ТЕҢСІЗДІКТЕРДІ ШЕШУГЕ ТЕРЕҢДЕТЕ ОҚЫТУ ӘДІСТЕМЕСІ
Павлодар мемлекеттік педагогикалық институты
ӘОЖ 378.147:514.18(574) Қолжазба
құқығында
АЛПЫСОВ АҚАН ҚАНАПИЯҰЛЫ
БОЛАШАҚ МАТЕМАТИКА МАМАНДАРЫН ДӘРЕЖЕЛІК ФУНКЦИЯЛАРЫ БАР ТЕҢДЕУЛЕР МЕН
ТЕҢСІЗДІКТЕРДІ ШЕШУГЕ ТЕРЕҢДЕТЕ ОҚЫТУ ӘДІСТЕМЕСІ
13.00.02 – оқыту және тәрбиелеу теориясы мен әдістемесі(математика)
Педагогика ғылымдарының кандидаты ғылыми
дәрежесін алу үшін дайындалған диссертация
Ғылыми жетекші:
педагогика ғылымдарының докторы,
профессор М. Е. Есмұқан
Қазақстан Республикасы
Павлодар, 2006
Мазмұны
Кiріспе
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ... ... ... ... ... ... ... 3
1Теңдеулер мен теңсіздіктерді шешу әдістерінің
дидактикалық - әдістемелік негіздері
1.1 Қазіргі таңдағы орта мектеп және жоғары мектеп математикасындағы
теңдеулер мен теңсіздіктер желісінің мазмұны
мен атқаратын
ролі ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .
... ... ... .. 8
1.2 Теңдеулер мен теңсіздіктерді оқытудағы көрнекілік пен әртүрлі типтік
кластар ұғымдары
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ... .. 16
1.3 Теңдеулер мен теңсіздіктерді шешудегі логикалық – функционалдық
байланыстарды тиімді
пайдалану жолдары
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .
... ... 21
1.4 Өзара кері функциялар және олардың арасындағы байланысты сипаттайтын
тепе-теңдік
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
29
1.5 Стандарт функция ұғымы және оның координат жүйесі ... ... ... ..
32
1.6. Иррационал өрнектерді ықшамдау технологиясы
... ... ... ... ... ... ... 36
1.7 Иррационал теңдеулерді стандарттау әдісімен
шешу ... ... ... ... ... .. 40
2. Болашақ математика мамандарын дәрежелік функциялары бар
теңдеу мен теңсіздіктерді шешуге тереңдете оқыту
әдістемесі
2.1Теңдеулерді кері амалдар әдісімен шешу заңдылығын
игерту
әдістемесі ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ... ... ... ... ... 50
2.2 Ұқсас өрнектер құрамынан құрылымы тұрақты функцияны іздестіру әдістері
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ... ... ... ... ... ... 59
2.3 Теңдеулердің құрылымын стандарттау арқылы шешуге студенттерді үйрету
әдістемесі ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ... ... ... ... .. 71
2.4 График салу арқылы студенттердің кеңістікте елестету қабілеттерін
тәрбиелеу
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .
... ... ... ... ... ... .. 83
2.4.1 Модульді өрнегі бар квадрат үшмүшеліктердің графиктерінің өзгерісін
зерттеуге үйрету
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .
... ... ... . 86
2.4.2 Күрделі функциялардың графиктерін салу тәсілдерін үйрету ... ...
93
2.5 Үшмүшеліктерді көбейтінділерге жіктеу арқылы теңсіздіктерді шешуге
үйреті ... ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ... ... .
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 96
2.6. Құрамында модулі бар теңсіздіктерді шешуге
үйрету ... ... ... ... ... ... .. 100
2. 7 Иррационал теңсіздіктерді шешуге
үйрету ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..111
2.8 Педагогикалық эксперимент бойынша жүргізілген жұмыстардың нәтижесі
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ... ... ... ... ... ... ... .11 5
Қорытынды
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ... ... ... ... ... ... 126
Пайдаланылған
әдебиеттер ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
... ... ... 132
Қосымшалар
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ... ... ... ... ... ...138
Кіріспе
Зерттеудің өзектілігі. Білім беру саласындағы Мемлекеттік саясаттың
негізгі бағыттары және оларды іске асырудың жолдары Қазақстан
Республикасының білім беруді дамытудың 2005-2010 жылдарға арналған
мемлекеттік бағдарламасында айқындалған. Негізгі мақсат-адам ресурстарын
даярлау сапасын арттыру, жеке тұлға мен қоғамның қажеттіліктерін
қанағаттандыру үшін Қазақстан Республикасының 2010 жылға дейінгі
стратегиялық даму жоспарының басымдылықтары негізінде көп деңгейлі білім
берудің ұлттық жүйесін жаңарту. Осыған орай Қазақстан Республикасының 2015
жылға дейінгі Концепциясының басты мақсаты ретінде сапалы білім беру
негізінде білікті жеке тұлғаның қалыптасуын қамтамасыз ететіндей жеке
білім беру жобасына көшу мәселесі қойылған. Аталған Концепция [2] жас
ұрпаққа қазіргі талапқа сай оқытудың жаңа ақпараттық технологияларын
еңгізуге бағытталуын көздейді.
Қазақстан Республикасының Білім туралы заңында және оқу-тәрбие
саласына байланысты басқа да құжаттарда жоғары оқу орындарында жан-жақты
білімді, ой-өрісі кең, мәдениеті жоғары, жаңаша ойлауға қабілеті бар,
әлемдік озық технологиялардан хабардар, еліміздің жарқын болашағын ойлайтын
қазіргі өмір талабына сай іріктелген таңдаулы мамандарды даярлау
қажеттілігі көрсетілген. Мұндай талаптар болашақ математика мамандарын
даярлауды түбегейлі жетілдіруді талап етеді, өйткені алдағы реформадағы
басты тұлға мұғалім болып табылады, сондықтан да жаңа формацияның
педагогтарын даярлау бүгінгі күннің негізгі мәселелерінің бірі болып
табылады.
Болашақ математика мамандары жоғары мектеп қабырғасынан жан-жақты және
іргелі білім жүйесін алуы қажет. Болашақ мамандарды іргелі білім
жинақтаған, жан-жақты дамыған тұлға ретінде дайындау түрлі бағыттар арқылы
жүргізіледі: оқу жоспарларының мазмұнын жетілдіру, ғылыми-әдістемелік
қамтамасыздандыруды жүзеге асыру, ғылыми парасаттылық, оқытушы-
педагогтардың біліктілігін көтеру және т.б.
Бүгінгі таңдағы оқу-ағарту саласының қалыптасуы мен дамуының
дидактикалық негіздерін зерттеуге көптеген әдіскер ғалымдар өз үлестерін
қосуда. Соның ішінде С.И.Архангельский [3], В.П.Беспалько [4], Л.П.Гримак
[7], Т.А.Ильина [5], Н.В.Кузьмина [6], Дидактика средней школы Под
редакцией М.А.Данилова и М.Н.Скаткина [8], Диалектика познания сложных
систем Под редакцией В.С.Тюхтина және т.б. [9] еңбектерінің орны ерекше.
Оқыту үрдісіндегі зерттеу жұмысын басқару, оқырмандардың шығармашылық
және танымдық қабілеттерін дамыту негізінде сабақтың тиімділігін арттыру
мәселелері педагог-психолог ғалымдар: А.Н.Леонтьев [10], А.Н.Леонтьев,
П.Я.Гальперин [11], П.Я.Гальперин [12], Н.Ф.Талызина [13], Л.М.Фридман
[14], еңбектерінде қарастырылды.
Білім беру жүйесінде әлемдік деңгейге жету үшін жасалынып жатқан
талпыныстар бағытында студенттердің танымдық ізденімпаздығын дамыту
теориясын қалыптастыруда педагог-әдіскер А.Е.Әбілқасымованың [15], [16],
И.Б. Бекбоевтың, Т.С. Садықовтың еңбектерін ерекше атауға болады.
Ә.К. Қағазбаеваның [17], М.Е.Есмұқановтың [18] зерттеулерінде жоғары
педагогикалық оқыту жүйесінде болашақ математика мұғалімдерінің әдістемелік
даярлықтарын жетілдірудің теориялық-технологиялық негіздері қарастырылған.
Оқытудың сапасын көтеру проблемасы [19], ал жұмсақ жүйелердің кейбір
аспектілерінің методологиясын педагогикалық зерттеулерде қолдану
Е.Г.Балыбердина, В.П. Добрица [20] еңбектерінде қарастырылған.
Көптеген психолог ғалымдардың зерттеулері оқыту үрдісінде білімді
қалыптастыру және дамыту проблемаларына арналды. Соның нәтижесінде дәстүрлі
оқыту жүйесін зерттеуші психологтардың, яғни П.Я.Гальперин мен
Н.Ф.Талызинаның Ой амалдарын сатылап қалыптастыру [12, 13, 29],
Е.Н.Кабанова-Меллер, Д.Н.Боявленская, А.А.Менчинская, Л.С.Выгодский,
Л.Б.Ительсонның [30, 31, 32] классикалық теорияларына сүйеніп жүргізді.
Олардың зерттеулерінде әдістемелер балалардың жас ерекшеліктеріне
байланысты білімді қабылдау заңдылықтарына сүйенгенде нәтиже беретіндігі
пайымдалған. Ал білім көзі оқулық. Оқулықта не жазылса, оқырман санасында
қалыптастыратын білімнің көлемі де, біліктіліктің кеңістігі де сол.
Сондықтан да білім беруді жетілдіру бағытында оқулықтар мазмұны мен
құрылымын жетілдіру мәселесінің күн тәртібінен түспейтіні де сондықтан.
Әрбір он-онбес жылдарда оқулықтар өзгеріп отыруы заңдылыққа айналды.
1986-1990 жылдары Педагогика ғылымдарының академиясы мен оқулық иегерлері
бағытты жұмыстар жүргізді. А.Н.Колмогоров [21], А.Н.Тихонов [22],
А.В.Погорелов [23], С.А.Теляковский [24] сияқты академиктермен Л.С.Атанасян
и др., [25] Ю.М.Колягин, М.И.Башмаков [26] тағы да сол сияқты профессорлар,
ғылым докторлары математиканы оқытудың мазмұны мен әдістемесін жетілдіру
туралы ойларын ортаға салды.
Мектептегі математика пәнін жаңа талапқа сай оқытуды жетілдіру
мәселелері оның өзекті бірнеше идеялық желілерінің құрылымы мен оларды
оқыту әдістемелерін жетілдірумен тығыз байланысты. Сондай желілердің бірі
мазмұнды-қолданбалық маңызы бар теңдеулер мен теңсізідктер желісі.
Теңдеулер мен теңсіздіктерге байланысты материалдар мектеп курсы
математикасының мазмұнының қомақты бөлігін құрайды, себебі теңдеулер мен
теңсіздіктер математиканың түрлі салаларында және маңызды қолданбалы
есептерді шығаруда кең қолданыс табады. Сондықтан да оқушыларды теңдеулер
мен теңсіздіктер желісінің қолданбалық, теориялық-математикалық және
математика курсының басқа да мазмұндық желілермен байланысын құру
бағыттарын игерту мәселесі теңдеулер мен теңсіздіктерді шешуге үйрету
материалдарын талдау мен синтездеу деңгейінде саналы игерту мәселесімен
тығыз байланысты.
Математиканы дәстүрлі оқыту жүйесінде теңдеулер мен теңсіздіктерді
оқытудың нәтижелеріне талдау жасау келесідей кемшіліктердің бар екеніне көз
жеткізді:
- Оқушылардың теңдеулер мен теңсіздіктерді шешу әдістерін игеру
барысында олардың қолданыс табуының болашағын болжай
алмайтындығын;
- теңдеу мен теңсіздіктерді шешу әдістерінің біртұтас жүйе
екендігіне көзқарастың қалыптаспайтындығын;
- теңдеулер мен теңсіздіктер шешу әдістерінің математиканың
негізгі желілер мазмұнымен байланысын күшейтетініне көздерінің
жете бермейтіндігін;
- теңдеулер мен теңсіздіктерді шешу әдістерін бағытты игертуге
терең мән берілмейтіндігін т.с.с. Бұл кемшіліктер қазіргі
таңда оқушылардың математикаға деген қызығушылығының
төмендеуінің бірден – бір себебі деп айтуға болады.
Ал математиканың мазмұнын оқушыларға саналы да, сапалы да меңгерту
мәселесі математика мұғалімдерінің математикалық білімдерінің тереңдігіне,
әдістемелік шеберлігіне, шығармашылық қабілеттеріне тікелей байланысты
екендігі ешбір күмән келтірмейді. Болашақ математика мамандарын жоғары
педагогикалық оқу орындарында даярлауда оның математикалық дайындығына
математика пәндерін, ал әдістемелік дайындығына Есептер шығару практикумы
мен Математиканы оқыту теориясы мен әдістемесі пәндерін оқытудың алатын
орны зор. Жоғары оқу орындарында болашақ математика мұғалімдерін
дайындаудағы қазіргі таңдағы кемшіліктердің негізгілерінің бірі аталған
пәндерді оқытуда-болашақ математика мұғалімдерін мектеп математика курсының
негізгі идеялық өзекті желілеріне бағытты дайындау мәселесіне жете көңіл
бөлінбейтіндігі. Сондықтан да мектеп математика курсында теңдеулер мен
теңсіздіктерді оқытуды жетілдіру мен жоғары оқу орындарында болашақ
математика мамандарын бағытты даярлау қажеттілігі Болашақ математика
мамандарын дәрежелік функциялары бар теңдеулер мен теңсіздіктерді шешуге
тереңдете оқыту әдістемесі атты зерттеу тақырыбымыздың өзектілігін
көрсетеді.
Зерттеудің мақсаты: Болашақ математика мамандарын теңдеулер мен
теңсіздіктерді шешуге тереңдете оқыту әдістемесінің бір нұсқасын жасау.
Зерттеу объектісі: Жоғарғы оқу орындарында болашақ математика
мамандарын даярлау үрдісі.
Зерттеу пәні: Болашақ математика мамандарын математиканың жалпыланған
заңдылықтары негізінде дәрежелік функциялары бар теңдеулер мен
теңсіздіктерді шешуге тереңдете оқыту әдістемесін қалыптастыру жолдары.
Зерттеу болжамы: Егер де болашақ математика мамандарын математиканың
жалпыланған заңдылықтары негізінде теңдеулер мен теңсіздіктерді шешуге
тереңдете оқытуды бағытты жүзеге асырсақ, онда студенттер теңдеулер мен
теңсіздіктерді шешудің тиімді әдістерін күрделі есептер шығару барысында
игереді және теңдеулер мен теңсіздіктер желісі материалдарын синтездік
деңгейде меңгеріп, олардың есептер шығарудағы шығармашылық қабілеттері
артады.
Зерттеудің міндеттері. Зерттеудің мақсатына, пәніне және болжамына
сәйкес зерттеу барысында мына міндеттерді шешу керектігі айқындалды:
- теңдеулер мен теңсіздіктерді шешудің тиімді әдістерін дидактикалық-
әдістемелік тұрғыдан негіздеу;
- болашақ математика мамандарын дәрежелік функциялары бар теңдеу мен
теңсіздіктерді шешуге тереңдете оқыту әдістемесін құру;
- болашақ математика мамандарын дәрежелік функциялары бар теңдеу мен
теңсіздіктерді шешуге тереңдете оқыту әдістемесін педагогикалық
тәжірибеден өткізіп, ғылыми болжамның дұрыстығын дәлелдеу.
Зерттеудің теориялық негіздері. Атақты психологтар С.Л. Рубинштейн [47],
Л.С.Выготский [29], В.В.Давыдов [48], Л.В.Занков [49], Д.В.Эльконин [50],
Л.М.Фридман [14], П.А.Шеваровтың [51] ой-өрісті дамытуға бағытталған
теориялық еңбектері, американың әлемге әйгілі математигі және педагогі
Д.Пойаның Математика және шындыққа ұқсас ой қорытулар [53],
Математикалық жаңалықтар [54], Есепті қалай шешу керек [55] деген
кітаптарындағы әдістемелік идеялары, П.М.Эрдниев, Б.П.Эрдниевтердің
Математиканы оқытудағы дидактикалық бірліктерді ірілендіру [56]
кітабындағы әдістемелік қағидалар және М.Е.Есмұқанның Құрылымдық әдіспен
оқушылардың математикалық білімін қалыптастырудың және ойлау қабілетін
дамытудың психологиялық-педагогикалық негіздері [57] атты докторлық
диссертациясындағы әдістемелік идеялар, А.Е.Әбілқасымова [15],
Ә.К.Қағазбаеваның [17] жоғары оқу орындарында болашақ математика
мамандарының өзіндік танымдық қызметтерін қалыптастыру теориясы мен
кәсіптік әдістемелік даярлықтарын жетілдіру идеялары.
Зерттеудің әдіснамалық негіздері - Қазақстан Республикасының
Конституциясы, Білім туралы заңы, математикалық білім беру стандарты,
Қазақстан Республикасының 2015 жылға дейінгі білім беруді дамыту
тұжырымдамасы, белгілі педагогтардың, психологтардың логиктердің және
әдіскерлердің еңбектері.
Зерттеу үш кезеңде жүргізілді.
Бірінші кезеңде (1995-1998) зерттеу мәселесі бойынша психологиялық-
педагогикалық және әдістемелік әдебиеттерге шолу жасалынды. Зерттеудің
теориялық негіздері анықталды. Мектеп мұғалімдерінің тәжірибелерімен танысу
жүзеге асырылып, олардың білім қалыптастыру үрдісіндегі қызметтеріне талдау
жасалып, кемшіліктер айқындалып, ақпараттық технологияны еңгізу қажеттігі
негізделді.
Екінші кезеңде (1998-2000 ж.) эксперимент бағдарламасы жасалды және
теңдеулер мен теңсіздіктерді шешудің тиімді әдістерін дидактикалық
әдістемелік тұрғыдан негіздеу жүзеге асырылды.
Үшінші кезеңде (2000-2005 ж.) болашақ математика мамандарын дәрежелік
функциялары бар теңдеу мен теңсіздіктерді шешуге тереңдете оқыту
әдістемесін құру жүзеге асырылып, құрылған әдістемелік жүйе педагогикалық
тәжірибеден өткізіліп, ғылыми болжамның дұрыстығы дәлелденді.
Зерттеу әдістері. Зерттеу тақырыбына байланысты философиялық,
психологиялық, педагогикалық әдістемелік теорияларға байланысты
әдебиеттерге талдау жасау; зерттеу тақырыбы бағытындағы орындалған
диссертациялық және монографиялық еңбектермен танысу; алдыңғы қатардағы
әдіскерлердің озық тәжірибелерін зерделеу; мектеп оқушыларының, жоғары оқу
орындары студенттерінің теңдеулер мен теңсіздіктер желісі материалдарын
игеру деңгейлерін сараптау; теңдеулер мен теңсіздіктерді шешуді тереңдете
оқыту заңдылықтарын зерттеу негізінде жаңа ұғымдық аппарат жүйесін құру,
соның негізінде тиімді әдістер жүйесін еңгізу.
Зерттеудің ғылыми жаңалығы мен теориялық мәнділігі:
- теңдеулер мен теңсіздіктерді шығару әдістерін жетілдіру жолдары
қарастырылды, яғни;
- жоғарғы ретті теңдеу мен теңсіздіктер құрылымы тұрақты функцияларды
еңгізу арқылы дәрежелері төмен екі теңдеу жүйелеріне жіктеліп оқырманға
белгілі квадрат теңдеулерді шешуге келтіретін әдіс еңгізілді;
- теңдеулер мен теңсіздіктерді шешудің әдістері ретінде кері амалдар
әдісі мен теңдеулер мен теңсіздіктерді сығыстыра оқыту әдістемесі
еңгізіліп, олардың тиімділігі дәлелденді;
- болашақ математика мамандарын дәрежелік функциялары бар теңдеу мен
теңсіздіктерді шешуге тереңдете оқытудың әдістемелік негізі жасалды.
Зерттеудің практикалық құндылығы. Теңдеулер мен теңсіздіктерді шығару
әдістерінің дидактикалық -әдістемелік негіздерін айқындау негізінде болашақ
математика мамандарын дәрежелік функциялары бар теңдеу мен теңсіздіктерді
шешуге тереңдете оқыту әдістемесі жасалынып, ол әдістемелік жүйенің оқыту
үрдісіндегі тиімділігі дәлелденді.
Қорғауға ұсынылатын қағидалар:
- болашақ математика мамандарын дәрежелік функциялары бар теңдеулер мен
теңсіздіктерді шешудің дәстүрлі емес әдістерін және оларды оқу
үрдісінде қолданудың әдістемелік негіздері;
- жоғарғы ретті теңдеулер мен теңсіздіктерді сығыстыра оқыту
әдістемесі;
- болашақ математика мамандарын дәрежелік функциялары бар теңдеулер мен
теңсіздіктерді шешуге тереңдете оқыту жүйесінің әдістемелік
негіздемелері;
- болашақ математика мамандарын дәрежелік функциялары бар теңдеулер мен
теңсіздіктерді дәстүрлі емес әдістермен шешу жолдарын игерту
әдістемесінің тиімділігін көрсететін педагогикалық эксперименттің
нәтижелері.
1 Теңдеулер мен теңсіздіктерді шешу әдістерінің
дидактикалық-әдістемелік негіздері
әдебиеттерді оқу арқылы өздерінің білімдерін толықтырып, түрлі
әдістерді біліп1.1 Қазіргі таңдағы орта мектеп және жоғары мектеп
математикасындағы теңдеулер мен теңсіздіктер желісінің мазмұны мен
атқаратын ролі.
Қазіргі таңда орта мектеп және жоғары мектеп орындарында математиканы
оқытудың мақсаты-оқырмандарға күнделікті өмірде және қазіргі қоғамда
пайдалы еңбек еткенде қажет болатын және де басқа пәндерді оқып меңгеруге,
білімін әрі қарай жалғастыруға толық мүмкіншілік беретін математикалық
білім, іскерлік және дағдылардың негізін берік және саналы түрде меңгеріп
алуын қамтамасыз ету.
Орта мектеп және жоғары мектеп орындарындағы білім беру және тәрбие
жұмыстары жеке тұлғаның дамуына толық бағытталған деп айтуға әлі жеткілікті
негіз жоқ,себебі білім беру тәжірибемізде әлі де дәстүрлі ақпараттық-
түсіндірме тәсілі бойынша білім беруден шыға алмай келеміз. Сондықтан да
қазіргі таңда алда шешуін талап ететін негізгі мәселелер білім алушыларға
жеке тұлға ретінде қарай отырып, олардың шығармашылық мүмкіндіктерін, іс-
қабілеттерін арттыру мақсатында оқу үрдісінің мазмұнының іске асырылу
жолдарының логикасын қайта қарау, әсіресе болашақ математика мамандарының
кәсіби дайындығын қазіргі заман талабына сәйкестендіру.
Орта мектепте теңдеулер мен теңсіздіктерге байланысты материалдар
математиканың негізгі бөлігін құрайды, өйткені теңдеулер мен теңсіздіктер
математиканың әр бөлімдерінде және маңызды қолданбалы есептерді шығаруда
кең қолданыс табады.
Оқушыларды мектеп қабырғасында теңдеулер мен теңсіздіктер желісінің
қолданбалық, теориялық-математикалық желілерімен байланысын құру бағыттарын
игерту мәселесі теңдеулер мен теңсіздіктерді шешуге үйрету материалдарын
талдау мен сапалы игерту мәселесімен тығыз байланыста.
Орта мектептерде теңдеулер мен теңсіздіктерді шешу әдістерін беру
кезінде қойылатын іргелі мақсаттардың қатарында есептерді тиімді шешу
дағдылары мен іскерліктерін дамыту проблемасы жатыр. Мәселенің күрделігі
мен қиындығынан осы уақытқа дейін ол түпкілікті ғылыми-әдістемелік
шешімдерін таба алмай келеді.
Сондықтан орта мектепте теңдеулер мен теңсіздіктерді шешуге тереңдетіп
оқыту әдістемесін құру оқушылардың теориялық білімдерін нақтылаудың, оларды
практикада қолдана алу ептіліктерін қалыптастырудың басты құралы ретінде
қарастырудың маңыздылығы артады.
Математикада теңдеуді де, теңсіздікті де өмірде болған немесе болып
жатқан құбылысты зерттеу құралы ретінде пайдаланады. Теңдеу арқылы
процестің дәл шешімі зерттелсе, ал теңсіздік арқылы белгілі бір аралықтағы
қозғалыс зерттеледі. Теңдеу мен теңсіздікті білім қалыптастырудың
тиімділігі тұрғысынан қарастырғанда, келесі проблемаларды шешу керектігі
шығады:
1. Құрылымы әр түрлі теңдеулердің шешімдерін табу әдістеріне үйреткеннен
кейін теңсіздіктердің шешімдерін табуға үйрету.
2. Теңдеу мен теңсіздіктердің есептемелерін біріктіріп табуға үйрету.
Орта мектепте математиканы оқыту кезеңінде математикалық білімнің
жүйелігі мен күрделігінің деңгейін бағалау үшін оқушылардың теңдеулер мен
теңсіздіктерді шешудегі оқыту әдістерін еркін таңдай білуіне, іс-жүзінде
қарапайым және қолайлы жағдайды математикалық модель түрінде қарастыру
біліктілігіне, күрделі есептерді шешуде математикалық әдістерді қолдана алу
деңгейлеріне сүйену керек.
Математиканы оқытуда теңдеулер мен теңсіздіктерді шығаруды үйрету ғана
емес, ол кез келген проблеманы шеше білуде, қиындықты жеңуде, танымдық және
ойлау қабілеттерді жетілдіруде маңызды роль атқарады.
Орта мектеп бағдарламасында теңдеулер мен теңсіздіктерден бастап,
жоғары дәрежелі теңдеулер мен теңсіздіктерді шешу теориясы мен практикалық
мәселелеріне дейін кең орын берілген. Мысалы, сызықтық теңсіздіктерді шешу,
екінші дәрежелі теңсіздіктер көмегімен квадраттық үшмүшені зерттеу,
теңдеулер жөнінде талдау жасау, жуықтап есептеулер, иррационал сандар
теориясы, сандық қатарлар сияқты мәселелер теңсіздіктер арқылы
түсіндіріледі. Тек математикада ғана емес, әр түрлі жаратылыстану
ғылымдарында зерттелетін табиғаттың үздіксіз процестері, әсіресе
экономикалық, экологиялық және т.б. салалардағы байланыстар теңсіздіктердің
көмегімен шешіледі.
Теңдеулер мен теңсіздіктер теориясы орта мектепте оқушылардың
логикалық ойлау қабілетін дамыта алатындай, өз алдына ғылыми-педагогикалық
маңызы бар негізгі оқу материалы болып есептеледі. Ол оқушыларды айқын
дұрыс ойлауға, шамаларды салыстыра білуге дағдыландырады. Сондықтан есеп
шығару барысында творчестволық қабілеттілік, ізденгіштілік қасиеттерді әр
түрлі тәсілдермен шығарып, ішінен ең қарапайым, тиімдісін таңдап алудың
маңызы зор.
Соңғы кезде орта мектеп математикасында көптеген жақсы бетбұрыстарға
қарамастан теңсіздіктер жөнінде мектеп оқушыларының түсініктері мардымсыз
екнін іс – тәжірибе көрсетіп отыр. Осы олқылықты жою үшін теңсіздіктер
теориясы мен оны үйренудің әдісін жетілдіру қажеттігі туындайды. Теңдеулер
мен теңсіздіктерді шешуді оқушылар күнделікті кездестіретін айналасындағы
фактілермен байланыстыруы қажет.Егер де тарихқа үнілетін болсақ,
практикалық есептерді шығарудың алгебралық әдістерінің бастамасы ежелгі
ғылым әлемімен байланысты. Сол кездің өзінде де теңдеулер мен теңсіздіктер
құруды талап ететін есептер пайда бола бастады. Алғашқыда мұндай есептерді
шығару үшін арифметикалық әдістер қолданылды. Одан әрі алгебралық жағын
қарастыру қалыптаса бастады. Қазіргі уақытқа дейінгі теңдеулер мен
теңсіздіктердің дамуында әр түрлі әдістердің өзгеріп жаңарып отыруы осы
ұғымдардың нақтылануы мен басқа да математиканың бөлімдерімен байланысын
ескеріп отыруды қажет етеді. Бұл үрдісте теңдеу мен теңсіздіктердің
алгебралық ұғымдар жүйесіндегі мәні маңызды роль атқарады. Теңдеуді
алгебраның негізгі ұғымы ретінде қарастыру алгебраның дамуындағы үш
фактімен егізделеді:
а) теңдеулер сөз есептерді шығарудың құралы;
б) теңдеулер алгебрадағы оқу объектісі бола алатын ерекше бір формула;
в) теңдеулер кеңістіктегі (жазықтықтағы) координата нүктелерін немесе
сандарды жанамалай анықтайтын формула.
Сол себептен де теңдеу жалпы математикалық ұғым жағынан көп аспектілі
болып келеді.
Теңдеудің маңыздылығы мен кең көлемділігіне қарап оны оқып үйрену
қазіргі математикалық әдісте мазмұнды-әдістемелік негізде теңдеулер мен
теңсіздіктердің желісінің тұтастығымен қамтамасыз етіледі.
Бұл жерде мектептегі математика курсындағы теңдеулер мен
теңсіздіктерді оқып үйрену, олардың араларындағы байланыс, оларды тиімді
шешудегі жалпы және жеке әдістер теңдеулер мен теңсіздіктер желісінің
қалыптасуын нақтылау тұрғысынан қарастырылып отыр. Теңдеулер мен
теңсіздіктер сонымен қатар функционалдық бағыттармен тығыз байланысты.
Осындай байланыстардың ең негізгісі ол функцияларды зерттеуге теңдеулер
құрастыру әдістерін қолдану. Бір жағынан функционалдық бағыт теңдеулер мен
теңсіздіктер желісінің мазмұнына және оларды үйрену түріне де бір шама
ықпал етеді. Негізінде функционалдық бағыт теңдеулер мен теңсіздіктерді
зерттеу мен шешуде графиктік көрнекілікті қолдануды қажет етеді. Ал
адамдардың күнделікті өмірінде теңдіктерден гөрі теңсіздіктер өте қажет
болатыны да белгілі.
Теңдіктер теңсіздіктерден логикалық байланыста болады, Теңсіздік пен
теңдік байланыстарын қарастыру үшін екі шама айырмасын дәл бағалау керек.
Оқушыларды теңсіздіктің күшін сақтау жағдайларын пайымдауға,
теңсіздіктің мағынасы жойылмайтындай белгісіздердің мүмкін мәндерін айыруға
дағдыландыру керек. Мысалы, алгебралық теңсіздігінде
белгісіздің мәндері 1 мен 2–ден басқа сандар болуы керек. Бұл мәндерде
бөлшектердің мағынасы жоқ болады. Сонымен теңсіздікті дәлелдегенде және
шешкенде әріптер мен белгісіз шамалардың мүмкін мәндерін үнемі есепке алып
отыру қажеттігі туындайды. Таңбасы белгісіздің мүмкін мәндерінің бәрінде де
сақталатындай теңсіздік шартсыз теңсіздік деп аталады.
Мысалы, ; , бұл арада айнымалысының орнына оның мүмкін
мәндерінің қайсысын қойса да теңсіздіктің мағынасы өзгермейді. Таңбасы
белгісіздің мүмкін мәндерінің кейбіреуінде ғана сақталатындай теңсіздікті
шартты немесе белгісізі бар теңсіздік деп атайды. Мысалы, , мұнда
болса ғана теңсіздіктің оң бөлігінен сол бөлігі үлкен.
Барлық теңсіздіктердің қасиеттерін сандық теңсіздіктер арқылы
көрсетуге болады. Енді сол теңсіздіктердің негізгі екі қасиетіне тоқталып
өтейік.
1. теңсіздігінен теңсіздігі шығады. Демек, теңсіздіктердің
бөліктерін ауыстырғанда теңсіздік таңбасы да ауысады. Бұл қорытынды тікелей
теңсіздіктердің анықтамасынан шығады.
2. және теңсіздіктерінен теңсіздігі шығады.
Берілген шарт бойынша және .Сондықтан және . Екі
теріс санның қосындысы да теріс сан болатындықтан, жақшаларын ашсақ,
сонда . Бұл қасиет есептерді шешкенде, теоремаларды дәлелдегенде
теңсіздікті күшейту үшін қолданылады.
Алгебрадағы теңсіздіктерді дәлелдеу геометриядағы сияқты оқушылардың
логикалық ойлау қабілетін дамытуға, теориялық материалды терең меңгеруге,
берік практикалық дағдыны қалыптастыруға көмектеседі. Ал соңғы кезде орта
мектептегі математиканың бағдарламасында теңсіздіктерді дәлелдеуге дұрыс
көңіл бөлінбей келеді.
Мектеп оқулықтарында бұл мәселеге арнап есептер құрастырылмаған.
Сондықтан біз теңсіздіктерді дәлелдеуге көбірек тоқталуымыз керек.
8-9 сыныптарда оқушылар теңсізідктерді дәлелдеудің бірнеше нұсқасымен
танысады. Енді теңсіздіктердің қасиеттеріне сүйеніп жай теңсізідктерді
дәлелдеудің кейбір әдістерін қарастырайық.
а) Теңсіздік ұғымының анықтамасын пайдалану.
1 мысал. теңсіздігін дәлелдейік.
Теңсіздік мүшелерінің айырмасын қарастырайық:
Нақты сандардың квадраттарының қосындысы оң санға немесе нольге тең.
Ендеше әуелгі теңсіздік дұрыс болғаны.
б) Белгілі теңсіздіктердің көмегімен дәлелдеу.
2 мысал. теңсіздігін, яғни сандарының квадраттарының
қосындысы, сол сандардың екі еселенген көбейтіндісінен кем еместігін
дәлелдеу керек. Ол үшін белгілі теңсіздігін пайдалансақ,
немесе шығады. Осы теңсіздіктің салдары ретінде шығатын
теңсіздігін көптеген басқа теңсіздіктерді дәлелдеуге қолданамыз.
3 мысал. - оң сандар болғанда теңсіздігін дәлелдейік.
Теңсіздіктің сол жағын түрлендірсек:
Бұрыннан белгілі теңсіздіктердің қасиеттеріне сүйеніп көптеген
теңсіздіктер дәлелденіледі.
Оқыту үрдісінде теңсізідктерді шешкенде теңсіздік қасиеттерін қолдана
білу дағдыларын барынша дамыту аса маңызды роль атқарады. Бұл болашақта
мамандығы математикамен байланыста болатын студенттер үшін қажет. Себебі
теңсіздіктердің қасиеттеріне сүйеніп теңсіздіктерді дәлелдеу әдістерін
игере алу дағдысы жоғары математика курсын жақсы меңгеру үшін ерекше
маңызды рол атқарады.
Жоғары мектепте теңдеулер мен теңсіздіктерді шешудің дәстүрлі емес
әдістерін іске асыру нәтижесінде жұмыстың негізгі мазмұнын жете түсінуге,
тақырыпты оқытудың технологиясын игеруге мүмкіндіктер жасалынады.
Қазіргі замаңдағы техника мен технологияның шапшан дамуы болашақ
математика мамандарынан жаңа технология мен идеяларды тез меңгеруді талап
етеді. Сондықтан жоғары білікті мамандарды дайындау жалпы және арнайы білім
деңгейіне, олардың дұрыс үйлесуіне байланысты болады.
Жоғары оқу орындарда, бірінші кезекте, студенттердің кәсіби дайындық
сапасына ықпал ететін олардың жалпы білімдік, оның ішінде математикалық
дайындығын арттыру мәселесі өте маңызды болып отыр. Сондықтан да дәрежелік
функциялары бар теңдеулер мен теңсіздіктерді шешудің әдіс-тәсілдерін
студенттерге үйрету, болашақ математика мұғалімдерінің біліктілігі үшін өте
маңызды роль атқарады.
Жоғары мектептерде математика курсын оқыту екі мәселені шешуге
бағытталған:
1) студенттердің математикалық дайындығын жалпы білім беру деңгейімен
қамтамасыз етудің тиімді жүзеге асырылуы;
2) арнайы дайындықты математикалық білім жүйесімен қамтамасыз ету, яғни
алынған білімді кәсіби қызметінде пайдалануға қажетті математикалық
білім мен білікті қалыптастыру.
Математикалық білім берудің осы екі аспектісі пәннің мазмұнында,
қалыптасатын білік пен дағдыда, жаттығулар сипаттамасында, тақырып пен
сұрақтарда және басқа әдістемелік мәселелерді баяндау ретінде толық
бейнесін табу керек. Осы мәселелерді шешу дәрежелік функциялары бар
теңдеулер мен теңсіздктерді шешу үрдісінде де іске асырылуы тиіс.
Жоғары мектепте өтетін тақырыптық дәрістер мен практикалық тәжірибелер
қазіргі заман талабына сәйкестірілгенде білікті, жан-жақты дамыған мамандар
даярланатына көз жеткізуге болады.
Сондықтан жоғары мектептерде білім беруді дамыту проблемасын
қарастырғанда, базалық математикалық білім беру туралы сұраққа, яғни
математика маманының математикалық дайындығы қандай болуына жауап іздемей
оны айналып өту мүмкін емес.
Жоғары мектептердегі теңдеулер мен теңсіздіктерді шешуде жаңа
әдістемелерді еңгізудегі білім беру жүйесінің сапасы студенттердің маман
моделіне қаншалықты сәйкес келетіндігімен, болашақ математика мамандығын
қандай деңгейде меңгергендігімен анықталады.
Жоғары оқу орындары студенттерінің басым көпшілігі білім негізін
игергенмен шығармашылық іс-әрекет етуге дайын еместігіне, олардың алған
білімдерін жоғары дәрежеде мұғалімдік міндеттерді шешуге қолдана
алмайтындығы. Осыдан болашақ мамандардың математикалық дайындығының жоғарғы
мектептерде әлі де болса дұрыс жолға қойылмағандығымен түсіндіруге болады.
Сондықтан жоғары оқу орындары студенттерінің математикалық дайындығына
ықпал жасайтын жоғары математика курсында практикалық сабақтарды өткізудің
әдістемесін жетілдіру, яғни теңдеулер мен теңсіздіктерді шешуде оқыту
мазмұнының қолданбалық бағытын күшейту. Нысанды тапсырмалар жүйесін оқыту
тәжірибесіне еңгізу, жоғары мектепте студенттердің математикалық
дайындығының артуына ықпал жасайды. Болашақ математика мамандары жоғары
мектеп қабырғасынан жан-жақты және іргелі білім жүйесін алуы қажет. Білім
жүйесінің іргелілігі-теңдеулер мен теңсізідктерді шешуде студенттердің
талаптарын қанағаттандыратын бірден-бір сара жол.
Студенттердің жоғары теориялық және практикалық дайындықтарының бір-
біріне сәйкес келуі жоғары мектеп өмірі үшін негізгі міндеттердің бірі.
Студенттер математиканы оқыту практикасында оқытылатын материалды
меңгерумен қатар қосымша, оларды өздігінен қолдануға дағдылану арқылы
математикадан алған білімдерін толық меңгереді. Сондықтан тақырыптарды
игеру барысында творчестволық қабілеттілік, ізденгіштік қасиеттерді дамытып
өрістетуге берілген тақырыпты әр түрлі тәсілмен түсіндіріп, ішінен ең
қарапайым, тиімдісін таңдап алудың маңызы зор.
Жоғары оқу орындарындағы даму тенденцияларын анықтап, оқытудың
қоғамдағы әлеуметтік-экономикалық ахуалға сәйкес моделін қарастыруға
болады.
Математикалық білім беруді дамытудың стратегиялық бағытын және алдын-
ала болжаудың біртұтас кешендік мәселелері айқындалып, оның қазіргі
кезеңдегі болашақ математика маманның математикалық мәдениетінің бір
элементі ретіндегі орны мен мақсаттарын анықтау проблемаларын шешу қажет,
яғни студенттердің меңгеру деңгейіне қажетті және тиімді мазмұн көлемін
анықтайтын, қазіргі талапқа сәйкес математикалық білім негізін жете зерттеу
мәселесі өзекті мәселенің бірі болып отыр. Сонымен жаңа технология бойынша
жоғары мектептерде теңдеулер мен теңсіздіктерді шешудің әдістемесін
жетілдіру, оқыту мазмұнының қолданбалық бағытын күшейту, алған білімдерін
практикада қолдануға талпындыра отырып, оқыту процесінің әдіс-тәсілдерін
қолданудың тиімді жолдарын кешенді түрде игерулеріне мүмкіндік береді.
Жоғары мектепте теңдеулерді, теңсіздіктерді әр түрлі жүйелік кластарды
оқып білу барысында жалпы және универсалды шешімдер мен зерттеу
тәсілдерінің ролі айқындала түсуде. Ондай тәсілдерді үш топқа бөлуге
болады.
Бірінші топқа логикалық әдіс арқылы шешімге келу болып табылады. Бұл
әдістер арқылы алғашқы теңдеуден, теңсіздіктен және жүйеден жаңа тәсілге
ауысады. Ондай ауысулар белгілі кластарға қатысты тапсырмалар орындалғанша
жүргізіледі.
Екінші топ есептеуіш тәсілдерден тұрады, бұлардың көмегімен теңдеу
немесе теңсіздіктің бір бөлігін жеңілдету арқылы жүргізіледі, сонымен қатар
белгісіздің орнына түрлі аралық есептеулерді қою арқылы табылған түбірлерді
тексеру арқылы өтеді. Есептеуіш тәсілдердің ролі теңдеудің түбіріне жақын
мәнді табудағы тапсырманы орындағанда байқалады. Сандық есептеулерді
жүргізу мүмкіндіктері есептегіш құралдарды пайдалану барысында үдей түседі.
Үшінші топқа көрнекі-графикалық тәсіл жатады. Осы тәсілдердің көбін
координаталық түзу немесе координаталық жазықтықтың негізінде пайдаланады.
Координаттық түзуді пайдалану кейбір теңсіздіктер мен бір белгісізі
бар теңсіздік жүйесін және теңдеулер мен модульді теңсіздіктерді шешуге
мүмкіндік береді. Мысалы, бір белгісізі бар сызықтық теңсіздіктерді шешуде
алдымен координаталық түзуге теңсіздіктің көптеген шешімдері жүргізіледі,
одан барып олардың жалпы бөлігі белгіленеді. Теңдеулер мен модульді
теңсіздіктерді шешу сандардың түрлілік модульдеріне геометриялық түсінік
берумен байланысты. Мысалы, теңдеудің шешімі координаталық түзуге
координаталық нүктесінен нүктесіне дейін қашықтаған нүктені
табуға әкеледі.
Координаталық жазықтықты пайдалану графиктік әдістерді теңдеулер мен
бір және екі белгісізі бар теңсіздіктерді зерттеу мен шешуде пайдалануға
мүмкіндік туғызады. Жоғары мектептегі математика курсында графиктік әдісті
пайдаланудың ең көрнектісі-бір белгісізі бар екі сызықтық теңдеулер
жүйесін көрсетудің графиктік әдісін пайдалану болып табылады. Бұл әдіс
негізінен теңдеулер мен теңсіздіктерді зерттеу үшін пайдаланады. Дайындық
кезеңі ретінде екі белгісізі бар сызықтық теңдеулердің графигін қарастыру
керек.
Графиктік әдістер аналитикалық жазулар қолайсыз болған жағдайда
зерттеу қорытындыларын көрсету үшін қолданылады.
Мысал ретінде теңсіздігіне көрсетілген көптеген шешімдер
келтірілген схемасы алуға болады. Студенттер жаттығу барысында мұндай
схеманы пайдалануға үйреніп, одан оны елестетіп пайдалануға үйренеді.
Кейде графиктік әдіс түбірлердің сандық мәні немесе шешім
компоненттерін анықтауда қолданылады. Мысалы, бір белгісізі бар теңдеудің
шешімінің графиктік әдісі , және функцияларының графигі
қиылысу нүктелерінің абсциссасын табудан тұрады.
Мұнда теңдеулер жүйесін шешу үшін графиктік әдіс қолданылады.
Тақ дәрежелі теңдеулер әр түрлі графикте кескінделуі мүмкін екендігін айта
кеткен жөн.
Теңдеулер мен теңсіздіктерді шешудегі графиктік әдістерді қолдану
студенттердің ойлау қабілетін дамытып теория мен практикадан меңгерген
білім мен іскерлігін оқу-әдістемелік жұмыстарда пайдалана алуын қамтамасыз
етеді.
Қорыта айтқанда, координаталық жазықтықты пайдаланатын графиктік
әдістер теңдеулермен бір және екі белгісізі бар теңсіздіктерді және олардың
жүйелерін шешуде маңызды роль атқарады. Бұл әдістің екі белгісізі бар
теңсіздіктерге қолданыстағы ролі өзгеше, мұнда бұл әдіс тек көріністің
жауабын көрсету үшін қолданылады. Айтылған графиктік тәсілдер координаттық
әдістердің негізгі құрамдас бөлігі болып табылады. Координаттық әдістердің
әріқарай игерілуі геометриялық фигуралардың теңдеулер мен теңсіздіктер
арқылы берілуін зерттеу арқылы жүзеге асырылады.
Студенттердің математикалық дайындығындағы басты мақсат-олардың тек
математикалық білімдер жиынтығын игеруі ғана емес, сонымен қатар ол білімді
практикада туындайтын әртүрлі теңдеулер мен теңсіздіктер құру арқылы
шығарылатын есептерді шеше білуді игеру болып табылады. Күрделі есептерді
шығарғанда студенттердің ойлау әрекеті түрлі ғылыми әдістерді қолданудан
тұрады. Олар бірлікте, белгілі бір өзара байланыста болады және есеп шығару
процесінде біртұтас аналитикалық – синтетикалық іс-әрекет түрінде бой
көрсетеді.
1.2 Теңдеулер мен теңсіздіктерді оқытудағы көрнекілік
пен әртүрлі типтік кластар ұғымдары
Бүгінгі таңда білім ақпараттандырудың болашағы қоғамдағы ғылыми
–техникалық прогрестің қарқынды даму үрдісімен, білімнің ғылыми
интеграцияға ұмтылуымен, қоғамда жинақталып және үнемі өсіп отыратын
ақпарат көлемінің әртүрлігімен анықталады.
Жоғары мектепте білім беруді ақпараттандыру әлеуметтік, экономикалық,
теориялық, практикалық сипаттағы түйінді мәселелерді шешуге жол ашуда. Міне
сондықтан, ғылыми техникалық прогресс жағдайында студенттерден жоғары
білікті мамандар даярлау үшін жаңаша оқыту әдістерін енгізу талабы алға
қойылуда.
Бұл мәселелерді шешудің бірден - бір жолы оқу үрдесінде көрнекіліктің
ролін күшейту.
Жоғары мектептерде көрнекілікті енгізу процесі оқыту теориясы мен
практикасы алдында ғылыми қажетті мәселелерді қойып отыр. Осыған орай
көптеген әдіскерлер көрнекілікті білім беру жүйесінде сапалы әрі тиімді
қолдану мақсатындақолдануда.
Оқытылатын бағдарламалар көрнекілікті күшейтуге мүмкіндік туғызып,
оның жүйелі түрде әрі қозғалыс үстінде көрсетуге лайықталып жасалса, онда
игеретін ақпараттың мазмұны тереңдеп, мәнділігі арта түседі. Қазіргі
заманғы дидактикада көрнекілік принципі мен нақты ұғымдармен олардың
кескіндерінің статистикалық тірегі ретінде ғана емес, сонымен бірге оны
дидактикалық моделі ретінде де түсіндіріледі. Сонымен жаңа ақпараттық
технологияға, көрнекілікке негізделген жаңа білімді бейнелеу арқылы үйрету
мүмкіндігі оқытудың дидактикасы мен әдістемесінде, соның ішінде әсіресе
математиканы оқыту әдістемесінде жаңа тиімді бағыттарға жол ашады. Оқу
үрдесінде теңдеулер мен теңсіздіктерді оқытудағы көрнекілік арқылы оқытудың
ғылымилығы, жүйелілігі, белсенділігі сияқты ұстанымдары жүзеге асырылады.
Сондай-ақ оқу әрекетінің әдіснамасы ғылыми – зерттеу жұмыстарының
әдіснамасымен ұштастырылады.
Материалдарды жалаң сөзбен баяндағанда оқырмандарда зерттеліп отырған
ұғым туралы дұрыс та айқын түсінік қалыптаса бермейді, өйткені олар әлгі
ұғымды уақыт ағымындағы қозғалыста бақылай алмайды.
Теңдеулер мен теңсіздіктерді оқытудағы көрнекілік жоқ жерде құрғақ
әңгіме санаға ауырлық түсіріп, белсенді ойлау әрекетін тудырмайды. Ал
көзбен көрген бейнелер білім алушыға ұғымның заңдылығын өз бетінше
зерделеуге, оның заңдылықтарын ашуға негіз бола алады. Жоғары мектептің
математика курсында қарастырылатын теңдеулер мен теңсіздіктерді оқытудағы
көрнекілік әзірте біртұтас жүйе ретінде қалыптаспаған, дәлірек айтсақ олар
әлі жекелеген әдістемелік материалдардың бір-біріне байланыспаған жиынтығы
күйінде қалып отыр.
Теңдеулер мен теңсіздіктерді оқытудағы көрнекіліктің мәні оқытудың
әрбір сатысында, білім игеру логикасының жемісін басшылыққа ала отырып, сол
білімдерінің айрықша фактілері мен студенттердің байқауларының немесе
аксиомалардың ғылыми ұғымдар мен теориялардың алғашқы бастамаларын тауып,
жекеден жалпылыққа, нақтылықтан абстрактілікке және керісінше жалпылықтан
жекелікке, абстарктіліктен нақтылыққа көшу заңдылықтарын анықтау болып
табылады.
Көрнекіліктің әр түрінің өзіне тән атқаратын функциялары бар.
Сондықтан оқу үрдесінде теңдеулер мен теңсіздіктерді оқытудағы көрнекілікті
пайдаланғанда бір қатар әдістемелік талаптарды орындаған жөн, яғни
көрнекілік сабақтың мақсатына сай келуі және көрнекілікті пайдаланғанда
студенттердің оларды дұрыс қабылдануын қамтамасыз ету маңызды.
Теңдеулер мен теңсіздіктерді оқыту кезінде оқытушының өзінің баяндауы
мен көрнекілікті үйлестіруі елеулі роль атқарады. Бұл жағдайда оқытушы
студенттердің іс-әрекетін, байқағыштығын бақылай отырып керегінше мағлұмат
алуына жетекшілік етеді.
Оқытудың көрнекілік әдістерін пайдаланғанда мына талаптарды орындау
қажет:
- көрнекілік әдісті қажетіне қарай пайдалануы тиіс және оны бірте –
бірте тек сабақтың тиісті сәтінде көрсету керек;
- көрсетілетін көрнекілік материалдарының мазмұнына сәйкес болуы
қажет.
Математиканы оқу үрдесінде қашан да студенттердің көрнекі бейнелік
ойлауын дамытуға, кеңістікті елестетуіне зор көңіл бөлінеді. Логикалық
ойлауды дамыту: түрлі ұғымдардың әр түрлі қасиеттерін және олардың елеулі
және елеусіз белгілерін айқындап, әрі қарсы қойып салыстыру әдістерін талап
етеді.
Студенттерге білім беруде көрнекілік ерекше көңіл бөлуді талап етеді.
Оқу материалдарын игеру дәрежесін көтерудің ең үлкен мүмкіндігі ол сабақ
беруде көрнекілік әдістерінің жаңа жолдарын, тәсілдерін енгізуге
байланысты. Жоғары оқыту орнында сабақты өткізу барысында кеңістік
модельдерін пайдалану оқытушының жұмысын едәуір жеңілдетеді және
материалдарды баяндауға қажетті уақытты қысқартады. Сондай-ақ теңдеулер мен
теңсіздіктерді оқытудағы көрнекілік студенттердің сабаққа ынтасын
арттырып, тақырыпты игеру сапасын да жақсартады.
Теңдеулер мен теңсіздіктерді оқытудың тиімділігін арттыру жолдарының
бірі - графиктерді пайдалану болып табылады.
Графикті көрнекі құрал ретінде пайдаланудың мақсаты – материалдардың
ішкі логикалық мағынасын түсіндіру, есеп шығарушының ойын бағыттайтын,
тиісті қорытынды жасауға негіз болатын математиканың тілін қалыптастыру.
Студенттердің оқудағы белсенділігіне оқытудың көрнекілігін анағұрлым
күшейте отырып қол жеткізуге болады. Графиктердің көмегімен демонстрациялық
тәжірибелерді көрнекі түрде көрсете отырып, оқытушы студенттерінің назарын
өтіп отырған тақырыпты терең түсінуге аударады. Демек студенттердің
назарының тұрақтылығы теңдеулер мен теңсіздіктерді оқытудың көрнекілігін
тиімді етумен тікелей байланысты. Оқылып отырған тақырыпқа студенттердің
зейінінің жоғарлауы немесе төмендеуіне қарай, графиктердің тиімділігі
туралы қорытынды жасай аламыз. Сөйтіп математика сабақтырында теңдеулер мен
теңсіздіктерді және оларды шешу жолдарын график арқылы көрсете білу
оқырмандардың танымдық қызығушылығын арттыруға септігін тигізеді және оқу
материалдарын түсініп қабылдауға, білімін тереңдетуге әсер етеді деген
қорытынды жасауға мүмкіндік береді. Осы тұрғыдан оқытудың көрнекілігін
пайдалану ең алдымен оқытушының сабақты тиімді және нәтижелі
ұйымдастыруына көмектессе, екіншіден студенттердің дербестігін, оқу
әрекеттерін, біліктілік, іскерлік дағдыларын дамытады, білім алу барысында
әртүрлі әдіс – тәсілдерді қолдануға төселеді, алған білімдерін күнделікті
өмірмен байланыстырады.
Болашақ математика мамандарына математикалық білімді жедел қабылдау
мен меңгеру әр алуан көрнекіліктерді тиімді пайдалану арқылы да іске
асырылады. Көрнекілік кеңістік жөніндегі түсініктері мен қабілеттерін
дамытуға көмектеседі, сонымен бірге көрнекілік студенттердің кейбір
тәжірибелік іскерліктерін шыңдауға ықпал етеді. Мәселен, математика
курсында шамалардың арасындағы тәуелдіктерді графиктік түрде кескіндеу
арқылы студенттердің тәуелділікті түсінуін жеңілдетеміз. Математиканы оқыту
мақсаттарының бірі - студенттерге саналы, жүйелі және баянды, білім беру.
Ал білім нәрселер мен құбылыстардың елеулі белгілері мен олардың
байланыстары туралы ғылым тағайындайтын ұғымдардан құрылады.
Математиканы оқып-үйрену процесі негізінен ұғымдарды игеру,
теоремаларды дәлелдей білуге және есептер шығаруға үйретуден тұрады.
Оқырмандардың жалпы білім дәрежесінің сапасы ғылыми ұғымдардың қалай
қалаптасқандығына байланысты.
Математикада әртүрлі типтік кластар ұғымдарын тиянақты меңгермейінше
ғылыми заңдар мен теорияларды саналы түрде білуі мүмкін емес. Әртүрлі
типтік кластар ұғымын меңгеру – математикалық объектілердің белгілері мен
қасиеттерін, олардың арасындағы мәнді байланыстар мен арақатынастарын білу
және оларды қолдана алу деп түсініледі. Сонымен бірге ұғымның өзі ойлау
формаларының бірі, әрі таным құралы да болып табылады. Сондықтан студенттік
білім – танымының бастауы да, ол білімдерді қолдану аясының кеңдігімен
ауқымдылығы да алғашқы мәліметтердің қалай түсіндіріліп, игерілгендігіне
тәуелді. Әр түрлі типтік кластар ұғымдарын меңгеру студенттердің белсенді
ой қызметімен, анализ және синтез, салыстыру, нақтылау тағы басқа сияқты
ойлау операцияларын орындаумен байланысты жүзеге асырылады. Сондықтан
математика сабағында әртүрлі типтік кластар ұғымдарын меңгеруге бағытталған
жұмыстар студенттердің логикалық ойлауын дамыту үшін де маңызды. Әр түрлі
типтік кластар ұғымдарымен жұмыс жүргізгенде қолданылатын логикалық
амалдардың бірі – ұғымдарды анықтау болып табылады. Ұғымның анықтамасы деп,
ұғымның қажетті және жеткілікті белгі шарттары айтылатын сөздік немесе
символдық сөйлемді айтады. Оқыту процесінде студенттердің математикалық
ұғымдардың анықтамаларын дұрыс және дәл тұжырымдауға баулуға ерекше назар
аударылады.
Математикалық ұғымдарға дәл анықтама беруге үйрету арқылы
студенттердің математикалық білімдерді саналы игеруі қамтамасыз етіледі,
олардың логикалық ойлауы жетілдіріле түседі.
Жоғары оқу орындарында студенттерге әр түрлі типтік кластар ұғымдары
жүйесін қалыптастыру білім берудің маңызды құрамдас бөліктерінің бірі болып
саналады. Әртүрлі типтік кластар ұғымдары мәнін мейлінше түсініп, зерделей
білмейінше заңдар мен заңдылықтарды, теориялар мен тұжырымдарды нақтылы
түсіну, меңгеру мүмкін емес. Ұғымдарды меңгеру студенттердің белсенді іс-
әрекеті негізінде жалпыдан жекені ажырата білу, салыстыру, жекені
жалпыландыру сияқты ой қызметтерін іске асырумен тығыз байланысты. Демек,
ұғымдардың байланыстылығын қалыптастырудың білім алушының ойлау
қабілеттерін дамытудағы маңыздылығы ерекше. Ұғым арқылы адам ойлайды. Ой
болмысты бейнелейді. Ойлау арқылы адам болмысты танып біледі. Ұғымдарды әр
түрлі типтік кластарға бөлу ұғым көлемін ашатын логикалық әрекет ретінде
қарастырылады. Ұғымдарды әр түрлі типтік ұғымдарға бөлу дегеніміз
бөлінетін ұғымға бағыныңқы барлық түрлік ұғымдарды көрсету деген сөз.
Теңдеу ұғымы сызықтық теңдеулер, квадрат теңдеулер, алгебралық
теңдеулер т.с.с. ұғымдарына бөлінеді. Ұғымдарды әр түрлі өзгерістегі
белгілер бойынша классификациялауға болады.
Мысалы, алгебрада теңдеулерді дәреже көрсеткішіне байланысты бірінші
дәрежелі, екінші дәрежелі, үшінші дәрежелі тағы сол сияқты кластарға
бөледі. Квадрат теңдеулердің х-тің коэффиценті және бос мүшенің нөлге тең
болуы, болмауына қарай толық квадрат теңдеу және толымсыз квадрат теңдеу
болып бөлінеді.
Егер теңдеулерді белгісіздердің санына байланысты бөлетін болсақ,
оларды бір белгісіз бар, екі белгісіз бар, үш белгісізі бар теңдеулер деп
топтастырады.
Түрлі кластарға бөлу, бір мезгілде ұғымның бірнеше белгісі бойынша да
жүргізілуі мүмкін. Мысалы, екі белгісізі бар бірінші дәрежелі теңдеу, екі
белгісізі бар екінші дәрежелі теңдеу т.б.
Теңсіздік ұғымы жай санды теңсіздіктер, алгебралық теңсіздік,
классикалық теңсіздіктер болып бөлінеді. Теңсіздік ұғымы дәлелденгенде және
шешкенде әріптер мен белгісіз шаманың мүмкін мәндерінің бәрінде
сақталатындай теңсіздік шартсыз деп аталады.
Таңбасы белгісіздің мүмкін мәндерінің кейбіреуінде ғана сақталатындай
теңсіздікті шартты немесе белгісізі бар теңсіздік деп атайды. Сөйтіп
теңсіздік мағынасына байланысты теңсіздік ұғымы шартты және шартсыз болып
бөлінеді.
Теңдеу ұғымы негізгі жалпы математикалық ұғымдарға жатады, сондықтан
мектеп математика курсын меңгеруге кіріскен студенттерге түсінікті және
формальді көзқарастан қатал түрдегі анықтаманы ұсыну қиын.
Теңдеудің логикалық - математикалық анықтамасын мынадай түрде
келтіруге болады. Айталық М - жиында алгебралық жиын белгіленген, х – М -
дегі айнымалы, онда х-ке қатысты М жиындағы теңдеу деп а (х) = в (х)
түріндегі предикат аталады, мұндағы а (х), в (х) жазылуына х белгісі енетін
берілген операцияларға қатысты термалар, екі және одан көп айнымалысы бар
теңдеулерде осылай анықталады.
Логикада қабылданған Терм және предикат терминдеріне математиканың
өрнек айнымалысы бар сөйлем терминдері сәйкес келеді. Сондықтан
келтірілген анықтамаға келесі анықтама жақын: Айнымалысы бар екі өрнектің
арасындағы теңдік түрінде берілген айнымалысы бар сөйлем теңдеу деп
аталады.
Теңдеудің математикалық анықтамасын талдап, одан екі компонентті
бөлуге болады. Біріншісі – теңдеу дегеніміз ерекше текті предикат. Екіншісі
қандай текті екенін анықтайды: бұл екі терминді байланыстыратын теңдік,
сонымен қатар бұл терминдердің де белгілі арнайы түрі бар.
Теңдеулер мен теңсіздіктер жемісін оқытуда компоненттің екеуі де үлкен
роль атқарады. Біріншісі мағыналық компонент, теңдеулер түбірі ұғымын
түсіну үшін маңызды. Сонымен қатар мағыналық компонент көбінесе
теңдеулердің түрлендіруінің дұрыстығын негіздеу үшін қолданылады. Екінші
компонент теңдеуді бейнелейтін жазылудың формальді ерекшеліктеріне қатысты.
Бұл компонентті белгілік (знаковый) деп атаймыз. Ол теңдеудің жазылуы әр
түрлі түрлендіруге ұшырағанда маңызды, көбінесе осындай түрлендірулер
механикалық түрде жасалынады.
Жоғары мектептің оқыту процесінде айнымалысы бар сөйлемді ескеріп,
теңдеу ұғымын қолдану мүмкіндігі, математика курсының міндетті
тақырыптарында ақиқат, жалған терминдердің және осы терминнің бар
болуына тәуелді. Осы жағдайда теңдеу ұғымының мағыналық компоненті
теңдеудің түбір ұғымымен тығыз байланысты. Сонда екі термині бар жүйе
шығады: теңдеу терминінде белгілік компонент қасиеттері бар, ал
теңдеулердің түбірі термині мағыналық компонентті ескертеді. Мысалы,
мынадай анықтама берілген: Айнымалысы бар теңдікті де теңдеу деп атаймыз.
Айнымалысы бар теңдік дұрыс сандық теңдікке айналатын айнымалының мәні
теңдеулердің түбірі деп аталады.
Теңдеулер ұғымын қарастыруда теңдеуді шешу терминін қолдануды қажет
етеді. Сонымен теңдеулер ұғымын меңгеру үшін теңдеу, теңдеулердің түбірі,
теңдеулерді шешу деген нені білдіреді деген терминдерді қолдану қажет.
Теңдеулер ұғымының анықтамасында айнымалы мен белгісіз терминдерінің
бірі қолданады. Бұлардың айырмашылығы мынадай: айнымалысы ешқайсын арнайы
ерекшелемей біршама бір сынның әріптік белгілеуі болып табылады. Бұлардың
бірін алып, теңдеулер мен теңсіздіктер желісінің мазмұнын ашу елеулі
ерекшеліктерге әкеледі. Мәселен, айнымалы терминімен әріптің орнына
санды қою амалы байланысты, сондықтан а (х) = в (х) теңдеуіндегі х-тің
орнына нақты сандарды қойып, олардың ішінен түбірлерін табуға болады.
Белгісіз термині белгіленген санды білдіреді, сондықтан белгісізді
анықтайтын әріптің орнына сан қою орынды болмас ... жалғасы
Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.
ӘОЖ 378.147:514.18(574) Қолжазба
құқығында
АЛПЫСОВ АҚАН ҚАНАПИЯҰЛЫ
БОЛАШАҚ МАТЕМАТИКА МАМАНДАРЫН ДӘРЕЖЕЛІК ФУНКЦИЯЛАРЫ БАР ТЕҢДЕУЛЕР МЕН
ТЕҢСІЗДІКТЕРДІ ШЕШУГЕ ТЕРЕҢДЕТЕ ОҚЫТУ ӘДІСТЕМЕСІ
13.00.02 – оқыту және тәрбиелеу теориясы мен әдістемесі(математика)
Педагогика ғылымдарының кандидаты ғылыми
дәрежесін алу үшін дайындалған диссертация
Ғылыми жетекші:
педагогика ғылымдарының докторы,
профессор М. Е. Есмұқан
Қазақстан Республикасы
Павлодар, 2006
Мазмұны
Кiріспе
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ... ... ... ... ... ... ... 3
1Теңдеулер мен теңсіздіктерді шешу әдістерінің
дидактикалық - әдістемелік негіздері
1.1 Қазіргі таңдағы орта мектеп және жоғары мектеп математикасындағы
теңдеулер мен теңсіздіктер желісінің мазмұны
мен атқаратын
ролі ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .
... ... ... .. 8
1.2 Теңдеулер мен теңсіздіктерді оқытудағы көрнекілік пен әртүрлі типтік
кластар ұғымдары
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ... .. 16
1.3 Теңдеулер мен теңсіздіктерді шешудегі логикалық – функционалдық
байланыстарды тиімді
пайдалану жолдары
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .
... ... 21
1.4 Өзара кері функциялар және олардың арасындағы байланысты сипаттайтын
тепе-теңдік
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
29
1.5 Стандарт функция ұғымы және оның координат жүйесі ... ... ... ..
32
1.6. Иррационал өрнектерді ықшамдау технологиясы
... ... ... ... ... ... ... 36
1.7 Иррационал теңдеулерді стандарттау әдісімен
шешу ... ... ... ... ... .. 40
2. Болашақ математика мамандарын дәрежелік функциялары бар
теңдеу мен теңсіздіктерді шешуге тереңдете оқыту
әдістемесі
2.1Теңдеулерді кері амалдар әдісімен шешу заңдылығын
игерту
әдістемесі ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ... ... ... ... ... 50
2.2 Ұқсас өрнектер құрамынан құрылымы тұрақты функцияны іздестіру әдістері
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ... ... ... ... ... ... 59
2.3 Теңдеулердің құрылымын стандарттау арқылы шешуге студенттерді үйрету
әдістемесі ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ... ... ... ... .. 71
2.4 График салу арқылы студенттердің кеңістікте елестету қабілеттерін
тәрбиелеу
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .
... ... ... ... ... ... .. 83
2.4.1 Модульді өрнегі бар квадрат үшмүшеліктердің графиктерінің өзгерісін
зерттеуге үйрету
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .
... ... ... . 86
2.4.2 Күрделі функциялардың графиктерін салу тәсілдерін үйрету ... ...
93
2.5 Үшмүшеліктерді көбейтінділерге жіктеу арқылы теңсіздіктерді шешуге
үйреті ... ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ... ... .
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 96
2.6. Құрамында модулі бар теңсіздіктерді шешуге
үйрету ... ... ... ... ... ... .. 100
2. 7 Иррационал теңсіздіктерді шешуге
үйрету ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..111
2.8 Педагогикалық эксперимент бойынша жүргізілген жұмыстардың нәтижесі
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ... ... ... ... ... ... ... .11 5
Қорытынды
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ... ... ... ... ... ... 126
Пайдаланылған
әдебиеттер ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
... ... ... 132
Қосымшалар
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ... ... ... ... ... ...138
Кіріспе
Зерттеудің өзектілігі. Білім беру саласындағы Мемлекеттік саясаттың
негізгі бағыттары және оларды іске асырудың жолдары Қазақстан
Республикасының білім беруді дамытудың 2005-2010 жылдарға арналған
мемлекеттік бағдарламасында айқындалған. Негізгі мақсат-адам ресурстарын
даярлау сапасын арттыру, жеке тұлға мен қоғамның қажеттіліктерін
қанағаттандыру үшін Қазақстан Республикасының 2010 жылға дейінгі
стратегиялық даму жоспарының басымдылықтары негізінде көп деңгейлі білім
берудің ұлттық жүйесін жаңарту. Осыған орай Қазақстан Республикасының 2015
жылға дейінгі Концепциясының басты мақсаты ретінде сапалы білім беру
негізінде білікті жеке тұлғаның қалыптасуын қамтамасыз ететіндей жеке
білім беру жобасына көшу мәселесі қойылған. Аталған Концепция [2] жас
ұрпаққа қазіргі талапқа сай оқытудың жаңа ақпараттық технологияларын
еңгізуге бағытталуын көздейді.
Қазақстан Республикасының Білім туралы заңында және оқу-тәрбие
саласына байланысты басқа да құжаттарда жоғары оқу орындарында жан-жақты
білімді, ой-өрісі кең, мәдениеті жоғары, жаңаша ойлауға қабілеті бар,
әлемдік озық технологиялардан хабардар, еліміздің жарқын болашағын ойлайтын
қазіргі өмір талабына сай іріктелген таңдаулы мамандарды даярлау
қажеттілігі көрсетілген. Мұндай талаптар болашақ математика мамандарын
даярлауды түбегейлі жетілдіруді талап етеді, өйткені алдағы реформадағы
басты тұлға мұғалім болып табылады, сондықтан да жаңа формацияның
педагогтарын даярлау бүгінгі күннің негізгі мәселелерінің бірі болып
табылады.
Болашақ математика мамандары жоғары мектеп қабырғасынан жан-жақты және
іргелі білім жүйесін алуы қажет. Болашақ мамандарды іргелі білім
жинақтаған, жан-жақты дамыған тұлға ретінде дайындау түрлі бағыттар арқылы
жүргізіледі: оқу жоспарларының мазмұнын жетілдіру, ғылыми-әдістемелік
қамтамасыздандыруды жүзеге асыру, ғылыми парасаттылық, оқытушы-
педагогтардың біліктілігін көтеру және т.б.
Бүгінгі таңдағы оқу-ағарту саласының қалыптасуы мен дамуының
дидактикалық негіздерін зерттеуге көптеген әдіскер ғалымдар өз үлестерін
қосуда. Соның ішінде С.И.Архангельский [3], В.П.Беспалько [4], Л.П.Гримак
[7], Т.А.Ильина [5], Н.В.Кузьмина [6], Дидактика средней школы Под
редакцией М.А.Данилова и М.Н.Скаткина [8], Диалектика познания сложных
систем Под редакцией В.С.Тюхтина және т.б. [9] еңбектерінің орны ерекше.
Оқыту үрдісіндегі зерттеу жұмысын басқару, оқырмандардың шығармашылық
және танымдық қабілеттерін дамыту негізінде сабақтың тиімділігін арттыру
мәселелері педагог-психолог ғалымдар: А.Н.Леонтьев [10], А.Н.Леонтьев,
П.Я.Гальперин [11], П.Я.Гальперин [12], Н.Ф.Талызина [13], Л.М.Фридман
[14], еңбектерінде қарастырылды.
Білім беру жүйесінде әлемдік деңгейге жету үшін жасалынып жатқан
талпыныстар бағытында студенттердің танымдық ізденімпаздығын дамыту
теориясын қалыптастыруда педагог-әдіскер А.Е.Әбілқасымованың [15], [16],
И.Б. Бекбоевтың, Т.С. Садықовтың еңбектерін ерекше атауға болады.
Ә.К. Қағазбаеваның [17], М.Е.Есмұқановтың [18] зерттеулерінде жоғары
педагогикалық оқыту жүйесінде болашақ математика мұғалімдерінің әдістемелік
даярлықтарын жетілдірудің теориялық-технологиялық негіздері қарастырылған.
Оқытудың сапасын көтеру проблемасы [19], ал жұмсақ жүйелердің кейбір
аспектілерінің методологиясын педагогикалық зерттеулерде қолдану
Е.Г.Балыбердина, В.П. Добрица [20] еңбектерінде қарастырылған.
Көптеген психолог ғалымдардың зерттеулері оқыту үрдісінде білімді
қалыптастыру және дамыту проблемаларына арналды. Соның нәтижесінде дәстүрлі
оқыту жүйесін зерттеуші психологтардың, яғни П.Я.Гальперин мен
Н.Ф.Талызинаның Ой амалдарын сатылап қалыптастыру [12, 13, 29],
Е.Н.Кабанова-Меллер, Д.Н.Боявленская, А.А.Менчинская, Л.С.Выгодский,
Л.Б.Ительсонның [30, 31, 32] классикалық теорияларына сүйеніп жүргізді.
Олардың зерттеулерінде әдістемелер балалардың жас ерекшеліктеріне
байланысты білімді қабылдау заңдылықтарына сүйенгенде нәтиже беретіндігі
пайымдалған. Ал білім көзі оқулық. Оқулықта не жазылса, оқырман санасында
қалыптастыратын білімнің көлемі де, біліктіліктің кеңістігі де сол.
Сондықтан да білім беруді жетілдіру бағытында оқулықтар мазмұны мен
құрылымын жетілдіру мәселесінің күн тәртібінен түспейтіні де сондықтан.
Әрбір он-онбес жылдарда оқулықтар өзгеріп отыруы заңдылыққа айналды.
1986-1990 жылдары Педагогика ғылымдарының академиясы мен оқулық иегерлері
бағытты жұмыстар жүргізді. А.Н.Колмогоров [21], А.Н.Тихонов [22],
А.В.Погорелов [23], С.А.Теляковский [24] сияқты академиктермен Л.С.Атанасян
и др., [25] Ю.М.Колягин, М.И.Башмаков [26] тағы да сол сияқты профессорлар,
ғылым докторлары математиканы оқытудың мазмұны мен әдістемесін жетілдіру
туралы ойларын ортаға салды.
Мектептегі математика пәнін жаңа талапқа сай оқытуды жетілдіру
мәселелері оның өзекті бірнеше идеялық желілерінің құрылымы мен оларды
оқыту әдістемелерін жетілдірумен тығыз байланысты. Сондай желілердің бірі
мазмұнды-қолданбалық маңызы бар теңдеулер мен теңсізідктер желісі.
Теңдеулер мен теңсіздіктерге байланысты материалдар мектеп курсы
математикасының мазмұнының қомақты бөлігін құрайды, себебі теңдеулер мен
теңсіздіктер математиканың түрлі салаларында және маңызды қолданбалы
есептерді шығаруда кең қолданыс табады. Сондықтан да оқушыларды теңдеулер
мен теңсіздіктер желісінің қолданбалық, теориялық-математикалық және
математика курсының басқа да мазмұндық желілермен байланысын құру
бағыттарын игерту мәселесі теңдеулер мен теңсіздіктерді шешуге үйрету
материалдарын талдау мен синтездеу деңгейінде саналы игерту мәселесімен
тығыз байланысты.
Математиканы дәстүрлі оқыту жүйесінде теңдеулер мен теңсіздіктерді
оқытудың нәтижелеріне талдау жасау келесідей кемшіліктердің бар екеніне көз
жеткізді:
- Оқушылардың теңдеулер мен теңсіздіктерді шешу әдістерін игеру
барысында олардың қолданыс табуының болашағын болжай
алмайтындығын;
- теңдеу мен теңсіздіктерді шешу әдістерінің біртұтас жүйе
екендігіне көзқарастың қалыптаспайтындығын;
- теңдеулер мен теңсіздіктер шешу әдістерінің математиканың
негізгі желілер мазмұнымен байланысын күшейтетініне көздерінің
жете бермейтіндігін;
- теңдеулер мен теңсіздіктерді шешу әдістерін бағытты игертуге
терең мән берілмейтіндігін т.с.с. Бұл кемшіліктер қазіргі
таңда оқушылардың математикаға деген қызығушылығының
төмендеуінің бірден – бір себебі деп айтуға болады.
Ал математиканың мазмұнын оқушыларға саналы да, сапалы да меңгерту
мәселесі математика мұғалімдерінің математикалық білімдерінің тереңдігіне,
әдістемелік шеберлігіне, шығармашылық қабілеттеріне тікелей байланысты
екендігі ешбір күмән келтірмейді. Болашақ математика мамандарын жоғары
педагогикалық оқу орындарында даярлауда оның математикалық дайындығына
математика пәндерін, ал әдістемелік дайындығына Есептер шығару практикумы
мен Математиканы оқыту теориясы мен әдістемесі пәндерін оқытудың алатын
орны зор. Жоғары оқу орындарында болашақ математика мұғалімдерін
дайындаудағы қазіргі таңдағы кемшіліктердің негізгілерінің бірі аталған
пәндерді оқытуда-болашақ математика мұғалімдерін мектеп математика курсының
негізгі идеялық өзекті желілеріне бағытты дайындау мәселесіне жете көңіл
бөлінбейтіндігі. Сондықтан да мектеп математика курсында теңдеулер мен
теңсіздіктерді оқытуды жетілдіру мен жоғары оқу орындарында болашақ
математика мамандарын бағытты даярлау қажеттілігі Болашақ математика
мамандарын дәрежелік функциялары бар теңдеулер мен теңсіздіктерді шешуге
тереңдете оқыту әдістемесі атты зерттеу тақырыбымыздың өзектілігін
көрсетеді.
Зерттеудің мақсаты: Болашақ математика мамандарын теңдеулер мен
теңсіздіктерді шешуге тереңдете оқыту әдістемесінің бір нұсқасын жасау.
Зерттеу объектісі: Жоғарғы оқу орындарында болашақ математика
мамандарын даярлау үрдісі.
Зерттеу пәні: Болашақ математика мамандарын математиканың жалпыланған
заңдылықтары негізінде дәрежелік функциялары бар теңдеулер мен
теңсіздіктерді шешуге тереңдете оқыту әдістемесін қалыптастыру жолдары.
Зерттеу болжамы: Егер де болашақ математика мамандарын математиканың
жалпыланған заңдылықтары негізінде теңдеулер мен теңсіздіктерді шешуге
тереңдете оқытуды бағытты жүзеге асырсақ, онда студенттер теңдеулер мен
теңсіздіктерді шешудің тиімді әдістерін күрделі есептер шығару барысында
игереді және теңдеулер мен теңсіздіктер желісі материалдарын синтездік
деңгейде меңгеріп, олардың есептер шығарудағы шығармашылық қабілеттері
артады.
Зерттеудің міндеттері. Зерттеудің мақсатына, пәніне және болжамына
сәйкес зерттеу барысында мына міндеттерді шешу керектігі айқындалды:
- теңдеулер мен теңсіздіктерді шешудің тиімді әдістерін дидактикалық-
әдістемелік тұрғыдан негіздеу;
- болашақ математика мамандарын дәрежелік функциялары бар теңдеу мен
теңсіздіктерді шешуге тереңдете оқыту әдістемесін құру;
- болашақ математика мамандарын дәрежелік функциялары бар теңдеу мен
теңсіздіктерді шешуге тереңдете оқыту әдістемесін педагогикалық
тәжірибеден өткізіп, ғылыми болжамның дұрыстығын дәлелдеу.
Зерттеудің теориялық негіздері. Атақты психологтар С.Л. Рубинштейн [47],
Л.С.Выготский [29], В.В.Давыдов [48], Л.В.Занков [49], Д.В.Эльконин [50],
Л.М.Фридман [14], П.А.Шеваровтың [51] ой-өрісті дамытуға бағытталған
теориялық еңбектері, американың әлемге әйгілі математигі және педагогі
Д.Пойаның Математика және шындыққа ұқсас ой қорытулар [53],
Математикалық жаңалықтар [54], Есепті қалай шешу керек [55] деген
кітаптарындағы әдістемелік идеялары, П.М.Эрдниев, Б.П.Эрдниевтердің
Математиканы оқытудағы дидактикалық бірліктерді ірілендіру [56]
кітабындағы әдістемелік қағидалар және М.Е.Есмұқанның Құрылымдық әдіспен
оқушылардың математикалық білімін қалыптастырудың және ойлау қабілетін
дамытудың психологиялық-педагогикалық негіздері [57] атты докторлық
диссертациясындағы әдістемелік идеялар, А.Е.Әбілқасымова [15],
Ә.К.Қағазбаеваның [17] жоғары оқу орындарында болашақ математика
мамандарының өзіндік танымдық қызметтерін қалыптастыру теориясы мен
кәсіптік әдістемелік даярлықтарын жетілдіру идеялары.
Зерттеудің әдіснамалық негіздері - Қазақстан Республикасының
Конституциясы, Білім туралы заңы, математикалық білім беру стандарты,
Қазақстан Республикасының 2015 жылға дейінгі білім беруді дамыту
тұжырымдамасы, белгілі педагогтардың, психологтардың логиктердің және
әдіскерлердің еңбектері.
Зерттеу үш кезеңде жүргізілді.
Бірінші кезеңде (1995-1998) зерттеу мәселесі бойынша психологиялық-
педагогикалық және әдістемелік әдебиеттерге шолу жасалынды. Зерттеудің
теориялық негіздері анықталды. Мектеп мұғалімдерінің тәжірибелерімен танысу
жүзеге асырылып, олардың білім қалыптастыру үрдісіндегі қызметтеріне талдау
жасалып, кемшіліктер айқындалып, ақпараттық технологияны еңгізу қажеттігі
негізделді.
Екінші кезеңде (1998-2000 ж.) эксперимент бағдарламасы жасалды және
теңдеулер мен теңсіздіктерді шешудің тиімді әдістерін дидактикалық
әдістемелік тұрғыдан негіздеу жүзеге асырылды.
Үшінші кезеңде (2000-2005 ж.) болашақ математика мамандарын дәрежелік
функциялары бар теңдеу мен теңсіздіктерді шешуге тереңдете оқыту
әдістемесін құру жүзеге асырылып, құрылған әдістемелік жүйе педагогикалық
тәжірибеден өткізіліп, ғылыми болжамның дұрыстығы дәлелденді.
Зерттеу әдістері. Зерттеу тақырыбына байланысты философиялық,
психологиялық, педагогикалық әдістемелік теорияларға байланысты
әдебиеттерге талдау жасау; зерттеу тақырыбы бағытындағы орындалған
диссертациялық және монографиялық еңбектермен танысу; алдыңғы қатардағы
әдіскерлердің озық тәжірибелерін зерделеу; мектеп оқушыларының, жоғары оқу
орындары студенттерінің теңдеулер мен теңсіздіктер желісі материалдарын
игеру деңгейлерін сараптау; теңдеулер мен теңсіздіктерді шешуді тереңдете
оқыту заңдылықтарын зерттеу негізінде жаңа ұғымдық аппарат жүйесін құру,
соның негізінде тиімді әдістер жүйесін еңгізу.
Зерттеудің ғылыми жаңалығы мен теориялық мәнділігі:
- теңдеулер мен теңсіздіктерді шығару әдістерін жетілдіру жолдары
қарастырылды, яғни;
- жоғарғы ретті теңдеу мен теңсіздіктер құрылымы тұрақты функцияларды
еңгізу арқылы дәрежелері төмен екі теңдеу жүйелеріне жіктеліп оқырманға
белгілі квадрат теңдеулерді шешуге келтіретін әдіс еңгізілді;
- теңдеулер мен теңсіздіктерді шешудің әдістері ретінде кері амалдар
әдісі мен теңдеулер мен теңсіздіктерді сығыстыра оқыту әдістемесі
еңгізіліп, олардың тиімділігі дәлелденді;
- болашақ математика мамандарын дәрежелік функциялары бар теңдеу мен
теңсіздіктерді шешуге тереңдете оқытудың әдістемелік негізі жасалды.
Зерттеудің практикалық құндылығы. Теңдеулер мен теңсіздіктерді шығару
әдістерінің дидактикалық -әдістемелік негіздерін айқындау негізінде болашақ
математика мамандарын дәрежелік функциялары бар теңдеу мен теңсіздіктерді
шешуге тереңдете оқыту әдістемесі жасалынып, ол әдістемелік жүйенің оқыту
үрдісіндегі тиімділігі дәлелденді.
Қорғауға ұсынылатын қағидалар:
- болашақ математика мамандарын дәрежелік функциялары бар теңдеулер мен
теңсіздіктерді шешудің дәстүрлі емес әдістерін және оларды оқу
үрдісінде қолданудың әдістемелік негіздері;
- жоғарғы ретті теңдеулер мен теңсіздіктерді сығыстыра оқыту
әдістемесі;
- болашақ математика мамандарын дәрежелік функциялары бар теңдеулер мен
теңсіздіктерді шешуге тереңдете оқыту жүйесінің әдістемелік
негіздемелері;
- болашақ математика мамандарын дәрежелік функциялары бар теңдеулер мен
теңсіздіктерді дәстүрлі емес әдістермен шешу жолдарын игерту
әдістемесінің тиімділігін көрсететін педагогикалық эксперименттің
нәтижелері.
1 Теңдеулер мен теңсіздіктерді шешу әдістерінің
дидактикалық-әдістемелік негіздері
әдебиеттерді оқу арқылы өздерінің білімдерін толықтырып, түрлі
әдістерді біліп1.1 Қазіргі таңдағы орта мектеп және жоғары мектеп
математикасындағы теңдеулер мен теңсіздіктер желісінің мазмұны мен
атқаратын ролі.
Қазіргі таңда орта мектеп және жоғары мектеп орындарында математиканы
оқытудың мақсаты-оқырмандарға күнделікті өмірде және қазіргі қоғамда
пайдалы еңбек еткенде қажет болатын және де басқа пәндерді оқып меңгеруге,
білімін әрі қарай жалғастыруға толық мүмкіншілік беретін математикалық
білім, іскерлік және дағдылардың негізін берік және саналы түрде меңгеріп
алуын қамтамасыз ету.
Орта мектеп және жоғары мектеп орындарындағы білім беру және тәрбие
жұмыстары жеке тұлғаның дамуына толық бағытталған деп айтуға әлі жеткілікті
негіз жоқ,себебі білім беру тәжірибемізде әлі де дәстүрлі ақпараттық-
түсіндірме тәсілі бойынша білім беруден шыға алмай келеміз. Сондықтан да
қазіргі таңда алда шешуін талап ететін негізгі мәселелер білім алушыларға
жеке тұлға ретінде қарай отырып, олардың шығармашылық мүмкіндіктерін, іс-
қабілеттерін арттыру мақсатында оқу үрдісінің мазмұнының іске асырылу
жолдарының логикасын қайта қарау, әсіресе болашақ математика мамандарының
кәсіби дайындығын қазіргі заман талабына сәйкестендіру.
Орта мектепте теңдеулер мен теңсіздіктерге байланысты материалдар
математиканың негізгі бөлігін құрайды, өйткені теңдеулер мен теңсіздіктер
математиканың әр бөлімдерінде және маңызды қолданбалы есептерді шығаруда
кең қолданыс табады.
Оқушыларды мектеп қабырғасында теңдеулер мен теңсіздіктер желісінің
қолданбалық, теориялық-математикалық желілерімен байланысын құру бағыттарын
игерту мәселесі теңдеулер мен теңсіздіктерді шешуге үйрету материалдарын
талдау мен сапалы игерту мәселесімен тығыз байланыста.
Орта мектептерде теңдеулер мен теңсіздіктерді шешу әдістерін беру
кезінде қойылатын іргелі мақсаттардың қатарында есептерді тиімді шешу
дағдылары мен іскерліктерін дамыту проблемасы жатыр. Мәселенің күрделігі
мен қиындығынан осы уақытқа дейін ол түпкілікті ғылыми-әдістемелік
шешімдерін таба алмай келеді.
Сондықтан орта мектепте теңдеулер мен теңсіздіктерді шешуге тереңдетіп
оқыту әдістемесін құру оқушылардың теориялық білімдерін нақтылаудың, оларды
практикада қолдана алу ептіліктерін қалыптастырудың басты құралы ретінде
қарастырудың маңыздылығы артады.
Математикада теңдеуді де, теңсіздікті де өмірде болған немесе болып
жатқан құбылысты зерттеу құралы ретінде пайдаланады. Теңдеу арқылы
процестің дәл шешімі зерттелсе, ал теңсіздік арқылы белгілі бір аралықтағы
қозғалыс зерттеледі. Теңдеу мен теңсіздікті білім қалыптастырудың
тиімділігі тұрғысынан қарастырғанда, келесі проблемаларды шешу керектігі
шығады:
1. Құрылымы әр түрлі теңдеулердің шешімдерін табу әдістеріне үйреткеннен
кейін теңсіздіктердің шешімдерін табуға үйрету.
2. Теңдеу мен теңсіздіктердің есептемелерін біріктіріп табуға үйрету.
Орта мектепте математиканы оқыту кезеңінде математикалық білімнің
жүйелігі мен күрделігінің деңгейін бағалау үшін оқушылардың теңдеулер мен
теңсіздіктерді шешудегі оқыту әдістерін еркін таңдай білуіне, іс-жүзінде
қарапайым және қолайлы жағдайды математикалық модель түрінде қарастыру
біліктілігіне, күрделі есептерді шешуде математикалық әдістерді қолдана алу
деңгейлеріне сүйену керек.
Математиканы оқытуда теңдеулер мен теңсіздіктерді шығаруды үйрету ғана
емес, ол кез келген проблеманы шеше білуде, қиындықты жеңуде, танымдық және
ойлау қабілеттерді жетілдіруде маңызды роль атқарады.
Орта мектеп бағдарламасында теңдеулер мен теңсіздіктерден бастап,
жоғары дәрежелі теңдеулер мен теңсіздіктерді шешу теориясы мен практикалық
мәселелеріне дейін кең орын берілген. Мысалы, сызықтық теңсіздіктерді шешу,
екінші дәрежелі теңсіздіктер көмегімен квадраттық үшмүшені зерттеу,
теңдеулер жөнінде талдау жасау, жуықтап есептеулер, иррационал сандар
теориясы, сандық қатарлар сияқты мәселелер теңсіздіктер арқылы
түсіндіріледі. Тек математикада ғана емес, әр түрлі жаратылыстану
ғылымдарында зерттелетін табиғаттың үздіксіз процестері, әсіресе
экономикалық, экологиялық және т.б. салалардағы байланыстар теңсіздіктердің
көмегімен шешіледі.
Теңдеулер мен теңсіздіктер теориясы орта мектепте оқушылардың
логикалық ойлау қабілетін дамыта алатындай, өз алдына ғылыми-педагогикалық
маңызы бар негізгі оқу материалы болып есептеледі. Ол оқушыларды айқын
дұрыс ойлауға, шамаларды салыстыра білуге дағдыландырады. Сондықтан есеп
шығару барысында творчестволық қабілеттілік, ізденгіштілік қасиеттерді әр
түрлі тәсілдермен шығарып, ішінен ең қарапайым, тиімдісін таңдап алудың
маңызы зор.
Соңғы кезде орта мектеп математикасында көптеген жақсы бетбұрыстарға
қарамастан теңсіздіктер жөнінде мектеп оқушыларының түсініктері мардымсыз
екнін іс – тәжірибе көрсетіп отыр. Осы олқылықты жою үшін теңсіздіктер
теориясы мен оны үйренудің әдісін жетілдіру қажеттігі туындайды. Теңдеулер
мен теңсіздіктерді шешуді оқушылар күнделікті кездестіретін айналасындағы
фактілермен байланыстыруы қажет.Егер де тарихқа үнілетін болсақ,
практикалық есептерді шығарудың алгебралық әдістерінің бастамасы ежелгі
ғылым әлемімен байланысты. Сол кездің өзінде де теңдеулер мен теңсіздіктер
құруды талап ететін есептер пайда бола бастады. Алғашқыда мұндай есептерді
шығару үшін арифметикалық әдістер қолданылды. Одан әрі алгебралық жағын
қарастыру қалыптаса бастады. Қазіргі уақытқа дейінгі теңдеулер мен
теңсіздіктердің дамуында әр түрлі әдістердің өзгеріп жаңарып отыруы осы
ұғымдардың нақтылануы мен басқа да математиканың бөлімдерімен байланысын
ескеріп отыруды қажет етеді. Бұл үрдісте теңдеу мен теңсіздіктердің
алгебралық ұғымдар жүйесіндегі мәні маңызды роль атқарады. Теңдеуді
алгебраның негізгі ұғымы ретінде қарастыру алгебраның дамуындағы үш
фактімен егізделеді:
а) теңдеулер сөз есептерді шығарудың құралы;
б) теңдеулер алгебрадағы оқу объектісі бола алатын ерекше бір формула;
в) теңдеулер кеңістіктегі (жазықтықтағы) координата нүктелерін немесе
сандарды жанамалай анықтайтын формула.
Сол себептен де теңдеу жалпы математикалық ұғым жағынан көп аспектілі
болып келеді.
Теңдеудің маңыздылығы мен кең көлемділігіне қарап оны оқып үйрену
қазіргі математикалық әдісте мазмұнды-әдістемелік негізде теңдеулер мен
теңсіздіктердің желісінің тұтастығымен қамтамасыз етіледі.
Бұл жерде мектептегі математика курсындағы теңдеулер мен
теңсіздіктерді оқып үйрену, олардың араларындағы байланыс, оларды тиімді
шешудегі жалпы және жеке әдістер теңдеулер мен теңсіздіктер желісінің
қалыптасуын нақтылау тұрғысынан қарастырылып отыр. Теңдеулер мен
теңсіздіктер сонымен қатар функционалдық бағыттармен тығыз байланысты.
Осындай байланыстардың ең негізгісі ол функцияларды зерттеуге теңдеулер
құрастыру әдістерін қолдану. Бір жағынан функционалдық бағыт теңдеулер мен
теңсіздіктер желісінің мазмұнына және оларды үйрену түріне де бір шама
ықпал етеді. Негізінде функционалдық бағыт теңдеулер мен теңсіздіктерді
зерттеу мен шешуде графиктік көрнекілікті қолдануды қажет етеді. Ал
адамдардың күнделікті өмірінде теңдіктерден гөрі теңсіздіктер өте қажет
болатыны да белгілі.
Теңдіктер теңсіздіктерден логикалық байланыста болады, Теңсіздік пен
теңдік байланыстарын қарастыру үшін екі шама айырмасын дәл бағалау керек.
Оқушыларды теңсіздіктің күшін сақтау жағдайларын пайымдауға,
теңсіздіктің мағынасы жойылмайтындай белгісіздердің мүмкін мәндерін айыруға
дағдыландыру керек. Мысалы, алгебралық теңсіздігінде
белгісіздің мәндері 1 мен 2–ден басқа сандар болуы керек. Бұл мәндерде
бөлшектердің мағынасы жоқ болады. Сонымен теңсіздікті дәлелдегенде және
шешкенде әріптер мен белгісіз шамалардың мүмкін мәндерін үнемі есепке алып
отыру қажеттігі туындайды. Таңбасы белгісіздің мүмкін мәндерінің бәрінде де
сақталатындай теңсіздік шартсыз теңсіздік деп аталады.
Мысалы, ; , бұл арада айнымалысының орнына оның мүмкін
мәндерінің қайсысын қойса да теңсіздіктің мағынасы өзгермейді. Таңбасы
белгісіздің мүмкін мәндерінің кейбіреуінде ғана сақталатындай теңсіздікті
шартты немесе белгісізі бар теңсіздік деп атайды. Мысалы, , мұнда
болса ғана теңсіздіктің оң бөлігінен сол бөлігі үлкен.
Барлық теңсіздіктердің қасиеттерін сандық теңсіздіктер арқылы
көрсетуге болады. Енді сол теңсіздіктердің негізгі екі қасиетіне тоқталып
өтейік.
1. теңсіздігінен теңсіздігі шығады. Демек, теңсіздіктердің
бөліктерін ауыстырғанда теңсіздік таңбасы да ауысады. Бұл қорытынды тікелей
теңсіздіктердің анықтамасынан шығады.
2. және теңсіздіктерінен теңсіздігі шығады.
Берілген шарт бойынша және .Сондықтан және . Екі
теріс санның қосындысы да теріс сан болатындықтан, жақшаларын ашсақ,
сонда . Бұл қасиет есептерді шешкенде, теоремаларды дәлелдегенде
теңсіздікті күшейту үшін қолданылады.
Алгебрадағы теңсіздіктерді дәлелдеу геометриядағы сияқты оқушылардың
логикалық ойлау қабілетін дамытуға, теориялық материалды терең меңгеруге,
берік практикалық дағдыны қалыптастыруға көмектеседі. Ал соңғы кезде орта
мектептегі математиканың бағдарламасында теңсіздіктерді дәлелдеуге дұрыс
көңіл бөлінбей келеді.
Мектеп оқулықтарында бұл мәселеге арнап есептер құрастырылмаған.
Сондықтан біз теңсіздіктерді дәлелдеуге көбірек тоқталуымыз керек.
8-9 сыныптарда оқушылар теңсізідктерді дәлелдеудің бірнеше нұсқасымен
танысады. Енді теңсіздіктердің қасиеттеріне сүйеніп жай теңсізідктерді
дәлелдеудің кейбір әдістерін қарастырайық.
а) Теңсіздік ұғымының анықтамасын пайдалану.
1 мысал. теңсіздігін дәлелдейік.
Теңсіздік мүшелерінің айырмасын қарастырайық:
Нақты сандардың квадраттарының қосындысы оң санға немесе нольге тең.
Ендеше әуелгі теңсіздік дұрыс болғаны.
б) Белгілі теңсіздіктердің көмегімен дәлелдеу.
2 мысал. теңсіздігін, яғни сандарының квадраттарының
қосындысы, сол сандардың екі еселенген көбейтіндісінен кем еместігін
дәлелдеу керек. Ол үшін белгілі теңсіздігін пайдалансақ,
немесе шығады. Осы теңсіздіктің салдары ретінде шығатын
теңсіздігін көптеген басқа теңсіздіктерді дәлелдеуге қолданамыз.
3 мысал. - оң сандар болғанда теңсіздігін дәлелдейік.
Теңсіздіктің сол жағын түрлендірсек:
Бұрыннан белгілі теңсіздіктердің қасиеттеріне сүйеніп көптеген
теңсіздіктер дәлелденіледі.
Оқыту үрдісінде теңсізідктерді шешкенде теңсіздік қасиеттерін қолдана
білу дағдыларын барынша дамыту аса маңызды роль атқарады. Бұл болашақта
мамандығы математикамен байланыста болатын студенттер үшін қажет. Себебі
теңсіздіктердің қасиеттеріне сүйеніп теңсіздіктерді дәлелдеу әдістерін
игере алу дағдысы жоғары математика курсын жақсы меңгеру үшін ерекше
маңызды рол атқарады.
Жоғары мектепте теңдеулер мен теңсіздіктерді шешудің дәстүрлі емес
әдістерін іске асыру нәтижесінде жұмыстың негізгі мазмұнын жете түсінуге,
тақырыпты оқытудың технологиясын игеруге мүмкіндіктер жасалынады.
Қазіргі замаңдағы техника мен технологияның шапшан дамуы болашақ
математика мамандарынан жаңа технология мен идеяларды тез меңгеруді талап
етеді. Сондықтан жоғары білікті мамандарды дайындау жалпы және арнайы білім
деңгейіне, олардың дұрыс үйлесуіне байланысты болады.
Жоғары оқу орындарда, бірінші кезекте, студенттердің кәсіби дайындық
сапасына ықпал ететін олардың жалпы білімдік, оның ішінде математикалық
дайындығын арттыру мәселесі өте маңызды болып отыр. Сондықтан да дәрежелік
функциялары бар теңдеулер мен теңсіздіктерді шешудің әдіс-тәсілдерін
студенттерге үйрету, болашақ математика мұғалімдерінің біліктілігі үшін өте
маңызды роль атқарады.
Жоғары мектептерде математика курсын оқыту екі мәселені шешуге
бағытталған:
1) студенттердің математикалық дайындығын жалпы білім беру деңгейімен
қамтамасыз етудің тиімді жүзеге асырылуы;
2) арнайы дайындықты математикалық білім жүйесімен қамтамасыз ету, яғни
алынған білімді кәсіби қызметінде пайдалануға қажетті математикалық
білім мен білікті қалыптастыру.
Математикалық білім берудің осы екі аспектісі пәннің мазмұнында,
қалыптасатын білік пен дағдыда, жаттығулар сипаттамасында, тақырып пен
сұрақтарда және басқа әдістемелік мәселелерді баяндау ретінде толық
бейнесін табу керек. Осы мәселелерді шешу дәрежелік функциялары бар
теңдеулер мен теңсіздктерді шешу үрдісінде де іске асырылуы тиіс.
Жоғары мектепте өтетін тақырыптық дәрістер мен практикалық тәжірибелер
қазіргі заман талабына сәйкестірілгенде білікті, жан-жақты дамыған мамандар
даярланатына көз жеткізуге болады.
Сондықтан жоғары мектептерде білім беруді дамыту проблемасын
қарастырғанда, базалық математикалық білім беру туралы сұраққа, яғни
математика маманының математикалық дайындығы қандай болуына жауап іздемей
оны айналып өту мүмкін емес.
Жоғары мектептердегі теңдеулер мен теңсіздіктерді шешуде жаңа
әдістемелерді еңгізудегі білім беру жүйесінің сапасы студенттердің маман
моделіне қаншалықты сәйкес келетіндігімен, болашақ математика мамандығын
қандай деңгейде меңгергендігімен анықталады.
Жоғары оқу орындары студенттерінің басым көпшілігі білім негізін
игергенмен шығармашылық іс-әрекет етуге дайын еместігіне, олардың алған
білімдерін жоғары дәрежеде мұғалімдік міндеттерді шешуге қолдана
алмайтындығы. Осыдан болашақ мамандардың математикалық дайындығының жоғарғы
мектептерде әлі де болса дұрыс жолға қойылмағандығымен түсіндіруге болады.
Сондықтан жоғары оқу орындары студенттерінің математикалық дайындығына
ықпал жасайтын жоғары математика курсында практикалық сабақтарды өткізудің
әдістемесін жетілдіру, яғни теңдеулер мен теңсіздіктерді шешуде оқыту
мазмұнының қолданбалық бағытын күшейту. Нысанды тапсырмалар жүйесін оқыту
тәжірибесіне еңгізу, жоғары мектепте студенттердің математикалық
дайындығының артуына ықпал жасайды. Болашақ математика мамандары жоғары
мектеп қабырғасынан жан-жақты және іргелі білім жүйесін алуы қажет. Білім
жүйесінің іргелілігі-теңдеулер мен теңсізідктерді шешуде студенттердің
талаптарын қанағаттандыратын бірден-бір сара жол.
Студенттердің жоғары теориялық және практикалық дайындықтарының бір-
біріне сәйкес келуі жоғары мектеп өмірі үшін негізгі міндеттердің бірі.
Студенттер математиканы оқыту практикасында оқытылатын материалды
меңгерумен қатар қосымша, оларды өздігінен қолдануға дағдылану арқылы
математикадан алған білімдерін толық меңгереді. Сондықтан тақырыптарды
игеру барысында творчестволық қабілеттілік, ізденгіштік қасиеттерді дамытып
өрістетуге берілген тақырыпты әр түрлі тәсілмен түсіндіріп, ішінен ең
қарапайым, тиімдісін таңдап алудың маңызы зор.
Жоғары оқу орындарындағы даму тенденцияларын анықтап, оқытудың
қоғамдағы әлеуметтік-экономикалық ахуалға сәйкес моделін қарастыруға
болады.
Математикалық білім беруді дамытудың стратегиялық бағытын және алдын-
ала болжаудың біртұтас кешендік мәселелері айқындалып, оның қазіргі
кезеңдегі болашақ математика маманның математикалық мәдениетінің бір
элементі ретіндегі орны мен мақсаттарын анықтау проблемаларын шешу қажет,
яғни студенттердің меңгеру деңгейіне қажетті және тиімді мазмұн көлемін
анықтайтын, қазіргі талапқа сәйкес математикалық білім негізін жете зерттеу
мәселесі өзекті мәселенің бірі болып отыр. Сонымен жаңа технология бойынша
жоғары мектептерде теңдеулер мен теңсіздіктерді шешудің әдістемесін
жетілдіру, оқыту мазмұнының қолданбалық бағытын күшейту, алған білімдерін
практикада қолдануға талпындыра отырып, оқыту процесінің әдіс-тәсілдерін
қолданудың тиімді жолдарын кешенді түрде игерулеріне мүмкіндік береді.
Жоғары мектепте теңдеулерді, теңсіздіктерді әр түрлі жүйелік кластарды
оқып білу барысында жалпы және универсалды шешімдер мен зерттеу
тәсілдерінің ролі айқындала түсуде. Ондай тәсілдерді үш топқа бөлуге
болады.
Бірінші топқа логикалық әдіс арқылы шешімге келу болып табылады. Бұл
әдістер арқылы алғашқы теңдеуден, теңсіздіктен және жүйеден жаңа тәсілге
ауысады. Ондай ауысулар белгілі кластарға қатысты тапсырмалар орындалғанша
жүргізіледі.
Екінші топ есептеуіш тәсілдерден тұрады, бұлардың көмегімен теңдеу
немесе теңсіздіктің бір бөлігін жеңілдету арқылы жүргізіледі, сонымен қатар
белгісіздің орнына түрлі аралық есептеулерді қою арқылы табылған түбірлерді
тексеру арқылы өтеді. Есептеуіш тәсілдердің ролі теңдеудің түбіріне жақын
мәнді табудағы тапсырманы орындағанда байқалады. Сандық есептеулерді
жүргізу мүмкіндіктері есептегіш құралдарды пайдалану барысында үдей түседі.
Үшінші топқа көрнекі-графикалық тәсіл жатады. Осы тәсілдердің көбін
координаталық түзу немесе координаталық жазықтықтың негізінде пайдаланады.
Координаттық түзуді пайдалану кейбір теңсіздіктер мен бір белгісізі
бар теңсіздік жүйесін және теңдеулер мен модульді теңсіздіктерді шешуге
мүмкіндік береді. Мысалы, бір белгісізі бар сызықтық теңсіздіктерді шешуде
алдымен координаталық түзуге теңсіздіктің көптеген шешімдері жүргізіледі,
одан барып олардың жалпы бөлігі белгіленеді. Теңдеулер мен модульді
теңсіздіктерді шешу сандардың түрлілік модульдеріне геометриялық түсінік
берумен байланысты. Мысалы, теңдеудің шешімі координаталық түзуге
координаталық нүктесінен нүктесіне дейін қашықтаған нүктені
табуға әкеледі.
Координаталық жазықтықты пайдалану графиктік әдістерді теңдеулер мен
бір және екі белгісізі бар теңсіздіктерді зерттеу мен шешуде пайдалануға
мүмкіндік туғызады. Жоғары мектептегі математика курсында графиктік әдісті
пайдаланудың ең көрнектісі-бір белгісізі бар екі сызықтық теңдеулер
жүйесін көрсетудің графиктік әдісін пайдалану болып табылады. Бұл әдіс
негізінен теңдеулер мен теңсіздіктерді зерттеу үшін пайдаланады. Дайындық
кезеңі ретінде екі белгісізі бар сызықтық теңдеулердің графигін қарастыру
керек.
Графиктік әдістер аналитикалық жазулар қолайсыз болған жағдайда
зерттеу қорытындыларын көрсету үшін қолданылады.
Мысал ретінде теңсіздігіне көрсетілген көптеген шешімдер
келтірілген схемасы алуға болады. Студенттер жаттығу барысында мұндай
схеманы пайдалануға үйреніп, одан оны елестетіп пайдалануға үйренеді.
Кейде графиктік әдіс түбірлердің сандық мәні немесе шешім
компоненттерін анықтауда қолданылады. Мысалы, бір белгісізі бар теңдеудің
шешімінің графиктік әдісі , және функцияларының графигі
қиылысу нүктелерінің абсциссасын табудан тұрады.
Мұнда теңдеулер жүйесін шешу үшін графиктік әдіс қолданылады.
Тақ дәрежелі теңдеулер әр түрлі графикте кескінделуі мүмкін екендігін айта
кеткен жөн.
Теңдеулер мен теңсіздіктерді шешудегі графиктік әдістерді қолдану
студенттердің ойлау қабілетін дамытып теория мен практикадан меңгерген
білім мен іскерлігін оқу-әдістемелік жұмыстарда пайдалана алуын қамтамасыз
етеді.
Қорыта айтқанда, координаталық жазықтықты пайдаланатын графиктік
әдістер теңдеулермен бір және екі белгісізі бар теңсіздіктерді және олардың
жүйелерін шешуде маңызды роль атқарады. Бұл әдістің екі белгісізі бар
теңсіздіктерге қолданыстағы ролі өзгеше, мұнда бұл әдіс тек көріністің
жауабын көрсету үшін қолданылады. Айтылған графиктік тәсілдер координаттық
әдістердің негізгі құрамдас бөлігі болып табылады. Координаттық әдістердің
әріқарай игерілуі геометриялық фигуралардың теңдеулер мен теңсіздіктер
арқылы берілуін зерттеу арқылы жүзеге асырылады.
Студенттердің математикалық дайындығындағы басты мақсат-олардың тек
математикалық білімдер жиынтығын игеруі ғана емес, сонымен қатар ол білімді
практикада туындайтын әртүрлі теңдеулер мен теңсіздіктер құру арқылы
шығарылатын есептерді шеше білуді игеру болып табылады. Күрделі есептерді
шығарғанда студенттердің ойлау әрекеті түрлі ғылыми әдістерді қолданудан
тұрады. Олар бірлікте, белгілі бір өзара байланыста болады және есеп шығару
процесінде біртұтас аналитикалық – синтетикалық іс-әрекет түрінде бой
көрсетеді.
1.2 Теңдеулер мен теңсіздіктерді оқытудағы көрнекілік
пен әртүрлі типтік кластар ұғымдары
Бүгінгі таңда білім ақпараттандырудың болашағы қоғамдағы ғылыми
–техникалық прогрестің қарқынды даму үрдісімен, білімнің ғылыми
интеграцияға ұмтылуымен, қоғамда жинақталып және үнемі өсіп отыратын
ақпарат көлемінің әртүрлігімен анықталады.
Жоғары мектепте білім беруді ақпараттандыру әлеуметтік, экономикалық,
теориялық, практикалық сипаттағы түйінді мәселелерді шешуге жол ашуда. Міне
сондықтан, ғылыми техникалық прогресс жағдайында студенттерден жоғары
білікті мамандар даярлау үшін жаңаша оқыту әдістерін енгізу талабы алға
қойылуда.
Бұл мәселелерді шешудің бірден - бір жолы оқу үрдесінде көрнекіліктің
ролін күшейту.
Жоғары мектептерде көрнекілікті енгізу процесі оқыту теориясы мен
практикасы алдында ғылыми қажетті мәселелерді қойып отыр. Осыған орай
көптеген әдіскерлер көрнекілікті білім беру жүйесінде сапалы әрі тиімді
қолдану мақсатындақолдануда.
Оқытылатын бағдарламалар көрнекілікті күшейтуге мүмкіндік туғызып,
оның жүйелі түрде әрі қозғалыс үстінде көрсетуге лайықталып жасалса, онда
игеретін ақпараттың мазмұны тереңдеп, мәнділігі арта түседі. Қазіргі
заманғы дидактикада көрнекілік принципі мен нақты ұғымдармен олардың
кескіндерінің статистикалық тірегі ретінде ғана емес, сонымен бірге оны
дидактикалық моделі ретінде де түсіндіріледі. Сонымен жаңа ақпараттық
технологияға, көрнекілікке негізделген жаңа білімді бейнелеу арқылы үйрету
мүмкіндігі оқытудың дидактикасы мен әдістемесінде, соның ішінде әсіресе
математиканы оқыту әдістемесінде жаңа тиімді бағыттарға жол ашады. Оқу
үрдесінде теңдеулер мен теңсіздіктерді оқытудағы көрнекілік арқылы оқытудың
ғылымилығы, жүйелілігі, белсенділігі сияқты ұстанымдары жүзеге асырылады.
Сондай-ақ оқу әрекетінің әдіснамасы ғылыми – зерттеу жұмыстарының
әдіснамасымен ұштастырылады.
Материалдарды жалаң сөзбен баяндағанда оқырмандарда зерттеліп отырған
ұғым туралы дұрыс та айқын түсінік қалыптаса бермейді, өйткені олар әлгі
ұғымды уақыт ағымындағы қозғалыста бақылай алмайды.
Теңдеулер мен теңсіздіктерді оқытудағы көрнекілік жоқ жерде құрғақ
әңгіме санаға ауырлық түсіріп, белсенді ойлау әрекетін тудырмайды. Ал
көзбен көрген бейнелер білім алушыға ұғымның заңдылығын өз бетінше
зерделеуге, оның заңдылықтарын ашуға негіз бола алады. Жоғары мектептің
математика курсында қарастырылатын теңдеулер мен теңсіздіктерді оқытудағы
көрнекілік әзірте біртұтас жүйе ретінде қалыптаспаған, дәлірек айтсақ олар
әлі жекелеген әдістемелік материалдардың бір-біріне байланыспаған жиынтығы
күйінде қалып отыр.
Теңдеулер мен теңсіздіктерді оқытудағы көрнекіліктің мәні оқытудың
әрбір сатысында, білім игеру логикасының жемісін басшылыққа ала отырып, сол
білімдерінің айрықша фактілері мен студенттердің байқауларының немесе
аксиомалардың ғылыми ұғымдар мен теориялардың алғашқы бастамаларын тауып,
жекеден жалпылыққа, нақтылықтан абстрактілікке және керісінше жалпылықтан
жекелікке, абстарктіліктен нақтылыққа көшу заңдылықтарын анықтау болып
табылады.
Көрнекіліктің әр түрінің өзіне тән атқаратын функциялары бар.
Сондықтан оқу үрдесінде теңдеулер мен теңсіздіктерді оқытудағы көрнекілікті
пайдаланғанда бір қатар әдістемелік талаптарды орындаған жөн, яғни
көрнекілік сабақтың мақсатына сай келуі және көрнекілікті пайдаланғанда
студенттердің оларды дұрыс қабылдануын қамтамасыз ету маңызды.
Теңдеулер мен теңсіздіктерді оқыту кезінде оқытушының өзінің баяндауы
мен көрнекілікті үйлестіруі елеулі роль атқарады. Бұл жағдайда оқытушы
студенттердің іс-әрекетін, байқағыштығын бақылай отырып керегінше мағлұмат
алуына жетекшілік етеді.
Оқытудың көрнекілік әдістерін пайдаланғанда мына талаптарды орындау
қажет:
- көрнекілік әдісті қажетіне қарай пайдалануы тиіс және оны бірте –
бірте тек сабақтың тиісті сәтінде көрсету керек;
- көрсетілетін көрнекілік материалдарының мазмұнына сәйкес болуы
қажет.
Математиканы оқу үрдесінде қашан да студенттердің көрнекі бейнелік
ойлауын дамытуға, кеңістікті елестетуіне зор көңіл бөлінеді. Логикалық
ойлауды дамыту: түрлі ұғымдардың әр түрлі қасиеттерін және олардың елеулі
және елеусіз белгілерін айқындап, әрі қарсы қойып салыстыру әдістерін талап
етеді.
Студенттерге білім беруде көрнекілік ерекше көңіл бөлуді талап етеді.
Оқу материалдарын игеру дәрежесін көтерудің ең үлкен мүмкіндігі ол сабақ
беруде көрнекілік әдістерінің жаңа жолдарын, тәсілдерін енгізуге
байланысты. Жоғары оқыту орнында сабақты өткізу барысында кеңістік
модельдерін пайдалану оқытушының жұмысын едәуір жеңілдетеді және
материалдарды баяндауға қажетті уақытты қысқартады. Сондай-ақ теңдеулер мен
теңсіздіктерді оқытудағы көрнекілік студенттердің сабаққа ынтасын
арттырып, тақырыпты игеру сапасын да жақсартады.
Теңдеулер мен теңсіздіктерді оқытудың тиімділігін арттыру жолдарының
бірі - графиктерді пайдалану болып табылады.
Графикті көрнекі құрал ретінде пайдаланудың мақсаты – материалдардың
ішкі логикалық мағынасын түсіндіру, есеп шығарушының ойын бағыттайтын,
тиісті қорытынды жасауға негіз болатын математиканың тілін қалыптастыру.
Студенттердің оқудағы белсенділігіне оқытудың көрнекілігін анағұрлым
күшейте отырып қол жеткізуге болады. Графиктердің көмегімен демонстрациялық
тәжірибелерді көрнекі түрде көрсете отырып, оқытушы студенттерінің назарын
өтіп отырған тақырыпты терең түсінуге аударады. Демек студенттердің
назарының тұрақтылығы теңдеулер мен теңсіздіктерді оқытудың көрнекілігін
тиімді етумен тікелей байланысты. Оқылып отырған тақырыпқа студенттердің
зейінінің жоғарлауы немесе төмендеуіне қарай, графиктердің тиімділігі
туралы қорытынды жасай аламыз. Сөйтіп математика сабақтырында теңдеулер мен
теңсіздіктерді және оларды шешу жолдарын график арқылы көрсете білу
оқырмандардың танымдық қызығушылығын арттыруға септігін тигізеді және оқу
материалдарын түсініп қабылдауға, білімін тереңдетуге әсер етеді деген
қорытынды жасауға мүмкіндік береді. Осы тұрғыдан оқытудың көрнекілігін
пайдалану ең алдымен оқытушының сабақты тиімді және нәтижелі
ұйымдастыруына көмектессе, екіншіден студенттердің дербестігін, оқу
әрекеттерін, біліктілік, іскерлік дағдыларын дамытады, білім алу барысында
әртүрлі әдіс – тәсілдерді қолдануға төселеді, алған білімдерін күнделікті
өмірмен байланыстырады.
Болашақ математика мамандарына математикалық білімді жедел қабылдау
мен меңгеру әр алуан көрнекіліктерді тиімді пайдалану арқылы да іске
асырылады. Көрнекілік кеңістік жөніндегі түсініктері мен қабілеттерін
дамытуға көмектеседі, сонымен бірге көрнекілік студенттердің кейбір
тәжірибелік іскерліктерін шыңдауға ықпал етеді. Мәселен, математика
курсында шамалардың арасындағы тәуелдіктерді графиктік түрде кескіндеу
арқылы студенттердің тәуелділікті түсінуін жеңілдетеміз. Математиканы оқыту
мақсаттарының бірі - студенттерге саналы, жүйелі және баянды, білім беру.
Ал білім нәрселер мен құбылыстардың елеулі белгілері мен олардың
байланыстары туралы ғылым тағайындайтын ұғымдардан құрылады.
Математиканы оқып-үйрену процесі негізінен ұғымдарды игеру,
теоремаларды дәлелдей білуге және есептер шығаруға үйретуден тұрады.
Оқырмандардың жалпы білім дәрежесінің сапасы ғылыми ұғымдардың қалай
қалаптасқандығына байланысты.
Математикада әртүрлі типтік кластар ұғымдарын тиянақты меңгермейінше
ғылыми заңдар мен теорияларды саналы түрде білуі мүмкін емес. Әртүрлі
типтік кластар ұғымын меңгеру – математикалық объектілердің белгілері мен
қасиеттерін, олардың арасындағы мәнді байланыстар мен арақатынастарын білу
және оларды қолдана алу деп түсініледі. Сонымен бірге ұғымның өзі ойлау
формаларының бірі, әрі таным құралы да болып табылады. Сондықтан студенттік
білім – танымының бастауы да, ол білімдерді қолдану аясының кеңдігімен
ауқымдылығы да алғашқы мәліметтердің қалай түсіндіріліп, игерілгендігіне
тәуелді. Әр түрлі типтік кластар ұғымдарын меңгеру студенттердің белсенді
ой қызметімен, анализ және синтез, салыстыру, нақтылау тағы басқа сияқты
ойлау операцияларын орындаумен байланысты жүзеге асырылады. Сондықтан
математика сабағында әртүрлі типтік кластар ұғымдарын меңгеруге бағытталған
жұмыстар студенттердің логикалық ойлауын дамыту үшін де маңызды. Әр түрлі
типтік кластар ұғымдарымен жұмыс жүргізгенде қолданылатын логикалық
амалдардың бірі – ұғымдарды анықтау болып табылады. Ұғымның анықтамасы деп,
ұғымның қажетті және жеткілікті белгі шарттары айтылатын сөздік немесе
символдық сөйлемді айтады. Оқыту процесінде студенттердің математикалық
ұғымдардың анықтамаларын дұрыс және дәл тұжырымдауға баулуға ерекше назар
аударылады.
Математикалық ұғымдарға дәл анықтама беруге үйрету арқылы
студенттердің математикалық білімдерді саналы игеруі қамтамасыз етіледі,
олардың логикалық ойлауы жетілдіріле түседі.
Жоғары оқу орындарында студенттерге әр түрлі типтік кластар ұғымдары
жүйесін қалыптастыру білім берудің маңызды құрамдас бөліктерінің бірі болып
саналады. Әртүрлі типтік кластар ұғымдары мәнін мейлінше түсініп, зерделей
білмейінше заңдар мен заңдылықтарды, теориялар мен тұжырымдарды нақтылы
түсіну, меңгеру мүмкін емес. Ұғымдарды меңгеру студенттердің белсенді іс-
әрекеті негізінде жалпыдан жекені ажырата білу, салыстыру, жекені
жалпыландыру сияқты ой қызметтерін іске асырумен тығыз байланысты. Демек,
ұғымдардың байланыстылығын қалыптастырудың білім алушының ойлау
қабілеттерін дамытудағы маңыздылығы ерекше. Ұғым арқылы адам ойлайды. Ой
болмысты бейнелейді. Ойлау арқылы адам болмысты танып біледі. Ұғымдарды әр
түрлі типтік кластарға бөлу ұғым көлемін ашатын логикалық әрекет ретінде
қарастырылады. Ұғымдарды әр түрлі типтік ұғымдарға бөлу дегеніміз
бөлінетін ұғымға бағыныңқы барлық түрлік ұғымдарды көрсету деген сөз.
Теңдеу ұғымы сызықтық теңдеулер, квадрат теңдеулер, алгебралық
теңдеулер т.с.с. ұғымдарына бөлінеді. Ұғымдарды әр түрлі өзгерістегі
белгілер бойынша классификациялауға болады.
Мысалы, алгебрада теңдеулерді дәреже көрсеткішіне байланысты бірінші
дәрежелі, екінші дәрежелі, үшінші дәрежелі тағы сол сияқты кластарға
бөледі. Квадрат теңдеулердің х-тің коэффиценті және бос мүшенің нөлге тең
болуы, болмауына қарай толық квадрат теңдеу және толымсыз квадрат теңдеу
болып бөлінеді.
Егер теңдеулерді белгісіздердің санына байланысты бөлетін болсақ,
оларды бір белгісіз бар, екі белгісіз бар, үш белгісізі бар теңдеулер деп
топтастырады.
Түрлі кластарға бөлу, бір мезгілде ұғымның бірнеше белгісі бойынша да
жүргізілуі мүмкін. Мысалы, екі белгісізі бар бірінші дәрежелі теңдеу, екі
белгісізі бар екінші дәрежелі теңдеу т.б.
Теңсіздік ұғымы жай санды теңсіздіктер, алгебралық теңсіздік,
классикалық теңсіздіктер болып бөлінеді. Теңсіздік ұғымы дәлелденгенде және
шешкенде әріптер мен белгісіз шаманың мүмкін мәндерінің бәрінде
сақталатындай теңсіздік шартсыз деп аталады.
Таңбасы белгісіздің мүмкін мәндерінің кейбіреуінде ғана сақталатындай
теңсіздікті шартты немесе белгісізі бар теңсіздік деп атайды. Сөйтіп
теңсіздік мағынасына байланысты теңсіздік ұғымы шартты және шартсыз болып
бөлінеді.
Теңдеу ұғымы негізгі жалпы математикалық ұғымдарға жатады, сондықтан
мектеп математика курсын меңгеруге кіріскен студенттерге түсінікті және
формальді көзқарастан қатал түрдегі анықтаманы ұсыну қиын.
Теңдеудің логикалық - математикалық анықтамасын мынадай түрде
келтіруге болады. Айталық М - жиында алгебралық жиын белгіленген, х – М -
дегі айнымалы, онда х-ке қатысты М жиындағы теңдеу деп а (х) = в (х)
түріндегі предикат аталады, мұндағы а (х), в (х) жазылуына х белгісі енетін
берілген операцияларға қатысты термалар, екі және одан көп айнымалысы бар
теңдеулерде осылай анықталады.
Логикада қабылданған Терм және предикат терминдеріне математиканың
өрнек айнымалысы бар сөйлем терминдері сәйкес келеді. Сондықтан
келтірілген анықтамаға келесі анықтама жақын: Айнымалысы бар екі өрнектің
арасындағы теңдік түрінде берілген айнымалысы бар сөйлем теңдеу деп
аталады.
Теңдеудің математикалық анықтамасын талдап, одан екі компонентті
бөлуге болады. Біріншісі – теңдеу дегеніміз ерекше текті предикат. Екіншісі
қандай текті екенін анықтайды: бұл екі терминді байланыстыратын теңдік,
сонымен қатар бұл терминдердің де белгілі арнайы түрі бар.
Теңдеулер мен теңсіздіктер жемісін оқытуда компоненттің екеуі де үлкен
роль атқарады. Біріншісі мағыналық компонент, теңдеулер түбірі ұғымын
түсіну үшін маңызды. Сонымен қатар мағыналық компонент көбінесе
теңдеулердің түрлендіруінің дұрыстығын негіздеу үшін қолданылады. Екінші
компонент теңдеуді бейнелейтін жазылудың формальді ерекшеліктеріне қатысты.
Бұл компонентті белгілік (знаковый) деп атаймыз. Ол теңдеудің жазылуы әр
түрлі түрлендіруге ұшырағанда маңызды, көбінесе осындай түрлендірулер
механикалық түрде жасалынады.
Жоғары мектептің оқыту процесінде айнымалысы бар сөйлемді ескеріп,
теңдеу ұғымын қолдану мүмкіндігі, математика курсының міндетті
тақырыптарында ақиқат, жалған терминдердің және осы терминнің бар
болуына тәуелді. Осы жағдайда теңдеу ұғымының мағыналық компоненті
теңдеудің түбір ұғымымен тығыз байланысты. Сонда екі термині бар жүйе
шығады: теңдеу терминінде белгілік компонент қасиеттері бар, ал
теңдеулердің түбірі термині мағыналық компонентті ескертеді. Мысалы,
мынадай анықтама берілген: Айнымалысы бар теңдікті де теңдеу деп атаймыз.
Айнымалысы бар теңдік дұрыс сандық теңдікке айналатын айнымалының мәні
теңдеулердің түбірі деп аталады.
Теңдеулер ұғымын қарастыруда теңдеуді шешу терминін қолдануды қажет
етеді. Сонымен теңдеулер ұғымын меңгеру үшін теңдеу, теңдеулердің түбірі,
теңдеулерді шешу деген нені білдіреді деген терминдерді қолдану қажет.
Теңдеулер ұғымының анықтамасында айнымалы мен белгісіз терминдерінің
бірі қолданады. Бұлардың айырмашылығы мынадай: айнымалысы ешқайсын арнайы
ерекшелемей біршама бір сынның әріптік белгілеуі болып табылады. Бұлардың
бірін алып, теңдеулер мен теңсіздіктер желісінің мазмұнын ашу елеулі
ерекшеліктерге әкеледі. Мәселен, айнымалы терминімен әріптің орнына
санды қою амалы байланысты, сондықтан а (х) = в (х) теңдеуіндегі х-тің
орнына нақты сандарды қойып, олардың ішінен түбірлерін табуға болады.
Белгісіз термині белгіленген санды білдіреді, сондықтан белгісізді
анықтайтын әріптің орнына сан қою орынды болмас ... жалғасы
Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.
Ұқсас жұмыстар
Пәндер
- Іс жүргізу
- Автоматтандыру, Техника
- Алғашқы әскери дайындық
- Астрономия
- Ауыл шаруашылығы
- Банк ісі
- Бизнесті бағалау
- Биология
- Бухгалтерлік іс
- Валеология
- Ветеринария
- География
- Геология, Геофизика, Геодезия
- Дін
- Ет, сүт, шарап өнімдері
- Жалпы тарих
- Жер кадастрі, Жылжымайтын мүлік
- Журналистика
- Информатика
- Кеден ісі
- Маркетинг
- Математика, Геометрия
- Медицина
- Мемлекеттік басқару
- Менеджмент
- Мұнай, Газ
- Мұрағат ісі
- Мәдениеттану
- ОБЖ (Основы безопасности жизнедеятельности)
- Педагогика
- Полиграфия
- Психология
- Салық
- Саясаттану
- Сақтандыру
- Сертификаттау, стандарттау
- Социология, Демография
- Спорт
- Статистика
- Тілтану, Филология
- Тарихи тұлғалар
- Тау-кен ісі
- Транспорт
- Туризм
- Физика
- Философия
- Халықаралық қатынастар
- Химия
- Экология, Қоршаған ортаны қорғау
- Экономика
- Экономикалық география
- Электротехника
- Қазақстан тарихы
- Қаржы
- Құрылыс
- Құқық, Криминалистика
- Әдебиет
- Өнер, музыка
- Өнеркәсіп, Өндіріс
Қазақ тілінде жазылған рефераттар, курстық жұмыстар, дипломдық жұмыстар бойынша біздің қор #1 болып табылады.
Ақпарат
Қосымша
Email: info@stud.kz