Коши теңсіздігі және оның теңсіздіктерді дәлелдеуде қолданылуы

Жұмыс түрі: Дипломдық жұмыс
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 36 бет
Таңдаулыға:

Қазақстан Республикасы Білім және Ғылым Министрлігі

Қ.А.Ясауи атындағы Халықаралық қазақ-түрік университеті
Шымкент институты

Жоғары математика кафедрасы

Е.Исаев – 050109 Математика мұғалімі
мамандығының күндізгі оқу бөлімінің
4 курсындағы 12-26 тобының студенты

ДИПЛОМДЫҚ ЖҰМЫС

Коши теңсіздікі және оның орта мектепте теңсіздіктерді дәлелдеуге
қолданылуы

Ғылыми жетекшісі: Жоғары математика кафердрасының
доценті Ж.Қырғызбаев

Шымкент 2010
Қазақстан Республикасы Білім және Ғылым Министрлігі

Қ.А.Ясауи атындағы Халықаралық қазақ-түрік университеті
Шымкент институты

Жоғары математика кафедрасы

Қорғауға жіберілсін
Жоғары математика
Кафедрасының меңгерушісі,
Доцент __________ К.Абдурахманов
___ _________________ 2010 ж.

ДИПЛОМДЫҚ ЖҰМЫС

Коши теңсіздікі және оның орта мектепте теңсіздіктерді дәлелдеуге
қолданылуы

Орындаған: Физика-математика факультетінің 4 курсындағы
12-26 тобының студенті Е.Исаев

Ғылыми жетекшісі: Жоғары математика кафердрасының
доценті Ж.Қырғызбаев

Шымкент 2010
Мазмұны

Кіріспе ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...3

1. Арифметикалық орта мен игеометриялық ортаны

салыстыру ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ... ... ... ... ... ... ... ... ...4

2. Коши теңсіздігі және оның теңсіздіктерді дәлелдеуде

қолданылуы ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ... ... ... ... ... ... ... ..1 0

3. Коши теңсіздігі және оның орта мектепте теңдеулер мен
олардың жүйелерін шешуде
қолдануы ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...46

4. Теңсіздіктерді дәлелдеуге берілген
есептер ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...55

Қорытынды ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ... ... ... ... ... ... ... ... ..59

Пайдаланылатын
әдебиеттер ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ... ..60

Кіріспе
Өмірде абсолют бірдей өзароа тең екі нәрсені табу қиын. Сондықтан да
бізге теңдеулермен емес, көбшнесе теңсіздіктермен араласуға тура келеді.
Теңсіздіктермен адам баласы өте ертеде балалық шағынан бастап кездеседі.
Мысалы, бастауыш сыныптарда қарапайым теңсіздіктер қарастырылады. Алайда
теңсіздіктердің негізі қасиеті алғаш рет 9-сыныптарда алгебра курсында ғана
қарастырылады.
Негізгі мектеп пен орта мектептегі ең күрделі және оқушыларга қиын
тақырыптардың бірі – теңсіздіктерді дәлелдеу болып табылады. Орта
мектептерде теңсіздіктерді кейбір қарапайым тәсілдері ғана қарастырылады.
Теңсіздіктерді дәлелдеуге берілген есептерде көбінесе орташа шамалардың
негізгі қасиеттері қолданылады. Сондықтан да оқушыларға орта мектептерде
орташа шамалардың түрлерін және олардың арасындағыт орындалатын
арақатыстарды таныстырған тиімді. Мұғалімдерге көмекші құрал ретінде
ұсынылып отырған бұл дипломдық жұмыста орташа шамалардың теңсіздіктерді
дәлелдеуде қолданылуы қарастырылған.
Дипломдық жұмыс кіріспеден және төрт параграфтан, қорытынды мен
әдебиеттер тізімінен тұрады.
Дипломдық жұмыстың кіріспесінде жұмыстың мақсаты, ал оның алғашкы 1-ші
параграфында арифметикалық орта мен геометриялық ортаның арасындағы негізгі
арақатыс қарастырылған.
Жұмыстың келесі 2-ші параграфында Коши теңсіздігі және оның
теңсіздіктерді дәлелдеуге қолданылуы баяндалған.
Дипломдық жұмыстың бұдан кейінгі 3-ші параграфында Коши теңсіздігін
теңдеулер мен олардың жүйелерін шешу мәселері қарастырылған.
4-ші параграфта Коши теңсіздігін қолданып, дәлелденетін теңсіздіктерге
жаттығулар құрастырылған.
Жұмыстың соңында қорытынды мен әдебиеттер тізімі келтірілген.
1. Арифметикалық орта мен игеометриялық ортаны салыстыру

Мына екі шаманы салыстыруды алдымызға мақсат етіп қоялық.
Қайсысы улкен: немесе ?
Айталық бізге екінші мүшесінен бастап әрбір мүшесі өзінің алдында
тұрған мүшесіне бірдей сен 3-ті қосқанда шығатын, яғни мүшелері
арифметикалық прогрессия құратын мынадай тізбек берілсін: 2, 5, 8, 11,
14,...
Бұл тізбектің мынадай қасаиеті бар: қатар туұрған кез келген үш
мүшесінің ортадағысы шекті мүшелерінің қосындысының жартысына тең. Мысалы:
5,8,11 8,11,14
Екі санның арифметикалық ортасы деп аталатын мұндай өрнектер
математикада және өмірде жиі кездеседі.
Мысалы: трапецияның орта сызығы оның табандарының арифметикалық ортасына
тең (1-сурет).

b

1-сурет

Кесіндінің абциссасының ортасы оның ұштарының арифметикалық ортасына
тең (2-сурет).

y

x

0 x1 x x2
Енді мынадай есепті қарастырайық. Трапецияның табандары a және b – ға
тең. Шеңберге сырттай сызылған тең бүйірлі трапецияның биіктігін
анықтаңдар.

Ш е ш у і: 3-суреттен есептің шартын пайдаланып, мынаны табамыз:

P
D C

M F
өйткені BR=BF, CF=CP; O
N

A
B

R K
Демек,
Бұл өрнекті екі санның геометриялық ортасы деп айтады. Оны Г2=
арқылы белгілейік.
Екі санның геометриялық ортасы да орта мектепте жиі кездеседі. Мысалы,
мүшелері оң таңбалы геометриялық прогрессияның кез келген мүшесі алдыңғы
мүшесімен жалғас мүшелерінің геометриялық ортасына тең болады.
Тік бұрышты үшбұрыштың тік бұрышынан гипотенузасына түсірілген биіктік
гипотенузаның табандарын бөлетін кесінділердің геометриялық ортасына тең
болады (4-сурет).

h
a b
4-сурет

Тік бұрышты үшбұрыштың катеті гипотенузасы мен өзінің оған түсірілген
проекциясының геометриялық ортасына тең болады (5-сурет).
x

b
a

5-сурет

Трапецияны екі ұқсас трапецияға бөлетін табандарына параллель
жүргізілген түзу трапецияның табандарының геометриялық ортасы болып
табылады.
,
Енді осы екі оң таңбалы а және b сандарының арифметикалық ортасы мен
геометриялық ортасын өзара салыстырайық. Айталық, a=1,b=4 болсын. Сонда
және болатындықтан, мынаны байқаймыз: . Барлық уақытта
осылай ма?
Мұні біз 3-суреттен де байқаған едік. MN-трапецияның орта сызығы
боғандықтан, ол дөңгелектің диаметрінен улкен, яғни болады. Осы
теңсіздіктің тағы да екі геометриялық дәлелдемесін келтірейік.
ІІ-тәсіл. Жарты шеңберге іштей сызылған тік бұрышты АВС үшбұрышын
қарастырайық. С = 900, CD-оның биіктігі.
Айталық, AB BC, AD = a, DB = b болсын.
Сонда және CDCO болатындығын ескерсек, онда болып шығады.
ІІІ-тәсіл. Айталық радиустары R мен r-ге тең екі шеңбер өзара сырттай
жанассын (6-сурет). Сонда -нан мынаны табамыз:
.
Ал бірак , cондықтан
немесе O1 R

C r

O2

A B

6-сурет
Бұл екі қарастырылған мысалда біз болатындығын көреміз.
a0 және b0 болғанда, бұл теңсіздік әр уақытта тура бола ма?
Жоғарыдағы теңсіздіктің дұрыстығын былайда дәлелдеп көрсетуге болвады.
Мына айырманы қарастырайық:

Бұдан егер болса, онда болатындығын, ал егер a=b болса,
онда болатындығын көреміз.
Сонымен, теріс емес екі оң санның арифмтикалық ортасы олардың
геометриялық ортасынан кем болмайтындығын дәлелдедік: . Теңдік белгісі
a=b болған жағдайда ғана орындалады.
Толық математикалық индукция әдісін қолданып, бірнеше оң сандардың
арифметикалық ортасының олардың геометриялық ортасынан, кем еместігін яғни
(1)

дәлелдеп көрсетуге болады. Теңдік белгісі тек болған
жағдайдағана орындалады. (1) теңсіздікті Коши теңсіздшіш деп айтады.
(1) теңсіздікті дәлелдеудің бірнеше (әртүрлі) тәсілдері бар. Бірақ
олардың ішіндегі жеңілі жоқ. Бұлардың әрқайсысында өзіндік тапқырлық,
өзіндік ізденіс бар. Бұл мында (1) теңсіздіктің француздың көрнекті
математигі Коши (1789-1857) берген дәлелдемесін келтірумен шектелеміз.
(1) теңсіздіктің n = 1 үшін дұрыстығы ақиқат, оның n = 2 үшін
дұрыстығы жоғарыда дәлелденді.
Алдымен алдынала мынандай көмекші тұжырымды дәлелдейміз: егер (1)
теңсіздік n = k үшән дұрыс болса, онда ол n = 2k үшін дұрыс болады. Расында
да,

Сөйтіп, (1) теңсіздікті n = k үшін дұрыс деп жорығанда, оның n = 2k
ушін де дұрыс болатындығын дәлелдедік. (1) теңсіздік жоғарыда n = 2 үшін
дұрыстығын дәлелденген еді. Демек, ол n = 4,8,16,32,..., яғни n = 2l,
мұндағы l-кез келген натурал сан ушін дұрыс болады.
Енді (1) теңсіздікетің кез келген натурал n саны үшін дұрыстығын
дәлелдейік. Айталық n кез келген натурал сан болсын.Егер n саны 2 санының
бүтін дәрежесі болып келсе, онда жоғарыдағы дәлелдегеніміз бойынша (1)
теңсіздік ондай n-дер үшін дұрыс болады. Егер n саны 2 санының бүтін
дәрежесі болмаса, онда n-ге сондай q санын қосып, n+q саны 2санының бүтін
дәрежесі болатындай етіп шығарып алуға болады. Айталық n+q = 2l болсын.
Сонда жоғарыдағы дәлелденілген көмекші тұжырымдама бойынша мына теңсіздік
орындалады:
(2)

мұндағы -кез келген оң сандар. сандарын таңдап алу өз
еркімізге байланысты болғандыктан, деп алайық. cандарын
мұндай етіп таңдап алғаннан кейін (2) теңсіздік мынадай түрге келеді:

Бұдан

немесе

Соңгы теңсіздіктің екі жағында бірдей (n+q) дәрежеге шығарып табатынымыз:

Бұдан

немесе:

Сөйтіп, (1) теңсіздіктің кез келген натурал сан n үшін дұрыстығы
дәлелденді.
Енді (1) теңсіздіктегі теңдік белгісінің барлық шамаларының тек
өзара тең болған жағдайда ғана орындалатындағын корсетелік.
Ол үшін шамаларының кез келген екеуін, мысалы мен ні өзара
тең емес деп алайық. Бұл жағдайда (1) формулада таңбасының
орындалатындығын, яғни көрсетелік.
Дәлелдеуі: екені айқын.
(1) формуланы бұл өрнектердің әрбір екеуне қолданып, мынаны табамыз:

(3)
(4)

Егер болса , онда және Демек, болғанда (4)
теңсіздіктің оң жағы (3) теңсіздіктің оң жағынан артық, ал олардың сол
жақтары өзара тең. Сондықтан (3) теңсіздікте теңдік белгісінің орындалуы
мүмкін емс, яғни шамаларының кем дегенде екеуі өзара тең болмаған
жағдайда теңсіздігі орындалады.

Сонымен, Коши теңсіздігінің дұрыстығы толығымен дәлелденді.

2. Коши теңсіздігі және оның теңсіздіктерді дәлелдеуде қолданылуы

Бірнеше оң сандардың арифметикалық ортасы мен геометриялық ортасы
байланыстарын Коши теңсіздігі орта мектепте теңсіздіктердің дұрыстығын
дәлелдеуге өте жиі қолданылады.
Енді соған мысалдар қарастырайық.
1-мысал. Теңсіздікті дәлелдеңдер: (мұндағы a0, b0, c0)

Дәлелдеуі: Берілген теңсіздіктің сол жағына (1) теңсіздікті қолданып,
мынаны табамыз:
немесе
Сонымен, теңсіздіктің дұрыстығы дәлелденді.
2-мысал. Теңсіздікті дәлелдеңдер:
(a0, b0, c0, d0)
Дәлелдеуі: (1) теңсіздікті қолданып, мыналарды табамыз:

Осы теңсіздіктерді мушелеп көбейтіп, аныктайтынымыз:

Сонымен, теңсіздіктің дұрыстығы дәлелденді.
3-мысал. Теңсіздікті дәлелдеңдер:
(a0, b0, c0)
Дәлелдеуі: (1) теңсіздікті қолданып, табамыз:

Соңғы екі теңсіздікті мүшелеп, көбейтсек теңсіздігі келіп шығады.
Сонымен, теңсіздіктің дұрыстығы дәлелденді.

4-мысал. Оң таңбалы а,b және с сандары үшін мына теңсіздіктің
орындалатындығын дәлелдеңдер:

Дәлелдеуі: Теңсіздіктің екі жағында, бірдей –ға мүшелеп бөлсек, ол мынадай
турге келеді:
немесе .
Осы теңсіздіктің сол жағында тұрған әрбір қосылғышқа (1) теңсіздікті
қолдансақ:
Осыдан
немесе
Сонымен, теңсіздіктің дұрыстыгы дәлелденді.
5-мысал: Оң таңбалы а, в және с сандары үшін мына теңсіздіктің
орындалатындығын дәлелдеңдер:
(2)
Дәлелдеуі: Теңсіздікті дәлелдеу үшін мынадай шартты белгілер
енгізейік:
, (3)
(4)
(5)
Сонда (6)
Енді (6) теңдіктен біртіндеп, (3), (4), (5) теңдіктерді мүшелеп шегерсек,
онда

Бұл мәндерді (2) теңсіздікке апарып қойсақ, онда ол мынадай түрге келеді:
немесе
яғни
Соңғы теңсіздіктің сол жағындағы әрбір жақшаның ішінде тұрған
қосылғыштар 2 - ден кем емес, сондықтан бұл теңсіздік дұрыс, олай болса,
(2) теңсіздік те дұрыс болады.
Сонымен, берілген теңсіздіктің дұрыстыгы дәлелденді.
6-мысал. Егер үшбұрыштың қабырғаларының ұзындықтары а, в, с болса,
онда теңсіздігінің орындалатынын дәлелдеңдер, мүндағы р -
жарты периметр.
Шешуі: нақты сандары үшін теңсіздігінің
орындалатындығы айқын. Сонда 2р = а + в + с болатындықтан, бүл
теңсіздікке сәйкес -ға ие боламыз.
Осыны дәлелдеу талап етілген еді.
7-мысал. Жарты периметрі р-ға тең болатын кез келген үшбұрыштың
ауданы теңсіздігін қанағаттандыратындығын дәлелдеңдер.
Дәлелдеуі: теңсіздігінің орындалатындығын көрсету жеткілікті. Герон
формуласын пайдаланамыз:

мұнда а, в, с - үшбұрыштың қабырғаларының ұзындықтары,

Енді Коши теңсіздігін екі рет қолданамыз:

Бұл жерде теңдік белгісі тек болғанда ғана орындалады. Ал бірақта,
үшбұрышта болатындықтан, теңдігі ешқашанда орындалмайды. Демек,
.
Бізден осыны дәлелдеу талап етілген еді.
8-мысал. Егер болса, онда теңсіздігінің орындалатындығын
дәлелдеңдер.
Дәлелдеуі: Коши теңсіздігіне сәйкес анықтайтынымыз: . Теңдік
белгісі болғанда ғана орындалады.
Дәл осылайша, теңсіздіктерін
шығарып аламыз. Бұлардан екені келіп шығады. Теңдік белгісі x = y +
z, y = z + x, z = x + y болғанда ғана орындалады. Оларды қоссақ, x +
y + z = 2(x + y + z), яғни x + y + z = 0.
Бұлай болуы мүмкін емес, өйткені оң сандардың қосындысы оң сан болады.
Демек,
Дәлелдеу керегі де осы еді.
9-мысал. Теңсіздікті дәлелдеңдер:

Дәлелдеуі: Коши теңсіздігіне сәйкес, мынаны табамыз:

Сонымен, теңсіздіктің дұрыстыгы дәлелденді.
10-мысал. Теңсіздікті дәлелдеңдер:

Дәлелдеуі: Коши теңсіздігін қолданып, мынаны табамыз:

Осы теңсіздіктерді мүшелеп көбейтіп, анықтайтынымыз:

Сонымен, теңсіздіктің дұрыстыгы дәлелденді.
11-мысал. Егер S = а1+а2+... + ап, мұндағы ах,а2,...,ап - барлығы бірдей
өзара тең емес оң таңбалы сандар болса, онда мына теңсіздіктің
орындалатындығын дәлелдеңдер:
Дәлелдеуі: Арифметикалық орта мен геометриялық ортаның арасындағы арақатыс
бойынша табатынымыз:

немесе
(1)
Дәл осылайша анықтайтынымыз:
. (2)
(1) мен (2) теңсіздікті өзара мүшелеп, көбейтіп табатынымыз:
,
бұдан

Сонымен, берілген теңсіздіктің дұрыстыгы дәлелденді.
12-мысал. Егер үшбұрыштың қабырғаларының ұзындықтары а, в, с-ға, ал жарты
периметрі р-ға тең болса, онда мына теңсіздіктің

орындалатынын дәлелдеңдер.
Дәлелдеуі: болғандықтан, мынаны табамыз:
,
мұндағы . Демек,

Осыны дәлелдеу талап етілген еді.
13-мысал. Барлық натурал сан n үшін
теңсіздігінің орындалатындығын дәлелдеңдер.
Дәлелдеуі: теңсіздігінің екі жағында бірдей ондық негіз бойынша
логарифм десек:

болады.
Бұдан Коши теңсіздігіне сәйкес мынау шығады:

Демек,
Сонымен, берілген теңсіздіктің дұрыстыгы дәлелденді.
14-мысал. х-тің барлық оң мәндері үшін теңсіздігінің орындалатындығын
дәлелдеңдер.
Дәлелдеуі: Дәлелденілуге тиісті теңсіздіктің сол жағына
теңсіздігін қолданып, табатынымыз:
Жоғарыдағы теңсіздікті дәрежеге шығарып, анықтайтынымыз:

Сонымен, берілген теңсіздіктің дұрыстыгы дәлелденді.
15-мысал. Кубтың төбелеріне кез келген тәсілмен 1 ден 8-ге дейінгі
натурал сандар жазылған, оның әрбір жағына осы жағының
төбелеріндегі сандардың көбейтіндісі жазылған. Сондағы шыққан 6
санның көбейтінділерінің қосындысы N-нің 1152 ден артық
болатындығын дәлелдеңдер.
Дәлелдеуі: Кубтың төбелерінде тұрған сандарды деп белгілесек,
оның жағындағы сандар , болады. Бұл сандардың 1 және 2, 3
және 4, 5 және 6 -лары кубтың параллель жақтарында орналасқан сандар
болады. (9-сурет). Сонда Коши теңсіздігіне сәйкес мынадай теңсіздіктер
орындалады:
,
9- сурет

Түбір астындағы өрнек: болғандықтан, бұл теңсіздіктерді мүшелеп
қоссақ, болады да, оның оң жағында тұрған саны 1152- ден артық
екендігін байқау қиын емес.
Сонымен, берілген теңсіздіктің дұрыстыгы дәлелденді.
16-мысал. х0 болғанда, натурал сан n үшін теңсіздігінің
орындалатындығын дәлелдеңдер.
Дәлелдеуі. Коши теңсіздігіне сәйкес оң х1 х2,...,хп сандары үшін
мына теңсіздіктің орындалатындығы айқын.

Егер деп алсақ, онда болады.
Сонымен берілген теңсіздіктің дұрыстыгы дәлелденді.
17-мысал. а-сүйір бүрышы үшін мына теңсіздіктің орындалатындығын
дәлелдеңдер:

Дәлелдеуі: а0, в0 болғанда, орындалатындығы айқын. деп алсақ,
онда болғандықтан, Коши
теңсіздігіне сәйкес мынаны табамыз:
Сонымен, берілген теңсіздіктің дұрыстыгы дәлелденді.
18-мысал. Теңсіздікті дәлелдеңдер:
мұндағы a, b, с, -теріс емес оң сандар.
Дәлелдеуі: Теңсіздіктің дұрыстығы Коши теңсіздігінен тікелей келіп
шығады, өиткені
Сонымен, теңсіздіктің дұрыстыгы дәлелденді.
19-мысал. Теңсіздікті дәлелдеңдер: ,
мұндағы а, b,с-теріс емес оң сандар.
Дәлелдеуі: Коши теңсіздігін қолданып, мыналарды табамыз:

Осы теңсіздіктерді мүшелеп көбейтіп, анықтайтынымыз:

Сонымен, теңсіздіктің дұрыстығы дәлелденді.
20-мысал. Айталық барлығы оң таңбалы а1, а2,...,ап сандарының орын
ауыстыруынан шыққан сандар болсын. Сонда теңсіздігінің
орындалатындығын дәлелдеңдер.
Дәлелдеуі: Коши теңсіздігіне сәйкес анықтайтынымыз:

Сонымен, берілген теңсіздіктің дұрыстыгы дәлелденді.
21-мысал. Теңсіздікті дәлелдеңдер:
Дәлелдеуі: Кез келген оң а саны үшін Коши теңсіздігіне сәйкес
теңсіздігінің орындалатындығы белгілі. Сондықтан
теңсіздігі орындалатындығы айқын.
Сонымен, берілген теңсіздіктің дұрыстыгы дәлелденді.
22-мысал. а0 болғанда, 2а3+119а теңсіздігінің орындалатындығын
дәлелдеңдер.
Дәлелдеуі: Оң сандардың арифметикалық ортасы олардың геометриялық
ортасынан кем болмайтындықтан, Коши теңсіздігіне сәйкес мынаны табамыз:

Осы екі теңсіздікті мүшелеп қосып анықтайтынымыз: 2а3+119а.
Сонымен, берілген теңсіздіктің дұрыстыгы дәлелденді.
23-мысал. болғанда, мына теңсіздіктің орындалатындығын
дәлелдеңдер.
Дәлелдеуі: Теріс таңбалы емес сандардың арифметикалық ортасы
олардың геометриялық ортасынан кем болмайтындықтан,
теңсіздіктері орындалады.
Осы теңсіздіктерді мүшелеп көбейтіп, табатынымыз:
немесе
Теңдік белгісі болғанда немесе болғанда ғана орындалады.
Сонымен, теңсіздіктің дұрыстыгы дәлелденді.
24-мысал. а0 болғанда, мына теңсіздіктің орындалатындығын
дәлелдеңдер: а3+3а2+1513а.
Дәлелдеуі: Коши теңсіздігіне сәйкес табатынымыз:
Осы теңсіздіктерді мүшелеп көбейтіп, анықтайтынымыз:
немесе немесе
Дәлелдеу керегі де осы еді.
25-мысал. болғанда, мына теңсіздіктің орындалатындығын дәлелдеңдер:

Дәлелдеуі: Коши теңсіздігіне сәйкес мына теңсіздіктердің орындалытындығы
айқын:

Осы теңсіздіктің алғашқы екеуін мүшелеп қосып табатынымыз:

Енді осы теңсіздікті жоғарыдағы теңсіздігіне мүшелеп көбейтіп,
анықтайтынымыз:
немесе
Теңдік белгісі болғанда ғана орындалады.
Сонымен, берілген теңсіздіктің дұрыстыгы дәлелденді.
26-мысал. а0 болғанда мына теңсіздіктің орындалатындығын
дәлеледеңдер: а4 + а3 - 8а2 + 4а + 4 0.
Дәлелдеуі: Теріс емес сандардың арифметикалық ортасы мен геометриялық
ортасының арасындағы қатыс бойынша табатынымыз:
(1)
(2)
Осы теңсіздіктерді мүшелеп көбейтіп, анықтайтынмыз:
немесе
(1) теңсіздік тек болғанда ғана, ал (2) теңсіздік тек болғанда
ғана тең бола алады. Демек, жоғарыдағы (1) және (2) арақатыстардың
екеуі де бірдей теңдікке айналатын параметр о-ның ешқандай мәндері жоқ.
Сондықтан, қатаң теңсіздік орындалады.
Сонымен, берілген теңсіздіктің дұрыстыгы дәлелденді.
27-мысал. болғанда, мына теңсіздіктің орындалатындығын дәлелдеңдер:

Дәлелдеуі: Коши теңсіздігіне сәйкес мынаны табамыз:

Осы екі теңсіздікті мүшелеп қосып, анықтайтынымыз:

Дәлелдеу керегі де осы еді.
28-мысал: болғанда, мына теңсіздіктің орындалатындығын
дәлелдеңдер:
Дәлелдеуі: Коши теңсіздігіне сәйкес мынаны табамыз:

Осы екі теңсіздікті мүшелеп қосып, анықтайтынымыз

Теңдік белгісі тек болғанда ғана орындалады.
Сонымен, берілген теңсіздіктің дұрыстыгы дәлелденді.
29-мысал. а-ның теріс таңбалы емес кез келген мәндерінде
теңсіздігінің орындалатындығын дәлелдеңдер.
Дәлелдеуі:
І-тәсіл. Егер а = 0 болса, онда қатаң теңсіздік орындалады.
Айталық, енді болсын. Дәлелденуге тиісті теңсіздіктің екі
жағында бірдей a3 0 боліп, мынаны табамыз: немесе
Сонда а0 болғанда, Коши теңсіздігіне сәйкес
болатын-дықтан, соңғы теңсіздіктің орындалатындығы айқын.
ІІ-тәсіл. Коши теңсіздігіне сәйкес
теңсіздіктерінің орындалатындығы айқын. Осы теңсіздіктерді өзара
мүшелеп қосып, анықтайтынымыз:
Сонымен, берілген теңсіздіктің дұрыстыгы дәлелденді.
30-мысал. болғанда, мына теңсіздіктің орындалатындығын
дәлелдеңдер:
Дәлелдеуі: Дәлелденуге тиісті теңсіздікті мына түрде жазуға
болатындығы айқын:
Сонда болатындықтан, бұл теңсіздіктің екі жағында
2ab-ға бөлуге болады: немесе
Бұдан Коши теңсіздігіне сәйкес:
болғандықтан, соңғы теңсіздіктің, одан берілген теңсіздіктің дұрыстығы
келіп шығады.
Теңдік белгісі тек яғни болған жағдайда ғана орындалады.
Сонымен, берілген теңсіздіктің дұрыстыгы дәлелденді.
31-мысал. а-ның кез келген теріс емес мәндерінде теңсіздігінің
орындалатындығын дәлелдеңдер.
Дәлелдеуі: Дәлелденілуге тиісті теңсіздіктің екі жағыда теріс таңбалы емес,
сондықтан оны мына түрде жазуға болады:
немесе
Бұл теңсіздіктің дұрыстығы ақиқат, өйткені теріс таңбалы емес сандардың
арифметикалық ортасы олардың геометриялық ортасынан кем емес. Теңдік
белгісі тек а3=а2=а =1, яғни а = 1 болған жағдайда ғана орындалады.
Сонымен, берілген теңсіздіктіц дұрыстыгы дәлелденді.
32-мысал. болғанда, мына теңсіздіктің орындалатындығын дәлелдеңдер:

Дәлелдеуі: Коши теңсіздігіне сәйкес табатынымыз:

Осы үш теңсіздікті өзара мүшелеп қосып, анықтайтынымыз:
немесе
Теңдік белгісі тек а = b = с болғанда ғана орындалады.
Сонымен, берілген теңсіздіктің дұрыстыгы дәлелденді.
33-мысал. -натурал сан болғанда, мына теңсіздіктің
орындалатынын дәлелдеңдер:
Дәлелдеуі: Коши теңсіздігіне сәйкес болғанда
болатындықтан, төмендегі теңсіздіктер орындалады:
(1)
Осы (1) теңсіздіктердің барлығын өзара мүшелеп қосып, табанынымыз:
(2)
Сонда және
болатындықтан, (2) теңсіздікті мына түрде жазуға болады: немесе
теңсіздікті n-ге бөлсек:
немесе
Дәлелдеу керегі де осы еді.
34-мысал. болғанда, мына теңсіздіктің орындалатындығын дәлелдеңдер:
.
Дәлелдеуі: Коши теңсіздігіне сәйкес мына теңсіздіктің орындалатындығы
айқын:
,
Өйткені

Сондықтан осы теңсіздікке сәйкес анықтайтынымыз:

Теңдік белгісі тек a=b=c болған жағдайда ғана орындалады.
Сонымен, берілген теңсіздіктің дурыстыгы дәлелденді.
35-мысал. болғанда, мына теңсіздіктің орындалатындығын дәлелдеңдер:

Дәлелдеуі: Коши теңсіздігіне сәйкес төмендегі теңсіздіктердің
орындалатындығы айқын:
(1)
(1) теңсіздіктерді мүшелеп қосып, табатынымыз:

Немесе

Теңдік белгісі тек a=b=c болғанда ғана орындалады.
Сонымен, берілген теңсіздіктің дұрыстыгы дәлелденді.
36-мысал. Егер болса, онда
теңсіздігінің орындалатындығын дәлелдеңдер.
Дәлелдеуі: Есептің шартын мына түрде жазуға болады.

Немесе
(1)
Коши теңсіздігіне сәйкес мына теңсіздіктердің орындалатындығы айқын:
(1)
(2)
(3)
(1), (2), (3) және (4) арақатыстарды косып, табатынымыз:

Немесе
Бұдан

Теңдік белгісі тек
болғанда ғана орындалады.
Сонымен, теңсіздіктің дурыстыгы дәлелденді.
37-мысал. n-натурал сан болғанда, мына теңсіздіктің орындалатындығын
дәлелдеңдер:
Дәлелдеуі: Екі теріс емес санның арифметикалық ортасы мен геометриялық
ортасының арасындағы қатыс бойынша анықтайтынымыз:
(1)
(1) теңсіздіктің барлық мүшелерін қосып табатынымыз:

Немесе ,
немесе теңсіздіктің екі жағында бірдей n-ге бөлсек:

Теңдік белгісі тек а=п=1 болғанда ғана орындалады.
Сонымен, теңсіздіктің дұрыстыгы дәлелденді.
38-мысал. а0, b0, с0 болғанда, мына теңсіздіктің
орындалатындығын дәлелдеңдер:
Дәлелдеуі: х2 + у2 + z2xy + xz + yz теңсіздігіне сүйеніп табатынымыз:
(1)
Коши теңсіздігіне сәйкес анықтайтынымыз:
(2)
(3)
(4)
Енді (1), (2), (3) және (4)теңсіздіктерін мүшелеп қосып, табатынымыз:

Теңдік белгісі тек a-b=c болғанда ғана орындалады.
Дәлелдеу керегі де осы еді.
39-мысал. а0, n-натурал сан болғанда, мына теңсіздіктің
орындалатындығын дәлелдеңдер:
Дәлелдеуі: р 0, q0 болғанда, болатындықтан, табатынымыз:
(1)
(1) теңсіздіктің барлық мүшелерін қосып анықтайтынымыз:
немесе
немесе

Теңдік белгісі тек а=п=1 болғанда ғана орындалады.
Сонымен, берілген теңсіздіктің дұрыстыгы дәлелденді.
40-мысал. а0, b0, n-натурал сан болғанда, мына теңсіздіктің
орындалатындығын дәлелдеңдер:

Дәлелдеуі: Коши теңсіздігіне сүйеніп, п теңсіздік жазайық:
(1)
(1) n-теңсіздіктерді мүшелеп қосып, табатынымыз:

Теңдік белгісі екі жағдайда ғана орындалады: a=b=0 болғанда және a=b=n=1
болғанда.
Сонымен, берілген теңсіздіктің дұрыстығы дәлелденді.
41-мысал. а0, b0, с0 болғанда, мына теңсіздіктің
орындалатындығын дәлелдеңдер:
Дәлелдеуі: Теріс таңбалы емес сандардың арифметикалық ортасы мен
геометриялық ортасының арасындағы қатыс бойынша:

Осы екі теңсіздікті мүшелеп көбейтіп, анықтайтынымыз:

Теңдік белгісі тек a=b=c болған жағдайда ғана орындалады.
Сонымен, берілген теңсіздіктің дұрыстығы дәлелденді.
42-мысал. а0, b0, с0 болғанда, мына теңсіздіктің
орындалатындығын дәлелдеңдер:
Дәлелдеуі: Теріс таңбалы емес сандардың геометриялық ортасы олардың
арифметикалық ортасынан артық болмайтындықтан, төмендегі теңсіздіктер
орындалады:
(10)
(1) теңсіздіктерді мүшелеп қосып, табатынымыз:
немесе
Теңдік белгісі a=b=c=1және а=b=с=0 болған жағдайларда ғана орындалады.
Сонымен, берілген теңсіздіктің дұрыстыгы дәлелденді.
43-мысал. а-ның кез келген теріс емес мәндерінде теңсіздігінің
орындалатындығын дәлелдеңдер.
Дәлелдеуі: Егер а=0 болса, онда қатаң теңсіздік (10) орындалады. Егер
болса, онда дәлелденуге тиісті теңсіздікті мына түрде жазуға
болады:
немесе немесе
Соңғы теңсіздіктің орындалуы ақиқат, өйткені Коши теңсіздігіне сәйкес
болғанда теңсіздігі орындалады.
Теңдік белгісі тек болғанда ғана орындалады.
Сонымен, берілген теңсіздіктің дұрыстыгы дәлелденді
44-мысал. а0, b0, c0 болғанда, мына теңсіздіктің орындалатындығын
дәлелдеңдер:
Дәлелдеуі: Дәлелденуге тиісті теңсіздікті мына түрде жазуға болады:
немесе
яғни
Соңғы теңсіздіктің орындалатындығы ақиқат, өйткені Коши теңсіздігіне
сәйкес болғанда, теңсіздін орындалады. Теңдік белгісі
болғанда ғана орындалады.
Сонымен, берілген теңсіздіктің дұрыстыгы дәлелденді.
45-мысал. a0, b0 болғанда, мына теңсіздіктің орындалатындығын
дәлелдеңдер:
Дәлелдеуі: Дәлелденуге тиісті теңсіздікті мына түрде жазуға болатындығы
айқын: (1)
Егер а=0 немесе b=0 болса, онда бұл теңсіздік дұрыс. Егер яғни
болса, онда (1) теңсіздіктің екі жағында бірдей - ға бөліп, мынаны
табамыз: (2)
Коши теңсіздігіне сәйкес а1 болғанда теңсіздігі орындалады.
Соңғы (2) теңсіздік дұрыс, олай болса, (1) теңсіздіктің дұрыстығы да
ақиқат. Сондықтан (1) теңсіздік те дұрыс. Теңдік белгісі а—b=1 болғанда
ғана орындалады.
Сонымен, берілген теңсіздіктің дұрыстыгы дәлелденді.
46-мысал. а1, b1, с1 болғанда, мына теңсіздіктің
орындалатындығын дәлелдеңдер:
Дәлелдеуі: Дәлелденуге тиісті теңсіздікті мына түрде жазайық:
немесе
Сонда a1, b1\, c1 болатындықтан, болады да, Коши теңсіздігіне
сәйкес мынау шығады:

Соңғы екі теңсіздікті өзара мүшелеп көбейтіп, табатынымыз:

Дәлелдеу керегі де осы еді.
47-мысал. болғанда, мына теңсіздіктің орындалатындығын
дәлелдеңдер:
Дәлелдеуі: Оң сандардың арифметикалық ортасы мен геометриялық ортасының
арасындағы арақатыс бойынша анықтайтынымыз:
немесе
Бірақ та, болатындықтан, соңғы теңсіздікті мына түрде жазуға болады:

Осы теңсіздіктің екі жағында бірдей куб дәрежеге шығарып табатынымыз:

Теңдік белгісі тек а = b = с болғанда ғана орындалады.
Сонымен, берілген теңсіздіктің дұрыстығы дәлелденді.
48-мысал. а1, c1 болғанда мына теңсіздіктің орындалатындығын дәледеңдер:

Дәлелдеуі: Коши теңсіздігіне сәйкес табатынымыз:

(1)
(1) теңсіздіктерді мүшелеп қосып, анықтайтынымыз:]

Мұнда қатаң теңсіздік орындалады, өйткені (1) арақатыстағы теңдік белгісі а
мен с-ның әртүрлі мәндерінде орындалады.
Сонымен, берілген теңсіздіктің дұрыстыгы дәлелденді.
49-мысал. Теңсіздікті дәлелдеңдер:

Дәлелдеуі: Теңсіздіктің екі жағында бірдей квадрат дәрежеге шығарайық:
немесе
Соңғы теңсіздіктің орындалуы Коши теңсіздігіне сәйкес ақиқат.
Сонымен, берілген теңсіздіктің дұрыстыгы дәлелденді.
50-мысал. Теңсіздікті дәлелдеңдер:

Дәлелдеуі: Коши теңсіздігіне сәйкес анықтайтыныз:

Осы екі теңсіздікті мүшелеп көбейтіп, табатынымыз:

Немесе

Сонымен, берілген теңсіздіктің дұрыстыгы дәлелденді.
51-мысал. Теңсіздікті дәлелдеңдер. мұндағы
Дәлелдеуі: (1) Коши теңсіздігін қолданып мынаны табамыз:

Сонда а + b + с = 1 болатындықтан, бұдан шығатыны

Енді қатаң теңсіздіктің орындалатындығын көрсетейік. (1) Коши теңсіздігінің
теңдікке а1=а2 болғанда ғана айналатындығы белгілі. Біздің мысалымызда
бұл шарт , яғни a = b = с =0 -ді анықтайды. Бұл теңдік орындалмайды,
өйткені есептің шарты бойынша а+b + с = 1.
Сонымен, берілген теңсіздіктің дұрыстығы дәлелденді.
52-мысал. Кез келген теріс емес а және b сандары үшін теңсіздігінің
орындалатындығын дәлелдеңдер.
Дәлелдеуі: (1) Коши теңсіздігін қолданып табатынымыз:

Сонымен, берілген теңсіздіктің дұрыстыгы дәлелденді.
53-мысал. Теңсіздікті дәлелдеңдер.

мұндағы
Дәлелдеуі: Теңсіздіктің сол жағын мына түрде жазайық:

Енді (1) Коши теңсіздігін жақша ішіндегі тұрған әрбір қосылғыштар үшін
қолданып табатынымыз:

Сонымен, берілген теңсіздіктің дұрыстыгы дәлелденді.
54-мысал. Егер а + b + с = 3 болса, онда болатындығын дәлелдеңдер,
мүндағы a0,b0, c0, d0
Дәлелдеу: (1) Коши теңсіздігін қолданып, мынаны табамыз:

Осы сияқты
Сонда a + b + с = 3 болатындықтан, бұдан шығатыны
2a3b + b + 2b3 с + c + 2c3 a + a 3a2 b + 3b2 с + 3с2 а,
2a3 b + 2b3c + 2c3 a + (a + b + c) 3a2 b + 3b2c + 3с2а
2a3b + 2b3c + 2c3a 3a2b + 3b2с + 3c2a - 3,
2a2b + 2b3с + 2c3a 3(а2b + b2c + c2a -1)
Сонымен, берілген теңсіздіктің дұрыстыгы дәлелденді.
55-мысал. Теңсіздіктің дүрыстығын дәлелдеңдер:

мүндағы
Дәлелдеуі: Жаңа айнымалылар x = b + c, y = a + c, z = a + b енгіземіз.
Сонда
болып, дәлелденуге тиісті теңсіздік ... жалғасы

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.