Штурм-Лиувиллдің шекаралық есебі

Жұмыс түрі: Дипломдық жұмыс
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 42 бет
Таңдаулыға:

МАЗМҰНЫ

АННОТАЦИЯ
КІРІСПЕ

I-БӨЛІМ
1. Түрлендіру операторы.
2. Кесінді бойындағы Штурм-Лиувиллдің шекаралық есебі.
3. Кеңістік туралы түсінік.

II-БӨЛІМ
1. Мәселенің мәні.
2. Кері операторды тұрғызу.
3. Алынған нәтижелерді белгілі формулалармен салыстыру.
4. кеңістігіндегі интегралдық оператордың сыңары туралы
лемма.
5. Штурм-Лиувилл операторына кері оператордың сыңары.
6. Штурм-Лиувиллдің бастапқы операторының сыңары.
7. Негізгі нәтижелер.
8. Алынған нәтижелердің Айнс пен Левинсонның теоремаларынан
өзгешілігі.
9. Штурм-Лиувилл операторының тегінің жалқы болуының бір белгісі
туралы.

ҚОРЫТЫНДЫ
ҚОЛДАНҒАН ӘДЕБИЕТТЕР ТІЗІМІ

АННОТАЦИЯ

В настоящей дипломной работе получены новые критерии симметричности и
самосопряженности в существенном регулярного модельного обратимого
оператора Штурма-Лиувилля. Полученные результаты сформулированы в терминах
свойств коэффициентов граничных условий оператора Штурма-Лиувилля.

АННОТАЦИЯ

Бұл дипломдық жұмыста тұрлаулы моделді Штурма-Лиувилл операторының
симметриялы болуының, сонымен бірге, түбірі жалқы екендігінің жаңа
белгілері табылған. Алынған нәтижелер шекаралық шарттардың
коэффициенттерінің қасиеттері ретінде тұжырымдалған.

THE SUMMARY

In the present degree job the new criteria of symmetry and
самосопряженности in essential of the regular modelling convertible
operator of Storm – Lyuvill are received. The received results are
formulated in the terms of properties of factors of boundary
conditions of the operator of Storm –Lyuvill.

КІРІСПЕ

Табиғатта симметрия заңдары маңызды қызмет атқарады, белгілі бір
гильберттің кеңістігінде анықталған операторының жалқылығы да
симметрияның бір көрінісі болып табылады. Табиғаттың көптеген құбылыстары
шекаралық есептер арқылы өрнектеледі, олардың ішінде сызықтылары көптеп
кездеседі. Бұл шекаралық есептер зерттелетін құбылыстың математикалық
моделі болып табылады және олар болмысқа белгілі бір дәлдікпен сәйкес
келеді. Математикалық модель адекватты болуы керек, яғни модель арқылы
алынған нәтижелер эксперимент арқылы алынған нәтижелерде асаалшақ кетпеуі
керек. Сызықты біртекті шекаралық есептерге сызықтық операторлар сәйкес
келеді.Егер система тұйық болса, онда мұндай системаға жалқы оператор
келеді. Системаның тұйықтығы, оған сырттан әсер етуші күштердің жоқтығын
білдіреді, немесе сыртқы күштер мен ішкі күштердің тепе-теңдігін білдіреді,
қалай болғанда дасистеманың жалпы энергиясы сақталуы керек. Сонымен жалқы
операторлар арқылы өрнектелетін системаларда толық энергия сақталады,
демек мұндай операторлардың маңызы зор, сондықтан жеке зерттеуді
қажететеді.
Система ұғымы жиын ұғымы сияқты жалпы ұғымдар қатарына жатады,
сондықтан оған анықтама берілмейді. Олардың ең қарапайым үлгісі қара жәшік
(1-ші суретке қара ).
Системаға белгілі бір ақпарлар беріледі және белгілі бір
ақпарлар одан алынады. Олшекаралық есеп, дифференциалдық немесе интегралдық
теңдеу болуы мүмкін. Тіптім функцианалдық немесе айырымдық схемалардан
тұратын теңдеулер системасы да болуы мүмкін. Ең маңыздысы оған бастапқы
ақпар беріледі және соңғы ақпар алынады.
Шығармамыздың біртұтастығы үшін негізгі анықтамаларды келтіре
кетейік, кейінірек олар кеңінен қолданылады

АНЫҚТАМА 0.1. Гильберттің кеңістігінің сызықтық
көпсаласының әрбір элементіне осы кеңістіктің белгілі бір элементін сәйкес
қоятын сызықтық түрлендіруді осы кеңістікте анықталған сызықтық оператор
дейміз. - сызықтық көпсаласы операторының анықталу аймағы
болып саналады.
АНЫҚТАМА 0.2. Жұптпрдан құралған кеңістігінің мына жиыны
.
(0.1)
- сызықтық түрлендіруінің графигі деп аталады..
АНЫҚТАМА 0.3. Егер жиыны кеңістігі тұйық болса, онда
операторы тұйық операторы деп аталады.
АНЫҚТАМА 0.4. және операторы кеңістігінде
анықталсын делік. Егер болса, онда операторын
операторының ұлғайтындысы дейміз, ал операторын операторының
тарылдысы дейміз, бұл сәтте деп жазамыз. Басқаша айтқанда
сонда және тек сонда ғана қашан только если және барлық
үшін.
АНЫҚТАМА 0.5. Егер операторының тұйық ұлғайтындысы бар болса,
онда оны қабынатын оператор дейміз. Осындай қабына алатын
операторының ең кіші қабындысы бар және арқылы белгілейді.
ЛЕММА 0.1. Егер қабынатын оператор болса, онда .
АНЫҚТАМА 0.6. дегеніміз Гильберттің кеңістігіндегі
шектеулер сызықтық оператор болсын, оған сыңар оператор деп мына формула

(0.2)
кез келген ,
арқылы анықталатын сызықтық шектеулі операторын айтамыз, мұндағы
- дегеніміз кеңістігіндегі скаляр көбейтінді.
Сыңар оператор ұғымын шектеусіз, бірақ тығыз анықталған
операторларға енгізуге болады.
АНЫҚТАМА 0.7. дегеніміз Гильберттің кеңістігіндегі тығыз
жиында анықталған оператор болсын делік, ал дегеніміз
элементі табылып, мына теңдік

(0.3)
барлық үшін орындалатындай элементтерінің жиыны делік. Онда
кез келген үшін
.
(0.4)
болсын деп келеміз, міне осы операторын операторының сыңары
дейміз.
Рисстің әйгілі леммасы бойынша барлық үшін мына теңсіздік
,
(0.5)
орындалғанда ғана .
қатыстығынан қатыстығы туындайды..
Тағы бір айта кетер жай, элементі (0.3) формуласы арқылы
бірмәнді анықталуы үшін жиынтық Гильберттің кеңістігінде тығыз
орналасуы қажет, анықтама тек сонда ғана мәнді болады.
Егерде операторының анықталу аймағы жиыны Гильберттің
кеңістігінде тығыз орналасса, онда операторын да анықтауға
болады (бірақ бұл бола бермеді ) .
Дифференциалдық теңдеулерге арналған шекаралық есептерді сызықтық
операторлар теориясы арқылы зерттегенде келесі терминдер аса ыңғайлы.
АНЫҚТАМА 0.8. Егер барлық , -лар үшін

(0.6)
теңдігі орындалса, әрі тығыз жиында анықталса, онда бұл екі
операторды өзара сыңарлас операторлар дейміз.
Сыңарлас оператор біреу ғана емес, мысалға сыңарлас
операторының кез келген тарындысы да операторына сыңарлас
болады. Егер мен шектеулі операторлар болса және
болса, онда . операторының нағыз сыңары операторы барлық
сыңарлас операторлардың ең үлкен ұлғайтындысы екені ешбір күмән туғызбаса
керек.
АНЫҚТАМА 0.9. Егер екі шекаралық есептерге сәйкес екі дифференциалдық
операторлар өзара сыңар (сыңарлас) деп атаймыз.
АНЫҚТАМА 0.10. Егер кез келген үшін , және
операторы гильберттің кеңістігінде тығыз анықталған болса, онда
операторын осы кеңістіктегі симметриялы дейміз, және мұны былай
жазамыз . Бұған әлдес шарт мынадай, барлық үшін

(0.7)
теңдігі орындалғанда ғана симметриялы оператор.
АНЫҚТАМА 0.11. Егер болса, онда оны жалқы оператор дейміз,
яғни сонда және тек сонда ғана қашан және .
Симметриалы оператор қабынатын оператор, себебі , демек
жиыны кеңістігінде орналасқан. Егер -симметриалы оператор
болса, онда оның тұйық ұлғайтындысы. Сондықтан операторының ең
кіші әрі тұйық тарындысы әлгі операторының тарындысы болу
керек. Сонымен симметриалы операторға мына қатыстықтар
.
(0.8)
әркез орындалады.
Тұйық симметриялы оператор үшін
,
(0.9)
Ал жалқы оператор үшін
,
(0.10)
болады, мұнан операторы симметриялы болғанда ғана тұйық симметриялы
операторы жалқы болатынын байқаймыз.
Жалқы операторлар мен тұйық симметриялы операторлар арасындағы
айырмашылық тым үлкен. Жалқы операторлар симметриялы дифференциалдық
теңдеулердің жайлы есептеріне сәйкес келеді, ал тұйық симметриялы
операторлар симметриялы дифференциалдық теңдеулердің әсіресе қойылған
есептеріне сәйкес келеді.
Енді өте маңызды түбі (тегі) жалқы оператор ұғымын енгізейік.
АНЫҚТАМА 0.12. Егер симметриялы операторының қабындысы
жалқы оператор болса, онда операторын түбі (тегі) жалқы оператор
дейміз. Егер тұйық операторының аймағындағы бөлігінің қабындысы
сол операторы болса, онда аймағы операторының маңызды
аймағы дейміз.
Егер операторының түбі жалқы болса, онда оның тек бір ған жалқы
ұлғайтындысы бар. Шынында да егер -ның -ның жалғыз ұлғайтындысы
десек, онда тұйық және шартынан шарты туындайды. Олай
болса, , демек .
Бұған кері тұжырым да орынды, яғни егер операторының тек бір
ғана жалқы ұлғайтындысы боса, онда бұл түбі жалқы оператор.
Түбі жалқы оператор ұғымы тұйық емес, бірақ симметриялы операторға
қолданылады. Егер мұндай оператордың түбі жалқы екенін көрсете білсек, онда
оған тек бір ғана жалқы оператор сәйкес келеді. Басқаша айтқанда,
егер түбі жалқы оператор болса, онда оның анықталу аймағын дәл
сипаттау шарт емес (бұл көп сәтте күрделі, әсіресе дербес туындылы
дифференциал операторлар үшін) белгілі бір маңызды аймағын сипаттау
жеткілікті.Бұл осысымен құнды.
Міне дәл осы себепті дифференциал теңдеулерге қойлған жалқы
шекаралық есептердің спекртральдік теориясы оңай құрылады.
Келесі мысал, симметриялы оператордың жалқы ұлғайтындыларының көп
болуы мүмкін екенін көрсетейік.
МЫСАЛ 0.1. - дифференциалдық
, (0.11)

операторы кеңістігіндегі симметриялы оператор екеніне жай ғана
бөліктеп интегралдау арқылы көз жеткізуге болады.
, , , (0.12)
Операторының тек болғанда ғана жалқы операторлар болатынына көз
жеткізуге онша қиын емес.
Барлық үшін болғандықтан симметриялы тұйық
операторының континум жалқы ұлғайтындылары бар.
Маңызды аймақ ұғымы, дифференциал теңдеулердің шекаралық
есептеріне сәйкес дифференциал операторларды зерттегенде аса-маса пайдалы,
осы ұғымға сүйеніп негізгі іс-әрекеттерді тұйық емес оператордың анықталу
аймағында жүргізуге болады, бұл жиындар көпшілік жағдайда біртегіс
функциалардан тұрады.Следует отметить, что существуют примеры
симметрических операторов, которые совсем не имеют самосопряженных
расширений.
ЕСЕПТІҢ ҚОЙЫЛУЫ. Гильберттің кеңістігінде Штурм-Лиувиллдің
мынадай
, ,
(0.13)
(0.14)
операторын қарастырайық, мұндағы - кез келген комплекс
сандар..
Осы оператордың коэффициенттері қандай шарттарды
қанағаттандырғанда бұл операторлар түбі (тегі) жалқы операторлар болады-
деген сұрақ туады.
Қойылған мәселеге байланысты белгілі деректерге тоқталайық.
ТЕОРЕМА 0.1 [1]. Егер коэффициенттері нақты сандар болса,
онда Штурм-Лиувиллдің есебінің (немесе Штурм-Лиувилл операторының) жалқы
болуы үшін

(0.15)
теңдігінің орындалуы қажетті және жеткілікті, мұндағы -

(0.16)
матрицасының -ші мен-ші бағандарынан құралған анықтауыш.
Егер коэффициенттері комплекс сандар болса, онда
жалқылық белгісі мынадай [2].
ТЕОРЕМА 0.2 [2]., Егер (х)-оң, (х)- үздіксіз нақты функция,
(х) функциясы интервалында абсалютті үздіксіз болса, онда
,
. (0.17)
Штурм-Лиувилл операторының жалқы болуы үшін
(0.18)
теңдіктерінің орындалуы қажетті және жеткілікті
Егерде -коэффициенті нақты болса, онда тек соңғы шарт
жеткілікті екенін айта кетейік.
Шын мәніде бұл теоремалар Штурм-Лиувилл операторының симметриялық шартын
ғана береді, ал жалқылық және түбі (тегі) жалқы операторлар кейінірек
пайда болды және олар оператордың қабындылы ұғымымен байланысты.
Дипломдық жұмыстың бірінші бөлімі көмекші қызмет атқарады, онда
негізгі ұғымдар мен анықтамалар берілген. Негізгі нәтижелер екінші бөлімде,
неді соларға тоқталайық.
Екінші бөлімнің екінші бөлімшесінде Штурм-Лиувилл операторына кері
операторы тұрғызылады.
ТЕОРЕМА 2.1. Егер функциясы кесіндісінде үздіксіз және
,
(0.19)
(0.20)

болғанда, (0.21)

онда операторына кері оператор бар және ол мынадай болады

. (0.22)
Екінші бөлімнің үшінші бөлімшесінде формула бұрыннан белгілі
нәтижелермен салыстырылды, ондағы мақсат формуламыздың дұрыстығына көз
жеткізу.
Екінші бөлімнің төртінші бөлімшесінде кеңістігінде интегралдық
опертордың сыңары туралы лемма дәлелденді.
ЛЕММА 4.2. Мына
,
(0.23)
интегралдық оператор келесі
,
(0.24)
Интегралдық оператордың кеңістігіндегі сыңары болу үшін
.
(0.25)
теңдігінің орындалуы қажетті және жеткілікті. Мұндағыт ,
ядролары Гильберт-Шмидтің класынан екенін айта кеткен жөн, яғни

Екінші бөлімнің бесінші бөлімшесінде, әлгі, леммаға сүйеніп Штурм-
Лиувилл операторына кері оператордың сыңары тұрғызылады.
ТЕОРЕМА 5.1. Егер , - комплекс сандар және
,
(0.26)
(0.27)
болса, онда

(0.28)
шарты орындалған сәтте операторына кері оператор бар және оның
сыңары мынадай болады
,
(0.29)
мұндағы
(0.30)
Екінші бөлімнің алтыншы бөлімшесінде сыңар оператордың шекаралық
шарттары табылған
ТЕОРЕМА 6.1. Егер
,
(0.31)
(0.32)
Штурм-Лиувилл операторы кеңістігінде қайтымды оператор болса, онда
оған сыңар оператор төмендегідей болады
,
(0.33)
Екінші бөлімнің жетінші бөлімшесінде қайтымды Штурм-Лиувилл
операторының симметриялы болуының үзілді-кесілді шарты табылған..

ТЕОРЕМА 7.1. Егер
,
(0.34)
болса, онда мына
,
(0.35)
(0.36)
Штурм-Лиувилл операторы симметриалы болу үшін мына шартардың
, ,
(0.37)
.
орындалуы қажетті және жеткілікті.
Екінші бөлімнің сегінші бөлімшесінде алынған нәтиже бұрыннан белгілі
деректермен салыстырылып жаңа екеніне көз жеткізілді.
Соңғы тоғызыншы бөлімшеде зерттеуіміздің негізгі нәтижесі алынады.
ТЕОРЕМА 9.3. Егер
(а) ,
(0.38)
(б), ,
(0.39)
,
болса, онда мына
, ,
(0.40)
(0.41)
Штурм-Лиувилл операторы кеңістігінде түбі (тегі) жалқы оператор,
яғни оның қабындысы оперторы кеңістігіндегі жалқы оператор.

1. Түрлендіру операторы

интервалында Штурм-Лиувиллдің дифференциалдық теңдеуін
қарастырайық:

(1.1)
мұндағы- осы интервалдағы үзіліссіз комплексті функция, ал -
комплексті параметр. Кейінірек функциясын бұл теңдеудің потенциалы
немесе Штурм-Лиувилл операторына сәйкес келетін функция деп атаймыз.
Бастапқы берілген (1) теңдеудің шешімін арқылы белгілейік.
,
(1.2)
(здесь индекс 0 означает, что начальные данные задаются в точке 0, а
буква напоминает, что они такие же, как у функции , с которой
совпадает , если ).
ТЕОРЕМА 1.1. (2) бастапқы берілген (1) теңдеудің шешімі мына
түрде болады:
,
(1.3)
Мұндағы - үзіліссіз функция, Римана функциясы арқылы өрнектелген
теңдеу мынадай

,
мына формуладан
.
Интегралдық оператор мына формула арқылы анықталған
,
түрлендіру операторы деп атаймыз, нүктесінде бастапқы шарт
сақталынған.Ол мынадай функцияны ( (2) бастапқы берілген қарапайым
теңдеу (1) түрінің шешімі ) сол сияқты бастапқы берілген (1) теңдеудің
шешіміне көшіреді. және функциялары теңдеуінің шешімінің
фундаментальді жүйесін құрастырады.Бастапқы берілген 0-нүктесінде (1)
теңдеудің шешімін операторы бұл теңдеудің кез келген шешіміне
түрлендіреді.Сондықтан бастапқы берілген (1) теңдеуінің шешімі
,
(1.4)
Мына түрде қарастырсақ:
, (1.5)
мұндағы
. (1.6)
Бастапқы берілген (1) теңдеудің аналитикалық шешімі
,
(1.7)
Мына түрде беруге болады
,
(1.8)
мұндағы
.
(1.9)
Осы 1.1. теоремасынан мынадай салдар шығады.
САЛДАР 1.1. (4), (7) бастапқы берілгендер үшін (1) теңдеудің шешімін
мына түрде жазуға болады
, (1.10)
, (1.11)
мұндағы функция, функциясы (6), (9) формуласындағы (3)
операторының ядросы бойынша өрнектеледі.
(3), (10), (11) теңдігінің оң жағында анықталған , , ,
операторын 0 нүктесіне байланған түрлендіру операторы деп атаймыз.
ЛЕММА 1.1. Егер (2) бастапқы берілгендер үшін (1) теңдеудің
шешімі барлық мәнінде (3) формуламен берілсе, онда ядросы мына
теңдеуді қанағаттандырады
(1.12)
және, керісінше, егер функциясы (12) теңдеуін қанағаттандырса, онда
(3) формуласы оң жағындағы барлық мәндерінде үшін (2) бастапқы
берілгендер үшін (1) теңдеудің шешімі болады.
ТЕОРЕМА 1.2. (12) теңдеудің жалғыз ғана шешімі бар. Бұл шешім
үзіліссіз және мына теңсіздікті қанағаттандырады
, (1.13)
мұндағы
(1.14)
Егер функциясы үзіліссіз туындысы болса, онда ядросының
екі жақты алмастыру бойынша үзіліссіз туындысы бар.
САЛДАР 1.2. функциясы (3) түрлендіру операторының ядросы болу
үшін функциясы Гурс есебінің шешімі болуы қажетті және жеткілікті:
, , . (1.15)
Егер функциясы үзіліссіз дифференциалданса, онда (1.15) есебі
былай түрленеді:
, , . (1.16)

2. Ақырғы интервалдағы Штурма-Лиувиллдің шекаралық есебі

аралығында Штурма-Лиувилл теңдеунің шекаралық есебін
қарастырайық:
,
(2.1)
және екі шекаралық шарттармен :
, (2.2)
мұндағы - қосатын комплексмәнді функция, - туындылы комплексті
сандар.
Параметрмәні болғанда, мұндай шекаралық есептердің нөлдік
шешімдері болса, онда оны меншікті мән деп атаймыз, ал оған сәйкес шешім-
меншікті функция деп аталады. (1) теңдеуінің фундаментальді жүйесінің
шешімі мына анықталған бастапқы берілгендерді , мынау ,
арқылы белгілейік ( сонымен алдынғы бөлімшеде
белгіленген ). Сондықтан (1) теңдеуінің жалпы шешімі , :
функциясының сызықты комбинациясы болса, онда
, (2.3)
бұдан, (1), (2) шекаралық есептің нөлдік шешімі болады сонда ғана, егер
теңдеулер жүйесі
,
,
коэффициенттерінің нөлдік шешімі болса. Сондықтан меншікті мән
қарастырылған есепке квадрат түбірмен оның характеристикалық функциясы
сәйкес келеді.
. (2.4)
Мына анықтауышты ескере отырып вронскиан бірге тең болатындығын
көреміз, сол арқылы
, (2.4)
Функциясын табамыз. Мұндағы -анықтауыш, шекаралық шарттың
коэффициенті , матрица бағандарынан құралған.
.

Бұдан болғанда, (1)-(2) шекаралық есептің
характеристикалық функциясы мына түрге келеді:
(2.6)
және қарапайым жағдайда, яғни функцисы нөлден өзгеше болғанда
меншікті жүйенің толықтығы және тек шекаралық шарттарға қоюға болатын
қосарланған функция туралы сұрақ туады. Бұл келесі 3 шарттың орындалу
мүмкіндігін көрсетеді:
1) ; 2) ; 3) . (2.7)
Шекаралық шарт бұлардың кемінде біреуін қанағаттандырса, онда ол болымды
деп аталады.
ТЕОРЕМА 2.1. (1)-(2) толық болымды шекаралық шарттармен берілген
меншікті жүйе және қосарланған функцияның шекаралық есебін
кеңістігінде қарастырған.
Қосарланған функция анықтамасын еске түсірейік.
(4) анықтауышын элементі арқылы белгілеп, (1) теңдеуінің шешімін
құрастырайық:
.
(2.8)
(3) формуласынан тура -ға тең екендігін көреміз.
,
.
(1)-(2) шекаралық есептің меншікті мәні - еселік деп аталады,
егер функциясының еселік түбірі болса.
, ,
болса, онда функция
,
- (2) шекаралық шартын қанағаттандырады,егер болса.
функциялары тізбек құралады, біріншісі нөлден өзгеше
функциясы меншікті болады, ал келесілері функцияларға қосарланған. (1)
теңдеуін рет бойынша дифференциалдай отырып , (2) шекаралық
шартын және
теңдеуін
қанағаттандыратын меншікті және қосарланған функциялар тізбегін қорытып
шығарайық.
Бөліктелген шекаралық шарттармен берілген
, (2.9)
шекаралық есептерді қарастыра отырып
, , , , . (2.9)
аламыз. Бұдан болған жағдайда шекаралық шарт болымды, ал меншікті
жүйе және қосарланған функция толығымен кеңістігінде жатады.
Шындығында,меншікті және қосарланған функциялардың (1),(9)
шекаралық шарттары кеңістігінде базис құрады..
\
1.3.1. Нормаланған кеңістік. Функцианалдық тандаудағы көбінесе
кездесетін жалпы кеңістіктер сызықтық (векторлық) топологиялық кеңістік,
яғни C комплекс сандар өрісінің (немесе R нақты сандарының )
сызықтық кеңістік болып табылады. Бұл кеңістік бір мезгілде топологиялық
және сызықты операциялар осы кеңістікте үзіліссіз. Дербес, бірақ өте
қажетті жағдай, сызықтық кеңістігінде қасиеттері қарапайым евклидтік
кеңістігінің векторлар ұзындығының қасиеттерінің жалпыламасы болатындай
векторлар нормасын (ұзындығын) сиғызуға болады. Дәл элементінің
нормасы деп, және тек қана болған жағдайда орындалатын
- нақты санын атаймыз.
,
, егер( ) болса
және - ”үшбұрыш теңсіздігі„ орындалса
сызықтық кеңістігіндегі екі түрлі және нормасын
енгізейік. және номалары эквивалентті деп аталады, егер кез
келген үшін теңсіздігі орындалатындай сандары
табылса.Бұдан еуі норма сызықтық кеңістікте эквивалентті әрқайсысы
бір-біріне тәуелді болатыны анық.Бұл жағдайда егер Х сызықтық кеңістігінде
екі эквивалентті норма және Х1 және Х2 – сәйкесінше нормаланған
кеңістіктері берілсе, онда берілген кеңістіктердің бірінде жинақталатын
қатар,екінші кеңістікте де сондай шекке жинақталады.Бұл жайт,әр кеңістікте
өзімізге жұмыс істеуге ыңғайлы эквивалентті нормалардың бірін таңдауға
мүмкіндік береді.
Егер қарастырып отырған Х кеңістігіміз – ақырлы өлшемді болған
жағдайда,норманы таңдау кеңістікті өзгертпейді.Анығырақ: Кез келген ақырлы
өлшемді сызықтық кеңістікте барлық нормалар эквивалентті.
Мысал 3.1. Евклид кеңістігі.-сызықты жүйесі мүмкін болатын барлық
n- өлшемді векторларынан құралсын.. Егер - кеңістігінде
келесі нормалардың бірін енгізе алсақ, яғни немесе , онда
-евклидтік кеңістігі деп аталатын нормаланған кеңістікті аламыз.
Нормалардың аксиомалары сөзсіз тексеріледі. Бұл кезде, екінші норма үшін
үшбұрыш теңсіздігі ақырлы қосынды үшін Минковский теңсіздігінің қолдану
салдары болып табылады. .
Егер векторлар координатасы комплекс сандар болса, онда
немесе ,
(мүндағы - -комплекс санның модулі) нормасымен анықталған
векторының комплекс бағанынан құралған сызықтық система нормаланған
кеңсітік болып және евклидтік кеңістік тәріздес деп белгіленеді.
нүктесі жиынының шектік нүктесі деп аталады, егер
нүктесінің кез келген маңайында нүктесінен өзге болатын М жиынының
кемінде бір нүктесі жатса. Басқа сөзбен айтқанда, - жиынының
шектік нүктесі дейміз, егер кез келген шарында нүктесі табылса.
нүктесі жиынының шектік нүктесі болуы үшін , .
нүктесіне жинақталатын тізбегінің бар болуы қажетті және жеткілікті.
, ал – М жиынының шектік нүктелер жиыны болсын.
Онда жиыны М жиынының тұйықталуы деп аталады. Басқа сөзбен
айтқанда, - бұл құрамында М жиыны бар өте кішкентай тұйық жиын.
болатын М жиыны тұйық деп немесе берілген жиын тұйық деп аталады,
егер шектік нүктелерінің бәрі өзінде жатса.
сызықтық кеңістігіндегі жиыны сызықты көпбейнелік деп
талады, егер кез келген және сандары үшін сызықтық
комбинациясы жиынында жатса. жиыны жиынының бір бөлігі
болғандықтан, сызықты көпбейнеліктің анықтамасынан жиыны да
сызықтық кеңістік екендігі шығады. Мұндай жиыны нормасы бойынша
жиынында тұйық болмайтынын ескерту қажет.
() нормаланған кеңістігінде жататын сызықты
көпбейнелігін жиынында тығыз дейміз, егер и саны үшін
теңсіздігі орындалатындай элементі табылса. Демек, егер
жиынында тығыз болса, онда үшін болатындай тізбегі
табылады.
Жоғарыда айтылған анықтаманы тұйықталумен салыстырсақ, жиыны
жиынында тығыз, , тұжырымы сызықты көпбейнеліктің
нормасы бойынша тұйықталуы -пен сәйкес келетінін байқаймыз. Бұл
кезде, кеңістігін нормасы бойынша сызықты
көпбейнеліктің толықтырушысы деп те атаймыз. Әрбір сызықты нормаланған
кеңістігінің толықтырушысы бар және бұл толықтырушы -ті өзіне
көшіретін изометриялық бейнесіне дейін дәл болатын жалғыз жиын.
Спектральді теорияның ең басты сұрақтарының бірі- меншікті және
қосалқы функциялар жүйесінің толықтығын қарастырып отырған кеңістікте
зерттеу. кеңістігіндегі жүйесінің толықтығы көбінесе
векторына тартылған, яғни векторының барлық сызықты комбинациясынан
құралған сызықты көпбейнеліктің Х жиынында барлық жерде дерлік тығыз екенін
дәлелдеу нәтижесінен шығады. Берілген элементтердің қарастырып отырған
кеңістікте сызықты қабықшасы тығыз болуы үщін жиі немесе жақын
орналасуы қажеттігі туралы келесі теоремада айтылады.
Теорема 3.1. (Мюнц). функциясының сызықты қабықшасы (мұндағы
, ) кеңістігінде тығыз болуы үшін қатарының
жинақталуы қажетті және жеткілікті.
Нормаланған кеңістіктердің толықтығын түсіндіру үшін келесі лемманы
қарастырайық.
Лемма 3.1. (тізбектердің жинақталуы туралы). Кез келген жиыны
үшін нормаланған (толық емес болуы мүмкін) кеңістігінде келесі
тұжырымдар эквивалентті:
1) жинақталады;
2)-тізбегінің кез келген -тізбекшесі жинақталады;
3) -тізбегі фундаментальді және берілген - тізбекшесі
жинақталады;
4) -тізбегі фундаментальді және - жинақталатын тізбекшесі бар;
5) - қатары жинақталады.
тізбегінің тізбекшесі деп, , ретімен құралған
тізбекті айтамыз, яғни тізбекшесінің тізбегінің
элементтерінің реті сақталады екен.
1.3.2. Гильберт кеңістігі. Көптеген есептерде ерекше дербес жағдай
туындайды, егер сызықтық кеңістігінде евклидтік кеңістігіндегі
қарапайым скалярлық көбейтіндінің жалпылауы болатын скалярлық көбейтіндіні
енгізсек. Яғни, x, у элементтерінің скалярлық көбейтіндісі деп,
(x, у) деп белгіленетін келесі қасиеттерді қанағаттандыратын комплекс санды
айтамыз.
• Барлық кезде (x, x) ≥ 0 және (x, x) = 0, тек қана x = 0 болған
жағдайында ;
• ;
• , кез келген ∈С.
саны норманың барлық аксиомаларын қанағаттандырады. Сондықтан, x
элементінің нормасы ретінде санын аламыз. Бұндай кеңістікті
сыртқы Гильберт кеңістігі деп атаймыз. Функционалдық талдауды негіздеу
үшін, қарастырып отырған кеңістіктің толық болғандығы маңызды (
кеңістіктің элементтерінің фундаментальді тізбегі осы кеңістіктің
элементіне жинақталуы үшін, яғни кез келген xm, xnХ үшін n, m →∞ ,
xn — xm → болса, онда Х жиынының элементі болатындай шегі
табылады).
Толық сызықты нормаланған және толық сыртқы гильберт кеңістігі,
сәйкесінше, банах және гильберт кеңістігі деп аталады. Бұл жағдайда,
метрикалық кеңістіктің толықтыруы ретінде (рационал саннан нақты санға
өтуі) сызықты нормаланған кеңістік банах (гильберт) кеңістігіне келтіреді.
Егер кеңістіктегі норма скалярлық көбейтіндіден туындаса, онда
параллелограмм тепе-теңдігі орындалады:
. (3.1)
Кәдімгі евклидтік кеңістік гильберт кеңістігінің қарапайым мысалы бола
алады. Гильберт кеңістігі ретінде комплексті бағандардың кеңістігін
де алуға болады және онда скалярлық көбейтінді келесі формуламен
анықталады:
для всех .
Бірақ, функционалдық талдауда басты рөлді ақырсыз өлшемді
кеңістіктер, яғни сызықты тәуелсіз векторлардың ақырсыз санынан құралған
кеңістіктер атқарады.
Осындай кеңістіктердің мысалын келтірейік.
1.3.3. Функционалдық кеңістіктердің негізгі мысалдары.
Мысал 3.2. Элементтері - тұйық интервалында нормасымен
анықталған үзіліссіз комплексмәнді функциялар болатын Банах кеңістігі. Бұл
кезде кеңістігінде норма бойынша жинақталу- математикалық анализ
курсынан белгілі бірқалыпты жинақталу болып табылады.
Мысал 3.3. тұйық интервалында , (мұндағы - к-ші ретті
f(x) функциясының туындысы) нормасымен анықталған комплексмәнді үзіліссіз
дифференциалданатын функцияларынан құралған Банах кеңістігі. -
тізбегінің жинақталуы – бұл тізбектерінің интервалындағы
бірқалыпты жинақталу.
Мысал 3.4. интервалында (p ≥ 1) функция дәрежесімен
анықталған барлық р бойынша қосындыланатын Банах кеңістігі.
кеңістігіндегі норма бойынша жинақталу деп, ал - кеңістігіндегі
норма бойынша тізбектердің жинақталуын орташа квадраттық жинақталу деп
атайды.
Мысал 3.5. (бүтін сандар жиыны) ақырсыз тізбектерінің , ал
нормасы бойынша анықталатын -Банах кеңістігі.
Мысал 3.6. p = 2 жағдайында және - гильберт кеңістіктері,
мысалы, -да скалярлық көбейтінді
.
және кеңістіктері жағдайында Гильберт кеңістігі бола
алмайтындығына оңай көз жеткізуге болады, өйткені бұл кеңістіктерге
енгізілген нормалар (3.1) параллелограмм тепе- теңдігін қанағаттандырады.

Бұл кеңістіктердің барлығы ақырсыз өлшемді, бұл үшін оңай
көрсетіледі: -саналатын векторлар саны сызықты тәуелсіз.
1.3.4. Лебег интегралы ұғымы.
Ескерту 3.1. Осы және төменде келтірілетін интегралдардың барлығы
Лебег бойынша интегралданады. Лебег интегралын қалай түсінеміз ?. Жалпы
теория бұл сұраққа Лебег өлшемін қолдану арқылы нақты, әрі терең жауап
береді. Интегралды қолданушы үшін келесі анықтаманы береміз.
жиыны нөл өлшеміне ие болады, егер кез келген саны үшін
болатындай ақырлы немесе саналатын кесінділер жүйесі табылса.
Егер интервалында өлшемі нөл болатын функциялар тізбегі үшін
f(x) функциясына тең болатын шегі бар болса, онда интервалында
f(x) - функциясына барлық жерде дерлік жинақталады дейміз де,
түрінде белгілейміз.
f(x) - интервалында Лебег бойынша интегралданады дейміз, егер
нормасы бойынша фундаментальді үзіліссіз - тізбегі табылып,
шегі бар болса. Бұл кезде интеграл ұғымы Риман мағынасында, яғни
үзіліссіз функцияның интегралы ретінде түсініледі.Онда f(x) функциясының
аралығындағы Лебег интегралы деп, саны аталынады.
Демек, 3.4. мысалында кеңістігінің элементтері - Лебег
интегралы ақырлы болатын функциялар, ал кеңістігі- интегралы
ақырлы болатын өлшенетін функциялар.
Шегініс 3.1. Көп жағдайда, егер кеңістік өлшемімен берілсе
(мұндағы -саналатын аддитивті, Dom - -алгебра, х-ке
байланысты, егер болса, онда -өлшемнің толықтығы), онда
кеңістігі деп f комплексмәнді функциялардан құралған кеңістікті айтамыз:
,
мұндағы - функциясымен барлық жерде дерлік сәйкес келетін
функциялар. Демек, Лебег бойынша интегралдағанда нөл өлшемін ескермейтін
болсақ, онда шын мәнінде, кеңістігінің элементтері ретінде бір-
бірінен нөл өлшемі бар жиыны бойынша айырмашылықтары бар, бір-біріне
эквивалентті - функциялар класын қарастыруға болады екен.
Енді егер кеңістік ретінде Z бүтін сандар жиынын алып, ал өлшемді
төмендегідей анықтасақ,
,
онда кеңістігі кеңістігімен сәйкес келеді.
Расында да, өлшенеді, егер келесі интеграл ақырлы болса
.
Бұл жағдайда
болады.
Яғни кеңістігі . –ның дербес жағдайы екен.
Берілген шегініс Лебег интегралы және өлшемі бірдей болатын Лебег
кеңістіктері туралы жалпы теорияны бейнелейді. Бірақ, көптеген ұсыныстарда
дифференциалдық теңдеулердің шешімін табу есептері үшін Лебегтің қарапайым
өлшемі келтіріледі. Бұл өлшемді 3.1. ескертуде келтірілген мағынасында
интеграл анықтамасын түсінуге болады.
1.3.5. С.Л.Соболев кеңістігі.
Мысал 3.7. () белгілеуі арқылы нормасы бойынша
аралығында к рет үзіліссіз дифференциалдау толықтыруы нәтижесінде алынатын
функциялардың банах кеңістігін белгілейік. жағдайында бұл кеңістік
скаляр көбейтіндісі :
.
болатындай гильберт кеңістігіне айналады.
Шын мәнінде, барлық жерде Лебег инетгралы қолданылғанымен, толықтыруы
нәтижесінде бұл кеңістіктер өте экстравагантты функциялар элементіне ие
болады. кеңістігін құрайтын элементтер аралығында абсолютті
үзіліссіз және f'(x) Лебег интегралы, яғни ақырлы болуы қажет. Бұл
жердегі берілген кеңістіктің айнымалыларының өлшемі бірден үлкен екенін
ескертейік, яғни .
Шегініс 3.2. Ары қарай, Соболев кеңістігі көбірек қолданылғандықтан
абсолютті үзіліссіз функция туралы толығырақ тоқталайық.
функциясы аралығында абсолютті үзіліссіз деп
аталады, егер кез келген саны мен кез келген аралығы үшін
: : теңсіздігі орындалатындай саны табылса.
Егер функциясы аралығында абсолютті үзіліссіз болса,
онда барлық жерде дерлік дифференциалданады және . Кері
тұжырым да дұрыс: егер болса, онда функциясы
аралығында абсолютті үзіліссіз және осы аралықта болады.
1.3.6. Ішкі кеңістік. Геометриялық тұрғыдан ең қарапайым кеңістік, ол
қасиеттері ақырлы өлшемді евклид кеңістігіне ұқсас Н-гильберт кеңістігі.
Дербес жағдайда, x, уН векторлары ортоганальді деп аталады, егер
(x, у) = 0.
Мысал 3.8. кеңістігінде скалярлық көбейтіндіге қатысты
функциясы ортанормаланған, яғни
.
Есептеу арқылы көз жеткізуге болады.
Н кеңістігінің сызықты, тұйық жиыншасын оның ішкі кеңістігі деп
атаймыз. Кез келген Н үшін кез келген F ішкі кеңістігіне проекциясы,
яғни кез келген f F үшін x—xFf болатындай xF векторы. Осы
дәлелге байланысты көптеген геометриялық конструкциялар евклид кеңістігінен
Н-қа көшеді, олардың көбісі аналитикалық түрде бейнеленеді. Мысалы,
ортогонализациялаудың қарапайым процедурасы Н кеңістігінде ортанормаланған
базис-шексіз векторларды, кез келген Н , жағдайында
болатындай түрде координаталық жіктелу
(3.2)
орындалады, мұндағы .
Егер Н кеңістігі ретінде кеңістігін алып және ,
n=...,—1, 0, 1..., (3.2) формуласына қойсақ, онда ол орташа квадраттық
жинақталатын функциясын Фурье қатарына жіктеуге болады:
. (3.3)
Және (3.2) қатынасы Н пен кеңістіктерінің ұқсастықтарын
көрсетеді, яғни әрбір x(t)Н үшін жалғыз элементі сәйкес келеді
және (3.2) формуласы арқылы жазылады.
Мысал 3.9. болатын өлшенетін функциялар жиыны
кеңістігінің ішкі кеңістігін құрайды. 3.5 мысалында кірістірілген
скалярлық көбейтіндіні ескерсек, біз үшін болатындай ішкі
кеңістікті сипаттай аламыз. Сонымен қатар, осы ішкі кеңістікті

нормасымен анықталған жеке кеңістік ретінде қарастыруға болады. Бұл
кеңістік гильберт кеңістігі болады, егер бұл кеңістіктегі скалярлық
көбейтіндіні келесі формуламен жазатын болсақ, яғни
. ■
Мысал 3.10.
(3.4)
скалярлық көбейтіндісімен анықталған гильберттің Соболев кеңістігінде
сызықты көпбейнелігін қарастырайық, ол қандай да бір нүктесінде
нөл мәнін қабылдасын:
. (3.5)
нүктесі ішкі кеңістігін құрайтынын көрсетейік, яғни
ішкі кеңістігіне қатысты сызықты тұйық норманы құрайды. Ол үшін
сызықты көпбейнелегі функциясына ортоганальді болатын ішкі
кеңістікпен сәйкес келетіндей функциясын табуымыз қажет, яғни
. (3.6)
(3.4) формуласында келтірілген скалярлық көбейтіндіні ескере отырып,
(3.5) және (3.6) формулаларын салыстыра отырып, кез келген функциясы
үшін келесі қатынас орындалатындығы шығады
. (3.7)
функциясын тегістеу функциялар класында қарастырайық.
функциясы нүктесінде үзіліссіз дифференциалданбағандықтан, екінші
қосындыға бөліктеп интегралдауды қолдану үшін аралықты екіге бөлеміз:
. Онда
(3.8)
Сондықтан,
. (3.9)
Егер функциясы келесі шарттарды қанағаттандырса, онда (3.9)
формуласы кез келген функциясы үшін орындалатынына оңай көз жеткізуге
болады.
1) (3.10)
2) және аралығында функциясы келесі дифференциалдық
теңдеудің шешімі болады.
. (3.11)
3) төмендегі шарттар орындалуы қажет:
(3.12)
болған жағдайда функциясының бар болатындығын көрсетейік.
Демек, (3.12) шектік шарттарды қанаттандыратын (3.11) қарапайым
дифференциалдық теңдеудің шешімін табу қажет. (3.11) теңдеуі екінші ретті
дифференциалдық теңдеу болғанымен, ал шекаралық шарттар үшеу болғанымен бұл
есептің шешімі үйлесімді. Өйткені, соңғы шарт шекаралық емес, ішкі шарт
болады. (3.11) теңдеуін шешу үшін нүктесінде бірінші ретті
үзілістілік жіберілді, ал шешімнің өзі үзіліссіз, өйтені ол
кеңістігінде жатады. Шешімнің үзіліссіздік шартын келесі түрде жазамыз:
. (3.14)
Демек, (3.11) шешімі үшін төрт шекаралық шарттарды алдық:(3.12)+(3.14).
Бірақ бұл теңдеуді екінші ретті екі дифференциалдық теңдеу ретінде
қарастыруға болады: біріншісі- аралығында және екіншісі -
аралығында. Сондықтан, берілген есеп үйлесімді.
Енді бұған есептеу арқылы көз жеткізейік.
(3.11) теңдеуінің әрбір және аралықтарында берілген
(3.10) функциялар класындағы жалпы теңдеуінің түрі:
, (3.15)
мұндағы - кез келген тұрақты.
(3.15) және (3.12) , (3.14) шарттарын қанағаттандыра отырып,
тұрақтыларын анықтау үшін келесі сызықты теңдеулер жүйесін аламыз:
(3.16)
Осы жүйенің анықтауышын есептеп, табамыз. Сондықтан, шарты
орындалғанда (3.16) системасының бір ғана немесе жалғыз шешімі бар.
функциясы (3.15) формуласы ... жалғасы

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.