Кездейсоқ шаманың үлестіру функциялары

Жұмыс түрі: Материал
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 6 бет
Таңдаулыға:

Кездейсоқ шамаларды қарастырғанда, дискретті және үздіксіз шамалардың
болатынын айттық. Сондықтан дискретті кездейсоқ шамалардың үлестіруімен
қатар үздіксіз кездйесоқ шамалардың да үлестіруін қарастырамыз.
Кездейсоқ шаманың үлестіру функциялары. Кездейсоқ шама үздіксіз
болғанда, мәніндегі оқиғалар ұғымын пайдаланбайды, мұның орнына
теңсіздігін алады. Мұндағы х – айнымалы шама. Бұл теңсіздікті, кездейсоқ
шама Х – тен кіші болатын барлық мүмкін мәндерді қабылдайды деп айтылады,
яғни . Сөйтіп, оның ықтималдығын түрінде жазады.
Бұдан кездейсоқ шама Х-тің қабылдайтын мәндерінің ықтималдығы х
айнымалысы мәніне байланысты екенін көреміз. Сондықтан бұл ықтималдық Х-тің
кейбір функциясы болады, оны деп белгілесек, онда немесе
(1) болады. Бұл функцияның үлестіру функциясы немесе үлестірудің
интегралдық функциясы, немесе кездейсоқ шама үлестіруінің интегралдық заңы,
немесе кездейсоқ шамаықтималдықтарының үлестіру функциясы деп атайды. Бұл
функция әрі, дискретті, әрі үздіксіз кездейсоқ шамаларды сипаттайды.
Х дискретті кездейсоқ шама болса, онда ол шекті немесе саналымды
шексіз мәнді қабылдайды және оның әрбір мәніндегі ықтималдық
болады. Сондықтан

символы теңсіздігінің барлық мүмкін мәндері үшін алынды
деп ұғылады. (1) өрнегі туралы барлық информацияны толық береді. Бұл
функция графигі суретте Х-тің қабылдаған дербес х1, х2... хn мәндері үшін
келтірілді.

Графикте бұларға сәйкес ықтималдықтары вертикаль кесінділер
қосындысына тең. Бұл кесінділер (х, 0) нүктесінен өтетін ордината осіне
параллель түзуден сол жаққа орналасқанын байқауға болады.
Графикті біртұтас қарастырса, онда үлестіру функциясы баспалдақты,
үзілісті болып кездейсоқ шаманың (Х-тің) іргелес жатқан және
мәндерінен жасалған әрбір аралықта тұрақты болуын байқаймыз. Мұның
секірмелі нүктелері – х1, х2... хn. Секірме шамасы сәйкес
ықтималдықтарына тең. Сонымен, бұл нүктелерде мәні нөлге тең болады.
хn нүктесінен оңға қарай түзуімен дәл келеді, сөйтіп болады.
Мұнда

Былайша айтқанда, бұл функцияны кумулятивтік функция деп те атайды,
яғни бұл - өзіне дейінгі мәндердің өз мәнімен қосылуынан құрылған функция.

1 – мысал. Лоторея ұтысынң үлестіру таблицасы бойынша үлестіру функциясын
анықтап және графигін сызу керек.
Шешуі: болсын, ал есептің шарты бойынша Х теріс таңбалы мәнді
қабылдамайды, сондықтан Х-тің мәні - ден кіші болуы мүмкін емес, олай
болса, , өйткені мүмкін емес оқиға ықтималдығы нөлге тең. Демек,
, болса, онда , яғни Сондай – ақ болғанда ,
яғни . болғанда , яғни . болғанда , яғни
. Мұның графигі:

Бұл үлестіру функциясының графигі баспалдақты сынық сызық. Дискретті
кездейсоқ шаманың әрбір мәні секірімі Х-тің ықтималдығына тең. Осы
мысалдан дискретті кездейсоқ шаманың үлестіру функциясы бойынша оның
үлестіру заңын қалпына келтірудің қиын еместігін байқаймыз.
Жалпы функциясының барлық секірмелері қосындысы 1-ге тең. Ал
кездейсоқ шаманың қабылдайтын мүмкін мәндерін арттыра берсек, олардың
арасындагы интервалы кеми береді де, секірме саны арта түседі, бірақ ол
секірмелер шамасы азая түседі. Сөйтіп, баспалдақты қисық жатық бола отырып
кездейсоқ шама үздіксіз кездейсоқ шамара бірте-бірте жақындай түседі де,
кумулятивтік функция үздіксіз үлестіру функциясына жуықтайды. Жалпы
үздіксіз кездейсоқ шаманың үлестіру функциясы болып нүктеде үздіксіз
болады.

Ал бұл екі кездейсоқ шамадан басқа үшінші түрдегі шама аралас
кездейсоқ шама деп аталады. Бұл жағдайда кездейсоқ шаманың мүмкін мәндері
кейбір аралық үздіксіз, оны біртұтас толтырады, бірақ үлестіру функциясы
оның барлық нүктесінде үздіксіз емес, яғни кейбір нүктеде үзіледі. Сонымен,
аралас кездейсоқ шаманың үлестіру функциясы секірме саны саналымды саннан
артық емес, бөлікті-үздіксіз функция екен көреміз. Мұның үлестіру
функциясын түрінде жазуға болады.
Мұндағы үздіксіз дифференциялданатын функция, нүктесінен
солға қарай жатқан секірмелер қосындысы.
Сөйтіп, аралас кездейсоқ шаманың үлестіру фунциясы дискретті және
үздіксіз кездейсоқ шамалар түрлерін біріктіріп отыр, яғни бұл жағдайда

қатар ... жалғасы

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.