Интегралдық теңдеулерді кластарға бөлу

Жұмыс түрі: Іс-тәжірибеден есеп беру
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 28 бет
Таңдаулыға:

ЖОСПАР

Кіріспе ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
1
1.1 Интегралдық теңдеулерді кластарға бөлу ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .
1.2 Қысып бейнелеу әдісі және оны қолдану ... ... ... ... ... ... ... ... .
1.3 Қысып бейнелеу әдісін Фредгольмнің интегралдық
теңдеуіне қолдану ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
1.4 Қысып бейнелеу әдісін Вольтерра теңдеуіне және сызықтық емес интегралдық теңдеулерге қолдану ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .
1.5 Фредгольмнің анықтауыштар әдісі ... ... ... ... ... ... ... .. ... ...
2
2.1Сызықтық сплайндар ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
2.2 Параболалық сплайндар ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
2.3 Кубтық сплайндар ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .
3
3.1 Сызықты емес интегралдық теңдеуді сплайн - функция көмегімен шешу ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
Қорытынды ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
Пайдаланылған әдебиеттер тізімі ... ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ...

КІРІСПЕ

Қазіргі кезде ғылыми - техникалық прогресс математикалық әдістердің ғылым мен техниканың барлық салаларына қарқындап енуімен сипатталады. Бұл прогресстің басталуы мен жүруі табиғатта болып жатқан құбылыстардың математикалық модельдерін жасаумен тығыз байланысты және ғылыми - техникалық прогресс үшін маңызы зор. Жалпы жағдайда жүріп жатқан процестер мен құбылыстарды, олардың табиғатының өте күрделілігіне байланысты, математиканың аппаратын пайдаланып, математика тіліне аудару оңай мәселе емес. Ғылым мен техниканың әр түрлі салаларында математикалық әдістерді нәтижелі қолдана білу үшін нақты практикалық есептерге осы әдістерді қолданудың негізгі принциптері жөнінде жеткілікті дәрежеде түсінік болуы қажет.
Ғылым мен техникада көптеген есептер, функциялар, алгебралық, дифференциалдық немесе интегралдық теңдеулер арқылы математика тiлiнде сипатталып жазылады. Мұндай есептер түрлiше жолдармен шешiледi. Аналитикалық әдiстер сондай жолдардың бiрi болып табылады. Бiрақ көп жағдайда ол әдiстердi пайдалану мүмкiншiлiгi бола бермейдi. Кейiнгi 40-50 жыл iшiнде жылдам есептейтiн электрондық есептеуiш машиналар (ЭЕМ) кеңiнен қолданып келедi. Олардың кейбiреулерi секундына жүздеген миллионға дейiн арифметикалық амалдар орындайды. Сонымен бiрге машиналарда есептеулердi жеңiлдететiн басқада қосымша мүмкiншiлiктер бар. ЭЕМ-нiң пайда болуы есептеу математикасының қарқынды дамуына зор әсерiн тигiзгенiн айта кеткен жөн. Есептi ЭЕМ-нiңкөмегiменшешу 5 этаптантұрады:
1. Мәселенiң қойылуы мен математикалықмоделi.
2. Алгоритмiнқұру (алгоритмизация).
3. Алгоритiмнiңпрограммалаутiлiндежазы луы.
4. Программаның ЭЕМ-деорындалуы.
5. Нәтижелергеталдаужүргiзу.
Есептеу кезiнде аналитикалық әдiстердi пайдалану қиындық келтiргенде немесе тiптi пайдалану мүмкiн болмаған жағдайда есептеу математикасының сандық әдiстерi қолданылады. Ол әдiстер бастапқы берiлген есептi мағынасы бойынша соған жуық басқа есеппен алмастыру мүмкiндiгiне негiзделген. Ал соңғы есеп кейбiр шарттарды қанағаттандыруы тиiс. Мәселен, шешiмнiң бар болуы, орнықты, жинақты болуы және т.с.с. Бұл есептiң шешiмi алғашқы есептiң жуық шешiмiн беруi тиiс немесе оған белгiлi бiр дәлдiкпен жинақталуы қажет.
Дәл және жуық шешiмдердiң айырымы жуықтау немесе әдiс (тәсiл) қателiгi деп аталады.Есепте негiзгi деректер, яғни ондағы коэффициенттер, бос мүшелер немесе қосымша шарттар жуық шамалармен берiлуi мүмкiн, соның нәтижесiнде пайда болған қателiктердi жөнделмейтiн (түзелмейтiн) қателiктер деп атайды.ЭЕМ-де цифрлар саны шексiз көп сандарға арифметикалық амалдар колданылмайды. Сондықтан ондай сандар ең алдымен цифрларының саны шектеулi жуық сандармен алмастырылады. Ол, әдетте, орта мектептен белгiлi дөңгелектеу әдiсi арқылы жүзеге асырылады. Өйткенi, нәтижеде цифрларының саны шексiз көп сандар пайда болуы мүмкiн. Осандай дөңгелектеулердiң сандарынан пайда болған қателiктердi есептеу қателiктерi деп атайды. Олар есептiң жуық шешiмiнiң дәлдiгiне тiкелей әсерiн тигiзетiнi анық. Есептi шешу кезiндегi жалпы қателiк негiзгiлерiн есептегенде жоғарыда айтылған үш түрден тұрады: түзелмейтiн қателiк, әдiстiң (тәсiлдiң) қателiгi, есептеу қателiгi.
Есептеу практикасында кездесетін есептер арасында интегралдық теңдеулер есептерінің маңызы зор. Мұндай есептер көптеген нақтылы құбылыстарды математикалық модельдеу және күрделі математикалық есептерді шешуде пайда болады.
Интегралдық теңдеулердің шешімі барлық кезде элементар немесе арнаулы функциялар арқылы өрнектеле бермейтіні белгілі. Көп жағдайда интегралдық теңдеулер белгісіз функция бойынша сызықты емес күрделі түрдегі тәуелділікте болады. Ол тәуелділік кей жағдайда эксперименттік есептеулердің белгілі бір кестесі арқылы берілуі мүмкін. Бұл жағдайларда есепті шешудің үйреншікті әдістері не іске аспауы, не мерзімнен тысқары уақыт алатын есептеулерге әкеп тіреуі мүмкін. Сондықтан ол есептердің сандық сипаттамаларын жеткілікті дәлдікпен анықтайтын әдістерді табудың маңызы зор. Осындай әдістердің ішіндегі тиімдірегі - сандық әдістері [1], [2], [3].
Электрондық есептеу техникасының таңғажайып өркендеуі сандық әдістерді әр саладағы есептерге кеңінен қолдануға мүмкіндік беріп отыр. Интегралдық теңдеуді жуықтап шешу үшін, оны қолайлы айырымдық сүлбемен ауыстырады. Әлбетте, ауыстыру әдепкі есептің негізгі қасиеттерін өзгертпеуі тиіс. Демек, ауыстырудың түрі мен оған сай таңдап алынатын жуықтап шешу әдісі берілген есептің тегіне тікелей байланысты. Сонымен қатар әдістердің тиімділігі оларды қолдану барысында әр қадамда есептеуге қатысатын нүктелер санынан, жасалатын амалдар саны мен олардың күрделілігінен де тәуелді.
Интегралдық теңдеуді есептеу әдісімен жуықтап шешкенде, оның шешімі өзінің анықталу аралығында жататын нүктелердегі мәндері арқылы анықталады. Яғни жуықталған шешім аналитикалық (функциялық формула түрінде) емес сандар кестесі түрінде табылады. Әдетте жуықтап есептеу әдісін қолданып шығаратын есептің шешімі бар және жалғыз деп саналады.
Теорияның дамуында және әр түрлi қолданбалы есептердiң жуық шешiмiнiң әдiстерiнiң өңдеуiндегi жетiстiктерi, өз шешімін талап ететiн мәселелердiң шеңберi бұрынғыша кең. Қазіргі уақытта коллокация, Ритца, Галеркин, айырымдық әдістері ең тиімді қолданылатын әдістер [4].

1.1 Интегралдық теңдеулерді кластарға бөлу

Белгісіз функциялар интегралдың астында кездесетін теңдеулер интегралдық теңдеулер деп аталады. Егер белгісіз функция интегралдық теңдеуге сызықты түрде қатынасса, онда теңдеу сызықтық деп аталады.
φx=λabKx,sφxds+fx, a=x=b (1.1)
Түріндегі теңдеу Фредгольмнің 2-текті сызықтық интегралдық теңдеуі деп аталады. Мұндағы φx-нақты айнымалы х аргументіне тәуелді белгісіз функция, fx функциясы a,s кесіндісінде, Kx,s функциясы
D=a=x,s=b жинында анықталған белгілі функциялар: fx пен Kx,s сәйкес интегралдық теңдеудің бос мүшесі мен ядросы деп аталады, ал λ-параметр. Интегралдық жоғарғы және төменгі шектері (а мен в) жалпы жағдайда тұрақты шамалар; олар шектелген де шектелмеген де болуы мүмкін. Егер fx=0, онда жоғарыдағы (1) интегралдық теңдеу біртекті, ал fx!=0 болған жағдайда - біртекті емес деп аталады.
Фредгольмнің І- текті интегралдық теңдеуінде белгісіз функция интегралдық мүшеде ғана қатынасады, дәлірек айтқанда , ол теңдеу
abKx,sφsds=fx
түрінде жазылады.
Фредгольмнің ІІ- текті интегралдық теңдеуі деп
φx=λaxKx,sφsds+fx(1.2)
түріндегі, ал І- текті интегралдық теңдеуі деп
axKx,sφsds=fx
түріндегі теңдеуді айтады.
Егер φx функциясын интегралдық теңдеуге қойғанда теңдеу тепе-теңдікке айналса, онда φx функциясы интегралдық теңдеудің шешімі деп аталады. Интегралдық теңдеудің шешімі бар және оның жалғыз болуы λ параметріне байланысты екенін келешекте көрсетеміз. Мәселен, Фредгольмнің біртекті интегралдық
φx=λabKx,sφsds
теңдеуінің λ параметрінің кез келген мәндерінде φx=0 шешімі бар болады , ал нольден ерекше шешімдер әрқашан бар бола бермейді.
Фредгольмнің біртекті интегралдық теңдеуінің нольге тең емес шешімдері бар болатын λ параметрінің мәндері меншікті мәндер деп, ал оларға сәйкес нольден ерекше шешімдер меншікті функциялар деп аталады.
1-мысал. Kx,s=e-xsядросындағы айнымалылар 1=x, sinfinity ,
болғанда e-xs фредгольмдік ядро болады, ал 0=x,sinfinity ,болса, онда ол фредгольмдік ядро болмайды.
Расында 1infinity1infinitye-xs2dxdy=121infi nitye-xsdxinfinity,

0infinity0infinitye-2xsdsdy=120in finitydxx=infinity,
2-мысал. Егер интегралдық теңдеудің ядросы
Kx,s=Аx,sx-sαα=x, s=b,1.3
мұндағы Аx,s-үзіліссіз функция және 0=α=12 болса, онда ядро Фредгольмдік болады, ал α=12 болса, ол ядро Фредгольмдік болмайды.
Егер 2.3 ядросында 0=α=1 болса, онда ол ядро ерекшелігі әлсіз немесе полярлық ерекшелікті ядро деп, ал теңдеу ерекшелігі әлсіз интегралдық теңдеу деп аталады. Егер α=1 болса, онда Kx,s=Ax,sx-s-1интегралданбайтын функция болатын. Бұл функциядан алынған интеграл тек Кошидің бас мәні мағынасында ғана бар болуы мүмкін. Ядросы Kx,s==x,sx-s-1 түріндегі интегралдық теңдеуді сингулярлық интегралдық теңдеу, ал басқаларын регулярлық интегралдық теңдеулер деп аталады. Бір аргументті сингулярлық интегралдық теңдеудің жалпы түрі :
axφx-bx2PIφxs-xds+Kx,sds=fx
мұнда Г-комплекс жазықтықтағы тұйық немесе тұйық емес қарапайым доғалар жиыны; x,s∈Г, ax,bxжәне fx функциялары Г доғасында анықталған, ал Kx,s∈L2ГxГ.
Біз тек сызықтық регулярлық интегралдық теңдеулерді ғана қарастырамыз. Интегралдық теңдеулерді бір аргументті функция үшін ғана емес, көп аргументті функциялар үшін де қарастыруға болады. Мәселен, Фредгольмнің 2-текті интегралдық φx=λKx,sφxds+ fx теңдеуінде ядро Kx,s∈L2OhmxOhm бос мүше fx∈L2Ohm, ал x=(x1x2,...,xn)∈Rn, s= (s1s2,...,sn)∈Ohm∈Rn. Фредгольмнің 2-текті сызықтық интегралдық теңдеулер системасы .
φlx-λj=1nabKljx,sφjsds=flx, l=1,2,...,n
түрінде өрнектеледі. Егер φx=φ1,φ2,...,φn, fx=f1,f2,...,fn-векторлар, ал ядро Kx,s элементтері Kljx,s болатын матрица деп қарасақ, онда системаны (1.1) теңдеуі түрінде жазуға болады.
Дәл осылай екі аргументті функция үшін Вольтерра теңдеуі
φx,y=λaxayKx,y;s,tφs,tdsdt+f(x,y)
түрінде, ал системасын
φlx=λj=1naxKljx,sφjsds+flx, l=1,2,...,n
түрінде өрнектеуге болады.

1.2.Қысып бейнелеу әдісі және оны қолдану
Алгебралық, диференциялдық, интегралдық және функционалдық теңдеулердің шешімдері бар және олар жалғыз болуын дәлелдеуге біртіндеп жуықтау әдісі,яғни қысып бейнелеу әдісі қолданылады. Қысып бейнелеу әдісінің мазмұнын мына тұжырымнан байқауға болады.
І-теорема (Банахтікі). Толық метрикалық Х кеңістігінің кез келген элементін сол кеңістіктің өзіне бейнелейтін А операторы берілсін: яғни XАX. Оның үстіне ∀x,y∈X элементтері
ρAx,Ay=αρx,y (1.4)
теңсіздігін қанағаттандырсын (мұндағы α саны x пен y элементтеріне тәуелсіз және 0α1). Сонда Х кеңістігінде жалғыз ғана элементі табылып, ол
Аx0=x0 (1.5)
теңдеуін қанағаттандырады.(1.4) теңсіздігін қанағаттандыратын А операторын қысу операторы деп, ал (1.5) теңдеуін қанағаттандыратын x0∈X нүктесін А операторының қозғалмайтын нүктесі деп атайды.
Дәлелдеуі. ∀x--X элементін алып, мынадай тізбек құрайық: x1=Ax, x2=Ax1,...,xn=Axn-1, ... Осы xnтізбегінің фундаментальдық өзіне жинақты екенін көрсетейік. Алдымен ρx1,x2=ρAx,Ax1=αρx,x1= =αρx,Ax, ρx2,x3=ρAx1,Ax2= αρx,Ax,..., ρxn,xn+1==αnρx,Ax екенін байқаймыз. Егер үшбұрыштар теңсіздігін пайдалансақ,
ρxn,xn+p=ρxn,xn+1+ρxn+1,xn+2+...+ρ xn+p-1,xn+p==αn1+α+...+αp ρx,Ax=αn-αn+p1-α ρx,Ax.
Осыдан 0α1 болғандықтан
ρxn,xn+p=αn1-α ρx,Ax(1.6)
Соңғы теңсіздіктен ∀ p үшін n--infinity, ρxn,xn+p--0. Демек, xnтізбегі фундаментальдық тізбек. Х кеңістігінің толықтығынан xnтізбегінің шегі x0∈X болады:
x0=limn--infinityxn
ЕндіАx0=x0 екенін көрсетейік. Расында ρ(x0,Аx0)=ρ(x0,xn)+ρ(xn,Аx0)=ρ(x0, xn)+ρ(Axn-1,Аx0)=ρ(x0,xn)+αρ(xn-1, Аx0),
элементі x0=limn--infinityxnболғандықтан, ∀ε0 санына сәйкес N(ε) номері табылып, ρ(x0,xn)ε2 , ρ(x0,xn-1)ε2 , ∀nN(ε)болады. Демек, ρ(x0,Аx0)ε. Мұндағы ε кез келген сан болғандықтан ρ(x0,Аx0)= =0,яғниx0=Аx0 теңдігі орынды.

1.3. Қысып бейнелеу әдісін Фредгольмнің интегралдық теңдеуіне қолдану.
1. Интегралдық теңдеудің ядросы Kx,s үзіліссіз функция болсын. Фредгольдің біртекті емес
φx=λabKx,sφsds+fx (1.7)
теңдеуінің шешімі бар және шешімнің жалғыз екенін дәлелдеуге қысып бейнелеу әдісін қолданайық. Kx,s ядросы D=a=x,s=b, облысында үзіліссіз болғандықтан шенелген, яғни Kx,s=М. Ал бос мүше fx∈Сa,b- (1.7) интегралдық теңдеу шешімін Сa,b класынан іздемейміз. Операторды
Kφ=λabKx,sφsds
деп белгілейік.
І-лемма. Kφ интегралдық операторы толық және Сa,b кеңістігін сол кеңістіктің өзіне бейнелейді.
Дәлелдеуі. ψx=fx+λabKx,sφxds және N=maxφx деп белгілейік, x,x+∆x∈a,b, болсын. Ол кезде ψx+∆x-ψx= λabKx+∆x,sφxds+fx+∆x-λabKx,sφxds-fx =
=λNabKx+∆x,s-Kx,sds+fx+∆x-fx.
fx∈Сa,bжәне Kx,s∈CQболғандықтан ∀ε0 үшін δ0 саны табылып, ∆xδ болғанда fx+∆x-fxε, Kx+∆x,s -- Kx,sε2Nb-a теңсіздіктері орындалады. Егер осы теңсіздіктерді алдыңғы өрнектің оң жағына пайдалансақ, ψx+∆x-ψxε, ∀∆x:∆xδ екенін көреміз, яғни ψx функциясы a,bкесіндісінің кез келген нүктесінде үзіліссіз. Демек K операторы кез келген φx∈ Сa,b функциясын тағыда сол кеңістіктегі үзіліссіз функцияға бейнелейді екен.
Енді K-қысу операторы болатын шартты анықтайық.
ρKφ1,Kφ2=maxa=x=bKφ1-Kφ2=maxa=x =bλabKx,sφ1-φ2ds==λMb-amaxa=s= bφ1s-φ2s=λMb-aρφ1,φ2.
Міне бұдан
λ1M(b-a)
шарты орындалғанда K қысу операторы болатынын көреміз. Жоғарыда дәлелденген қысып бейнелеу әдісінен, егер λ саны осы теңсіздікті қанағаттандырса, онда (1.7) теңдеуінің бір ғана үзіліссіз шешімі болады. Ол шешімге жуықтайтын функциялар тізбегі φ0x, φ1x,...,φnx,...
φn+1(x)= λabKx,sφnsds+fx, n=0,1,2,...
рекурентті теңдіктермен анықталады, мұндағы функциясы a,b кесіндісінде анықталған кез келген үзіліссіз функция.
2. Қайталанған ядролар және резольвента. Әдетте жуықтау формуласында бастапқы жуықтау ретінде бос мүше fx функциясын қабылдайды, яғни φ0x=fx. Сонда рекуррентті формуладан жуықтау тізбегінің мүшелері мынадай теңдіктермен анықталады:
φ1x =fx+abKx,sfsds=I+λKf,
φ2x=I+λK2 f=f+λKf+λ2K2f,...,
φnx=I+λKn f=m=0nλmKmf,...,
мұнда I-бірлік оператор, Kf=abKx,sfsds, ал Km операторы -K-ның m дәрежесі.
K операторы дәрежелерін Kx,s ядросы арқылы өрнектеп көрейік. Анықтама бойынша K2f=KKf=abKt,sdtKt,sfsdsdt=
=ababKx,tKt,sdtfsds,
Егер
K2x=abKx,tKt,sdt
деп белгілесек, онда
K2f=abK2x,sfsds,
сол сияқты
K3f=K(K2f)= abKx,tababK2t,sfsdsdt=
=ababKx,tK2t,sdtfsds.
Егер K3x,s=abKx,tK2t,sdt
деп белгілесек, онда K3f≡abK3x,sfsds
Жалпы жағдайда , материалдық индукция заңымен
Knf≡abKnx,sfsds
Knоператорын теңдігімен анықтауға болды, мұнда
Knt,s=abKx,tKn-1t,sdt(1.8)
(1.8) формуласымен анықталған Knx,s функциясы n-қайталанған ядро немесе ядроның n-интерациясы деп аталады. Келешекте K1x,s=Kx,s
деп қабылдаймыз. Оператор үшін белгілі Kn+m=KnKm=KmKn теңдігінен қайталанған ядролар үшін орындалатын
Kn+mx,s=abKnx,tKmt,sdt=abKmx,tKnt,s dt
теңдігін алуға болады. Ескере кетейік, егер облысының D=a=x,s=b облысында Kx,s ядросы үзіліссіз функция болса , онда барлық қайталанған ядролар да D=a=x,s=b облысында үзіліссіз функциялар болатыны көрініп тұр.
Қарастырылып отырған Фредгольм теңдеуінің шешімі
φx=limn--infinityφnx
болғандықтан
φx= fx+m=1infinity λmKmf=fx+λm=1infinityKmx,sfxds (1.9)
формуласын аламыз. (1.9)теңдеуінің оң жағында тұрған қатардың λ1M(b-a)шарты орындалғанда бірқалыпты жинақты болатынына көз жеткізу қиын емес. Әдетте оны Нейман қатары деп атайды. Жоғарыда алынған тұжырымдардың қорытындысы келесі тұжырым болады.
2-теорема. Егер λ1M(b-a),fx∈ Сa,b,Kx,s∈C(D) болса, онда кез келген 2-текті Фредгольмнің теңдеуінің Сa,b кеңістігінде жататын жалғыз шешімі бар болады және ол шешім (1.9) формуласымен өрнектеледі. Яғни λ1M(b-a) дөңгелегінің ішінде (I- λ K)операторына шенелген кері оператор I- λ K-1=I+λ K+λ K2+...+λnKn+... формуласымен анықталады.
Шынында, (I- λ K)I- λ K-1=(I- λ K)(I+λ K+λ2K2+...)==I+λK+λ2K2+...-λ K-λ2K2-...=1
Енді
K1x,s+λK2x,s+λ2K3x,s+...+λn-1Knx,s+ ...
функционалдық қатарын қарастырайық. Егер де λ1M(b-a) болса, онда бұл қатар D=a=x,s=b облысында бір қалыпты жинақты. Осы қатардың қосындысын
Rx,s;λ=n=1infinityλn-1Knx,s(1.10)
ядросының резольвентасы немесе шешетін ядросы деп аталады. Резольвентасы Rx,s;λ бірқалыпты жинақталатын функциялық қатардың қосындысы болғандықтан, x,s аргументтері бойынша үзіліссіз де, ал λ аргументі бойынша λ1M(b-a) облысында аналитикалық функция екені айқын. Егер (1.10) теңдігінің екі жағын да fs функциясына көбейтіп, s бойынша a мен b аралығында интеграл алсақ, онда
abRx,s;λfs ds=n=1infinityλn-1abKnx,sfsds(1.11)
теңдігін аламыз. Енді (7) мен (9) теңдіктерін салыстырсақ,
φx=fx+λabRx,s;λfs ds(1.12)
формуласы шығады. Егер бос мүше fx∈ Сa,b болса, онда (1.12) формуласымен анықталады. φx∈Сa,b.
3-теорема. Егер алдыңғы теореманың шарттары орындалса, (1.8) теңдеуінің шешімі (1.12) формуласымен анықталады.
І-ескерту. (1.12) формуласы λ параметрінің өте кішкене мәндерінде ғана орындалатын дәлелдедік, екелешекте (1.12) формуласы λ параметрінің үлкен мәндерінде орындалатыны көрсетіледі. (1.12) формуласы λ-ның кез келген мәндеріне орындалатындай ядролар да бар.
2-лемма. Егер ядро Kx,s∈С(D) болса, онда K операторы ∀ φt∈L2a,bK Ψx=Kφ∈Сa,b.
Дәлелдеуі. x0∈a,bнүктесі берілсін. Kx,s ядросы үзіліссіз функция болғандықтан кез келген ε0 саны үшін сәйкес δ0 саны табылып: x-x0δ--Kx,s-K(x,x0)εc, ∀s∈a,b.
Сондықтан, Коши-Буняковскиий теңсіздігін
ψx-ψx0=abKx,s-Kx0,sφsds=εcabφsds =
=εcb-aabφ2sds12ε,
яғни ψx функциясы x0 нүктесінде үзіліссіз. x0 кез келген нүкте болғандықтан ψx функциясы a,b-да үзіліссіз. Осыдан, егер fx∈Сa,b және Kx,s∈Сa,b болса, (1.17) оң жағы кез келген φx∈L2a,b үшін, үзіліссіз функция екені шығады. Яғни сол жағында тұрған φx∈Сa,b. Демек L2a,bкеңістігінде жататын функциялар ішінен тек үзіліссіз функциялар ғана шешім болады деген қорытынды шығады. Дәлелденген лемма бойынша L2a,bKСa,b∈L2a,b.
3-лемма. Егер
B=(ababK2x,sdsdx)12=K
болғандықтан, Коши-Буняковский теңсіздігін пайдаланып
Kφ1-Kφ22=λ2abK2x,sdsabφ1(s)-φ2(s)d s
теңсіздігін аламыз. Енді 37б екі жағында x бойынша a мен b аралығын интегралдасақ
abKφ1-Kφ22dx=λ2ababK2x,sdsdxabφ1( s)-φ2(s)ds
немесе
ρL22(Kφ1-Kφ2)= λ2B2ρL22(φ1,φ2)
ρL2(Kφ1-Kφ2)=λBρL2(φ1,φ2) (1.13)
(1.13) теңсіздігінен оператор λB1 болғанда ғана қысу операторы болады.
Қысып бейнелеу принципінен (1.8) теңдеуінің жалғыз ғана шешімі болуы үшін λ1B теңсіздігі орындалуы керек. Расында B=M(b-a)
болғандықтан λ1B облысының λ1M(b-a) облысынан кең екені шығады. Бірақ λ1M(b-a) облысында жуықтайтын тізбек интегралдық теңдеудің шешіміне бірқалыпты жинақты да, ал 1M(b-a)λ1B облысында бұл тізбек орташа жинақталатынын айтуға болады.
4. Kx,s∈L2(D) болсын. Сонда келесі тұжырым орынды.
4-лемма. Егер Kφ=abKx,sφxds интегралындағы
φx∈L2a,b болса, онда ол интеграл (a,b) интервалының барлық нүктелерінде дерлік бар және Kφ=L2a,b болады.
Дәлелдеуі. Kx,sφs=0,5K2x,s+0,5φ2s
теңсіздігі әрқашан орынды. (1.13) теңсіздігінің оң жағының бірінші қосылғышы s айнымалысы бойынша барлық x∈a,bүшін дерлік, ал екінші қосылғыш a,b кесіндісінде s бойынша интегралданады. Міне бұдан Kx,sφs функциясы барлық x∈a,b үшін дерлік s бойынша интегралданады, яғни abKx,sφsds интегралы барлық жағдайда дерлік анықталады. Коши-Буняковский теңсіздігі бойынша
Kφ2=abKx,s2 dsabφsds2=φ2abKx,s2 ds
қатысы орынды, ал бұдан
abKφ2dx=φ2ababKx,s2dsdxinfinity,
яғни Kφx∈L2a,b екені шығады. Демек лемма дәлелденді, яғни
KφL2a,b=BφL2a,b(1.14)
5-лемма. Фредгольмдік операторлардың көбейтіндісі де фредгольмдік оператор болады.
Дәлелдеуі. Kx,s, Nx,s∈L2D , болсын. Бұлардан
NKφ=abNx,s(abKs,tφtdt)ds.
әрине, бұл өрнектің оң жағындағы φt∈L2a,bболса, онда теңдіктегі қайталанған интегралдар анықталады. Олай болса, Фубини теоремасы бойынша NKφ=abφtdtabNx,sKs,tds=ababNx,tKt,s dt φsds.
Егер Мx,s∈L2D екенін көрсетейік. Коши-Буняковский теңсіздігі бойынша
Мx,s2=abNx,t2dtabKt,s2dt
теңдігі орынды. Бұл теңсіздіктің екі жағын D төртбұрышы бойынша интегралдап,
ababМx,s2dxds=ababNx,t2dtdxababKx, sdtds=B∙B2(1.15)
демек Мx,s∈L2D. Олай болса, NK операторы фредгольмдік оператор болады.
3-ескерту. Жалпы жағдайда фредгольмдік операторларды көбейту амалында орын ауыстыру заңы әрқашан орынды бола бермейді. Мәселен,Kx,s=1, Nx,s=x-s, a=0, b=1 болсын. Сонда
NKφ=01x-12 φsds, KNφ=0112-sφsds
4-ескерту. Егер Kx,s, Nx,s∈L2D болса, онда (2.14) өрнегіндегі Мx,s∈L2D болады. Расында, егер
Bn2=ababKx,s2dtdx
деп белгілісек (мұндағы Knx,s- n- қайталанған ядро), онда
Knx,s=abKn-1Kt,sdt
Жоғарыдағы (1.14) теңсіздігін Nx,s=Kn-1x,s үшін пайдалансақ , Bn2=B2Bn-12ал бұдан Bn2=B4Bn-12=...=B2nнемесе Bn=Bn.
Сондықтан (1.13) теңсіздігін ескеріп,
KnφL2=BnφL2=BnφL2 (1.15)
шартын аламыз.
Егер Kx,s∈L2(D) шарты орындалса, онда 4-ескерту бойынша ол ядроның қайталанған ядросы да сол шартты қанағаттандырады. Егер
An=supxabKx,s2ds
деп белгілесек, онда
abKx,s2ds=ababKn-1x,tKt,sdt2ds= Bn-12.
АлabKx,s2ds=An-1 болғандықтан соңғы теңсіздіктен
An=B2An-1=...AB2n-2және abKnx,s2ds=AB2n-2 (1.16)
теңсіздігі шығады.
4-теорема. Егер
φx=λabKx,sφxds+fx
Фредгольм теңдеуіндегі Kx,s∈L2(D) және λ1B болса, онда ол теңдеу үшін түзілген Нейман қатары теңдеудің шешіміне φx∈L2a,bорташа жинақты.
Дәлелдеуі. m=n+1n+p λmKmfқатар үшін үшбұрыштар теңсіздігі мен жоғарыдағы (1.15) өрнегін пайдаланып, мынаны аламыз:
m=n+1n+p λmKmf=m=n+1n+pλmKmf=fm=n+1n+pλBm =
=φm=n+1n+p(λB)m=φ(λB)n+11-λB.
Егер n саны жеткілікті дәрежеде үлкен болса, онда теңсіздіктің оң жағы өте аз шама болады. Демек қалдық мүшесі m=n+1n+p λmKmf болған қатар жинақты, олай болса, жоғарыдағы Фредгольм теңдеуі үшін алынған Нейман қатары интегралданатын φx функциясына жинақты. Сонымен φn-φ--0, n--infinity. Енді шектік функция φx Фредгольм теңдеуін қанағаттандыратынын көрсетейік. Ол үшін Kφn-1--Kφ, n--infinity екенін, яғни орташа жинақты екенін көрсетсек жеткілікті. Бұл онай дәлелденеді себебі n--infinity жағдайда Kφn-1-Kφ=Kφn-1-φ=Bφn-1-φ--0.
5-теорема. Егер Kx,s∈L2(D) шартына қосымша Kx,s=М шарты да орындалса, онда Нейман қатары a,b кесіндіде бірқалыпты жинақты болады.
Дәлелдеуі. Нейман қатарының жалпы мүшесін бағалайық:
λmKmφ=λmabKmx,sfsds=λmfabKmx,s2ds1 2
Егер (1.16) теңсіздігін пайдалансақ,
λmKmφ=ABf(λB)m
теңсіздігі шығады, оның оң жағында еселігі λB1 болатын геометриялық прогрессияның жалпы мүшесі. Вейерштрасс теоремасы бойынша жалпы мүшесі осындай қасиетке ие қатар бірқалыпты жинақты. Теорема дәлелденді.
5. Енді көпөлшемді интегралдық теңдеулерге жоғарыдағы келтірілген теорияларды қолданайық. Көпөлшемді Фредгольм теңдеуіне де қысып бейнелеу әдісі орынды.
φx=λD Kx,ξφξdξ+- fx (1.17)
теңдеуінде D шенелген немесе Rn-дегі шенелмеген облыс, x=(x1,x2,...,xn), ξ=(ξ1,ξ2,...,ξn), ал оның ядросы Kx,sDxD облысында үзіліссіз немесе Kx,ξ∈L2(DxD), яғни
DDKx,ξ2dξdx=B2=constinfinity
болсын. ... жалғасы

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.