Еріксіз электр тербелістері

Жұмыс түрі: Дипломдық жұмыс
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 52 бет
Таңдаулыға:

Мазмұны

Кіріспе ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ... ... ... ... ... ... ... ... .3

І. Зерттелетін процестердің физикалық
негіздері ... ... ... ... ... ... .. ... ... ...5
1.1. Механикалық тербелістер ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..5
1.2. Электр тербелістері ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .7
1.3. Заттардың α-бөлшектерін шашыратуы. Резерфорд тәжірибесі ... 15

ІІ. Физикалық процестерді зерттеудің математикалық әдістері ... ...22
2.1. Қарапайым дифференциалдық теңдеулерді жуықтап
шешу әдістері. Эйлер әдісі ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .22
2.2. Рунге-Кутта әдісі ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..24
2.3. Ақырлы айырымдар әдісі ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..31

ІІІ. Компьютерді оқу процесінде
қолдану ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .33
3.1. Компьютердің физиканы оқытудағы ролі ... ... ... ... ... ... ... ..33
3.2. Компьютерді оқытуда қолдану әдістері ... ... ... ... ... ... ... ... 34
3.3. Физикалық процестерді компьютерде моделдеу ... ... ... ... ... .35
3.4. Серіппелі маятниктің тербелісін
моделдеу ... ... ... ... ... ... ... ... ... .35
3.5. Электрлік тербелмелі контурдағы өшетін
тербелістерді
моделдеу ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 44

3.6.Альфа-бөлшектердің шашырауы бойынша Резерфорд
тәжірибелерін
моделдеу ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
.48
3.7.Өзара байланысты екі шаманың сызықтық
тәуелділігін
моделдеу ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 52

Қорытынды ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ... ... ... ... ... ... ..59
Пайдаланылған
әдебиеттер ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... 60

Қосымшалар ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ... ... ... ... ... ... ..62

Кіріспе

Дипломдық жұмыстың тақырыбының өзектілігі. Дипломдық жұмыс физиканы
орта мектептерде оқыту барысында қолданатын демонстрациялық бағдарламаларды
құрастыруға және оның қолдану әдістемесін жасауға арналған.
Заманауи мектептердің компьютерлермен және интерактивті тақталармен
толық қамтылуы мұғалім компьютермен жұмыс істеу жағынан психологиялық және
кәсіптік дайын болмаса білім беруді өзгеріске алып келмейді.
Қазіргі уақытта есептеу техникасын физикалық зерттеулерде қолданудан
үлкен тәжірибе жинақталған, негізгі физикалық мәселелерді шешудің жалпы
әдістемелік жолы жасалған, сондайақ жалпы физикамен және теориялық
физикамен қатар заманауи физиканың құрамдас бөлігі болатын физика бойынша
білім стандартына кіретін жаңа пән-компьютерлік физика пайда болды деп
айтуға болады.
Компьютерлік физиканың негізгі зерттеу әдісі - теориялық базасы ретінде
математикалық моделдеу, ал эксперименттік базасы ретінде ЭЕМ қызмет ететін
компьютерлік эксперимент болып табылады [2].
Компьютерлік модельдеу теориялық физика, сандық талдау және
бағдарламалау пәндерін интеграциялайды.
Бүгінгі күнде физиканы оқытуда көптеген маңызды физикалық құбылыстар
мен тәжірибелерді, олардың қиындығына байланысты құралдардың көмегімен
демонстрациялық түрде көрсете алмайды. Оларды түсіндіру үшін мұғалімнен
үлкен “бейнелеу мүмкіндігін” талап етеді. Міне, сондықтанда осы сияқты
күрделі процестерді модельдеу үшін компьютерлік бағдарламалар жасау
тенденциясы пайда болды [1-7]. Күрделі демонстрациялың компьютерлік
модельдері жасалса, мұғалім бастапқы мәндерді алдын-ала дайындап,
материалдарды түсіндіру барысында процестің дамуының мүмкін болар
варианттарын және оларға сәйкес графиктерді эксперименттік қондырғының
компьютердегі моделінің көмегімен көп уақыт жұмсамай-ақ демонстрациялауға
болады.
Бұдан бөлек мұндай бағдарламаларды күрделі деңгейлі әр түрлі қосымша
тапсырмасы бар практикумдарда қолдануға болады.
Дипломдық жұмыстың мақсаты:
- демонстрациялық компьютерлік бағдарламаларды жасауға қажетті
аналитикалық шешімдерді алу үшін моделі жасалатын физикалық
процестерді зерттеу. Сандық әдістер негізінде алгоритмдер құру;
- Алынған шешімдер негізінде демонстрациялық бағдарламалар жасау және
лабораториялық жұмыстар құрастыру;
- Құрастырылған лабораториялық жұмыстарды апробациядан өткізу.
Дипломдық жұмыс нәтижелерінің ғылыми жаңалығы:
Жұмыста алғаш рет:

- “Өзара байланысты екі шаманың сызықтық тәуелдлігін моделдеу”,
Серіппелі маятниктің тербелісін моделдеу”, “Электрлік тербелмелі
контурдағы өшетін тербелістерді моделдеу”, “Альфа-бөлшектердің
шашырауы бойынша Резерфорд тәжірибелерін моделдеу” тақырыптары
бойынша 11-сыныпқа араналған лабораториялық жұмыстар құрастырылды
Ғылыми және практикалық құндылығы:
Жұмыста зерттелетін физикалық процестерге теориялық талдау жасалып және
бір қатар физикалық эксперименттерді моделдеуші бағдарламалар
құрастырылған.
Дипломдық жұмыстағы теориялық нәтижелер мен компьютерлік бағдарламалар
әр түрлі оқу орындарында физиканы оқыту процесінде және берілген материалды
өзбетінше оқып үйренуде қолдануға болады.
Автордың үлесі:
Жұмыста, қорғауға ұсынылатын және жетекшімен бірге орындалған
нәтижелерде автор, есептің қойылуына, зерттеу әдісін таңдауда, теориялық
талдауларға, нәтижелерді тарату мен интеграциялау әдістеріне өз үлесін
қосты.

І. Зерттелетін процестердің физикалық негіздері

1.1. Механикалық тербелістер

Тербелістер туралы жалпы мәліметтер

Тербелістер деп белгілі бір дәрежеде қайталағыштығымен айқындалатын
процестерді айтады. Мысалы, сағат маятнигінің тербелуі, ішектің немесе
камертон таяқшасының тербелісі, радиоқабылдағыш контурының конденсатор
астарларындағы кернеу және т.б. осындай қайталағыштық қасиетке ие болады.
Қайталанатын процестің физикалық табиғатына байланысты тербелістер:
механикалық, электромагниттік, электромеханикалық және т.б. түрге бөлінеді.
Бұл жерде механикалық тербелісті қарастырамыз.
Тербелмелі жүйеге жасалатын әсердің сипатына қарай еркін тербелістер,
еріксіз тербелістер автотербелістер және параметрлік тербелістер болып
ажыратылады.
Еркін тербелістер деп қозғалысқа келтірілгеннен кейін немесе орнықты
қалпынан шығарылғаннан соң өзімен-өзі қалатын жүйеде өтетін тербелістерді
айтады.
Еріксіз тербелістер деп тербелмелі жүйеге әлсін-әлі өзгеріп отыратын
сыртқы күштің әсеріне кез болатын тербелістерді айтады.
Еріксіз тербелістер сияқты автотербелістер де тербелмелі жүйеге сыртқы
күштердің әсер етуімен жүреді; алйда бұл әсерлер жүзеге асатын уақыт
мезетінде тербелмелі жүйенің өзі белгілейді-сыртқы әсерлерді жүйенің өзі
басқарады. Жоғары көтерілген гирдің немесе бұралған серіппенің энергиясы
есебінен маятнигі түрткі алатын сағат осыған мысал бола алады.
Параметрлік тербелістер кезінде сыртқы әсер салдарынан жүйеде қандай да
болсын параметрі, мысалы, тербеліс жасап тұрған шарик ілінген жіптің
ұзындығы, периодты түрде өзгереді.
Гармониялық тербелістер, яғни тербелетін шама уақыт бойынша синус не
косинус заңына сәйкес өзгеретін тербелістер қарапайым тербелістер қатарына
жатады. Бұл тербелістер мына себептерден аса маңызды деп саналады:
біріншіден табиғаттағы және техникадағы тербелістер көбінесе гармониялық
тербелістерге жақын сипатта болады, және екіншіден басқа түрдегі периодты
процестерді бірнеше гармониялық тербелістердің қосылуы ретінде қарастыруға
болады.

Гармониялық тербелістер.

Серіппеге ілінген, массасы m шариктен тұратын жүйені қарастырайық
(cурет). Тепе-теңдік күйінде mg күші k(l0 cерпімділік күшімен теңгеріледі:
mg= k(l0 (1.1)
Шариктің тепе-теңдік қалпынан ығысуын х координатасымен сипаттаймыз,
әрі осін вертикаль бойынша төмен бағыттаймыз, ал осьтің нолін шариктің тепе-
теңдік қалпымен үйлестіреміз.
Егер шарикті тепе-теңдіктен х-қа тең қашықтыққа ығыстырсақ, онда
серіппенің ұзаруы (l0+х шамасына тең болады және қорытқы күштің х осіне

1-сурет.

проекциясы (бұл проекцияның жай ғана f әрпімен белгілейік) мынадай мән
қабылдайды:
f=mg-k((l0+x).
(1.1) формуласындағы тепе-теңдік шартын ескере отырып, төмендегіні
аламыз:
f=-kx. (1.2)
(1.2) формуласындағы ығысу мен күштің бағыттары қарама-қарсы екендігін
білдіреді: егер шариктің тепе-теңдік қалпынан төмен қарай (х0) ығысса, күш
жоғары (f0) бағытталады, шарик жоғары қарай (х0) ығысқанда күш төмен
(f0) бағытталады. Сонымен f күшінің төмендегідей қасиеттері бар: 1) ол
шариктің тепе-теңдік қалпынан ығысуына пропорционал, 2) ол әр қашанда тепе-
теңдік қалпына қарай бағытталған.
Біз қарастырған мысалда (1.2) күш шынында, өзінің табиғаты бойынша
серпімді. Басқа тектегі күштерде де осындай заңдылық байқалуы мүмкін.
Табиғатына қарамастан, мұндай күштерді квазисерпімді деп атау келісілген.
Шарикке арналған Ньютонның екінші заңы былай жазылады:

Бұл теңдеуді төмендегідей етіп түрлендірейік:
(1.3)
х-тағы коэффициент оң. Сондықтан оны мынадай түрде жазуға болады:
(1.4)
(1.3) өрнегіне (1.4) –өрнегіндегі белгілеуді қолдана отырып, мынаны аламыз:
(1.5)
циклдік жиілік.
Сонымен (1.2) түріндегі күштің әсерінен болатын шарик қозғалысы екінші
реттік біртекті дифференциалдық теңдеулер арқылы зерттеледі.
Бұл гармониялық тербеліс теңдеулерінің шешуі:
х(t)= (1.6)

тербеліс амплитудасы, тербелістің бастапқы фазасы.
Тербеліс кезіндегі жылдамдық:
(1.7)

жылдамдық тербелісінің амплитудасы
(1.8)

Тербелістер кезіндегі үдеу:
(1.9)

тербеліс үдеуінің амплитудасы
(1.10)

1.2.Электр тербелістері

Актив кедергісі жоқ контурдағы еркін тербелістер
Электр тербелісі индуктивтілігі мен сыйымдылығы бар тізбекте пайда бола
алады. Мұндай тізбек т е р б е л і с к о н т у р ы деп аталады. 5, а-
суретте актив кедергісі нолгьге тең идеал контурдағы тербеліс процесінің
жүйелі кезеңдері кескінделген.

2-сурет.

Тербелісті туғызу үшін индуктивтіліктен ажыратылған конденсаторды ток
көзіне қосу керек, осының салдарынан конденсатор астарларында шамасы qm әр
атты зарядтар пайда болады (1-кезең). Астарлар арасында энергиясы
шамасына тең электр өрісі пайда болады. Егер осыдан кейін электр көзін
ағытып, конденсаторды индуктивтілікпен тұйықтасақ, сыйымдылық разрядтала
бастайды да контур бойымен ток өтетін болады. Нәтижесінде электр өрісінің
энергиясы кеми бастайды да, есесіне индуктивтілік арқылы ағып өткен токтан
пайда болатын магнит өрісінің өспелі энергиясы туады. Бұл энергия
шамасына тең болады.
Тізбектің актив кедергісі нольге тең болғандықтан, электр өрсінің
энергиясы мен магнит өрісінің энергиясынан құралған толық энергия
конденсатор астарларын қыздыруға жұмсалмастан тұрақты болып қалады.
Cондықтан конденсатордағы кернеу, демек, электр өрісінің энергиясы нольге
айналған мезетте, магнит өрісінің энергиясы, ендеше, ток та өзінің ең үлкен
мәніне жетеді (2 кезең, осы мезеттен бастап ток өздік индукцияның э.қ.
күштерінің есебінен ағатын болады). Әрі қарай ток кеми бастайды,
астарлардағы заряд өзінің бастапқы qm шамасына жеткен кезде, ток күші
нольге тең болады (3 кезең). Осыдан кейінгі жерде процестер керісінше өтеді
де (4 және 5 кезең), система бастапқы күйіне келеді (5 кезең), сөйтіп,
барлық цикл қайтадан қайталай беретін болады. Сипатталған процестің
барысында астарлардағы q заряд, конденсатордағы U кернеу және индуктивтілік
арқылы өтетін і ток күші периодты түрде өзгеріске (яғни тербеліске)
ұшырайды. Тербеліс электр өрісі энергиясы мен магнит өрісі энергиясының
өзара айналуымен қосарласа өтеді.
5, б-суретте контурдағы тербеліс серіппелі маятниктің тербелісімен
салыстырылған. Конденсатор астарларына түсірілген заряд маятникті сыртқы
күштердің әсерімен тепе-теңдік қалпынан шығаруға және оған берілген алғашқы
хm ауытқуға сәйкес келеді. Бұл жағдайда серіппенің серпімді деформациясының
потенциялық энергиясы пайда болады. 2 кезең маятниктің тепе-теңдік қалпынан
өтуіне сәйкес келеді. Осы мезетте квази серпімді күш нольге тең болады да,
маятник инерциясы бойынша қозғала береді. Осы уақытта маятник энергиясы
толығынан кинетикалық энергияға ауысады да өрнегімен анықталатын
болады. Осыдан кейінгі кезеңдерді салыстыруды оқушылардың өздеріне
ұсынамыз.
Электр және механикалық тербелістерді салыстырудан электр өрісі
энергиясының серпімді деформацияның потенциялық энергиясына ұқсастығы,
ал магнит өрісі энергиясының кинетикалық энергияға ұқсастығы шығады.
Индуктивтілік L - m массасының ролін, сыйымдылыққа (1С) кері шама
-серпімділік коэффициенті k-ның ролін атқарады. Ақырында, q зарядына
маятниктің тепе-теңдік қалыптан ығысуы х, ал -ток күшіне
жылдамдық сәйкес келеді. Төменде көретініміздей, электр және механикалық
тербелістің арасындағы ұқсастық оларды сипаттайтын математикалық
теңдеулерге де қолданылады.
Тербеліс кезінде сыртқы кернеу контурға түспейді. Сондықтан
сыйымдылық пен индуктивтілік кернеудің кемуі қосындысы нольге тең
болуы тиіс:

Бұл өрнек L-ге бөліп және қатынасын () арқылы
ауыстырып, мына өрнекке келеміз:
(1.11)
Егер
(1.12)
Белгілеуін енгізсек, (1.11) теңдеуді механикалық тербелістер жайындағы
ілімнен бізге жақсы таныс мынадай түрге келеді:
(1.13)
Бұл теңдеудің шешуі, біз білетін
(1.14)
функция болып табылады.
Сөйтіп, конденсатор астарларындағы заряд жиілігі (1.12) өрнегімен
анықталатын гармониялық заң бойынша өзгереді. Бұл жиілік контурдың меншікті
жиілігі деп аталады. Тербеліс периоды үшін Томсон формуласы деп аталатын
өрнекті аламыз:
(1.15)
Конденсатордағы кернеудің зарядтан айырмашылығы 1С көбейткіштің
болуында:
(1.16)
(1.16) функцияны уақыт бойынша дифференциалдап, ток күшіне арналған
(1.17)
өрнегін аламыз:
(1.14) пен (1.17) формуланы салыстыра отырып, ток максимал мәніне
жеткенінде заряд (сондай-ақ кернеу) нольге айналады, және керісінше болады
деп қорытамыз. Заряд пен ток арасындағы сондай қатысты, энергетикалық
түсінікті негізге ала отырып, біз бұрын анықтаған болатынбыз.
(1.16) және (1.17) формуладан

екені шығады.
(1.12) формуласы бойынша (0 –ны ауыстыра отырып, мынаны аламыз:
(1.18)

Өшетін еркін тербелістер

Кез келген нақты контур актив кедергіге ие болады. Контурда жиналған
энергия қоры осы кедергіге бірте-бірте жылуға жұмсалады, осының салдарынан
еркін тербелістер өшетін болады. Тербеліс теңдеуін сыйымдылықтағы,
индуктивтіктегі және актив кедергідегі кернеу кемуінің қосындысының нольге
тең болуынан шығарып алуға болады:

Бұл өрнекті L-ге бөліп және i-ді арқылы, ал -ні
арқылы ауыстырып, мынаны аламыз:
(1.19)
-нің контурдың (0 меншікті жиілігінің квадратына тең екенін ескеріп
және
(1.20)
белгілеуін енгізе отырып, (1.19) теңдеуін мына түрге келтіруге болады:
(1.21)
Соңғы теңдеу өшетін механикалық тербелістің дифференциал теңдеімен дәл
келеді. шартында, яғни болғанда (1.22) теңдеудің шешуі мына
түрге келеді:
, (1.22)
мұндағы . (0 –ның және (-ның мәнін қойып, мынаны табамыз:
(1.23)
Сөйтіп, өшетін тербелістің жиілігі ( меншікті жиілігі (0-ден кем
болады. R=0 болғанда (1.23) өрнегі (1.12)-ге ауысады.
(1.22)-ті сыйымдылық С-ға бөліп, конденсатордағы кернеуді аламыз:

(1.24)
Ток күшін табу үшін (1.22)-ті уақыт бойынша дифференциалдаймыз:

Бұл өрнекті шамасына көбейтіп, бөлгеннен:

( бұрышын анықталған

шарты бойынша енгізе отырып, былай жазуға болады:
(1.25)
, ал болғандықтан да . Сөйтіп, контурда актив кедергінің бар
болуынан ток фаза бойынша конденсатордағы кернеуден -ден гөрі (R=0
болғанда озу -ні құрайды) озық кетеді.

3-cурет.
(1.22) функцияның графигі 3-суретте кескінделген. Кернеу мен токтың
графигі бір-біріне түр жағынан ұқсас болады.
Тербелістің өшуін өшудің логарифмдік декрементімен сипаттау қабылдаған.

мұндағы а(t)-сәйкес шамалардың (q, U немесе і) амплитудалары.
Өшудің логарифмдік декременті амплитудасы е рет кемитін уақыт ішінде
жасалған Ne тербеліс санына кері шама болады:

Тербелмелі контурды әрқашан оның мықтылығымен (Q) сипаттайды, бұл
өшудің логарифмдік декрементіне кері пропорционал шама ретінде анықталады:
(1.26)
(1.26) теңдеуден контурдың мықтылығы неғұрлым жоғары болса, соғұрлым
амплитуда е рет кемігенге дейін тербеліс саны жасалып үлгереді. (-ның
орнына оның (T мәнін алып, мынаны табамыз:

Егер өшу аса үлкен болмаса (), деп ұйғаруға болады. Сонда

Сөйтіп, өшу баяу болған жағдайда

(1.27)
Контурдағы ток күшінің амплитудасы е-(t заңы бойынша кемиді. Контурда
жинақталған W энергия ток күші амплитудасының квадратына (немесе
конденсатордағы кернеу амплитудасының квадратына) пропорционал болады;
демек, W е-2(t заңы бойынша кемиді. Период ішінде энергияның салыстырмалы
кемуі мынаған тең:

Шамалы өшу кезінде (яғни (( 1 орындалғанда) е-2(-ні 1-2( арқылы
жуықтап ауыстыруға болады:

Бұл өрнектегі (-ны (1.26) формуласына сәйкес контурдың Q мықтылығымен
ауыстырып, әрі шыққан теңдеуді Q-ға қатысты шешіп, мынаны аламыз:

(1.28)
Сонымен, баяу өшу кезінде контурдың мықтылығы контурда жинақталған
энергияның осы тербелісітің бір периоды ішінде кемуіне қатынасына
пропорционал болады екен.
Қорытындылай келе , яғни болғанда тербеліс орнына
конденсатордың апериодты (периодсыз) разряды жүреді. Тербелмелі процестің
апериодты процеске ауысуындағы контурдың кедергісі кризистік кедергі деп
аталады. Кризистік кедергі Rk-нің мәні шартымен анықталады, бұдан
(1.29)

Еріксіз электр тербелістері

Еріксіз тербелісті шығарып алу үшін системаға периодты түрде өзгеріп
тұратын сырттай әсер беру керек екен. Электр тербелісі жағдайында, мұны
контур элементіне тізбектей қосылған айнымалы э.қ. күшін немесе контурды
үзіп жіберіп, жаңа пайда болған контактіге айнымалы U кернеуін беру арқылы
іске асыруға болады. Электр және механикалық тербелістердің арасындағы
ұқсастықты аяғына дейін жүргізу үшін біз еріксіз электр тербелістерінің
теңдеулеріне басқаша түр бере отырып, қарасытрамыз.
Контурдың элементіндегі кернеу кемулерінің қосындысын түсірілген
кернеуге теңестіреміз

І токтан q зарядына өте отырып, (1.12) және (1.20) белгілеулерді
пайдаланып, мына теңдеуі аламыз:

Бұл еріксіз механикалық тербелістің дифференциал теңдеуімен бірдей. Осы
теңдеудің дербес шешуі мына түрде болады:
, (1.30)
мұндағы
(1.31)
(1.32)
Егер (1.30) дербес шешуге сәйкес біртекті теңдеудің жалпы шешуін
қоссақ, жалпы шешуді аламыз. Бұл шешу алдынғы параграфта алынған болатын,
мұнда экспоненциал е-(t көбейткіш бар, сондықтан тербеліс басынан
саналатын жеткілікті уақыт аз болып шығады, оны елемеуге болады. Демек,
орныққан еріксіз тербелісіміз (1.30) функциямен сипатталады екен. Алдыңғы
тарауда тек орныққан ток пен кернеудің ғана қарастырылғанын ескертелік.
Заряд q-ды сыйымдылық С-ге бөліп, конденсатордағы кернеуді аламыз:

мұндағы
(1.33)
(1.30) функцияны t бойынша дифференциалдай отырып, контурда орныққан
токты табамыз:

(1.34)
Ток амплитудасының өрнегімен сәйкес келетін мәні төмендегіше болады:
(1.35)
(1.35)-ке ((((((( белгілеулерін енгізе отырып, біз (1.32)-ге сәйкес
мынаны аламыз:

q заряды үшін резонанстық жиілік пен конденсатордағы UС кернеу мынаған
тең:
(1.36)
4-суретте UС үшін резонанстық қисықтық кескінделген (q-дың резонанстық
қисықтығы да дәл осындай). Бұлар механикалық тербелістер үшін алынған
резонанстық қисықтармен ұқсас. ((( болғанда резонанстық

4-сурет.

қисықтар -ға-конденсаторды қосқанда, онда пайда болатын кернеуге
ұмтылады. Неғұрлым ((R2L аз болса, яғни неғұрлым конденсатордағы актив
кедергі аз, индуктивтілік көп болса, резонанс кезінде максимум соғұрлым
жоғары, әрі сүйірлеу болып келеді.
Ток күші үшін резонанстық қисықтар 5-суретте кескінделген. Бұлар
механикалық тербеліс кезіндегі жылдамдықтың резонанстық қисықтығына сәйкес
келеді. (1.35) ток күшінің амплитудасы (L-1(C=0 болғанда максимал мәнге ие
болады. Демек, ток күшінің резонанстық жиілігі контурдың меншікті жиілігі
(0-ге дәл келеді. Іm осіндегі резонанстық қисықпен қиылысатын кесінді
нольге тең-кернеу тұрақты болғанда конденсаторы бар тізбектегі орныққан ток
ағып өте алмайды.

5-cурет.

Өшу аз болғанда () кернеудің (1.38) резонанстық жиілігін (0-ге тең
деп ұйғаруға болады:

(1.33) формуласы бойынша Ucmрез резонанс кезінде конденсатордағы кернеу
амплитудасының Um сыртқы кернеу амплитудасына қатынасы бұл жағдайда мынаған
тең болады:

мұндағы Q-контурдың мықтылығы.
Контурдың мықтылығы резонанстық қисықтықтың сүйірлігін де сипаттайды.

1.3. Заттардың α-бөлшектерін шашыратуы.
Резерфорд тәжірибесі

Кіріспеде айтып өткендей, атом құрылымы туралы дұрыс ұғымға ғалымдар
бірден келек қойған жоқ. Жүргізілген зерттеулердің нәтижесінде 1900 жылы
электрон барлық атомдардың құрамында болатыны анықталды. Ал олай болса,
атом массасы тек қана электрон массасымен анықтала ма, алде атом ішінде
электронның теріс зарядын бейтараптайтын заряд орналасқан ба? Міне осы және
басқа сұрақтарға жауап беру үшін әр түрлі елдердің ғалымдары атом моделін
ұсынды. Модель белгілі бір зерттелетін физикалық дененің, құбылыстың немесе
денелер, құбылыстар жүйесінің ой түсінігі арқылы немесе материалды түрде
жасалған шартты үлгісі. Модель жасау түсініксізнемесе аз зерттелген денені,
құбылысты бұрыннан жақсы мәлім әрі зерттелген денелермен, құбылыстармен
осы құбылыстың, дененің моделі ретінде салыстыру жолымен зерттеуге немесе
түсіндіруге мүмкіндік береді.
Атомның бірінші моделін 1902-1904 жж. Дж. Томсон ұснған. Бұл модель
бойынша оң зарядталған біртекті атом массасына тербелмелі қозғалыста
болатын теріс зарядты электрондар орналасқан, яғни атом бейнелеп көрсетсек
мейіз қосылған булка нан сияқты (мейіз түйірлері электрон ролін
атқарады), оң заряд атомның бүкіл көлемін түгелдей жайлайды деген (6-
сурет).
Бұл модель термоэлектрондық эмиссия кезінде электрондардың ытқып шығуын,
атомның электромагниттік толқындарды шығаруын, иондардың пайда болу
процестерін және т.с.с. құбылыстарды түсіндіре алады. Әрине, Томсон моделі
атом туралы ілімнің дамуында белгілі роль атқарды.
Ағылшын ғалымы Резерфорд 1908-1911 ж.ж. жүогізілген тәжірибелерінде
6-cурет. атом ішіндегі зарядтың
таралуын зерттей
отырып Томсон
моделінің қате екенін дәлелдеді. Резерфорд тәжірибелерінде жұқа алтын
фольга арқылы өткендегі α-бөлшектердің шашырауын қарастырды (алтынның
созымдылық қасиеті өте жоғары, одан өте жұқа фольга жасауға болады).
Тәжірибеде қолданылған фольга қалыңдығы—6∙10-7 м шамасында.
Моноэнергетикалық, яғни энергиялары 7,68 МэВ α-бөлшектердің көзі ретінде
радиоактивтік препара-Ро-214 қолданылған.
1909 ж. Жүргізілген тәжірибелерінен Резерфорд α-бөлшектердің заряды
оң, ал шамасы 2е-ге тең, екенін тапқан еді. α-бөлшектердің шашырауын
зерттейтін құралдың схемасы 7-суретте берілген.

7-сурет.

α-бөлшектер көзінен шыққан бөлшектер қорғасын коллиматорлардан өтіп өте
жіңішке шоқ ретінде алтын фольгаға түседі (қорғасын α-бөлшектерді жақсы
жұтады). Алтыннан шашыраған α-бөлшектер күкіртті мырыш )цинк) шағылған
экранға түскен. Экранға түскен әр бір бөлшек экранда жарықтың жылтылдауын
(сцинтиляциясын) туғызады. Көптеген α-бөлшектер фольгадан өткенде өзінің
әуелгі бағытын сақтаған, немесе әуілгі бағытын кішкене φ бұрышқа ауытқыған
бөлшектер микроскоп экранына түседі. α-бөлшектер ауаның молекуласына
соқтығыспас үшін құрал түгелімен вакуум ыдысқа орналастырылған. Шашыраған
бөлшектердің аз ғана бөлігі 135-150°-қа ал кейбіреулері тіпті 180°-қа
жақын бұрышпен кері бұрылған (шамамен 20 000 бөлшектен біреуі).

8-сурет.

Алдын ала есептеулерге қарағанда, Томсон модельі бойынша, α-бөлшектер
бастапқы бағытынан тек қана кішкене (1°-4°) бұрышқа ауытқуы керек еді,
себебі Томсон атомының ішіндеге электр өрісі әлсіз болуы керек, біркелкі
зарядталған шардың электр өрісі оның бетінде максимал болып
шардыңцентріне жақындаған сайын нольге дейін кемуі керек. Тәжірибелердің
қортындысына қарап, кейбір α-бөлшектердің үлкен бұрышпен шашырауын Томсон
модельімен түсіндіруге мүмкін болмады. Бұл құбылысты түсіндіру үшін
Резерфорд оң зарядталған бөлшектер алтын
фольгадан өту жолында шама жағынан үлкен оң зарядқа және үлкен массасы
денеге кездеседі де одан Кулон заңы бойынша кері тебіледі деп есептеді,
яғни атомның оң заряды оның бүкіл көлеміне таралған емес, белгілі бір
кішкене аймағына—ядроға жинақталған, оның көлемі атомның көлеміне
қарағанда анағұрлым кіші.
Мұндай кішкене көлемнен α-бөлшектердің шашырау ықтималдығы аз,
сондықтан көптеген бөлшектер аз ғана бұрышқа шашырайды (8-сурет).
Ядроға тікелей тура келген бөлшек қайта тебіліп үлкен бұрышқа
шашырайды. α-бөлшектердің ядроға тию ықтималдығы өте аз, бірақ нольге тең
емес. Ал атомның қалған көбірек бөлігін электрондар жайлайды, олардың
бүкіл теріс заряды ядроның оң зарядымен бейтараптанады. Электрон массасы
өте аз болғандықтан α-бөлшектердің қозғалысына әсер етпейді деп есптеген.
Резерфорд α-бөлшектердің оң заряды бар ядроның кулондық өрісінде
ауытқуын теория жүзінде қарастырып, ядро зарядының шамасын есептеген. 9-
суретте α-бөлшектің q заряды бар ядродан ауытқуы көрсетілген. Шашырау
теориясы бойынша нысана қашықтығы дгеніміз, егер α-бөлшектің тебу күші
болмаса, ядроға ең жақын келетін арақашықтық р. Кулон күші әсерінен
кейбір α-бөлшек өзінің траекториясын өзгертіп АВС сызығының бойымен
қозғалады, белгілі бір φ бұрышына шашырайды. Әсер етуші Кулон күшінің
шамасы:
(1.37)

9-сурет.

мұндағы qα=2e-α- бөлшектің заряды, r—α-бөлшек пен ядроның центрлерінің
арақашықтығы, ε0-электрлік тұрақты. Нысана арақашықтығы р өзгергенде
шашырау бұрышы φ әр түрлі болады. Ал, ядроға тура бағытталған α-бөлшектің
нысана қашықтығы р=0 болады да, бір D нүктесіне дейін келіп, ең минимал r0
арақашықтығында кейін бұрылады. α-бөлшектің ядромен әсерлесуін сипаттау
үшін dΩ денелік бұрышпен шашыраған конустық бетпен шектелген dφ бұрышы бар
денелік бұрыш ішіндегі α-бөлшек санын білу қажет. 10-суретте осындай
кішкене бұрышпен шашыраған α-бөлшектер электрондағы С сақинасына, ал
Резерфорд тәжірибесінде микроскоп экранына түсіп жылтылдау туғызады.

10-сурет.

Фольгаға бағытталған бүкіл α-бөлшектердің тығыздығы, яғни бірлік
уақытта бірлік ауданға түсетін бөлшек саны n0 , ал кішкене ғана элементар
dΩ денелік бұрыш ішінде шашыраған α-бөлшек саны dn болсын делік. Осы жалпы
нысанаға бағытталған α-бөлшектердің ішінен dΩ денелік бұрышының ішінде
шашыраған бөлігін алсақ, бұл шашыраудың эффективтік қимасы деген
шаманы береді. Dσ атом физикасында жиі қолданылатын шама, өлшем бірлігі-м2,
яғни өлшемі аудан өлшеміндй. Атом физикасыда көбінесе қолданылатын өлшем-
барн (б), 1б=10-20м2. эффективтік қима шашырату центрінің ерекшелігімен
сипатталады. Сонда Резерфорд бойынша шашырау теориясына сүйенсек, α-бөлшек
пен ядроны оң нүктелік зарядтар, олар бір-біріне Кулон заңы бойынша әсер
етеді деп есептесе, dΩ бұрышының ішіндегі шашыраған α-бөлшектер санын
табуға мүмкіндік болады:
(1.38)
мұндағы Е- α-бөлшектің жалпы энергиясы. (1.38) формуласы Резерфорд форуласы
деп аталады. (1.38) формуласын өзгертіп, келесі түрде жазамыз:
(1.39)
Тәжірибеде қарастырған α-бөлшектер моноэнергетикалық болғандықтан,
(1.39) формуласындағы шамасы тұрақты болуы керек. Оқушылары Гейгер
мен Марсденнің жүргізген тәжірибелерінің нәтижесінде Резерфорд
тәжірибесінің дұрыстығы дәлелденді. Мысалы, тәжірибенің бір сериясында
150000 жылтылдау тіркелген, соның нәтижелерін төменгі 1-кестеде
қарастырамыз:

1-кесте. Алтын фольгадан α-бөлшектердің шашырауы.
Шашырау бұрышы, Жылтылдау саны
градус
150 1,15 33 29
135 1,38 43 31
105 2,53 70 28
75 7,25 211 29
45 46,6 1435 31
15 3445 132000 38

1-кестеден шашырау бұрышы φ өзгеруіне байланысты sin4 (φ2) мөлшері
3000 есе өзгергенінің өзінде dn=sin4 (φ2) көбейтіндісі шамамен тұрақты
екені көрінеді. Ал егер Томсон моделі бойынша оң заряд атомның бүкіл
көлеміне таралған деп есептесек, мұндай заңдылық болмаған болар еді. Міне,
сонымен Резерфордтың атомның бүкіл оң заряды ядроға жиналған деген тұжырымы
дұрыс болып шықты.
Тәжірибелерін қортындылай келе Резерфорд атомның ядролық моделін
ұсынды, оны кейде атомның планетарлық моделі деп атайды. Ол бойынша атом
оң зарыдталған ядродан және ядроны айналып қозғалатын электрондардан
тұрады. Атомның бүкілдерлік массасы ядроға шоғырланған. Резерфорд
формуласын пайдаланып ең бірінші рет атом ядросының зарядын табуға
мүмкіндік болды. Әр түрлі металдармен істелген тәжірибелердің нәтижесінде
(1.38) формуласындағы q=Ze екені дәлелденді, Z-Менделеев таблицасындағы
элементтің реттік номері, е—электрон заряды, яғни периодтық системадағы
элементтер номерінің физикалық мағынасы түсіндірілді. Ал, атом негізінен
бейтарап болғандықтан ядроның оң зарядының шамасы Ze болсы, атомдағы
ядроның саны Z-ке тең болуы керек.
9-суреттегідей, α-бөлшектің ядроға тура бағытталған (р=0) жағдайын
қарастырса, ядроның мөлшерін шамалауға болады, яғни α-бөлшек пен ядроның
ең жақындасатын минимал арақашықтығы r0 шамамен ядроның радиусына тең деп
алуға болады. r0-дің сандық мәнін шамалау үшін α-бөлшектің ядромен орталық
соқтығысуын қарастырамыз, шашырау бұрышы 180°-қа тең деп аламыз. Энергияның
сақталу заңы және айналу заңы бойынша α-бөлшектің ядромен ең жақын
арақашықтыққа келгендегі кинетикалық энергиясы ядромен әсерлесудің
потенциалдық энергиясына айналады:
(1.40)
мұндағы m=6,6∙10-27кг- α-бөлшектің массасы, V=1,9∙107 мс-осы ядродан
алыстаған бастапқы жылдамдығы, алтынның Менделеев табицасындағы нөмері
Z=79, электрон заряды e=1.6∙10-19Кл, ал q=Ze, qα=2e; сонда (1.40)
формуласынан:
м (1.41)
Міне бұдан, алтын атом ядросының мөлшері табылған r0 шамасынан кем болуы
керек. Қазіргі өлшеулер бойынша ядро радиусы 10-15м, ендеше ядро атомынан
100 000 есе кіші.
Атом ядросының массасы атом массасына тең деп лауға болады, себебі
электрон массасы ядро массасына қарағанда шамамен мың есе аз болады. Ядро
массасы мен радиусын білсе, ядро затының тығыздығын табуға болады.
Мысалы, сутегі атомының массасы mн=1,67∙10-27 кг, м, сонда ядро
тығыздығы:
тсм3
Ядро тығыздығы өте үлкен шама екен: 1 см3 көлемде миллиард тонна.
Әрине, атомның Резерфорд моделі атом ілімінің дамуына үлкен әсерін
тигізді, атом табиғатын дұрыс түсінуге мүмкіндік берді. Бірақ Резерфорд
моделінің классикалық электродинамика тұрғысынан елеулі кемшіліктері
болды.
1) Электрон ядроны айналып қозғалады, онық қозғалысы үдемелі қозғалыс
болғандықтан, ол үнемі электромагниттік энергия шығаруы тиіс, яғни
электромагниттік толқын шығаруы керек, ал олай болса электрон энергиясы
азая береді. Электрон мен ядро арасы жақындай беріп аз уақыт өткенде
электрон ядроға құлап түсуі тиіс. Атом бұзылуы керек. Ал күнделік
тәжірибеден атом өте беріс система екені белгілі.
2) Электрон ядроға жақындай берген сайын айналу периоды үздіксіз кеми
береді. Осы кезде шығарылған электромагниттік толқындардың жиілігі
үздіксіз артып отырады. Сөйтіп атомның шығарған электромагниттік толқын
спектрі үздіксіз болуға тиіс. Өмірде атомның шығарған спектрі үздікті,
сызықты спектр болып табылады. Мысалы, сутегі атомының спектрлері—сызықты
спектрлер.

ІІ. Физикалық процестерді зерттеудің математикалық әдістері

2.1. Қарапайым дифференциалдық теңдеулерді жуықтап шешу әдістері. Эйлер
әдісі

Бастапқы шарты

болатын мынадай дифференциалдық теңдеу
(2.1.1)
берілсін.
Жеткілікті кіші һ қадамды таңдап, бірдей қалушы нүктелер жүйесін
құрамыз
(2.1.2)
M0 (x0, y0 ) нүкте арқылы өтетін нақты интегральдық қисықты,
төбелері Мі(хі, уі) (і=0, 1, 2, ... ...) болатын M0M1M2 ... ... . сынық
бөліктермен алмастырамыз (11- сурет). Мі Мі+1 бөліктер х=xi, x=xi+1 тік
сызықтардың

11-сурет.
арасында түзу сызықты болады және мынадай
(2.1.3)
көтерілу бар (Эейлер сынығы деп аталтын).
Сөйтіп, әрбір төбедегі Мі Эйлер сынығы Мі Мі+1 бөлігінің бағыты Мі
төбе арқылы өтетін теңдеуі (2.1.1) болатын интегралдық қисықтың
бағытымен сәйкес келеді.
(2.1.3) формуладан уі төмендегі формула бойынша анықтауға болатындығы
шығады (Эйлер әдісі)

және
(2.1.4)
Эейлер сынығын геометриялық салу үшін P(-1,0) полюсін таңдаймыз және
ордината осіне сынықтарын саламыз (11-сурет). Көрініп тұрғандай, РА0
сәулесінің бұрыштық коэффициенті -ға тең болады, сондықтан да, Эйлер
сынығының бірінші бөлігін алу үшін М0 нүктесінен РА0 сәулесіне параллель
M0M1 түзуін x=x1 тік сызықпен қандай да бір M1(x1, y1) нүктеде қиылысқанша
жүргізсек жеткілікті.

12-сурет.
M1(x1, y1) нүктесін бастапқы деп санап, ордината осіне кесіндісін
саламыз және M1 нүктесі арқылы M0M1 ОА1 түзуін x=x2 тік сызығымен M2
нүктесіне қиылысқанша жүргіземіз және т.с.с.
Эйлер әдісі дифференциалдық теңдеуді қарапайым сандық интегралдау болып
табылады. Оның кемшіліктер:
1) дәлдігінің аздығы;
2) қателіктердің жүйелі жинақталуы.
Егер (1) теңдеудің оң жағы үзіліссіз болса, онда h(0 кезінде Эйлер
сынығының тізбегі жеткілікті кіші [х0, х0+Н] кесінді де бірқалыпты
нақты интегралдық қисыққа ұмтылады.
Эйлер әдісі дифференциалдық теңдеулер жүйесіне оңай қолданылады.
Мысалы.Эйлер әдісін қолданып, [0, 1] кесіндісінде
(2.1.5)
дифференциалдық теңдеудің мына бастапқы шартты у(0)=1 қанағттандыратын
интегралының мәндерінің кестесін һ=0,1 қадаммен құрыңдар.
Шешуі.Есептеу нәтижелері 2-кестеде келтірілген. Салыстыру үшін соңғы
бағанда дәл шеімнің мәндері орналастырылған.
Келтірілген кестеден көрініп тұрғандай у10 мәнінің абсолют қателігі
(0=0,0361 болады.
Салыстыру үшін дәл шешімнің және сәйкес M0M1M2...Эйлер сынықтарының
графигін келтіреміз (12-сурет).

2-кесте. Дифференциалдық теңдеуді Эйлер әдісімен интегралдау

і х у Дәл мән

0 0 1 0 0 1
1 0,1 1 0,05 0,005 1,0025
2 0,2 1,005 0,1005 0,0101 1,0100
3 0,3 1,0151 0,1523 0,0152 1,0227
4 0,4 1,0303 0,2067 0,0206 1,0408
5 0,5 1,0509 0,2627 0,0263 1,0645
6 0,6 1,0772 0,3232 0,0323 1,0942
7 0,7 1,1095 0,3883 0,0388 1,1303
8 0,8 1,1483 0,4593 0,0459 1,1735
9 0,9 1,1942 0,5374 0,0537 1,2244
10 1,0 1,2479 1,2840

2.2. Рунге-Кутта әдісі

Бастапқы шарты

болатын бірінші реттік дифференциалдық теңдеу
(2.2.1)
берілсін. һ қадамды таңдап және қысқаша болу үшін мынадай белгілеу
енгіземіз және .
Мынадай санды қарастырамыз:
(2.2.2)
Кәдімгі Рунге-Кутта әдісіне сәйкес у нақты функцияның уі мәндерінің
тізбегі мына формуламен анықталады:
,
мұндағы
. (2.2.3)
Бұл әдістің әрбір қадамдағы қателігі һ2 ретті шама екендігін
дәлелдейміз.

(2.2.4)
болсын.
Ағымдағы х нүктесі үшін (у өсімшесіні (2.2.2) формуламен анықталатын
кейбір орташа ілінген шамалар түрінде көреміз:
(2.2.5)
(( (( (( ( тұрақтыларды төмендегі Тейлор формуласымен есептелген (у
өсімшесі:
(2.2.6)
Һ4 реттік мүшесімен бірге (2.2.5) формуламен есептелетін (у шамасымен
сәйкес болатын шарттан анықталады.
Біздің міндетіміз –(2.2.3) формуладағы коэффициенттер осы мағанада
тамаша болып табылады.
туындылар тізбегін (2.2.1) теңдеуден табамыз. Ыңғайлы болу үшін
мына операторларды енгіземіз

мұндағы -(2.2.1) теңдеудің оң жағы.
Мынаны көреміз

және

Күрделі функцияны дифференциалдау ережесін қолданып, (2.2.1) теңдеуден
мынаны табамыз

Бұдан,
(2.2.7)

Ары қарай екі айнымалы функция үшін Тейлор жіктеуін қолданамыз:

һ4 дейінгі дәлдікке дейін табамыз

және

Бұл өрнекті (5) формулаға қойып, мынаны аламыз

Анық жазылған бұл жіктелуідің коэффициенттерін (2.2.7) формуланың
сәйкес коэффициенттеріне теңестіріп, (( (( ( және ( тұрақтыларын анықтау
үшін сегіз теңдеулер жүйесін аламыз:
(2.2.8)
Жүйе жалғыз шешімге ие екендігін оңай тексеруге болады
.
Сөйтіп,
(2.2.9)
осылайша біздің тұжырымымыз дәлелденді.
(2.2.9) формула төртінші реттік дәлдікке тең.
(2.2.3) формула бойынша есептеу үшін 3-кестеде келтірілген схеманы
қолданған ыңғайлы.

3-кесте. Рунге –Кутта әдісінің схемасы
І х у k=hf(x,y) (y
0
- - - -
1 x1 y1 ... ... . ... ..

Рунге-Кутта әдісі айтарлыққай дәлдікке ие және өзінің көлемділігіне
қарамастан компьютердің көмегімен дифференциалдық теңдеулерді сандық
шешкенде кеңінен қолданылады. Бұдан басқа бұл әдістің маңызды мүмкіндігі
бұл “айнымалы қадамды” қолдану болып табылады.
Мысалы 1. Рунге-Кутта әдісімен
, (2.2.10)
дифференциалдық теңдеудің [0; 0,5] кесіндідегі интегралын есептеңдер. Қадам
һ=0,1.
Шешуі. Процестің басталуын көрсетеміз.
у1 есептеу.

Бұдан

және ары қарай,

Осы сияқты одан кейінгі жуықтауларда есептеледі. 4-кестеде есептеу
нәтижелері келтірілген.
Сөйтіп, y(0.5)=1,7974.
Cалыстыру үшін дәл шешімді келтіреміз:

Бұдан

4-кесте. (2.2.10) дифференциалдық теңдеуді Рунге-Кутта әдісімен
интегралдау
і Х y k=0.1(x+y) (y
0 0 1 0.1
0.05 1.05 0.11
0.05 1.055 0.1105
0.1 1.1105 0.1210

1 0.1 1.1103 0.1210
0.15 1.1708 0.1321
0.15 1.1763 0.1326
0.2 1.2429 0.1443

2 0.2 1.2427 0.1443
0.25 1.3149 0.1565
0.25 0.3209 0.1571
0.3 1.3998 0.1700

3 0.3 1.3996 0.1700
0.35 1.4846 0.1835
0.35 1.4904 0.1840
0.4 1.5836 0.1984

4 0.4 1.5836 0.1984
0.45 1.6828 0.2133
0.45 1.6902 0.2140
0.5 1.7976 0.2298

5 0.5 1.7974

Рунге-Кутта әдісін қарапайым дифференциалдық теңдеулер жүйесінің жуық
шешімін алу үшін қолдануға болады.
Мынадай дифференциалдық теңдеулер жүйесі берілсін
(2.2.11)
және бастапқы шарты келесі түрде болсын

Һ қадамды беріп және стандарт белгілеуді және і=0, 1, 2 ... ..
енгіземізде келесіні аламыз
(2.2.12)

Рунге-Кутта әдісіне байланысты (у0 жуықтап мына формула бойынша
анықталады
(2.2.13)
Бұдан
.
Ары қарай, бастапқы берілгендерді (х1, у1) деп алып және жоғарыдағы
процесті табамыз у2. Осыған ұқсас мыналарды есептейді

Мысал 2. Кедергісі бар ортадағы маятник тербелісінің теңдеуін Рунге-
Кутта әдісімен интегралдаңдар.
(2.2.14)
Бастапқы шарттар:

Шешуі.

дей отырып, (2.2.14) теңдеуді дифференциалдық теңдеулер жүйесі түрінде
жазамыз
(2.2.15)
сондай-ақ

Қадамды таңдаймыз
Һ=(t=0.1
және

мұндағы

және k(1), k(2) компоненттерін (2.2.12) формуладан анықталады.
(2.2.12) және (2.2.13) формула бойынша есептеулер 5-кестеге
орналастырылған.

5-кесте -(2.2.15) дифференциалдық теңдеулер жүйесін Рунге-Кутта
әдісімен интегралдау
і t ( ( k(1)=0.1[pk(2)=0.1[(( ((
ic] pic]
0 0 0.3 0 0 -0.2955 0 -0.2955
0.050.3000-0.147-0.0148 -0.2926 -0.0296 -0.5852
0.050.29268 -0.0146 -0.2855 -0.0292 -0.5710
0.1 0.2854-0.146-0.0286 -0.2810 -0.0286 -0.2810
3
-0.285
5

1 0.1 0.2854-0.288--0.0289 -0.2759 -0.0289 -0.2759
0.150.27108 -0.427 -0.2592 -0.0854 -0.5184
0.150.2641-0.426-0.0418 -0.2527 -0.0836 -0.5054
0.2 0.24367 -0.0541 -0.2304 -0.0541 -0.2304
-0.418
4
-0.541
5

2 0.2 0.2434-0.543-0.0544 -0.2301 -0.0544 -0.2301
0.250.21628 -0.0659 -0.2013 -0.1318 -0.4026
0.250.2105-0.658-0.0644 -0.1960 -0.1288 -0.3920
0.3 0.17909 -0.0740 -0.1633 -0.0740 -0.1633
-0.644
5
-0.739
8

3 0.3 0.1786-0.741-0.0742 -0.1647
8

2.3. Ақырлы айырымдар әдісі

теңдеуі мен оны қанағаттандыратын шекті шарты

мұндағы берілген [a,b] кесіндісін қадаммен тең n бөлікке
бөліп, нүктелерінде мәні сандық әдістер бойынша анықталады.
Соңғы айырымдар әдісі. Соңғы айырымдар әдісіне ішкі түйіндер үшін
берілген теңдеу соңғы айырымдар қатынасымен алмастырылады. Мұнда ішкі
нүктелерде төмендегі теңдіктер орындалады, яғни

ал шекті нүктелер үшін х0=а, және хn =b және немесе
нәтижеде у0, у1, ... ..., уn белгісізді теңдеулер жүйесі алынады. Бұдан
кейін теңдеулер жүйесі шешіледі.

ІІІ. Компьютерді оқу процесінде қолдану

3.1. Компьютердің физиканы оқытудағы ролі

Физиканы оқыту әдістемесінің ілгерілемелі дамуының барысында оқыту
әдістері ... жалғасы

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.