Температураның өзгерісіне байланысты деформация

Жұмыс түрі: Курстық жұмыс
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 31 бет
Таңдаулыға:

Болат металының механикалық қасиеттерін зерттеу

Мазмұны

Кіріспе

I. Серпімділік теориясының негізгі теңдеулері.

Деформация тензоры
Кернеу тензоры
Деформацияланудың термодинамикасы.
Гук заңы.
Біртекті деформациялар.
Температураның өзгерісіне байланысты деформация.
Изотропты денелердің тепе-теңдігінің теңдеулері.
Иілген пластинаның (табақшаның) энергиясы.
Пластинаның тепе-теңдігінің теңдеуі.

II. Металдардың серпімділік қасиетін анықтайтын шамалардың

арасындағы қатынастар.

2. 1. Серпімділікті сипаттайтын негізгі шамалар.

2. 2. Металдардың серпімділігі

2. 3. Металл қорытпалардың серпімділік модулі.

2. 4. Серпімділіктің ферромагнитті аномалиясы.

Қорытынды.

~~Әдебиеттер~~

Кіріспе

Зерттеу жұмысымыздың мақсаты - тұтас орта ретінде қарастырылатын қатты денелер механикасының серпімділік теориясын зерттеп, ол теорияның болат металының механикалық қасиеттерін анықтайтын тәжірибелерде жүзеге асырылуын қарастырып, нәтижесін есептеу. Мұнда, негізі болат металының механикалық қасиеттерін сипаттайтын деформациялар үшін Гук заңының орындалатындығын дәлелдеу.

Ғылыми - зерттеу жұмысымыздың өзектілігі - Егеменді еліміз, сүйікті Отанымыз Қазақстанда ірі құрылыстар мен өзгерістер жұмыс істеуде. Соған орай, композициялық- конструктуралық материалдарды - дербес жағдайда, болаттан жасалынатын бөлшектер мен қондырғыларды дайындауда, олардың механикалық қасиеттерін есептеудің үлкен практикалық маңызы бар.

Әсіресе, жасанды Жер серіктерін жасауда, жаңа ұшақтардың түрлерін шығаруда металдардан жасалынатын бөлшектердің (қозғалтқыштардың) температураға, қысымға тәуелділіктерін білудің, физика ғылымын жетілдіруде аса зор болашағы бар.

Болат металының механикалық қасиеттерін зерттеудің жаңалығы - болаттың сығу диаграммасы бойынша беріктік шарты және аққыштық шектері анықталды. Сонымен бірге бұрылу кезіндегі болаттың механикалық сипаттамасы алынды. Физикалық құралдарда, атап айтқанда, электротензометрлер көмегімен, металдардың кернеулері анықталып, нәтижесі теориялық есептеулермен салыстырылған.

Серпімділік теориясының негізгі теңдеулері. Деформация тензоры.

Тұтас орта ретінде қарастырылатын қатты денелер механикасының мазмұны серпімділік теориясын құрайды. Қатты денелер түсірілген күштердің әсерінен, қандай да бір дәрежеде деформацияланады, яғни өзінің пішіні мен көлемін өзгертеді. Деформация деп дене бөлшектерінің бір-біріне қатысты ығысуын, сонымен бірге бөлшектердің орташа арақашықтықтарының өзгерісін айтады.

Дененің деформациясын математикалық сипаттау мына түрде орын алады.

Дененің әрбір нүктесінің орны қандайда бір координат жүйесінде оның $\overrightarrow{r}$ радиус - векторымен анықталады. ( $\overrightarrow{r}$ векторының құраушылары x ₁ =x; x ₂ =y; x ₃ =z) . $\$ Дене деформацияланғанда оның барлық нүктесі бір-біріне қатысты ығысады. Дененің белгілі бір нүктесін алып қарастырайық: егер, деформацияланғанға дейінгі радиус - векторы $\overrightarrow{r}$ болса, онда деформацияланған денеде радиус - векторының мәні басқаша $\overrightarrow{r}$ ' тең болады (құраушысы $x_{i\ }'$ ) . Деформация кезінде дененің нүктесінің ығысуы $\overrightarrow{r}$ ' - $\overrightarrow{r}$ векторымен өрнектеледі; ол ығысуды $\overrightarrow{U}$ деп белгілейміз:

${\overrightarrow{U}}_{i} = x_{i}' - x_{i}$ (1. 1. 1)

$\overrightarrow{U}\$ - векторы, деформация векторы деп аталады (немесе ығысу векторы) . Ығысқан нүктенің $x_{i\ }'$ координаттары сол нүктенің ығысқанға дейінгі х _і координаттарының функциясы болып табылады. Сондықтан, деформация векторы ${\overrightarrow{U}}_{i}$ де х _і координаттарының функциясы.

$\overrightarrow{U}$ векторының х _і координаттарының функциясы ретінде берілуі, дененің деформациясын толық анықтайды. Жоғарыда айтылғандай дененің деформациясы кезінде, оның нүктелерінің арақашықтығы өзгереді. Қандай да екі шексіз жақын нүктелерді қарастырайық. Егер олардың арасындағы деформациялануға дейінгі радиус - вектор dx _i болса, онда деформацияланған денеде сол екі нүктелердің арасындағы радиус - вектор ${dx}_{i}' = {dx}_{i} + {dU}_{i}$ тең болады.

Деформациялануға дейін нүктелердің арақашықтығы $dl = \sqrt{{dx}_{1}^{2} + {dx}_{2}^{2} + {dx}_{3}^{2}}$ , ал деформацияланғаннан кейінгі арақашықтық ${dl}' = \sqrt{{dx}_{1}^{'2} + {dx}_{2}^{'2} + {dx}_{3}^{'2}}$ тең.

Ереже бойынша

${\ dl}^{2} = {dx}_{i}^{2}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ {dl}^{'2} = {dx}_{i}^{'2} = \left( {dx}_{i} + {dU}_{i} \right) ^{2}$

${dU}_{i} = \frac{{\partial U}_{i}}{{\partial x}_{k}}{dx}_{k}$ ${dl}^{'2}$ -ні мына түрде жазамыз

${dl}^{'2} = {dl}^{2} + 2\frac{{\partial U}_{i}}{{\partial x}_{k}}{dx}_{i}{dx}_{k} + \frac{{\partial U}_{i}}{{\partial x}_{k}}\frac{{\partial U}_{i}}{{\partial x}_{i}}{dx}_{k}{dx}_{i}$ (1. 1. 1а)

теңдіктің оң жағындағы екінші мүшеде i және k индекстері бойынша қосынды алынытындықтан, мынаны жазуға болады:

$\frac{\partial U}{{\partial x}_{k}}{dx}_{i}{dx}_{k} = \frac{{\partial U}_{k}}{{\partial x}_{i}}{dx}_{i}{dx}_{k}$

(1. 1а) -теңдіктегі үшінші мүшеде i және k индекстерінің орынын алмастырсақ, біз түпкілікті dl ^’2 мәнін мына түрде аламыз:

${dl}^{'2} = {dl}^{2} + 2U_{ik}{dx}_{i}{dx}_{k}$ (1. 1. 2)

мұндағы, U _ik тензор мына түрде анықталады:

$U_{ik} = \frac{1}{2}\left( \frac{{\partial U}_{i}}{{\partial x}_{k}} + \frac{{\partial U}_{k}}{{\partial x}_{i}} + \frac{{\partial U}_{k}}{{\partial x}_{i}}\frac{{\partial U}_{i}}{{\partial x}_{k}} \right)$ (1. 1. 3)

Бұл өрнектермен дененің деформациялануы кезінде ұзындықтың элементтерінің өзгерісі анықталады.

U _ik тензоры - деформация тензоры деп аталады. Тензордың анықтамасынан, оның симметриялы екендігі көрінеді, яғни

U _ik =U _ki (1. 1. 4)

Бұлай болатын себебі, біз dl ^’2 өрнегінде $2\frac{{\partial U}_{i}}{{\partial x}_{k}}{dx}_{i}{dx}_{k}$ мүшені ашық симметриялы түрде жаздық.

$\left( \frac{{\partial U}_{i}}{{\partial x}_{k}} + \frac{{\partial U}_{k}}{{\partial x}_{i}} \right) {dx}_{i}{dx}_{k}$ .

Кез келген симметриялы тензор сияқты, U _ik тензорын берілген әрбір нүктеде бас оське келтіруге болады.

Мұның мәні, әрбір берілген нүктеде координат жүйесін - тензордың бас осьтерін - барлық U _ik құраушыларының ішінен тек қана диагональдық құраушылары U ₁₁ , U ₂₂ , U ₃₃ нольге тең болмайтындай етіп таңдап алу керек. Бұл құраушыларды - деформация тензорының бас мәндерін - U ⁽¹⁾ , U ⁽²⁾ , U ⁽³⁾ деп белгілейміз.

Мынаны еске ұстау керек: егер U _ik тензоры дененің кейбір нүктесінде келтірілген болса, онда оны қоршаған көлем элементінде ұзындықтың элементі (1. 2) мына түрді қабылдайды.

${dl}^{'2} = \left( \delta_{ik} + 2U_{ik} \right) {dx}_{i}{dx}_{k} = \left( 1 + 2U^{(1) } \right) {dx}_{1}^{2} + \left( 1 + 2U^{(2) } \right) {dx}_{2}^{2} +$

$+ \left( 1 + 2U^{'2} \right) {dx}_{3}^{2}$ (1. 1. 4а)

Бұл (1. 4а) өрнегі үш тәуелсіз мүшелерге ыдырайтындығын көреміз. Мұның мәні, дененің әрбір көлем элементінде деформацияны, үш өзара перпендикуляр бағыт бойынша, яғни деформация тензорының осьтері бойынша үш тәуелсіз деформациялардың жиынтығы деп қарастыруға болады.

Осы деформациялардың әрқайсысын сәйкес бағыттар бойынша қарапайым созылу (немесе сығылу) деформациялары болып табылады:

dx ₁ ұзындығы бас осьтердің біреуінің бағыты бойынша

${dx}_{1}' = \sqrt{1 + 2U^{(1) }}dx$ ұзындығына айналады және осыған ұқсас басқа қалған екі осьтер үшінде орындалады. Ендеше, $\sqrt{1 + 2U^{(l) } - 1}$ шамалары осы осьтер бойынша салыстырмалы ұзару болып табылады, яғни $\frac{{dx}_{i}' - {dx}_{i}}{{dx}_{i}}$ ; Денелердің барлық деформациялану жағдайында деформация аз шама болып табылады.

Мұның мәні, денедегі кез-келген арақашықтықтың өзгерісі арақашықтықтың өзімен салыстырғанда аз шама екені көрінеді. Басқаша айтқанда, салыстырмалы ұзару бірлікпен салыстырғанда өте аз.

Егер дене аз деформациялануға ұшыраса, онда деформация тензорының барлық құраушылары (денедегі ұзындықтың салыстырмалы өзгерісі) аз болып табылады. Ал, деформация векторы U _i кейбір жағдайларда тіпті аз деформацияда да үлкен болуы мүмкін.

Мысалы, ұзын жіңішке стержень (білік) . Біліктің екі ұшы кеңістіктікте едәуір орын ауыстырсада, күшті иілу кезінде, біліктің өзінің ішінде созылу және сығылу деформациялары мардымсыз (аз) болады.

Ерекше жағдайлардан басқа, аз деформация кезінде l деформация векторы да аз болуы мүмкін. Шынында да ешқандай үш өлшемді дене, күшті созылу және сығылу деформациясы пайда болмай, оның жеке бөліктері кеңістікте орын ауыстыратындай деформацияға ұшырауы мүмкін емес. Жеке жағдайларда, ендеше, аз деформация кезінде U _i аз болады, сондықтан, (1. 3) өрнектегі соңғы мүшені, 2-ші дәрежелі аз шама ретінде ескермеуге болады. Сонымен, аз деформация жағдайында, деформация тензоры мынадай өрнекпен анықталады:

$U_{ik} = \frac{1}{2}\left( \frac{{\partial U}_{i}}{{\partial U}_{k}} + \frac{{\partial U}_{k}}{{\partial U}_{i}} \right)$ (1. 1. 5)

Деформация тензорының бас осьтерінің бағыттары бойында ұзындық элементінің салыстырмалы ұзаруы, енді жоғары ретті шаманың дәлдігіне дейін мынаған тең

$\sqrt{1 + 2U^{(i) }} - 1 \approx U^{(i) }$

Яғни, тікелей U _ik тензорының бас мәндеріне тең. Қандайда бір шексіз аз көлем элементін dV қарастырайық және оның dV шамасын дененің деформациялануынан кейін анықтайық. Ол үшін координат осьтері ретінде қарастырылатын нүктеде деформация тензорының бас осьтерін таңдап аламыз.

Онда, осы осьтер бойында деформацияланудан кейін ұзындықтың элементтері dx ₁ , dx ₂ , dx ₃ мынадай өрнекте өтеді ${dx}_{1}' = \left( 1 + U^{(1) } \right) {dx}_{1}$ ; ${dx}_{2}' = \left( 1 + U^{(2) } \right) {dx}_{2}$ ; т. с. с. dV көлем ${dx}_{1}{dx}_{2}{dx}_{3}$ -тердің көбейтіндісіне тең, ал dV ^’ көлемі ${dx}_{1}'{dx}_{2}'{dx}_{3}'$ көбейтіндіге тең.

Сонымен,

dV ^’ =dV(1+U ⁽¹⁾ ) (1+U ⁽²⁾ ) (1+U ⁽³⁾ ) тең.

Бірақ, тензордың бас мәндерінің қосындысы $U_{1}^{(1) } + U_{2}^{(2) } + U_{3}^{(3) }$ белгілі болғандай, оның инварианты болып табылады және кез-келген координат жүйесінде, диагональді құраушылардың қосындысына тең, яғни U _ii =U ₁₁ +U ₂₂ +U ³³ -ке тең. Сонымен,

dV ^’ =dV(1+U _ii ) (1. 1. 6)

Деформация тензорының диагональді құраушыларының қосындысы, көлемнің салыстырмалы өзгерісі $\frac{{dV}' - dV}{dV}$ болып табылады.

Кейбір жағдайда (әдетте) деформация тензорының құраушыларын декарт координаталарында емес, сфералық немесе цилиндрлік координат жүйесінде пайдаланған ыңғайлы.

Деформация тензорының құраушыларының өрнегін, ығысу векторының құраушыларының туындылары арқылы сфералық және цилиндрлік координаттарда жазайық.

Сфералық координаттарда $(r, \theta, \varphi)$ мына түрде жазамыз:

$U_{rr} = \frac{{\partial U}_{r}}{\partial r}, \ \ \ U_{\theta\theta} = \frac{1}{r}\frac{{\partial U}_{\theta}}{\partial\theta} + \frac{U_{r}}{r}$ ;

$U_{\varphi\varphi} = \frac{1}{rsin\theta}\frac{{\partial U}_{\varphi}}{\partial\varphi} + \frac{U_{\theta}}{r}ctg\theta + \frac{U_{r}}{r}$ ,

${2U}_{\theta, \varphi} = \frac{1}{r}\left( \frac{{\partial U}_{\varphi}}{\partial\theta} - U_{\varphi}ctg\theta \right) + \frac{1}{rsin\theta}\frac{{\partial U}_{\theta}}{\partial\varphi}$ ,

${2U}_{r\theta} = \frac{{\partial U}_{\theta}}{\partial r} - \frac{U_{\theta}}{r} + \frac{1}{r}\frac{{\partial U}_{r}}{\partial\theta}; \ \ \ \ \ \ \ {2U}_{\varphi r} = \frac{1}{rsin\theta}\frac{{\partial U}_{r}}{\partial\varphi} + \frac{{\partial U}_{\varphi}}{\partial r} - \frac{U_{\varphi}}{r}$ .

Цилиндрлік (r, $\varphi, z$ ) координаттарда:

$U_{rr} = \frac{{\partial U}_{r}}{\partial r}, \ \ \ \ U_{\varphi\varphi} = \frac{1}{r}\frac{{\partial U}_{\varphi}}{\partial\varphi} + \frac{U_{r}}{r}, \ \ \ \ \ U_{zz} = \frac{{\partial U}_{z}}{\partial z}$ ,

${2U}_{\varphi z} = \frac{1}{r}\frac{{\partial U}_{z}}{\partial\varphi} + \frac{{\partial U}_{\varphi}}{\partial z}, \ \ \ \ \ \ {2U}_{zz} = \frac{{\partial U}_{r}}{\partial z} + \frac{{\partial U}_{z}}{\partial r}$ ,

${2U}_{r\varphi} = \frac{{\partial U}_{\varphi}}{\partial r} - \frac{U_{\varphi}}{r} + \frac{1}{r}\frac{{\partial U}_{r}}{\varphi}$ .

Кернеу тензоры.

Деформацияланбаған денеде молекулалардың орналасуы оның жылу тепе-теңдік күйіне сәйкес келеді. Бұл күйде оның барлық бөлігі бір - бірімен механикалық тепе - теңдікте болады. Мұның мағынасы, егер дененің ішінен қандайда бір көлемді бөліп алсақ, онда осы көлемге басқа бөлшектер тарапынан әсер ететін барлық күштердің қорытқы күші нольге тең болады.

Деформациялануы кезінде молекулалардың орналасуы өзгереді де, дене тепе - теңдік күйден шығарылады. Нәтижесінде денеде, оны тепе-теңдік күйге келтіруге тырысатын күштер пайда болатын ішкі күштерді ішкі кернеулер деп атайды. Егер дене деформацияланбаған болса, онда ішкі кернеу болмайды.

Ішкі кернеулер молекулалық күштердің нәтижесінде пайда болады, яғни, дененің молекулаларының бір - бірімен өзара әсерлесу күштерінің нәтижесінде пайда болады.

Серпімділік теориясы үшін ең маңыздысы, молекулалық күштердің «әсер радиусының» аздығында (мардымсыз аздығында) . Олардың әсері, оларды тудыратын бөлшектердің төңірегінде ғана, молекулааралық дәрежедегі арақашықтыққа ғана созылады. Бірақ серпімділік теориясында, микроскопиялық теория ретінде, молекулааралық дәрежедегі арақашықтықпен салыстырғанда едәуір үлкен арақашықтық қарастырылады. Сондықтан молекулалық күштердің «әсер радиусы» серпімділік теориясында нольге деп есептелінуі тиіс.

Ішкі кернеуді туғызатын күштер, серпімділік теориясында «жақыннан әсер ететін» күштер болып табылады. Бұл күштер әрбір нүктеден тек өзіне жақын нүктеге ғана беріледі. Осыдан, дененің қандай да бір бөлігіне, оны қоршаған басқа бөліктері тарапынан әсер ететін күштер, тек қана тікелей осы бөліктің беттік ауданы (немесе беті) арқылы әсер етеді.

Денеден қандайда бір көлемді бөліп аламыз және оған әсер ететін қосынды күшті қарастырамыз. Бір жағынан, бұл қосынды күш қарастырылып отырған көлемнің әрбір элементіне әсер ететін барлық күштердің қосындысына тең, яғни мынадай көлемдік интеграл түрінде берілуі мүмкін:

$\int_{}^{}{FdV}$

мұндағы, F -дененің көлем бірлігіне әсер ететін күш, яғни көлем элементі dV -ға FdV күш әсер етеді.

Іздеп отырған толық күшті, тек қана берілген көлемге дененің қоршаған басқа бөліктері тарапынан әсер ететін күштердің қосындысы ретінде қарау керек. Бірақ жоғарыда айтылғандай, бұл күштер қарастырылып отырған көлемге оның беті (беттік қабаты) арқылы әсер етеді. Сондықтан, қорытқы күш көлемнің бетінің әрбір элементіне әсер ететін күштердің қосындысы түрінде қарастырылуы мүмкін. Яғни осы бет бойынша алынатын кейбір интеграл түрінде берілуі мүмкін.

Дененің кез-келген көлемі үшін барлық ішкі кернеулердің қорытқыларының әрбір құраушысы $\int_{}^{}{F_{i}dV}$ осы көлемнің беті бойынша алынатын интегралға түрленуі мүмкін.

Векторлық талдаудан белгілі болғандай, еркінше алынған көлем бойынша скалярдан алынатын интеграл, беттік аудан (бет) бойынша алынатын интегралға түрленуі мүмкін, егер бұл скаляр кейбір вектордың дивергенциясы ретінде өрнектелетін болса. Берілген жағдайда, біз скалярдан емес, вектордан алынатын интегралды қарастырып отырмыз. Сондықтан F _i векторы кейбір екінші дәрежелі (рангалы) тензор болуы тиіс, яғни мынадай түрде жазылуы тиіс:

$F_{i} = \frac{{\partial\sigma}_{ik}}{{\partial x}_{k}}$ (1. 2. 1)

Онда, кейбір көлемге әсер ететін күш берілген көлемді қамтитын тұйық бет бойынша алынған интеграл түрінде жазылуы мүмкін:

$\int_{}^{}{F_{i}dV} = \int_{}^{}{\frac{{\partial\sigma}_{ik}}{{\partial x}_{k}}dV} = \oint_{}^{}{\sigma_{ik}{df}_{k}}$ , (1. 2. 2)

Мұндағы df _i - бет элементінің $\overrightarrow{df}$ векторының құраушылары. Бұл вектор әруақытта бетке сырттай жүргізілген нормаль бойынша бағытталған. $\sigma_{ik}$ - тензоры кернеу тензоры деп аталады.

(1. 2. 2) -ші формуладан көрінетіндей $\sigma_{ik}{df}_{k}$ -бет элементі df-ке әсер ететін күштердің і -ші құраушысы.

Дененің қандай да бір көлеміне дәрежелі, компоненттері мына F _i x _k -F _k x _i түрде берілген антисимметриялы тензор ретінде жазуға болады, мұндағы х _і - күштің түсірілген нүктесіне координаторы.

Сондықтан көлем элементі dV-ға әсер ететін күш моменті (F _i x _k -F _k x _i ) dV -ға тең, ал бүкіл көлемге әсер ететін күш моменті

$M_{ik} = \int_{}^{}{\ \ (F_{i}x_{k} - F_{k}х_{i}) dV\ }$

Кез-келген көлемге әсер ететін толық күш сияқты, бұл күштердің моменті де көлемнің беті бойынша алынған интеграл түрінде өрнектеледі. F _i үшін (1. 2. 1) формуладағы өрнекті қойып, мынаны табамыз:

${\ M}_{ik} = \int_{}^{}{\left( \frac{{\partial\sigma}_{il}}{{\partial x}_{l}}x_{k} - \frac{{\partial\sigma}_{kl}}{{\partial x}_{l}}x_{i} \right) dV =}$