Функция шегінің қасиеттері

Жұмыс түрі: Материал
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 30 бет
Таңдаулыға:

ІІ- МОДУЛЬ. ДИФФЕРЕНЦИАЛДЫҚ ЕСЕПТЕУЛЕР

БЕСІНШІ ЛЕКЦИЯ

ФУНКЦИЯ ҰҒЫМЫ

Функция немесе функциялық тәуелділік ұғымы түрлі шамалар,
экономикалық көрсеткіштер арасындағы байланыстарды моделдейтін
математиканың маңызды ұғымы.
Анықтама. Х жиынының әрбір х элементіне () белгілі бір заң
немесе ереже бойынша У жиынының у элементі сәйкес қойылса, онда Х жиынында
функция берілген деп атайды.
х және у шамаларының арасындағы функциялық тәуелділікті y=f(x) деп
белгілейді, мұндағы х - аргумент(тәуелсіз айнымалы), у – функция(тәуелді
айнымалы), f – ереже немесе заң.
Берілген функция анықталатын х аргументтерінің жиынын функцияның
анықталу облысы деп, ал сәйкес у айнымалылардың жиынын функцияның мәндер
жиыны деп атайды. Әдетте анықталу облысын D(f) деп, ал мәндер жиынын E(f)
деп белгілейді.
Функция түрлі тәсілдермен берілуі мүмкін. Ең көп және маңызды берілу
түрлері: аналитикалық(формула түрінде), кестелік және графиктік.
Мысал ретінде заттың бағасы (р) мен сол затқа деген сұраныс (q)
арасындағы байланысты қарастырайық:

р (теңге) 100 150 200 250 300 ...
q (мың дана) 18 15 12 9 6 ...

Кестеден көрініп тұрғандай, заттың бағасы артқан сайын, оған деген
сұраныс төмендейді екен. Бұл байланысты графиктік түрде де беруге болады (1-
сурет).

Р

300
250
200
150
100

0 6 9 12
15 18 q

Заттың бағасы мен сұраныс арасында түзу сызықты p=kq+b байланыс
байқалады. Берілген мәндерді пайдаланып бұл байланысты табу қиын емес:

.

Кестенің төменгі жолындағы сұраныстың мәндерін q орнына қойсақ жоғары
жолдағы бағаның сәйкес мәндері шығып отырады. Сонымен, функцияның
аналитикалық берілуінен оның кестелік және графиктік түрлерін оңай алуға
болады екен.

Функция қасиеттері. y=f(x) функциясын қарастырайық.
1. Шенелген функция. Егер функцияның анықталу облысындағы кез келген х
үшін қандай да бір М нақты сан табылып f(x)M теңсіздігі орындалса
функция жоғарыдан шенелген, ал f(x)M теңсіздігі орындалса функция төменнен
шенелген деп аталады (2 а,б-сурет) .
Егер функцияның анықталу облысындағы кез келген х үшін қандай да бір М
нақты сан табылып f(x)M теңсіздігі орындалса функция шенелген деп
аталады (2 в-сурет).

2 а-сурет 2 б-сурет 2 в-
сурет

2. Жұп және тақ функция. Егер функцияның анықталу облысындағы кез
келген х үшін
f(-x)=f(x)

теңдігі орындалса функция жұп деп, ал

f(-x)=-f(x)

теңдігі орындалса функция тақ деп аталады. Мысалы, y=x2n, y=x
функциялары жұп, ал y=x2n+1, функциялары тақ болады.
Жұп функция графигі Оу осіне, ал тақ функция графигі О(0,0) –
координаталар басына қарағанда симметриялы болады.
Жұп функциялардың қосындысы, айырымы, көбейтіндісі, бөліндісі - жұп
функция болады.
Тақ функциялардың қосындысы мен айырымы - тақ, ал көбейтіндісі мен
бөліндісі - жұп функция болады.
Егер функция үшін f(-x)=f(x) және f(-x)=-f(x) теңдіктерінің екеуі де
орындалмаса функция жұп та, тақ та емес (бейтарап) болады. Мысалы, y=x2+х
функциясы жұп та, тақ та емес.
3. Периодты функциялар. Егер функцияның анықталу облысындағы кез
келген х үшін
f(x+Т)=f(x)

теңдігі орындалатындай Т сан табылса функция периодты деп аталады. Осындай
Т сандардың ең кішісі функцияның негізгі периоды деп аталады. Мысалы,
y=sin(x), y=cos(x) (бұлардың негізгі периоды 2), y=tg(x), y=ctg(x)
(бұлардың негізгі периоды ) - периодты функциялар.
4. Бірсазды (монотонды) функциялар. Егер функцияның анықталу
облысындағы кез келген х1, х2 (х1 х2) мәндер үшін
f(х1) f(х2) теңсіздігі орындалса, функция өспелі (3 а-сурет),
f(х1) f(х2) теңсіздігі орындалса, функция кемімелі (3 б-сурет),
f(х1) f(х2) теңсіздігі орындалса, функция кемімейтін (3 в-сурет),
f(х1) f(х2) теңсіздігі орындалса, функция өспейтін (3 г-сурет)
деп аталады.

3 а-сурет 3 б-сурет 3 в-сурет 3
г-сурет

Егер қандай да бір аралықта функция не тек өспелі немесе тек кемімелі
болса, оны осы аралықта монотонды (бірсазды) деп айтады.
5. Кері функция. y=f(x) функциясының кері функциясын табу үшін алдымен
х аргументті у айнымалы арқылы өрнектейміз, х=g(у), одан кейін, тәуелсіз
аргумент х деп ал ал тәуелді айнымалы у деп белгілеу қалыптасқандықтан,
алынған өрнектегі х пен у орындарын алмастырамыз, у=g(х). Пайда болған
g(х) функция берілген f(x) функцияға кері функция болады.
Өзара кері функциялардың графигі y=x (бірінші және үшінші декарттық
бұрыштардың биссектрисасы) түзуіне қарағанда симметриялы болады.
Мысалы, функциясының кері функциясын табау керек (4-сурет).
Шешуі. Алдымен теңдеудегі х аргументті у айнымалы арқылы өрнектеу үшін х-
ке қатысты шешеміз:
осыдан .
Енді алынған өрнектегі х пен у орындарын алмастырамыз: . Сонда
берілген функцияға кері функция болады.

Берілген функцияның анықталу облысы оған кері функцияның мәндер жиыны
болады да, мәндер жиыны кері функцияның анықталу облысы болады.
Аралықта монотонды өсетін немесе монотонды кемитін функциялардың ғана
кері функциялары табылады.
6. Күрделі функция. y=f(g(x)) түрінде берілген функцияны күрделі
функция дейді. Кейде күрделі функцияны мынадай түрде де береді: y=f(u)
мұндағы u=g(x). Бұл жағдайда u - аралық айнымалы, ал х - тәуелсіз
аргумент болады.
Мысалы, функциясы күрделі функция. Оны , мұндағы
түрінде жазуға болады.
7. Айқын емес түрде берілген функция. Егер функция
F(x,y)=0,
яғни y айнымалыға қатысты шешілмеген түрінде, берілсе функция айқын емес
түрде берілген дейміз. Жоғарыда қарастырылған функцияны айқын емес
түрде былай жазамыз:
.

КҮРДЕЛІ ФУНКЦИЯ ГРАФИГІН БЕЛГІЛІ ФУНКЦИЯ ГРАФИГІН ТҮРЛЕНДІРУ АРҚЫЛЫ САЛУ

y=f(х) функция графигі белгілі болса төмендегі функциялардың
графиктерін салуға болады:
1. y=f(х)+b. Бұл функция графигі берілген функция графигін Оу осі бойымен
b шамаға ( b0 болса жоғары, b0 болса төмен) жылжыту арқылы салынады (5а-
сурет).
2. y=f(х+a). Бұл функция графигі берілген функция графигін Ох осі бойымен
a шамаға ( a0 болса солға, a0 болса оңға) жылжыту арқылы салынады (5б-
сурет).

3. y= - f(х). Бұл функция графигі берілген функция графигіне Ох осіне
қарағанда симметриялы орналасады (6а-сурет).
4. y=f(-х). Бұл функция графигі берілген функция графигіне Оу осіне
қарағанда симметриялы орналасады (6б-сурет).

6а-сурет 6б-сурет

5. y=kf(х). Егер k1 болса функция мәні k есе артады, яғни график Оу
осі бойымен созылады. Егер k1 болса функция мәні k есе кемиді, яғни
график Оу осі бойымен сығылады (7а-сурет).

6. y=f(kх). Егер k1 болса берілген функция графигін Ох осі бойымен k
есе сығылады. Егер k1 болса берілген функция графигін Ох осі бойымен
есе созылады (7б-сурет).

7а-сурет 7б-
сурет

7. y=f(х). Егер болса, болады, яғни Ох осінің жоғары жағында
жатқан функция графигін өзгертусіз қалдыру керек. Егер болса,
болады, яғни Ох осінің төменгі жағында жатқан функция графигін Ох
осіне қарағанда симметриялы жоғары бөлікке бейнелеу керек (8а-сурет).
8. y=f(х). Функция жұп, сондықтан функция графигі Оу осіне қарағанда
симметриялы болады. болса, болады, яғни Оу осінің оң жағында
жатқан функция графигін өзгертусіз қалдыру керек және осы бөлікті Оу
осіне қарағанда симметриялы сол бөлікке бейнелеу керек (8б-сурет).

8а-сурет
8б-сурет

ШЕК ҰҒЫМЫ

Экономикада көптеген шамалардың орташа мәндерін қарастырады. Мысалы,
орташа шығын, орташа табыс, орташа пайда, т.с.с. Сонымен қатар, қандай да
бір шаманы көбейткенде немесе азайтқанда нәтиже қаншалықты өзгеретіндігін
білу үшін математиканың шектік талдау әдісін қолдану керек болады. Шектік
талдау негізінде сіздерге мектептен таныс шек ұғымы жатыр.
Демография саласындағы адам жасының орташа ұзақтығын есептеу де шекке
мысал бола алады. Айталық х жастағы адамның енді алдында жасайтын өмірінің
орташа ұзақтығы ех дейік. Әрине, жас балаға қарағанда 80 жастағы қарт адам
үшін бұл орташа ұзақтық бірталай аз екенін түсіну қиын емес. Жас ұлғайған
сайын алдымыздағы жастың ұзақтығы ех әрине қысқарады. Бірақ, алдын ала ех
нолге тең болатын х-ті көрсету мүмкін емес. Олай болғанда адам сол жасқа
келгенде бірден өлу керек болар еді. Сонымен ех шамасы, х өскен сайын,
біртіндеп нолге ұмтылады.
Енді функция шегінің анықтамасына көшейік. y=f(х) функциясы қандай
да бір х0 нүкте маңайында анықталған болсын.
Анықтама. Егер алдын ала берілген, мейілінше аз санына
саны табылып, шартын қанағаттандыратын барлық х үшін теңсіздігі
орындалса, онда А саны f(x) функциясының х аргумент х0-ге ұмтылғандағы
шегі деп аталады да, былай жазылады:

.

Анықтамадағы теңсіздікті ашсақ, мынадай қос теңсіздік аламыз:
.

интервалды нүктесінің -маңайы дейді.
Сол сияқты теңсіздікті ашсақ:

.
интервалды А нүктесінің -маңайы дейді.

y

А+

y=f(x)
A

A+

0 x0-
x0 х0 +
x

Енді анықтаманы сурет бойынша айтсақ: Алдын ала берілген,
санына саны табылып, аргумент мәндері нүктесінің -маңайына
тиісті болғанда функцияның сәйкес мәндері А нүктесінің -маңайында
жатса, А саны f(x) функциясының х аргумент х0-ге ұмтылғандағы шегі деп
аталады.
Мысал. Өндіріс орны шығаратын заттың бір данасының бағасы y пен оған
деген сұраныс x (мың дана) арасындағы байланыс мынадай қатынаспен
анықталған:
.
Заттың бір данасының бағасы 190 – 210 теңге арасында тұруы үшін өндіріс
орнының өнім көлемі қалай өзгеруі керек (9-сурет)?

у

210
200

190

0 11,4
12 12,6 х

Шешуі.
(190; 210) интервалының ортасы А=200 теңге, олай болса =10. Шек
анықтамасындағы теңсіздігін қолданайық: . Осы теңсіздікті
түрлендіріп ықшамдасақ мынадай теңсіздік аламыз:
.
Соңғы теңсіздікті мынадай түрге келтіріп жазсақ, есеп сұрағына жауап
беруге болады: Заттың бір данасының бағасының 200 теңгеден ауытқуы 10
теңгеден артпауы үшін, өндіріс орны өнім көлемінің өзгеруін 0,6 мың данадан
асырмауы керек екен.
Функция шегінің қасиеттері. Айталық және функцияларының
жағдайда жәнешектері бар болсын.
1. Екі функцияның алгебралық қосындысының шегі шектердің алгебралық
қосындысына тең болады, яғни

=.

2. Екі функцияның көбейтіндісінің шегі шектердің көбейтіндісіне тең болады,
яғни
=.

Салдар. =С, мұндағы С - const.

3. Екі функцияның қатынасының шегі шектердің қатынасына тең болады (әрине,
егер бөлімдегі функция нолден өзгеше болса), яғни
=.
Мысал. функциясының жағдайдағы шегін табу керек.
Шешуі. Қысқаша айтсақ шек есептеу керек. Функция шегінің қасиеттерін
қолданып есептейік:

.

функциясының жағдайдағы шегі 4 болады екен.

БІРІНШІ ЖӘНЕ ЕКІНШІ ТАМАША ШЕКТЕР

Теорема. функциясы x=0 нүктеде анықталмаған, бірақ
жағдайда шегі бар және

Осы шекті бірінші тамаша шек деп атайды.
Бірінші тамаша шек салдары:

1) , 2) , 3).

Мысал. а) .

б) .
Теорема. функциясының жағдайда шегі бар және

Осы шекті екінші тамаша шек деп атайды. Мұндағы иррационал саны Эйлер
саны екені белгілі.

Екінші тамаша шек салдары:

1) , a=e болғанда ;

2) , a=e болғанда ;
3)

Мысал. а) екенін көрсет.
Шешуі. деген білгілеу енгізейік. Осыдан . Және де кезде
. Енді шек есептесек

.

б)

АҚЫРСЫЗ АЗ ЖӘНЕ АҚЫРСЫЗ ҮЛКЕН ФУНКЦИЯЛАР

Анықтама. функциясының жағдайда шегі ноль болса, яғни ,
онда функциясы жағдайда ақырсыз аз функция деп аталады.
Осы анықтаманы “” тілінде былай да айтуға болады: Кез келген
үшін саны табылып, теңсіздігін қанағаттандыратын барлық х-тер
үшін теңсіздігі орындалса, функциясы жағдайда ақырсыз аз
функция деп аталады.
Ақырсыз аз функция қасиеттері.
1. Егер функциясының жағдайда А шегі бар болса, онда
функциясын осы А саны мен жағдайда ақырсыз аз болатын
функция қосындысы түрінде жазуға болады, яғни .
2. Ақырсыз аз функцияның шенелген функцияға (сонмен қатар, тұрақтыға, басқа
ақырсыз азға) көбейтіндісі ақырсыз аз функция болады.
3. Ақырсыз аз функцияның шегі нолден өзге функцияға қатынасы ақырсыз аз
функция болады.
Анықтама. функциясының жағдайда шегі шексіздік болса, яғни
, онда функциясы жағдайда ақырсыз үлкен функция деп
аталады.
Ақырсыз аз функция мен ақырсыз үлкен функция арасында мынадай
байланыс бар: Егер функциясы жағдайда ақырсыз аз болса,
функциясы жағдайда ақырсыз үлкен болады.
Мысалы, функциясы жағдайда ақырсыз аз функция болады.
Шынында да, шегін есептейік.
.

Ал функциясы жағдайда ақырсыз үлкен функция болады, яғни оның
шегі шексіздік.
Шынында да, шегін есептейік.

.

Мұндағы қатынасты шектер тілінде “ақырсыз азға кері шама ақырсыз
үлкен” дейді де, шексіздікке теңестіреді.
Ақырсыз аз функциялар нолге әртүрлі жылдамдықпен жақындайды. Көптеген
жағдайда ақырсыз аздардың нолге ұмтылу жылдамдығын анықтау үшін оларды
өзара салыстыру керек болады. Салыстыру үшін олардың қатынасының
жағдайдағы шегін қарастырады.
Айталық және жағдайда ақырсыз аз функциялар және
болсын. Онда, егер
1) болса -ға қарағанда жоғары ретті ақырсыз аз деп;
2) болса мен бірдей ретті ақырсыз аз деп;
3) болса мен эквивалентті ақырсыз аз деп
аталады.
мен эквивалентті дегенді ~ деп жазады.
Егер функциясы жағдайда ақырсыз аз болса, онда

1. , ,

, ;
2. , ;

3. , ;

4. , ;

5. .

1.-5. қатынастар эквивалентті функциялар кестесін береді. Бұл кестені шек
есептеу кезінде мына теоремаға сүйеніп қолдануға болады.
Теорема. Егер жағдайда ~ және ~болса, онда
.

Мысал. . Мұнда жағдайда болғандықтан орнына
алынды.

ФУНКЦИЯ ҮЗІЛІССІЗДІГІ. ҮЗІЛІС ТҮРЛЕРІ

Анықтама. функциясының жағдайда шегі функцияның сол
нүктедегі мәніне тең болса, яғни , функция нүктесінде үзіліссіз
деп аталады.

Егер

.

Сонда функция үзіліссіздігінің анықтамасын былай да айтуға болады:
Берілген нүктеде аргументтің ақырсыз аз өсімшесіне функцияның да ақырсыз аз
өсімшесі сәйкес келсе, яғни

функция нүктесінде үзіліссіз деп аталады.
функциясы қандай да бір аралықтың үзіліссіз болуы үшін, ол сол
аралықтың әрбір нүктесінде үзіліссіз болуы керек.
Үзіліссіз функция қасиеттері.
1. функциясы нүктесінде үзіліссіз, ал функциясы
нүктесінде үзіліссіз болса, күрделі функциясы нүктесінде
үзіліссіз болады және

.

2. Нүктеде үзіліссіз функциялардың алгебралық қосындысы, көбейтіндісі және
қатынасы (бөліміндегі функция нолден өзге болғанда) үзіліссіз функция
болады.
Анықтама. функциясының жағдайда шегі функцияның сол
нүктедегі мәніне тең болмаса, яғни , функция нүктесінде үзілісті
функция деп, ал нүктені функцияның үзіліс нүктесі деп атайды.
Біржақты шектер ұғымын енгізейік.
Айталық және , онда деп жазады, ал осы жағдайдағы
шекті функцияның сол жақты шегі деп атайды. Дәл осылайша функцияның
оң жақты шегі де анықталады. Функцияның сол жақты және оң жақты
шектерін біржақты шектер дейді.
Енді үзіліс түрлерін ажыратайық.
Анықтама. Функцияның нүктесінде өз-ара тең емес ақырлы біржақты
шектері бар болса, нүктесі функцияның І-текті үзіліс нүктесі деп
аталады. Кейде оны ақырлы секіріс деп (10а-сурет) атайды.
Анықтама. Функцияның нүктесіндегі ақырлы біржақты шектердің ең
болмағанда біреуі жоқ болса, нүктесі функцияның ІІ-текті үзіліс
нүктесі деп аталады (10б-сурет).
Мысал. а) функциясы нүктесінде үзіліссіздікке зертте.
Шешуі.

,

яғни сол жақты шегі –1, ал оң жақты шегі 1, ақырлы сандар, өз-ара тең емес,
олай болса нүктесі І-текті үзіліс нүктесі болады (10а-сурет).

б) функциясын үзіліссіздікке зертте.
Шешуі. Функция аралығында анықталған. нүктесіндегі біржақты
шектерді табайық.

,

яғни сол жақты шегі 0, ал оң жақты шегі шексіздік. Олай болса нүктесі
ІІ-текті үзіліс нүктесі болады (10б-сурет).
в) функциясын үзіліссіздікке зертте.
Шешуі. Функция аралығында анықталған. нүктесіндегі біржақты
шектерді табайық.

,

яғни сол жақты де, оң жақты шегі де шексіздік. Олай болса нүктесі ІІ-
текті үзіліс нүктесі болады (10в-сурет).

ТЕОРИЯЛЫҚ СҰРАҚТАР
• Функция шегі анықтамасын есіңе түсір.
• Бірінші және екінші тамаша шектер деп қандай шектерді айтамыз?
• Ақырсыз аз функцияларды қалай салыстырады?
• Үзіліссіз функция деп қандай функцияны айтамыз?
• Үзіліс түрлерін анықта.
АЛТЫНШЫ ЛЕКЦИЯ

ТУЫНДЫ

Көп жағдайда функция мәнін білумен қатар аргументтің өзгерісіне
байланысты функцияның өзгеру жылдамдығын білу де маңызды болады.
y=f(x) функциясын қарастырайық (1-сурет). Осы функция
кесіндісінде анықталған және үзіліссіз болсын. Кез келген үшін
айырма х аргументтің нүктесіндегі өсімшесі деп аталады да, деп
белгіленеді. Сонымен,

= x =+.

Ал айырма ... жалғасы

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.