыны шығады.
Аргументтің бастапқы x0 мәні ∆x өсімшесін алды деп те атайды. Осының салдарынан функциясының өсімшесі деп аталады және ∆f символымен белгіленеді, яғни анықтама бойынша
∆f=x0+∆x-fx0 1.3.4
бұдан
fx=fx0+∆x=fx0+∆f
x0 белгіленіп көрсетілгенде ∆f өсімшесі ∆x-тің функциясы болатынына назар аударыңдар.
∆f-тің ∆x-ке қатынасын қарастырайық:
Берілген қатынастан ∆x-тің барлық мәндері үшін (∆x=0-ден басқа)a-x, d-xинтервалында анықталған ∆x өсімшесінен өзі ... жалғасы
Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.
Ұқсас жұмыстар
Пәндер
- Іс жүргізу
- Автоматтандыру, Техника
- Алғашқы әскери дайындық
- Астрономия
- Ауыл шаруашылығы
- Банк ісі
- Бизнесті бағалау
- Биология
- Бухгалтерлік іс
- Валеология
- Ветеринария
- География
- Геология, Геофизика, Геодезия
- Дін
- Ет, сүт, шарап өнімдері
- Жалпы тарих
- Жер кадастрі, Жылжымайтын мүлік
- Журналистика
- Информатика
- Кеден ісі
- Маркетинг
- Математика, Геометрия
- Медицина
- Мемлекеттік басқару
- Менеджмент
- Мұнай, Газ
- Мұрағат ісі
- Мәдениеттану
- ОБЖ (Основы безопасности жизнедеятельности)
- Педагогика
- Полиграфия
- Психология
- Салық
- Саясаттану
- Сақтандыру
- Сертификаттау, стандарттау
- Социология, Демография
- Спорт
- Статистика
- Тілтану, Филология
- Тарихи тұлғалар
- Тау-кен ісі
- Транспорт
- Туризм
- Физика
- Философия
- Халықаралық қатынастар
- Химия
- Экология, Қоршаған ортаны қорғау
- Экономика
- Экономикалық география
- Электротехника
- Қазақстан тарихы
- Қаржы
- Құрылыс
- Құқық, Криминалистика
- Әдебиет
- Өнер, музыка
- Өнеркәсіп, Өндіріс
Қазақ тілінде жазылған рефераттар, курстық жұмыстар, дипломдық жұмыстар бойынша біздің қор #1 болып табылады.
Ақпарат
Қосымша
Email: info@stud.kz
Реферат
Курстық жұмыс
Диплом
Материал
Диссертация
Практика
Презентация
Сабақ жоспары
Мақал-мәтелдер
1‑10 бет
11‑20 бет
21‑30 бет
31‑60 бет
61+ бет
Негізгі
Бет саны
Қосымша
Іздеу
Ештеңе табылмады :(
Соңғы қаралған жұмыстар
Қаралған жұмыстар табылмады
Тапсырыс
Антиплагиат
Қаралған жұмыстар
kz