Айнымалыны алмастыру әдісі

Жұмыс түрі: Материал
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 28 бет
Таңдаулыға:

СЕГІЗІНШІ ЛЕКЦИЯ

ИНТЕГРАЛ

Анықталмаған интеграл. f(x) және F(x) функциялары ақырлы немесе
ақырсыз Х аралықта анықталған функциялар болсын.
Анықтама. Х аралығында дифференциалданатын функциясы
= f(x)
теңдігін қанағаттандырса F(x) функциясы f(х) функциясының алғашқы
функциясы деп аталады.

Мысалы, F(x)=x3 функциясы f(x)=3x2 функциясының алғашқы функциясы
болады,
себебі

туындының геометриялық мағнасы y=F(x) функциясына х нүктеде
жүргізілген жанаманың бұрыштық коэффициенті. Сонда, функцияның
алғашқы функциясын табу дегеніміз х нүктеде жүргізілген жанамасының
бұрыштық коэффициенті сол нүктедегі функциясының мәніне тең болатын
y=F(x) қисығын табу деген сөз, яғни
.
функцияның алғашқы функциясы бірмәнді анықталмаған. Шынында да,
мысалдағы f(x)=3x2 функцияларының алғашқы функциялары ретінде мына
функцияларды алуымызға болады: x3+1, x3-5, x3+C, мұндағы С-қандай да бір
нақты сан (себебі, бұл функциялардың туындысы 3x2 болады). Жалпы жағдайда
айтсақ, функцияның алғашқы функциясы y=F(x) табылса, онда F(x)+С
функциясы да функцияның алғашқы функциясы болады, себебі .
Геометриялық тұрғыдан қарастырсақ, шартын қанағаттандыратын бір
y=F(x) функция табылса, онда функция графигін Оу осі бойымен С шамаға
жылжыту арқылы осы шартты қанағаттандыратын қисықтарды аламыз (бұлай
жылжыту бұрыштық коэффициентті өзгертпейді).
Мынадай теорема дұрыс болады.
Теорема. Егер Х аралығында және Ф(х) функциялары f(х)
функциясының алғашқы функциясы болса, онда қандай да бір С саны табылып,
мына теңдік орындалады:
Ф(х)= F(x)+C .
Бұл теоремадан егер функциясы f(х) функциясының алғашқы
функциясы болса, онда F(x)+C өрнегі f(х) функциясының барлық алғашқы
функцияларының жиынын беретіндігі шығады.
Анықтама. f(х) функциясының алғашқы функцияларының жиыны оның
анықталмаған интегралы деп аталады және деп белгіленеді, мұндағы
- интеграл белгісі; f(х) – интеграл астындағы функция; f(х)dx -
интеграл астындағы өрнек. Сонымен,

= F(x)+C , (1)

мұндағы F(x) – алғашқы функция, C –ерікті тұрақты.

Мысалдағы, f(x)=3x2 функциясының алғашқы функциясы F(x)=x3
болғандықтан, анықтама бойынша .
Берілген функцияның алғашқы функциясын табу амалы функцияны
интегралдау деп аталады. Функцияны интегралдау амалы дифференциалдау
амалына кері амал.
Интеграл анықтамасынан мынадай қасиеттер шығады.
1. .
2. .

3. = F(x)+C.

4. Берілген аралықта f(x) және g(x) функцияларының алғашқы
функциялары бар болса, онда f(x)+g(x) функциясының да алғашқы функциясы
бар болады және

.

5. .

6. Егер = F(x)+C болса, онда
= F(ax+b)+C.
7. Егер интеграл астындағы функцияның алымы бөлімнің туындысы болса,
онда интеграл бөлімнің абсолют шамасының натурал логарифміне тең, яғни
, мұндағы u=u(x).

Анықталмаған интегралдар кестесі:

1 = C 2 = x+C
3 =+C, x0,4 = lnx+C,
x0
5 =+C, 6 =+C

7 =sinx+C 8 =-cosx+C
9 =tgx+C, 10 =-ctgx+C,

11 =arcsinx+C, 12 =arcsin+C,
-1x1 -axa
13 =arctgx+C 14 =artg+C
15 =ln+16 ln+C
C

ИНТЕГРАЛДАУ ӘДІСТЕРІ

1. Бірден интегралдау. Белгілі формулалар көмегімен интегралды бір немесе
бірнеше кестелік интегралға келтіруге болатын кезде қолданамыз. Мысалдар
қарастырайық.
а) =
=++x+C=++x+C
б).

в) (6-қасиет бойынша есептелді).

г)= +С.

2. Айнымалыны алмастыру әдісі. I= интегралын қарастырайық. Айталық,
x=g(t) дифференциалданатын функция болсын. Сонда dx=g’(t)dt және
.

Бұл әдіс айнымалыны ұтымды алмастыруға негізделген. Айнымалыны
алмастыру арқылы интеграл бірден немесе бірнеше амалдардан кейін кестелік
интегралға келтіріледі. Мысалдар қарастырайық.
а)+С

б)arctgt+C= =arctgx3+C

в)lnt+C=ln1+lnx+C

3. Бөліктеп интегралдау әдісі. Бұл әдіс мынадай қатынасқа негізделген:

d(uv) = udv + vdu udv = d(uv) – vdu

мұндағы u=f(x) және v=g(x) функциялары туындылары бар функциялар.
Теңдіктің екі жағынан да интеграл алсақ,

,
осыдан

.
Бұл әдісті қолданғанда u және v функцияларын интеграл
интегралға қарағанда оңай алынатындай етіп таңдайды. Мысалдар
қарастырайық.

а)+С=

=+C.

б)

.

J=(cosx+sinx)-J J=(cosx+sinx)+C.

Төмендегі интегралдар тобы тек бөліктеп интегралдау әдісімен
есептелінеді:

; ; ; .

Рационал функцияларды интегралдау.

түріндегі өрнекті n–дәрежелі көпмүшелік деп атайды. Мұндағы
- нақты сандар (, n0). Көпмүшеліктердің қатынасы түрінде
берілген өрнек рационал өрнек болады.
Мысалы , бөлшектер рационал өрнектер.
Егер бөлшектің алымындағы көпмүшеліктің дәрежесі бөліміндегі
көпмүшелік дәрежесінен кем болса, бөлшек дұрыс деп, ал кем болмаса бөлшек
бұрыс деп аталады. Мысалдағы бірінші бөлшек - дұрыс, ал екінші – бұрыс
бөлшек.
Кез келген бұрыс бөлшекті алымын бөлімге бөлу арқылы дұрыс бөлшекке
келтіріп алуға болады.
Мысалы, бөлшекті дұрыс бөлшекке келтірейік:

Сонымен, берілген бөлшектің бүтін бөлігін бөліп дұрыс бөлшекке келтірдік:

.

Мектеп курсынан көпмүшеліктің мынадай қасиеті белгілі: Кез келген
көпмүшелікті және түріндегі көбейткіштерге жіктеуге болады.

Мынадай тұжырым дұрыс болады: Егер дұрыс рационал бөлшек бөлімі
және түріндегі көбейткіштерге жіктелген болса, онда
бөлшектімынадай қарапайым бөлшектердің қосындысына жіктеуге болады:

, (2)

мұндағы Р(х) – белгілі көпмүшелік, - белгісіз
коэффициенттер. Ол коэффициенттерді табу үшін белгісіз коэффициенттер
әдісін пайдаланамыз: теңдіктің оң жағын ортақ бөлімге келтіреміз; екі
бөлшектің бөлімдері тең болатындықтан, алымдарын теңестіреміз; теңдіктің
екі жағындағы х айнымалының бірдей дәрежелері алдындағы коэффициенттерін
теңестіру арқылы теңдеулер жүйесін аламыз; осы жүйені шешіп белгісіз
коэффициенттерді табамыз.
Мысалы бөлшегін қарапайым бөлшектер қосындысына жіктейік.
Бөлшек дұрыс, сондықтан (2) формула бойынша бөлшекті жіктейміз,

Белгісіз коэффициенттерді табу үшін теңдіктің оң жағын ортақ бөлімге
келтіріп жазайық:

Бөлімдері бірдей, алымдарын теңестіреміз (оң жақтағы бөлшек алымын
ықшамдап, х-тің дәрежесі түрінде жазайық):

.

Теңдіктің екі жағындағы х айнымалының бірдей дәрежелері алдындағы
коэффициенттерін теңестіру арқылы теңдеулер жүйесін аламыз:

Төрт белгісізді, төрт теңдеуден тұрған жүйені шешіп, белгісіз
коэффициенттерді табамыз:

.

Табылған мәндерді теңдіктегі орнына қойып, бөлшектің қарапайым жіктелуін
аламыз:

.

Енді осы рационал бөлшекті интегралдайық.

Әр интегралды жеке қарастырайық.
1) , мұнда бөлшектің алымы бөлімінің туындысы болғандықтан 7-
қасиетті пайдаландық.

2)+С=+C=+C;

3)

+4+С=

=++C,

мұнда бірінші қосылғышты алымы бөлімінің туындысы болғандай етіп
түрлендірдік те 7-қасиетті пайдаландық. Ал екінші қосылғышта бөлімінің
толық квадратын бөліп алып, интегралдар кестесіндегі 14-формуланы
пайдаландық.
Сонымен,

lnx+1-+

++C.

Иррационал және тригонометриялық функцияларды интегралдау.

1. түріндегі интегралды қарастырайық. Мұндағы иррационалдықты
деген белгілеу енгізіп, рационал функцияға келтіруге болады.
Мысал.

2(t - arctgt)+C=2( - arctg)+C.

2. түріндегі интегралды қарастырайық. Қарапайым жағдайларда
мұндай интеграл кестелі интегралға келтіріледі. Ол үшін квадрат
үшмүшеліктен толық квадрат бөліп алып, айнымалыны алмастыру керек.
Мысал.

arcsin+C= arcsin+C=

+arcsin+C= arcsin+C.

3. түріндегі интегралды қарастырайық. Бұл интегралды
() - универсал алмастыру жасау арқылы рационал функцияны интегралдауға
келтіреді. Шынында да,

=; =;

x=2arctgt dx=.

Мысал. lnt+C=ln+C.
4. түріндегі интегралды қарастырайық. Бұл интегралда екі жағыдай
болуы мүмкін:
а) т немесе п сандарының біреуі тақ оң сан. Егер т –тақ сан болса
cosx=t деген, ал егер п-тақ сан болса, sinx=t деген алмастыру жасалады.
б) т және п сандары жұп оң сан. Онда мынадай формулаларды пайдаланады:

sinxcosx=sin2x;

; .

АНЫҚТАЛҒАН ИНТЕГРАЛ

y=f(x) функциясы [a;b] кесіндісінде үзіліссіз болсын. [a;b]
кесіндісін n бөлікке бөлеміз: .
Әр бір [] кесіндіден нүкте алып, деп белгілеп,
мынадай қосынды құрайық:
(1)

(1) қосынды y=f(x) функциясының [a;b] кесіндісіндегі интегралдық
қосындысы деп атайды.
Анықтама. y=f(x) функциясының интегралдық қосындысының
жағдайдағы шегі функцияның [a;b] аралығындағы анықталған интегралы деп
аталады және деп белгіленеді.
Сонымен,

, (2)

мұндағы а және b сандары интегралдың сәйкес төменгі және жоғарғы шектері
деп аталады.
Белгіленуі мен айтылуында ұқсастық болғанымен анықталған және
анықталмаған интеграл екеуі түрлі ұғымды береді: - функциялар жиыны
болса; - нақтылы сан болады.
Егер [a;b] кесіндіде f(x)0 болса, онда анықталған интеграл
анықтамасынан оның геометриялық мағнасы шығады: - үстіңгі жағынан
y=f(x) қисығымен, бүйір жақтарынан x=a, x=b түзулерімен, астыңғы жағынан
y=0 түзуімен шектелген қисық сызықты трапеция ауданы.
Анықталған интеграл қасиеттері.
1. Тұрақтыны шек таңбасы алдына шығаруға болады:

.
2. Екі функцияның алгебралық қосындысының интегралы сол функциялар
интегралдарының алгебралық қосындысына тең болады:

.

3. Интеграл шектерінің орындарын ауыстырғанда интеграл таңбасы қарама-
қарсыға өзгереді:

.

4. Интеграл шектері бірдей болғанда интеграл мәні нолге тең:

.

5. Егер болса, онда

m(b-a) M(b-a).

6. Егер с нүктесі [a;b] кесіндісінде жатқан нүкте болса, онда

.

7. Орта мән туралы теорема. y=f(x) функциясы [a;b] кесіндісінде үзіліссіз
функция болса, онда қандай да бір с[a;b] нүкте табылады да мына
теңдік орындалады:

(b-a)f(c).

8. Егер y=f(x) функциясы жұп болса, онда

2.

9. Егер y=f(x) функциясы тақ болса, онда

0.

10. Ньютон-Лейбниц формуласы.

F(b) – F(a),

мұндағы .

11. Анықталған интегралдағы бөліктеп интегралдау:

.

12. Анықталған интегралдағы айнымалыны алмастыру:

.

13. Меншіксіз интеграл. Егер y=f(x) функциясы аралығында үзіліссіз
болса, онда мына шекті жоғары шегі шексіз меншіксіз интеграл
дейді және былай жазады:

.

Теңдіктің оң жағындағы шек ақырлы болса меншіксіз интеграл жинақталады
деп, ал шек ақырсыз немесе болмаса меншіксіз интеграл жинақталмайды дейді.
Осыған ұқсас мынадай меншіксіз интегралдар анықталады:
, .

Мысалдар. 1)

.

2)ln2 –

ln2 –ln2 – [1-ln2-0+ln1]=ln4-1.

3) .
ТЕОРИЯЛЫҚ СҰРАҚТАР.
• Анықталмаған интеграл анықтамасы мен қасиеттерін есіңе түсір.
• Анықталмаған интегралдар кесетесінің дұрыстығын қалай тексеруге
болады?
• Анықтаған интеграл анықтамасы мен қасиеттерін есіңе түсір.

ТОҒЫЗЫНШЫ ЛЕКЦИЯ

КӨП АЙНЫМАЛЫДАН ТӘУЕЛДІ ФУНКЦИЯ

Өмірде қандай да бір құбылыстар, оның ішінде экономикалық
қатынастар да, бірнеше шамалардың байланысы арқылы сипатталады. Осы
байланыстарды зерттеу көп айнымалы функция ұғымын енгізуді қажет етеді.
Анықтама. Қандай да бір Х жиынының элементтеріне қандай да
бір заң немесе ереже бойынша z шама сәйкес қойылса, Х жиынында п
айнымалыдан тәуелді функция берілген дейміз де

z= (1)

деп жазамыз.
Мұндағы айнымалылар тәуелсіз айнымалы немесе аргумент, ал z
тәуелді айнымалы немесе функция, f – заң немесе ереже, ал Х - функцияның
анықталу облысы болады.
Бұдан былайғы жағдайда екі айнымалыдан тәуелді функция қарастырамыз.
Екі айнымалыдан тәуелді функцияға қатысты айтылған тұжырымдардың барлығын
одан да жоғарғы айнымалыдан тәуелді функциялар үшін дұрыс болады.
Екі айнымалыдан тәуелді функцияны
z=
деп белгілейміз. Бұл функцияның анықталу облысы хОу жазықтығында
анықталады. Екі айнымалы дан тәуелді функция графигі үш өлшемді
кеңістіктегі (х, у, z) нүктелердің геометриялық орнымен анықталатын
қандай да бір бет болады. Мұнда х – абсцисса, у – ордината, z – апликата,
және олар арасында z = f(x, y) функциялық байланыс бар.
Функция графигін z = С жазықтығымен қиғанда пайда болатын сызық
z= f(x, y) функциясының деңгейлік сызығы деп аталады:

f(x, y) = С (2)

Көп жағдайда функция графигін қарастырғаннан гөрі оның деңгейлік
сызығын зерттеу оңай болады.
z= f(x, y) функциясына бір айнымалыдан тәуелді екі функция сәйкес
қоюға болады: х аргументті тұрақты деп (x=x0) қарастырғанда z= f(x0 , y)
функциясын және у аргументті тұрақты деп (у=у0) қарастырғанда z= f(x ,
y0 ) функциясын.

ДЕРБЕС ТУЫНДЫ

z= f(x, y) функциясын қарастырайық. х аргументке х өсімше у
аргументке у өсімше берсек функция жаңа мәнге ие болады, z= f(x+
х , y+у).

z= f(x+ х , y+у) – f(x, y)

шамасы функцияның (х,у) нүктедегі толық өсімшесі деп аталады. Егер тек х
не у аргументке ғана өсімше берсек, онда функцияның сәйкес дербес
өсімшелерін аламыз:

z= f(x+ х , y) – f(x, y); z= f(x , y+у) – f(x, y)
(3)

Анықтама. z= f(x, y) функциясының дербес өсімшелерінің сәйкес
аргумент өсімшесіне қатынасының аргумент өсімшесі нолге ұмтылған
жағдайдағы шегі функцияның дербес туындысы деп аталады және былайша
жазылады:

(4)
(5)

Бұл анықтамадан zх’ туындыны табу үшін у айнымалыны тұрақты деп, ал
zy’ туындыны табу үшін х айнымалыны тұрақты деп қарастыру керек. Және де
бір айнымалы функция дифференциалынан белгілі дифференциалдаудың барлық
ережелері сақталады.
Мысал. функциясының дербес туындыларын табу керек.
Шешуі. x бойынша дербес туындыны табу үшін у айнымалыны тұрақты деп
аламыз, сонда

.

у бойынша дербес туындыны табу үшін х айнымалыны тұрақты деп аламыз,
сонда

.

Егер және дербес туындылар дифференциалданатын функциялар
болса, онда бұл функциялардың екінші ретті дербес туындыларын табуға
болады.
функциясының дербес туындыларын табсақ

, .

функциясының дербес туындыларын табсақ
, .
Функцияның екінші ретті және дербес туындыларын
функцияның аралас туындылары деп атайды. Егер z= f(x, y) функциясы мен
оның аралас туындылары қандай да бір М(х0,у0) нүктенің маңайында
анықталған және үзіліссіз болса, онда функцияның аралас туындылары өзара
тең болады,

=
Мысал. функциясының екінші ретті дербес туындыларын табу керек.

Шешуі. Бірінші ретті дербес туындылары алдыңғы мысалда табылған:
, .

Енді осы туындылардан туынды табайық.

,

, ,

Анықтама. z= f(x, y) функцияның толық дифференциалы деп осы
функцияның дербес туындыларының сәйкес аргумент өсімшелеріне
көбейтіндісінің қосындысын айтамыз,

(*)

Егер f(x,y) = x, g(x,y) = y функциялары үшін (*) қатынас бойынша
толық дифференциалдарын тапсақ, df = dx=x, dg = dy=y
болатындығы шығады. Олай болса функцияның толық дифференциалын мына түрде
жазуға болады:

. (6)

БАҒЫТ БОЙЫНША ТУЫНДЫ. ГРАДИЕНТ

z= f(x, y) функциясы М(х,у) нүктесінің қандай да бір маңайында
анықталған болсын және вектор бағытымен анықталатын қандай да бір l
бағыт берілсін. Мұнда және бұрыштар векторының Ох және
Оу осімен жасайтын бұрышы, ал - вектордың бағыттаушы ... жалғасы

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.