Теңдеулер теориясы

Жұмыс түрі: Реферат
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 15 бет
Таңдаулыға:

Ы. Алтынсарин атындағы гимназия.

Тақырыбы: Мектеп математикасындағы теңдеу ұғымы.

Ғылыми жетекшісі: физика – математика ғылыдарының
кандидаты, доцент КПИ, физика
математика факультетінің деканы
Ысмағұл Р.С .
Дайындаған: Әбенова Сәуле.

Арқылық – 2005 жыл.

Жоспар.

I. Кiрiспе бөлiм.
1. Теңдеулер теориясы.
II. Негiзгi бөлiм.
1. Теңдеулердi классификациялау.
2. Тригонометриялық теңдеулер.
3. Теңдеулердi графиктiк тәсiлмен шешу.
III. Қорытынды.
1. Теңдеулердің қоғамдық өмірдегі пайдасы.

Кiрiспе.
Теңдеу ұғымы мектеп математикасындағы iргелi ғылым таным көздерiнiң
бiрiне саналады. Теңдеу ұғымынсыз толық мәндi математикалық бiлiм,
математикалық iскерлiк және қажеттi математикалық дағды қалыптастыру iс
жүзiнде мүмкiн емес. Теңдеудiң орны мен маңызын, жалпы танымдық арналуын
терең түсiну барысында ғана оқушылардың ғылыми көзқарасын баянды
қалыптастыруға пәрмендi негiз жасалады.
Теңдеулердi шешу барысында жалпы математикада теңбе-теңдiктердiң
маңызы ерекше бағаланады. Теңбе-теңдiктер қатынасын сақтай отырып жасалатын
мақсатты түрлендiрулер құрылымы күрделi өрнектерден жай өрнектерге көшудi
көздейдi. Нәтижеде математикалық объектiге сынарлы талдау жасауға,
түпкiлiктi қорытынды жасауға логикалық мүмкiндiк туады. Сондықтан теңбе-
теңдiктер теориясы оқушылардың математикалық iскерлiктерi мен дағдыларының
қалыптасуында, дамуында шешушi маңыздардың бiрiне ие болады.
Теңбе-теңдiктердi жетiк меңгеру, математикалық абстракциялар мен
материалдық болмыс арасындағы қажеттi байланыстар мен қатынастарды
бәсеңдетпейдi. Керiсiнше, оларды өзара жақындығын айқындайды.
Мұғалiмнiң осы бағыттағы оқушылар ойынан шығуға тиiстi ғылыми-
практикалық мәнi бар түсiндiрулерi жалпы ауқымды байланыстар мен
қатынастарды тереңiрек түсiнуге көмектеседi.
Құбылыстар мен заттар арасындағы байланыстар мен қатынастарда теңбе-
теңдiктер ерекше жағдайларда ғана лездiк күйде байқалуы, сезiлуi немесе
тұжырымдалуы мүмкiн мысалы, көлемi белгiлi және салмағы берiлген, булануы
мардымсыз сұйықты алдымен ысытып, соңынан дәл сондай бапта
суытқанда,ұлғаюдағы кезеңдiк күйлерiне сәйкес келедi.
Теңдеулердiң күрделi түрде берiлулерi аз кездеспейдi. Мүндай
жағдайларда, теңдеулердiң шешiмдерi талдау жасауға ыңғайлы, шағын
болатындай түсiндiрулердiң орындалуы қажет-ақ. Түрлендiрулер барысында
теңдеудiң шешiмдерiнiң сақталуы басты мақсаттардың бiрiне саналады. Осыдан
теңдеулер теориясы туындайды.

Берiлген теңдеудiң екi жағына, белгiсiздiң барлық болуы мүмкiн
мәндерiнде мағынасын сақтайтын өрнектi қосуға болады және бұл жағдайда
берiлген теңдеуге мәндес теңдеу шығады.
Аталған тұжырымдардан, белгiсiздiң барлық болуы мүмкiн мәндерде
берiлген теңдеудi көбейткiштерге жiктеп, олардың әрқайсысын нольге
теңестiрiп, теңдеудiң екi жағын бiрдей көбейткiшке бөлу, бiрдей дәрежеге
шығару салдар ретiнде шығады.
Бұл аталған тұжырымдарда, қатаң математикалық логикамен бiрге,
материалдық негiз бар. Таразының екi жағын мүмкiн болғанша дәлме-дәл
теңестiргеннен кейiн, осы байланысты бәсеңдетпей, таразының екi жағына
ауырлықтары бiрдей салмақтарды қосуға, еселеп қосуға, екi жағынан бiрдей
салмақтарды алуға, еселеп алуға болады. Дәл осылай ұзындықтары, аудандары,
көлемдерi тең материалдық болмыстарға екi жақты бiрдей әрекеттер жасауға
болады. Түптей келгенде, қатаң математикалық тұжырымдардың бастау көзi
жеткiлiктi қайталау нәтижесiнде, санаға сiңген практикалық қызметте жатыр.
Теңдеулердi оқытып үйрету кезiнде олардың мазмұндық қағидаларын қоғамдық
практикаға құра бiлген мұғалiм көп нәрсенi ұтады. Бiрiншiден, оқушылар
теңдеулердiң материалдық болмыстағы сан алуан байланыстарды ашуға,
түсiндiруге танып бiлуге арналған аса пәрмендi модельдiк құрал екенiн
түсiнедi. Екiншiден, жеке оқушылар практикалық пайдалы жақтарын өздерiнiң
танымдық iс-әрекеттерiнде қолдануға талпыныс бiлдiретiн болады. Үшiншiден,
оқушылардың математиканы саналы меңгеруге ынтасы артады. Оқушылардың
ғылыми көзқарасын қалыптастыруға жасалатын осындай игi қадамдар, екi жақты
жүйелi еңбек, мақсатқа сай жүзеге асқанда ғана мол жемiсiн бередi.

Негiзгi бөлiм.

1. Теңдеулердi классификациялау.

Теңдеулердi белгiсiзге қолданылатын амалдарға байланысты
классификациялайды, яғни түрлерге бөледi. Егер белгiсiз шамаға саны
шектелген қосу, азайту, көбейту, бүтiн дәрежеге дәрежелеу және түбiр табу
операциялары орындалса, онда теңдеудi алгебралық теңдеу дейдi. Егер
белгiсiз шамаға иррационал дәрежеге дәрежелеу, логарифм алу,
тригонометриялық функциялар сияқты басқа операциялар орындалса, онда
теңдеудi трансцендент теңдеу дейдi. Мысалы:

Х23 + х √ 2 ( 3х
х2 + 1 - алгебралық теңдеу

х23 + 5х√3 ( 4
2х – 5 - трансцендент теңдеу

Егер белгiсiз шамаға қолданылатын амалдардың iшiнде түбiр табу
операциясы болмаса, яғни қосу, азайту, бүтiн дәрежеге дәрежелеу, көбейту
және бөлу операциялары орындалса, онда теңдеудi рационал алгебралық теңдеу
дейдi. Егер белгiсiз шамаға қолданылатын операциялардың iшiнде түбiр табу
амалы болса, онда теңдеудi иррационал алгебралық, қысқаша, иррационал
теңдеу дейдi. Мысалы:

2х2 + 1 ( 5х
3х – 1 - рацианал алгебралық
теңдеу

√ х2 - 5х + 1 ( х – 1 - иррационал алгебралық теңдеу

Рационал теңдеу бүтiн және бөлшек рационал теңдеулер болып екiге
бөлiнедi. Егер белгiсiз шамаға қосу, азайту және көбейту амалдары
қолданылса, онда теңдеудi бүтiн рационал теңдеу дейдi. Егер белгiсiз шамаға
қолданылған операциялардың iшiнде бөлу операциясы болса, онда теңдеудi
бөлшек рационал теңдеу дейдi. Мысалы:

3х2 - 5х = 7х3 + 1 - бүтiн рационал теңдеу.

7х3 - 1 = 3х
2х + 5 - бөлшек
рацианал теңдеу

Егер белгiсiз шамаға қосу, азайту және тұрақты санға көбейту амалдары
орындалса, онда бүтiн рационал сызқтық теңдеу дейдi, басқаша айтқанда,
теңдеудiң құрамындағы функциялар бiрiншi дәрежелi көпмүшелiктер болса, онда
теңдеудi сызықтық теңдеу деп атайды. Теңдеудiң құрамындағы функциялар
жоғары дәрежелi көпмүшелiктер болып келген теңдеудi жоғары дәрежелi теңдеу
дейдi. Мысалы:

5х – 6 = 3х + 1 – сызықтық теңде уi.

10х7 - 3х2 + 1 = 0 – жоғары (жетiншi( дәрежелi теңдеу.

Алдынан және соңынан бiрдей қашықтықта тұратын мүшелерi коэфиценттерi
бiрдей болатын axn+ bxn-1+ exn-2+ ...+ cx2+bx+a=0 ьүтін рационал теңдеуді
қайталамалы теңдеу дейді. Мысалы:

2х5 + 3х4 + 8х3 + 8х2 + 3х + 2 = 0 – қайталамалы теңдеу.

Алгебралық теңдеулер сияқты, трансцендент теңдеулер де белгісіз шамаға
қолданылатын амалдарға байланысты көрсеткіштік, логарифмдік,
тригонометриялық және кері-тригонометриялық теңдеулерге бөлінеді.
Жоғарыда айтылған теңдеулердің классификациясын мынадай схема арқылы
көрсетуге болады:

Теңдеу.

Алгебралық Трансцендент

.
Рационал Иррационал
Көрсеткiштiк

Бүтiн рационал Бөлшек рационал Логарифмдiк

Тригонометриялық
Қайталамалы Сызықтық
Керi

Жоғары дәрежелi рационал тригонометриялық

Иррационал
Көрсеткiштi
дәрежелiк

Теңдеулерді жоғарыда айтылғандай етіп түрлерге бөлу тек салыстырмалы
ғана бөлу болады. Теңдеулердің құрамындағы функциялардың ішінде алгебралық
функциямен бірге трансцендент функция болса, онда теңдеуді трансцендент
теңдеу дейді, бірақ бұл жағдайда көрсеткіштік, логарифмдік және тағы басқа
түрлерге бөлінбейді. Мысалы: 2lgx + (x2 – 3x + 2)2 = 0 – трансцендент
теңдеу. Бұл теңдеуді логарифмдік немесе алгебралық теңдеу деп атауға
болмайды.
Трансцендент теңдеулердің бірі көрсеткіштік теңдеулермен танысайық.
Белгісіз шама дәреже көрсеткішіне енетін теңдеулерді көрсеткіштік
теңдеу деп атайды.
Мұндай теңдеулерге, мысалы, 3х= 2х-1; 5х – 6- 1= 0 тағы басқа теңдеулер
жатады.
ax=b
(1)

теңдеуі жай көрсеткіштік теңдеу болып табылады, мұндағы a мен b – берілген
оң сандар (а ≠ 1), х – белгісіз шама. Мұндай теңдеудің жалғыз түбірі х =
logab болады. Күрделірек көрсеткіштік теңдеулер көбінесе не алгебралық
теңдеулерге не (1) теңдеудің түріне келтіріледі.
Көрсеткіштік теңдеулерді шешудің негізгі тәсілдерін мынадай мысалдар
арқылы қарастырайық.
I. Мына теңдеуді шешу керек:

5х-6=515-12х
Мұнадай теңдеулерді шешу дәрежелердің мына қасиетіне негізделеді: егер
1-ден өзгеше бірдей оң санның дәрежелері тең болса, онда олардың
көрсеткіштері де тең болады. Бұл жағдайда дәрежелердің қасиеті бойынша:

х – 6 = 15 – 2x
бұдан x = 7.
Тексеру. х = 7 болғанда 5х-6= 5, 515-2х= 5 болады. Демек, х = 7 –
берілген теңдеудің түбірі.
Жауабы: х = 7.
Мына теңдеу де осылай шешіледі:

49х = (17)х2

Шынында да, 49х = (72)x = 72x; (17)x = (7-1)x = 7-x.
Сондықтан 72х= 7-x, бұдан 2x = -x2 не x1 = 0; x2 = -2.
Тексеріп қарасақ, х- тің осы екі мәні де берілген теңдеуді
қанағаттандырады.
Жауабы: x1= 1; x2 = -2.
Егер b саны a-ның бүтін дәрежесі болатын болса, ax = b көрсеткіштік
теңдеуін де осы принциппен шешуге болады. Мысалы, егер 3х= 27 болса, онда
27-ні 27 = 33 деп, былай жазамыз: 3х= 33 бұдан х = 37
II. Кей жағдайда белгісіз шама енгізу арқылы көрсеткіштік теңдеу
алгебралық теңдеуге келтіріледі. Айталық, мысалы, мына теңдеуді шешу керек
болсын.

4х + 2х – 6 = 0.

2х-ні у арқылы белгілейік. Сонда 4x = (22)x = 22x = (2x)2 = y2 ... жалғасы

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.