Шекаралық шарты болымсыз Штурм - Лиувилл операторының меншікті функциясының нормасы

Жұмыс түрі: Дипломдық жұмыс
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 38 бет
Таңдаулыға:

МАЗМҰНЫ

КІРІСПЕ ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .8
I Тарау
1. Түрлендіру
операторлары ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... 15
2. Кесіндідегі Штурм-Лиувиллдің шекаралық
есептері ... ... ... ... .18
3. Кеңістік туралы
түсінік ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ..21

II Тарау
2. Штурм-Лиувиллдің болымсыз
операторы ... ... ... ... ... ... .. ... ... 36
2.1. Алғашқы
мәліметтер ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ... ... .
... ... .42
2.2. Штурм-Лиувиллдің болымсыз операторының шекаралық шартын
қорытып
шығару ... ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ..
... ... ... ... .42
3. Сыңар операторды
тұрғызу ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .4
5
4. Болымсыз Штурм-Лиувилл операторының спектрінің
табиғаты ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ... ... ... ... ... ... ..46
5. Шекаралық шарты болымсыз Штурм-Лиувилл операторының волтерлі
болуының үзілді-кесілді
шарты ... ... ... ... ... ... ... .. ... 49
6. Шекаралық шарты болымсыз Штурм-Лиувилл есебінің шешімсіздігінің
үзілді-кесілді
шарты ... ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ...52
III Тарау
3.1 Шекаралық шарты болымсыз, Штурм-Лиувилл операторының
спектрінің шексіз көп екендігі
туралы ... ... ... ... ... ... ... . ... ... ... 53
3.2 Шекаралық шарты болымсыз Штурм-Лиувилл операторының
меншікті функциясының
нормасы ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...56
3.3 Спектрдің шекаралық шартқа тәуелділігі
туралы ... ... ... ... ... ... .56
3.4 Моделді оператор
жағдайы ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .60
Қорытынды ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ..
... ... ... ... ... ... ... .67
Қолданылған әдебиеттер
тізімі ... ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ...68

АННОТАЦИЯ

В настоящей дипломной работе изучены спектральные свойства оператора
Штурма-Лиувилля с вырожденным краевым условием. Полученные результаты носят
предварительный характер.

АННОТАЦИЯ

Бұл еңбекте шекаралық шарты болымсыз Штурма-Лиувилл операторының
спектрәлдік қасиеттері зерттелген. Алынған нәтижелер түпкілікті емес, әлі
де зерттей түсуді қажет етеді.

Abstract

In the present degree job the spectral properties of the operator of
Storm – Lyuvill with by a regional condition are investigated. The received
results carry preliminary character.

КІРІСПЕ

Штурм-Лиувилл операторлары шамамен 1830 жылдан бастап зерттеле
бастады десек-те дәл осы күнге дейін өзінің толық шешімін таба қойған жоқ.
Көптеген мәселелердің түйіндері тарқатыла қойған жоқ, солардың бірі
болымсыз Штурм-Лиувилл операторының спектрәлдік қасиеттері, яғни шекаралық
шарттары мына

(0.1)
теңдіктерді қанағаттандыратын мынадай
,
(0.2)

(0.3)
Штурм-Лиувилл операторлары, мұндағы

, ,
(0.4)
-Штурм-Лиувилл операторының шекаралық шартының коэффициенті.
Соңғы уақытқа дейін бұл оператордың спектрәлдік қасиеттері туралы ешнәрсе
белгісіз еді. Өткен XX-ғасырдың басында пайда болған Биркгофтың теориясына
бұл оператор енбей қалған және бұл кездейсоқ жай емес. Қысқаша айтсақ
мұндай операторлардың спектрәлдік қасиеттері q(x) коэффициентіне өте
тәуелді, ал Биркгоф қарастырған жағдайда бұлай емес еді. Біздің бұл есепке
тісіміз бата қоймады, сондықтан тек кейбір дербес жағдайларды қарастырумен
шектелдік.
Бұл дипломдық жұмыс екі бөлімнен, кіріспеден қорытындыдан және іс
барысында қолданылған әдебиеттер тізімінен тұрады. Бірінші бөлім көмекші
қызмет атқарады, барлық негізгі нәтижелер екінші бөлімде келтірілді.
Бірінші бөлімде, кейінірек қолданылатын барлық анықтамалар мен негізгі
ұғымдар келтірілді.
Екінші бөлімнің бірінші бөлімшесінде Штурм-Лиувиллдің
операторлар теориясының негізгі анықтамалары мен қарапайым деректері
хабарланды, сонан соң мәселенің мәні айқындалды.
МӘСЕЛЕНІҢ МӘНІ. Егер

(0.1)
, ,
(0.2)
болса, онда мына
,
(0.3)
(0.4)
Штурм-Лиувилл операторының спектрәлдік қасиеттері қандай?
Дәл осы бөлімшеде, кейінірек көп қолданылатын, қарапайым ғана
лемма дәлелденді.
ЛЕММА 1.3. Анықтауыш
,
болсын делік, онда егер болса, онда және немесе басқаша
айтсақ

(0.5)
мұндағы - комплекс сандар.
Осы лемма арқылы келесі 1.4 леммасы дәлелденді, ол біздің шекаралық
есеп пен спектрі жоқ Коши есебі арасында байланыс бар екенін нақты
көрсетіп берді.Жалпы айтқанда спектрі жоқ есептерді волтерлік есептер деп
атайды.
ЛЕММА 1.4. Егер (4) шекаралық шарттар өзара сызықтық тәуелсіз болса
және
,
(0.6)
теңдіктері орындалса, онда бұл шекаралық есеп Кошидің есебі болады.
Екінші бөлімшеде болымсыз оператордың шекаралық шарты мұқият
зерттеліп, нәтижесінде 2.1 лемма мен 2.1 теоремасы дәлелденді.
ЛЕММА 2.1. Егер мына
1) ; 2) ,
(0.7)
теңсіздіктер орындалса, онда (0.4) шекаралық шарты мынадай
, ,
(0.8)
шекаралық шартпен бірдей болады, мұндағы - белгілі бір комплекс сан.
ТЕОРЕМА 2.1. Егер
,
(0.9)
болса, онда комплекс саны табылып
, .
(0.10)
теңдіктері орындалады, яғни басқаша айтсақ болымсыз шекаралық шарт осындай
шартқа айналады.
Үшінші бөлімшеде болымсыз Штурм-Лиувилл операторының сыңары
тұрғызылды.
Төртінші бөлімшеде шекаралық шарты болымсыз Штурм-Лиувилл
операторының спектрәлдік қасиеттері зерттелді, нәтижесінде екі лемма және
екі теорема дәлелденді.Олар мыналар:
ЛЕММА 4.1. Егер болса, онда
,
(0.11)
,
(0.12)
Штурм-Лиувилл операторының характеристикалық анықтауышы мына
.
(0.13)
қанағаттандырады.
ЛЕММА 4.2. Егер және болса, онда сыңар оператордың
меншікті мәндері мына
.
(0.14)
теңдеуінің түбірлері болады.
ТЕОРЕМА 4.1.
(а) егер Штурм-Лиувиллдің шекаралық есебі болымсыз болса, онда ол
мынадай
,
(0.15)
,
(0.16)
болады, мұндағы -бірлік дөңгелекте орналасқан комплекс сан.
(б) Егер Штурм-Лиувиллдің болымсыз операторының коэффициенті
нақты функция болса, онда ол (15)+(16) түрінде болады, тек
параметрі жоғарғы жарты дөңгелекте болады,ал төменгі жарты дөңгелектегі
-лар сыңар операторды анықтайды.
ТЕОРЕМА 4.2. Егер нақты функция, ал кесіндісінің
нөлден өзгеше саны болса, онда (15)+(16) операторы мен оның сыңарының
спектрлері бірдей болады.
САЛДАР 4.2. Егер және болса, онда (15)+(16) есептің
спектрі осіне қарағанда симметриялы болады.
Бесінші бөлімшеде бір 5.1 қорытынды леммасы дәлелденген, кейінірек
олар кеңінен қолданылады.
ЛЕММА 5.1. Егер экспонента сияқты функциясының бүкіл комплекс
жазықтықта нөлдері жоқ болса, онда

(0.17)
теңдігі орындалады, мұндағы -белгілі комплекс сандар.
САЛДАР 5.1. Егер экспонента сияқты жұп функциясының
нөлдері жоқ болса, онда ол нөлден өзгеше тұрақты шама.
Мына , функциялары
,
(0.18)
теңдеуінің мына
, .
(0.19)
шарттарды қанағаттандыратын шешімдерінің фундаментәлді жүйесі болсын.Онда
келесі лемма орындалады.
ЛЕММА 5.2. Егер

болса, онда мынадай
, (0.20)
теңдік орындалады.
Боргтың келесі леммасы да болымсыз Штурм-Лиувилл операторының
спектрәлдік қасиеттерін зерттегенде маңызды қызмет атқарады.
ЛЕММА 5.3. Егер және
, (0.21)
ал мен функциялары коэффициенттері сәйкесінше ,
болатын Штурм-Лиувилл теңдеулерінің шешімі болса, онда

(0.22)
теңдігі болғанда ғана орындалады. Бұл бөлімшенің негізгі нәтижесі
мына теорема.
ТЕОРЕМА 5.1. Жоғарыдағы (0.15)+(0.16) операторының спектрі жоқ болуы
үшін
, .
(0.23)
шарттары орындалуы қажетті әрі жеткілікті.
Келесі алтыншы бөлімшеде болымсыз Штурм-Лиувилл операторының тағы
да бір ерекше қасиеті зерттелді.
Алынған нәтиженің мән-мағынасы теореманың тұжырымынан көрініп
тұр.
ТЕОРЕМА 6.1. Мына
.
(0.24)
теңдік орындалған жағдайда және тек осы жағдайда ғана (0.15)+(0.16)
оператордың спектрі бүкіл комплекс z жазықтығы болады.
Зерттеу барысында жаңа ұғым пайда болды, біз оны келесі
анықтама ретінде тұжырымдадық.
АНЫҚТАМА 7.1 Спектрі жоқ немесе бүкіл комплекс жазықтық болатын
Штурм-Лиувилл операторын Штурм-Лиувиллдің болымсыз операторы деп атаймыз.
Келесі теорема Штурм-Лиувилл операторының болымсыз болуының үзілді-
кесілді шартын анықтайды.
ТЕОРЕМА 7.1. Мына
,
(0.25)
(0.26)
Штурм-Лиувилл операторы болымсыз болуы үшін мына,
,
(0.27)
, (0.28)
шарттардың орындалуы қажетті әрі жеткілікті, мұндағы -жоғарыдағы
(0.16)шекаралық шарттың тұрақтысы,ал q(x)-комплекс мәнді үздіксіз функция.
Сегізінші бөлімшеде 8.1 леммасы мен 8.1 теоремасы дәлелденді.Енді
соларға тоқталайық.
ЛЕММА 8.1. Егер (0.15)+(0.16) Штурм-Лиувилл операторының нақты
меншікті мәні бар болса, онда , функциялары бір Штурм-Лиувилл
теңдеуінің сызықтық тәуелді шешімдері болады. Мұндағы дегеніміз
меншікті мәніне сәйкес меншікті функция.
ТЕОРЕМА 8.1. Егер (0.15)+(0.16) операторының кемінде бір нақты
меншікті мәні бар болса, онда .
Тоғызыншы бөлімшеде шекаралық шарты болымсыз операторының спектрінің
шекаралық шартқа тәуелділігі зерттелді, нәтижесінде 9.1, 9.2 леммалар мен
9.1 теоремасы алынды.Олар мыналар:
ЛЕММА 9.1. Егер мына
, , (0.29)
, , (0.30)
Екі операторға ортақ деген меншікті мән бар болса, онда
а) ; немесе
б) осы меншікті мәнге сәйкес екі меншікті функция өзара сызықты
тәуелді.
ЛЕММА 9.2. Егер жоғарыдағы (0.29), (0,30) операторларына ортақ
меншікті мән болса, онда
а) ; немесе
(0.31)
б) .
(0.32)
ТЕОРЕМА 9.1. Егер - үзіліссіз нақты функция,ал болса,
онда мына
, (0.33)
операторлардың әртүрлі -лар сәйкес спектрлері мүлдем әртүрлі болады,
яғни спектрлердің жиын ретінде ортақ мүшелері болмайды.
Оныншы бөлімшеде зерттелген оператордың ең қарапайым үлгісі
қарастырылды, және сол арқылы бұрынғы нәтижелер тексерілді.
ТЕОРЕМА 10.1. Егер болса, онда то
,
(0.34)
,
(0.35)
шекаралық есебінің нөлден өзгеше шешімі жоқ, яғни Кошидің есебі сияқты.
ТЕОРЕМА 10.2. Егер , ал функциясы сегментінде
үзіліссіз болса, онда мына
,
(0.36)
, ,
(0.37)
шекаралық есептің бірегей шешімі бар және ол мынадай, .
(0.38)

1. 1.1. Түрлендіру операторы

интервалында Штурм-Лиувиллдің дифференциалдық теңдеуін
қарастырайық:

(1.1)
мұндағы- осы интервалдағы үзіліссіз комплексті функция, ал -
комплексті параметр. Кейінірек функциясын бұл теңдеудің потенциалы
немесе Штурм-Лиувилл операторына сәйкес келетін функция деп атаймыз.
Бастапқы берілген (1) теңдеудің шешімін арқылы белгілейік.
,
(1.2)
(здесь индекс 0 означает, что начальные данные задаются в точке 0, а
буква напоминает, что они такие же, как у функции , с которой
совпадает , если ).
ТЕОРЕМА 1.1. (2) бастапқы берілген (1) теңдеудің шешімі мына
түрде болады:
,
(1.3)
Мұндағы - үзіліссіз функция, Римана функциясы арқылы өрнектелген
теңдеу мынадай

,
мына формуладан
.
Интегралдық оператор мына формула арқылы анықталған
,
түрлендіру операторы деп атаймыз, нүктесінде бастапқы шарт
сақталынған.Ол мынадай функцияны ( (2) бастапқы берілген қарапайым
теңдеу (1) түрінің шешімі ) сол сияқты бастапқы берілген (1) теңдеудің
шешіміне көшіреді. және функциялары теңдеуінің шешімінің
фундаментальді жүйесін құрастырады.Бастапқы берілген 0-нүктесінде (1)
теңдеудің шешімін операторы бұл теңдеудің кез келген шешіміне
түрлендіреді.Сондықтан бастапқы берілген (1) теңдеуінің шешімі
,
(1.4)
Мына түрде қарастырсақ:
, (1.5)
мұндағы
. (1.6)
Бастапқы берілген (1) теңдеудің аналитикалық шешімі
,
(1.7)
Мына түрде беруге болады
,
(1.8)
мұндағы
.
(1.9)
Осы 1.1. теоремасынан мынадай салдар шығады.
САЛДАР 1.1. (4), (7) бастапқы берілгендер үшін (1) теңдеудің шешімін
мына түрде жазуға болады
, (1.10)
, (1.11)
мұндағы функция, функциясы (6), (9) формуласындағы (3)
операторының ядросы бойынша өрнектеледі.
(3), (10), (11) теңдігінің оң жағында анықталған , , ,
операторын 0 нүктесіне байланған түрлендіру операторы деп атаймыз.
ЛЕММА 1.1. Егер (2) бастапқы берілгендер үшін (1) теңдеудің
шешімі барлық мәнінде (3) формуламен берілсе, онда ядросы мына
теңдеуді қанағаттандырады
(1.12)
және, керісінше, егер функциясы (12) теңдеуін қанағаттандырса, онда
(3) формуласы оң жағындағы барлық мәндерінде үшін (2) бастапқы
берілгендер үшін (1) теңдеудің шешімі болады.
ТЕОРЕМА 1.2. (12) теңдеудің жалғыз ғана шешімі бар. Бұл шешім
үзіліссіз және мына теңсіздікті қанағаттандырады
, (1.13)
мұндағы
(1.14)
Егер функциясы үзіліссіз туындысы болса, онда ядросының
екі жақты алмастыру бойынша үзіліссіз туындысы бар.
САЛДАР 1.2. функциясы (3) түрлендіру операторының ядросы болу
үшін функциясы Гурс есебінің шешімі болуы қажетті және жеткілікті:
, , . (1.15)
Егер функциясы үзіліссіз дифференциалданса, онда (1.15) есебі
былай түрленеді:
, , . (1.16)

2. Ақырғы интервалдағы Штурма-Лиувиллдің шекаралық есебі

аралығында Штурма-Лиувилл теңдеунің шекаралық есебін
қарастырайық:
,
(2.1)
және екі шекаралық шарттармен :
, (2.2)
мұндағы - қосатын комплексмәнді функция, - туындылы комплексті
сандар.
Параметрмәні болғанда, мұндай шекаралық есептердің нөлдік
шешімдері болса, онда оны меншікті мән деп атаймыз, ал оған сәйкес шешім-
меншікті функция деп аталады. (1) теңдеуінің фундаментальді жүйесінің
шешімі мына анықталған бастапқы берілгендерді , мынау ,
арқылы белгілейік ( сонымен алдынғы бөлімшеде
белгіленген ). Сондықтан (1) теңдеуінің жалпы шешімі , :
функциясының сызықты комбинациясы болса, онда
, (2.3)
бұдан, (1), (2) шекаралық есептің нөлдік шешімі болады сонда ғана, егер
теңдеулер жүйесі
,
,
коэффициенттерінің нөлдік шешімі болса. Сондықтан меншікті мән
қарастырылған есепке квадрат түбірмен оның характеристикалық функциясы
сәйкес келеді.
. (2.4)
Мына анықтауышты ескере отырып вронскиан бірге тең болатындығын
көреміз, сол арқылы
, (2.4)
Функциясын табамыз. Мұндағы -анықтауыш, шекаралық шарттың
коэффициенті , матрица бағандарынан құралған.
.

Бұдан болғанда, (1)-(2) шекаралық есептің
характеристикалық функциясы мына түрге келеді:
(2.6)
және қарапайым жағдайда, яғни функцисы нөлден өзгеше болғанда
меншікті жүйенің толықтығы және тек шекаралық шарттарға қоюға болатын
қосарланған функция туралы сұрақ туады. Бұл келесі 3 шарттың орындалу
мүмкіндігін көрсетеді:
1) ; 2) ; 3) . (2.7)
Шекаралық шарт бұлардың кемінде біреуін қанағаттандырса, онда ол болымды
деп аталады.
ТЕОРЕМА 2.1. (1)-(2) толық болымды шекаралық шарттармен берілген
меншікті жүйе және қосарланған функцияның шекаралық есебін
кеңістігінде қарастырған.
Қосарланған функция анықтамасын еске түсірейік.
(4) анықтауышын элементі арқылы белгілеп, (1) теңдеуінің шешімін
құрастырайық:
.
(2.8)
(3) формуласынан тура -ға тең екендігін көреміз.
,
.
(1)-(2) шекаралық есептің меншікті мәні - еселік деп аталады,
егер функциясының еселік түбірі болса.
, ,
болса, онда функция
,
- (2) шекаралық шартын қанағаттандырады,егер болса.
функциялары тізбек құралады, біріншісі нөлден өзгеше
функциясы меншікті болады, ал келесілері функцияларға қосарланған. (1)
теңдеуін рет бойынша дифференциалдай отырып , (2) шекаралық
шартын және
теңдеуін
қанағаттандыратын меншікті және қосарланған функциялар тізбегін қорытып
шығарайық.
Бөліктелген шекаралық шарттармен берілген
, (2.9)
шекаралық есептерді қарастыра отырып
, , , , . (2.9)
аламыз. Бұдан болған жағдайда шекаралық шарт болымды, ал меншікті
жүйе және қосарланған функция толығымен кеңістігінде жатады.
Шындығында,меншікті және қосарланған функциялардың (1),(9)
шекаралық шарттары кеңістігінде базис құрады..
1.3.1. Нормаланған кеңістік. Функцианалдық тандаудағы көбінесе
кездесетін жалпы кеңістіктер сызықтық (векторлық) топологиялық кеңістік,
яғни C комплекс сандар өрісінің (немесе R нақты сандарының )
сызықтық кеңістік болып табылады. Бұл кеңістік бір мезгілде топологиялық
және сызықты операциялар осы кеңістікте үзіліссіз. Дербес, бірақ өте
қажетті жағдай, сызықтық кеңістігінде қасиеттері қарапайым евклидтік
кеңістігінің векторлар ұзындығының қасиеттерінің жалпыламасы болатындай
векторлар нормасын (ұзындығын) сиғызуға болады. Дәл элементінің
нормасы деп, және тек қана болған жағдайда орындалатын
- нақты санын атаймыз.
,
, егер( ) болса
және - ”үшбұрыш теңсіздігі„ орындалса
сызықтық кеңістігіндегі екі түрлі және нормасын
енгізейік. және номалары эквивалентті деп аталады, егер кез
келген үшін теңсіздігі орындалатындай сандары
табылса.Бұдан еуі норма сызықтық кеңістікте эквивалентті әрқайсысы
бір-біріне тәуелді болатыны анық.Бұл жағдайда егер Х сызықтық кеңістігінде
екі эквивалентті норма және Х1 және Х2 – сәйкесінше нормаланған
кеңістіктері берілсе, онда берілген кеңістіктердің бірінде жинақталатын
қатар,екінші кеңістікте де сондай шекке жинақталады.Бұл жайт,әр кеңістікте
өзімізге жұмыс істеуге ыңғайлы эквивалентті нормалардың бірін таңдауға
мүмкіндік береді.
Егер қарастырып отырған Х кеңістігіміз – ақырлы өлшемді болған
жағдайда,норманы таңдау кеңістікті өзгертпейді.Анығырақ: Кез келген ақырлы
өлшемді сызықтық кеңістікте барлық нормалар эквивалентті.
Мысал 3.1. Евклид кеңістігі.-сызықты жүйесі мүмкін болатын барлық
n- өлшемді векторларынан құралсын.. Егер - кеңістігінде
келесі нормалардың бірін енгізе алсақ, яғни немесе , онда
-евклидтік кеңістігі деп аталатын нормаланған кеңістікті аламыз.
Нормалардың аксиомалары сөзсіз тексеріледі. Бұл кезде, екінші норма үшін
үшбұрыш теңсіздігі ақырлы қосынды үшін Минковский теңсіздігінің қолдану
салдары болып табылады. .
Егер векторлар координатасы комплекс сандар болса, онда
немесе ,
(мүндағы - -комплекс санның модулі) нормасымен анықталған
векторының комплекс бағанынан құралған сызықтық система нормаланған
кеңсітік болып және евклидтік кеңістік тәріздес деп белгіленеді.
нүктесі жиынының шектік нүктесі деп аталады, егер
нүктесінің кез келген маңайында нүктесінен өзге болатын М жиынының
кемінде бір нүктесі жатса. Басқа сөзбен айтқанда, - жиынының
шектік нүктесі дейміз, егер кез келген шарында нүктесі табылса.
нүктесі жиынының шектік нүктесі болуы үшін , .
нүктесіне жинақталатын тізбегінің бар болуы қажетті және жеткілікті.
, ал – М жиынының шектік нүктелер жиыны болсын.
Онда жиыны М жиынының тұйықталуы деп аталады. Басқа сөзбен
айтқанда, - бұл құрамында М жиыны бар өте кішкентай тұйық жиын.
болатын М жиыны тұйық деп немесе берілген жиын тұйық деп аталады,
егер шектік нүктелерінің бәрі өзінде жатса.
сызықтық кеңістігіндегі жиыны сызықты көпбейнелік деп
талады, егер кез келген және сандары үшін сызықтық
комбинациясы жиынында жатса. жиыны жиынының бір бөлігі
болғандықтан, сызықты көпбейнеліктің анықтамасынан жиыны да
сызықтық кеңістік екендігі шығады. Мұндай жиыны нормасы бойынша
жиынында тұйық болмайтынын ескерту қажет.
() нормаланған кеңістігінде жататын сызықты
көпбейнелігін жиынында тығыз дейміз, егер и саны үшін
теңсіздігі орындалатындай элементі табылса. Демек, егер
жиынында тығыз болса, онда үшін болатындай тізбегі
табылады.
Жоғарыда айтылған анықтаманы тұйықталумен салыстырсақ, жиыны
жиынында тығыз, , тұжырымы сызықты көпбейнеліктің
нормасы бойынша тұйықталуы -пен сәйкес келетінін байқаймыз. Бұл
кезде, кеңістігін нормасы бойынша сызықты
көпбейнеліктің толықтырушысы деп те атаймыз. Әрбір сызықты нормаланған
кеңістігінің толықтырушысы бар және бұл толықтырушы -ті өзіне
көшіретін изометриялық бейнесіне дейін дәл болатын жалғыз жиын.
Спектральді теорияның ең басты сұрақтарының бірі- меншікті және
қосалқы функциялар жүйесінің толықтығын қарастырып отырған кеңістікте
зерттеу. кеңістігіндегі жүйесінің толықтығы көбінесе
векторына тартылған, яғни векторының барлық сызықты комбинациясынан
құралған сызықты көпбейнеліктің Х жиынында барлық жерде дерлік тығыз екенін
дәлелдеу нәтижесінен шығады. Берілген элементтердің қарастырып отырған
кеңістікте сызықты қабықшасы тығыз болуы үщін жиі немесе жақын
орналасуы қажеттігі туралы келесі теоремада айтылады.
Теорема 3.1. (Мюнц). функциясының сызықты қабықшасы (мұндағы
, ) кеңістігінде тығыз болуы үшін қатарының
жинақталуы қажетті және жеткілікті.
Нормаланған кеңістіктердің толықтығын түсіндіру үшін келесі лемманы
қарастырайық.
Лемма 3.1. (тізбектердің жинақталуы туралы). Кез келген жиыны
үшін нормаланған (толық емес болуы мүмкін) кеңістігінде келесі
тұжырымдар эквивалентті:
1) жинақталады;
2)-тізбегінің кез келген -тізбекшесі жинақталады;
3) -тізбегі фундаментальді және берілген - тізбекшесі
жинақталады;
4) -тізбегі фундаментальді және - жинақталатын тізбекшесі бар;
5) - қатары жинақталады.
тізбегінің тізбекшесі деп, , ретімен құралған
тізбекті айтамыз, яғни тізбекшесінің тізбегінің
элементтерінің реті сақталады екен.
1.3.2. Гильберт кеңістігі. Көптеген есептерде ерекше дербес жағдай
туындайды, егер сызықтық кеңістігінде евклидтік кеңістігіндегі
қарапайым скалярлық көбейтіндінің жалпылауы болатын скалярлық көбейтіндіні
енгізсек. Яғни, x, у элементтерінің скалярлық көбейтіндісі деп,
(x, у) деп белгіленетін келесі қасиеттерді қанағаттандыратын комплекс санды
айтамыз.
• Барлық кезде (x, x) ≥ 0 және (x, x) = 0, тек қана x = 0 болған
жағдайында ;
• ;
• , кез келген ∈С.
саны норманың барлық аксиомаларын қанағаттандырады. Сондықтан, x
элементінің нормасы ретінде санын аламыз. Бұндай кеңістікті
сыртқы Гильберт кеңістігі деп атаймыз. Функционалдық талдауды негіздеу
үшін, қарастырып отырған кеңістіктің толық болғандығы маңызды (
кеңістіктің элементтерінің фундаментальді тізбегі осы кеңістіктің
элементіне жинақталуы үшін, яғни кез келген xm, xnХ үшін n, m →∞ ,
xn — xm → болса, онда Х жиынының элементі болатындай шегі
табылады).
Толық сызықты нормаланған және толық сыртқы гильберт кеңістігі,
сәйкесінше, банах және гильберт кеңістігі деп аталады. Бұл жағдайда,
метрикалық кеңістіктің толықтыруы ретінде (рационал саннан нақты санға
өтуі) сызықты нормаланған кеңістік банах (гильберт) кеңістігіне келтіреді.
Егер кеңістіктегі норма скалярлық көбейтіндіден туындаса, онда
параллелограмм тепе-теңдігі орындалады:
. (3.1)
Кәдімгі евклидтік кеңістік гильберт кеңістігінің қарапайым мысалы бола
алады. Гильберт кеңістігі ретінде комплексті бағандардың кеңістігін
де алуға болады және онда скалярлық көбейтінді келесі формуламен
анықталады:
для всех .
Бірақ, функционалдық талдауда басты рөлді ақырсыз өлшемді
кеңістіктер, яғни сызықты тәуелсіз векторлардың ақырсыз санынан құралған
кеңістіктер атқарады.
Осындай кеңістіктердің мысалын келтірейік.

1.3.3. Функционалдық кеңістіктердің негізгі мысалдары.
Мысал 3.2. Элементтері - тұйық интервалында нормасымен
анықталған үзіліссіз комплексмәнді функциялар болатын Банах кеңістігі. Бұл
кезде кеңістігінде норма бойынша жинақталу- математикалық анализ
курсынан белгілі бірқалыпты жинақталу болып табылады.
Мысал 3.3. тұйық интервалында , (мұндағы - к-ші ретті
f(x) функциясының туындысы) нормасымен анықталған комплексмәнді үзіліссіз
дифференциалданатын функцияларынан құралған Банах кеңістігі. -
тізбегінің жинақталуы – бұл тізбектерінің интервалындағы
бірқалыпты жинақталу.
Мысал 3.4. интервалында (p ≥ 1) функция дәрежесімен
анықталған барлық р бойынша қосындыланатын Банах кеңістігі.
кеңістігіндегі норма бойынша жинақталу деп, ал - кеңістігіндегі
норма бойынша тізбектердің жинақталуын орташа квадраттық жинақталу деп
атайды.
Мысал 3.5. (бүтін сандар жиыны) ақырсыз тізбектерінің , ал
нормасы бойынша анықталатын -Банах кеңістігі.
Мысал 3.6. p = 2 жағдайында және - гильберт кеңістіктері,
мысалы, -да скалярлық көбейтінді
.
және кеңістіктері жағдайында Гильберт кеңістігі бола
алмайтындығына оңай көз жеткізуге болады, өйткені бұл кеңістіктерге
енгізілген нормалар (3.1) параллелограмм тепе- теңдігін қанағаттандырады.

Бұл кеңістіктердің барлығы ақырсыз өлшемді, бұл үшін оңай
көрсетіледі: -саналатын векторлар саны сызықты тәуелсіз.
1.3.4. Лебег интегралы ұғымы.
Ескерту 3.1. Осы және төменде келтірілетін интегралдардың барлығы
Лебег бойынша интегралданады. Лебег интегралын қалай түсінеміз ?. Жалпы
теория бұл сұраққа Лебег өлшемін қолдану арқылы нақты, әрі терең жауап
береді. Интегралды қолданушы үшін келесі анықтаманы береміз.
жиыны нөл өлшеміне ие болады, егер кез келген саны үшін
болатындай ақырлы немесе саналатын кесінділер жүйесі табылса.
Егер интервалында өлшемі нөл болатын функциялар тізбегі үшін
f(x) функциясына тең болатын шегі бар болса, онда интервалында
f(x) - функциясына барлық жерде дерлік жинақталады дейміз де,
түрінде белгілейміз.
f(x) - интервалында Лебег бойынша интегралданады дейміз, егер
нормасы бойынша фундаментальді үзіліссіз - тізбегі табылып,
шегі бар болса. Бұл кезде интеграл ұғымы Риман мағынасында, яғни
үзіліссіз функцияның интегралы ретінде түсініледі.Онда f(x) функциясының
аралығындағы Лебег интегралы деп, саны аталынады.
Демек, 3.4. мысалында кеңістігінің элементтері - Лебег
интегралы ақырлы болатын функциялар, ал кеңістігі- интегралы
ақырлы болатын өлшенетін функциялар.
Шегініс 3.1. Көп жағдайда, егер кеңістік өлшемімен берілсе
(мұндағы -саналатын аддитивті, Dom - -алгебра, х-ке
байланысты, егер болса, онда -өлшемнің толықтығы), онда
кеңістігі деп f комплексмәнді функциялардан құралған кеңістікті айтамыз:
,
мұндағы - функциясымен барлық жерде дерлік сәйкес келетін
функциялар. Демек, Лебег бойынша интегралдағанда нөл өлшемін ескермейтін
болсақ, онда шын мәнінде, кеңістігінің элементтері ретінде бір-
бірінен нөл өлшемі бар жиыны бойынша айырмашылықтары бар, бір-біріне
эквивалентті - функциялар класын қарастыруға болады екен.
Енді егер кеңістік ретінде Z бүтін сандар жиынын алып, ал өлшемді
төмендегідей анықтасақ,
,
онда кеңістігі кеңістігімен сәйкес келеді.
Расында да, өлшенеді, егер келесі интеграл ақырлы болса
.
Бұл жағдайда
болады.
Яғни кеңістігі . –ның дербес жағдайы екен.
Берілген шегініс Лебег интегралы және өлшемі бірдей болатын Лебег
кеңістіктері туралы жалпы теорияны бейнелейді. Бірақ, көптеген ұсыныстарда
дифференциалдық теңдеулердің шешімін табу есептері үшін Лебегтің қарапайым
өлшемі келтіріледі. Бұл өлшемді 3.1. ескертуде келтірілген мағынасында
интеграл анықтамасын түсінуге болады.
1.3.5. С.Л.Соболев кеңістігі.
Мысал 3.7. () белгілеуі арқылы нормасы бойынша
аралығында к рет үзіліссіз дифференциалдау толықтыруы нәтижесінде алынатын
функциялардың банах кеңістігін белгілейік. жағдайында бұл кеңістік
скаляр көбейтіндісі :
.
болатындай гильберт кеңістігіне айналады.
Шын мәнінде, барлық жерде Лебег инетгралы қолданылғанымен, толықтыруы
нәтижесінде бұл кеңістіктер өте экстравагантты функциялар элементіне ие
болады. кеңістігін құрайтын элементтер аралығында абсолютті
үзіліссіз және f'(x) Лебег интегралы, яғни ақырлы болуы қажет. Бұл
жердегі берілген кеңістіктің айнымалыларының өлшемі бірден үлкен екенін
ескертейік, яғни .
Шегініс 3.2. Ары қарай, Соболев кеңістігі көбірек қолданылғандықтан
абсолютті үзіліссіз функция туралы толығырақ тоқталайық.
функциясы аралығында абсолютті үзіліссіз деп
аталады, егер кез келген саны мен кез келген аралығы үшін
: : теңсіздігі орындалатындай саны табылса.
Егер функциясы аралығында абсолютті үзіліссіз болса,
онда барлық жерде дерлік дифференциалданады және . Кері
тұжырым да дұрыс: егер болса, онда функциясы
аралығында абсолютті үзіліссіз және осы аралықта болады.
1.3.6. Ішкі кеңістік. Геометриялық тұрғыдан ең қарапайым кеңістік, ол
қасиеттері ақырлы өлшемді евклид кеңістігіне ұқсас Н-гильберт кеңістігі.
Дербес жағдайда, x, уН векторлары ортоганальді деп аталады, егер
(x, у) = 0.
Мысал 3.8. кеңістігінде скалярлық көбейтіндіге қатысты
функциясы ортанормаланған, яғни
.
Есептеу арқылы көз жеткізуге болады.
Н кеңістігінің сызықты, тұйық жиыншасын оның ішкі кеңістігі деп
атаймыз. Кез келген Н үшін кез келген F ішкі кеңістігіне проекциясы,
яғни кез келген f F үшін x—xFf болатындай xF векторы. Осы
дәлелге байланысты көптеген геометриялық конструкциялар евклид кеңістігінен
Н-қа көшеді, олардың көбісі аналитикалық түрде бейнеленеді. Мысалы,
ортогонализациялаудың қарапайым процедурасы Н кеңістігінде ортанормаланған
базис-шексіз векторларды, кез келген Н , жағдайында
болатындай түрде координаталық жіктелу
(3.2)
орындалады, мұндағы .
Егер Н кеңістігі ретінде кеңістігін алып және ,
n=...,—1, 0, 1..., (3.2) формуласына қойсақ, онда ол орташа квадраттық
жинақталатын функциясын Фурье қатарына жіктеуге болады:
. (3.3)
Және (3.2) қатынасы Н пен кеңістіктерінің ұқсастықтарын
көрсетеді, яғни әрбір x(t)Н үшін жалғыз элементі сәйкес келеді
және (3.2) формуласы арқылы жазылады.
Мысал 3.9. болатын өлшенетін функциялар жиыны
кеңістігінің ішкі кеңістігін құрайды. 3.5 мысалында кірістірілген
скалярлық көбейтіндіні ескерсек, біз үшін болатындай ішкі
кеңістікті сипаттай аламыз. Сонымен қатар, осы ішкі кеңістікті

нормасымен анықталған жеке кеңістік ретінде қарастыруға болады. Бұл
кеңістік гильберт кеңістігі болады, егер бұл кеңістіктегі скалярлық
көбейтіндіні келесі формуламен жазатын болсақ, яғни
. ■
Мысал 3.10.
(3.4)
скалярлық көбейтіндісімен анықталған гильберттің Соболев кеңістігінде
сызықты көпбейнелігін қарастырайық, ол қандай да бір нүктесінде
нөл мәнін қабылдасын:
. (3.5)
нүктесі ішкі кеңістігін құрайтынын көрсетейік, яғни
ішкі кеңістігіне қатысты сызықты тұйық норманы құрайды. Ол үшін
сызықты көпбейнелегі функциясына ортоганальді болатын ішкі
кеңістікпен сәйкес келетіндей функциясын табуымыз қажет, яғни
. (3.6)
(3.4) формуласында келтірілген скалярлық көбейтіндіні ескере отырып,
(3.5) және (3.6) формулаларын салыстыра отырып, кез келген функциясы
үшін келесі қатынас орындалатындығы шығады
. (3.7)
функциясын тегістеу функциялар класында қарастырайық.
функциясы нүктесінде үзіліссіз дифференциалданбағандықтан, екінші
қосындыға бөліктеп интегралдауды қолдану үшін аралықты екіге бөлеміз:
. Онда
(3.8)
Сондықтан,
. (3.9)
Егер функциясы келесі шарттарды қанағаттандырса, онда (3.9)
формуласы кез келген функциясы үшін орындалатынына оңай көз жеткізуге
болады.
1) (3.10)
2) және аралығында функциясы келесі дифференциалдық
теңдеудің шешімі болады.
. (3.11)
3) төмендегі шарттар орындалуы қажет:
(3.12)
болған жағдайда функциясының бар болатындығын көрсетейік.
Демек, (3.12) шектік шарттарды қанаттандыратын (3.11) қарапайым
дифференциалдық теңдеудің шешімін табу қажет. (3.11) теңдеуі екінші ретті
дифференциалдық теңдеу болғанымен, ал шекаралық шарттар үшеу болғанымен бұл
есептің шешімі үйлесімді. Өйткені, соңғы шарт шекаралық емес, ішкі шарт
болады. (3.11) теңдеуін шешу үшін нүктесінде бірінші ретті
үзілістілік жіберілді, ал шешімнің өзі үзіліссіз, өйтені ол
кеңістігінде жатады. Шешімнің үзіліссіздік шартын келесі түрде жазамыз:
. (3.14)
Демек, (3.11) шешімі үшін төрт шекаралық шарттарды алдық:(3.12)+(3.14).
Бірақ бұл теңдеуді екінші ретті екі дифференциалдық теңдеу ретінде
қарастыруға болады: біріншісі- аралығында және екіншісі -
аралығында. Сондықтан, берілген есеп үйлесімді.
Енді бұған есептеу арқылы көз жеткізейік.
(3.11) теңдеуінің әрбір және аралықтарында берілген
(3.10) функциялар класындағы жалпы теңдеуінің түрі:
, (3.15)
мұндағы - кез келген тұрақты.
(3.15) және (3.12) , (3.14) шарттарын қанағаттандыра отырып,
тұрақтыларын анықтау үшін келесі сызықты теңдеулер жүйесін аламыз:
(3.16)
Осы жүйенің анықтауышын есептеп, табамыз. Сондықтан, шарты
орындалғанда (3.16) системасының бір ғана немесе жалғыз шешімі бар.
функциясы (3.15) формуласы бойынша жазылғандықтан,
екендігі шығады. Сондықтан сызықты көпбейнелігі кеңістігінің
ішкі кеңістігін құрайды.
1.3.7. Кеңістіктерді кірістірудің бастапқы түсінігі. Әртүрлі
кеңістіктерді қолданғанда кеңістіктерді кірістіру түсінігінің маңызы зор.
сызықты нормаланған сызықты нормаланған кеңістігіне
кірістірілді дейміз, бүкіл жиынында келесі заңдылық орындалса:,
яғни үшін теңсіздігі орындалатындай саны табылса.
Көбінесе бұндай заңдылық ретінде қолданылады. Бұндай заңдылық
кірістіруді орындайды.
(жеңілдету үшін, барлық жерде аралығы ақырлы саналады ):
• барлық кеңістігін , егер ;
• барлық кеңістігін кез келген бүтін ;
• кеңістіктердің кірістіруі -ны -ға кез келген ;
• Лебег кеңістігінің егер ;
• Соболев кеңістігінің кірістіруі егер ;
• кірістіру -ны -ға егер ;
• кірістіру -ны -ға кез келген , .
Кеңістіктерді кірістіру туралы қосымша қорытындылар үзіліссіз операторды
енгізгеннен кейін айтылады.
1.3.8. Сепарабельді кеңістіктер. - ақырсыз өлшемді Банах
кеңістігі болсын. тізбегі кеңістігінің базисі деп аталады,
егер кез келген элементті жинақталатын қатар түрінде жаза алатын
болсақ:
. (3.17)
сандары элементінің базисындағы координаталары деп
аталады. Демек, кез келген элементті (3.17) түрінде жаза аламыз.
ақырсыз элементтер жүйесін называют сызықты тәуелсіз деп
атаймыз, егер кез келген байланысты ақырлы жүйесі сызықты
тәуелсіз болса.
нормаланған кеңістігі сепарабельді деп аталады, егер осы
кеңістікте барлық жерде дерлік тығыз, саналатын жиындар бар
болса.Практикада көбінесе қолданылатын кеңістіктер сепарабельді болып
табылады.
Дербес жағдайда, саналатын базистері бар банах кеңістігі-сепарабельді.
Расында да, егер - кеңістігінің базисі болса, онда
мүмкін болатын сызықтық комбинациясы (мұндағы , және -
рационал сандар) кеңістігінде барлық жерде дерлік тығыз, саналатын
жиынды құрайды.
Теорема 3.2. Кез келген ... жалғасы

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.