Жазықтықтың нормальдық теңдеуі

Жұмыс түрі: Материал
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 8 бет
Таңдаулыға:

1. Жазықтықтың векторлық теңдеуі.
Берілген п векторы P жазықтығына перпендикуляр пР болсын,
ал п векторынын осьтерге түскен проекциялары п= және жазықтықтың
бойындағы нүктесі берілсін. Жазықтыққа перпендикуляр п векторын
нормальдық вектор дейміз. Жазықтықтың векторлык теңдеуін қорытып шығарайық.

Дәлелдеме. Жазықтықтың бойынан кез келген бір нүктесін алып, оған
берілген шарттарға сәйкес векторларды жүргізейік.
ОМ0М үшбұрышынан М0 М= ОМ—ОМ0= мұндағы R—кез келген ағымдық радиус-
вектор, ол М нүктесіне байланысты өзгеріліп отырады. Енді М0 М векторы мен
п векторының скалярлық көбейтіндісін алайық. Берілген п векторы жазықтыққа
перпендикуляр. Ендеше, ол М0 М векторына да перпендикуляр, яғни М0 М
п. Сондықтан (М0 М)п = 0 немесе (R- R0)п =0.
Жақшаны ашайық: (R) – (R0п) =0. Мүндағы п нормальдық вектор мен R0
векторы белгілі болғандықтан, олардың скалярлық көбейтіндісін D=- (R0п) деп
белгілесек, онда іздеп отырған жазықтықтың векторлық теңдеуі шығады:
(Rп) +D=0. (1)
Демек, кеңістіктегі жазықтықты анықтау үшін нормальдық вектор. (п) мен
жазықтықтағы бір М0(R0 )нүктесі берілу керек.
R кез келген жазықтықтағы М нүктесіне байланысты ағымдық радиус-вектор
болғандықтан, (1) теңдеу жазықтықтың векторлық теңдеуі болады. Жазықтықтағы
М(К) иүктесінің барлық мәндері (1) теңдеуді қанағаттандырады.

2. Жазықтықтың жалпы теңдеуі.
Теорема. Тік бұрышты координаталар системасындағы әрбір жазықтықтың
теңдеуі әрқашанда бірінші дәрежелі болады.
Берілген п= нормальдық векторының осьтерге түскен проекциялары, п
векторы Р жазықтығына перпендикуляр, яғни, пР, ал жазықтықтың
бойындағы белгілі нүкте болсын.
Дәлелдеме. Жазықтықтын; бойынан кез келген бір М(х, у, z) нүктесін
алайық. Сонда мына пМ0M шарты орындалады, яғни (R-R0)п=0. Екі
вектордың скалярлық көбейтіндісінің

формуласы бойынша: .

Осы өрнектердің мәндерін жазықтықтың векторлық (1) теңдеуіне қояйық:
Ах + Ву + Сz+ D = 0. (2)
Демек, х, у, z ағымдық координаталарына байланысты жазықтықтың теңдеуі
бірінші дәрежелі болды. Осы (2) теңдеу жазықтықтың жалпы теңдеуі деп
аталады, яғни бұл — жазықтықтың коорди-наталық теңдеуі. Мұндағы А,В,С
сандары нормальдық вектордың координаталары болады.

3. Жазықтықтың екінші векторлық теңдеуі.
Берілген: ОМ0Р, ОМ0 =Р, п0 — бірлік вектор.
Дәлелдеме. ОМ0М үшбұрышынан М0М=ОМ-ОМ0=R-R0=R-pn0. Мұндағы =1.
Осыдан
(R0п)=р=0.
Берілген шарттарға байланысты жазайық: . Ал М(R)-
жазықтықтағы кез келген нүкте.
Кез келген R радиус-векторы жазықтықтағы кез келген М нүктесімен
байланысты болғандықтан, бұл (3) теңдеу жазықтықтың векторлық теңдеуі
болады.

4. Жазықтықтың нормальдық теңдеуі.
n0 бірлік векторының координаталар осьтерімен жасайтын бұрыштары
берілген. Оның проекциялары , р координаталардың бас нүктесінен
жазықтыққа дейінгі қашықтық.
Дәлелдеме. Жазықтықтың бойындағы кез келген нүкте М(х, у, z) болсын
(150-сызба). Енді екі вектордың координаталық көбейтіндісінің
формуласы бойынша . Осы R мен n0 векторларының скалярлық
көбейтіндісінің мәнін (3) теңдікке қояйық:
.
Бұл (4) теңдеу жазықтықтың нормальдық теңдеуі деп аталады. 150-
сызбадан

5. Жазықтықтың жалпы теңдеуін иормальдық түрге келтіру.
Жазықтықтың жалпы теңдеуін нормальдық түрге келтіру үшін оның екі
жағын нольге тең болмайтын (М 0) санға көбейтейік:
МАх + МВу + МСz+ МD = 0.
Енді осы теңдеуді жазықтықтың мынадай нормальдық теңдеуімен
салыстырайық:

Жалпы теңдеу нормальдық теңдеудей болу үшін мынадай шарт
орындалу керек:
МА=cos
МB=cos
МC=cos
МD=-p
Алдыңғы үш теңдіктен белгісіз М санын табайық. Ол үшін олардың екі
жағын да квадраттап қосайық:
М2А2+ М2В2+ М2С2 = cos2+ cos2+ cos2,
М2 (А2+ В2+ С2)=1.
Сонымен, жазықтықтың нормальдық теңдеуіндегі коэффициенттері
квадраттарының қосындысы бірге тең болады. Осыдан
.
Бұл М санын нормальдық көбейткіш дейміз. Нормальдық көбейткіш жалпы
теңдеудің коэффициенттері арқылы шығады. (5) теңдеулердің соңғысынан МD= -
p. Мұнда М мең D -нің көбейтіндісі теріс таңбалы болғандықтан, нормальдық
көбейткіштің таңбасы D-нің таңбасына қарама-қарсы алынады.
Жалпы теңдеуді нормальдық түрге келтіру үшін оны нормалдық көбейткішке
көбейтейік:

Сонымен, жазықтықтың жалпы теңдеуін нормальдық түрге келтірдік.
Нормальдық-көбейткіштің мәнін (5) теңдеуге
қойсақ, онда мынадай болады:
cos=
cos=
cos=
р=
6. Нүктеден жазықтыққа дейінгі қашықтық.
Жазықтықтың нормальдық теңдеуі және кеңістіктегі М(x1, y1, z1)
нүктесі берілген. Осы нүктеден берілген жазықтыққа дейінгі қашықтықтың
формуласын қорытып шығарайық. Берілен жазықтықты Р деп белгілейік.
Кеңістіктегі М нүктесінен берілген Р жазықтыққа параллель көмекші Q
жазықтығын жүргізейік (153-сызба). Іздеп отырған қашықтық осы екі
жазықтыққа перпендикуляр, яғни DМ=ВЕ =, ОВ=р, ОЕ=р'. Осыдан = ОЕ
—ОВ = р'-р.
Q жазықтығының теңдеуін М нүктесінің координаталары қанағаттандырады:
. Осыдан p= — . Енді p-тің мәнін мына д = р' — р
теңдігіне қойып, іздеген формуланы табайық:

Егер М нүктесі берілген Р жазықтығы мен координаталардың бас нуктесінің
арасында жатса, онда 6 = p— p= — (p — p) қашықтығының таңбасы теріс
болады. Сондықтан берілген нүктеден берілген жазықтыққа дейінгі қашық-
тықтьщ формуласы мынадай болады:
=±(х1 соsа+ y1 cos ... жалғасы

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.