Анықталмаған интеграл
.
f(x)
және
F(x)
функциялары ақырлы немесе ақырсыз Х аралықта анықталған функциялар болсын.
Анықтама.
Х аралығында дифференциалданатын
\[F\left(\,\mathcal{X}\right)\]
функциясы
\[F^{\prime}(x)\]
= f(x)
теңдігін қанағаттандырса F(x) функциясы f(х) функциясының
алғашқы функциясы
деп аталады.
\[F\phi(x)=t g a\,=f(x)\]
Мысалы
,
F(x) =x
3
функциясы
f(x) =3x
2
функциясының алғашқы функциясы болады,
себебі
\[F^{\prime}(x)\]
туындының геометриялық мағнасы
y=F(x)
функциясына
х
нүктеде жүргізілген жанаманың бұрыштық коэффициенті. Сонда,
\[f({\boldsymbol{x}})\]
функцияның алғашқы функциясын табу дегеніміз
х
нүктеде жүргізілген жанамасының бұрыштық коэффициенті сол нүктедегі
\[f({\boldsymbol{x}})\]
функциясының мәніне тең болатын
y=F(x)
қисығын табу деген сөз, яғни
\[F\,\phi(x)=t g c a\,=f(x)\]
.
\[f({\boldsymbol{x}})\]
функцияның алғашқы функциясы бірмәнді анықталмаған. Шынында да, мысалдағы
f(x) =3x
2
функцияларының алғашқы функциялары ретінде мына функцияларды алуымызға болады:
x
3
+1
,
x
3
-5
,
x
3
+C
, мұндағы
С
-қандай да бір нақты сан (себебі, бұл функциялардың туындысы
3x
2
болады) . Жалпы жағдайда айтсақ,
\[f({\boldsymbol{x}})\]
функцияның алғашқы функциясы
y=F(x)
табылса, онда
F(x) +С
функциясы да
шартын қанағаттандыратын бір
y=F(x)
функция табылса, онда функция графигін Оу осі бойымен С шамаға жылжыту арқылы осы шартты қанағаттандыратын қисықтарды аламыз (бұлай жылжыту бұрыштық коэффициентті өзгертпейді) .
Мынадай теорема дұрыс болады.
Теорема.
Егер Х аралығында
\[F\left(\,\mathcal{X}\right)\]
және
Ф(х)
функциялары
f(х
) функциясының алғашқы функциясы болса, онда қандай да бір
С
саны табылып, мына теңдік орындалады:
Ф(х) = F(x)
+
C .
Бұл теоремадан егер
\[F\left(\,\mathcal{X}\right)\]
функциясы
f(х
)
функциясының алғашқы функциясы болса, онда
F(x)
+
C
өрнегі
f(х)
функциясының барлық
алғашқы функцияларының жиынын
беретіндігі шығады.
Анықтама.
f(х) функциясының алғашқы функцияларының жиыны оның
анықталмаған интегралы
деп аталады және
\[[f(x)d x\]
деп белгіленеді,
мұндағы
- интеграл белгісі;
f(х)
- интеграл астындағы функция;
f(х) dx -
интеграл астындағы өрнек. Сонымен,
\[f(x)d x\]
=
F(x)
+
C
, (1)
мұндағы
F(x) -
алғашқы функция,
C -
ерікті тұрақты
.
Мысалдағы,
f(x) =3x
2
функциясының алғашқы функциясы
F(x) =x
3
болғандықтан, анықтама бойынша
.
Берілген функцияның алғашқы функциясын табу амалы
функцияны интегралдау
деп аталады. Функцияны интегралдау амалы дифференциалдау амалына кері амал.
Интеграл анықтамасынан мынадай қасиеттер шығады.
1.
.
2.
\[d(\otimes f(x)d x)=f(x)d x\]
.
3.
\[\scriptstyle j P(x)\]
=
F(x)
+
C.
4.
Берілген аралықта
f(x)
және
g(x)
функцияларының алғашқы функциялары бар болса, онда
f(x)
+
g(x)
функциясының да алғашқы функциясы бар болады және
\[\textstyle\int\!f(x)+g(x))d x\]
\[=\delta f(x)d x+\]
\[\{g(x)d x\]
.
5.
\[\Pi f(x)d x=\]
\[k{\bigl|}f(x)d x\]
.
6.
Егер
\[|f(x)d x\]
=
F(x)
+
C
болса, онда
\[|f(a x+b)d x\]
=
\[\frac{1}{\overline{{{Q}}}}\]
F(ax+b)
+
C.
7.
Егер интеграл астындағы функцияның алымы бөлімнің туындысы болса, онда интеграл бөлімнің абсолют шамасының натурал логарифміне тең, яғни
1.
Бірден интегралдау
. Белгілі формулалар көмегімен интегралды бір немесе бірнеше кестелік интегралға келтіруге болатын кезде қолданамыз. Мысалдар қарастырайық.
интегралын қарастырайық. Айталық,
x=g(t)
дифференциалданатын функция болсын. Сонда
dx=g’(t) dt
және
\[\delta f(x)d x=\]
\[[f[g(t)]g\,\phi(t)d t\]
.
Бұл әдіс айнымалыны ұтымды алмастыруға негізделген. Айнымалыны алмастыру арқылы интеграл бірден немесе бірнеше амалдардан кейін кестелік интегралға келтіріледі. Мысалдар қарастырайық.
\[={\left\Vert e^{x}\,d x=u\,\textbf{p}\,d u=\cos x d x\right\Vert}=\]
\[e^{x}\cos x+e^{x}\sin x-\ \vert e^{x}\cos x d x=\]
\[=e^{x}(\cos x+\sin x)-J\]
.
J=
\[{\mathcal{C}}^{X}\]
(cosx+sinx) -J
\[\longrightarrow{\overset{}{\longrightarrow}}\]
J=
\[\frac{\mid}{\overbrace{\sum}}\]
\[{\mathcal{C}}^{X}\]
(cosx+sinx) +C.
Төмендегі интегралдар тобы тек бөліктеп интегралдау әдісімен есептелінеді:
\[\left|x^{n}\ln x d x\right|\]
;
\[\left[\chi^{n}\mathrm{~arccsin~}x d x\right]\]
;
\[\left\{x^{n}{\mathrm{~arccos}}\,x d x\right.\]
;
\[|x^{n}a r c t g x d x\]
.
Рационал функцияларды интегралдау.
\[a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+...+a_{n}x^{n}\]
түріндегі өрнекті
n-
дәрежелі көпмүшелік деп атайды. Мұндағы
- нақты сандар (
\[a_{n}\neq0\]
,
n
>0) . Көпмүшеліктердің қатынасы түрінде берілген өрнек рационал өрнек болады.
Мысалы
\[\frac{3x-1}{x^{2}+1}\]
,
\[\frac{x^{3}\cdot5x^{2}+1}{x-1}\]
бөлшектер рационал өрнектер.
Егер бөлшектің алымындағы көпмүшеліктің дәрежесі бөліміндегі көпмүшелік дәрежесінен кем болса, бөлшек дұрыс деп, ал кем болмаса бөлшек бұрыс деп аталады. Мысалдағы бірінші бөлшек - дұрыс, ал екінші - бұрыс бөлшек.
Кез келген бұрыс бөлшекті алымын бөлімге бөлу арқылы дұрыс бөлшекке келтіріп алуға болады.
Мысалы,
\[\textstyle{\frac{x^{3}\cdot5x^{2}+1}{x-1}}\]
бөлшекті дұрыс бөлшекке келтірейік:
Сонымен, берілген бөлшектің бүтін бөлігін бөліп дұрыс бөлшекке келтірдік:
- белгісіз коэффициенттер. Ол коэффициенттерді табу үшін белгісіз коэффициенттер әдісін пайдаланамыз: теңдіктің оң жағын ортақ бөлімге келтіреміз; екі бөлшектің бөлімдері тең болатындықтан, алымдарын теңестіреміз; теңдіктің екі жағындағы
х
айнымалының бірдей дәрежелері алдындағы коэффициенттерін теңестіру арқылы теңдеулер жүйесін аламыз; осы жүйені шешіп белгісіз коэффициенттерді табамыз.
\[\frac{1}{\sqrt{3}}\,a r c t g\,\frac{x-\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}{2}\nonumber\]
+С=
=
+
\[\frac{8}{\sqrt{3}}a r c t g\frac{2x-1}{\sqrt{3}}\]
+C,
мұнда бірінші қосылғышты алымы бөлімінің туындысы болғандай етіп түрлендірдік те 7-қасиетті пайдаландық. Ал екінші қосылғышта бөлімінің толық квадратын бөліп алып, интегралдар кестесіндегі 14-формуланы пайдаландық.
түріндегі интегралды қарастырайық. Қарапайым жағдайларда мұндай интеграл кестелі интегралға келтіріледі. Ол үшін квадрат үшмүшеліктен толық квадрат бөліп алып, айнымалыны алмастыру керек.
Мысал.
\[{\mathfrak{Q}}{\frac{x d x}{{\sqrt{5+2x-x^{2}}}}}=\]
жағдайдағы шегі функцияның
[a; b] аралығындағы
анықталған интегралы
деп аталады және
деп белгіленеді.
Сонымен,
\[\operatorname*{max}_{m a x}\operatorname*{lim}_{t}(\frac{n}{\hbar})\Im x_{i}\]
, (2)
мұндағы
а
және
b
сандары интегралдың сәйкес
төменгі
және
жоғарғы
шектері деп аталады.
Белгіленуі мен айтылуында ұқсастық болғанымен анықталған және анықталмаған интеграл екеуі түрлі ұғымды береді:
\[[f(x)d x\]
- функциялар жиыны болса;
- нақтылы сан болады.
Егер [
a; b
] кесіндіде
f(x) >0
болса, онда анықталған интеграл анықтамасынан оның
геометриялық мағнасы
шығады:
- үстіңгі жағынан y=f(x) қисығымен, бүйір жақтарынан x=a, x=b түзулерімен, астыңғы жағынан y=0 түзуімен шектелген қисық сызықты трапеция ауданы.
Анықталған интеграл қасиеттері.
Тұрақтыны шек таңбасы алдына шығаруға болады:
\[{\bar{\Re}}{\tilde{Y}}(x)d x=C\]
.
Екі функцияның алгебралық қосындысының интегралы сол функциялар интегралдарының алгебралық қосындысына тең болады: