XOY жазықтықтың теңдеуі

Жұмыс түрі: Материал
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 7 бет
Таңдаулыға:

Егер кординаталар басынан түзуге түсірілген перпендикулярдың ұзындығын -ге тең, ал оның абсциссалар осінің оң бағытымен жасайтын бұрышы -ға тең деп алсақ, берілген түзудің теңдеуін

түрінде жазуға болады. Мұндай теңдеуді түзудің нормаль теңдеуі дейді. Бұл теңдеудің коэффициенттері төмендегідей екі шартқа бағынады:

Егер түзудің жалпы теңдеуі берілсе, оны теңдігінен анықталатын М шамасына көбейтіп,

нормаль түріне келтіруге болады. Мұнда нормалаушы көбейткіш М-нің таңбасы шарт бойынша С-нің таңбасына қарама-қарсы болып алынады.

Берілген нүктесінен берілген түзуіне дейінгі қашықтық

формуласымен есептелінеді. Егер түзу жалпы теңдеуімен берілсе,

Бұл формулалармен есептегенде d оң сан да, теріс сан да болуы мүмкін. Егер берілген нүкте мен кординаталар басы берілген түзудің екі жағында жатса, онда d- оң сан, ал егер берілген нүкте мен кординатлар басы берілген түзудің бір жағында жатса, d-теріс сан болады. Егер қашықтық өзі ғана керек болса, онда

формуласын пайдаланады.

Түзуді берілген екі түзуден бірдей қашықтықта жататын нүктелердің геометриялық орны ретінде қарастыруға болады. Егер берілген екі түзу қиылысатын болса онда бұл геометриялық орын екі түзудің қиылысу бұрыштарының биссектрисаларын анықтайды. Мұнда бір биссектриса үшін болса, екінші биссектриса үшін . Бұл жерде d әріпінің таңбалары ескеріледі. Егер берілген екі түзу параллель болса, онда бұл геометриялық орын берілген түзулерге параллель болып, олардың дәл аралығынан өтеді. Бұл жағдайда да таңба ескеріледі. Мысал үшін түзулерінің бірдей қашықтықта жататын нүктелердің геометриялық орнын табайық. Берілген түзулер параллель болмайды, сондықтан мұндай геометриялық орын биссектрисаларды анықтайды. Егер геометриялық орын биссектисаларды анықтайды. Егер геометриялық орынды анықтайтын түзудегі кез келген нүктені деп белгілесек,

болады. Бір биссектриса үшін мына

теңдігі, ал екіншісі үшін

теңдігі орындалады.

Түзуді берілген екі түзуден бірдей қашықтықта жататын нүктелердің геометриялық орны ретінде қарастыруға болады. Егер берілген екі түзу қиылысатын болса, онда бұл геометриялық орын екі түзудің қиылысу бұрыштарының биссектрисаларын анықтайды. Мұнда бір биссектриса үшін d ₁ -d ₂ болса, екінші биссектриса үшін . Бұл жерде әріпінің таңбалары ескеріледі. Егер берілген екі түзу паралель болып, олардың дәл аралығынан өтеді. Бұл жағдайда да таңба ескеріледі. Мысал үшін және түзулерінен бірдей қашықтықта жататын нүктелердің геометриялық орнын табайық. Берілген түзулер параллель болмайды, сондықтан мұндай геометриялық орын биссектрисаларды анықтайды. Егер геометриялық орынды анықтайтын түзудегі кез келген нүктені деп белгілесек,

болады. Бір биссектриса үшін мына

теңдігі, ал екіншісі үшін

теңдігі орындалады. Онда биссектрисалардың , теңдеулері шығады. Биссектрисалардың біріне-бірі перпендикуляр екендігі көрініп тұр.

Егер , параллель түзулері берілсе, онда екеуіне де бірдей қашықтықта жататын нүктелердің геометриялық орны сол түзулердің арасында жататын, екеуіне де параллель түзуді

анықтайды. Бұл берілген түзулер кординаталар басының екі жағында жатады. Сондықтан деп аламыз:

Осыдан ізденіліп отырған түзудің теңдеуі табылады.

Кеңістіктегі түзудің теңдеулерін мынадай төрт түрін жазуға болады.

1. A ₁ x+B ₁ y+C ₁ z+D ₁ =0

A ₂ x+B ₂ y+C ₂ z+D ₂ =0

Жазықтықтың нормальдық теңдеуі және кеңістіктегі нүктесі берілген. Осы нүктеден берілген жазықтыққа дейінгі қашықтықтың формуласын қорытып шығарайық. Берілген жазықтықты P деп белгілейік. Кеңістіктегі M нүктесінен берілген P жазықтыққа паралелль көмекші Qжазықтығын жүргізейік. Іздеп отырған қашықтық осы екі жазықтыққа перпендикуляр, яғни осыдан

Qжазықтығының теңдеуін Mнүктесінің координаталары қанағаттандырады. Осыдан . Енді p-тің мәнін мына теңдігіне қойып, іздеген формуланы табайық:

Егер Mнүктесі берілген Pжазықтығы мен кординаталардың бас нүктесінің арасында жатса онда қашықтығының таңбасы теріс болады. Сондықтан берілген жазықтыққа дейінгі қашықтықтың формуласы мынадай болады:

Бұл теңдеуден мынадай ереже шығады, берілген нүктеден берілген жазықтыққа дейінгі қашықтықты табу үшін сол берілген нүктенің координаталарын берілген жазықтықтың теңдеуіндегі ағымдық координаталардың орнына қою керек.

Егер жазықтық жалпы түрде берілсе, онда оны нормальдық түрге келтіріп, ондағы ағымдық координаталардың орнына берілген нүктенің координаталарын қоямыз.

Түзудің теңдеуін сызу үшін теңдеуді екі жазықтықтың қиылысқан сызығы деп қарастырмай -ақ арнаулы бір қасиеті бар нүктелердің геометриялық орны деп қарастыруға болады. Кеңістіктегі түзудің орнын анықтау үшін, түзу бойындағы бір нүкте көрсетіліп түхудің бағыты белгіленген болса болғаны. Белгілі нүктесі арқылы өтетін түзуді делік. Бұл түзудің бағыты координат сабақтарымен жасайтын бұрыштары арқылы көрсетілген болсын. Түзудің теңдеуін құру үшін, түзу бойынан кез келген бір нүкте алайық: M(x y z) MM кесіндісінің OX сабағындағы проекциясын былай жазуға болады:

M ₁ M= A ₁ A ₂ =x-x ₁

Вектордың ұзындығы мен проекциясының арасындағы байланыс былай болады:

Cos a=x-x ₁