Әрбір нүктеден кез келген екінші нүктеге дейін тузу жүргізуге болатындывы

Жұмыс түрі: Материал
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 7 бет
Таңдаулыға:

Геометрия - ең ежелгі ғылымдардың бірі. Ол бірнеше мың жылдықтар бойы дамып келеді. Вавилон және грек папирустарынан (б. з. б. III мыңыншы жылдар) геометрияның алғашқы деректерін кездестіруге болады. Жалпы «геометрия» деген сөз ежелгі грек тілінде «gе» - қазақша «жер» және «metrео» - қазақша «өлшеймін» дегенді білдіреді. Сонымен геометрия ғылымы өзге ғылымдарға ұқсас адамзаттың күнделікті іс-тәжірибесі мұқтаждығынан пайда болғанын көреміз. Мысалы, ежелгі жер өңдеп, отырықшылықпен айналысқан қоғамдарда (Ежелгі Мысыр елі, Вавилон елі, үнді халкы, Қытай және т. с. с. ) геометрияның алғашқы ұғымдары пайда бола бастаған. Бұл елдерде жыл сайын су тасқындарының салдарынан егістікке жарамды жер учаскелерін қоғам мүшелері арасында кайта бөліп отыруға тура келген. Дегенмен, бұл алғашқы геометриялык деректер ереже күйінде, дәлелдеусіз қабылданған. Мәселен, ежелгі мысырлықтарға Пифагор теоремасы белгілі болған (Египет үшбұрышы, кабырғалары 3, 4, 5 сандарымен өрнектеледі) және олар көптеген фигура-лардың аудандарын, кейбір денелердің көлемдерін есептей білген. Геометрия дамуының бұл кезеңі іс-тәжірибелік геометрия кезеңі деп аталады. Сонымен бұл кезеңде геометрия ғылымы қатаң математикалық теория ретінде емес, дәлелдеусіз алынған ережелер жиыниығы ретінде қалыптасқан.

Геометрияның ғылым ретінде қалыптасуы ежелгі Грек елінде басталған. Бұл кезеңде ертеректе тәжірибеге сүйеніп алынған геометриялық заңдылықтар мен тәуелдіктер бір жүйеге келтіріліп, дәлелдене бастады. Геометрия ғылымының осындай жүйелі түрде қалыптасуына алғашқылардың бірі болып ат салыскандардың бірі ежелгі грек математигі Фалес (б. з. б. VI ғасыр) болған. Ол вертикаль бұрыштардың теңдігін, тең бүйірлі үшбұрыш табанындагы бұрыштардың теңдігін, диаметр шеңберді қақ бөлетіндігін, диаметрге керілген іштей сызылған бұрыш тік болатындығын және т. с. с. деректерді дәлелдеген. Фалес үшбұрыштар теңдігінің екінші белгісін және сүйір бұрышы 45° болатын тік бұрышты үшбұрыштың қасиетін жақсы білген. Осыған сүйене отырып, ол Египет пирамидасының биіктігін есептеген. Сонымен қатар теориялык гео-метрияның қалыптасуына Пифагор (б. з. б. VII ғасыр) және Гиппократ (б. з. б. V ғасыр) көп еңбек сіңірген. Мәселен, Гиппократ «Бастамалар» деп аталатын еңбегінде геометриялық деректерді бір жүйеге келтіруге тырыскан (бұл еңбек бізге дейін сақталмаған) . Геометрия калыптасуының осы процесін - яғни жер өлшеу геометриясынан қатаң логикалык жолмен дәлелденген геометрия-лық теоремалар жүйесіне дейінгі даму кезеңін ежелгі грек ғалымы Евдема (б. з. б. IV ғасыр) былай деп сипаттады: «Геометрияны мысырлықтар ойлап тапқан жөне ол жер өлшеу барысында пайда болган. Бұл өлшеу жұмыстарын жүргізу Ніл өзені тасып, жер учаскелерінің шекараларын шайып кетіп отыргандыгынан кажет болган. Бұл ғылым басқа ғылымдар сияқты адамзаттың іс-тәжірибесінің мұқтаждығынан пайда болғандығы таңкаларлық жай емес. Әрбір пайда болған ілім өзінің жетілмеген түрінен жетілген түріне көшеді. Алғашында сезім кабілеттері арқылы пайда болып, біртіндеп талқыға салынатын пәнге (такырыпка) айна-лады жөне ең соңында ақыл-ой жемісіне айналады».

Осы кезеңнің (б. з. б. V ғасыр) ең тамаша жетістіктерінің бірі - ол өзара елшемдес емес кесінділердің ашылуы еді. Мысалы, квадрат диагональдары оның қабыргаларымен өлшемдес болмайды, ягни квадраттың диагоналы мен қабырғаларын бүтін сандармен өрнектеуге болатындай бірлік кесінді ретінде қабылданатын кесінді табылмайды. Осыдан ұзындықтарды өрнектеу үшін рационал сандардың жеткіліксіздігі туындады. Бірақ ежелгі грек математиктері иррационал сан ұғымын енгізе алмады. Жалпы, ежелгі математиктер, біз осы күндері формулалармен жазатын өрнектерді геометриялык жолмен сөйлемдер арқылы жазып отыр-ған. Мысалы, х ² +ах=Ь теңдеуін былай жазатын болған: «Онымен тұрғызылган квадратпен бірге онымен және берілген кесіндімен тұргызылған тік төртбұрыш берілген ауданға тең болатындай кесінді салу керек». Нақты сандар орнына кесінділердің қатынасын қарастырган. Б. з. б. IV ғасырда жүйелі түрде қатынастар тео-риясын жасаған грек ғалымы Евдокс болған.

Б. з. б. III ғасырда ежелгі грек галымы Евклид «Бастамалар» деп аталатын ұлы еңбегін жазып шығарды. Бұл еңбектерінде Евклид өзіне дейінгі белгілі деректерді жинақтап, геометрияны аксиоматикалық негізде баяндады. Бұл кітаптың жақсы жазылгандығы соншалықты, осыдан кейін 2000 жыл бойы барлық математиктер геометрияны осы кітаптан оқып үйренген және осыған дейінгі белгілі еңбектер ұмыт қалған (Мысалы, Гиппократ-тың «Бастамасы») .

Евклидтен соң грек оқымыстылары ауданды және көлемді табу төсілдерін жетілдірген (Архимед, б. з. б. 287-212), конустық қималарды зерттеген (Аполлоний, б. з. б. 260-170), тригонометрияның негізін қалаған (Гиппарх, б. з. б. 180-125), сферадағы тригонометрия (Менелай, I ғасыр) және т. с. с. Бірақ осыдан кейінгі ғасырларда кайта өрлеу дәуіріне дейін Еуропада геометрия дамымай қалды. Шіркеу кызметкерлерінің іс-әрекетінің салдарынан ежелгі ғылым жетістіктеріне тыйым салынып, көбіне өртеліп тастап отырды. Сөйтіп, геометрияның дамуы тежеліп, сандар теориясы (алгебра) дами бастады. Бұл теория алғашында грек ғалымы Диофант (III ғасыр) еңбектерінен басталып, кейінірек Индияга ығысты. Үнді оқымыстылары дүние жүзіне 0 санын, ондык санақ жүйесі ұғымын, теріс сандар және иррационал сандар ұғымын таратты. Бұдан кейін алгебра Орта Азия елдерінде жоғары қарқынмен дами бастады. Жалпы, алгебраның негізін қалаушы Мұхаммед өл-Хорезми (787-850) болған. Оның атақты еңбегінің атынан «алгебра» термині пайда болды. Алгебра (аль-джебр) сөзі араб тілінде теңдеудің бір бөлігіндегі мүшені оның екінші бөлігіне таңбасын езгертіп, ауыс-тыру дегенді білдіреді. Ал әл-Хорезми есімінен осы күнгі «алгоритм» термині пайда болған.

Кейінірек парсы және тәжік ақыны, әрі ғалымы Омар Хайям (1048-1131) сандарға кез келген шамалардың қатынасы ретінде жалпы анықтама берген. Омар Хайям өз еңбектерінде үшінші дәрежелі теңдеулерді шешудің жалпы ережелерін келтірген. Жалпы, Орта Азия елдерінде алгебраның дамуына орасан зор еңбек сіңірген ғалымдар: әл-Фараби (870-950), әл-Бируни (973-1050), Насиреддин ат-Туси (1201-1274), Жәмшид әл-Көши (1436 жыл шамасында қайтыс болған) жөне т. с. с. Бұл гұлама ралымдардың еңбектерінде 4-дәрежелі теңдеулерді шешу, тригонометриялық функ-циялар кестелері, 17-таңбаларына дейін дәл есептелген 3, 14159265358979325 саны және Евклидтің V постулатын дәлелдеуге арналған мәліметтер кездеседі. Әрине, бұл еңбектер математиканың дамуына зор ықпалын тигізген. Монғол-татар шапқыншылығынан кейін бұл елдердегі жалпы ғылымның дамуы мүлдем тоқтап, Еуропаға қайта ауысады. Геометрияның әрі қарай дамуына француздың атақты ғалымы Рене Декарттың (1596-1650) тік бұрышты координаталар жүйесі зор ықпалын тигізеді. Декарт еңбектерінде алғаш рет белгілеулер енгізу арқылы алгебра мен геометрияны тығыз байланыстыра отырып, теңдеулермен берілген кез келген қисықтарды қарас-тырады. Ал XVII ғасырда агылшын ғалымы ИсаакНьютон (1643-1727) мен неміс математигі Готфрид Лейбництің (1646-1716) дифференциалдық және интегралдық есептемелер теориясының негізін калаумен бірге математика дамуыньщ жанд кезеңі басталды. Бұл ашылған «анализ» тәсілдері геометрияға зор ықпалын тигізбей коймады. Осы анализ бен координаталар тәсілін қолдана отырып, алғаш жүйелі түрде Леонард Эйлер XVIII ғасырдың ортасында аналитикалык геометрияны жазып шығарды. Кейінірек ирланд математигі Уильям Гамильтон (1805-1865) геометрияга вектор ұғымын енгізді.

Дегенмен математика қаншалықты жылдам қарқынмен дамығанымен, геометрияның 2000 жылдай бойы шешілмей келе жатқан проблемасы болды. Міне, осы проблеманы шешу жолында XIX ғасырда жаңа евклидтік емес геометрияның негізін қалаушылар: орыс математигі Н. И. Лобачевский (1792-1856), венгр математигі Янош Больяй (1802-1860) және немістің ұлы математигі Карл Гаусс (1777-1855) . Басқалар секілді бұлар да кері жору тәсілімен Евклидтің параллельдік жөніндегі V постулатын дәлелдеуге тырысып бақты. Олар берілген түзуден тысқары орналасқан нүктеден осы түзумен қиылыспайтын кем дегенде екі түзу өтеді деп ұйғарып, бір-бірін теріске шығаратын, екі қарама-қайшы тұжырымдар алуға тырысты. Егер мұндай тұжы-рымдар дәлелденсе, онда Евклидтің параллельдік аксиомасы дәлелденбейді дегенді білдірер еді. Бірақ Н. И. Лобачевский қарама-қайшы тұжырымдарды ала алмады. Сондықтан бұлар, сол кездердегі даму деңгейімен салыстырғанда өте батыл қорытынды жасады: Евклидтік емес геометрия бар. Бұл геометрия (Лобачевский геометриясы) жөнінде қысқаша мәліметтермен келесі параграфтарда толығырақ танысамыз. Жаңа геометрияның ашылуы ғылымға зор ықпалын тигізді. Лобачевский геометриясы орындалатын бетті ашқаннан кейін, оны жұртшылық Лобачевский геометриясының «дәлелдемесі» ретінде қабылдады. Бұл бет «псевдосфера» деп аталады және оны 1862 жылы итальян математигі Э. Бельтрами ұсынды. Осыдан кейін екі жыл өткен соң неміс математигі Ф. Клейн (1849-1925) және 1882 жылы француз математигі А. Пуанкаре Лобачевский геометриясының өзге модельдерін ұсынды. Евклидтік емес геометрияның пайда болуы евклидтік геометрияның өзін қатаң, логикалық тәсілдермен негіздеу қажеттілігін тудырады. Бұл салада неміс математигі Давид Гильберт (1862-1943) 1899 жылы жарық көрген «Геометрия негіздемесі» атты еңбегімен ең ұтымды үлес қосты.

Бвклид планиметриясының аксиомалар жүйесі

Геометриялық түсініктер мен тұжырымдар осы ғылымның маңызды құрастырушылары болып табылады. Түсініктер анықталады да, тұжырымдар (теоремалар) дәлелденеді. Бірақ кез келген түсінікті анықтай беруге болмайды және осы сияқты, кез келген тұжырымды дәлелдей беруге болмайды. Өйткені берілген теореманы дәлелдеу барысында оның басқа, ақиқаттығы белгілі тұжы-рымдардан шығатынына көз жеткіземіз. Ал геометрияны оқып үйренуді бастағанда қарамағымызда «ақиқат тұжырымдар» қоры жоқ болады. Сондықтан бірнеше алғашқы тұжырымдарды дәлелдеусіз, ақиқат тұжырымдар ретінде кабылдаймыз. Мұндай тұжырымдарды аксиомалар деп атайды. Осы сияқты, алғашқы бірнеше қарапайым түсініктерді де анықтамасыз қабылдайды. Мұндай түсініктерді теорияның негізгі түсініктері деп атайды. Сонымен, алдымен анықталмайтын негізгі түсініктер мен дәлелденбейтін негізгі тұжырымдар (аксиомалар) тізімін жасауымыз керек. Сонан соң қалған түсініктердің барлығы да анықталуы керек жеке қалған тұжырымдардың барлығы да дәлелденуі керек. Геометрияның осы тәсілмен құрылымын аксиоматикалық тәсіл деп атаймыз.

Мектеп геометриясына арналған бірнеше аксиомалар жүйесі бар. Бұл аксиомалар жүйесін А. Н. Колмогоров, А. Д. Александров, А. В. Погорелов және т. б. кұрастырған. Осы оқулық А. В. Погорелов құрастырған аксиомалар жүйесіне негізделген.

... жалғасы

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.