Айнымалыны алмастыру әдісі


Жұмыс түрі:  Материал
Тегін:  Антиплагиат
Көлемі: 28 бет
Таңдаулыға:   

СЕГІЗІНШІ ЛЕКЦИЯ

ИНТЕГРАЛ

Анықталмаған интеграл . f(x) және F(x) функциялары ақырлы немесе ақырсыз Х аралықта анықталған функциялар болсын.

Анықтама. Х аралығында дифференциалданатын

\[F\left(\,\mathcal{X}\right)\]
функциясы

\[F^{\prime}(x)\]
= f(x)

теңдігін қанағаттандырса F(x) функциясы f(х) функциясының алғашқы функциясы деп аталады.

\[F\phi(x)=t g a\,=f(x)\]
Мысалы , F(x) =x 3 функциясы f(x) =3x 2 функциясының алғашқы функциясы болады,

себебі

\[F^{\prime}(x)\]
туындының геометриялық мағнасы y=F(x) функциясына х нүктеде жүргізілген жанаманың бұрыштық коэффициенті. Сонда,
\[f({\boldsymbol{x}})\]
функцияның алғашқы функциясын табу дегеніміз х нүктеде жүргізілген жанамасының бұрыштық коэффициенті сол нүктедегі
\[f({\boldsymbol{x}})\]
функциясының мәніне тең болатын y=F(x) қисығын табу деген сөз, яғни

\[F\,\phi(x)=t g c a\,=f(x)\]
.

\[f({\boldsymbol{x}})\]
функцияның алғашқы функциясы бірмәнді анықталмаған. Шынында да, мысалдағы f(x) =3x 2 функцияларының алғашқы функциялары ретінде мына функцияларды алуымызға болады: x 3 +1 , x 3 -5 , x 3 +C , мұндағы С -қандай да бір нақты сан (себебі, бұл функциялардың туындысы 3x 2 болады) . Жалпы жағдайда айтсақ,
\[f({\boldsymbol{x}})\]
функцияның алғашқы функциясы y=F(x) табылса, онда F(x) +С функциясы да
\[f({\boldsymbol{x}})\]
функцияның алғашқы функциясы болады, себебі
\[\left(F(x)+C\right)^{\phi}=F\,\forall x)+0=f(x)\]
. Геометриялық тұрғыдан қарастырсақ,
\[F\,\phi(x)=t g c a\,=f(x)\]
шартын қанағаттандыратын бір y=F(x) функция табылса, онда функция графигін Оу осі бойымен С шамаға жылжыту арқылы осы шартты қанағаттандыратын қисықтарды аламыз (бұлай жылжыту бұрыштық коэффициентті өзгертпейді) .

Мынадай теорема дұрыс болады.

Теорема. Егер Х аралығында

\[F\left(\,\mathcal{X}\right)\]
және Ф(х) функциялары f(х ) функциясының алғашқы функциясы болса, онда қандай да бір С саны табылып, мына теңдік орындалады:

Ф(х) = F(x) + C .

Бұл теоремадан егер

\[F\left(\,\mathcal{X}\right)\]
функциясы f(х ) функциясының алғашқы функциясы болса, онда F(x) + C өрнегі f(х) функциясының барлық алғашқы функцияларының жиынын беретіндігі шығады.

Анықтама. f(х) функциясының алғашқы функцияларының жиыны оның анықталмаған интегралы деп аталады және

\[[f(x)d x\]
деп белгіленеді, мұндағы - интеграл белгісі; f(х) - интеграл астындағы функция; f(х) dx - интеграл астындағы өрнек. Сонымен,

\[f(x)d x\]
= F(x) + C , (1)

мұндағы F(x) - алғашқы функция, C - ерікті тұрақты .

Мысалдағы, f(x) =3x 2 функциясының алғашқы функциясы F(x) =x 3 болғандықтан, анықтама бойынша .

Берілген функцияның алғашқы функциясын табу амалы функцияны интегралдау деп аталады. Функцияны интегралдау амалы дифференциалдау амалына кері амал.

Интеграл анықтамасынан мынадай қасиеттер шығады.

1. .

2.

\[d(\otimes f(x)d x)=f(x)d x\]
.

3.

\[\scriptstyle j P(x)\]
= F(x) + C.

4. Берілген аралықта f(x) және g(x) функцияларының алғашқы функциялары бар болса, онда f(x) + g(x) функциясының да алғашқы функциясы бар болады және

\[\textstyle\int\!f(x)+g(x))d x\]
\[=\delta f(x)d x+\]
\[\{g(x)d x\]
.

5.

\[\Pi f(x)d x=\]
\[k{\bigl|}f(x)d x\]
.

6. Егер

\[|f(x)d x\]
= F(x) + C болса, онда

\[|f(a x+b)d x\]
=
\[\frac{1}{\overline{{{Q}}}}\]
F(ax+b) + C.

7. Егер интеграл астындағы функцияның алымы бөлімнің туындысы болса, онда интеграл бөлімнің абсолют шамасының натурал логарифміне тең, яғни

\[{\frac{u{\dot{q}}d x}{u}}=\ln|u|+C\]
, мұндағы u=u(x) .

Анықталмаған интегралдар кестесі:

1
\[{\mathfrak{J}}d x\]
= C
2
\[|d x\]
= x + C
1: 3
=C:
\[\textstyle{\xi{\mathfrak{X}}^{a}\,d x}\]
=
\[\frac{\chi^{a+1}}{Q\ +1}\]
+ C, x>0,
\[a\ ^{\perp}\ -1\]
2: 4
=x+C:
\[\frac{d x}{x}\]
= ln x + C, x
\[\frac{\overline{{\pi}}}{\overline{{\overline{{r}}}}}\]
0
1: 5
=C:
\[\vert i^{x}d x\]
=
\[\frac{a^{X}}{\ln a}\]
+ C,
\[0
2: 6
=x+C:
\[\textstyle{\int_{0}^{x}d x}\]
=
\[e^{X}\]
+ C
1: 7
=C:
\[\scriptstyle{\mathrm{poo}}+d{\mathrm{t}}\]
= sinx + C
2: 8
=x+C:
\[\textstyle\operatorname*{lim}x d x\]
=- cosx + C
1: 9
=C:
\[\textstyle{\frac{|d x}{\cos^{2}x}}d x\]
= tgx + C,
\[x^{\ 1}\ {\frac{p}{2}}+k\pi\]
2: 10
=x+C:
\[\textstyle{\frac{|d x}{\sin^{2}x}}d x\]
=- ctgx + C,
\[x\ \ \ w x\]
1: 11
=C:

\[\frac{d x}{\sqrt{1-x^{2}}}\]
= arcsinx + C,

-1<x<1

2: 12
=x+C:

\[\textstyle{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}\]
= arcsin
\[\frac{\mathcal{X}}{\mathcal{Q}}\]
+ C,

-a<x<a

1: 13
=C:
\[\textstyle\int\!{\frac{\ d x}{1+x^{2}}}\]
= arctgx + C
2: 14
=x+C:
\[\textstyle\bigsqcup_{a^{2}+x^{2}}\]
= artg
\[\frac{\mathcal{X}}{\mathcal{Q}}\]
+ C
1: 15
=C:
\[\frac{d x}{x^{2}-a^{2}}\]
=
\[\frac{1}{2a}\]
ln + C
2: 16
=x+C:
\[{\delta\frac{d x}{\sqrt{x^{2}+k}}}=\]
ln
\[\left|x+{\sqrt{x^{2}+k}}\right|\]
+C

ИНТЕГРАЛДАУ ӘДІСТЕРІ

1. Бірден интегралдау . Белгілі формулалар көмегімен интегралды бір немесе бірнеше кестелік интегралға келтіруге болатын кезде қолданамыз. Мысалдар қарастырайық.

а)

\[\begin{array}{c}{{\S(x^{2}-\ 3\overline{{{\mathcal{V}}}}x+1)d x=\S x^{2}d x-\Im\overline{{{\mathcal{V}}}}\ \int x^{\frac{1}{3}}d x+\S{1}d x}}\end{array}\]
= =
\[\frac{x^{3}}{3}\]
Equation. 3 +
\[{\Im}7\]
\[{\frac{2}{3}}{\frac{1}{1}{\frac{1}{3}}+1}\]
+ x+C=
\[\frac{x^{3}}{3}\]
Equation. 3 +
\[{\Im}7\]
\[\frac{4}{4}\]
+ x+C

б)

\[\delta^{\mathrm{cos}}\,\,x d x=\frac{1+\cos2\,x}{2}d x=\]
\[\delta_{\widetilde{\otimes2}}^{\mathrm{cl}}+\frac{1}{2}\cos2x_{\widetilde{\vartheta}d x}^{\widetilde{0}}=\frac{1}{2}\,x+\frac{1}{4}\sin2x+C\]
.

в)

\[\delta(3x+4)^{\bar{17}}d x=\frac{1}{3}\frac{\left(3x+4\right)^{\vert8}}{18}+C=\frac{\left(3x+4\right)^{\vert8}}{54}+C\]
(6-қасиет бойынша есептелді) .

г)

\[{\mathfrak{d}}{\frac{6x-7}{3x^{2}-7x+5}}d x=\]
=
\[\ln\left|3x^{2}\ -\ 7x+5\right|\]
+С.

2. Айнымалыны алмастыру әдісі. I=

\[[f(x)d x\]
интегралын қарастырайық. Айталық, x=g(t) дифференциалданатын функция болсын. Сонда dx=g’(t) dt және

\[\delta f(x)d x=\]
\[[f[g(t)]g\,\phi(t)d t\]
.

Бұл әдіс айнымалыны ұтымды алмастыруға негізделген. Айнымалыны алмастыру арқылы интеграл бірден немесе бірнеше амалдардан кейін кестелік интегралға келтіріледі. Мысалдар қарастырайық.

а)

\[\frac{1}{2}\partial e^{t}d t=\frac{1}{2}e^{t}+C=\]
\[{\frac{1}{2}}e^{x^{2}}\]

б)

\[{\frac{x^{2}d x}{1+x^{6}}}=\]
\[\frac{1}{3}\ \stackrel{\ Q t}{\ 1+t^{2}}d t=\frac{1}{3}\]
arctgt+C= =
\[\frac{1}{\overline{{{\overline{{\overline{{\mathcal{S}}}}}}}}}\]
arctgx 3 +C

в )

\[\underline{{\partial x}}{\underline{{\partial}}}{\underline{{\partial}}}{\underline{{x(1+\ln x)}}}=\]
\[\left\|1+\ln x=t{\textbf{p}}\,{\frac{d x}{x}}=d t\right\|=\]
\[{\frac{d t}{t}}=\]
lnt+C=ln1+lnx+C

3. Бөліктеп интегралдау әдісі. Бұл әдіс мынадай қатынасқа негізделген:

d(uv) = udv + vdu

\[\longrightarrow{\overset{}{\longrightarrow}}\]
udv = d(uv) - vdu

мұндағы u=f(x) және v=g(x) функциялары туындылары бар функциялар. Теңдіктің екі жағынан да интеграл алсақ,

\[{\textstyle\bigwedge}d\nu=\setminus\bigcup(u\nu)-\bigcup\mathcal{U}d u\]
,

осыдан

\[{\partial}d\nu=u\nu-{\partial}^{}d u\]
.

Бұл әдісті қолданғанда u және v функцияларын

\[\textstyle{\sqrt{d u}}\]
интеграл
\[{\mathfrak{J}}d\nu\]
интегралға қарағанда оңай алынатындай етіп таңдайды. Мысалдар қарастырайық.

а)

\[|x e^{x}d x=\]
\[x e^{x}-\,{\mathfrak{g}}e^{x}d x=x e^{x}-e^{x}\]
+С=

=

\[e^{x}(x{-}1)\]
+C.

б)

\[J=\textsf{f r a c x}\]
\[e^{x}\cos x+\delta e^{x}\sin x d x=\]

\[={\left\Vert e^{x}\,d x=u\,\textbf{p}\,d u=\cos x d x\right\Vert}=\]
\[e^{x}\cos x+e^{x}\sin x-\ \vert e^{x}\cos x d x=\]
\[=e^{x}(\cos x+\sin x)-J\]
.

J=

\[{\mathcal{C}}^{X}\]
(cosx+sinx) -J
\[\longrightarrow{\overset{}{\longrightarrow}}\]
J=
\[\frac{\mid}{\overbrace{\sum}}\]
\[{\mathcal{C}}^{X}\]
(cosx+sinx) +C.

Төмендегі интегралдар тобы тек бөліктеп интегралдау әдісімен есептелінеді:

\[\left|x^{n}\ln x d x\right|\]
;
\[\left[\chi^{n}\mathrm{~arccsin~}x d x\right]\]
;
\[\left\{x^{n}{\mathrm{~arccos}}\,x d x\right.\]
;
\[|x^{n}a r c t g x d x\]
.

Рационал функцияларды интегралдау.

\[a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+...+a_{n}x^{n}\]
түріндегі өрнекті n- дәрежелі көпмүшелік деп атайды. Мұндағы - нақты сандар (
\[a_{n}\neq0\]
, n >0) . Көпмүшеліктердің қатынасы түрінде берілген өрнек рационал өрнек болады.

Мысалы

\[\frac{3x-1}{x^{2}+1}\]
,
\[\frac{x^{3}\cdot5x^{2}+1}{x-1}\]
бөлшектер рационал өрнектер.

Егер бөлшектің алымындағы көпмүшеліктің дәрежесі бөліміндегі көпмүшелік дәрежесінен кем болса, бөлшек дұрыс деп, ал кем болмаса бөлшек бұрыс деп аталады. Мысалдағы бірінші бөлшек - дұрыс, ал екінші - бұрыс бөлшек.

Кез келген бұрыс бөлшекті алымын бөлімге бөлу арқылы дұрыс бөлшекке келтіріп алуға болады.

Мысалы,

\[\textstyle{\frac{x^{3}\cdot5x^{2}+1}{x-1}}\]
бөлшекті дұрыс бөлшекке келтірейік:

Сонымен, берілген бөлшектің бүтін бөлігін бөліп дұрыс бөлшекке келтірдік:

\[{\frac{x^{3}\,\dots\,5x^{2}+1}{x\,\ 1}}=x^{2}\,\cdot\,4x-\,4-\,{\frac{3}{x-1}}\]
.

Мектеп курсынан көпмүшеліктің мынадай қасиеті белгілі: Кез келген көпмүшелікті

\[(x-a)^{a}\]
және
\[(x^{2}+p x+q)^{\beta}\]
түріндегі көбейткіштерге жіктеуге болады.

Мынадай тұжырым дұрыс болады: Егер дұрыс рационал бөлшек бөлімі

\[(x-a)^{\alpha}\]
және
\[(x^{2}+p x+q)^{\beta}\]
түріндегі көбейткіштерге жіктелген болса, онда бөлшектімынадай қарапайым бөлшектердің қосындысына жіктеуге болады:

\[{\frac{P(x)}{(x-a)^{a}\,(x^{2}+p x+q)^{\beta}}}=\]
\[{\frac{A_{1}}{x-a}}+{\frac{A_{2}}{\left(x-a\right)^{2}}}+\ldots+{\frac{A_{a}}{\left(x-a\right)^{n}}}+\]

\[+\frac{B_{1}x+C_{1}}{x^{2}+p x+q}+\frac{B_{2}x+C_{2}}{\left(x^{2}+p x+q\right)}+\ldots+\frac{B_{b}\,x+C_{b}}{\left(x^{2}+p x+q\right)^{\mathrm{a}}}\]
, (2)

мұндағы Р(х) - белгілі көпмүшелік ,

\[{\cal A}_{1},\,{\cal A}_{2},\ldots,\,{\cal A}_{\alpha}\ ,\]
\[B_{1},B_{2},\ldots,B_{\beta}\,,\]
\[C_{1},C_{2},\cdot\cdot\cdot S_{\beta}\]
- белгісіз коэффициенттер. Ол коэффициенттерді табу үшін белгісіз коэффициенттер әдісін пайдаланамыз: теңдіктің оң жағын ортақ бөлімге келтіреміз; екі бөлшектің бөлімдері тең болатындықтан, алымдарын теңестіреміз; теңдіктің екі жағындағы х айнымалының бірдей дәрежелері алдындағы коэффициенттерін теңестіру арқылы теңдеулер жүйесін аламыз; осы жүйені шешіп белгісіз коэффициенттерді табамыз.

Мысалы

\[\frac{3x^{2}+2x+1}{(x+1)^{2}(x^{2}-\ \bar{\sigma}+1)}\]
бөлшегін қарапайым бөлшектер қосындысына жіктейік.

Бөлшек дұрыс, сондықтан (2) формула бойынша бөлшекті жіктейміз,

\[{\frac{3x^{2}+2x+1}{\left(x+1\right)^{2}\left(x^{2}-{\bar{\sigma}}+1\right)}}={\frac{A_{1}}{x+1}}+{\frac{A_{2}}{\left(x+1\right)^{2}}}+{\frac{B x+C}{x^{2}\cdot x+1}}\]

Белгісіз коэффициенттерді табу үшін теңдіктің оң жағын ортақ бөлімге келтіріп жазайық:

\[\frac{3x^{2}+2x+1}{(x+1)^{2}(x^{2}\cdot\,x+1)}=\frac{A_{1}(x+1)(x^{2}-\,x+1)+A_{2}(x^{2}\cdot\,x+1)+(B x+C)(x+1)^{2}}{(x+1)^{2}(x^{2}\cdot\,x+1)}\]

Бөлімдері бірдей, алымдарын теңестіреміз (оң жақтағы бөлшек алымын ықшамдап, х-тің дәрежесі түрінде жазайық) :

\[3x^{2}+2x+1=(A_{1}+B)x^{3}+(A_{2}+2B+C)x^{2}+(-\,A_{2}+B+2C)x+A_{1}+A_{2}+C\]
.

Теңдіктің екі жағындағы х айнымалының бірдей дәрежелері алдындағы коэффициенттерін теңестіру арқылы теңдеулер жүйесін аламыз:

\[\begin{array}{l}{{{\frac{1}{1}}A_{1}+B=0}}\\ {{{\frac{1}{2}}A_{2}+2B+C=3}}\\ {{{\frac{1}{2}}C_{2}+B+2C=2}}\\ {{{\frac{1}{2}}\sqrt{A_{1}+A_{2}+C=1}}}\end{array}\]

Төрт белгісізді, төрт теңдеуден тұрған жүйені шешіп, белгісіз коэффициенттерді табамыз:

\[A_{1}=-\mathrm{\frac{2}{3}};\quad A_{2}=\frac{2}{3};\quad B=\frac{2}{3};\quad C=1\]
.

Табылған мәндерді теңдіктегі орнына қойып, бөлшектің қарапайым жіктелуін аламыз:

\[\frac{3x^{2}+2x+1}{(x+1)^{2}(x^{2}-\ x+1)}=-\ \frac{2}{3(x+1)}+\frac{2}{3(x+1)^{2}}+\frac{2x+3}{3(x^{2}-\ x+1)}\]
.

Енді осы рационал бөлшекті интегралдайық.

\[\delta\frac{3x^{2}+2x+1}{(x+1)^{2}(x^{2}-\,x+1)}d x=\frac{\ddot{\Theta}}{\xi}\frac{2}{3(x+1)}+\frac{2}{3(x+1)^{2}}+\frac{2x+3}{3(x^{2}-\,x+1)}\frac{\ddot{\Theta}}{\dot{\phi}}t x=0\quad,\]

\[=-\;\frac{2}{3}\,\Theta_{\;\;x+1}^{\;\;d x}+\frac{2}{3}\,\partial\frac{d x}{\left(x+1\right)^{2}}+\frac{1}{3}\;\frac{2x+3}{x^{2}-x+1}d x\]

Әр интегралды жеке қарастырайық.

1)

\[{\frac{d x}{x+1}}=\]
\[\ln\vert x+1\vert+C\]
, мұнда бөлшектің алымы бөлімінің туындысы болғандықтан 7-қасиетті пайдаландық.

2)

\[\delta{\frac{d x}{(x+1)^{2}}}=\]
\[\left\|x+1=t\right\|=\]
+ С=
\[-{\frac{1}{t}}\]
+C=
\[-\ {\frac{1}{x+1}}\]
+C;

3)

\[{\frac{2x+3}{x^{2}-x+1}}d x={\frac{\left(2x-1\right)+4}{x^{2}-x+1}}d x=\]
\[{\mathfrak{O}}{\frac{2x-1}{x^{2}-\ x+1}}d x+{\mathfrak{O}}{\frac{4d x}{x^{2}-\ x+1}}=\]

+4

\[\frac{1}{\sqrt{3}}\,a r c t g\,\frac{x-\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}{2}\nonumber\]
+С=

= +

\[\frac{8}{\sqrt{3}}a r c t g\frac{2x-1}{\sqrt{3}}\]
+C,

мұнда бірінші қосылғышты алымы бөлімінің туындысы болғандай етіп түрлендірдік те 7-қасиетті пайдаландық. Ал екінші қосылғышта бөлімінің толық квадратын бөліп алып, интегралдар кестесіндегі 14-формуланы пайдаландық.

Сонымен,

\[\delta\frac{3x^{2}+2x+1}{(x+1)^{2}(x^{2}-x+1)}d x=\]
\[-{\frac{2}{3}}\]
ln x+1 -
\[\frac{2}{3({\tilde{\sigma}}+1)}\]
Equation. 3 +

\[+{\frac{1}{3}}\]
Equation. 3 +
\[\frac{8}{3\sqrt{3}}\,a r c t g\frac{2x-1}{\sqrt{3}}\]
+C.

Иррационал және тригонометриялық функцияларды интегралдау.

1.

\[|R(x,{\sqrt{x}})d x\]
түріндегі интегралды қарастырайық. Мұндағы иррационалдықты
\[t={\sqrt{x}}\]
деген белгілеу енгізіп, рационал функцияға келтіруге болады.

Мысал.

\[\delta{\frac{\sqrt{x}}{x+1}}d x=\]
\[\left\|x={\sqrt{x}}\ \mathbf{p}\ \ x=t^{2}\right\|=\]
\[{\frac{2t^{2}}{t^{2}+1}}d t=\]
\[2{\delta}\frac{t^{2}+1-1}{t^{2}+1}d t=\]

\[=2{\delta}_{\frac{\hat{\wp}}{\hat{\wp}}}^{\hat{\infty}}-\frac{1}{t^{2}+1}\frac{\hat{\frac{9}{4}}d t}{\phi}=\]
2(t - arctgt) +C=2(
\[\sqrt{x}\]
- arctg
\[\sqrt{x}\]
) +C.

2.

\[|R(x,{\sqrt{a x^{2}+b x+c}})d x\]
түріндегі интегралды қарастырайық. Қарапайым жағдайларда мұндай интеграл кестелі интегралға келтіріледі. Ол үшін квадрат үшмүшеліктен толық квадрат бөліп алып, айнымалыны алмастыру керек.

Мысал.

\[{\mathfrak{Q}}{\frac{x d x}{{\sqrt{5+2x-x^{2}}}}}=\]
\[\scriptstyle({\frac{t+1)t}{\sqrt{6\cdot t^{2}}}}\,=\]

\[=\delta{\frac{t d t}{\sqrt{6-t^{2}}}}+\]
\[{\frac{d t}{\sqrt{6-t^{2}}}}=\]
\[\ -{\frac{1}{2}}\delta{\frac{d z}{\sqrt{z}}}+\]
\[\delta{\frac{d t}{\sqrt{\left({\sqrt{6}}\right)\cdot t^{2}}}}=\]

\[=-\,\frac{1}{2}\frac{z^{\frac{1}{2}+1}}{\cdot\frac{1}{2}+1}+\]
arcsin
\[\frac{t}{\sqrt{6}}\]
+C=
\[-\;{\sqrt{z}}+\]
arcsin
\[\frac{t}{\sqrt{6}}\]
+C=
\[\textstyle{\overline{{\sqrt{6\cdot t^{2}}}}}+\]

+arcsin

\[\frac{x-1}{\sqrt{6}}\]
+C=
\[-\;\sqrt{5+2x-x^{2}}\;+\]
arcsin
\[\frac{x-1}{\sqrt{6}}\]
+C.

3.

\[|R(\sin x,\cos x)d x\]
түріндегі интегралды қарастырайық. Бұл интегралды
\[t=t g\,\frac{x}{2}\]
(
\[\lnot p\ ) - универсал алмастыру жасау арқылы рационал функцияны интегралдауға келтіреді. Шынында да,

\[\sin x={\frac{2t g\,{\frac{x}{2}}}{1+t g^{2}\,{\frac{x}{2}}}}\]
=
\[\frac{2t}{1+t^{2}}\]
;
\[\cos x={\frac{1-t g^{2}\,{\frac{x}{2}}}{1+t g^{2}\,{\frac{x}{2}}}}\]
=
\[\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}\]
;

\[t=t g\,\frac{x}{2}\]
\[\implies\]
x=2arctgt
\[\implies\]
dx=
\[\frac{2d t}{1+t^{2}}\]
.

Мысал .

\[\delta{\frac{d x}{\sin x}}=\]
\[\frac{2d t}{{\frac{1+t^{2}}{2t}}}{\frac{2d t}{1+t^{2}}}\]
\[{\frac{d t}{t}}=\]
ln t + C = ln
\[\left|g\,{\frac{x}{2}}\right|\]
+C.

4.

\[\mathbf{jin}^{m}\ x\cos^{n}\ x d x\]
түріндегі интегралды қарастырайық. Бұл интегралда екі жағыдай болуы мүмкін:

а) т немесе п сандарының біреуі тақ оң сан. Егер т -тақ сан болса cosx=t деген, ал егер п -тақ сан болса, sinx=t деген алмастыру жасалады.

б) т және п сандары жұп оң сан. Онда мынадай формулаларды пайдаланады:

sinxcosx=

\[\frac{1}{\overline{{\mathcal{D}}}}\]
sin2x;

\[\sin^{2}x={\frac{1}{2}}\left(1-\cos2x\right)\]
;
\[\cos^{2}x={\frac{1}{2}}(1+\cos2x)\]
.

АНЫҚТАЛҒАН ИНТЕГРАЛ

y=f(x) функциясы [ a; b ] кесіндісінде үзіліссіз болсын. [ a; b ] кесіндісін n бөлікке бөлеміз:

\[a=x_{0}\ .

Әр бір [

\[x_{i-1};x_{i}\]
] кесіндіден нүкте алып,
\[\mathrm{D}x_{i}=x_{i}-\,x_{i-1}\]
деп белгілеп, мынадай қосынды құрайық:

\[\overset{n}{\underset{i=1}{n}}f(\xi_{i})\mathrm{D}x_{i}=\]
\[f(x_{1})\mathrm{D}x_{1}+f(x_{2})\mathrm{D}x_{2}+...+f(\xi_{n})\Delta x_{n}\]
(1)

(1) қосынды y=f(x) функциясының [ a; b ] кесіндісіндегі интегралдық қосындысы деп атайды.

Анықтама. y=f(x) функциясының интегралдық қосындысының

\[\mathrm{max}\,\mathrm{L}x_{i}\rightarrow0\]
жағдайдағы шегі функцияның [a; b] аралығындағы анықталған интегралы деп аталады және деп белгіленеді.

Сонымен,

\[\operatorname*{max}_{m a x}\operatorname*{lim}_{t}(\frac{n}{\hbar})\Im x_{i}\]
, (2)

мұндағы а және b сандары интегралдың сәйкес төменгі және жоғарғы шектері деп аталады.

Белгіленуі мен айтылуында ұқсастық болғанымен анықталған және анықталмаған интеграл екеуі түрлі ұғымды береді:

\[[f(x)d x\]
- функциялар жиыны болса; - нақтылы сан болады.

Егер [ a; b ] кесіндіде f(x) >0 болса, онда анықталған интеграл анықтамасынан оның геометриялық мағнасы шығады: - үстіңгі жағынан y=f(x) қисығымен, бүйір жақтарынан x=a, x=b түзулерімен, астыңғы жағынан y=0 түзуімен шектелген қисық сызықты трапеция ауданы.

Анықталған интеграл қасиеттері.

  1. Тұрақтыны шек таңбасы алдына шығаруға болады:

\[{\bar{\Re}}{\tilde{Y}}(x)d x=C\]
.

  1. Екі функцияның алгебралық қосындысының интегралы сол функциялар интегралдарының алгебралық қосындысына тең болады:
... жалғасы

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.
Ұқсас жұмыстар
Анықталмаған интеграл және интегралдаудың негізгі әдістері
Анықталмаған интеграл. Алғашқы функция
Сүт өнімі туралы мәлімет
Гаусс формуласы. Валлис формуласы. Санның трансценденттілігі
Матрицаларға қолданылатын амалдар
Объектілер және кластар
Анықталмаған интеграл қасиеттері
Реттеу сапасын бағалау
Еркін айнымалылары бар функцияналдық теңдеуді коши әдісімен шешу
Интерпретаторлық тілдер
Пәндер



Реферат Курстық жұмыс Диплом Материал Диссертация Практика Презентация Сабақ жоспары Мақал-мәтелдер 1‑10 бет 11‑20 бет 21‑30 бет 31‑60 бет 61+ бет Негізгі Бет саны Қосымша Іздеу Ештеңе табылмады :( Соңғы қаралған жұмыстар Қаралған жұмыстар табылмады Тапсырыс Антиплагиат Қаралған жұмыстар kz