Үйлесімді шешімдер теориясының бір мәселелері - шешімді белгісіз шарттарда қабылдау

Жұмыс түрі: Реферат
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 5 бет
Таңдаулыға:

Қазақстан Республикасы Білім және ғылым министрлігі

Ы. Алтынсарин атындағы Арқалық мемлекеттік

педагогикалық институты

Жаратылыстану және ақпараттандыру факультеті

Тақырыбы: Матрицалық ойындардың таза және аралас стратегиялық шешімін табу .

Орындаған: Кабдуалиева А.

Тексерген: Утельбаева А .

Арқалық 2009 ж

Үйлесімді шешімдер теориясының бір мәселелері - шешімді белгісіз шарттарда қабылдау. Шешімдердің негізделуі үшін ойындар теориясында қарастырылатын арнайы математикалық тәсілдер ойлап табу. Ойындар теориясында жас математикалық дисцеплиналар қатарына жатады. Ойынның пайда болуы 1944 жылы Нейман мен Моргенштерна «Экономикалық ұстаным және ойын теориясы » атты монографиясының жарық көруімен байланысты. Кейінірек ойын теориясы тәжірибелік маңызы бар математикалық жеке бағытқа айналып кетті.

Ойын теорииясы бұл қатысушының қалауы және мақсатты әрекетті жолмен орналасатын математикалық модельдер теориясы. Қатысушы қалауының қарама қарссы қақтығысушылар даулы жағдайға әкеліп соғады. Осындай жағдайда сипатттау қажетттілігі, өз кезегінде, мақсатты дауға қатысушының мінез құлығының рационалды ұсынысын қаратыру болып келетін ойын теориысының тууына әкеліп соқты.

Тәжірибелік даулы жағдайдың сараптамасы кезінде көптеген ұсақ факторлардың нәтижесінде пайда болатын қиындықтарды жеңу үшін жағдайын қарап моделін құрастырады. Мұндай модел ойын деп аталады. Ойынның модельде даулы жағдайы бір ережелер бойынша дамып отырады.

Ойын нәтижесінің белгісіздігі үш топқа бөлуге болады:

Ойын ережесінің ерекшеліктері оның дамуында нәтиженің алдын ала айту мүмкіндігінің болмауы. Мұндай түрдің белгісіздігінің көзі комбинаторикалық, ал сәйкес ойындар комбинаторикалық деп аталады.
Белгісіздіктің келесі бір көзі кездейсоқ факторлардың әсер етуші болып келеді. Барысы кезінде себептер нәтижесінде белгісіз болып келетін ойындар құмар ойындар деп аталады.
Белгісіздіктің үшінші көзі қарсылық іс қимыл жайлы оның стратегиясы жайлы дәл мәндердің жоқтығы болып табылады. Ойынның бұл түрі стратегиялық деп аталады.

Мысал

\[A_{1}e^{J A\hat{a}}~A_{2}\]

төлемдік матрицаларында берілген ойынның төменгі және жоғарғы құнын анықтау.

Шешімі

\[\widehat{A}_{1}\]

матрицасының ұатарларындағы

\[a_{i\,j}\]

дің ең кіші мәндері 2, 3, 1 -ге тең. осылардың ішіндегі максималды мән 3ке тең. Сонымен

\[\widehat{A}_{1}\]

марицасына сәйкес

\[{\boldsymbol{a}}_{1}\]

ойынның төменгі құны 3ке тең.

\[B_{1}\]

(ойынның жоғарғы құнын) табу үшін матрица бағандарындағы максималды мәндерді табамыз. Баған бойынша бізде 4, 5, 6, 3 мәндері бар. Солайша,

\[\beta=4\]

\[\widehat{A}_{1}\]

матрицасы үшін

\[a_{2}=\operatorname*{max}\{0;2;-1\}=2,\qquad\qquad\beta_{2}=\operatorname*{min}\{3;2;4;5;\}=2.\]

Осылайша

\[a_{\ 2}=b_{\ 2}=\partial-\]

ойын құны. Берілген ойынның шешімі А ойыншының

\[\textstyle A_{2}\]

стратегиясын таңдауында; В ойыншы үшін ең үйлесімді стратегия болып оның жеңілісі деп сол санмен шектеуге мүмкіндік беретін

\[{\hat{A}}_{2}\]

стратегиясы табылады. Ойыншылардың бірінің оптимальды стратегиядан ауытқуы ұтыстық азаюына және жеңілістің көбеюіне әкеліп соғады.

Сонымен, егер матрицаның ерлі нүктесі болса, онда ойын шешімі белгілі. Әрбір ойыншы өзінің үйлесімді стратегиясын қолданады.

Матрицалардың ерлі нүктесі жоқ ойындар шешімін табу сұрағы туындайды. Бұл ойындарда

\[a\ <\beta\]

. Әрбір ойыншының минимакеті стратегияны пайдалануы

\[\alpha-\]

дан аспайтын ұтыс пен

\[{\boldsymbol{\beta}}-\]

дан кем емес жеңіліспен қамтамасыз етеді. Әрбір ойыншы үшін ұтыс көлемін нығайту мәселесі маңызды екені анық. Мұндай шешімдер ізденісі ойыншылардың бір емес, бірнеші стратегия қолдануынан көрінеді. Стратегияны таңдау кездейсоқ жағдайда анықталады. Ойыншылардың стратегияны таңдауы аралас стратегия деп аталады.

\[m\:x\,n\]

өлшемді матрицасы бар ойнында А ойыншының стратегиялары көмегі арқылы ойыншы өзінің бастапқы таза стратегияларын қолдануға

\[\chi=\left(\chi_{1},\chi_{2},\ldots\;x_{n}\right)\]

мүмкіндіктер жиынымен беріледі. Бұл жиындар компонентті үшін

\[\sum_{i=1}^{m}\ x_{i}=1,x_{i}\mathrm{~3~0},i=1,2...,m.\]

Шарты орындалатын

\[J/I\]

дәрежілі вектор ретінде қарастыруға болады.

Сәйкесінше В ойыншы үшін

\[y=\left(y_{1,}y_{2,\cdot\cdot\cdot}y_{n}\right)\]

\[{\cal J}_{\bar{\cal L}}\]

дәрежілі. Оның аралас стратегиясына сәйкес келетін векторын анықтайды.

Ойындар теориясының негізгі теориялары бар: кез келген соңғы ойынның кем дегенде бір шешімі болады және ол шешім аралас стратегия аумағынан болуы мүмкін.

Үйлесімді стратегияны пайдалану ойын құнына тең

\[a\ \Xi J\ \ \Xi\beta\]

ұтысын алуға мүмкіндік береді.

Ойыншылардың үйлесімді стратегиясы үшін

\[\operatorname*{max}_{x}\operatorname*{min}_{Y}X A Y^{*}=\operatorname*{min}\operatorname*{max}X A Y^{*}.\]

орны бөлек.

А ойыншысының Х* оптималды стратегиясын қолдануы оның В ойыншысының қандай да іс қимылын

\[\mathcal{O}\]

ойын құнынан кем емес ұтыс пен қамтамасыз етеді. Сондықтан

\[\sum_{i=1}^{m}x_{i}a_{i j}\,\,\,\,\,\theta\,,\,j=1,2,...n.\]

қатынасы тән .

Жалпы алғанда матрицаның ерлі нүктесі жоқ ойын шешімі

\[m\ \alpha J A{\tilde{u}}\ n\]

мәндері үлкен болған сайын қиындай түседі. Сондықтан матрицаның ойындар теориясы қарапайым матрицалық оыйндар шешімін екінші ойын шешіміне байланысты әдістерді қарасытарды. Матрица көлемдігін пайдасыз стратегияларды жою арқылы қысқартуға болады.

Қолданушы стратегиялар деп төлемді марица элементтерінің бірдей мәндері сәйкес келетін стратегияларды айтамыз. Егер

\[\frac{\mathrm{e}}{\overline{{\hat{g}}}}\]

қатар элементтері

\[{\mathcal{N}}\]

қатарының сәйкес бөлшектері кіші болса, онда

стратегиясы А ойыншы үшін негізгі деп аталады. Егер матрицаны

\[{\hat{\mathcal{N}}}^{\Phi}\]

бағанының бөлшектері

\[\stackrel{\circ}{\mathcal{J}}\]

бағанының сәйкес бөлшектерінен үлкен болса, онда

\[{\boldsymbol{B}}_{r}\]

стратегиясы В ойыны үшін негізгі болып табылады. Мысалы

\[\textstyle A_{2}\]

матрицасындағы

\[{\boldsymbol{4}}-\]

ші стратегия В ойыншы үшін тиімсіз,

\[\alpha_{i\cdot}-\]

тің мәндері бірінші және екінші бағанның сәйкес мәндерінен үлкен.

Матрицаның көлемдігін оны қатары мен бағаны бойынша бөліктер соммасы тең келетін кішкентай матрицаларға бөлу арқылы қысқартуға болады. Онда таза стратегиялар орнына матрицаға бөліктері аралас стратегиялар енгізіледі. Аралас стратегияларға сәйкес матрица бөліктері аралас стратегияға біріктірілетін таза стратегиялар санына сәйкес бөлшектер соммасын бөлу арқылы орындалады. Егер аралас стратегиялар үйлесімділер қатарына жататын болса, онда осы қатарға кіретін таза стратегиялардың қолданылу мүмкіндіктерін өзара тең.

Қатар және баған бойынша бөлшектер соммасы теңдеудің шарты орындалатын кішкентай

\[{\boldsymbol{4}}-\]

матрицаға бөлген

\[A_{3}\]

матрицасын қарастырайық.

\[A_{1},A_{2}\sigma^{\bar{J}\hat{a}}~A_{3},A_{4}\sigma^{\bar{J}\hat{a}A}_{5},B_{1}\alpha^{\bar{J}\hat{\bar{a}}\hat{a}B}_{2},B_{3}\alpha^{\bar{J}\hat{a}}\bar{B}_{4},B_{4}\]

стратегияларын біріктіру матрицаны

\[A_{3}={\frac{\alpha\mathbb{I}}{\mathbb{R}}}\bigcup4\to\]

түріне келтіреміз.

Алынған матрицаның ерлі нүктесі бар.

\[\textstyle A_{2}\]

матрицасында берілген бастапқы ойын шешімі

\[X^{\star}=(1/3;1/3;1/3;0/0)\,Y^{\star}=(1/2;1/2;0/0/)\]

болады. Ойын құны

\[1-\]

ге тең. Ойынды қарапайымдау нәтижесінде оның шешімін анықтауға болады.

А ойыны үшін

\[A_{1},A_{2}c e^{\bar{J}_{\ell}\tilde{a}}\;A_{3}\]

стратегяилар жиынтығы үйлесімді болса, В ойыншы үшін

\[B_{1}e^{\textstyle\sqrt{2}\hat{a}B_{2}}\]

стратегиялар жиынтығы

\[A_{1},A_{2},A_{3}\]

стратегияларын қолдану мүмкіндігі өзара тең, олардың соммасы

\[1-\]

ге тең, сондықтан

\[X^{*}=(1/3;1/3;1/3;0/0)\]

Сәйкесінше В ойынының үйлесімді стратегиясы

\[Y^{*}=(1/2;1/2;0/0/)\]

болады.

Осылайша

\[m\:x\,n\]

ойынын шешу кезінде:

матрицаның ерлі нүктесі бар жоқтығын тексеру;
егер ерлі нүкте болмаса, қайталанушы және негізгі стратегияларды жою үшін қатар және баған бөлшектерін өзара салыстыру;
таза стратегиялардың белгілі бір тобын аралас стратегиялармен алмастыру үшін матрицаны кіші матрицаларға бөлу мүмкіндігін қарастыру керектігін ұмытпаған жөн.

... жалғасы

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.