Жазықтықтың нормальдық теңдеуі

Жұмыс түрі: Материал
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 8 бет
Таңдаулыға:

1. Жазықтықтың векторлық теңдеуі.

Берілген п векторы P жазықтығына перпендикуляр п Equation. 3 Р болсын, ал п векторынын осьтерге түскен проекциялары п = Equation. 3 және жазықтықтың бойындағы нүктесі берілсін. Жазықтыққа перпендикуляр п векторын нормальдық вектор дейміз. Жазықтықтың векторлык теңдеуін қорытып шығарайық.

Дәлелдеме. Жазықтықтың бойынан кез келген бір нүктесін алып, оған берілген шарттарға сәйкес векторларды жүргізейік.

ОМ ₀ М үшбұрышынан М ₀ М = ОМ-ОМ ₀ = мұндағы R-кез келген ағымдық радиус-вектор, ол М нүктесіне байланысты өзгеріліп отырады. Енді М ₀ М векторы мен п векторының скалярлық көбейтіндісін алайық. Берілген п векторы жазықтыққа перпендикуляр. Ендеше, ол М ₀ М векторына да перпендикуляр, яғни М ₀ М Equation. 3 п. Сондықтан ( М ₀ М) п = 0 немесе (R- R ₀ ) п =0.

Жақшаны ашайық: (R) - (R ₀ п) =0. Мүндағы п нормальдық вектор мен R ₀ векторы белгілі болғандықтан, олардың скалярлық көбейтіндісін D=- (R ₀ п) деп белгілесек, онда іздеп отырған жазықтықтың векторлық теңдеуі шығады:

(Rп) +D=0. (1)

Демек, кеңістіктегі жазықтықты анықтау үшін нормальдық вектор. (п) мен жазықтықтағы бір М ₀ (R ₀ ) нүктесі берілу керек.

R кез келген жазықтықтағы М нүктесіне байланысты ағымдық радиус-вектор болғандықтан, (1) теңдеу жазықтықтың векторлық теңдеуі болады. Жазықтықтағы М(К) иүктесінің барлық мәндері (1) теңдеуді қанағаттандырады.

2. Жазықтықтың жалпы теңдеуі.

Теорема. Тік бұрышты координаталар системасындағы әрбір жазықтықтың теңдеуі әрқашанда бірінші дәрежелі болады.

Берілген п = нормальдық векторының осьтерге түскен проекциялары, п векторы Р жазықтығына перпендикуляр, яғни , п Р, ал жазықтықтың бойындағы белгілі нүкте болсын.

Дәлелдеме. Жазықтықтын; бойынан кез келген бір М(х, у, z) нүктесін алайық. Сонда мына п М ₀ M шарты орындалады, яғни (R-R ₀ ) п =0. Екі вектордың скалярлық көбейтіндісінің

формуласы бойынша: .

Осы өрнектердің мәндерін жазықтықтың векторлық (1) теңдеуіне қояйық:

Ах + Ву + Сz+ D = 0. (2)

Демек, х, у, z ағымдық координаталарына байланысты жазықтықтың теңдеуі бірінші дәрежелі болды. Осы (2) теңдеу жазықтықтың жалпы теңдеуі деп аталады, яғни бұл - жазықтықтың коорди-наталық теңдеуі. Мұндағы А, В, С сандары нормальдық вектордың координаталары болады.

3. Жазықтықтың екінші векторлық теңдеуі.

Берілген: ОМ ₀ Р, ОМ ₀ =Р, п ₀ - бірлік вектор.

Дәлелдеме. ОМ ₀ М үшбұрышынан М ₀ М=ОМ-ОМ ₀ =R-R ₀ =R-pn ₀ . Мұндағы Equation. 3 =1. Осыдан

(R ₀ п) =р=0.

Берілген шарттарға байланысты жазайық: . Ал М(R) - жазықтықтағы кез келген нүкте.

Кез келген R радиус-векторы жазықтықтағы кез келген М нүктесімен байланысты болғандықтан, бұл (3) теңдеу жазықтықтың векторлық теңдеуі болады.

4. Жазықтықтың нормальдық теңдеуі.

n ₀ бірлік векторының координаталар осьтерімен жасайтын бұрыштары берілген. Оның проекциялары , р координаталардың бас нүктесінен жазықтыққа дейінгі қашықтық.

Дәлелдеме. Жазықтықтың бойындағы кез келген нүкте М(х, у, z) болсын (150-сызба) . Енді екі вектордың координаталық көбейтіндісінің формуласы бойынша . Осы R мен n ₀ векторларының скалярлық көбейтіндісінің мәнін (3) теңдікке қояйық:

Бұл (4) теңдеу жазықтықтың нормальдық теңдеуі деп аталады. 150-сызбадан

5. Жазықтықтың жалпы теңдеуін иормальдық түрге келтіру.

Жазықтықтың жалпы теңдеуін нормальдық түрге келтіру үшін оның екі жағын нольге тең болмайтын (М 0) санға көбейтейік:

МАх + МВу + МСz+ МD = 0.

Енді осы теңдеуді жазықтықтың мынадай нормальдық теңдеуімен салыстырайық:

Жалпы теңдеу нормальдық теңдеудей болу үшін мынадай шарт

орындалу керек:

МА=cos

МB=cos

МC=cos

МD=-p

Алдыңғы үш теңдіктен белгісіз М санын табайық. Ол үшін олардың екі жағын да квадраттап қосайық:

М ² А ² + М ² В ² + М ² С ² = cos ² + cos ² + cos ² ,

М ² (А ² + В ² + С ² ) =1.

Сонымен, жазықтықтың нормальдық теңдеуіндегі коэффициенттері квадраттарының қосындысы бірге тең болады. Осыдан

Бұл М санын нормальдық көбейткіш дейміз. Нормальдық көбейткіш жалпы теңдеудің коэффициенттері арқылы шығады. (5) теңдеулердің соңғысынан МD= - p. Мұнда М мең D -нің көбейтіндісі теріс таңбалы болғандықтан, нормальдық көбейткіштің таңбасы D-нің таңбасына қарама-қарсы алынады.

Жалпы теңдеуді нормальдық түрге келтіру үшін оны нормалдық көбейткішке көбейтейік:

Сонымен, жазықтықтың жалпы теңдеуін нормальдық түрге келтірдік. Нормальдық-көбейткіштің мәнін (5) теңдеуге қойсақ, онда мынадай болады:

cos =

р=

6. Нүктеден жазықтыққа дейінгі қашықтық.

Жазықтықтың Equation. 3 нормальдық теңдеуі және кеңістіктегі М( x _1, y _1, z ₁ ) нүктесі берілген. Осы нүктеден берілген жазықтыққа дейінгі қашықтықтың формуласын қорытып шығарайық. Берілен жазықтықты Р деп белгілейік. Кеңістіктегі М нүктесінен берілген Р жазықтыққа параллель көмекші Q жазықтығын жүргізейік (153-сызба) . Іздеп отырған қашықтық осы екі жазықтыққа перпендикуляр, яғни DМ=ВЕ = , ОВ=р, ОЕ=р'. Осыдан = ОЕ -ОВ = р'-р.

Q жазықтығының теңдеуін М нүктесінің координаталары қанағаттандырады: . Осыдан p ^/ = - . Енді p ^/ -тің мәнін мына д = р' - р теңдігіне қойып, іздеген формуланы табайық:

Егер М нүктесі берілген Р жазықтығы мен координаталардың бас нуктесінің арасында жатса, онда 6 = p- p ^/ = - (p ^/ - p) қашықтығының таңбасы теріс болады. Сондықтан берілген нүктеден берілген жазықтыққа дейінгі қашық-тықтьщ формуласы мынадай болады:

=±(х ₁ соs а+ y ₁ cos + z ₁ соs - р) . (9)

Бұл теңдеуден мынадай ереже шығады, берілген нүктеден берілген жазықтыққа дейінгі қашықтықты табу үшін сол берілген нүктенің координаталарын берілген жазықтықтың теңдеуіндегі ағымдық координаталардың орнына қою керек. Егер жазықтық жалпы. түрде берілсе, онда оны нормальдық түрге келтіріп, ондағы ағымдық координаталардың орнына берілген нүктенің координаталарын қоямыз:

(10)

Мысал. Мына М(1, 2, 1) нүктесінен х + 2у + 2г- 10 = 0 жазықтығына дейінгі қашықтықты табайық. Шешуі. (10), формула бойынша

7. Берілген нүктеден өтетін жазықтықтың теңдеуі .

Кеңістікте бір М(а, b, с) нүктесі берілсін. Осы нүктеден өтетін жазықтықтың теңдеуін қарастырайық.

Жазықтық бір нүктеден өтетін болғандықтан, бұл есеп анықталмайды, яғни берілген М(а, -Ь, с) нүктесінен өтетін жазықтықтар өте көп болуы мүмкін. Осы жазықтықтардың ішіндегі бір жазықтықтың теңдеуі мынадай болсын: Ах+ Ву + Сz+D = 0. Берілген М нүктесінің координаталары бұл теңдеуді қанағаттандыратын болғандықтан, мынадай теңбе-теңдік шығады: Аа + Вb + Сс+D = 0.

Енді бірінші теңдеуден соңғы теңдеуді алсақ, онда іздеген теңдеуімізді табамыз:

Ах+Ву + Сz+D =-Аа+Вb + Сс + D=0

А(х-а) +В(у-b) +С(z-с) =0. (11)

Ағымдық координаталарға байланысты теңдеу бірінші дәрежелі болады. Сондықтан мына A, В, С коэффициенттерінің белгілі мәндерінде бұл теңдеу М (а, b, с) нүктесінен өтетін жазықтықтың теңдеуі болады. А, В, С коэффициенттерінід әр түрлі мәндеріне сәйкес бір нүктеден көп жазықтықтар өтеді.

8. Кеңістіктегі үш жазықтықтың орналасуы.

Үш жазықтықтын теңдеулері берілсін:

A ₁ x+B ₁ y+C ₁ x+D=0,

A ₂ x+B ₂ y+C ₂ x+D=0,

A ₃ x+B ₃ y+C ₃ x+D=0,

Ең алдымен осы жазықтықтың қиылысатын жалпы нүктесін іздейік. Үш жазықтық жалпы бір нүктеден қиылысса, онда бұл нүктенің коoрдинаталары олардың теңдеулерін қанағаттандырады. Берілген (14) теңдеулерден х, у, z-ті өрнектейік:

немесе қысқаша:

(14)

(14) теңдеулердің шешімі (14) анықтауыштардың мәндеріне байланысты болады.

Анықтама. Матрицадан құрылған, нольге тең болмайтын минордың ең жоғарғы ретін осы матрицаның рангісі дейміз. Бұл анықтама бойынша матрицаның рангісі әрқашан да бір санға тең болады.

Сызықтық теңдеулер (14) системасының коэффициенттерінен құрылған екі матрицаны мынадай түрде белгілейік:

(14’’)

(14'")

Осылардың сәйкес рангілері R ₁ , R ₂ болсын, яғни R ₁ =(M ₁ ), R ₂ =(M ₂ ) _. Сызықтық теңдеулердің шешімдерін анықтау үшін матрицаның рангісін пайдаланған қолайлы болады.

9. Екі жазықтықтың арасындағы бұрыш. Екі жазықтықтың перпендикулярлық және параллельдік шарттары.

Екі жақты бұрыштың сызықтық бұрышпен өлшенетіні бізге элементарлық геометриядан мәлім. Екі жазықтықтың арасындағы екі жақты бұрыш осы жазықтықтарға кеңістіктегі кез келген нүктеден түсірілген екі, перпендикулярдың арасындағы сызықтық бұрышқа тең.

Екі жазықтықтың арасындағы бұрыштың формуласын қорытып шығару үшін жазықтықтың векторлық теңдеуін алайық: (R _n ) + D = 0. Екі жазықтық осындай теңдеулермен берілсін:

(R _n1 ) + D ₁ = 0,

(R _n2 ) + D ₂ = 0. (15)

... жалғасы

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.