Температураның өзгерісіне байланысты деформация

Жұмыс түрі: Курстық жұмыс
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 31 бет
Таңдаулыға:

Болат металының механикалық қасиеттерін зерттеу

Мазмұны

Кіріспе

I. Серпімділік теориясының негізгі теңдеулері.
0.1. Деформация тензоры
0.2. Кернеу тензоры
0.3. Деформацияланудың термодинамикасы.
0.4. Гук заңы.
0.5. Біртекті деформациялар.
0.6. Температураның өзгерісіне байланысты деформация.
0.7. Изотропты денелердің тепе-теңдігінің теңдеулері.
0.8. Иілген пластинаның (табақшаның) энергиясы.
0.9. Пластинаның тепе-теңдігінің теңдеуі.

II. Металдардың серпімділік қасиетін анықтайтын шамалардың
арасындағы қатынастар.
2.1. Серпімділікті сипаттайтын негізгі шамалар.
2.2. Металдардың серпімділігі
2.3. Металл қорытпалардың серпімділік модулі.
2.4. Серпімділіктің ферромагнитті аномалиясы.

Қорытынды.
Әдебиеттер

Кіріспе

Зерттеу жұмысымыздың мақсаты - тұтас орта ретінде қарастырылатын қатты денелер механикасының серпімділік теориясын зерттеп, ол теорияның болат металының механикалық қасиеттерін анықтайтын тәжірибелерде жүзеге асырылуын қарастырып, нәтижесін есептеу. Мұнда, негізі болат металының механикалық қасиеттерін сипаттайтын деформациялар үшін Гук заңының орындалатындығын дәлелдеу.
Ғылыми - зерттеу жұмысымыздың өзектілігі - Егеменді еліміз, сүйікті Отанымыз Қазақстанда ірі құрылыстар мен өзгерістер жұмыс істеуде. Соған орай, композициялық- конструктуралық материалдарды - дербес жағдайда, болаттан жасалынатын бөлшектер мен қондырғыларды дайындауда, олардың механикалық қасиеттерін есептеудің үлкен практикалық маңызы бар.
Әсіресе, жасанды Жер серіктерін жасауда, жаңа ұшақтардың түрлерін шығаруда металдардан жасалынатын бөлшектердің (қозғалтқыштардың) температураға, қысымға тәуелділіктерін білудің, физика ғылымын жетілдіруде аса зор болашағы бар.
Болат металының механикалық қасиеттерін зерттеудің жаңалығы - болаттың сығу диаграммасы бойынша беріктік шарты және аққыштық шектері анықталды. Сонымен бірге бұрылу кезіндегі болаттың механикалық сипаттамасы алынды. Физикалық құралдарда, атап айтқанда, электротензометрлер көмегімен, металдардың кернеулері анықталып, нәтижесі теориялық есептеулермен салыстырылған.

I. Серпімділік теориясының негізгі теңдеулері.

9.1. Деформация тензоры.

Тұтас орта ретінде қарастырылатын қатты денелер механикасының мазмұны серпімділік теориясын құрайды. Қатты денелер түсірілген күштердің әсерінен, қандай да бір дәрежеде деформацияланады, яғни өзінің пішіні мен көлемін өзгертеді. Деформация деп дене бөлшектерінің бір-біріне қатысты ығысуын, сонымен бірге бөлшектердің орташа арақашықтықтарының өзгерісін айтады.
Дененің деформациясын математикалық сипаттау мына түрде орын алады.
Дененің әрбір нүктесінің орны қандайда бір координат жүйесінде оның r радиус - векторымен анықталады. (r векторының құраушылары x1=x; x2=y; x3=z). Дене деформацияланғанда оның барлық нүктесі бір-біріне қатысты ығысады. Дененің белгілі бір нүктесін алып қарастырайық: егер, деформацияланғанға дейінгі радиус - векторы r болса, онда деформацияланған денеде радиус - векторының мәні басқаша r' тең болады (құраушысы xi '). Деформация кезінде дененің нүктесінің ығысуы r' - r векторымен өрнектеледі; ол ығысуды U деп белгілейміз:
Ui=xi'-xi (1.1.1)
U - векторы, деформация векторы деп аталады (немесе ығысу векторы). Ығысқан нүктенің xi ' координаттары сол нүктенің ығысқанға дейінгі хі координаттарының функциясы болып табылады. Сондықтан, деформация векторы Ui де хі координаттарының функциясы.
U векторының хі координаттарының функциясы ретінде берілуі, дененің деформациясын толық анықтайды. Жоғарыда айтылғандай дененің деформациясы кезінде, оның нүктелерінің арақашықтығы өзгереді. Қандай да екі шексіз жақын нүктелерді қарастырайық. Егер олардың арасындағы деформациялануға дейінгі радиус - вектор dxi болса , онда деформацияланған денеде сол екі нүктелердің арасындағы радиус - вектор dxi'=dxi+dUi тең болады.
Деформациялануға дейін нүктелердің арақашықтығы dl=dx12+dx22+dx32, ал деформацияланғаннан кейінгі арақашықтық dl'=dx1'2+dx2'2+dx3'2 тең.
Ереже бойынша
dl2=dxi2 dl'2=dxi'2=dxi+dUi2
dUi=dUidxkdxk dl'2-ні мына түрде жазамыз
dl'2=dl2+2dUidxkdxidxk+dUidxkdUidxi dxkdxi (1.1.1а)
теңдіктің оң жағындағы екінші мүшеде i және k индекстері бойынша қосынды алынытындықтан, мынаны жазуға болады:
dUdxkdxidxk=dUkdxidxidxk
(1.1а)-теңдіктегі үшінші мүшеде i және k индекстерінің орынын алмастырсақ, біз түпкілікті dl'2 мәнін мына түрде аламыз:
dl'2=dl2+2Uikdxidxk (1.1.2)
мұндағы, Uik тензор мына түрде анықталады:
Uik=12dUidxk+dUkdxi+dUkdxidUidxk (1.1.3)
Бұл өрнектермен дененің деформациялануы кезінде ұзындықтың элементтерінің өзгерісі анықталады.
Uik тензоры - деформация тензоры деп аталады. Тензордың анықтамасынан, оның симметриялы екендігі көрінеді, яғни
Uik=Uki (1.1.4)
Бұлай болатын себебі, біз dl'2 өрнегінде 2dUidxkdxidxk мүшені ашық симметриялы түрде жаздық.
dUidxk+dUkdxidxidxk.
Кез келген симметриялы тензор сияқты, Uik тензорын берілген әрбір нүктеде бас оське келтіруге болады.
Мұның мәні, әрбір берілген нүктеде координат жүйесін - тензордың бас осьтерін - барлық Uik құраушыларының ішінен тек қана диагональдық құраушылары U11, U22, U33 нольге тең болмайтындай етіп таңдап алу керек. Бұл құраушыларды - деформация тензорының бас мәндерін - U(1), U(2), U(3) деп белгілейміз.
Мынаны еске ұстау керек: егер Uik тензоры дененің кейбір нүктесінде келтірілген болса, онда оны қоршаған көлем элементінде ұзындықтың элементі (1.2) мына түрді қабылдайды.
dl'2=δik+2Uikdxidxk=1+2U1dx12+1+2U( 2)dx22+
+1+2U'2dx32 (1.1.4а)
Бұл (1.4а) өрнегі үш тәуелсіз мүшелерге ыдырайтындығын көреміз. Мұның мәні, дененің әрбір көлем элементінде деформацияны, үш өзара перпендикуляр бағыт бойынша, яғни деформация тензорының осьтері бойынша үш тәуелсіз деформациялардың жиынтығы деп қарастыруға болады.
Осы деформациялардың әрқайсысын сәйкес бағыттар бойынша қарапайым созылу (немесе сығылу) деформациялары болып табылады:
dx1 ұзындығы бас осьтердің біреуінің бағыты бойынша
dx1'=1+2U(1)dx ұзындығына айналады және осыған ұқсас басқа қалған екі осьтер үшінде орындалады. Ендеше, 1+2U(l)-1 шамалары осы осьтер бойынша салыстырмалы ұзару болып табылады, яғни dxi'-dxidxi; Денелердің барлық деформациялану жағдайында деформация аз шама болып табылады.
Мұның мәні, денедегі кез-келген арақашықтықтың өзгерісі арақашықтықтың өзімен салыстырғанда аз шама екені көрінеді. Басқаша айтқанда, салыстырмалы ұзару бірлікпен салыстырғанда өте аз.
Егер дене аз деформациялануға ұшыраса, онда деформация тензорының барлық құраушылары (денедегі ұзындықтың салыстырмалы өзгерісі) аз болып табылады. Ал, деформация векторы Ui кейбір жағдайларда тіпті аз деформацияда да үлкен болуы мүмкін.
Мысалы, ұзын жіңішке стержень (білік). Біліктің екі ұшы кеңістіктікте едәуір орын ауыстырсада, күшті иілу кезінде, біліктің өзінің ішінде созылу және сығылу деформациялары мардымсыз (аз) болады.
Ерекше жағдайлардан басқа, аз деформация кезінде l деформация векторы да аз болуы мүмкін. Шынында да ешқандай үш өлшемді дене , күшті созылу және сығылу деформациясы пайда болмай, оның жеке бөліктері кеңістікте орын ауыстыратындай деформацияға ұшырауы мүмкін емес. Жеке жағдайларда, ендеше, аз деформация кезінде Ui аз болады, сондықтан, (1.3) өрнектегі соңғы мүшені, 2-ші дәрежелі аз шама ретінде ескермеуге болады. Сонымен, аз деформация жағдайында, деформация тензоры мынадай өрнекпен анықталады:
Uik=12dUidUk+dUkdUi (1.1.5)
Деформация тензорының бас осьтерінің бағыттары бойында ұзындық элементінің салыстырмалы ұзаруы, енді жоғары ретті шаманың дәлдігіне дейін мынаған тең
1+2U(i)-1≈U(i)
Яғни, тікелей Uik тензорының бас мәндеріне тең. Қандайда бір шексіз аз көлем элементін dV қарастырайық және оның dV шамасын дененің деформациялануынан кейін анықтайық. Ол үшін координат осьтері ретінде қарастырылатын нүктеде деформация тензорының бас осьтерін таңдап аламыз.
Онда, осы осьтер бойында деформацияланудан кейін ұзындықтың элементтері dx1,dx2,dx3 мынадай өрнекте өтеді dx1'=1+U(1)dx1 ; dx2'=1+U(2)dx2; т.с.с. dV көлем dx1dx2dx3 -тердің көбейтіндісіне тең, ал dV' көлемі dx1'dx2'dx3' көбейтіндіге тең.
Сонымен,
dV'=dV(1+U(1))(1+U(2))(1+U(3)) тең.
Бірақ, тензордың бас мәндерінің қосындысы U1(1)+U2(2)+U3(3) белгілі болғандай, оның инварианты болып табылады және кез-келген координат жүйесінде, диагональді құраушылардың қосындысына тең, яғни Uii=U11+U22+U33 -ке тең. Сонымен,
dV'=dV(1+Uii) (1.1.6)
Деформация тензорының диагональді құраушыларының қосындысы, көлемнің салыстырмалы өзгерісі dV'-dVdV болып табылады.
Кейбір жағдайда (әдетте) деформация тензорының құраушыларын декарт координаталарында емес, сфералық немесе цилиндрлік координат жүйесінде пайдаланған ыңғайлы.
Деформация тензорының құраушыларының өрнегін , ығысу векторының құраушыларының туындылары арқылы сфералық және цилиндрлік координаттарда жазайық.
Сфералық координаттарда r,θ,φ мына түрде жазамыз:
Urr=dUrdr, Uθθ=1rdUθdθ+Urr;
Uφφ=1rsinθdUφdφ+Uθrctgθ+Urr ,
2Uθ,φ=1rdUφdθ-Uφctgθ+1rsinθdUθdφ ,
2Urθ=dUθdr-Uθr+1rdUrdθ; 2Uφr=1rsinθdUrdφ+dUφdr-Uφr .
Цилиндрлік (r,φ,z) координаттарда:
Urr=dUrdr, Uφφ=1rdUφdφ+Urr, Uzz=dUzdz ,
2Uφz=1rdUzdφ+dUφdz, 2Uzz=dUrdz+dUzdr,
2Urφ=dUφdr-Uφr+1rdUrφ.

9.2. Кернеу тензоры.

Деформацияланбаған денеде молекулалардың орналасуы оның жылу тепе-теңдік күйіне сәйкес келеді. Бұл күйде оның барлық бөлігі бір - бірімен механикалық тепе - теңдікте болады. Мұның мағынасы, егер дененің ішінен қандайда бір көлемді бөліп алсақ, онда осы көлемге басқа бөлшектер тарапынан әсер ететін барлық күштердің қорытқы күші нольге тең болады.
Деформациялануы кезінде молекулалардың орналасуы өзгереді де, дене тепе - теңдік күйден шығарылады. Нәтижесінде денеде, оны тепе-теңдік күйге келтіруге тырысатын күштер пайда болатын ішкі күштерді ішкі кернеулер деп атайды. Егер дене деформацияланбаған болса, онда ішкі кернеу болмайды.
Ішкі кернеулер молекулалық күштердің нәтижесінде пайда болады, яғни, дененің молекулаларының бір - бірімен өзара әсерлесу күштерінің нәтижесінде пайда болады.
Серпімділік теориясы үшін ең маңыздысы, молекулалық күштердің әсер радиусының аздығында (мардымсыз аздығында). Олардың әсері, оларды тудыратын бөлшектердің төңірегінде ғана, молекулааралық дәрежедегі арақашықтыққа ғана созылады. Бірақ серпімділік теориясында, микроскопиялық теория ретінде, молекулааралық дәрежедегі арақашықтықпен салыстырғанда едәуір үлкен арақашықтық қарастырылады. Сондықтан молекулалық күштердің әсер радиусы серпімділік теориясында нольге деп есептелінуі тиіс.
Ішкі кернеуді туғызатын күштер, серпімділік теориясында жақыннан әсер ететін күштер болып табылады. Бұл күштер әрбір нүктеден тек өзіне жақын нүктеге ғана беріледі. Осыдан, дененің қандай да бір бөлігіне, оны қоршаған басқа бөліктері тарапынан әсер ететін күштер, тек қана тікелей осы бөліктің беттік ауданы (немесе беті) арқылы әсер етеді.
Денеден қандайда бір көлемді бөліп аламыз және оған әсер ететін қосынды күшті қарастырамыз. Бір жағынан, бұл қосынды күш қарастырылып отырған көлемнің әрбір элементіне әсер ететін барлық күштердің қосындысына тең, яғни мынадай көлемдік интеграл түрінде берілуі мүмкін:

FdV
мұндағы, F - дененің көлем бірлігіне әсер ететін күш, яғни көлем элементі dV - ға FdV күш әсер етеді.
Іздеп отырған толық күшті, тек қана берілген көлемге дененің қоршаған басқа бөліктері тарапынан әсер ететін күштердің қосындысы ретінде қарау керек. Бірақ жоғарыда айтылғандай, бұл күштер қарастырылып отырған көлемге оның беті (беттік қабаты) арқылы әсер етеді. Сондықтан, қорытқы күш көлемнің бетінің әрбір элементіне әсер ететін күштердің қосындысы түрінде қарастырылуы мүмкін. Яғни осы бет бойынша алынатын кейбір интеграл түрінде берілуі мүмкін.
Дененің кез-келген көлемі үшін барлық ішкі кернеулердің қорытқыларының әрбір құраушысы FidV осы көлемнің беті бойынша алынатын интегралға түрленуі мүмкін.
Векторлық талдаудан белгілі болғандай, еркінше алынған көлем бойынша скалярдан алынатын интеграл, беттік аудан (бет) бойынша алынатын интегралға түрленуі мүмкін, егер бұл скаляр кейбір вектордың дивергенциясы ретінде өрнектелетін болса. Берілген жағдайда, біз скалярдан емес, вектордан алынатын интегралды қарастырып отырмыз. Сондықтан Fi векторы кейбір екінші дәрежелі (рангалы) тензор болуы тиіс, яғни мынадай түрде жазылуы тиіс:
Fi=dσikdxk (1.2.1)
Онда, кейбір көлемге әсер ететін күш берілген көлемді қамтитын тұйық бет бойынша алынған интеграл түрінде жазылуы мүмкін:
FidV=dσikdxkdV=σikdfk, (1.2.2)
Мұндағы dfi - бет элементінің df векторының құраушылары. Бұл вектор әруақытта бетке сырттай жүргізілген нормаль бойынша бағытталған. σik- тензоры кернеу тензоры деп аталады.
(1.2.2)-ші формуладан көрінетіндей σikdfk-бет элементі df-ке әсер ететін күштердің і-ші құраушысы.
Дененің қандай да бір көлеміне дәрежелі, компоненттері мына Fixk-Fkxi түрде берілген антисимметриялы тензор ретінде жазуға болады, мұндағы хі - күштің түсірілген нүктесіне координаторы.
Сондықтан көлем элементі dV-ға әсер ететін күш моменті (Fixk-Fkxi )dV - ға тең, ал бүкіл көлемге әсер ететін күш моменті
Mik= (Fixk-Fkхi)dV
Кез-келген көлемге әсер ететін толық күш сияқты, бұл күштердің моменті де көлемнің беті бойынша алынған интеграл түрінде өрнектеледі. Fi үшін (1.2.1) формуладағы өрнекті қойып, мынаны табамыз:
Mik=dσildxlxk-dσkldxlxidV=
=dσilxk-σklxidxidV-σildxkdxi-σkldxi dxldV
Бұл өрнектің екінші мүшесінде, бір координаттардан екінші координат бойынша алынған туындылар бірге тең, егерде екі координаттар бірдей болса (немесе тепе-тең), егерде ол координаттар әртүрлі болса.( үш компанентіде тәуелсіз айнымалылар болып табылады).
Сонымен, dxkdxi=σki; σki-бірлік тензор, σik-ға көбейткенде ол σklσil=σik, σilσkl=0 береді.
Бірінші мүшедегі интеграл астында кейбір тензордың дивергенциясы тұр; бұл интегралды бет бойынша алынатын интегралға түрлендіруге болады. Нәтижесінде мынаны табамыз:
Mik=σilxk-σklxidfl+σki-σikdV
Mik тек қана бет бойынша алынатын интегралмен ғана өрнектелуі үшін, формуладағы екінші мүше нөлге тепе - тең болуы тиіс, яғни σik-σki=0 болуы керек, немесе
σik= σki (1.2.3)
(1.2.3)-ші формуладағы маңызды қорытындыға келдік, яғни кернеу тензоры - симметриялы тензор болып табылады.
Дененің кейбір көлемі әсер ететін күш моменті енді қарапайым түрде жазылады:
Mik=Fixk-FkxidV=σilxk-σklxidfl (1.2.4)
Тепе - теңдікте ішкі кернеу күштері әрбір көлем элементінде өзара компенсациялануы (өзара теңеруленуі) тиіс, яғни Fi=0 тең болуы керек.
Сонымен, деформацияланған дененің тепе-теңдік теңдеуі мына түрде жазылады:
dσikdxk=0 (1.2.5)
Деформацияланған денедегі кернеу тензорының орташа мәнін анықтайтын формуланы жазайық. Ол үшін, (1.2.5)-ші теңдеуді хк-ға көбейтеміз және дененің бүкіл көлемі бойынша интегралдаймыз:
dσildxlxkdV=dσilxkdxldV-σildxkdxidV =0 (1.2.5а)
(1.2.5а)-ның оң жағындағы бірінші интегралды дененің беті бойынша алынатын интегралға түрлендіреміз, екінші интегралды dxkdxl=σkl екенін байқаймыз. Онда, мынаны аламыз:
σilxkdfl-σikdV=0 (1.2.6)
Егер Р дененің бірлік беттік ауданына әсер ететін сызықты күш болса, онда беттің элементі dfkl *Pdf күші әсер етеді. Тепе-теңдікте ол күш - σikdfk күшпен теңеседі. Мұндағы σikfk- ішкі кернеу тензорынан сол бет элементіне әсер ететін күш. Сонымен, Pidf-σikdfk=0; мұндағы dfk=nkdf деп жазып (n - бірлік вектор бетке жүргізілген сыртқы нормаль бойынша бағытталған), мынаны табамыз:
σiknk=Pi (1.2.6а)
(1.2.6а)- өрнекті (1.2.6)- формуладағы 1-ші интегралға қойып, мынаны аламыз:
Pixkdf=σikdV=Vσik (1.2.7)
Мұндағы V-дененің көлемі; ал σik - бүкіл көлем бойынша кернеу тензорының орташа мәні.
(1.2.3)-шідегі σik=σki пайдаланып, (7)-ші формуланы симметриялы түрде жазуға болады:
σik=12VPixk+Pkxidf (1.2.8)
Сонымен, кернеу тензорының орташа мәні тікелей денеге әсер ететін сыртқы күштермен анықталуы мүмкін.
9.3. Деформацияның термодинамикасы
Қандайда бір деформацияланған денені қарастырайық. Алынған дененің деформациясы өзгерсін дейік. Нәтижесінде деформация векторы Ui аз шамаға δUi -ге өзгереді. Осыған орай, ішкі кернеудің күштерімен орындалатын жұмысты анықтайық.
Fi=dσikdxk күшті орын ауыстыру δUi-ге көбейте отырып және дененің бүкіл көлемі бойынша интегралдап, мынаны жазуға болады:
δRdV=dσikdxkδUidV (1.3.1)
мұндағы, δR деп дененің көлем бірлігіндегі ішкі кернеу күшінің істеген жұмысын белгіледік. (1.3.1) бөліктен интегралдап мынаны аламыз:
δRdV=σikδUidFk-σikdδUidxkdV
Шексіздікте деформацияланбаған, шектелмеген ортаны қарастыра отырып, бірінші интегралдағы беттік интегралдауды шексіздікке ұмтылдырамыз; нәтижесінде, ондағы σik=0 және интеграл жоғалады (нөлге тең болады). σik тензорының симметриялығын пайдалана отырып, екінші интегралды мына түрде жазамыз:
δRdV=-12σikdδUidxk+dδUkdxidV=
=-12σikδdUidxk+dUkdxidV=-σikδUikdV (1.3.1а)
Сөйтіп мынаны табамыз: δR=-σikδUik (1.3.2)
Бұл формула деформация тензорының өзгерісі бойынша δR жұмысты анықтайды. Екі дененің деформациясы жеткілікті аз болса, деформацияның тудыратын сыртқы күштердің әсерін доғарғаннан кейін, дене өзінің бастапқы деформацияланбаған күйіне оралады. Мұндай деформацияны серпімді деп атайды. Үлкен деформация кезінде сыртқы күштердің әсерін доғару, деформацияның толық жойылуына әкелмейді, - кейбір қалдық деформация деп аталатын деформация қалып қояды. Сондықтан, дененің қалдық деформациядан кейінгі күйі, күштің әсеріне (әсер ете бастаған күйден) ұшырамаған кездегі күйінен өзгеше. Мұндай деформацияны пластиналық (серпімсіз) деформация деп атайды. Ендігі кезекте, барлық термодинамикалық шамаларды, энтропия Ѕ, ішкі энергия E және т.б. дененің бірлік көлеміне келтіреміз (масса бірлігіне емес) және оларды сәйкесінше үлкен әріптермен белгілейміз. Ішкі энергияның шексіз аз өзгерісі dE, дененің бірлік көлемі алған жылу мөлшері мен ішкі кернеудің күштерімен жасаған жұмыстың айырмасына тең. Қайтымды процессте жылу мөлшері TdS-ке тең, мұндағы Т-темература. Сонымен, dE=NdS-dR; dR-ді (3.2) деп алып, мынаны аламыз:
dE=TdS+σikdUik (1.3.3)
Бұл формула - деформацияланатын денелер үшін негізгі термодинамикалық қатынас.
Бірқалыпты жан-жақты сығылу кезінде кернеудің тензоры мынаған тең:
σik=-pδik
Бұл жағдайда
σikdUik=-pδikdUik=-pdUii
Біз, Uii қосындының деформация кезінде көлемнің салыстырмалы өзгерісін көрсететінін білеміз. Егер бірлік көлемді қарастырсақ, онда Uii тек осы көлемнің өзгерісі болып табылады, ал dUii - осы өзгерістің dV элементі. Онда, термодинамикалық қатынас әдеттегі түрді қабылдайды:
dE=TdS-PdV
Ішкі Е энергияның орнына дененің бас энергиясын енгізе отырып, яғни F=E-TS, (1.3.3) қатынасты мына түрде жазамыз:
dF=-SdT+ σikdUik (1.3.4)
Соңында дененің термодинамикалық потенциалы мына түрде анықталады:
Ф=E-TS- σikUik=F- σikUik (1.3.5)
Бұл формула әдеттегі Ф=E-TS+PV' өрнекті жалпылау болып табылады.
(1.3.5)-ті (1.3.4)-ке қойып, мынаны табамыз:
dФ=-SdT-Uikdσik (1.3.6)
(1.3.3) және (1.3.4) формулалардағы тәуелсіз айнымалылар сәйкесінше Ѕ,Uік және Т,Uік болып табылады.
Кернеу тензорының құраушыларын, E немесе F шамаларды деформация тензорының құраушылары бойынша дифференциалдап алуға болады, сәйкес энергияның немесе температураның тұрақты мәндерінде:
σik=dEdUikS=dFdUikT (1.3.7)
Осыған ұқсас, Ф термодинамиканың потенциалын σік құраушылары бойынша дифференциалдап, Uік құраушыларын алуға болады:
Uik=-dФdσikT (1.3.8)

9.4. Гук заңы.

Жалпы термодинамикалық қатынастарды деформацияның әртүрлі жағдайларына қолдану мүмкіндігі болуы үшін, дененің бос энергиясы F үшін, оның деформация тензорының функциясы ретіндегі өрнегін алу керек (пайдалану керек). Бос энергияның F деформация тензорының функциясы болатын формуласын алу үшін деформациясының өте аз шама екендігін пайдалану керек және осыған сәйкес бос энергияны F Uik - ның дәрежелері бойынша қатарға жіктеу керек.
Мұнда біз изотропты денелерді қарастырамыз. Белгілі бір температурада болатын (температура бүкіл дене бойында тұрақты) деформацияланған денені қарастыра отырып, біз сыртқы күш жоқ кездегі, сол температурадағы дененің күйін деформацияланбаған деп есептейміз. Онда, Uik=0 тең болғанда, ішкі кернеу де болмауы тиіс, яғни σik=0 да нольге тең болуы керек.
σik=dFdUik болғандықтан, F бос энергияны қатарға Uik дәрежесі бойынша сызықты мүшелері болуы тиіс.
Бос энергия F скалярлық шама болғандықтан, жіктелген қатардың әрбір мүшесі скалярлық шама болуы тиіс. Бос энергияны F, Uik - ның дәрежелері бойынша қатарға жіктегенде, біз екінші ретті дәлдікке дейінгі мүшесін аламыз. Ол алынған өрнек мына түрде жазылады:
F=F0+λ2Uii2+μUik2 (1.4.1)
(1.4.1) формула- изотропты деформацияланған дененің бос энергиясы үшін өрнегі.
Бос энергия өрнегіндегі λ шамасы және μ Ламэ коэффициенттері деп аталады. Біз, деформация кезінде , көлемнің өзгерісі Uіі қосындысымен анықталатынын білеміз. Егер осы қосынды нольге тең болса, онда деформациялану кезінде берілген дененің көлемі өзгермей қалады және тек формасы (пішіні) ғана өзгереді. Мұндай көлемі өзгермейтін деформацияны жылжу деп атайды. Дефомацияның кері жағдайы, ол дененің көлемінің өзгеріп, пішінінің (формасының) өзгермеуі. Мұндай деформацияда, дененің көлемінің әрбір элементі өзіне-өзі ұқсас болып қалады.
Жоғарыда , көргеніміздей, мұндай деформацияда тензордың түрі Uik=const*σik деп жазылады. Мұндай деформация жан-жақты сығылу деп аталады.
Кез-келген деформацияны таза жылжу және жан-жақты деформациялардың қосындысы түрінде (алуға) көрсетуге болады. Бұл үшін мынадай тепе-теңдікті жазсақ жеткілікті:
Uik=Uik-13δikUll+13δikUll (1.4.2)
Теңдіктің оң жағындағы бірінші мүше, таза жылжу, себебі оның диагональді мүшелерінің қосындысы нольге тең болатындықтан. ( δii=3 екенін ескерейік). Екінші мүше жан-жақты сығылумен байланысты.
Деформацияланған изотропты дененің бос энергиясы үшін өрнегі ретінде, жылжу және жан-жақты сығылу деформациялары үшін жазылған жіктеулерді пайдаланып, (1.4.1) - формуланың орнына басқа өрнек жазу ыңғайлы. Ол үшін, екі тәуелсіз скаляр шамалар ретінде, (1.4.2) - ші формуладағы бірінші және екінші дәрежелі қосындылардың квадраттарын аламыз. Онда бос энергия F мына түрде жазылады:
F=μUik-13δikUll2+K2Ull2 (1.4.3)
мұндағы, К және μ сәйкесінше жан-жақты сығылу модулі және жылжу модульдері деп аталады. К модулі, Ламэ коэфффициенттерімен мынадай қатынас түрінде байланысқан:
K=λ+23μ (1.4.4)
Термодинамиканың тепе-теңдік күйде бос энергия шамасы, белгілі болғандай, минимум.
Егер денеге ешқандай сыртқы күш әсер етпесе, онда Uik=0 тең болған кезде, F энергия Uik - ның функциясы ретінде минумум болуы тиіс. Мұның мәні(мағынасы) (1.4.3) формуладағы квадратты форма, оң таңбалы болуы тиіс.
Егер Uik тензорды, Ull=0 болатындай етіп таңдап алсақ, онда (1.4.3) формулада тек бірінші мүше ғана қалады; ал егер Uik=const түріндегі тензорды таңдасақ, онда тек екінші мүше ғана қалады. Осыдан, (1.4.3) форманың оң таңбалы болуының қажетті және жеткілікті шарттары болып, К және μ коэффициенттерінің әрқайсысының оң таңбалы болулары тиістігі. Сөйтіп, біз сығылу және жылжу модульдерінің әруақытта оң таңбалы болулары керек деген нәтижеге келдік:
К0 , μ0 (1.4.5)
Енді, (1.3.7) формуладағы термодинамикалық қатынасты пайдаланамыз және оның көмегімен кернеу тензорын анықтаймыз. dFdUik туындыларын есептеу үшін, тұрақты температурада dF толық дифференциалды жазамыз:
dF=KUlldUll+2μUik-13UllδikdUik-13Ul lδik .
Теңдіктің оң жағындағы екінші мүшеде бірінші жақшаның δік-ға көбейтіндісі нольді береді, онда қалғаны мына түрде жазылады:
dF=KUlldUll+2μUik-13UllδikdUik
немесе, dUll -ді мына түрде δikdUik жазып,
dF=KUlldUll+2μUik-13UllδikdUik.
Осыдан, кернеу тензоры үшін:
δik=KUllδik+2μUik-13δikUll (1.4.6)
өрнегін аламыз. Бұл формуладағы изотропты дене үшін, деформация тензоры арқылы кернеу тензорын анықтайды. Бұл өрнектен, дербес жағдайда, егер деформациялар таза жылжу немесе таза жан-жақты сығылу болса, онда σik және Uik арсындағы байланыс сәйкесінше тек бір ғана жылжу модулімен немесе тек бір ғана жан-жақты сығылу модулімен анықталатыны көрінеді. Кері формулаларды, яғни Uik-ны σik арқылы өрнектейтін формулаларды алу қиын емес. (1.4.6) - шыдағы екінші мүше үшін, бұл қосынды нольге ұмтылады, онда σik=3KUii, немесе
Uii=13Kσii (1.4.7)
Осы өрнекті (1.4.6)-ға қойып және одан Uik -ны анықтап, мынаны табамыз:
Uik=19Kδikσll+12μσik-13δikσll (1.4.8)
бұл деформация тензорын, кернеу деформациясы бойынша анықтайды.
(1.4.7)-ші теңдігі, изотропты дененің кез-келген деформациясында , көлемнің салыстырмалы Uii өзгерісі, тек кернеу тензорының диагональді құраушыларымен қосындысы σii-ге байланысты (тәуелді) екендігін көрсетеді, оның үстіне Uii және σii арасындағы байланыс, тек жан-жақты сығылу модулімен анықталатындығын көрсетеді.
Дененің бірқалыпты, жан-жақты сығылуында кернеу тензоры σik=-рδik түрде жазылады. Сондықтан бұл кезде (1.4.7) -ден:
Uii=-PK (1.4.9)
Деформация аз (мардымсыз) болғандықтан, онда Uii және Р-аз шамалар, және біз көлемнің салыстырмалы өзгерісінің қысымға қатынасын, яғни UiiР бөлшекті дифференциал 1VdVdPT түрде жаза аламыз. Сонымен, 1K=-1VdVdPT.
1K - шамасы жан-жақты сығылу коэффициенті деп аталады (немесе тек сығылу коэффициенті). (1.4.8)-ден, деформация тензоры Uik-ның кернеу тензорының σik сызықты функциясы болып табылатынын көреміз. Басқаша айтқанда, деформация денеге түсірілген күштерге пропорционал. Аз деформациялар үшін орын алатын бұл заң Гук заңы деп аталады. (шын мәнінде, Гук заңы барлық серпімді деформациялар үшін орындалады).
Деформацияланған дененің бос энергиясы үшін өрнегінің пайдалы формасын келтірейік. Бұл өрнек деформация тензоры бойынша, тікелей бос энергияның (F-тің) квадраттылығынан табылады. Эйлер теориясы бойынша,
UikdFdUik=2F, осыдан dFdUik=σik болғандықтан,
F=σikUik2 (1.4.10)
Егер бұл формулаға, σik құраушыларының сызықты комбинациясы түрінде өрнектелген Uik - ны қойсақ, онда серпімді энергия σik шамаларының квадратты функциясы ретінде жазылады (беріледі).
Эйлер теориясын қолданып, мынаны жазамыз:
σikdFdσik=2F және (1.4.10) - шы мен салыстырсақ,
UikdFdσik (1.4.11)
екені көрінеді. (1.4.11) - ші формуланың орындалуы Гук заңының орындалуымен байланысты.

1.5. Біртекті деформациялар.

Дененің бүкіл көлемі бойынша деформация тензоры тұрақты болатын деформацияларды біртекті деформация деп атайды.
Мысалы, біздің жоғарыда қарастырған бірқалыпты жан-жақты сығылу деформациясы - біртекті деформация болып табылады.
Енді, стерженьнің (біліктің) қарапайым созылу (немесе сығылу) деформациясын қарастырайық. Стержень z осі бойымен орналасқан дейік және оның ұштарына, қарама-қарсы жаққа созатын күштер түсірілген болсын. Бұл күштер стерженьнің ұштарындағы барлық бетке бірқалыпты әсер етеді; беттің бірлік ауданына әсер ететін күшті Р дейік.
Деформация біртекті болғандықтан, яғни Uik дене бойында тұрақты, және сол сияқты кернеу тензоры да σik тұрақты, сондықтан оны тікелей шекаралық шарттан анықтауға болады. (Жоғарыда атап өткендей, тепе-теңдікте болатын дененің бүкіл беті бойынша орындалуы тиіс шекаралық шарт мына түрде жазылады:
σiknk=Pi
Мұндағы n - бетке жүргізілген сыртқы нормаль бойымен бағытталған бірлік вектор.
Стерженнің бүйір беттерінде сыртқы күштер жоқ, ендеше одан σiknk=0 өрнегі шығады.
Бірлік вектор n, бүйір бетте z осіне перпендикуляр яғни ... жалғасы

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.