Навигациялық серік туралы мәлімет

Жұмыс түрі: Дипломдық жұмыс
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 60 бет
Таңдаулыға:

7

8

9

10

АҢДАТПА

Массалар центрінің аз ауытқуынан туындайтын ұйытқуларды ескеріп,
магниттелген динамикалық симметриялы жасанды жер серіктің айналмалы
қозғалысы қарастырылады.
Аз ұйытқуларды ескере отырып прецессиясыз, нутациясыз және меншікті
айналусыз қозғалыстарды қамтамасыз ететін басқару моменті құрылған.
MatLab жүйесі арқылы магниттелген динамикалық симметриялы
жасанды жер серіктің қозғалысының кинематикалық параметрлерінің
графиктері және басқару функциясының Эйлер бұрыштарына тәуелділігінің
үш өлшемді графиктері құрылған.

АННОТАЦИЯ

Рассматривается возмущенное вращательное движение намагниченного
динамически симметричного спутника, порожденное незначительным
смещением его центра масс.
Построены управляющие моменты, обеспечивающие безпрецесионное,
безнутационное движения и движение без собственного вращения с учетом
малых возмущений.
С помощью системы MatLab построены графики кинематических

параметров
намагниченного динамически симметричного искуственного

спутника земли и трехмерные графики зависимости функции управления от
углов Эйлера.

МАЗМҰНЫ

11

Кіріспе

10

1
Массалар центрі аз ауытқыған магниттелген жер серігінің
қозғалысы

1.1

1.2

1.3
1.4
2

2.1

2.2

2.3

2.4

3

3.1

3.2

3.3

3.4

3.5

4
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5

4.6
4.7
4.8
Жердің магнит өрісінде қозғалатын серікке әсер ететін күштер
туралы мәліметтер
Массалар центрі аз ауытқыған серіктің қозғалысы туралы мәселенің
қойылуы
Серіктің кинетикалық энергиясы мен ұйытқу функциясы
Навигациялық серік туралы мәлімет
Массалар центрі аз ауытқыған навигациялық магниттелген
жер серігінің қозғалыс теңдеулері мен дербес шешімдері
Ұйытқушы күштері жоқ навигациялық серіктің нутациясыз және
прецессиясыз қозғалыс теңдеулері мен дербес шешімдері
Магниттелетін навигациялық серіктің нутациясыз және
прецессиясыз қозғалыс теңдеулері мен дербес шешімдері
Массалар центрі аз ауытқыған навигациялық серіктің нутациясыз
және прецессиясыз қозғалыс теңдеулері мен дербес шешімдері
Массалар центрі аз ауытқыған магниттелетін навигациялық серіктің
нутациясыз және прецессиясыз қозғалыс теңдеулері мен дербес
шешімдері
Массалар центрі аз ауытқыған магниттелген жер серігінің
қозғалыс теңдеулері мен дербес шешімдері
Ұйытқушы күштері жоқ серіктің прецессиясыз, нутациясыз және
меншікті айналусыз қозғалыс теңдеулері мен дербес шешімдері
Магниттелетін серіктің прецессиясыз, нутациясыз және меншікті
айналусыз қозғалыс теңдеулері мен дербес шешімдері
Массалар центрі аз ауытқыған серіктің прецессиясыз, нутациясыз
және меншікті айналусыз қозғалыс теңдеулері мен дербес шешімдері
Массалар центрі аз ауытқыған магниттелетін серіктің прецессиясыз,
нутациясыз және меншікті айналусыз қозғалыс теңдеулері мен
дербес шешімдері
Алынған нәтижелерді талдап, тәуелділік графиктерін MatLab жүйесі
арқылы құру
Экономикалық негіздеу
Бизнес-жоспар
Автоматтандыру жүйесін құруға кететін капиталдық шығындар
Басқару жүйесін құруға кететін капиталдық шығындар
Программалық өнімді жасаушылардың жалақысы
Программалық өнімдік құрал жабдықтарын сатып алуға кететін
шығындар
Программалық өнімге кететін жалпы шығындар
Жасанды Жер серіктің құрал-жабдықтарына кететін шығындар
Жасанды Жер серігінің айналмалы қозғалысын басқаруды бақылап

12
11

13

15
16

18

19

21

22

24

26

29

32

34

51
52
52
52
53

53
54
54

отыратын ұшуды басқаратын орталық (ЦУП) қызметкерлерінің
негізгі еңбек ақысының жылдық қорын есептеу

4.9
4.9.1

4.9.2

4.9.3

4.10

4.11
5
5.1
5.2
5.3

5.3.1

5.3.2
5.3.3
5.3.4
5.4
5.5
Автоматтандыру жүйесін пайдалануға кететін шығындар
Программалау өнімінің техникасына кететін амортизациялық
аударымдар
Жасанды Жер серігінің аспаптарына кететін амортизациялық
аударымдар
Автоматтандыру құралдарының ағымды жөндеуіне кететін
шығындары
Автоматтандыру жасалмай тұрған кездегі қызмет көрсететін
персонал саны мен жалақысы
Экономикалық негіздеу бөлімі бойынша қорытынды
Өмір-тіршілік қауiпсiздiгi
Еңбек жағдайларының талдануы
Монитордың электромагниттi сәулеленуiн есептеу
Компьютер сыныбының студенттерi үшiн ауа тазарту жүйесін
есептеу
Температуралардың айырымының нәтижесiнде жылу жұмсаулар
және жылу жоғалтулар
Күн сәулеленудің шынылау арқылы жылу жұмсаулары
Адамдардан шығатын жылу жұмсаулары
Ауа алмасуды есептеу
Жасанды жарықтандыруды есептеу
Өмір тiршiлiк қауiпсiздiгi бөлiмi бойынша қорытынды
Қорытынды
Қолданылған әдебиеттер тізімі
Қосымша

КІРІСПЕ

13
55

55

56

56

57

58
61
62

62

63
64
65
67
69
70
71
72

Дипломдық жоба кіріспеден, бес бөлімнен, қорытындыдан және
қосымшадан тұрады. Бірінші бөлімде Эйлердің канондық айнымалылары
арқылы массалар центрі аз ауытқыған навигациялық серіктің прецессиясыз
және нутациясыз қозғалыстарының теңдеулері қорытылып, дербес шешімдері
мен басқару моменттері анықталып шығарылады. Екінші бөлімде Эйлердің
айнымалылары арқылы массалар центрі аз ауытқыған серіктің прецессиясыз,
нутациясыз және меншікті айналусыз қозғалыстарының теңдеулері қорытылып,
дербес шешімдері мен басқару моменттері анықталып шығарылады. Үшінші
бөлімде анықталған дербес шешімдерінің графиктері тұрғызылып, басқару
моменттерінің өзгеру заңдылығы тұрғызылады. Төртінші бөлімде
экономикалық тиімділік жағдайы қарастырылып, бизнес жоспар құрылады.
Барлық шығындар, сонымен қатар, капиталдық салымдар мен интеграциялау
жүйесін құру мен еңгізудің экономикалық тиімділігі есептеледі. Бесінші
бөлімде өмір тіршілік жағдайы қаралады. Монитордан шығатын зиянды
электрмагниттiк толқындардың әсері, жұмыс аймағының жеткiлiксiз
жарықтығы, сыртқы ортаның үлкен температурасы, табиғи жарықтың жоқтығы
немесе кемшiлiгi деген сұрақтар қарастырылады.
Диплом жұмысында массалар центрі аз ауытқуындағы магниттелетін
навигациялық және массалар центрі аз ауытқуындағы магниттелетін
серіктердің сәйкес прецессиясыз, нутациясыз және меншікті айналусыз
қозғалыстарының дербес шешімдері мен басқару моменттері қорытылып,
арасындағы тәуелділік заңдылығы құрылады.
Бұл жұмыста қабыршағы магниттелген симметриялы серіктің массалар
центрі аз ауытқығандағы ұйытқымалы қозғалысының дербес шешімдері мен
олардың арасындағы байланысы қарастырылады. Қозғалыстағы серіктің
кинетикалық энергиясын азайту үшін магниттік демферлер құрумен активті
және пассивті магниттік тұрақтандыру теориясында аз ауытқуы бар стационар
қозғалыстарды зерттеу маңызды болып табылады.
Сонымен қатар, магниттелген динамикалық симметриялы жасанды жер
серіктің, оның қабыршағының магниттелуінің және массалар центрі аз
ауытқуының салдарынан пайда болған ұйытқуды ескеріп, сондай-ақ ұйытқусыз,
қабыршағы магниттелетін және серіктің массалар центрі аз ауытқитын әртүрлі
жағдайлардағы навигациялық серіктердің қозғалыстарын қарастырылады.
Тәуелділік графиктерін MatLab бағдарламалау ортасы көмегімен тұрғызылады.

1 Массалар центрі аз ауытқыған магниттелген серіктің қозғалысы

14

1.1

Жердің магнит өрісінде қозғалатын серікке әсер ететін күштер

туралы мәліметтер

Магниттелген дененің кернеулігін магниттік өріске орналастыратын
болсақ, онда бұл денеге келесі формуламен анықталатын күш моменті әсер
етеді.

.

(1.1)

Мұндағы: - дененің магниттік моменті.
Жер серігіндегі магниттік момент онда функционалдаушы электрлік
жүйелердің және тұрақты магниттердің бар болуынан, сондай-ақ серіктің
металды корпусының магниттелуінен пайда болады.
Жер серігінің магниттік моментін дәл анықтау теориялық және
тәжірибелік көзқарас тұрғысынан қарағанда өте қиын есеп болып келеді.
Магниттік моменттің жеке құраушыларын жеткілікті дәлдікпен сыртқы магнит
өрісінен және серіктің орналасуынан тәуелсіз деп есептеуге болады. Мұндай
магниттік моменттер: тұрақты магниттермен және электрлік жүйелермен
құрылатын моменттер. Магниттік моменттің басқа құраушылары жеткілікті
түрде сыртқы орта мен серіктің орналасуына тәуелді болады. Олар, келтірілген
(наведенный) магниттік момент және Фуко токтарының әсерінен пайда
болатын магниттік момент болып табылады. Кеңістіктің жер серігі орналасқан
бөлігінде сыртқы геомагниттік өріс біртектіге жақын болғандықтан, магниттік
моментті есептеу біршама жеңілдетіледі.
Жер серігінің магниттік моменті I0 тұрақты құраушы мен IH қабыршақтың
магниттік моментінің қосындысынан тұрады деп есептейік, яғни

0 .

(1.2)

Мұнда құйынды токтардың магниттік моменттерінің әсерін ескермейміз.
Тұрақты магниттік моментінің жер серігі денесіндегі орнын бағыттаушы
косинустар кестесімен анықталық.

x1
I 0 1

y1 z1
2 3

(1.3)

Анықтау үшін, Oz өсінің бағытын 0 моментінің осы өске проекциясы
теріс болатындай етіп таңдап алынған деп санаймыз.
Жеткілікті созылған симметриялы дене магниттелген өрісте негізінен
өзінің симметрия өсінің бойында магниттелетіні белгілі және келтірілген
магниттік момент сыртқы өрістің кернеулік векторының дененің симметрия
өсіне проекциясына пропорционал болады. Серік қабыршағының симметрия өсі
15

оның бас инерция өстерінің бір імен, мысалы, z өсімен сәйкес келеді деп
есептелік. Онда қабыршақтың магниттік моментін келесі формуламен
анықтауға болады:

I

3 z0

,

мұндағы, z0 - z осінің ортасы, 3 - z10 векторының бағыттаушы косинусы, -
серік қабыршағының магниттелуін сипаттайтын параметр және де бұл
келесідей анықталады:

6

2

,

мұндағы: 0 - серік қабыршағының материалының салыстырмалы магниттік
өтімділігі, l - Жердің магниттелуінің тұрақтысы; - көлем; R - жер серігінің
массалар центірінің радиус-векторы.
Өткізгіште Фуко токтары (құйынды токтар) - магниттік өрістің күш
сызығымен қиылысқан кезде пайда болады, бірақ та біз оларды ескермейміз.
Жер серігінде үлкен магниттік момент құру қажет болған жағдайда, не
серікте орнатылған, орамдарының бойымен ток өтетін, соленоидтар, не тұрақты
стержендік магниттер қолданылады. Соленоидтар негізінен серіктің активті
басқару жүйесінде, ал тұрақты магниттер геомагниттік өріс бойында пассивті
стабилизация жүйелерінде қолданылады.
Жер серігіне магниттік күш моменттерінен басқада көптеген моменттер
әсер етеді. Онша үлкен емес орбита үшін ең алдымен гравитациялық және
аэродинамикалық моменттерді ескеру қажет.
Жер серігінің атмосферамен әсерлесуі, серікті қума ағыстың
(набегающий поток) бағытына сәйкес орналастыруға тырысатын, моменттің
пайда болуына және оның айналуының тежелуіне әкеліп соғады.
Жер серігіне әсер ететін гравитациялық, магниттік және
аэродинамикалық табиғаттың моменттері мәндері бойынша салыстырылады.
Бірақ, арнайы қондырғыларды қолдану көрсетілген моменттердің біреуін
басқалардан бірнеше дәрежеге артық етіп көрсетеді. Осы жағдайды ескере
отырып, болашақта серік динамикасына осы моменттердің тек біреуінің әсерін
қарастырамыз. Бұл басқа моменттер негізгісінен өлшемі бойынша біршама кіші
және ұйытқушылар қатарына жатқызылады деген болжамға эквивалент.
Мысалы, егер жер серігіне күшті магниттер орнатылған болса, онда серіктің
айналмалы қозғалысы негізінен оның магниттік өрісі мен жердің магниттік
өрісінің арақатынасымен анықталады. Сондықтан, магниттік моментті артық
деп санап, басқа моменттердің әсерін ескермейміз.
Симметриялы дененің магнит моменті симметрия өсімен бағытталған.

16( 0 1) l
4 R

Әртүрлі себептермен массалар центрі аз ауытқуы мүмкін. Жер серігінің
массалар центрі аз ауытқығандағы және серік қабыршағының магниттелуін
ескеріп серіктің қозғалысын қарастыралық.

1.2 Массалар центрі аз ауытқыған серіктің қозғалысы туралы
мәселенің қойылуы

Магниттелген динамикалық симметриялы серіктің, оның қабыршағының
магниттелуінің және массалар центрінің аз ауытқуының салдарынан пайда
болған, ұйытқуды ескеріп, сондай-ақ ұйытқусыз, қабыршағы магниттелетін
және серіктің массалар центрі аз ауытқитын әр-түрлі жағдайлардағы

навигациялық және навигациялық емес серіктердің
қозғалыстарын

қарастырайық. Серіктің массалар центрі экваториалды жазықтықта дөңгелек
орбитамен қозғалады. Серікке күшті магниттер орнатылған, сондықтан оның
массалар центрінің айналасындағы қозғалысы, негізінен, оның магниттік
моменті мен тура дипольмен моделденетін Жердің магнит өрісінің өзара
әсерлесуімен анықталады [1], [2]. Геомагниттік өріс тура дипольмен
моделденеді.
Жер серігінің қозғалысын сипаттау үшін орбитал координаталар жүйесі
мен серікке қатаң бекітілген координаталар жүйесінің өстерінің арасындағы
бұрыштарды енгізу ыңғайлы [1]. Яғни, басы жер серігінің массалар центрінде
болатын Oxyz координаталар жүйесі, z өсі массалар центрінің орбитасының

радиус-векторының бойымен бағытталған,
х өсі - орбитаға транверсал

бойымен және у өсі - орбитаның жазықтығына нормаль бойымен бағытталған.
Ox1у1z1 жүйесі серікке қатаң бекітілген; z1 өсі серіктің динамикалық симметрия
өсімен сәйкес келеді.
Серікке қатаң бекітілген координаталар жүйесінің орбиталды
координаталар жүйесіне қатысты орны , , ( - меншікті айналыс бұрышы,

-
прецессия бұрышы,
-
нутация бұрышы) Эйлер бұрыштарымен

анықталады. Эйлер бұрыштары төменгі суретте көрсетілгендей берілген.
Серіктің қозғалысын негізгі O координаталар жүйесіне байланыстырамыз.

17

z

z1

y1

О

N

x 1

y

x

1.1 сурет - Координаталар жүйелері

Қарастырылып отырған жағдайда жердің жасанды серігінің

массалар

центрі экваториалды жазықтықта дөңгелек орбитамен қозғалсын, онда
геомагниттік өрістің кернеулігі абсолют кеңістікте қозғалмайды, әрі серіктің
орбитасының жазықтығына нормаль бойымен бағытталады және тұрақты мәнге
ие болады:

R

z

,

(1.4)

мұндағы, z10 - z1 өсінің ортасы, e - Жердің магниттелуінің тұрақтысы, R -
Жерге қатысты серіктің массалар центрінің радиус-векторы [2].
Абсолют бұрыштық жылдамдықтың бас инерция өстеріне проекциясы
былай жазылады:

p 1 cos , q 2 sin , r 3 ,

(1.5)

Мұндағы,

, ,

- сәйкесінше меншікті айналыс, прецессия, нутация

бұрыштарының бұрыштық жылдамдықтары, ал
1 , 2 , 3 -
бағыттаушы

косинустардың мәндері, олар орбиталды координаталар жүйесінің айналуының
бұрыштық жылдамдықтарын береді және былай анықталады:

1 sin sin , 2 cos sin , 3 cos .

18
3 10

1.3 Серіктің кинетикалық энергиясы мен ұйытқу функциясы

Қозғалмайтын бір нүктесі бар қатты дененің кинетикалық энергиясы
төмендегі формуламен анықталады:

T

1
2

Ap 2 Bq 2 Cr 2 .

Бірақ, біздің жағдайда серік динамикалық симметриялы болғандықтан,
яғни A=B болғандықтан, онда екі өсті серіктің кинетикалық энергиясы мынадай
түрге келеді:

T

1
2

1
2

(1.6)

мұндағы, А=B, C - серіктің бас инерция моменттері.

Болашақта әртүрлі жағдайда Жердің жасанды серігінің қозғалыс теңдеуін
құру кезінде қажет болатын өрнектерді құрайық:

T

T

B sin 2 C cos 2 C Cos ;

0;

T

T

T

T

B ;

(B C ) 2 sin cos C sin ;

C ( cos );

0.

(1.7)

Серіктің

массалар центрі

аз ауытқуының серік қабыршағының

магниттелуінің салдарынан туындаған аз ұйытқуды сипаттайтын функцияны
келесі түрде жазалық:

U

2

1 2

(1.8)

19A( p2 q2 ) Cr 2 ,

cos 2 I 0 H sin sin sin cos sin

Онда:

U

0;

U

U

I [ cos sin cos cos cos ] cos sin ;
0 1 2
I [ sin cos sin sin ].
0 1 2

(1.9)

Серіктің қозғалысын басқару үшін ұйытқымалы қозғалыстың мінездемесі
туралы көрсеткіштерді білуіміз қажет. Сондықтан, навигацияланған серіктің
ұйытқымалы қозғалысының келесі дербес жағдайларын қарастыру маңызды
болып табылады: нутациясыз және прецессиясыз қозғалыстар әрі меншікті
айналусыз қозғалыс.

1.4 Навигациялық серік туралы мәлімет

Серіктерді навигациялық есептерді шешуге қолданудың маңыздылығы
негізінен оның Жердің үлкен аймағынан немесе Жер маңындағы кеңістіктен
көріну мүмкіндіктеріне байланысты. Бұл жағдай, навигациялық ақпаратты
қолданушы болатын, объектінің көріну аймағын серіктің көру аймағына дейінгі
мәнге біршама үлкейтуге, сондай-ақ объектінің, анықталатын объектіден үлкен
қашықтықта орналасқан, координатасы белгілі объектіге қатысты
навигациялық анықтама жүргізуге мүмкіндік береді. Ол үшін анықталатын
объект серіктің көру аймағында орналасуы қажет.
Навигациялық серіктер биіктігі 600...36000 км болатын орбитаға
шығарылады. Төменгі биіктіктегі навигациялық серіктердің орбитасының
биіктігі 600...3000 км және айналу периоды 0,5...2,5 сағат. Орташа биіктіктегі
навигациялық серіктер 13000...20000 км биіктіктегі диапазонда орналасқан, ал
айналу периоды 8 сағаттан 12 сағатқа дейін созылады. Ең үлкен биіктіктегі
орбиталар (36100 км) геосинхронды серіктерге тән болады, олардың айналу
периоды Жердің өзінің айналу осіне қатысты толық бұрылуына тең болады,
яғни 24 сағат. Мұндай серіктер, олардың орбитамен айналу бұрыштық
жылдамдықтарының Жердің айналу бұрыштық жылдамдығына тең болуына
байланысты, белгілі бір нүктенің үстінде тұрып қалады. Мұндай навигациялық
серіктер көру аймағы неғұрлым үлкен, бұрыштық диаметрі 162о болғандықтан,
теориялық және практикалық көзқарас тұрғысынан қарағанда навигациялық
есептерді шешуде эффективті болып келеді.

20

Рисунок 3. Положения равновесия спутника на круговой орбите.
1.2 сурет - Жер серіктің дөңгелек орбитадағы тепе-теңдік жағдайлары

21

2 Массалар центрі аз ауытқыған навигациялық магнитеттелген
серіктің қозғалыс теңдеулері мен дербес шешімдері

2.1 Ұйытқушы күштері жоқ навигациялық серіктің нутациясыз және
прецессиясыз қозғалыс теңдеулері мен дербес шешімдері

Навигациялық серіктер үшін меншікті айналу бұрыштық жылдамдық
тұрақты болады, яғни const.
Прецессиясыз қозғалысты қарастырайық, яғни 0 ; 0 шарттары
орындалатын жағдайдағы қозғалыс.
Қозғалыс теңдеуін құрайық:

;

0.

(2.1)

Сонда (1.7) өрнектерді ескеріп, ізделініп отырған (t), (t)
шамаларына байланысты екі сызықсыз екінші ретті теңдеулер жүйесін аламыз:

0 ;
A 0.

(2.2) жүйенің екінші теңдеуін шешетін болсақ:

(2.2)

1
A 1

(2.3)

Мұндағы, c1 , c2 - интегралдау тұрақтылары.
Яғни, меншікті айналу және прецессия бұрыштары тұрақты шамаларға
тең, ал нутация бұрышы сызықты заңмен өзгергенде басқару моменті қажет
болмайды.

Нутациясыз қозғалыс 0 ; 0
шарттарымен анықталады. Онда

навигациялық серіктің қозғалыс теңдеуі мына түрде болады:

d T
dt

T

0;

d T

T

;

(2.4)

Олар ізделінді (t), (t) шамаларына қатысты екі теңдеулер

жүйесін береді:
A sin 2 0 C cos 2 0 c1;
2 .

22

(2.5)d T T
dt
d T T
dt

c t c2 .
dt
A C sin 0 cos 0

Мұндағы,

c1 const .

(2.4) теңдеулер жүйесінің бірінші теңдеуінен

прецессия бұрышының жылдамдығы тұрақты, яғни прецессия бұрышы
мынадай сызықты заңымен өзгереді:

c

S1

(2.6)

Мұндағы:

2 2

Нутациясыз қозғалысты қамтамасыз ететін басқару келесі формуламен
анықталады:

A C sin 0 cos 0
0 Ccos 0

2

2
c1 .

(2.7)

Меншікті айналу және нутация бұрыштары тұрақты шамаларға тең, ал
прецессия бұрышы (2.6) сызықты заңмен өзгергенде басқару моменті (2.7)
қатынасымен анықталады.

2.2 Магниттелетін навигациялық серіктің прецессиясыз
нутациясыз қозғалыс теңдеулері мен дербес шешімдері

және

Прецессиясыз қозғалысты қарастырайық, яғни 0 ; 0
орындалатын жағдайдағы қозғалыс.
Қозғалыс теңдеуін құралық:

шарттары

d T
dt

T

dU
d

;

d T
dt

T

dU
d

.

(2.8)

Сонда (1.7) өрнектерді ескеріп, ізделініп отырған

(t ), (t )

шамаларына байланысты екі сызықсыз екінші ретті теңдеулер жүйесін аламыз:

0 ;
A cos sin .

(2.9)

(2.9) жүйенің екінші

теңдеуі

сызықты емес екінші ретті

дифференциалдық теңдеу. - ға қатысты бір рет интегралдасақ, бірінші ретті
сызықты емес дифференциалдық теңдеу аламыз:

c1 S1 sin 2 .
23

(2.10)
S1 Asin 0 C cos 0 , c2 const.
A sin
2
2

Мұндағы, c1 const, S1

A

.

(2.10) - дың шешімін бастапқы шарттар бере отырып Рунге-Куттың
сандық әдісі көмегімен есептейміз. Есептеу жолы жұмыстың қосымшасында
келтірілген.
Нутациясыз қозғалыс 0 ; 0 шарттарымен анықталады. Онда
навигациялық серіктің қозғалыс теңдеуі мына түрде болады:

d T
dt

T

dU
d

;

d T
dt

T

dU
d

;

(2.11)

Олар ізделінді (t), (t) шамаларына қатысты екі теңдеулер
жүйесін береді:

A sin 2 0 C cos 2 0 c1;
2

(2.12)

Мұндағы, c1 const .
(2.12) теңдеулер жүйесінің бірінші теңдеуінен прецессия бұрышының
жылдамдығы тұрақты, оны интегралдасақ прецессия бұрышы мынадай
сызықты заңмен өзгеретінін көреміз:

c

S1

(2.13)

Мұндағы:

2 2

A C sin 0 cos 0
0 Ccos 0

2

2

(2.14)

Прецессиясыз қозғалысты қамтамасыз ететін басқару функциясы:
(2.14)
Меншікті айналу және нутация бұрыштары тұрақты шамаларға тең, ал
прецессия бұрышы (2.13) сызықты заңмен өзгергенде басқару моменті (2.14)
қатынасымен анықталады.

24 A C sin 0 cos 0
cos 0sin 0 .

S1 Asin 0 C cos 0 , c2 const.
A sin
2
2
c1 sin 0 cos 0 .

2.3 Массалар центрі аз ауытқыған навигациялық серіктің
прецессиясыз және нутациясыз қозғалыс теңдеулері мен дербес шешімдері

Прецессиясыз қозғалысты қарастырайық, яғни 0 ; 0 шарттары
орындалатын жағдайдағы қозғалыс.
Қозғалыс теңдеуін құрайық:

d T
dt

T

dU
d

;

d T
dt

T

dU
d

.

(2.15)

Сонда (1.7) өрнектерді ескеріп, ізделініп отырған (t), (t)
шамаларына байланысты екі сызықсыз екінші ретті теңдеулер жүйесін аламыз:

0 ;
A I 0 H 1 sin 0 2 cos 0 cos .

(2.16) жүйенің екінші теңдеуін қатысты бір рет интегралдасақ:

c1 2S1 sin .

(2.16)

(2.17)

I H
Мұндағы:
A
(2.17) теңдеуінің шешімін бастапқы шарттар бере отырып Рунге-Куттың
сандық әдісі көмегімен есептелінеді. Есептеуі қосымшада келтіріледі. Бұл
жағдайда да басқару моменті нөлге тең, демек, массалар центрі аз ауытқыған
навигациялық серіктің прецессиясыз қозғалысы кезінде басқару моменті қажет
болмайды.
шарттарымен анықталады. Онда
навигациялық серіктің қозғалыс теңдеуі мына түрде болады:

d T
dt

T

dU
d

;

d T
dt

T

dU
d

;

(2.18)

Олар ізделінді (t), (t) шамаларына қатысты екі теңдеулер
жүйесін береді:

A sin 2 0 C cos 2 0 c1;

Мұндағы, c1 const .

A C sin 0 cos 0 2 I 0H 1 sin 0 2 cos 0 sin 0 .

25

(2.19)

c1 const, S1 0

Нутациясыз қозғалыс 0 ; 0

(2.19) теңдеулер жүйесінің бірінші теңдеуінен прецессия бұрышының
жылдамдығы тұрақты, яғни прецессия бұрышы мынадай сызықты заңымен
өзгереді:

c

S1

Мұндағы: S1 Asin 2 0 C cos 2 0 , c2 const.

(2.20)

C A A B sin 2 0
2

2

(2.21)

Меншікті айналу және нутация бұрыштары тұрақты шамаларға тең, ал
прецессия бұрышы (2.20) сызықты заңмен өзгергенде басқару моменті (2.21)
қатынасымен анықталады.

2.4 Массалар центрі аз ауытқыған магниттелетін навигациялық
серіктің прецессиясыз және нутациясыз қозғалыс теңдеулері мен дербес
шешімдері

Прецессиясыз қозғалысты қарастырайық, яғни 0 ; 0
орындалатын жағдайдағы қозғалыс.
Қозғалыс теңдеуін құрайық:

шарттары

d T
dt

T

dU
d

;

d T
dt

T

dU
d

.

(2.22)

Сонда (1.7) өрнектерді ескеріп, ізделініп отырған

(t), (t)

шамаларына байланысты екі сызықсыз екінші ретті теңдеулер жүйесін аламыз:

0 ;
A I 0 H 1 sin 0 2 cos 0 cos cos sin .

(2.22) жүйенің екінші теңдеуін қатысты бір рет интегралдасақ:

c1 2S1 sin S2 sin 2 .

Онда бірінші ретті сызықты емес теңдеу аламыз:
I H
A A

26

(2.23)

(2.24)
Asin 0 Ccos 2 0
2
c1 sin 0 cos 0
Мұндағы: c1 const, S1 0 1 sin 0 2 cos 0 , S2 .

(2.24) теңдеуінің шешімін бастапқы шарттар бере отырып, Рунге-Куттың
сандық әдісі көмегімен есептелінеді. Есептеуі қосымшада келтіріледі. Бұл
жағдайда да басқару моменті нөлге тең, демек, массалар центрі аз ауытқыған
магниттелетін навигациялық серіктің прецессиясыз қозғалысы кезінде басқару
моменті қажет болмайды.

Нутациясыз қозғалыс 0 ; 0
шарттарымен анықталады. Онда

навигациялық серіктің қозғалыс теңдеуі мына түрде болады:

d T
dt

T

dU
d

;

d T
dt

T

dU
d

;

(2.25)

Олар ізделінді (t), (t) шамаларына қатысты екі теңдеулер
жүйесін береді:

A sin 2 0 Ccoc 2 0 c1;
2

(2.26)

Мұндағы, c1 const .
(2.26) теңдеулер жүйесінің бірінші теңдеуінен прецессия бұрышының
жылдамдығы тұрақты, яғни прецессия бұрышы мынадай сызықты заңымен
өзгереді:

c

S1

Мұндағы: S1 Asin 2 0 C cos 2 0 , c2 const.

(2.27)

A sin 2 0 Ccos 2 0

A C sin 0 cos 0

2
2 1

I 0 H 1 sin 0 2 cos 0 cos 0 cos 0sin 0 (2.28)

Меншікті айналу және нутация бұрыштары тұрақты шамаларға тең, ал
прецессия бұрышы (2.27) сызықты заңмен өзгергенде басқару моменті (2.28)
қатынасымен анықталады. Онда серік нутациясыз регулярлы прецессия
жасайтыны көрсетіледі.

27 A C sin 0coc 0
I 0H 1 sin 0 2 cos 0 cos 0 cos 0sin 0 .

c

3 Массалар центрі аз ауытқыған магниттелген серіктің қозғалыс
теңдеулері мен дербес шешімдері

3.1 Ұйытқушы күштері жоқ серіктің прецессиясыз, нутациясыз және
меншікті айналусыз қозғалыс теңдеулері мен дербес шешімдері

Прецессиясыз қозғалысты қарастырайық, яғни 0 ; 0
орындалатын жағдайдағы қозғалыс.
Қозғалыс теңдеуін құрайық:

шарттары

d T
dt

T

;

d T

T

0;

d T
dt

T

0.

(3.1)

Сонда (1.7) өрнектерді ескеріп, ізделініп отырған (t), (t), (t)
шамаларына байланысты үш екінші ретті теңдеулер жүйесін аламыз:

d
dt

C cos ;

A 0;
(3.2)

C 0

(3.2) теңдеулер жүйесінің екінші және үшінші теңдеулерін екі рет
интегралдасақ, және бұрыштарының сызықты өзгеретінін байқаймыз:

1
A 1
1
C 3

(3.3)

Мұндағы, c1, c2 , c3 , c4 - интегралдау тұрақтылары.

с3 sin .

(3.4)

Демек, меншікті айналу және прецессия бұрыштары тұрақты шамаларға
тең, ал нутация бұрышы сызықты заңмен өзгергенде басқару моменті қажет
болмайды.

Нутациясыз қозғалыс 0 ; 0
шарттарымен анықталады. Онда

серіктің қозғалыс теңдеуі мына түрде болады:

d T
dt

T

0;

d T
dt

T

;

d T
dt

T

0.

(3.5)

28dt

c t c2 ;

c t c4 .

Олар ізделінді (t), (t), (t) шамаларына қатысты үш теңдеулер
жүйесін береді:

A sin 2 0 C cos 2 0 C cos 0 c1;
2

(3.6)

C C cos 0 c2 .

Мұндағы, c1 , c2 - интегралдау тұрақтылары.
(3.6) теңдеулер жүйесінің бірінші және үшінші теңдеулерін бір-біріне
қатысты өрнектеп, шешетін болсақ, онда прецессия мен меншікті айналу
бұрыштарын анықтайтын мынадай тәуелділіктерді аламыз:

Мұндағы:

S c S c

1 3 2
S c S c

1 3 2

2 2

S 2 C cos 0 ;
S3 C;
S 4 ( A C )sin 0 cos 0 .

(3.7)

S3c1 S2c2 2
2

(3.8)

Нутация бұрышы тұрақты болғанда прецессия және меншікті айналу
бұрыштары (3.7) сызықты қатынастарымен анықталып, басқару моменті (3.8)
шамасына тең болады.
Меншікті айналусыз қозғалыс 0 ; 0 шарттарымен анықталады.
Онда серіктің қозғалыс теңдеуі мына түрде болады:

d T
dt

T

0;

d T

T

0;

d T
dt

T

.

(3.9)

29 A C sin 0 cos 0 С sin 0 ;
2 2 t c ;

S S S 2
2 1 t c .

S S S 2
S1 A sin 0 C cos 0 ;

c S S S2 S4 c1 S2 S3S4 .

2 2 1 2
S1S3 S2
dt

Олар ізделінді (t), (t), (t) шамаларына қатысты үш теңдеулер
жүйесін береді:
A sin 2 C cos 2 c1;

A A C sin cos
C cos .
-199d
dt
2
0;
(3.10)

Мұндағы, c1 - интегралдау тұрақтысы.
(3.10) теңдеулер жүйесінің біріншісінен - прецессия бұрышының
жылдамдығын тауып, екінші теңдеуге қойып, -ға бір рет интегралдасақ, -
ға және -ге қатысты бірінші ретті сызықты емес теңдеулер жүйесін аламыз:

c1

2 2

2 2 2

;

(3.11)

Мұндағы, c 2 - интегралдау тұрақтысы.

Ал басқару моменті нутация бұрышына тәуелді өзгеріп, келесі
қатынаспен анықталады:

Cc1 sin

A A C cos 2

2

;

(3.12)

(3.11) теңдеулер жүйесінің шешімін Рунге-Куттың сандық әдісі көмегімен
қосымшада келтірілген.

3.2 Магниттелетін серіктің прецессиясыз, нутациясыз және меншікті
айналусыз қозғалыс теңдеулері мен дербес шешімдері

Прецессиясыз қозғалысты қарастырайық, яғни 0 ; 0 шарттары
орындалатын жағдайдағы қозғалыс.
Қозғалыс теңдеуін құрайық:

d T
dt

T

dU
d

;

d T
dt

T

dU d T
;

T

dU
d

.

(3.13)

30
c2 A sin Сcos c1

A sin Сcos
A sin 2 Сcos 2 .
A A C cos
2
d dt

Сонда (1.7) өрнектерді ескеріп, ізделініп отырған (t), (t), (t)
шамаларына байланысты үш екінші ретті теңдеулер жүйесін аламыз:

d
dt

C cos ;

A cos sin ;
C 0

(3.14) теңдеулер жүйесінің үшінші теңдеуін шешетін болсақ:
(3.14)

1
C 1

(3.15)

Мұндағы: c1 , c2 - интегралдау тұрақтылары. (3.14)

жүйенің екінші

теңдеуін -ға қатысты бір рет интегралдасақ, онда бірінші ретті сызықты емес
теңдеу аламыз:

c3 S1 sin 2 .

(3.16)

A
Бұл жағдайда (3.14) жүйенің бірінші теңдеуінен басқару моменті нутация
бұрышына сәйкес келесі түрде өзгереді:

c1 sin ;

(3.17)

(3.16)

теңдеудің шешімі Рунге-Куттың сандық әдісі көмегімен

қосымшада келтірілген.

Нутациясыз қозғалыс 0 ; 0
шарттарымен анықталады. Онда

серіктің қозғалыс теңдеуі мына түрде болады:

d T
dt

T

dU d T
;

T

dU
d

;

d T
dt

T

dU
d

.

(3.18)

Олар ізделінді (t ), (t), (t ) шамаларына қатысты үш теңдеулер
жүйесін береді:

31
c t c2 .
Мұндағы, c3 const, S1 .
d dt

A sin 2 0 C cos 2 0 C cos 0 c1;
2

(3.19)

C C cos 0 c2 .

Мұндағы, c1 , c2 - интегралдау тұрақтылары
(3.19) теңдеулер жүйесінің бірінші мен үшінші теңдеуілерін бір-біріне
қатысты өрнектеп шешетін болсақ, онда мынадай тәуелділікті аламыз:

Мұндағы:

1 3 2
S c S c

1 3 2

2 2

S 2 C cos 0 ;
S3 C;
S 4 ( A C )sin 0 cos 0 ;
S5 sin 0 cos 0 .

(3.20)

S3c1 S2c2
2 2

2

(3.21)

Нутация бұрышы тұрақты болғанда, прецессия және меншікті айналу
бұрыштары (3.20) сызықты қатынастарымен анықталып, басқару моменті (3.21)
шамасына тең болады.
Меншікті айналусыз қозғалыс 0 ; 0 шарттарымен анықталады.
Онда серіктің қозғалыс теңдеуі мына түрде болады:

d T
dt

T

dU d T
;

T

dU d T
;

T

dU
d

.

(3.22)

Олар ізделінді (t ), (t ), (t) шамаларына қатысты үш теңдеулер
жүйесін береді:

32 A C sin 0 cos 0 С sin 0 cos 0 sin 0 ;
S c S 2c2

S S S
2 1 t c .

S S S 2
S1 A sin 0 C cos 0 ;

S1S3 S2

c2 S1S2 S2 S4 c1 S2 S3S4 S5 .
d dt
d dt

A sin 2 C cos 2 c1;

A A C sin cos
C cos .
-199d
dt
2
sin cos ;
(3.23)

Мұндағы, c1 - интегралдау тұрақтысы.
(3.23) теңдеулер жүйесінің бірінші теңдеуінен -прецессия бұрышының
жылдамдығын тауып, екінші теңдеуге қойып, -ға бір рет интегралдасақ, -
ға және -ге қатысты бірінші ретті сызықты емес теңдеулер жүйесін аламыз:

2

2
c1

(3.24)

c1

A

Ал басқару моменті (3.23) жүйенің үшінші теңдеуін шешу арқылы, былай

анықталады:

Cc1 sin

A A C cos 2

2

;

(3.25)

(3.24)

теңдеулер жүйесінің шешімін Рунге-Куттың сандық әдісі

көмегімен қосымшада келтірілген.

3.3 Массалар центрі аз ауытқыған серіктің прецессиясыз,
нутациясыз және меншікті айналусыз қозғалыс теңдеулері мен дербес
шешімдері

Прецессиясыз қозғалысты қарастырайық, яғни 0 ; 0 шарттары
орындалатын жағдайдағы қозғалыс.
Қозғалыс теңдеуін құрайық:

d T
dt

T

dU
d

;

d T
dt

T

dU d T
;

T

dU
d

.

(3.26)

Сонда (1.7) өрнектерді ескеріп, ізделініп отырған (t), (t), (t)
шамаларына байланысты үш екінші ретті теңдеулер жүйесін аламыз:

33
A2 sin 2 ACcos 2 ;
A sin 2 Сcos 2 .
Мұндағы, c2 const, S1 .
A A C cos
2
d dt

d
dt
A I 0 H 1 sin 2 cos cos ;
C I 0 H 1 cos 2 sin sin .

(3.27)

(3.27) жүйенің соңғы екі теңдеуі екінші ретті сызықсыз теңдеулер. Осы
теңдеулер шешімдері Рунге-Куттың сандық әдісімен қосымшада келтірілген.

шарттарымен анықталады. Онда
серіктің қозғалыс теңдеуі мына түрде болады:

d T
dt

T

dU d T
;

T

dU
d

;

d T
dt

T

dU
d

.

(3.28)

Олар ізделінді (t ), (t), (t ) шамаларына қатысты үш теңдеулер
жүйесін береді:

A sin 2 0 C cos 2 0 C cos 0 c1;
2

(3.29)

d
dt
C C cos 0 I 0 H sin 0 1 cos 2 sin .

Мұндағы,

c1 -

интегралдау тұрақтысы. (3.29) теңдеулер жүйесінің

біріншісінен -ды өрнектеп, осы жүйенің үшінші теңдеуіне қойып, - ға бір
рет интегралдасақ, онда - ге қатысты бірінші ретті сызықсыз теңдеу аламыз.
Оған қоса жүйенің бірінші теңдеуін ескерсек, келесідей бірінші ретті теңдеулер
жүйесін аламыз:

c S

S1 S1

S1S3 S 2

2

S 4 cos S5sin с2

(3.30)

34 C cos ;

Нутациясыз қозғалыс 0 ; 0
d dt
A C sin 0 cos 0 С sin 0 I 0 H cos 0 1 sin 2 cos ;

2S1

Мұндағы:
2 2

S 2 C cos 0 ;
S3 C;
S 4 I 0 H 1sin 0 ;
S5 I 0 H 2sin 0 .

Мұндағы, c 2 - интегралдау тұрақтысы. (3.30) теңдеулер жүйесі бірінші
ретті сызықсыз болғандықтан, Рунге-Куттың сандық әдісі көмегімен шешілген
шешімі қосымшада келтірілген.
Меншікті айналусыз қозғалыс 0 ; 0 шарттарымен анықталады.
Онда серіктің қозғалыс теңдеуі мына түрде болады:

d T
dt

T

dU d T
;

T

dU d T
;

T

dU
d

.

(3.31)

Олар ізделінді (t ), (t ), (t) шамаларына қатысты үш теңдеулер
жүйесін береді:

A sin 2 C cos 2 c1;
2

(3.32)

d
dt
C cos I 0 H 1 cos 0 2 sin 0 sin .

Мұндағы,

c1 -

интегралдау тұрақтысы. (3.32) теңдеулер жүйесінің

біріншісінен -прецессия бұрышының жылдамдығын тауып екінші теңдеуге
қойып, -ға бір рет интегралдасақ, - ға және -ге қатысты бірінші ретті
сызықты емес теңдеулер жүйесін аламыз:

c2 S1 sin

2 2

2
c1

;

(3.33)

c1

Мұндағы: c2 const, S1 0 A

35

.S1 A sin 0 C cos 0 ;
d dt
d dt
A A C sin cos
I 0 H 1 sin 0 2 cos 0 cos ;

A A sin Ccos
A sin 2 Сcos 2 .
I H 1 sin 0 2 cos 0

(3.33) теңдеулер жүйесінің шешімі Рунге-Куттың сандық әдісі көмегімен
қосымшада келтірілген.

3.4

Массалар центрі аз ауытқыған магниттелетін серіктің

прецессиясыз, нутациясыз және меншікті айналусыз қозғалыс теңдеулері
мен дербес шешімдері

Прецессиясыз қозғалысты қарастырайық, яғни 0 ; 0
орындалатын жағдайдағы қозғалыс.
Қозғалыс теңдеуін құрайық:

шарттары

d T
dt

T

dU
d

;

d T
dt

T

dU d T
;

T

dU
d

.

(3.34)

Сонда (1.7) өрнектерді ескеріп, ізделініп отырған (t ), (t ), (t )
шамаларына байланысты үш екінші ретті теңдеулер жүйесін аламыз:

d
dt
A I 0 H 1 sin 2 cos cos cos sin ;
C I 0 H 1 cos 2 sin sin .

(3.35)

(3.35) жүйенің соңғы екі теңдеуі екінші ретті сызықсыз теңдеулер.
Олардың шешімдері Рунге-Куттың сандық әдісімен қосымшада келтірілген.

Нутациясыз қозғалыс 0 ; 0
шарттарымен анықталады. Онда

серіктің қозғалыс теңдеуі мына түрде болады:

d T
dt

T

dU d T
;

T

dU
d

;

d T
dt

T

dU
d

.

(3.36)

Олар ізделінді (t ), (t), (t ) шамаларына қатысты үш теңдеулер
жүйесін береді:
A sin 2 0 C cos 2 0 C cos 0 c1;
2

d
dt

C C cos 0 I 0 H sin 0 1 cos 2 sin .

(3.37)

Мұндағы,
c1 -
интегралдау тұрақтысы. (3.35) теңдеулер жүйесінің

біріншісінен -ды өрнектеп, осы жүйенің үшінші теңдеуіне қойып, - ға бір
36d dt
C cos ;

d dt
A C sin 0 cos 0 С sin 0 I 0 H cos 0 1 sin 2 cos cos 0 sin 0 ;

рет интегралдасақ, онда - ге қатысты бірінші ретті сызықсыз теңдеу аламыз.
Оған қоса жүйенің бірінші теңдеуін ескерсек, келесідей бірінші ретті теңдеулер
жүйесін аламыз:

c S

S1 S1

S1S3 S 2

2

S 4 cos S5sin с2

(3.38)

Мұндағы:
2 2

S 2 C cos 0 ;
S3 C;
S 4 I 0 H 1sin 0 ;
S5 I 0 H 2sin 0 .

Мұндағы, c 2 - интегралдау тұрақтысы. (3.38) теңдеулер жүйесі бірінші
ретті сызықсыз болғандықтан, Рунге-Куттың сандық әдісі көмегімен шешілген
шешімі қосымшада келтірілген.
Меншікті айналусыз қозғалыс 0 ; 0 шарттарымен анықталады.
Онда серіктің қозғалыс теңдеуі мына түрде болады:

d T
dt

T

dU d T
;

T

dU d T
;

... жалғасы

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.