Еріксіз тербелістердің жиілігі

Жұмыс түрі: Материал
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 19 бет
Таңдаулыға:

Мазмұны.

Кіріспе.

I . Тарау. Тербеліс және олардың түрлері.

§. 1.1. Тербеліс туралы жалпы түсінік.
§. 1.2. Өшетін тербелістер.
§. 1.3. Мәжбүр тербелістер.
§. 1.4. Гармониялық тербелістер.

II. Тарау. Тербелмелі жүйе . Тербеліс қозғалысының энергиясы , жылдамлығы
, үдеуі.

§.2.1. Тербелмелі жүйе.
§2.2. Тербелмелі қозғалыс энергиясы.
§2.3. Гармониялық тербелмелі қозғалыстың жылдамдығы, үдеуі және
энергиясы.
§2.4. Эксперименттік бөлім.

Қорытынды.

Пайдаланылған әдебиеттер.

I . Тарау. Тербеліс және олардың түрлері.

§. 1.1. Тербеліс туралы жалпы түсінік

Тербеліс деген өте кең ұғым. Айталық маятник тербелісі, машиналар
двигателі поршенінің қозғаласы , кеменің шайқалысы , көпір мен үйлердің
теңселісі, айнымалы токтың тізбектегі тербелісі, жүрек соғысы және
Тербелер дауысым ауада ... -деп Сәкен Сейфуллин айтқан ауаның тербелісі,
міне осының бәрі тербелістің мысалдары бола алады. Сонымен тербеліс деп
белгілі уақыт өткенде қайталанып отыратын процестерді , қозғалыстарды
айтады. Тербелмелі қозғалысты (тербелісті ) қарастырғанда, тербелістің
қайталануын сипаттайтын белгілерді ажыратып алғын жөн.
Олар мыналар:
1) Бастапқы қалпына қайтып келгенде дейінгі кететін уақыт.
2) Тепе- теңдік күйден шыққаннан кейінгі ең үлкен ауытқу .
3) Тербелісті сипаттайтын заңдылықтың математикалық түрі.
Тербеліп тұрған жүйені тербеліс жүйесі деп атайды . Егер тербелмелі
жүйенің энергиясы өзгермесе , онда оны өшпейтін тербеліс, ал энергиясы азая
беретін болса онда оны өшетін тербеліс деп атайды. Тербеліс кезінде
өзгеретін физикалық шамалардың мәні бірдей уақыт ішінде қайталанып отыратын
болса , онда тербелісті периодты тербеліс деп атайды. Тербелмелі
қозғалыстағы дененің бұрынғы қалпына қайтып келуіне кеткен ең аз уақытты
период (Т ) деп атайды. Бұл уақыт ішінде бір толық тербеліс жасалады .
Уақыт бірлігі ішінде жасалатын толық тербелістер санын периодты
тербелістердің жиілігі деп атайды:

Бір секундта бір тербеліс жасайтын тербеліс жиілігініің бірлігі Герц
(Гц) деп аталады. Ал 2π секунд ішінде жасалатын тербелістер санын периодты
тербелістердің циклдік (дөңгелектік ) жиілігі (ω) деп атайды :

Осыдан : (1)

Тербеліс күрделі немесе қарапайым болуы мүмкін . Синус (косинус)
заңына бағынатын тербелістерді қарапайым тербелістер атайды. Оған
гормлниялық тербелістер жатады. Механикалық тербелістердің заңдылықтарын
зерттеуді гормониялық тербелістерден бастаймыз.
Шеңбер бойымен қозғалған материалдық нүктені алайық. Нүктінің N0-ден
шығып, шеңбер бойымен сағат тілі бағытында қозғала отырып , қайтадан N0 –
ге қайтып келуге кеткен уақытын тербеліс периоды деп атайды. Ол Т әрпімен
белгіленеді. Материалдық нүктенің тепе – күйден ауытқуын ығысу деп атайды.
КN1=x;

Ең үлкен ығысу амплитуда деп аталады. Оны А әрпімен белгілейді:
ON2 =A;
Тербеліп тұрған нүктенің әрбір уақат кезеңіндегі жағдайы фазамен
сипатталады. Тербелмелі қозғалыстағы нүкте қозғалысының негізгі теңдеуін
табу үшін KON1 үшбұрышын қарастырайық . Одан :

Немесе

Бұдан : x= A sin φ
(2)
Осы теңдеу гармониялық тербелістің теңдеуі болып саналады. Біз бұл
жерде t=0 болғанда дене тыныштық күйде тұр деп алып отырмыз.
Нүкте Т секунд ішінде бір айналым жасайды , яғни 2π доғасын жүріп
өтеді t уақыт ішінде φ жағдайында болсын делік. Осы төрт шаманың арасында
мынадай тәуелділік бар:

, осыдан

(3)

Фазаның осы мәнін (2) формулаға қойсақ , шығатыны :

(4)

Тербеліс фазасы кез – уақыттағы ығысуды анықтайды .
Мысалы: φ = 00 болса, онда x=0 ; φ =300 болса , онда
x= A sin 900 = А
Тепе теңдік қалпынан шығарылған ,бірақ сыртқы күштің әсерінсіз
тербеліс жасап тұрған жүйенің тербелісін еркін тербеліс (меншікті
тербеліс) деп атайды. Сыртқы күштің әсерінен болатын тербелісті еріксіз
тербеліс деп атайды.
Серппеге қосылған магниттің тербелісі серппеге ілінген жүктің
тербелісі , шекті тепе – теңдік күйінен шығарған тербелістер еркін
тербелістердің мысалы бола алады.

Тербелістердің асциллограммасы .

Егер маятникке сия құйсақ маятник тербелгенде одан аққан сия
маятниктің ілу нүктесіне қатысты алғанда бірқалыпты қозғалып , қағазға
қисық сызады . Қағаз жолақ бір қалыпты қозғалғандықтан , алынған қисық
уақыт өткен сайын маятниктің тепе – теңдік күйіне қатысты қылпынан
өзгергенін көрсетеді. Мұндай қисық асциллограммалар деп аталады.
Асциллограмма - деген сөз латынның oscilum тербеліс және гректің
графио – жазамын деген сөзінен шыққан .
Жалпы тербелістер деп периодты түрде өзгеріп тұратын сыртқы күшті
ңәсерінен тербелмелі жүйеде пайда болатын тербелсті айтады.
Үйдің жанынан ауыр жүк машинасы жүріп өткендк терезе әйнектерінің
сылдырлауы еріксіз тербелістер болады. Ол тербелістерді жүк машинасының
әсерінен ауа мен жэердің тербелістері тудырады.
Телефонмен сөйлескенде телефон мембранасы ауа қозғалысының әсерінен
тербеледі, ал ауа дауыс жарғақшасының тербелісімен ауаның тербелістері
еріксіз тербелістер болып саналады. Жұмыс атқарып тұрған барлық машиналар
мен механизмдердің корпустары да еріксіз тербелістер шығарады. Қатты
сөйлегіштің диффузоры да еріксіз тербеліс жасайды. Осы барлық келтірілген
мысалдар еріксіз тербелістердің бізді қоршаған ортада жиі кездесетінін
көрсетеді.

Еріксіз тербелістердің жиілігі.

Егер серппелі маятниктің сол жақтағы серппесі аз жиілікпен тартып
қойсақ, онда маятниктің жүгі де аз жиілікпен тербеле бастайды. Егер мәжбүр
етуші тербелістің жиілігі де арта түседі . Мәжбүр етуші тербелістердің
жиілігі неғұрлым көп болса , еріксіз тербелістің жиілігі де соғұрлым көп
болады. Осы және осыған басқа да мысалдар еріксіз тербелістердің жиілігі
мәжбүр етуші тербелістердің жиілігіне тең екеніне көз жеткізеді.

Қажетсіз еріксіз тербелістерді өшіру.

Еріксіз тербелістер амплитудасының құрылыстардың бұзылу қаупін
тудырыратын жағдайға жетуі еріксіз тербелістерді өшіру тәсілдерін
іздестіруге мәжбүр етеді. Еріксіз тербелістерді іздестірудің бір тәсілі
жүйенің еркін тербелісінің жиілігін өзгертуде болып отыр. Атап айтқанда ,
ол жиілік еріксіз тербелістің жиілігіне дәл келмеуі керек және оған еселі
болмауы керек.
Мысал: жылу электр станциясы үшін жасалатын бу турбинасының жиілігі
3000 мин-1 болуы керек. Демек ротордың айналуынан пайда болатын тербелістің
жиілігі мынаған тең

Резонанстық тербеліс болмау үшін бүкіл Генератор – турбина - фундамент
жүйенің 50 Гц – тең өзгеше және 50 Гц – ке еселі болмайтын еріксіз тербеліс
жиілігінде болу керек. Резонанспен күресудің осы әдісін тек тәжірибе
жүзінде бейнелейік.
Мысалы: Вибраторды іске қосқанда серіппелі маятник үлкен амплетудамен
тербеле бастайды. Бұл еріксіз тербелістердің жиілігі еркін тербелістердің
жиілігіне жақын екені нақтылай түседі. Маятникті тоқтатып оның жүгін
массасы артық жүкпен алмастырамыз (мұнымен біз маятник тербелісінің
меншікті жиілігін өзгертеміз). Вибраторды қайта іске қосып маятник
тербелісі амплетудасымен біршама азайғанын көреміз. Енді тербеліс
резонанстық сипатқа ие болмайды.
Резонанстық құбылыстармен күресудің екінші бір тәсілі жүйенің
үйкелісін арттыру. Жүйенің үйкелісі неғұрлым көп болса, соғұрлым
резонанстық тербелістердің амплетудасы аз болсады.

Бір түзудің бойымен болатын тербелістерді қосу.

Көбінесе дене бір мезгілде екі немесе бірнеше тербеліске қатысатын
қозғалыстарда болып отырады.
Мысалы: Егер бір жүкті пружинаға асып ресорлы вагонның төбесіне іліп қоятын
болсақ жүк ілу нүктесіне қатысты тербеліс жасайды, ал ол ілу нүктесінің өзі
вагонның ресорларында тербеледі. Сонда жүк бір жаққа қарай бағытталған екі
тербелістің қосындысы болатын қозғалыс жасайды. Осы тербелістерді қосқанда
қандай қортқы қозғалыс шығатының қарастырайық. Мұны біз бір жаққа
бағытталған және периодтары бірдей, бірақ фазаларында біраз айырмашылығы
бар және амплитудалары әр түрлі екі тербелісті қосудан бастайды. Мынадай
тербелістерді алайық:

(1)

Бұл екі тербелістің периодтары тең деп алайық, сондықтан олардың
дөңгелектңк жиіліктері ω бірдей болады.
Дене бір кезде екі тербеліс жасағанда, оның тепе – теңдік қалыптан
ауытқуы х1 және х2 ауытқулардың алгебралық қосындысына тең болады:
(2)
Бұл екі тербелісті х өсінде жатқан кез келген О нүктесінен бастап салынған
амплитудаларының векторлары арқылы қарастырайық. Екі амплетудада бірдей
бұрыштық жылдамдықпен (ω) сағат тілінің бағытына қарама – қарсы бағытпен
айналады. Демек а2 мен а1 векторлардың арасындағы бұрыш әрқашан ά2 – ά1 тең
болады. Екі вектордың бір өске түсірілген позицияларының қосындысының сол
өске түсірілген проекциясына тең болғандықтан, қорытқы тербеліс
амплитуданың векторымен кескінделеді, ол ά2 және ά1 амплитуда векторларын
геометриялық жолмен қосқаннан шығады, яғни а = а1+а2
Қортқы а амплидудасының векторы қосылатын тербелістер амплитулдалар
векторларының бұрыштық жылдамдығымен айналады. Қортқы амплитуда векторының
х өсімен бастапқы кезде жасайтын ά бұрышы мынаған тең болатындығын көруге
болады.
(5)
Қорытқы тербелістердің өзі а амплитудасы векторының х өсіне түсірілген
проекциясының өрнектеледі, яғни ол мынаған тең болады:
(6)
Сүйтіп қортқы қозғалыс құраушы қозғалыстар қандай түзудің бойымен болатын
болса, сол түзудің бойымен болатын гармониялық тербеліс екенін және оның
периоды да сол құраушы қозғалыстардың периодына тең болатынын көреміз.
Қортқы тербелістің а амплитудасымен а бастапқы фазасы құраушы
тербелістердің амплитудаларымен бастапқы фазалары арқылы (4) (5)
формулалары бойынша анықталады. (4) формула бойынша қортқы тербелістің а
амплитудасы құраушы тербелістердің а2-а1 фазаларының айырмасына байланысты
болатындығын атап өту қажет. cos + 1 ден артық және бірден кем бола
алмайтындықтан, (4) формуладан қортқы амплитуда құраушы амплитудалардың
қосындысынан артық, айырмасынан кем болмайтындығын, яғни ол мына аралықта
болатындығын көруге болады:

Егер құраушы тербелістер фазаларының айырмасы 0-ге немесе 2kπ (мұндағы k
бүтін сан) тең болса, онда фазалар айырмасың косинусы +1 – ге тең болады,
сонда (4) формула бойынша мынау шығады.:
, бұған ,
яғни қортқы тербелістің амплитудасы фазалары айырмасы
(мұндағы k=0,1,2,,3, ... ) болғанда құраушы тербелістің а1 және а2
амплитудаларының қосыедысына тең болады. Құраушы тербелістердің фазалар
айырмасы π- дің тақ санына тең болса онда фазадар айырмасының косинусы 1-
ге тең болады және амплитуданың мәні (4) формула бойынша мынаған тең болады
:

,
Бұдан

Мұнда айырмасының абсолют мәнін алып отырмыз, өйткені жалпы
амплитуданың өз мағнасы бойынша тек оң шама ғана бола алады.
Осыдан қортқы тербелістің амплитудасы фазалар айырмасы

Болғанда құраушы тербелістердің амплитудалары айырмасының абсолют
мәніне тең болады. Құраушы тербелістердің периодтары әртүрлі болып ,
бағыттары бір болсын . Сонда тербелістердің векторлық диаграммасында
құраушы амплитудалардың векторлары әртүрлі бұрыштық жылдамдықпен айналады,
осының салдарынан олардың арасындағы бұрыштың шамасы тұрақты болмайды,
уақыт өтуімен бірге өзгеріп отырады . Осының нәтижесінде қортқы
амплитуданың шамасы да өзгереді. Құраушы тербелістердің дөңгелектік жиілігі
ω1 және ω 2 болсын . Құраушы тербелістер фазаларының айырмасы өзгеріп
отыратындықтан бастапқы уақыт кезеңі ретінде екі тербелістің бастапқы
фазалары тең болатын уақыт кезеңін алуға болады, яғни тербелістерді мына
жазуға болады:

(7)
Мұнда деп жобалаймыз.
Құраушы амплитудалар фазаларының айырмасы () t болады. Фазалар
айырмасының бұл мәні (4) формулаға қойсақ қортқы амплитуда квадратыынң
мынадай мәні шағады :

(8)
Сонымен қортқы тербелістің а амплитудасының шамасы уақытқа
байланысыты белгілі периодпен өзгеріп отырады.
Қортқы амплитуда векторының бұрыштық айналыс жылдамдығы тұрақты
болмайды сндықтан қортқы қозғалыс гормониялық тербеліс болмайды.
Амплитудалары (а1=a2) периодтарының және дөңгелектік жиіліктерінің
бір- бірінен айырмашылықтары аз болатын екі тербелістің қосу нәтежесін
әдейілеп қарастыралық. (8) формуладағы а1 =a2 деп алсақ былай болады

Немесе
(9)
Мұнда теңдіктің оң бөлігіндегі шаманың абсолют шамасын аламыз ,
өйткені амплитуда тек оң шама ғана бола алады. Косинустың абсолют мәнінің
периоды π – ге тең, олай болса амплитуданың абсолют шамасының өзгеру
периоды косинустың аргументі π-ге өзгеретін уақыт аралығы болып
табылады.:

Бұдан
(10)
Яғни қорытқы тербеліс амплитудасының өзгеру жиілігі құраушы
тербелістер жиіліктерінің айырмасына тең болады. Қорытқы амплитуданың х
осімен жасайтын бұрышы

Тең көруге болады. Олай болса бұл жағдайда қорытқы амплитуданың
векторы құраушы тербелістердің дөңгелектік жиіліктері қосындысының
жартысына тең болатын тұрақты бұрыштық жылдамдықпен айналады. Егер қорытқы
амплитуда векторының х осіне түсірілген проекциясын алатын болсақ, онда
қорытқы қозғалыс шығады, бұдан х қорытқы ауытқуы мынаған тең болады.

Немесе (9) формула бойынша

мәндері шамалас деп алғандықтын шамасы
шамасынан кіші болады. Бұдан мынау шығады : қорытқы тербелісті
дөңгелектік жиілігі амплитудасы болатын гармониялық тербелмелі
қозғалыс деп қарастыруға болады., бірақ сонда амплитуда тұрақты болмайды
(9) бойынша уақытқа байланысты периодты болып баяу өзгереді. Амплитуданың
(10) формуламен өрнектелген. Мұндай тербеліс 1- суретте графикпен
көрсетілген. Бұл тербелістін амплитудасы біресе өседі біресе кемиді, бұл
құбылыс соғу деп аталады.

0

t

1 – сурет.

§. 1.2. Өшетін тербелістер , автотербелістер.

Іс жүзінде материалдық нүктенің қандай да болмасын тербелісі,
сырттан бір әсер болмаса өшіп қалады. Уақыт өтуімен бірге оның тербеліс
амплитудасы азаяды. Тербелістің өшуіне қозғалысты бәсеңдететін күш, мысалы
маятниктің тербелісі кезінде оның ілінген жерінің үйкеліс күші немесе
ортаның кедергі кұші себеп болады. Біз нүктенің тек ортадағы түзу сызықтың
бойымен тербелісін қарастырайық. Ортаның кедергі күші нүктенің қозғалыс
жылдамдығына байланысты болады және жылдамдықтар шамасы аз болған жағдайда
, оның жылдамдыққа пропорционал деп есептеуге болады. Ол күштің бағыты
жылдамдықиың бағытына қарама – қарсы болады, сонымен ,кедергі күшін – rx
деп алуға болады. Мұндағы r тұрақты шама, ол кедергі коэффициенті деп
аталады. Бұл күш – kx серпімді күшке қосылып бұдан нүктеге әсер ететін
толық күш :

f= - kx - rx болады.

өзгеру периоды мынаған тең:

Немесе ω – ның орнына оның

Мәнін қойсақ, мынаған тең болады:

өрнекті пайдалаынып Т тербеліс периодын мына түрде жазуға болады:

Тербеліс периоды

Кедергісі жоқ ортадағы массасы сондай нүктеге

F=-kx

Серпімді күштің әсерінен болатын тербеліс

Периодынан үлкен болады. Х – тің уақытқа байланысты болу графигі 2 –
суретте көрсетілген. Бұдан тербелыстің бірте-берте өшетінін көруге.

х

t

2-сурет. Өшетін
тербелістер.

Бір – бірінен қашықтығы Т периодына тең болатын амплитудалардың
тізбектес екі мәні қатынасынын логарифмі тербеліс өшуінің логарифмдік
декременті деп аталады.

Өшетін тербелістер үшін мынадай өрнек шығады:

Тербеліс шексіз уақыт өткенде ғана тоқтайды, ал шынында ол шектеулі
уақыт өткен соң тоқтайды. өйткені амплитуда атом өлшемдерімен шамалас
болғанда макраскопиялық системаның тұтас система ретінде тербелуі мүмкін ем
ес . Тербелістер өшетін жағдайда системаны тепе – теңдік қалыптан шығару
үшін берілген энергия аз – аздап үйкеліс күшін жеңу үшін істелетін жұмысқа
жұмсалады. Тербелістің өшпеуі үшін системаға сырттан үздіксіз энергия
беріліп отыру қажет.
Үйкеліс күшінің болуна қарамастан , сырттан беріліп отырған энергия
есебінен амплитудасын өзгертпей тербелетін системаға сағаттың маятнигі
мысал бола алады. Храпты механизм маятникті оның тербелісіне үйлестіріп
қозғап қалып отырады. Сонда маятник энергияны не біртіндеп босап жазылып
отыратын пружинаның не төмен қарай түскен жүк энергиясының есебінен алады.
Осындай өзінің тербеліс амплитудаларын өзгертпейтін система
автотербелмелі система деп аталады.
Өшетін тербелістер жөнінде нақты түсінік беру үшін мынадай екі
мысал қарастырайық :
Бірінші мысал: маятник тербелісінің логарифмдік декременті
.маятник 100 рет толық тербелген соң тербеліс амплитудасы неше есе
азаятындығын анықтайық.
Шещуі: бастапқы t=0 болған уақыт кезеңінде

Тербеліс амплитудасы а=0 болады. Маятник 100 рет тербелген соң ,
яғни t=100T болған кезде тербеліс амплитудасы мынаған тең болады.

бұдан:

Яғни маятник 100 рет тербелгенде тербеліс амплитудасы 7,4 есе
азаяды.
Екінші мысал: ұзындығы l=50 см маятник 8 минут тербелгенде өзінің
энергиясының 99 % жоғалтады. Маятниктің өшетін тербелістерінің логарифмдік
декрементін білу керек .
Шешуі: маятниктің бастапқы уақыт кезеңіндегі тербеліс энергиясының
Е0 деп ал оны t=8 минут уақыт өткеннен кейынгі тербеліс энергиясын Еt деп
белгілейік . Сонда есептең шарты бойынша

Тербеліс энергиясы амплитуданың квадратына тура пропорционал
болғандықтан:

t=0 болған бастапқа уақыт кезенінде амплитуда а0 – ге тең.
t уақыт өткеннен кейінгі амплитуда мынаған тең болады:

Мұндағы t маятниктің тербеліс периоды. Бұдан

Ал ізделіп отырған тербелыстің өшу декременті

Тербеліс бірте – бірте өшетін болғандықтан маятиктің тербеліс
периодының кәдімгі формуласын пайдаланып , Т тербеліс периодын жуық түрде
былай жазуға болады:

Сонда :

§.1.3. Мәжбүр тербелістер.

Материалдық нүктеге серпімді күш пен кедергі күштен басқа қосымша
бір периодты күш әсер еткенде сол нүкте қандай тербеліс жасайтынын
қарастырайық. Мысалы : пружинаға ілулі тұрған жіпті тең уақыт аралықтары
өткен сайын қосымша бір күш қозғап ... жалғасы

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.