Интегралдық теңдеулерді кластарға бөлу

Жұмыс түрі: Іс-тәжірибеден есеп беру
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 28 бет
Таңдаулыға:

ЖОСПАР

Кіріспе . . .

1. 1 Интегралдық теңдеулерді кластарға бөлу . . .

1. 2 Қысып бейнелеу әдісі және оны қолдану

1. 3 Қысып бейнелеу әдісін Фредгольмнің интегралдық

теңдеуіне қолдану . . .

1. 4 Қысып бейнелеу әдісін Вольтерра теңдеуіне және сызықтық емес интегралдық теңдеулерге қолдану

1. 5 Фредгольмнің анықтауыштар әдісі.

2. 1Сызықтық сплайндар . . .

2. 2 Параболалық сплайндар . . .

2. 3 Кубтық сплайндар . . .

3. 1 Сызықты емес интегралдық теңдеуді сплайн - функция көмегімен шешу . . .

Қорытынды . . .

Пайдаланылған әдебиеттер тізімі . . .

КІРІСПЕ

Қазіргі кезде ғылыми - техникалық прогресс математикалық әдістердің ғылым мен техниканың барлық салаларына қарқындап енуімен сипатталады. Бұл прогресстің басталуы мен жүруі табиғатта болып жатқан құбылыстардың математикалық модельдерін жасаумен тығыз байланысты және ғылыми - техникалық прогресс үшін маңызы зор. Жалпы жағдайда жүріп жатқан процестер мен құбылыстарды, олардың табиғатының өте күрделілігіне байланысты, математиканың аппаратын пайдаланып, математика тіліне аудару оңай мәселе емес. Ғылым мен техниканың әр түрлі салаларында математикалық әдістерді нәтижелі қолдана білу үшін нақты практикалық есептерге осы әдістерді қолданудың негізгі принциптері жөнінде жеткілікті дәрежеде түсінік болуы қажет.

Ғылым мен техникада көптеген есептер, функциялар, алгебралық, дифференциалдық немесе интегралдық теңдеулер арқылы математика тiлiнде сипатталып жазылады. Мұндай есептер түрлiше жолдармен шешiледi. Аналитикалық әдiстер сондай жолдардың бiрi болып табылады. Бiрақ көп жағдайда ол әдiстердi пайдалану мүмкiншiлiгi бола бермейдi. Кейiнгi 40-50 жыл iшiнде жылдам есептейтiн электрондық есептеуiш машиналар (ЭЕМ) кеңiнен қолданып келедi. Олардың кейбiреулерi секундына жүздеген миллионға дейiн арифметикалық амалдар орындайды. Сонымен бiрге машиналарда есептеулердi жеңiлдететiн басқада қосымша мүмкiншiлiктер бар. ЭЕМ-нiң пайда болуы есептеу математикасының қарқынды дамуына зор әсерiн тигiзгенiн айта кеткен жөн. Есептi ЭЕМ-нiңкөмегiменшешу 5 этаптантұрады:

Мәселенiң қойылуы мен математикалықмоделi.
Алгоритмiнқұру (алгоритмизация) .
.
Программаның ЭЕМ-деорындалуы.
.

Есептеу кезiнде аналитикалық әдiстердi пайдалану қиындық келтiргенде немесе тiптi пайдалану мүмкiн болмаған жағдайда есептеу математикасының сандық әдiстерi қолданылады. Ол әдiстер бастапқы берiлген есептi мағынасы бойынша соған жуық басқа есеппен алмастыру мүмкiндiгiне негiзделген. Ал соңғы есеп кейбiр шарттарды қанағаттандыруы тиiс. Мәселен, шешiмнiң бар болуы, орнықты, жинақты болуы және т. с. с. Бұл есептiң шешiмi алғашқы есептiң жуық шешiмiн беруi тиiс немесе оған белгiлi бiр дәлдiкпен жинақталуы қажет.

Дәл және жуық шешiмдердiң айырымы жуықтау немесе әдiс (тәсiл) қателiгi деп аталады. Есепте негiзгi деректер, яғни ондағы коэффициенттер, бос мүшелер немесе қосымша шарттар жуық шамалармен берiлуi мүмкiн, соның нәтижесiнде пайда болған қателiктердi жөнделмейтiн (түзелмейтiн) қателiктер деп атайды. ЭЕМ-де цифрлар саны шексiз көп сандарға арифметикалық амалдар колданылмайды. Сондықтан ондай сандар ең алдымен цифрларының саны шектеулi жуық сандармен алмастырылады. Ол, әдетте, орта мектептен белгiлi дөңгелектеу әдiсi арқылы жүзеге асырылады. Өйткенi, нәтижеде цифрларының саны шексiз көп сандар пайда болуы мүмкiн. Осандай дөңгелектеулердiң сандарынан пайда болған қателiктердi есептеу қателiктерi деп атайды. Олар есептiң жуық шешiмiнiң дәлдiгiне тiкелей әсерiн тигiзетiнi анық. Есептi шешу кезiндегi жалпы қателiк негiзгiлерiн есептегенде жоғарыда айтылған үш түрден тұрады: түзелмейтiн қателiк, әдiстiң (тәсiлдiң) қателiгi, есептеу қателiгi.

Есептеу практикасында кездесетін есептер арасында интегралдық теңдеулер есептерінің маңызы зор. Мұндай есептер көптеген нақтылы құбылыстарды математикалық модельдеу және күрделі математикалық есептерді шешуде пайда болады.

Интегралдық теңдеулердің шешімі барлық кезде элементар немесе арнаулы функциялар арқылы өрнектеле бермейтіні белгілі. Көп жағдайда интегралдық теңдеулер белгісіз функция бойынша сызықты емес күрделі түрдегі тәуелділікте болады. Ол тәуелділік кей жағдайда эксперименттік есептеулердің белгілі бір кестесі арқылы берілуі мүмкін. Бұл жағдайларда есепті шешудің үйреншікті әдістері не іске аспауы, не мерзімнен тысқары уақыт алатын есептеулерге әкеп тіреуі мүмкін. Сондықтан ол есептердің сандық сипаттамаларын жеткілікті дәлдікпен анықтайтын әдістерді табудың маңызы зор. Осындай әдістердің ішіндегі тиімдірегі - сандық әдістері [1], [2], [3] .

Электрондық есептеу техникасының таңғажайып өркендеуі сандық әдістерді әр саладағы есептерге кеңінен қолдануға мүмкіндік беріп отыр. Интегралдық теңдеуді жуықтап шешу үшін, оны қолайлы айырымдық сүлбемен ауыстырады. Әлбетте, ауыстыру әдепкі есептің негізгі қасиеттерін өзгертпеуі тиіс. Демек, ауыстырудың түрі мен оған сай таңдап алынатын жуықтап шешу әдісі берілген есептің тегіне тікелей байланысты. Сонымен қатар әдістердің тиімділігі оларды қолдану барысында әр қадамда есептеуге қатысатын нүктелер санынан, жасалатын амалдар саны мен олардың күрделілігінен де тәуелді.

Интегралдық теңдеуді есептеу әдісімен жуықтап шешкенде, оның шешімі өзінің анықталу аралығында жататын нүктелердегі мәндері арқылы анықталады. Яғни жуықталған шешім аналитикалық (функциялық формула түрінде) емес сандар кестесі түрінде табылады. Әдетте жуықтап есептеу әдісін қолданып шығаратын есептің шешімі бар және жалғыз деп саналады.

Теорияның дамуында және әр түрлi қолданбалы есептердiң жуық шешiмiнiң әдiстерiнiң өңдеуiндегi жетiстiктерi, өз шешімін талап ететiн мәселелердiң шеңберi бұрынғыша кең. Қазіргі уақытта коллокация, Ритца, Галеркин, айырымдық әдістері ең тиімді қолданылатын әдістер [4] .

1. 1 Интегралдық теңдеулерді кластарға бөлу

Белгісіз функциялар интегралдың астында кездесетін теңдеулер интегралдық теңдеулер деп аталады. Егер белгісіз функция интегралдық теңдеуге сызықты түрде қатынасса, онда теңдеу сызықтық деп аталады.

$\varphi(x) = \lambda\int_{a}^{b}K(x, s) \varphi(x) ds + f(x), \ \ \ a \leq x \leq b$ (1. 1)

Түріндегі теңдеу Фредгольмнің 2-текті сызықтық интегралдық теңдеуі деп аталады. Мұндағы $\varphi(x)$ -нақты айнымалы х аргументіне тәуелді белгісіз функция, $f(x)$ функциясы $\lbrack a, s\rbrack$ кесіндісінде, $K(x, s)$ функциясы

D= $\left\{ a \leq x, s \leq b \right\}$ жинында анықталған белгілі функциялар: $f(x)$ пен $K(x, s)$ сәйкес интегралдық теңдеудің бос мүшесі мен ядросы деп аталады, ал $\lambda$ -параметр. Интегралдық жоғарғы және төменгі шектері (а мен в) жалпы жағдайда тұрақты шамалар; олар шектелген де шектелмеген де болуы мүмкін. Егер $f(x) = 0$ , онда жоғарыдағы (1) интегралдық теңдеу біртекті, ал $f(x) \neq 0$ болған жағдайда -біртекті емес деп аталады.

Фредгольмнің І- текті интегралдық теңдеуінде белгісіз функция интегралдық мүшеде ғана қатынасады, дәлірек айтқанда, ол теңдеу

$\int_{a}^{b}K(x, s) \varphi(s) ds = f(x)$

түрінде жазылады.

Фредгольмнің ІІ- текті интегралдық теңдеуі деп

$\varphi(x) = \lambda\int_{a}^{x}K(x, s) \varphi(s) ds + f(x)$ (1. 2)

түріндегі, ал І- текті интегралдық теңдеуі деп

$\int_{a}^{x}K(x, s) \varphi(s) ds = f(x)$

түріндегі теңдеуді айтады.

Егер $\varphi(x)$ функциясын интегралдық теңдеуге қойғанда теңдеу тепе-теңдікке айналса, онда $\varphi(x)$ функциясы интегралдық теңдеудің шешімі деп аталады. Интегралдық теңдеудің шешімі бар және оның жалғыз болуы $\lambda$ параметріне байланысты екенін келешекте көрсетеміз. Мәселен, Фредгольмнің біртекті интегралдық

$\varphi(x) = \lambda\int_{a}^{b}K(x, s) \varphi(s) ds$

теңдеуінің $\lambda$ параметрінің кез келген мәндерінде $\varphi(x) = 0$ шешімі бар болады, ал нольден ерекше шешімдер әрқашан бар бола бермейді.

Фредгольмнің біртекті интегралдық теңдеуінің нольге тең емес шешімдері бар болатын $\lambda$ параметрінің мәндері меншікті мәндер деп, ал оларға сәйкес нольден ерекше шешімдер меншікті функциялар деп аталады.

1-мысал. $K(x, s) = e^{- xs}$ ядросындағы айнымалылар $1 \leq x, \ s < \infty$ ,

болғанда $e^{- xs}$ фредгольмдік ядро болады, ал $0 \leq x, s < \infty$ , болса, онда ол фредгольмдік ядро болмайды.

Расында $\int_{1}^{\infty}{\int_{1}^{\infty}{\left e^{- xs} \right^{2}{dx}{dy}} =}\frac{1}{2}\int_{1}^{\infty}{e^{- xs}dx < \infty}$ ,

$\int_{0}^{\infty}{\int_{0}^{\infty}{{e^{- 2xs}ds}{dy}} =}\frac{1}{2}\int_{0}^{\infty}{\frac{dx}{x} = \infty}$ ,

2-мысал. Егер интегралдық теңдеудің ядросы

$K(x, s) = \frac{А(x, s) }{x - s^{\alpha}}\alpha \leq x, \ s \leq b, (1. 3)$

мұндағы А $(x, s)$ -үзіліссіз функция және $0 \leq \alpha \leq \frac{1}{2}$ болса, онда ядро Фредгольмдік болады, ал $\alpha \geq \frac{1}{2}$ болса, ол ядро Фредгольмдік болмайды.

Егер $(2. 3)$ ядросында $0 \leq \alpha \leq 1$ болса, онда ол ядро ерекшелігі әлсіз немесе полярлық ерекшелікті ядро деп, ал теңдеу ерекшелігі әлсіз интегралдық теңдеу деп аталады. Егер $\alpha = 1$ болса, онда $K(x, s) = A(x, s) (x - s) ^{- 1}$ интегралданбайтын функция болатын. Бұл функциядан алынған интеграл тек Кошидің бас мәні мағынасында ғана бар болуы мүмкін. Ядросы $K(x, s) = = (x, s) (x - s) ^{- 1}$ түріндегі интегралдық теңдеуді сингулярлық интегралдық теңдеу, ал басқаларын регулярлық интегралдық теңдеулер деп аталады. Бір аргументті сингулярлық интегралдық теңдеудің жалпы түрі :

a $(x) \varphi(x) - \frac{b(x) }{2\pi}\int_{}^{}\frac{\varphi(x) }{s - x}ds + \int_{}^{}{K(x, s) }ds = f(x)$

мұнда Г-комплекс жазықтықтағы тұйық немесе тұйық емес қарапайым доғалар жиыны; $x, s \in Г, \ a(x), b(x)$ және $f(x)$ функциялары Г доғасында анықталған, ал $K(x, s) \in L_{2}(Г \times Г)$ .

Біз тек сызықтық регулярлық интегралдық теңдеулерді ғана қарастырамыз. Интегралдық теңдеулерді бір аргументті функция үшін ғана емес, көп аргументті функциялар үшін де қарастыруға болады. Мәселен, Фредгольмнің 2-текті интегралдық $\ \varphi(x) \text{=λ}\int_{}^{}{K(x, s) }\varphi(x) ds + \ f(x)$ теңдеуінде ядро $K(x, s) \in L_{2}(\mathrm{\Omega} \times \mathrm{\Omega})$ бос мүше $f(x) \in L_{2}(\mathrm{\Omega}), \$ ал $x = {(x}_{1}x_{2}, \ldots, x_{n}) \in R^{n}, \ \ \ \ s = \ (s_{1}s_{2}, \ldots, s_{n}) \in \mathrm{\Omega} \in R^{n}.$ Фредгольмнің 2-текті сызықтық интегралдық теңдеулер системасы .

$\varphi_{l}(x) - \text{λ}\sum_{j = 1}^{n}{\int_{a}^{b}K_{lj}}(x, s) \varphi_{j}(s) ds = f_{l}(x), \ l = 1, 2, \ldots, n$

түрінде өрнектеледі. Егер $\varphi(x) = \left( \varphi_{1}, \varphi_{2}, \ldots, \varphi_{n} \right), \ f(x) = \left( f_{1}, f_{2}, \ldots, f_{n} \right)$ -векторлар, ал ядро $K(x, s)$ элементтері $K_{lj}(x, s)$ болатын матрица деп қарасақ, онда системаны (1. 1) теңдеуі түрінде жазуға болады.

Дәл осылай екі аргументті функция үшін Вольтерра теңдеуі

$\varphi(x, y) = \text{λ}\int_{a}^{x}{\int_{a}^{y}{K(x, y; s, t) \varphi(s, t) dsdt} + f(x, y) }$

түрінде, ал системасын

$\varphi_{l}(x) = \text{λ}\sum_{j = 1}^{n}{\int_{a}^{x}K_{lj}}(x, s) \varphi_{j}(s) ds + f_{l}(x), \ l = 1, 2, \ldots, n$

түрінде өрнектеуге болады.

1. 2. Қысып бейнелеу әдісі және оны қолдану

Алгебралық, диференциялдық, интегралдық және функционалдық теңдеулердің шешімдері бар және олар жалғыз болуын дәлелдеуге біртіндеп жуықтау әдісі, яғни қысып бейнелеу әдісі қолданылады. Қысып бейнелеу әдісінің мазмұнын мына тұжырымнан байқауға болады.

І-теорема (Банахтікі) . Толық метрикалық Х кеңістігінің кез келген элементін сол кеңістіктің өзіне бейнелейтін А операторы берілсін: яғни $X\overset{А}{\rightarrow}X$ . Оның үстіне $\forall x, y \in X$ элементтері

$\rho(Ax, Ay) \leq \alpha\rho(x, y)$ (1. 4)

теңсіздігін қанағаттандырсын (мұндағы $\alpha$ саны $x\ пен\ y$ элементтеріне тәуелсіз және 0 $< \alpha < 1)$ . Сонда Х кеңістігінде жалғыз ғана элементі табылып, ол

$Аx_{0} = x_{0}$ (1. 5)

теңдеуін қанағаттандырады. (1. 4) теңсіздігін қанағаттандыратын А операторын қысу операторы деп, ал (1. 5) теңдеуін қанағаттандыратын $x_{0} \in X$ нүктесін А операторының қозғалмайтын нүктесі деп атайды.

Дәлелдеуі. $\forall\widetilde{x} \leftarrow X$ элементін алып, мынадай тізбек құрайық: $x_{1} = A\widetilde{x}, \ \ x_{2} = Ax_{1}, \ldots, x_{n} = Ax_{n - 1}, \ldots.$ Осы $\left\{ x_{n} \right\}$ тізбегінің фундаментальдық өзіне жинақты екенін көрсетейік. Алдымен $\rho\left( x_{1}, x_{2} \right) = \rho\left( A\widetilde{x}, Ax_{1} \right) \leq \alpha\rho\left( \widetilde{x, }x_{1} \right) = \ \ \ = \alpha\rho\left( \widetilde{x, }A\widetilde{x} \right), \ \ \rho\left( x_{2}, x_{3} \right) = \rho\left( Ax_{1}, Ax_{2} \right) \leq \ \alpha\rho\left( \widetilde{x, }A\widetilde{x} \right), \ldots, \ \rho\left( x_{n}, x_{n + 1} \right) \leq {\leq \alpha}^{n}\rho\left( \widetilde{x, }A\widetilde{x} \right)$ екенін байқаймыз. Егер үшбұрыштар теңсіздігін пайдалансақ,

$\rho\left( x_{n}, x_{n + p} \right) \leq \rho\left( x_{n}, x_{n + 1} \right) + \rho\left( x_{n + 1}, x_{n + 2} \right) + \ldots + \rho\left( x_{n + p - 1}, x_{n + p} \right) \leq {\leq \alpha}^{n}\left( 1 + \alpha + \ldots + \alpha^{p} \right) \ \rho\left( \widetilde{x, }A\widetilde{x} \right) = \frac{\alpha^{n} - \alpha^{n + p}}{1 - \alpha}\ \rho\left( \widetilde{x, }A\widetilde{x} \right)$ .

Осыдан $\ 0 < \alpha < 1\$ болғандықтан

$\rho\left( x_{n}, x_{n + p} \right) = \frac{\alpha^{n}}{1 - \alpha}\ \rho\left( \widetilde{x, }A\widetilde{x} \right)$ (1. 6)

Соңғы теңсіздіктен $\forall\ p$ үшін $n \rightarrow \infty$ , $\rho\left( x_{n}, x_{n + p} \right) \rightarrow 0. \$ Демек, $\left\{ x_{n} \right\}$ тізбегі фундаментальдық тізбек. Х кеңістігінің толықтығынан $\left\{ x_{n} \right\}$ тізбегінің шегі $x_{0} \in X$ болады:

$x_{0} = \lim_{n \rightarrow \infty}x_{n}$

Енді $Аx_{0} = x_{0}$ екенін көрсетейік. Расында $\rho$ ( $x_{0}, Аx_{0}) \leq \rho$ ( $x_{0}, x_{n}) + \rho$ ( $x_{n}, Аx_{0}) = \rho$ ( $x_{0}, x_{n}) + \rho$ ( $Ax_{n - 1}, Аx_{0}) \leq \rho$ ( $x_{0}, x_{n}) + \alpha\rho$ ( $x_{n - 1}, Аx_{0}),$

элементі $x_{0} = \lim_{n \rightarrow \infty}x_{n}$ болғандықтан, $\forall\varepsilon > 0$ санына сәйкес N( $\varepsilon$ ) номері табылып, $\rho$ ( $x_{0}, x_{n}) < \frac{\varepsilon}{2}$ , $\ \rho$ ( $x_{0}, x_{n - 1}) < \frac{\varepsilon}{2}$ , $\forall n > N(\varepsilon)$ болады. Демек , $\ \rho$ ( $x_{0}, Аx_{0}) < \varepsilon. \$ Мұндағы $\varepsilon$ кез келген сан болғандықтан $\rho$ ( $x_{0}, Аx_{0}) = \ = 0,$ яғни $x_{0} = Аx_{0}$ теңдігі орынды.

1. 3. Қысып бейнелеу әдісін Фредгольмнің интегралдық теңдеуіне қолдану .

1. Интегралдық теңдеудің ядросы $K(x, s)$ үзіліссіз функция болсын. Фредгольдің біртекті емес

$\varphi(x) = \lambda\int_{a}^{b}K(x, s) \varphi(s) ds + f(x)$ (1. 7)

теңдеуінің шешімі бар және шешімнің жалғыз екенін дәлелдеуге қысып бейнелеу әдісін қолданайық. $K(x, s)$ ядросы D $= \left\{ a \leq x, s \leq b \right\}$ , облысында үзіліссіз болғандықтан шенелген, яғни $\left K(x, s) \right \leq М$ . Ал бос мүше $f(x) \in С\lbrack a, b\rbrack -$ (1. 7) интегралдық теңдеу шешімін $С\lbrack a, b\rbrack$ класынан іздемейміз. Операторды