Ұқсастық қозғалысқа көбейтінді ретіндегі гомотетия

Жұмыс түрі: Курстық жұмыс
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 17 бет
Таңдаулыға:

Қостанай мемлекеттік педагогикалық институты

Қашықтықтан оқыту факультеті

Математика-жаратылыстану кафедрасы

Курстық жұмыс
Тақырыбы: Ұқсастық қозғалысқа көбейтінді ретіндегі гомотетия

Орындаған: Турмағамбетова А
Математика 1 курс
Ғылыми жетекші: Беркимбай Р.А.

Қостанай
2018
КІРІСПЕ
Тарау 1. Ұқсас түрлендірудің теориялық негізі
1.1Ұқсастық және гомотетия әдістері
1.2Ұқсас түрлендіру. Ұқсас фигуралар гомотетия
Тарау 2. Мектеп геометрия курсындағы ұқсас түрлендіру
2.1 Ұқсас түрлендіру және оның қасиеттері
2.2 Үшбұрыштардың екі бұрышы бойынша ұқсастық белгісі
2.3 Үшбұрыштардың екі қабырғасы және олардың арасындағы бұрышы бойынша ұқсастық белгісі

Кіріспе
Тақырыптың өзектілігі. Геометрияны оқытуда есептерді шеше білу дағдысын қалыптастыру және оны жалпы түрде дамыту аса маңызды мәселелердің бірі болып табылады. Геометриялық есептерді шешу туралы жалпы білік - дағдылар әдетте көптеген есептерді шешу арқылы қалыптасады. Олай болса, мұғалім мен оқушының жүйелі түрде ұзақ уақыт еңбектенуіне тура келеді. Шешілу жолы беймәлім, әр түрлі теориялық фактілерді байланыстыруды қажет ететін, оқушылар шығара алмайтын жаңа есептер де жиі кездеседі. Сондықтан оқушыларды кез келген геометриялық есепті шешудің жалпы тәсілдерімен қаруландыру керек.
Есептерді геометриялық әдіспен шешкенде логикалық ойлаудың жәрдемімен белгілі теоремалар арқылы тұжырымдауды қажет ететін сөйлемдерді дәлелдейміз. Ал есептерді алгебралық әдіспен шешкенде ізделген шаманы табу, не тұжырымдауға тиісті сөйлемді дәлелдеу тікелей есептеу жолымен немесе теңдеулер мен олардың жүйелерін құру арқылы іске асады. Тікелей есептеу әдісінің мәні мынада: есептің берілгендері мен белгісіздерінің жан-жақты байланыстарынан аралық қосымша белгісіз шамалар тізбегі құрылады, тізбекке қатысатын әрбір белгісіз шама анықталады немесе іздеген шама белгілі шамалар арқылы өрнектеледі.
Мектеп геометрия курсын оқытудың негізгі мақсаты - оқушылардың геометрия ғылымының негіздерін меңгеруі мен оларды практикаға қолдануға үйрету, кеңістік түсінігін және елестетуін қалыптастыру, логикалық ойлауын дамыту, негізделген, тұжырымды ой қорытуы мен дәлелдеу қабілетін жетілдіру, ойды дәл және анық жеткізе алу. Осы мақсаттарға жету есептер шығару іс - әрекетін меңгерумен бірге жүзеге асады. Есептер шығару нәтижесінде оқушылар алған білімдерін тиянақтап, теориялық материалды қолдана білуге үйренеді, есеп шығара отырып жаңа білімдер алады. Сонымен қатар, есептер шығару - оқушылардың талдау, жинақтау, салыстыру, жалпылау, нақтылау т.б. ойлау операциясын меңгеретін де ортасы.
Жоғарыда айтылғандар осы зерттеу жұмысы үшін тақырыпты таңдаудың өзектілігін көрсетеді.
Зерттеу нысаны - мектеп геометрия курсында ұқсас түрлендіру әдісіне есептер шығару барысы.
Зерттеу пәні - мектепте геометрияны оқыту әдістемесі.
Жұмыстың негізгі мақсаты - ұқсас түрлендіру әдісіне есептер шығару жолдарын айқындау және есептер шығаруда назар аудару керек болатын жалпы әдістемелік ережелерді жасау.
Болжам: ұқсас түрлендіру әдісіне есептер шығаруды үйрету жоғары дәрежеде болады, егер:
1) ұқсас түрлендіру әдісіне есептер шығаруды үйретуден бұрын қарапайым салу есептерімен жеткілікті жұмыс жүргізілетін болса;
2) Салу есептері тек қана өзіндік нысан ретінде ғана емес, сондай-ақ декарттық координат жүйесінің элементі ретінде де қарастырылады;
3) ұқсас түрлендіру әдісіне есептер шығару, салу есептерін жақсы меңгергеннен соң орындалады;
Зерттеудің міндеттері:Зерттеудің проблемасын шешу, болжамның дұрыстығына көз жеткізу және мақсатқа жету үшін келесі мәселелер орындалады:
- осы тақырып бойынша ғылыми-әдістемелік әдебиеттерді зерттеу;
- заманауи оқу құралдарына осы тақырыптың баяндалуына логикалық дидактикалық талдау жүргізу;
- алынған мәліметтерді жалпылау және жүйелеу;
- жасалынған әдістемені пайдаланудың тиімділігін есептер шығаруда тексеру;
Бұл жұмыстың материалдары практикалық маңызға ие және 9 сыныптағы мектеп геометрия курсында Жазықтықтағы түрлендірулер тақырыбын баяндауда оқытушылардың және студенттердің пайдалануы мүмкін.
Бірінші бөлімде Ұқсас түрлендірудің теориялық негізі бөлімінде ұқсастық және гомотетия әдістеріне, Ұқсас түрлендіру. Ұқсас фигураларға жалпы сипаттама қарастырылған.
Екінші бөлімде Мектеп геометрия курсындағы ұқсас түрлендіру тақырыбы материалдарын қысқаша баяндадық және әрбір тақырыпқа есептерді шығарып көрсеттік.
1. Ұқсас түрлендірудің теориялық негізі
Шамалардың біртектілігін сараптау және теңдеулерді сараптау әдістерінің айырмашылығы - олардың физикалық қасиеттері мен құбылыстарын жете білуде болып табылады. Бірінші жағдайда шамалар біртектілігіне талдау жасау физикалық шамалардың біртектілігі формулаларына да қолданылады, екінші жағдайда - шамалар арасындағы аналитикалық байланысқа қолданылады.
Бұл бөлімде геометриялық модельдер мен натуралардың физикалық теңдеулер арөылы алыну мысалдары көрсетілген.Бұл жоба бойынша теңдеулерге талдама жасау әдісі біртекті шамаларды талдау әдісімен жақындастырылып, ұқсастықтың классикалық теориясымен сай келеді. Фигуралардың ұқсастығы жайлы ғылым б.э.дейін Ү-ІҮ ғ.ғ. Гиппократ Хиосскийдің, Архит Таренскийдің,Евдокс Книдский т.б. еңбектерінде жарық көрген. Ол Евклидтің ҮІ Бастау кітабында да баяндалды. Қасиеттері.Ұқсастық евклид кеңістігінің өзіне бейнеленуі.
Ұқсастық түзу бойындағы нүктелер ретін мақтайды, яғни егер нүкте нүктелер арасында жатса , және , , -- олардың сай келетін бейнелері де сол нүктелер арасында жатады . және .
Бір нүктеде жатпайтын нүктелер, кез келген ұқсастықта бір түзу бойында жатпайтын нүктелерге ауысады.
Ұқсастық түзуді түзуге, кесіндіні кесіндіге, сәулені сәулеге, бұрышты бұрышқа, бұрышты бұрышқа, шеңберді шеңберге айналдырады.
Ұқсастық кезінде бұрыш өз шамасын сақтайды.
Ұқсастық өзіндік (өзіндік емес) деп аталынады, егер қозғалыс өзіндік (өзіндік емес) болса. Өзіндік ұқсастық фигуралар ориентациясын сақтайды, ал өзіндік емес - оны қарама-қарсыға өзгертеді.
Екі үшбұрыш бір- біріне ұқсас болып келеді, егер
* Олардың бұрыштары тең болса немесе
жақтары пропорционал болса.
* Ұқсас фигуралар ауданы оларға ұқсас сызықтар квадратына пропорционал (мысалы,жақтарының). Шеңбер аудандары олардың квадраттарының диаметрлеріне қатысты пропорционал (немесе радиустарына).
* Белгілеу
Ұқсастықтарды белгілеу үшін ~белгісі қолданылады.
Жазықтықтағы L түзуінің бойынан О және А нүктелерін аламыз. Осы түзудің бойында жатқан үшінші нүкте, алғашқы екі нүктеге қатысты қалай анықталатынын көрсетелік.
Анықтама. ОА1 = кОА шарты орындалатын А нүктесінің бейнесі А1 болатындай жазықтықты өзіне - өзін бейнелеуді О центрлі коэффициенті к О гомотетия деп атайды және оны (X) Х1 деп жазады. Мұндағы -- центрі О, коэффициенті к болатын гомотетия. Белгілі бір жазықтықтан Ф фигурасы, О нүктесі, к О саны берілсін. Ф фигурасының кез келген А нүктесі үшін центрі О, коэффициенті гомотетия арқылы А нүктесінің бейнесі нүктесін табуға болады. Осы айтылған гомотетияны қолданғанда Ф фигурасының әрбір нүктесіне гомотетиялы барлық нүктелердің жиыны жаңа бір фигурасы болады. Сонымен, фигурасы центрі О және коэффициенті к гомотетияны қолданғанда Ф фигурасының бейнесі болады [32].
Гомотетия коэффициенті к 0 санының әр түрлі мәндеріне қарай фигураға гомотетиялы фигура түрліше бейнеленеді.
1) К 0 болса, гомотетиялы фигуралар О центрінің бір жағында жатады.
а) 0 к 1 болса, фигураға гомотетиялы фигура О центрімен әуелгі фигураның арасына бейнеленеді,
б) к 1 болса, онда берілген фигураға гомотетиялы фигура бастапқы фигураның оң жағына бейнеленеді,
в) к = 1 болса, фигура теңбе-тең бейнеленеді.
2) к 0 болса, онда гомотетиялы фигуралар О центрінің екі жағына орналасады.
а) к = - 1 гомотетия центрі О нүктесіне қарағандағы симметрия болады.
б) коэффициенті -1 к 0 болатын гомотетия әуелгі фигурадан өлшемдері жөнінен кішірейітіліп бейнеленеді.
в) к -1 болса, фигураға гомотетиялы фигура үлкейіп бейнеленеді (1-а, б, в, г - суреттер)

Сурет-1а Сурет-1 б

1.2 Ұқсас түрлендіру. Ұқсас фигуралар, гомотетия
Гомотетияның қасиеттері:
1. АВ бағытталған кесіндісіне гомотетиялы фигура кесінді болады, яғни А1В1 = кАВ. Бұл кесінді берілген кесіндіге параллель және оның ұзындығы кАВ болады.
2.Гомотетия центрі өзіне өзі бейнеленеді
3.Егер к 0 болса, онда гомотетиялы фигуралар О центрінен бір жақта жатады. Егер к 0 болса, онда гомотетиялы фигуралар О центрінің екі жағында жатады.
Салдар. 1) Гомотетияны қолданғанда фигураның барлық өлшемдері к санына пропорционал өзгереді.
1).Гомотетиялы фигуралар ұқсас болады.
2).Егер берілген Ф және екі фигураның біріне тең, ал екіншісіне гомотетиялы Ф2 фигурасы болса, онда Ф мен Ф1 фигуралары ұқсас деп аталады.
Мысал. Коэффициенті к болғандағы (N,r) шеңберіне гомотетиялы фигураны салу керек.
Берілгені (N,r) шеңбері, гомотетия коэффициенті к.
Ш е ш у і. - гомотетияны қарастыралық. Егер (0) = О,
= (N) және (М) = болса, онда O = kON, kNM,
O = kОМ тендіктері орналады, ендеше = kNM, болады. Сонымен, w(N,r) шеңбері гомотетия арқылы ( шеңберіне бейнеленеді [17].
Гомотетияның мынадай қарапайым қасиеттері бар:
1°. Гомотетия түзуді өзіне параллель түзуге көшіреді, ал гомотетия центрі арқылы өтетін түзуді өзіне - өзін көшіреді.
2°. Гомотетия кесіндіні өзіне параллель кесіндіге көшіреді.
3°. Гомотетия бұрышты өзіне тең бұрышқа көшіреді.
4°. Гомотетия шеңберді шеңберге көшіреді. Жалпы, кез келген екі шеңберді өзара гомотетиялы деп қарастыруға болады. Мұнда ұқсастық коэффициенті олардың радиустарының қатынасына тең.
5°. Егер нүктесі ОА сәулесінде жатса, онда центрі О болатын және А- ны А1 нүктесіне бейнелейтін бір ғана гомотетия табылады.
6°. Әрбір ұқсастық түрлендіруін қозғалыс пен гомотетияны бірінен кейін бірін қолдану арқылы алуға болады. Мұнда ұқсастық түрлендіруі мен гомотетияның ұқсастық коэффициенттері бірдей болады.
Мысалы, 2-суретте ABC үшбұрышын А1В1С1 үшбұрышына ұқсастық түрлендіруі қарастырылған. Бұл ұқсастық түрлендіруін алу үшін, алдымен ABC үшбұрышына гомотетиялы А1В1С1 үшбұрышын тұрғызып, сонан соң бұл үшбұрышты А1 төбесінің маңында сағат тілінің бағытымен α бұрышына бұрамыз.

Сурет-2
Келтірілген қасиеттердің алғашқы бесеуі оңай дәлелденеді, ал 6°- қасиеттің дәлелдемесі мектеп бағдарламасына енбегендіктен, оны дәлелдеу қажет емес.
Ескерту. Гомотетияның анықтамасы бойынша А және А1 нүктелері ОА сәулесінде жатады деп айтылған. Енді А1 нүктесін ОА сәулесінің толықтауыш ОА сәулесін алып, = к шарты орындалсын делік (3-сурет). Бұл түрлендіруді кері немесе теріс гомотетия деп те атайды. Ал біз бұл түрлендіруді гомотетияға қоспай, жай ұқсастық түрлендіруі ретінде қарастырамыз. Өйткені, әуелі ABC үшбұрышын (3-суреттегі) онымен гомотетиялы А2В2С2 үшбұрышына көшіріп, сонан соң бұл үшбұрышқа центрлік симметрияны қолданып, А1В1С1 үшбұрышын аламыз [7].

Сурет-3

Тарау 2. Мектеп геометрия курсындағы ұқсас түрлендіру.
2.1 Ұқсас түрлендіру және оның қасиеттері
Ұқсас түрлендіру анықтамасы қозғалыстың анықтамасына ұқсас: егер F фигураның Ғ1 фигурасына түрлендіру кезінде нүктелер арасындағы қашықтық бір санға бірнеше есе өссе, немесе кемісе, онда ол ұқсас түрлендіру деп аталады. Демек, F фигурасының кез келген A және В нүктелері түрлендіру кезінде F1 фигурасының сәйкесінше А1 және В1 нүктелеріне ауысса, онда А1В1 = кАВ,
к саны ұқсастық коэффициенті деп аталады.
Ұқсас түрлендірудің анықтамасын енгізген соң, гомотетия ұқсас түрлендіру болатындығы дәлелденеді. Теорема координаттар әдісін қолдану арқылы дәлелденеді. Центрі О нүктесі, коэффициенті к болатын гомотетия аламыз.
Координат жүйесін оның бас нүктесі гомотетия центрімен дәл келетіндей етіп таңдап аламыз. А.В. Погореловтың оқулығында бірдей ұқсас фигуралардың анықтамасы беріледі, содан соң үшбұрыштардың ұқсастығы қарастырылады.
А.С.Атанасянның және т.б. оқулығында әуелі ұқсас көпбұрыштаp оқытылады, содан соң ұқсас фигуралардың жалпы анықтамасы беріледі. Жалпы алғанда, түрлі оқулықтардағы ұқсас фигуралар анықтамаларының бір-бірінен айтарлықтай алшақтығы жоқ: Егер Ғ және Ғ1 екі фигуралары бір-біріне ұқсас түрлендірулер арқылы көшетін болса, онда олар ұқсас деп аталады.
Ұқсас түрлендірулер қасиеттерінен, ұқсас көпбұрыштардың сәйкес бұрыштары тең, ал сәйкес қабырғалары пропорционал екендігі шығады. Жеке алғанда, ABC және A1B1C1 ұқсас үшбұрыштарында A= A1, В= В1, С= С1,
;
Үшбұрыштардың ұқсастық белгілерін тұжырымдайық:
1) Егер бір үшбұрыштың екі бұрышы, екінші үшбұрыштың сәйкес екі бұрышына тең болса;
2) Егер біреуінің екі қабырғасы, екіншісінің сәйкес екі қабырғасына пропорционал, ал олардың арасындағы бұрыштар тең болса;
3) Егер бір үшбұрыштың қабырғалары, екінші үшбұрыштың қабырғаларына пропорционал болса, онда ол үшбұрыштар ұқсас болады.
Бұл белгілер гомотетияны қолдану арқылы жиі дәлелденеді.
Бірінші дәлелдеудің сатыларын көрсетейік:
1) Центрін қалауымызша алып, к коэффициентімен ∆А1В1С1 үшбұрышына үшін гомотетия орындаймыз. Гомотетия нәтижесінде алынған үшбұрышты А2В2С2 деп белгілейміз.
2) ∆А2В2С2 ... жалғасы

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.