Функцияларды енгізу терезесі
ҚАЗАҚСТАН РЕСПУБЛИКАСЫНЫҢ ҒЫЛЫМ ЖӘНЕ БІЛІМ МИНИСТРЛІГІ
Ы.АЛТЫНСАРИН АТЫНДАҒЫ АРҚАЛЫҚ МЕМЛЕКЕТТІК ПЕДАГОГИКАЛЫҚ ИНСТИТУТЫ
Жаратылыстану және ақпараттандыру факультеті
Математика, физика және информатика кафедрасы
ДИПЛОМДЫҚ ЖҰМЫС
MATHCAD ПРОГРАММАСЫНДАҒЫ САНДЫҚ ӘДІСТЕР
Орындаған: 050109 Математика мамандығының
ІV курс студенті Татен М.С.
Ғылыми жетекшісі:
аға оқытушы Еденов Ә.Е.
Арқалық - 2009
МАЗМҰНЫ
КІРІСПЕ ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..3
І. MATHCAD ПРОГРАММАЛЫҚ ПАКЕТІ ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..5
1.1. MATHCAD программалық пакетінің мүмкіндіктері ... ... ... ... ... ... ... ..5
1.2. Программа құрылымы ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..7
1.3. Математика саймандар қатарының қызметі ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 12
ІІ. MATHCAD ПРОГРАММАСЫНДАҒЫ САНДЫҚ ӘДІСТЕР ... ... ... ... ... .24
2. ТЕҢДЕУДІҢ ТҮБІРІН ТАБУ ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...24
2.1. Туынды түріндегі функциялар ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 27
2.2. Полином түбірлерін табу ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...28
2.3. Символдық түрлендіру арқылы теңдеудің түбірін табу ... ... ... ... ... ... .28
2.4. MathCAD 2000 теңдеудің түбірін іздеу ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..29
3. ТЕҢДЕУ МЕН ТЕҢСІЗДІКТЕР ЖҮЙЕСІН ШЕШУ ... ... ... ... ... ... ... ...30
3.1. Сызықты және сызықты емес теңдеулер мен теңсіздіктер жүйесін
шешу ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..30
3.2. Сызықты теңсіздіктер мен теңдеулер жүйесін шешу ... ... ... ... ... ... ... 31
3.3. Теңдеу жүйесінің символдық шешуі ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .32
3.4. Функцияның экстремумдарын табу ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..32
4. АНЫҚТАЛҒАН ИНТЕГРАЛДЫ ЕСЕПТЕУ ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .35
4.1. Ромберг әдісі ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..35
4.2. Анықталған интеграл ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...37
5. ДИФФЕРЕНЦИАЛДЫҚ ТЕҢДЕУЛЕРДІ ШЕШУ ... ... ... ... ... ... ... ... .38
5.1. Қарапайым дифференциалдық теңдеулер ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...38
5.2. n-ші ретті дифференциалдық теңдеулер ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 41
5.3. Дифференциалдық теңдеулер жүйесі ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 43
5.4. Қарапайым дифференциалдық теңдеулер: шектік есептер ... ... ... ... ... ..48
5.5. Дербес туындылы дифференциалдық теңдеулер ... ... ... ... ... ... ... ... .50
ҚОРЫТЫНДЫ ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. ..66
ПАЙДАЛАНЫЛҒАН ӘДЕБИЕТТЕР ТІЗІМІ ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...67
ҚОСЫМШАЛАР ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...69
КІРІСПЕ
Компьютерлік техниканың дамуы ғылым мен техниканың практикалық
есептерін шығарудың әртүрлі логикалық әдіс-тәсілдері дамуда. Қазіргі
жағдайда кез келген қолданбалы есептерді шешіп, бағдарламасын құрып,
тестілеуге болады. Инженер-зерттеуші сандық есептеулердің қорытындысын алу
және әртүрлі параметрлер әсерінің бағасын білу үшін қазіргі заманда
компьютерлік технологияға сүйенеді. Бірақ компьютерді қолдану практикалық
мәселелердің шешімін жеңілдетпей, оны күрделендіріп жібергендей.
Математикалық және ғылыми-техникалық есептеулер дербес компьютерді
қолданудың маңызды сферасы болып табылады. Көбінесе олар жоғары дәрежеде
жазылған, мысалы Бейсик немесе Паскаль тіліндегі программалардың көмегімен
орындалады. Бүгінгі уақытта бұл жұмысты дербес компьютерді қолданушы кез-
келген адам әр кезде орындай алмайды. Ол үшін ол адам программалау тілін
және қазіргі кезде өте күрделі математикалық есептеулердің сандық әдістерін
үйренуге мәжбүр болады. Кей жағдайларда осының салдарынан физик, химик
немесе инженер мамандарының қолынан шындықтан алыс программалар келіп
шығады. Сонымен бағдарламашылар бір есепті шығару үшін ұзақ уақыт бойы оның
бағдарламасын құрып, тек содан кейін ғана есептеулер жүргізген. Бұл
жұмыстар бір жағынан қолайлы болғанымен, қарапайым қолданушылар үшін
тиімсіз әрі қиын соғады, өйткені әр адам бағдарламалау тілін біле бермейді.
Сөйтіп бұл мәселелердің барлығын компьютерлік математикалық жүйелерді
құруға көшті.
Компьютерлік математика – ғылым мен техникадағы жаңа бағыт. Ол
классикалық математика мен информатиканың түйісуінен туындайды.
Компьютерлік математиканың маңыздылығы оның программалық жүйемен қамтамасыз
етілуінде және кез-келген математикалық есептерді шешу қабілеттілігінде.
Компьютерлік математика жүйесі батыстың Mathsoft, MathWors, Maple, Wolfram
секілді фирмаларында жасалған. Бұл жүйе алдыңғы қатарлы, озық информациялық
технологияларды білім мен ғылым саласында ортақ пайдаланатыны негізінде
қазіргі күні барлық елдердің игілігіне айналып отыр. Компьютерлік
математикадағы танымал жүйе MathCAD ғылым мен білімнің және техниканың
әртүрлі аймақтарын автоматтандыру үшін математикалық есептеулерге арналған.
Жүйенің аталуы екі сөзден құралған, яғни MATHematica (математика) және CAD
(Computer Aided Desing – автоматты жобалау жүйесі немесе АЖЖ). Сондықтан
MathCAD-ты математикалық автоматты жобалау жүйесі деп атауға болады.
MathCAD программасы қарапайым арифметикалық есептерден бастап, қиын
сандық әдістер көмегімен шешілетін есептерді шығару үшін, ғылыми және
инженерлік есептеулерді жүргізуге арналған математикалық редактор. Бұл
құрал көмегімен әртүрлі есептерді шешуге, теңдеулер графиктерін құруға және
оларды көрнекі түрде көруге болады.
Сонымен бірге MathCAD-тың көптеген құрастырылған қарапайым арнайы және
статистикалық функциялары бар. Математикалық функцияларды ендіруді
жеңілдету үшін арнайы түймелер қолданылады, ол терезеде математикалық
бөлшектерге бөлінген функцияның толық түсіндірмесімен шығарады. Жай
есептеулер MathCAD-та өте тез орындалады және бұл программаның басты
жетістігі әртүрлі функциялардың графиктерін бір координата жазықтығында
салуда болып табылады. Сондай-ақ, MathCAD программасындағы кітапхана,
кеңейтілу пакеті және компьютерлік математика жүйесі – мыңдаған жылдар бойы
жинақталған математикалық білімді топтайды. Қорыта айтқанда, аталған жүйені
бүгін уақыт талабына сай электронды оқулықтар жасауда кеңінен қолданған
тиімді.
Бүгінде MathCAD-тың әр түрлі версиялары математикалық бағдарланған
универсалды жүйе болып табылады. Ол мәтіндік редакторлар және электронды
таблицалармен қиын берілетін күрделі есептеулерді жеңіл шешуге мүмкіндік
береді.
MathCAD-тың көмегімен кітап, диссертация, ғылыми есеп, дипломдық және
курстық жобаларды тек әр түрлі үлгідегі сапалы мәтінмен ғана емес, ең
күрделі математикалық формула жиынтығымен, есептеулермен, графиктік
көріністермен дайындауға болады.
Жұмыстың мақсаты
Бұл жұмыстың мақсаты қазіргі заманның талабына сай күннен күнге дамып
отырған ақпараттық технологиялардың көмегімен әртүрлі математикалық
қарапайым есептер мен сандық есептерді шығарудың, соның ішінде теңдеулер
мен теңсіздіктерді шешу, анықталған интегралды есептеу, дифференциалдық
теңдеулерді шығару үшін қолданылатын жаңа компьютерлік бағыттың қолданылуы.
Ол программалық пакеттің құрылымымен таныстырып, маңыздылығын мен
қажеттілігін көрсету.
Тақырыптың өзектілігі
Компьютерлік технологияның дамуы ақпараттық технологияның күнделікті
өзгеруіне әкеліп, ғылымы мен техника саласындағы, әсіресе математика
саласының есептерін, оның ішінде теңдеулер мен теңсіздіктерді шешу,
анықталған интегралды есептеу, дифференциалдық теңдеулерді шешу үшін
қолдануға ыңғайлы MathCAD программалық пакетінің қызметі жайлы түсіндіру.
Дипломдық жұмыстың құрылымы
Кіріспе бөлімінде жаңа заман талабына сай дамып келе жатқан жаңа
ақпараттық, компьютерлік технологиялардың болуы туралы айтылды.
Жұмыстың негізгі бөлімі екі тараушадан тұрады. Біріншісінде MathCAD
программалық пакетінің мүмкіндіктері, программа құрылымы және оның
математика саласында қолданылуы жайлы, арнайы математика саймандар қатары
туралы жазылған. Екінші тарауында осы программалық пакеттің көмегімен
теңдеулер мен теңсіздіктерді шығаруға, анықталған интегралды есептеуге,
дифференциалдық теңдеулерді шешуге қолданылуы, оның қосымша функцияларының
қызметі туралы айтылып, есептер және оның графиктері көрсетілген.
І. MATHCAD ПРОГРАММАЛЫҚ ПАКЕТІ
1. MATHCAD ПРОГРАММАЛЫҚ ПАКЕТІНІҢ МҮМКІНДІКТЕРІ
Компьютерлік математика - ғылым мен техникадағы жаңа бағыт. Ол
классикалық математика мен информатиканың түйісуінен н туындайды.
Компьютерлік математиканың маңыздылығы оның программалық жүйемен қамтамасыз
етілуінде және кез-келген математикалық есептерді шешу қабілеттілігінде.
Компьютерлік математика жүйесі батыстың Mathsoft, MathWors, Maple, Wolfram
секілді фирмаларында жасалған. Бұл жүйе алдыңғы қатарлы, озық информациялық
технологияларды білім мен ғылым саласында ортақ пайдаланатыны негізінде
қазіргі күні барлық елдердің игілігіне айналып отыр. Компьютерлік
математикадағы танымал жүйе MathCAD ғылым мен білімнің және техниканың
әртүрлі аймақтарын автоматтандыру үшін математикалық есептеулерге арналған.
Жүйенің аталуы екі сөзден құралған, яғни MATHematica (математика) және CAD
(Computer Aided Desing – автоматты жобалау жүйесі немесе АЖЖ). Сондықтан
MathCad-ты математикалық автоматты жобалау жүйесі деп атауға болады.
MathCAD-тың көмегімен кітап, диссертация, ғылыми есеп, дипломдық және
курстық жобаларды тек әр түрлі үлгідегі сапалы мәтінмен ғана емес, ең
күрделі математикалық формула жиынтығымен, есептеулермен, графиктік
көріністермен дайындауға болады.
MathCAD программасының мұндай мүмкіндіктері электронды сабақтар,
лекциялар курсы, электронды кітаптар жазуда маңызды жабдыққа айналып отыр.
Сонымен бірге компьютерлік математика жүйесі көркемөнер, графика,
лингвистика саласында кеңінен қолданыс табуда. MathCAD-тың жаңа нұсқасында
құжаттардың көркем түсті эффектілі құрылғы және графикті анимациялау,
дыбысты қосып шығару мүмкіндігі қосылған. Осы артықшылығына байланысты
мәтіндік, формулалық және графиктік редакторлар қуатты есептеуіш
потенциалды орта жүйесімен бірігеді. Өте күрделі тапсырмаларды шешу үшін
математикалық және графикалық жүйелер және олардың бірігуі қарастырылған.
Бұл жүйе әртүрлі математикалық, графикалық және офистік жүйе қатарымен
кеңейтілген интегралдауды қамтамасыз етеді.
MathCAD-ты тек қана математикалық есептерді шешу үшін емес басқа да
қуатты инженерлік автоматтандырылған жобалау жүйесін дайындаумен бірге,
графиктерді, бірнеше графиктерді бір мезгілде салу мүмкіндігі ескерілген.
MathCAD – барлық функциялардың графиктерін көрнекі түрде, әсем көрсетуімен
бірге, математикалық таңбаларды, символдарды палитра көмегімен енгізудегі
артықшылығы көрсетілген. Жалпы жағдайда, MathCAD жүйесі келесі
компоненттерден тұрады:
• құжаттар редакторы – математикалық өрнектердің, графиктердің, үлгілер
және мәтіндік түсініктемелердің мүмкіндіктерімен кірістірілген
редакторы;
• ресурстар орталығы – интегралданған ресурстар жүйелері;
• электрондық кітап – ғылым және техника аймақтарында әр алуан типтік
есептер жазылған электрондық кітап;
• анықтамалық жүйе – тақырыптық және индекстік каталог бойынша
берілгендердің анықтамасын алу үшін және басқа кілттік сөз немесе
фраза бойынша керекті берілгендерді іздеуге арналған жүйе;
• броузер Интернет – Интернетке шығатын жеке құрал.
Редакторлеу режимінде бір мезгілде бір терезеден басқа объектіге
өтуіне және құжаттар қатарымен жұмыс істеуге болады. Сондай-ақ кез-келген
графикалық бейнелеу жай немесе күрделі функция графиктерінен суреттік
бейнелердің көп түсті дизайны қарастырылған және суреттерді анимациялау
құрылғысы енгізілген, видео-файлдық шығармаларды стереофондық дыбыстар
арқылы экранға шығару мүмкіндігі бар.
Сонымен бірге MathCAD-тың көптеген құрыстырылған қарапайым арнайы және
статистикалық функциялары бар. Математикалық функцияларды ендіруді
жеңілдету үшін арнайы түймелер қолданылады, ол терезеде математикалық
бөліктеріне бөлінген функцияның толық түсіндірмесін шығарады. Жай
есептеулер MathCAD-та өте тез орындалады және бұл программаның басты
жетістігі әртүрлі функциялардың графиктерін бір координата жазықтығында
салуда болып табылады. Сондай-ақ, MathCAD программасындағы кітапхана,
кеңейтілу пакеті және компьютерлік математика жүйесі – мыңдаған жылдар бойы
жинақталған математикалық білімді топтайды. Қорыта айтқанда, аталған жүйені
бүгінгі уақыт талабына сай электронды оқулықтар жасауда кеңнен қолданған
тиімді.
MathCAD программасы қарапайым арифметикалық есептерден бастап, қиын
сандық әдістер көмегімен шешілетін есептерді шығару үшін, ғылыми және
инженерлік есептеулерді жүргізуге арналған математикалық редактор. Бұл
құрал көмегімен әртүрлі есептерді шешуге, теңдеулер графиктерін құруға және
оларды көрнекі түрде көруге болады.
MathCADпрограммалық пакеті:
• мәтін мен қатар математикалық өрнектерді форматтап, редакторлеуге
арналған қуатты мәтіндік редактор;
• қолданбалы сандық әдісті қолдана отырып, әртүрлі есептеулерді
орындауға арналған есептегіш процессор;
• жасанды интеллектің жүйесі болып табылатын қарапайым есептеулер мен
құбылыстарды жүргізуге арналған символдық процессор;
• барлық математикалық та, инженерлік те анықтамалар сақталған,
интерактивті электрондық кітап ретінде безендірілген анықтамалар.
MathCAD программасының басқа да математикалық редаторлерден ерекшелігі
оның WYSIWYG (“What You See Is What You Get” – что вы видите, то и
получите) мұндағы приципімен жұмыс жасауы. Сондықтан оны қолдану өте
ыңғайлы, өйткені қандай да бір есептің орындалуын көру үшін оның
программасын жазудың қажеті жоқ. Бұның орнына математикалық өрнектерді
формулалар редакторы көмегімен енгізіп, есептеулердің нәтижесін көруге
болады. Сонымен қатар сол есептеулер нәтижесін бірден қағаз басып шығаруға
да болады. Тағы бір ерекшеліктерінің бірі сол бетті Интернет беті ретінде
де көруге болады.
MathCAD программасын құрушылар барлық мүмкіндікті жасаған, атап
айтқанда, әрбір қолданушы, яғни бағдарламалау тілін меңгермеген
қолданушының өзі де есептеулерді бірден жүргізе алады. Бұл программамен
жұмыс жасау үшін қолданушы қарапайым компьютерді қолдану мүмкіндіктерін
меңгерсе болғаны. Екінші жағынан кәсіби программистер мүмкіндіктерінің
өздерінің білімдері арқылы, яғни есептеулер жүргізу кезінде өздері құрған
программаларды енгізе алады.
Сонымен бұл программа математиктердің бірнеше мәселелерін шеше алады:
• математикалық өрнектерді компьютерге енгізу (ары қарай есептеу не
құжат құру, не презентация құру, Web – бетін немесе электронды кітап
жасау үшін);
• математикалық есептеулер жүргізу (қарапайым да, сандық әдіс көмегімен
де);
• есептеулер нәтижесінің көмегімен графиктер дайындау;
• әртүрлі форматтағы берілгендерді енгізу және нәтижелерін шығару;
• баспа құжат түрінде есепті көру;
• Web – парақтарын дайындау және оның нәтижесін Интернетте көру;
• Математика аймағындағы әртүрлі анықтамаларды алу.
2. ПРОГРАММА ҚҰРЫЛЫМЫ
MathCAD программасы компьютерге қойылып енгізіліп болғаннан кейін 1-
суретте көріп отырғандай терезеде жұмыс жасаймыз. Бұл программа Windows
ортасындағы барлық программаларға ұқсас келеді.
Сурет 1. MathCAD 12 программасының терезе құрылымы
Жоғарыдан төмен тақырып қатары, мәзір қатары, саймандар қатары
(стандартты және форматтау) және жұмыс аумағы (worksheet) орналастырылған.
Жаңа құжат программаны іске қосқаннан кейін автоматты түрде құрылады.
Терезенің ең төменгі жағында қалып күй қатары орналастырылған. Сонымен
MathCAD программасының интерфейсі де басқа программаларға әсіресе қарапайым
мәтіндік редакторге ұқсас.
Мәтіндік редактордың басқару элементтеріне сәйкес келетін MathCAD
программасы Math (Математика) саймандар қатарымен толықтырылған. Осы қатар
және тағы да басқа қосымша қатарлар көмегімен теңдеулерді енгізуге болады.
MathCAD программасының терезе құрылымы:
• Standard (Стандартная) стандартты саймандар қатары;
• Formatting (Форматирование) пішімдеу қатары;
• Resources (Ресурсы) ресурстар;
• Controls (Элементы управления) басқару элементтері;
• Math (Математика) қатары;
• Жұмыс аумағы (worksheet);
• Қалып күй қатары (status line немесе status bar);
• Көмек беру және жанама мәзірі (pop-up menus немесе context menus);
• Сұхбат терезелері (dialogs);
• MathCAD (Mathcad Resources) қосалқы мысалдармен және қосымша
ақпаратпен жабдықталған қатары.
Көптеген командаларды мәзір, саймандар қатары көмегімен де пернетақта
көмегімен де орындауға болады.
Математикалық және ғылыми-техникалық есептеулер дербес компьютерді
қолданудың маңызды сферасы болып табылады. Көбінесе олар жоғары дәрежеде
жазылған, мысалы Бейсик немесе Паскаль тіліндегі программалардың көмегімен
орындалады. Бүгінгі уақытта бұл жұмысты дербес компьютерді қолданушы кез-
келген адам әр кезде орындай алмайды. Ол үшін ол адам программалау тілін
және қазіргі кезде өте күрделі математикалық, есептеулердің сандық
әдістерін үйренуге мәжбүр болады. Кей жағдайларда осының салдарынан физик,
химик немесе инженер мамандарының қолынан шыққандықтан алыс программалар
келіп шығады.
Осындай келген жағдайлардан математикалық есептеулерді
автоматизациялайтын интегралдаудың программалық жүйесін қолдану арқылы
шығуға болады (мысалы MathCAD, MathLAB және тағы басқадай). Біздің
алдымызда сондай жүйелердің бірі MathCAD-тың сызықтық емес теңдеулер
жүйесін шығарудағы мүмкіндіктері мен эволюциясын қарастырамыз.
MathCAD – бұл ғылым мен техниканың, білім берудің әр түрлі
облыстарында мысалы математикалық есептерді шешуді автоматизациялауға
бағытталған компьютерлік математиканың белгілі жүйесі.
MathSoftInc. (АҚШ) фирмасы жүйенің бірінші версиясын 1986 жылы
шығарды. MathCAD жүйесінің басты бөліп алатын ерекшелігі оған енгізілген
тілде, мұнда математика бойынша трактаттарында, тіпті жалпы ғылыми
әдебиеттерде қолданылатын нақты математика тіліне максималды жуық. Жүйемен
жұмыс істеуге кіріскенде қолданушы атаулы документтерді дайындайды. Олар
бір уақытта есептеу алгоритмінің бейнелеуін, жұмысты басқару программасын
және есептеу нәтижесін іске қосады. Сыртқы көрінісіне қарағанда мәтіндер
кәдімгі программаға ұқсамайды.
Бүгінде MathCAD-тың әр түрлі версиялары математикалық бағдарланған
универсалды жүйе болып табылады. Ол мәтіндік редакторлар және электронды
таблицалармен қиын берілетін күрделі есептеулерді жеңіл шешуге мүмкіндік
береді. MathCAD көмегімен статья, кітап, диссертация, ғылыми есептеу,
дипломдық және курстық жобаларды тек қана сапалы мәтіндермен емес, сондай-
ақ жеңіл жүзеге асыратын ең күрделі математикалық формулалар жиынымен,
есептеу нәтижесін графикалық қойылымдармен дайындауға болады.
MathCAD жүйесінің жаңа версиясындағы маңызды жетістігі болып кез-
келген баспаға шығару құрылғысының белгілі типіндегі настройка, шрифтердің
бай жинағы, Windows-тың барлық құралдарын қолдану мүмкіндіктері, әдемі
графика және қазіргі уақыттағы көп терезелі интерфейс жатады. Жаңа нұсқада
да документтерді әр түрде безендіруде тиімді мүмкіндіктер, қозғалмалы
графиктер және дыбыстық сүйемелдеуді жасау қосылған. Ерекше күрделі
есептерді шешу үшін басқа математикалық және графикалық жүйелермен бірігу
мүмкіндіктері де қарастырылған. Осыдан мынадай жүйелер – интегрирленген
жүйелер атауы шығады. Интеграция есептерін шешуде MathCAD-ты жасаушылар
ұзаққа кеткен – бұл жүйе түпкі интеграцияны басқа математикалық, графиктік,
офистік жүйелермен, толық қатармен қамтамасыз етеді. Осы үшін оған
MathConnex арнайы жүйелілік интегратор қосылған. 1999 жылдың жазында
жаңаланған нұсқа – MathCAD 2000 жүйесі шықты. Оған графиктік
мүмкіндіктердің жақсаруы, есептеу жылдамдығының жоғарлауы, жұмыс
тиімділігі, функциялар санының өсуі кіреді.
Кейбір суреттерде көрініп тұрғанымыздай қызыл қосу белгісі бар. Оның
көмегімен құжаттағы бос орынды мәтін немесе формуламен толтыруға болады.
Бұл сілтемені жылжытып, орынын ауыстыру үшін тышқанмен шерту жеткілікті.
Формула аймағында сырт еткізу кезінде сілтеме орнына редакторлеу сызығы
пайда болады.
Үнсіз келісім бойынша бұл программада есептеулер нақты уақыт
аралығында жүргізіледі, яғни қолданушы сандық және символдың теңдік
операторларын енгізе бастаған кезде MathCAD есептеулерді жүргізе бастайды.
Кейде қиын да, күрделі ұзақ есептеулерді Esc пернесінің көмегімен тоқтата
қоюға болады, қайта қалпына келтіру үшін F9 немесе ToolsCalculate
(СервисВычислить) және ToolsCalculate Worksheet (СервисВычислить во всем
документе) командаларының көмегімен орындаймыз.
Сонымен қатар MathCAD программасында әртүрлі функцияларды есептеуге
болады, оларды бірден енгізіп, мәндерін білуге болады. Ол үшін функция
енгізу деп аталатын арнайы терезе бар. Бұл терезе екі бөліктен тұрады:
функция категориялары, яғни арнайы, статистикалық, тригонометриялық,
логикалық және т.б. категорияларға байланысты функция аттары. Функция
аттарын пернетақтадан да енгізуге болады.
Сурет 2. Функцияларды енгізу терезесі.
Функцияны өрнекке енгізу үшін:
1. Функцияны қоятын жерді анықтап алу керек.
2. f(x) жазылымын стандартты саймандар қатарынан басу керек.
3. Insert Function (Вставить функцию) сұхбат терезесіндегі Function
Category (Категория функции) тізімінен функция жататын қажетті
категорияны таңдаймыз.
4. Function Name (Имя функции) тізімінен қажетті функция атын таңдаймыз.
5. OK-ді бассақ құжатқа қажетті функция енгізіледі.
6. Кейін функцияның жетіспеуші аргументтерін енгізуге болады. Дәл осы
функцияны Math саймандар қатарынан былай енгізуге болады.
Сурет 3. MathCAD программалық пакетінің жұмыс аймағы.
3. MATH (МАТЕМАТИКА) САЙМАНДАР ҚАТАРЫНЫҢ ҚЫЗМЕТІ
Сурет 4. Негізі және математикалық саймандар қатары.
• Math (Математика) – құжатқа математикалық символдар мен
операторларды енгізу;
• Resources (Ресурсы) – MathCAD ресурстарын тез шешу үшін (мысал,
оқулық, электрондық кітап және т.б.);
• Controls (Элементы управления) – құжатқа стандартты басқару
элементтерін енгізу үшін.
Барлық терезе құрылымына ұқсас түймелер тобы сызық арқылы Math
(Математика) саймандар қатары экранға тағы да басқа математикалық
операцияларды орындау үшін қажетті тоғыз саймандар қатарын шақыру үшін
қолданылады:
• Calculator (Калькулятор) – кәдімгі калькуляторға ұқсас қарапайым
математикалық операциялар мен есептеулерді орындауға арналған;
• Graph (График) – графиктер енгізу үшін;
• Matrix (Матрица) – матрица және матрицалық операторды енгізу үшін;
• Evaluation (Выражения) – есептеулерді басқаратын операторларды шақыру;
• Calculus (Вычисления) – интегралдау, дифференциалдау және қосу
операторларын енгізу;
• Boolean (Булоны операторы) – логикалық (буловых) операторларын енгізу;
• Programming (Программирование) - MathCAD құралы көмегімен
программалау;
• Greek (Греческие символы) – грек символдарын енгізу;
• Symbolic (Символика) – символдың операторларды енгізу.
Барлық символды пернетақтадан енгізе алмаймыз. Мысалы, дифференциалдау
және интегралдау белгілері. Ол үшін MathCAD программасында Microsoft Word
мәтіндік редакторындағы формулалар редакторына ұқсас арнайы Math
(Математика) саймандар қатары бар.
Бұл саймандар қатары математикалық объектілерді (оператор, график,
программа элементтері және т.б.) енгізуге арналған құралдардан тұрады.
Жоғарыда айтып кеткендей қатардың тоғыз арнайы түймелері бар. Әр
түйменің өз қызметі бар.Осы қосымша тоғыз тақталар көмегімен әртүрлі
математикалық объектілерді енгізуге болады. Әр тақтаға жеке тоқталып
кетейік.
Calculator (Калькулятор) – аты айтып тұрғандай қарапайым есептеулерді
жүргізуге пернетақтаның көмегін қолданбай-ақ арналған тақта. Мысалы, sin
(12) өрнегінің мәнін есептеу үшін, алдымен y sin батырмасын басып, кейін
шыққан өрнекке жақша ішіне ½ мәнін береміз (1, және 2) кейін – батырмасын
басу арқылы нәтижесін көреміз.
Берілген мысалы, калькулятор көмегімен қарапайым ғана есептеулер
жүргізуге арналған. Ал нағыз математикадағы айнымалылары бар кеңейтілген
функциялардың мәнін есептеу үшін меншіктеу х:=1 белгісі көмегімен
орыдалады. Яғни, қарапайым программалаудағы меншіктеу операторына ұқсас.
Calculator (Калькулятор) құралы = теңдік белгісін мәнді солдан оңға қарай
есептеу үшін, ал меншіктеу := белгісін оңнан солға қарай меншіктеу
кезінде қолданады.
Мысал 1. Айнымалыға мәнді меншіктеу және есептеу.
Сурет 5. Меншіктеу операторын таңдау.
MathCAD құралының ерекшеліктерінің бірі қарапайым есептеулерді жүргізу
кезінде символдарды енгізу. Ол үшін Calculus (Вычисления) Symbolic
(Символика) тақтасынан Evaluation (Выражения) немесе дифференциалдау,
интегралдау батырмаларын таңдаймыз.
Мысал 2. Қарапайым есептеулердегі айнымалылар.
Сандық мәндерді меншіктеуге сәйкес 3-ші және 4-ші мысалдарда екі
немесе үш мәнді меншіктеу көрсетілген.
Мысал 3. Функцияның нүктедегі мәндерін анықтау.
Мысал 4. Функцияның үш аргументтегі мәнін есептеу.
Енді осы мысалдарда көрсетілген функциялардың графигін енгізу үшін
Математика тақтасының келесі бөлімі график енгізу арқылы көрсете аламыз.
f(x) функицясының графигі 6 суретте көрсетілген. Оны енгізу үшін Graph
(График) тақтасынан график түрін таңдау арқылы орындаймыз.
Сурет 6. Мысалда келтірілген фукцияның графигі.
MathCAD пакетінің ортасында көптеген операциялар мен есептеулер
комплекс сандар көмегімен жүзеге асырылады. Комплекс сан дегеніміз нақты
және жалған сандардың қосындысы. i (imaginary unit) жалған мән болып
табылады. Анықтама бойынша i2=-1 болады.
Мысал 5.
Мысал 6. Комплекс сандарды енгізу және шығару.
Мысал 7. Комплекс сандарымен орындалатын қарапайым есептеулер.
Математикалық тұрақтылар сандық және символдық енгізулер кезінде
әртүрлі болады. Математикалық тұрақтылар:
• оо – шексіздік белгісі (пернетақтадан Ctrl+Shift+z пернелер
көмегімен енгізіледі);
• е – натурал логарифм негізі (пернесі е);
• рі – пи саны (Ctrl+Shift+р пернелер көмегімен);
• і,j – жалған бірлік (1, i немесе 1, j);
• % - пайыз символы, (% , 0,01-ге сәйкес).
Мысал 8. Математикалық тұрақтылар мәні.
Жүйелік айнымалылар кіріктірілген функцияларға енгізілген сандық әдіс
жұмысын анықтайды. Жүелік айнымалылар:
• TOL – сандық әдіс нақтылығы;
• CTOL – кейбір сандық әдісте қолданатын мәндердің орындалуының
нақтылығы;
• ORIGIN – қатар айнымалылары мен массивтегі бастапқы индекс нөмірі;
• PRNPRECIZION – файлды шфғару кезінде берілгендердің форматын қою;
• PRNCOLWIDTH – файлды шығару кезінде бағана форматын қою;
• CWD – ағымдағы жұмыс бумасына мәтіндік жол көрсету.
Мысал 9. Жүйелік айнымалылардың белгіленген мәндері.
Барлық графиктер берілген шарттары бойынша бірдей Graph (График)
тақтасы көмегімен құрылады. Декарт координаталар жүйесінде график құру
үшін:
1. Тышқан сілтемесін график орналасатын жерге қоямыз.
2. Егер жұмыс аумағында Graph (График) тақтасы болмаса, Math
(Математика) саймандар қатарынан шақырып аламыз.
3. Graph (График) тақтасындағы декарт координатасындағы график құру
X-Y Plot батырмасын басамыз.
4. Нәтижесінде белгіленген орында бос график пайда болады.
Сурет 7. Graph (График) тақтасы көмегімен құрылған декарттық
координата жүйесі
Егер берілген аттары дұрыс енгізілсе, экранда қажетті график пайда
болады. Құрылған графикті де, оның мәндерін де форматтап, өзгертуге болады.
Ал енгізілген Edit (Правка) пунктінен Cut (Вырезать) таңдап немесе
Delete (Удалить) арқылы өшіруге болады.
Функция графигі
Қандай да болмасын берілген f(x) функциясын құрудың екі тәсілі бар.
Бірі функцияға мәндер беріп, графигін салу және екіншісі тез салу жолы.
Сурет 8. Графикті тез салу жолы
MathCAD ортасында үнсіз келісім бойынша функция графигі суреттегідей
-10 және 10 аралығында құрылады.
Бір графикте 16 тәуелділікті қолдануға болады. График үстіне тағы бір
график енгізу үшін:
1. Енгізу сызығын Y осі координатасының мәнін қамтитындай етіп
орналастырамыз.
2. , пернелерін басамыз.
Сурет 9. Бір графикке бірнеше тәуелділікті салу.
3. Нәтижесінде екінші қисықтың мәнін енгізетін толтырушы пайда
болады.
4. Осы мәннен тыс жерден сырт еткізу керек.
Сонымен екінші қисық графикте бейнеленеді. Осы тәсілмен бірнеше график
салуға болады.
Сурет 10. Әртүрлі аргументті бірнеше график салу
Үшөлшемді графиктер салу MathCAD программасының қолданушыға беретін
ғажап қасиеті. Бірнеше секунд ішінде есептеулер нәтижесін график түрінде
көре аласыз.
Үшөлшемді график салу үшін Graph (График) тақтасынан үшөлшемді график
құру батырмасын таңдаймыз. Нәтижесінде үшосьті бос координат жазықтығын
береді.
Сурет 11. Үшөлшемді график салу
Мысал 10. Үшөлшемді графикті тез салу функциясы.
Мысал 11. Үшөлшемді графикті бейнелеу матрицасы.
Graph (График) тақтасындағы арнайы батырмалар көмегімен үшөлшемді
графикті салып қана қоймай, оның деңгейін, сызығын, бет жазықтығын т.б.
өзгертуге болады.
Сурет 12. Бет графигі
Сурет 13. Матрица арқылы берілген бет графигі
Үшөлшемді графикті форматтау 3-D Plot Format (Форматирование 3-D
графика) көмегімен орындалады.
Сурет 14. Үшөлшемді гисторграмма
Сурет 15. Үшөлшемді графиктегі нүктелердің орналасуы
II. MATHCAD ПРОГРАММАСЫНДАҒЫ САНДЫҚ ӘДІСТЕР
2. ТЕҢДЕУДІҢ ТҮБІРІН ТАБУ
Ньютон әдісі және оның модификациясы теңдеудің түбірін табу жолдарының
бірі болып табылады. теңдеуін шешу керек болсын. Ол үшін х теңдеудің
шешімі болады. х нүктесіне жақын х0 нүктесінде функциясын қатарға
жіктейік және бірінші екі көпмүшелікке тоқталайық.
x – теңдеудің түбірі болғандықтан, болады. Осыдан
.
Сонымен, егер бізге теңдеу түбірінің жақын мәні белгілі болса, онда
шыққан теңдеуді анықтауға мүмкіндік береді. Берілген ізделінді нүктеге
қарағанда, функцияның мәні нөлден кіші болмағанға дейін, анықтау
мүмкіндігін бірнеше рет қайталауға болады. Келесі k-ға жақын мән мына
формула бойынша табылады.
.
Бірінші екі көпмүшелікті жіктелуімен шектелсек, біз функциясын х0
нүктесіндегі жанамаға түзу сызыққа ауыстырдық, сондықтан Ньютон әдісін
жанама әдісі деп те атайды. Функцияның туындысын табу үшін аналитикалық
түрін таба беруге мүмкіндік бола бермейді. Бірақ та, бұнда аса маңызды
қажеттілік болмайды: түбірдің жақын мәнін әр қадамда алсақ, онда туындының
жақын мәнін есептеу үшін аламыз.
.
кіші мәніне алуға болады, мысалы, нақты есептеуі берілген,
септеу формуласы мынандай түрде болады.
.
Басқа жағынан, табылған алдыңғы екі қадамдар бойынша туындыны
есептеуге, функцияның мәнін қолдануға болады.
.
Бұл жағдайда әдіс кесінділер (secant method) әдісі деп аталады. Бірақ
та, бірінші жақындауды есептеуде қиындық туады. - бұл формула
есептеудің бірінші қадамы, ал қалғандарының бәрі – осы формуланың көмегімен
еептелінеді. MathCAD пакетінде осы есептеу схемасы бар кесінділер әдісін
қолдана отырып, біз түбірдің екі соңғы жақындауда жатқанын айта алмаймыз.
Келесі жақындауды есептеуге аралық шекарасын қолдануға, мұндағы функция
белгісі өзгереді. Мұндай әдіс Хорд әдісі (false position method) деп
аталады.
Кесінділер әдісі Мюллер әдісінде дамиды. Бірақ бұл әдісте келесі
жақындауды табуда үш алдыңғы нүктелер қолданылады. Басқа сөзбен айтқанда
әдіс сызықты емес, квадраттық функцияның интерполяциясын қолданады.
Әдістің есептеу формуласы келесі:
Алымдағы абсолюттік мәні максималды болу үшін, түбір алдындағы таңба
таңдалынады. Мысалы, егерде нақты есептеуде 0,0001-ден кіші ізделінді
болса, теңдеу үшін түбірі жалған болып табылады. Бірақ бұл
жағдай барлық теңдеулерге келе бермейді. Мысалы, теңдеуі үшін, соңғы
ізделінді критерийді қанағаттандыратын х мәніне нақты аз шамаға мүмкін емес
түбірлер болмайды. Келтірілген мысалдар көрсеткендей, комплекстік
есептеудегі нәтижелерге шын мәнін тұжырымдауға басқа жағынан қарау керек.
Басқа жағдайда, түбір орналасқан аралық белгілі болса, онда теңдеуді
шешуде басқа да әдістерді қолдануға болады.
Риддер әдісінде (Ridder`s method) аралық ортасында функцияның
мәні есептеледі. Одан кейін экспоненциалдық функциясын іздейміз.
мәнін пайдалана отырып, кейін Хорд әдісін қолданамыз. Келесі мәнді
есептеуде мына формула пайдаланылады
.
Брент әдісі (Brent method) Риддер әдісінің шапшаңдылығын және жарты
кесінділер бөлігінің әдісінің ұқсастығын қосады. Әдіс квадраттық
интерполяцияның қайтымдысын, яғни у квараттық функциясын х түрінде іздейді.
Әр қадамда түбірдің локалын тексереді. Ерекше әдістер полиномның түбірін
іздеуде қолданады. Бұл жағдайда барлық түбірлер табылуы мүмкін. Полином
түбірлерінің біреуі табылғаннан кейін, полиномның дәрежесі төмендейді,
кейіннен түбірдің ізделінуі қайталана береді.
Лагерр әдісі (Laguerre`s method) полиномның келесі қатынастарынан
түзеледі.
Ағымдағы жақындаудың қашықтығында х1 түбірі жатады деп болжайық, ал
қалған басқа түбірлер b:x-x1=a; x-x1=b қашықтығында жатады, егер i=2,3,...,n.
Сонда
мұндағы .
Алымындағы үлкен мәнін алу үшін, түбір алдындағы таңбаны таңдайды.
Тағы да бір әдіс, полином түбірлерін іздеу үшін – матрицалы әдіс
(companion matrix). Дәлелдеуге болады, матрица
полиномы үшін матрицалы деп атайды, полином түбірлеріне тең
өзіндік мәні бар болады.
Еске салайық, немесе теңдеуі орындалуы үшін матрицаның
өзіндік мәндері деп 1 санын айтады. Өзіндік мәндерді іздеу үшін нәтижелі
әдістер бар, олар туралы алда айтылады.
1. ТУЫНДЫ ТҮРІНДЕГІ ФУНКЦИЯЛАР
MathCAD қолдана отырып, x=[-2,7] аралығында функцияның нөлін
табайық. Алдымен функцияны графикте бейнелейік.
Берілген аралықта функция үш рет нөлге айналады. Функцияның нөлін
анықтайық, root(f(x),x) құрылған функцияны қолданамыз. Нөлді табу үшін
бірінші аргумент – функция, ал екінші – айнымалы, оны варияциялау керек.
іздеуге бастапқы жақындау мәнін береміз. Құрылған айнымалы TOL нақты
есептеумен беріледі. Үнсіз келісім мәні 0,001-ге тең. Бұл мәнді MathBuilt-
In Variables менюі арқылы немесе құжат мәтінінде өзгертуге болады: TOL:=10-
9.
Бастапқы мәнді береміз: х:=-1.
Одан түбірді табамыз: root(f(x),x)=-1.570796327
Егер де бірнеше түбір табу керек болса, онда жаңа функцияны анықтау
керек: r(х):=root(f(x),x).
r(х) функциясы х-ке жақын түбір мәнін береді, яғни функцияның
аргументі арқылы бастапқы мәнді береміз. Х бастапқы мәндер векторын береміз
және х түбіріне қатысты түбірлерді аламыз:
Берілген мысалға түбірді аналитикалық жолмен оңай табылады. Олар
берілген аралықта –р2, р2 және 3р2 тең. Шыққан андық нәтиже берілген
дәлдікпен нақты шешіммен тең болды.
а параметріне тәуелді функция болсын
Бірінші аргумент z функциясының параметрдің мәнін берсін, ал екінші –
бастапқы жақындау мәнін берсін. 1 және 2 параметрлер мәніндегі теңдеудің
түбірін табайық.
Егер де біз коплекстік түбірді тапқымыз келсе, онда бастапқы жақындау
мәнін коплекс түрінде береміз:
.
2. ПОЛИНОМ ТҮБІРЛЕРІН ТАБУ
Полином түбірлерін табу үшін polyroots(a) құрылған функциясы бар.
полином коэффициенттерінің векторы функцияның аргументі болып
табылады, яғни теңдеуіне а векторы мынадай түрде болады:
Егер полиномда кейбір көрсеткіштер болмаса, онда ол жерлерге 0 қоямыз.
полином түбірін табу керек болсын.
Полином коэффициенттері де комплексті болуы мүмкін.
3. СИМВОЛДЫҚ ТҮРЛЕНДІРУ АРҚЫЛЫ ТЕҢДЕУДІҢ ТҮБІРІН ТАБУ
Көп жағдайда, MathCAD-та теңдеудің аналитикалық жолмен шешуге
мүмкіндік береді. Ол үшін Symbolic меню пунктісінен Solve for Variable
пунктін қолданамыз. Теңдеудің түбірін табу үшін алдымен берілгенді жазамыз
және ондағы айнымалыны белгілейміз (айнымалының қасына курсор белгішесін
қоямыз). Бұл бізге қайсысы айнымалы, ал қайсысы – фиксирленген параметр
екенін көрсету үшін қажет. Осыдан барып Symbolic меню пунктісінен Solve for
Variable пунктін таңдаймыз.
шешімі дайын
Назар аударыңыз! Бұл жағдайда бір ғана түбір табылған, ал шынында олар
шексіз. MathCAD полином жағдайында, егер Maple символдық процессор
орнатылған болса, онда ол барлық түбірлерді табады.
. Бұл мысалға 2 түбір табылған, әйтсе де олар шығарылған болған.
Комплекстік түбірге мысал: .
2.4 MATHCAD 2000 ТЕҢДЕУДІҢ ТҮБІРІН ІЗДЕУ
Теңдеудің түбірін MathCAD 2000-да іздеуде бірқатар қосымша
мүмкіндіктер береді. root (f(var1, var2,...), var1, [a,b]) функциясы енді a
және b екі аргументі бар,аралық шекарасын анықтайтын және түбірді осы
аралықта іздеуге болады. [a,b] аралық соңында f функциясы (f(a)f(b)0)
таңбасын ауыстыру керек. түбірге бастапқы жақындау мәнін бермеуге де
болады. Берілген нұсқауда root функциясы Риддер және Брент алгоритміне
қолданады. Мысалға,
функциясының түбірін іздейік.
Түбірлердің орналасу ретіне қарай функцияның графигін құрайық.
[1,8] интервалында функцияның екі түбірі бар. MathCAD 2000 тек біреуін
ғана таба алды. Полином түбірлерін табу үшін де қосымша мүмкіндіктер туды.
Polyroots функциясы түбірді іздеуде екі әр түрлі алгортимді қолданады –
Лагерр әдісі және матрицалы әдіс.
Функцияның аты орналасқан жерге тінтуірдің оң жағын басу арқылы,
әдістерге көшу үшін меню контекстісінде өзгертіледі.
3. ТЕҢДЕУЛЕР МЕН ТЕҢСІЗДІКТЕР ЖҮЙЕСІН ШЕШУ
Теңдеулер жүйесінің формалдық түрі
біртекті теңдеуінің түбірін табу есебі бойынша да жазылуы
мүмкін, мұндағы және . функциясының х нүктесіне жақын
Тейлор қатарына жіктеледі.
немесе векторлық формада мұндағы элементтерімен берілген Якоб
матрицасы деп аталады.
дей отырып және алғашқы екі мүшесін жіктей отырып мына теңдеуді
аламыз: .
3.1СЫЗЫҚТЫ ЖӘНЕ СЫЗЫҚТЫ ЕМЕС ТЕҢДЕУЛЕР МЕН ТЕҢСІЗДІКТЕР
ЖҮЙЕСІН ШЕШУ
Сызықты және сызықты емес теңсіздіктер мен теңдеулер жүйелерін
MathCAD-тың given блогының Find функциясының көмегімен шешуге болады.
Given блогында теңсіздік пен теңдеу жүйесінің шешімі болатын есептер
жазылады. теңсіздіктер мен теңдеулер жүйесі given сөзінен кейін не оң
жағына қарай жазылуы керек.
Теңдеуді жазар алдында = теңдік белгінің орнына Ctrl+= жазу керек.
Барлық айнымалылардың бастапқы жақын шешімдерін given сөзінің алдында
көрсетілуі керек. Индекстелген айнымалыларды іздеуге given блогы жарамайды.
Егер біз коплекстік түбірді тапсақ, бізге бастапқы коплекстік жақын
түбірді табу керек.
Find функциясы жүйесінің аяқталу қызметін атқарады, егер біз жүйенің
нақты шешімін тапқымыз келсе, егер жүйе нақты шешілмесе және ең жақын
минималды қателігі бар болғанда Minerr функциясы қолданамыз.
Given блогында теңсіздіктер мен теңдеулер қанша болса, Minerr және
Find функцияларында сонша көп және аз аргументтер болу керек. Егер блокта
тым аз теңсіздіктер мен теңдеулер болса, онда оны тепе-теңдіктер мен
қайталамалы өрнектермен толтыруға болады.
Ал егер берілген бастапқы жақындауда шешімі табылмаған жағдайда, онда
қызыл жақшада Did not find solution - шешімі табылмады деп шығады.
Сызықты емес теңдеу жүйесін шешейік және оған бастапқы жақындау мәнін
берейік.
х: =1 у: =1 5
Find(х,у) =( )
Given х2-у=23х2у=50 2
Назар аударыңыз! Бұл жағдайда Given – Find блогының алдында бастапқы
жақындауды бермеу керек. Бастапқы жақындауды F(х,у) функциясының
аргументтері ретінде берейік.
Осындай тәсілмен параметрлеріне байланысты жүйелерді шешуге де
болады.
Given x2+y2=R2 y=xg(x,y,R):=Find(x,y)
3.2 СЫЗЫҚТЫ ТЕҢДЕУЛЕР МЕН ТЕҢСІЗДІКТЕР ЖҮЙЕСІН ШЕШУ
Сызықты теңдеулер жүйесін шешкенде әбден ұқсас. Алайда, бұл жағдайда
сызықты теңдеу жүйесі өрнектелмеген болғанда, яғни оның анықтауышы нөлден
өзгеше болса, неғұрлым жақын (сандық математикалық бойынша нәтижелі емес
тәсілі) матрицалық тәсілді шешу болып табылады.
Бір және басқа әдіспен сызықты теңдеу жүйесін шешейік.
x:=-2 y:=1 z:=2
given 2x-4y+3z=1x-2y+4z=33x-y+5z=2
Осы жүйені енді матрицалық әдіспен шешсек, матрица жүйесін жазып және
бос мүше векторларын жазайық.
Жүйені шешейік, сол жақ бағандағы b бос мүшелерін матрицаның кері
матрицасына көбейтейік.
Егер MathCAD-тың соңғы версиясымен жұмыс істесек, онда Isolve
функциясымен жұмыс істеуге болады.
3.3 ТЕҢДЕУ ЖҮЙЕСІНІҢ СИМВОЛДЫҚ ШЕШУІ
Көп жағдайда теңдеу жүйесінің шешімі сандық жағдайда ғана табылмаса,
аналитикалық жолмен де табуға болады. Ол үшін given блогы мен Find
функциясын қолданамыз, бірақ теңдік белгісінің орнына функциядан кейін
символдық түрлендіру белгісі ((ctrl+) қою керек.
Шешім матрица түрінде жазылған.Әр баған (х,у) жұбына сәйкес келеді,
яғни (1,3) және (3,1) шешімдері табылып тұр.
3.4 ФУНКЦИЯНЫҢ ЭКСТРЕМУМДАРЫН ТАБУ
Көптеген айнымалылы функцияның экстремумдарын табу үшін, екі
альтернативті жағдай бар. Біріншісі given блогы және miner функциясы
қолдану болып табылады.
Екі айнымалылы функцияны анықтайық.
облыстарындағы экстремумын табайық. Графиктегі орналасу
экстремумын бағалайық.
М матрицасына байламдар нүктелеріне функцияның мәндерін берейік.
Берілген аралықта функция 25-тен аспайды. Экстремумды іздеу үшін
бастапқы жақындауды берейік.
Теңсіздік және теңдеу блогын жазайық. Given- Find блогындағы
теңсіздік пен теңдеулер саны ізделінді биіктікке тең және үлкен болу керек.
Егер теңсіздік пен теңдеу жетпей жатса, онда оны бір және сол теңдеуді жай
көшіруге немесе кез келген тепе-теңдікті жазуға болады.
Мысалы, 2=2
Теңсіздік пен теңдеу жүйесін шешу үшін блогында жазылған Мinerг
функциясы жақын шешімді іздейді. Бұл жағдайда табатынымыз, нүктесіне
сәйкес келетін теңдеудің жүйесін аламыз (нақты мәнін 0,001, біз 0-ге
жуықтадық).
Графиктен көретініміздей, нүкте маңайындағы функцияның үлкен
мәнінен 26 мән үлкен болып табылады, яғни нақты шешімін табуға болмайды
және Мinerг функциясы х мәнін іздейді, мұндағы функция 26 мәніне жақын
болғанда.
Екінші мүмкіндік – нөлдің бірінші туындысын іздеу, яғни математикалық
стандарттық жақындау болып табылады. Бұл үшін Given-Find блогын
пайдаланамыз. Given сөзінен кейін жазылған болса теңсіздік пен теңдеу
жүйесін нақты шешімін Find функциясы іздейді.
Әр түрлі тәсілмен алынған нәтижелер, екі жағдайда да аз сәйкес келеді.
MathCAD-тың жоғарғы версияларында соңғы уақыттарда қосымша
мүмкіндіктер экстремумдерін іздеу үшін Minimize және Maximize функциялар
көмегімен есептеуге болады. Given блогымен қоса есептелінеді.
Функцияның аргументтері: функция аты, ізделінді экстремум және
аргументтердің тізімі.
екі айнымалы функцияны қарастырайық және оған
бастапқы жақындауын берейік.
Given блогының ішінен максимум облысын іздейік.
Берілген облыстан функцияның максимумын табамыз.
Бір айнымалы функция үшін функциясын береміз және оған
бастапқы жақындау береміз.
Максимумын табамыз .
Егер біз максимумды және минимумды функцияның мәнін табу үшін кейбір
аралықта, онда Given блогында осы аралықты анықтау қажет.
Төмендегі графикте көретініміздей, бірінші табылған максимум бұл
жағдайда сәйкес келеді, туынды нөлге ұмтылғанда, екінші максимум аралық
шекарасында жатқанда
4. АНЫҚТАЛҒАН ИНТЕГРАЛДЫ ЕСЕПТЕУ
4.1 РОМБЕРГ ӘДІСІ
[a,b] аралығында анықталған интегралды есептеу керек болсын .
Есеп барлық жағдайда аналитикалық түрде шешіле бермейді. Соның ішінде
функция интеграл астында таблица түрінде берілсе, сандық әдіспен шешу
керек.
Аппроксимланатын функция үшін полином қолданылады. Полиномның дәрежесі
нөлге тең болған жағдайда, ондай сандық әдіспен интегралдауды тік бұрыштар
әдісі дейді, ал бірінші дәрежелі полиномды – трапеция әдісі дейді. Екінші
дәрежелі полиномды болғанда – Симпсон әдісі деп аталады. Бұл барлық әдістер
Ньютон-Котес квадраттық формуласының жеке жағдайлары деп аталады.
Сонымен, бірінші дәрежемен аппроксилонатын интеграл астындағы функция
трапеция әдісімен, яғни түзу сызықпен шешіледі. Бұл дегеніміз қисық сызықты
трапецияның ауданын табамыз. Интегралдың жуық мәні мынаған тең:
Бұл формуланың (погрешность) қателігі мынаған тең .Белгілейміз,
, мұндағы . Енгізген белгілеуіміздің мағынасы артынан белгілі
болады.
Егер әр аралықты n бөліктерге бөліп және әр аралыққа трапецияның
формуласын қолдансақ,
интегралдың дәл мәнін көрсетуге болады. егер аралықты екі бөлікке
бөлсек, яғни қадамды екі есе азайтсақ, онда интегралдың бағасын мына
түрде көреміз:
Бұл қосындылау бір-ақ элементтен тұрады. Байқағанымыздай жаңа бағаның
орнына ескі баға кірді. Бізге функцияның мәнін жаңа байламдарда табу керек
болатын.
Егер аралық астында 2п болса, онда
.
Егер п=0 болса, онда
Егер п=1 болса, онда
Егер п=2 болса, онда
Рекуренттік қатынас шығады .
Аталған қатынасты трапецияның ... жалғасы
Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.
Ы.АЛТЫНСАРИН АТЫНДАҒЫ АРҚАЛЫҚ МЕМЛЕКЕТТІК ПЕДАГОГИКАЛЫҚ ИНСТИТУТЫ
Жаратылыстану және ақпараттандыру факультеті
Математика, физика және информатика кафедрасы
ДИПЛОМДЫҚ ЖҰМЫС
MATHCAD ПРОГРАММАСЫНДАҒЫ САНДЫҚ ӘДІСТЕР
Орындаған: 050109 Математика мамандығының
ІV курс студенті Татен М.С.
Ғылыми жетекшісі:
аға оқытушы Еденов Ә.Е.
Арқалық - 2009
МАЗМҰНЫ
КІРІСПЕ ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..3
І. MATHCAD ПРОГРАММАЛЫҚ ПАКЕТІ ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..5
1.1. MATHCAD программалық пакетінің мүмкіндіктері ... ... ... ... ... ... ... ..5
1.2. Программа құрылымы ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..7
1.3. Математика саймандар қатарының қызметі ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 12
ІІ. MATHCAD ПРОГРАММАСЫНДАҒЫ САНДЫҚ ӘДІСТЕР ... ... ... ... ... .24
2. ТЕҢДЕУДІҢ ТҮБІРІН ТАБУ ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...24
2.1. Туынды түріндегі функциялар ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 27
2.2. Полином түбірлерін табу ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...28
2.3. Символдық түрлендіру арқылы теңдеудің түбірін табу ... ... ... ... ... ... .28
2.4. MathCAD 2000 теңдеудің түбірін іздеу ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..29
3. ТЕҢДЕУ МЕН ТЕҢСІЗДІКТЕР ЖҮЙЕСІН ШЕШУ ... ... ... ... ... ... ... ...30
3.1. Сызықты және сызықты емес теңдеулер мен теңсіздіктер жүйесін
шешу ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..30
3.2. Сызықты теңсіздіктер мен теңдеулер жүйесін шешу ... ... ... ... ... ... ... 31
3.3. Теңдеу жүйесінің символдық шешуі ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .32
3.4. Функцияның экстремумдарын табу ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..32
4. АНЫҚТАЛҒАН ИНТЕГРАЛДЫ ЕСЕПТЕУ ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .35
4.1. Ромберг әдісі ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..35
4.2. Анықталған интеграл ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...37
5. ДИФФЕРЕНЦИАЛДЫҚ ТЕҢДЕУЛЕРДІ ШЕШУ ... ... ... ... ... ... ... ... .38
5.1. Қарапайым дифференциалдық теңдеулер ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...38
5.2. n-ші ретті дифференциалдық теңдеулер ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 41
5.3. Дифференциалдық теңдеулер жүйесі ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 43
5.4. Қарапайым дифференциалдық теңдеулер: шектік есептер ... ... ... ... ... ..48
5.5. Дербес туындылы дифференциалдық теңдеулер ... ... ... ... ... ... ... ... .50
ҚОРЫТЫНДЫ ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. ..66
ПАЙДАЛАНЫЛҒАН ӘДЕБИЕТТЕР ТІЗІМІ ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...67
ҚОСЫМШАЛАР ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...69
КІРІСПЕ
Компьютерлік техниканың дамуы ғылым мен техниканың практикалық
есептерін шығарудың әртүрлі логикалық әдіс-тәсілдері дамуда. Қазіргі
жағдайда кез келген қолданбалы есептерді шешіп, бағдарламасын құрып,
тестілеуге болады. Инженер-зерттеуші сандық есептеулердің қорытындысын алу
және әртүрлі параметрлер әсерінің бағасын білу үшін қазіргі заманда
компьютерлік технологияға сүйенеді. Бірақ компьютерді қолдану практикалық
мәселелердің шешімін жеңілдетпей, оны күрделендіріп жібергендей.
Математикалық және ғылыми-техникалық есептеулер дербес компьютерді
қолданудың маңызды сферасы болып табылады. Көбінесе олар жоғары дәрежеде
жазылған, мысалы Бейсик немесе Паскаль тіліндегі программалардың көмегімен
орындалады. Бүгінгі уақытта бұл жұмысты дербес компьютерді қолданушы кез-
келген адам әр кезде орындай алмайды. Ол үшін ол адам программалау тілін
және қазіргі кезде өте күрделі математикалық есептеулердің сандық әдістерін
үйренуге мәжбүр болады. Кей жағдайларда осының салдарынан физик, химик
немесе инженер мамандарының қолынан шындықтан алыс программалар келіп
шығады. Сонымен бағдарламашылар бір есепті шығару үшін ұзақ уақыт бойы оның
бағдарламасын құрып, тек содан кейін ғана есептеулер жүргізген. Бұл
жұмыстар бір жағынан қолайлы болғанымен, қарапайым қолданушылар үшін
тиімсіз әрі қиын соғады, өйткені әр адам бағдарламалау тілін біле бермейді.
Сөйтіп бұл мәселелердің барлығын компьютерлік математикалық жүйелерді
құруға көшті.
Компьютерлік математика – ғылым мен техникадағы жаңа бағыт. Ол
классикалық математика мен информатиканың түйісуінен туындайды.
Компьютерлік математиканың маңыздылығы оның программалық жүйемен қамтамасыз
етілуінде және кез-келген математикалық есептерді шешу қабілеттілігінде.
Компьютерлік математика жүйесі батыстың Mathsoft, MathWors, Maple, Wolfram
секілді фирмаларында жасалған. Бұл жүйе алдыңғы қатарлы, озық информациялық
технологияларды білім мен ғылым саласында ортақ пайдаланатыны негізінде
қазіргі күні барлық елдердің игілігіне айналып отыр. Компьютерлік
математикадағы танымал жүйе MathCAD ғылым мен білімнің және техниканың
әртүрлі аймақтарын автоматтандыру үшін математикалық есептеулерге арналған.
Жүйенің аталуы екі сөзден құралған, яғни MATHematica (математика) және CAD
(Computer Aided Desing – автоматты жобалау жүйесі немесе АЖЖ). Сондықтан
MathCAD-ты математикалық автоматты жобалау жүйесі деп атауға болады.
MathCAD программасы қарапайым арифметикалық есептерден бастап, қиын
сандық әдістер көмегімен шешілетін есептерді шығару үшін, ғылыми және
инженерлік есептеулерді жүргізуге арналған математикалық редактор. Бұл
құрал көмегімен әртүрлі есептерді шешуге, теңдеулер графиктерін құруға және
оларды көрнекі түрде көруге болады.
Сонымен бірге MathCAD-тың көптеген құрастырылған қарапайым арнайы және
статистикалық функциялары бар. Математикалық функцияларды ендіруді
жеңілдету үшін арнайы түймелер қолданылады, ол терезеде математикалық
бөлшектерге бөлінген функцияның толық түсіндірмесімен шығарады. Жай
есептеулер MathCAD-та өте тез орындалады және бұл программаның басты
жетістігі әртүрлі функциялардың графиктерін бір координата жазықтығында
салуда болып табылады. Сондай-ақ, MathCAD программасындағы кітапхана,
кеңейтілу пакеті және компьютерлік математика жүйесі – мыңдаған жылдар бойы
жинақталған математикалық білімді топтайды. Қорыта айтқанда, аталған жүйені
бүгін уақыт талабына сай электронды оқулықтар жасауда кеңінен қолданған
тиімді.
Бүгінде MathCAD-тың әр түрлі версиялары математикалық бағдарланған
универсалды жүйе болып табылады. Ол мәтіндік редакторлар және электронды
таблицалармен қиын берілетін күрделі есептеулерді жеңіл шешуге мүмкіндік
береді.
MathCAD-тың көмегімен кітап, диссертация, ғылыми есеп, дипломдық және
курстық жобаларды тек әр түрлі үлгідегі сапалы мәтінмен ғана емес, ең
күрделі математикалық формула жиынтығымен, есептеулермен, графиктік
көріністермен дайындауға болады.
Жұмыстың мақсаты
Бұл жұмыстың мақсаты қазіргі заманның талабына сай күннен күнге дамып
отырған ақпараттық технологиялардың көмегімен әртүрлі математикалық
қарапайым есептер мен сандық есептерді шығарудың, соның ішінде теңдеулер
мен теңсіздіктерді шешу, анықталған интегралды есептеу, дифференциалдық
теңдеулерді шығару үшін қолданылатын жаңа компьютерлік бағыттың қолданылуы.
Ол программалық пакеттің құрылымымен таныстырып, маңыздылығын мен
қажеттілігін көрсету.
Тақырыптың өзектілігі
Компьютерлік технологияның дамуы ақпараттық технологияның күнделікті
өзгеруіне әкеліп, ғылымы мен техника саласындағы, әсіресе математика
саласының есептерін, оның ішінде теңдеулер мен теңсіздіктерді шешу,
анықталған интегралды есептеу, дифференциалдық теңдеулерді шешу үшін
қолдануға ыңғайлы MathCAD программалық пакетінің қызметі жайлы түсіндіру.
Дипломдық жұмыстың құрылымы
Кіріспе бөлімінде жаңа заман талабына сай дамып келе жатқан жаңа
ақпараттық, компьютерлік технологиялардың болуы туралы айтылды.
Жұмыстың негізгі бөлімі екі тараушадан тұрады. Біріншісінде MathCAD
программалық пакетінің мүмкіндіктері, программа құрылымы және оның
математика саласында қолданылуы жайлы, арнайы математика саймандар қатары
туралы жазылған. Екінші тарауында осы программалық пакеттің көмегімен
теңдеулер мен теңсіздіктерді шығаруға, анықталған интегралды есептеуге,
дифференциалдық теңдеулерді шешуге қолданылуы, оның қосымша функцияларының
қызметі туралы айтылып, есептер және оның графиктері көрсетілген.
І. MATHCAD ПРОГРАММАЛЫҚ ПАКЕТІ
1. MATHCAD ПРОГРАММАЛЫҚ ПАКЕТІНІҢ МҮМКІНДІКТЕРІ
Компьютерлік математика - ғылым мен техникадағы жаңа бағыт. Ол
классикалық математика мен информатиканың түйісуінен н туындайды.
Компьютерлік математиканың маңыздылығы оның программалық жүйемен қамтамасыз
етілуінде және кез-келген математикалық есептерді шешу қабілеттілігінде.
Компьютерлік математика жүйесі батыстың Mathsoft, MathWors, Maple, Wolfram
секілді фирмаларында жасалған. Бұл жүйе алдыңғы қатарлы, озық информациялық
технологияларды білім мен ғылым саласында ортақ пайдаланатыны негізінде
қазіргі күні барлық елдердің игілігіне айналып отыр. Компьютерлік
математикадағы танымал жүйе MathCAD ғылым мен білімнің және техниканың
әртүрлі аймақтарын автоматтандыру үшін математикалық есептеулерге арналған.
Жүйенің аталуы екі сөзден құралған, яғни MATHematica (математика) және CAD
(Computer Aided Desing – автоматты жобалау жүйесі немесе АЖЖ). Сондықтан
MathCad-ты математикалық автоматты жобалау жүйесі деп атауға болады.
MathCAD-тың көмегімен кітап, диссертация, ғылыми есеп, дипломдық және
курстық жобаларды тек әр түрлі үлгідегі сапалы мәтінмен ғана емес, ең
күрделі математикалық формула жиынтығымен, есептеулермен, графиктік
көріністермен дайындауға болады.
MathCAD программасының мұндай мүмкіндіктері электронды сабақтар,
лекциялар курсы, электронды кітаптар жазуда маңызды жабдыққа айналып отыр.
Сонымен бірге компьютерлік математика жүйесі көркемөнер, графика,
лингвистика саласында кеңінен қолданыс табуда. MathCAD-тың жаңа нұсқасында
құжаттардың көркем түсті эффектілі құрылғы және графикті анимациялау,
дыбысты қосып шығару мүмкіндігі қосылған. Осы артықшылығына байланысты
мәтіндік, формулалық және графиктік редакторлар қуатты есептеуіш
потенциалды орта жүйесімен бірігеді. Өте күрделі тапсырмаларды шешу үшін
математикалық және графикалық жүйелер және олардың бірігуі қарастырылған.
Бұл жүйе әртүрлі математикалық, графикалық және офистік жүйе қатарымен
кеңейтілген интегралдауды қамтамасыз етеді.
MathCAD-ты тек қана математикалық есептерді шешу үшін емес басқа да
қуатты инженерлік автоматтандырылған жобалау жүйесін дайындаумен бірге,
графиктерді, бірнеше графиктерді бір мезгілде салу мүмкіндігі ескерілген.
MathCAD – барлық функциялардың графиктерін көрнекі түрде, әсем көрсетуімен
бірге, математикалық таңбаларды, символдарды палитра көмегімен енгізудегі
артықшылығы көрсетілген. Жалпы жағдайда, MathCAD жүйесі келесі
компоненттерден тұрады:
• құжаттар редакторы – математикалық өрнектердің, графиктердің, үлгілер
және мәтіндік түсініктемелердің мүмкіндіктерімен кірістірілген
редакторы;
• ресурстар орталығы – интегралданған ресурстар жүйелері;
• электрондық кітап – ғылым және техника аймақтарында әр алуан типтік
есептер жазылған электрондық кітап;
• анықтамалық жүйе – тақырыптық және индекстік каталог бойынша
берілгендердің анықтамасын алу үшін және басқа кілттік сөз немесе
фраза бойынша керекті берілгендерді іздеуге арналған жүйе;
• броузер Интернет – Интернетке шығатын жеке құрал.
Редакторлеу режимінде бір мезгілде бір терезеден басқа объектіге
өтуіне және құжаттар қатарымен жұмыс істеуге болады. Сондай-ақ кез-келген
графикалық бейнелеу жай немесе күрделі функция графиктерінен суреттік
бейнелердің көп түсті дизайны қарастырылған және суреттерді анимациялау
құрылғысы енгізілген, видео-файлдық шығармаларды стереофондық дыбыстар
арқылы экранға шығару мүмкіндігі бар.
Сонымен бірге MathCAD-тың көптеген құрыстырылған қарапайым арнайы және
статистикалық функциялары бар. Математикалық функцияларды ендіруді
жеңілдету үшін арнайы түймелер қолданылады, ол терезеде математикалық
бөліктеріне бөлінген функцияның толық түсіндірмесін шығарады. Жай
есептеулер MathCAD-та өте тез орындалады және бұл программаның басты
жетістігі әртүрлі функциялардың графиктерін бір координата жазықтығында
салуда болып табылады. Сондай-ақ, MathCAD программасындағы кітапхана,
кеңейтілу пакеті және компьютерлік математика жүйесі – мыңдаған жылдар бойы
жинақталған математикалық білімді топтайды. Қорыта айтқанда, аталған жүйені
бүгінгі уақыт талабына сай электронды оқулықтар жасауда кеңнен қолданған
тиімді.
MathCAD программасы қарапайым арифметикалық есептерден бастап, қиын
сандық әдістер көмегімен шешілетін есептерді шығару үшін, ғылыми және
инженерлік есептеулерді жүргізуге арналған математикалық редактор. Бұл
құрал көмегімен әртүрлі есептерді шешуге, теңдеулер графиктерін құруға және
оларды көрнекі түрде көруге болады.
MathCADпрограммалық пакеті:
• мәтін мен қатар математикалық өрнектерді форматтап, редакторлеуге
арналған қуатты мәтіндік редактор;
• қолданбалы сандық әдісті қолдана отырып, әртүрлі есептеулерді
орындауға арналған есептегіш процессор;
• жасанды интеллектің жүйесі болып табылатын қарапайым есептеулер мен
құбылыстарды жүргізуге арналған символдық процессор;
• барлық математикалық та, инженерлік те анықтамалар сақталған,
интерактивті электрондық кітап ретінде безендірілген анықтамалар.
MathCAD программасының басқа да математикалық редаторлерден ерекшелігі
оның WYSIWYG (“What You See Is What You Get” – что вы видите, то и
получите) мұндағы приципімен жұмыс жасауы. Сондықтан оны қолдану өте
ыңғайлы, өйткені қандай да бір есептің орындалуын көру үшін оның
программасын жазудың қажеті жоқ. Бұның орнына математикалық өрнектерді
формулалар редакторы көмегімен енгізіп, есептеулердің нәтижесін көруге
болады. Сонымен қатар сол есептеулер нәтижесін бірден қағаз басып шығаруға
да болады. Тағы бір ерекшеліктерінің бірі сол бетті Интернет беті ретінде
де көруге болады.
MathCAD программасын құрушылар барлық мүмкіндікті жасаған, атап
айтқанда, әрбір қолданушы, яғни бағдарламалау тілін меңгермеген
қолданушының өзі де есептеулерді бірден жүргізе алады. Бұл программамен
жұмыс жасау үшін қолданушы қарапайым компьютерді қолдану мүмкіндіктерін
меңгерсе болғаны. Екінші жағынан кәсіби программистер мүмкіндіктерінің
өздерінің білімдері арқылы, яғни есептеулер жүргізу кезінде өздері құрған
программаларды енгізе алады.
Сонымен бұл программа математиктердің бірнеше мәселелерін шеше алады:
• математикалық өрнектерді компьютерге енгізу (ары қарай есептеу не
құжат құру, не презентация құру, Web – бетін немесе электронды кітап
жасау үшін);
• математикалық есептеулер жүргізу (қарапайым да, сандық әдіс көмегімен
де);
• есептеулер нәтижесінің көмегімен графиктер дайындау;
• әртүрлі форматтағы берілгендерді енгізу және нәтижелерін шығару;
• баспа құжат түрінде есепті көру;
• Web – парақтарын дайындау және оның нәтижесін Интернетте көру;
• Математика аймағындағы әртүрлі анықтамаларды алу.
2. ПРОГРАММА ҚҰРЫЛЫМЫ
MathCAD программасы компьютерге қойылып енгізіліп болғаннан кейін 1-
суретте көріп отырғандай терезеде жұмыс жасаймыз. Бұл программа Windows
ортасындағы барлық программаларға ұқсас келеді.
Сурет 1. MathCAD 12 программасының терезе құрылымы
Жоғарыдан төмен тақырып қатары, мәзір қатары, саймандар қатары
(стандартты және форматтау) және жұмыс аумағы (worksheet) орналастырылған.
Жаңа құжат программаны іске қосқаннан кейін автоматты түрде құрылады.
Терезенің ең төменгі жағында қалып күй қатары орналастырылған. Сонымен
MathCAD программасының интерфейсі де басқа программаларға әсіресе қарапайым
мәтіндік редакторге ұқсас.
Мәтіндік редактордың басқару элементтеріне сәйкес келетін MathCAD
программасы Math (Математика) саймандар қатарымен толықтырылған. Осы қатар
және тағы да басқа қосымша қатарлар көмегімен теңдеулерді енгізуге болады.
MathCAD программасының терезе құрылымы:
• Standard (Стандартная) стандартты саймандар қатары;
• Formatting (Форматирование) пішімдеу қатары;
• Resources (Ресурсы) ресурстар;
• Controls (Элементы управления) басқару элементтері;
• Math (Математика) қатары;
• Жұмыс аумағы (worksheet);
• Қалып күй қатары (status line немесе status bar);
• Көмек беру және жанама мәзірі (pop-up menus немесе context menus);
• Сұхбат терезелері (dialogs);
• MathCAD (Mathcad Resources) қосалқы мысалдармен және қосымша
ақпаратпен жабдықталған қатары.
Көптеген командаларды мәзір, саймандар қатары көмегімен де пернетақта
көмегімен де орындауға болады.
Математикалық және ғылыми-техникалық есептеулер дербес компьютерді
қолданудың маңызды сферасы болып табылады. Көбінесе олар жоғары дәрежеде
жазылған, мысалы Бейсик немесе Паскаль тіліндегі программалардың көмегімен
орындалады. Бүгінгі уақытта бұл жұмысты дербес компьютерді қолданушы кез-
келген адам әр кезде орындай алмайды. Ол үшін ол адам программалау тілін
және қазіргі кезде өте күрделі математикалық, есептеулердің сандық
әдістерін үйренуге мәжбүр болады. Кей жағдайларда осының салдарынан физик,
химик немесе инженер мамандарының қолынан шыққандықтан алыс программалар
келіп шығады.
Осындай келген жағдайлардан математикалық есептеулерді
автоматизациялайтын интегралдаудың программалық жүйесін қолдану арқылы
шығуға болады (мысалы MathCAD, MathLAB және тағы басқадай). Біздің
алдымызда сондай жүйелердің бірі MathCAD-тың сызықтық емес теңдеулер
жүйесін шығарудағы мүмкіндіктері мен эволюциясын қарастырамыз.
MathCAD – бұл ғылым мен техниканың, білім берудің әр түрлі
облыстарында мысалы математикалық есептерді шешуді автоматизациялауға
бағытталған компьютерлік математиканың белгілі жүйесі.
MathSoftInc. (АҚШ) фирмасы жүйенің бірінші версиясын 1986 жылы
шығарды. MathCAD жүйесінің басты бөліп алатын ерекшелігі оған енгізілген
тілде, мұнда математика бойынша трактаттарында, тіпті жалпы ғылыми
әдебиеттерде қолданылатын нақты математика тіліне максималды жуық. Жүйемен
жұмыс істеуге кіріскенде қолданушы атаулы документтерді дайындайды. Олар
бір уақытта есептеу алгоритмінің бейнелеуін, жұмысты басқару программасын
және есептеу нәтижесін іске қосады. Сыртқы көрінісіне қарағанда мәтіндер
кәдімгі программаға ұқсамайды.
Бүгінде MathCAD-тың әр түрлі версиялары математикалық бағдарланған
универсалды жүйе болып табылады. Ол мәтіндік редакторлар және электронды
таблицалармен қиын берілетін күрделі есептеулерді жеңіл шешуге мүмкіндік
береді. MathCAD көмегімен статья, кітап, диссертация, ғылыми есептеу,
дипломдық және курстық жобаларды тек қана сапалы мәтіндермен емес, сондай-
ақ жеңіл жүзеге асыратын ең күрделі математикалық формулалар жиынымен,
есептеу нәтижесін графикалық қойылымдармен дайындауға болады.
MathCAD жүйесінің жаңа версиясындағы маңызды жетістігі болып кез-
келген баспаға шығару құрылғысының белгілі типіндегі настройка, шрифтердің
бай жинағы, Windows-тың барлық құралдарын қолдану мүмкіндіктері, әдемі
графика және қазіргі уақыттағы көп терезелі интерфейс жатады. Жаңа нұсқада
да документтерді әр түрде безендіруде тиімді мүмкіндіктер, қозғалмалы
графиктер және дыбыстық сүйемелдеуді жасау қосылған. Ерекше күрделі
есептерді шешу үшін басқа математикалық және графикалық жүйелермен бірігу
мүмкіндіктері де қарастырылған. Осыдан мынадай жүйелер – интегрирленген
жүйелер атауы шығады. Интеграция есептерін шешуде MathCAD-ты жасаушылар
ұзаққа кеткен – бұл жүйе түпкі интеграцияны басқа математикалық, графиктік,
офистік жүйелермен, толық қатармен қамтамасыз етеді. Осы үшін оған
MathConnex арнайы жүйелілік интегратор қосылған. 1999 жылдың жазында
жаңаланған нұсқа – MathCAD 2000 жүйесі шықты. Оған графиктік
мүмкіндіктердің жақсаруы, есептеу жылдамдығының жоғарлауы, жұмыс
тиімділігі, функциялар санының өсуі кіреді.
Кейбір суреттерде көрініп тұрғанымыздай қызыл қосу белгісі бар. Оның
көмегімен құжаттағы бос орынды мәтін немесе формуламен толтыруға болады.
Бұл сілтемені жылжытып, орынын ауыстыру үшін тышқанмен шерту жеткілікті.
Формула аймағында сырт еткізу кезінде сілтеме орнына редакторлеу сызығы
пайда болады.
Үнсіз келісім бойынша бұл программада есептеулер нақты уақыт
аралығында жүргізіледі, яғни қолданушы сандық және символдың теңдік
операторларын енгізе бастаған кезде MathCAD есептеулерді жүргізе бастайды.
Кейде қиын да, күрделі ұзақ есептеулерді Esc пернесінің көмегімен тоқтата
қоюға болады, қайта қалпына келтіру үшін F9 немесе ToolsCalculate
(СервисВычислить) және ToolsCalculate Worksheet (СервисВычислить во всем
документе) командаларының көмегімен орындаймыз.
Сонымен қатар MathCAD программасында әртүрлі функцияларды есептеуге
болады, оларды бірден енгізіп, мәндерін білуге болады. Ол үшін функция
енгізу деп аталатын арнайы терезе бар. Бұл терезе екі бөліктен тұрады:
функция категориялары, яғни арнайы, статистикалық, тригонометриялық,
логикалық және т.б. категорияларға байланысты функция аттары. Функция
аттарын пернетақтадан да енгізуге болады.
Сурет 2. Функцияларды енгізу терезесі.
Функцияны өрнекке енгізу үшін:
1. Функцияны қоятын жерді анықтап алу керек.
2. f(x) жазылымын стандартты саймандар қатарынан басу керек.
3. Insert Function (Вставить функцию) сұхбат терезесіндегі Function
Category (Категория функции) тізімінен функция жататын қажетті
категорияны таңдаймыз.
4. Function Name (Имя функции) тізімінен қажетті функция атын таңдаймыз.
5. OK-ді бассақ құжатқа қажетті функция енгізіледі.
6. Кейін функцияның жетіспеуші аргументтерін енгізуге болады. Дәл осы
функцияны Math саймандар қатарынан былай енгізуге болады.
Сурет 3. MathCAD программалық пакетінің жұмыс аймағы.
3. MATH (МАТЕМАТИКА) САЙМАНДАР ҚАТАРЫНЫҢ ҚЫЗМЕТІ
Сурет 4. Негізі және математикалық саймандар қатары.
• Math (Математика) – құжатқа математикалық символдар мен
операторларды енгізу;
• Resources (Ресурсы) – MathCAD ресурстарын тез шешу үшін (мысал,
оқулық, электрондық кітап және т.б.);
• Controls (Элементы управления) – құжатқа стандартты басқару
элементтерін енгізу үшін.
Барлық терезе құрылымына ұқсас түймелер тобы сызық арқылы Math
(Математика) саймандар қатары экранға тағы да басқа математикалық
операцияларды орындау үшін қажетті тоғыз саймандар қатарын шақыру үшін
қолданылады:
• Calculator (Калькулятор) – кәдімгі калькуляторға ұқсас қарапайым
математикалық операциялар мен есептеулерді орындауға арналған;
• Graph (График) – графиктер енгізу үшін;
• Matrix (Матрица) – матрица және матрицалық операторды енгізу үшін;
• Evaluation (Выражения) – есептеулерді басқаратын операторларды шақыру;
• Calculus (Вычисления) – интегралдау, дифференциалдау және қосу
операторларын енгізу;
• Boolean (Булоны операторы) – логикалық (буловых) операторларын енгізу;
• Programming (Программирование) - MathCAD құралы көмегімен
программалау;
• Greek (Греческие символы) – грек символдарын енгізу;
• Symbolic (Символика) – символдың операторларды енгізу.
Барлық символды пернетақтадан енгізе алмаймыз. Мысалы, дифференциалдау
және интегралдау белгілері. Ол үшін MathCAD программасында Microsoft Word
мәтіндік редакторындағы формулалар редакторына ұқсас арнайы Math
(Математика) саймандар қатары бар.
Бұл саймандар қатары математикалық объектілерді (оператор, график,
программа элементтері және т.б.) енгізуге арналған құралдардан тұрады.
Жоғарыда айтып кеткендей қатардың тоғыз арнайы түймелері бар. Әр
түйменің өз қызметі бар.Осы қосымша тоғыз тақталар көмегімен әртүрлі
математикалық объектілерді енгізуге болады. Әр тақтаға жеке тоқталып
кетейік.
Calculator (Калькулятор) – аты айтып тұрғандай қарапайым есептеулерді
жүргізуге пернетақтаның көмегін қолданбай-ақ арналған тақта. Мысалы, sin
(12) өрнегінің мәнін есептеу үшін, алдымен y sin батырмасын басып, кейін
шыққан өрнекке жақша ішіне ½ мәнін береміз (1, және 2) кейін – батырмасын
басу арқылы нәтижесін көреміз.
Берілген мысалы, калькулятор көмегімен қарапайым ғана есептеулер
жүргізуге арналған. Ал нағыз математикадағы айнымалылары бар кеңейтілген
функциялардың мәнін есептеу үшін меншіктеу х:=1 белгісі көмегімен
орыдалады. Яғни, қарапайым программалаудағы меншіктеу операторына ұқсас.
Calculator (Калькулятор) құралы = теңдік белгісін мәнді солдан оңға қарай
есептеу үшін, ал меншіктеу := белгісін оңнан солға қарай меншіктеу
кезінде қолданады.
Мысал 1. Айнымалыға мәнді меншіктеу және есептеу.
Сурет 5. Меншіктеу операторын таңдау.
MathCAD құралының ерекшеліктерінің бірі қарапайым есептеулерді жүргізу
кезінде символдарды енгізу. Ол үшін Calculus (Вычисления) Symbolic
(Символика) тақтасынан Evaluation (Выражения) немесе дифференциалдау,
интегралдау батырмаларын таңдаймыз.
Мысал 2. Қарапайым есептеулердегі айнымалылар.
Сандық мәндерді меншіктеуге сәйкес 3-ші және 4-ші мысалдарда екі
немесе үш мәнді меншіктеу көрсетілген.
Мысал 3. Функцияның нүктедегі мәндерін анықтау.
Мысал 4. Функцияның үш аргументтегі мәнін есептеу.
Енді осы мысалдарда көрсетілген функциялардың графигін енгізу үшін
Математика тақтасының келесі бөлімі график енгізу арқылы көрсете аламыз.
f(x) функицясының графигі 6 суретте көрсетілген. Оны енгізу үшін Graph
(График) тақтасынан график түрін таңдау арқылы орындаймыз.
Сурет 6. Мысалда келтірілген фукцияның графигі.
MathCAD пакетінің ортасында көптеген операциялар мен есептеулер
комплекс сандар көмегімен жүзеге асырылады. Комплекс сан дегеніміз нақты
және жалған сандардың қосындысы. i (imaginary unit) жалған мән болып
табылады. Анықтама бойынша i2=-1 болады.
Мысал 5.
Мысал 6. Комплекс сандарды енгізу және шығару.
Мысал 7. Комплекс сандарымен орындалатын қарапайым есептеулер.
Математикалық тұрақтылар сандық және символдық енгізулер кезінде
әртүрлі болады. Математикалық тұрақтылар:
• оо – шексіздік белгісі (пернетақтадан Ctrl+Shift+z пернелер
көмегімен енгізіледі);
• е – натурал логарифм негізі (пернесі е);
• рі – пи саны (Ctrl+Shift+р пернелер көмегімен);
• і,j – жалған бірлік (1, i немесе 1, j);
• % - пайыз символы, (% , 0,01-ге сәйкес).
Мысал 8. Математикалық тұрақтылар мәні.
Жүйелік айнымалылар кіріктірілген функцияларға енгізілген сандық әдіс
жұмысын анықтайды. Жүелік айнымалылар:
• TOL – сандық әдіс нақтылығы;
• CTOL – кейбір сандық әдісте қолданатын мәндердің орындалуының
нақтылығы;
• ORIGIN – қатар айнымалылары мен массивтегі бастапқы индекс нөмірі;
• PRNPRECIZION – файлды шфғару кезінде берілгендердің форматын қою;
• PRNCOLWIDTH – файлды шығару кезінде бағана форматын қою;
• CWD – ағымдағы жұмыс бумасына мәтіндік жол көрсету.
Мысал 9. Жүйелік айнымалылардың белгіленген мәндері.
Барлық графиктер берілген шарттары бойынша бірдей Graph (График)
тақтасы көмегімен құрылады. Декарт координаталар жүйесінде график құру
үшін:
1. Тышқан сілтемесін график орналасатын жерге қоямыз.
2. Егер жұмыс аумағында Graph (График) тақтасы болмаса, Math
(Математика) саймандар қатарынан шақырып аламыз.
3. Graph (График) тақтасындағы декарт координатасындағы график құру
X-Y Plot батырмасын басамыз.
4. Нәтижесінде белгіленген орында бос график пайда болады.
Сурет 7. Graph (График) тақтасы көмегімен құрылған декарттық
координата жүйесі
Егер берілген аттары дұрыс енгізілсе, экранда қажетті график пайда
болады. Құрылған графикті де, оның мәндерін де форматтап, өзгертуге болады.
Ал енгізілген Edit (Правка) пунктінен Cut (Вырезать) таңдап немесе
Delete (Удалить) арқылы өшіруге болады.
Функция графигі
Қандай да болмасын берілген f(x) функциясын құрудың екі тәсілі бар.
Бірі функцияға мәндер беріп, графигін салу және екіншісі тез салу жолы.
Сурет 8. Графикті тез салу жолы
MathCAD ортасында үнсіз келісім бойынша функция графигі суреттегідей
-10 және 10 аралығында құрылады.
Бір графикте 16 тәуелділікті қолдануға болады. График үстіне тағы бір
график енгізу үшін:
1. Енгізу сызығын Y осі координатасының мәнін қамтитындай етіп
орналастырамыз.
2. , пернелерін басамыз.
Сурет 9. Бір графикке бірнеше тәуелділікті салу.
3. Нәтижесінде екінші қисықтың мәнін енгізетін толтырушы пайда
болады.
4. Осы мәннен тыс жерден сырт еткізу керек.
Сонымен екінші қисық графикте бейнеленеді. Осы тәсілмен бірнеше график
салуға болады.
Сурет 10. Әртүрлі аргументті бірнеше график салу
Үшөлшемді графиктер салу MathCAD программасының қолданушыға беретін
ғажап қасиеті. Бірнеше секунд ішінде есептеулер нәтижесін график түрінде
көре аласыз.
Үшөлшемді график салу үшін Graph (График) тақтасынан үшөлшемді график
құру батырмасын таңдаймыз. Нәтижесінде үшосьті бос координат жазықтығын
береді.
Сурет 11. Үшөлшемді график салу
Мысал 10. Үшөлшемді графикті тез салу функциясы.
Мысал 11. Үшөлшемді графикті бейнелеу матрицасы.
Graph (График) тақтасындағы арнайы батырмалар көмегімен үшөлшемді
графикті салып қана қоймай, оның деңгейін, сызығын, бет жазықтығын т.б.
өзгертуге болады.
Сурет 12. Бет графигі
Сурет 13. Матрица арқылы берілген бет графигі
Үшөлшемді графикті форматтау 3-D Plot Format (Форматирование 3-D
графика) көмегімен орындалады.
Сурет 14. Үшөлшемді гисторграмма
Сурет 15. Үшөлшемді графиктегі нүктелердің орналасуы
II. MATHCAD ПРОГРАММАСЫНДАҒЫ САНДЫҚ ӘДІСТЕР
2. ТЕҢДЕУДІҢ ТҮБІРІН ТАБУ
Ньютон әдісі және оның модификациясы теңдеудің түбірін табу жолдарының
бірі болып табылады. теңдеуін шешу керек болсын. Ол үшін х теңдеудің
шешімі болады. х нүктесіне жақын х0 нүктесінде функциясын қатарға
жіктейік және бірінші екі көпмүшелікке тоқталайық.
x – теңдеудің түбірі болғандықтан, болады. Осыдан
.
Сонымен, егер бізге теңдеу түбірінің жақын мәні белгілі болса, онда
шыққан теңдеуді анықтауға мүмкіндік береді. Берілген ізделінді нүктеге
қарағанда, функцияның мәні нөлден кіші болмағанға дейін, анықтау
мүмкіндігін бірнеше рет қайталауға болады. Келесі k-ға жақын мән мына
формула бойынша табылады.
.
Бірінші екі көпмүшелікті жіктелуімен шектелсек, біз функциясын х0
нүктесіндегі жанамаға түзу сызыққа ауыстырдық, сондықтан Ньютон әдісін
жанама әдісі деп те атайды. Функцияның туындысын табу үшін аналитикалық
түрін таба беруге мүмкіндік бола бермейді. Бірақ та, бұнда аса маңызды
қажеттілік болмайды: түбірдің жақын мәнін әр қадамда алсақ, онда туындының
жақын мәнін есептеу үшін аламыз.
.
кіші мәніне алуға болады, мысалы, нақты есептеуі берілген,
септеу формуласы мынандай түрде болады.
.
Басқа жағынан, табылған алдыңғы екі қадамдар бойынша туындыны
есептеуге, функцияның мәнін қолдануға болады.
.
Бұл жағдайда әдіс кесінділер (secant method) әдісі деп аталады. Бірақ
та, бірінші жақындауды есептеуде қиындық туады. - бұл формула
есептеудің бірінші қадамы, ал қалғандарының бәрі – осы формуланың көмегімен
еептелінеді. MathCAD пакетінде осы есептеу схемасы бар кесінділер әдісін
қолдана отырып, біз түбірдің екі соңғы жақындауда жатқанын айта алмаймыз.
Келесі жақындауды есептеуге аралық шекарасын қолдануға, мұндағы функция
белгісі өзгереді. Мұндай әдіс Хорд әдісі (false position method) деп
аталады.
Кесінділер әдісі Мюллер әдісінде дамиды. Бірақ бұл әдісте келесі
жақындауды табуда үш алдыңғы нүктелер қолданылады. Басқа сөзбен айтқанда
әдіс сызықты емес, квадраттық функцияның интерполяциясын қолданады.
Әдістің есептеу формуласы келесі:
Алымдағы абсолюттік мәні максималды болу үшін, түбір алдындағы таңба
таңдалынады. Мысалы, егерде нақты есептеуде 0,0001-ден кіші ізделінді
болса, теңдеу үшін түбірі жалған болып табылады. Бірақ бұл
жағдай барлық теңдеулерге келе бермейді. Мысалы, теңдеуі үшін, соңғы
ізделінді критерийді қанағаттандыратын х мәніне нақты аз шамаға мүмкін емес
түбірлер болмайды. Келтірілген мысалдар көрсеткендей, комплекстік
есептеудегі нәтижелерге шын мәнін тұжырымдауға басқа жағынан қарау керек.
Басқа жағдайда, түбір орналасқан аралық белгілі болса, онда теңдеуді
шешуде басқа да әдістерді қолдануға болады.
Риддер әдісінде (Ridder`s method) аралық ортасында функцияның
мәні есептеледі. Одан кейін экспоненциалдық функциясын іздейміз.
мәнін пайдалана отырып, кейін Хорд әдісін қолданамыз. Келесі мәнді
есептеуде мына формула пайдаланылады
.
Брент әдісі (Brent method) Риддер әдісінің шапшаңдылығын және жарты
кесінділер бөлігінің әдісінің ұқсастығын қосады. Әдіс квадраттық
интерполяцияның қайтымдысын, яғни у квараттық функциясын х түрінде іздейді.
Әр қадамда түбірдің локалын тексереді. Ерекше әдістер полиномның түбірін
іздеуде қолданады. Бұл жағдайда барлық түбірлер табылуы мүмкін. Полином
түбірлерінің біреуі табылғаннан кейін, полиномның дәрежесі төмендейді,
кейіннен түбірдің ізделінуі қайталана береді.
Лагерр әдісі (Laguerre`s method) полиномның келесі қатынастарынан
түзеледі.
Ағымдағы жақындаудың қашықтығында х1 түбірі жатады деп болжайық, ал
қалған басқа түбірлер b:x-x1=a; x-x1=b қашықтығында жатады, егер i=2,3,...,n.
Сонда
мұндағы .
Алымындағы үлкен мәнін алу үшін, түбір алдындағы таңбаны таңдайды.
Тағы да бір әдіс, полином түбірлерін іздеу үшін – матрицалы әдіс
(companion matrix). Дәлелдеуге болады, матрица
полиномы үшін матрицалы деп атайды, полином түбірлеріне тең
өзіндік мәні бар болады.
Еске салайық, немесе теңдеуі орындалуы үшін матрицаның
өзіндік мәндері деп 1 санын айтады. Өзіндік мәндерді іздеу үшін нәтижелі
әдістер бар, олар туралы алда айтылады.
1. ТУЫНДЫ ТҮРІНДЕГІ ФУНКЦИЯЛАР
MathCAD қолдана отырып, x=[-2,7] аралығында функцияның нөлін
табайық. Алдымен функцияны графикте бейнелейік.
Берілген аралықта функция үш рет нөлге айналады. Функцияның нөлін
анықтайық, root(f(x),x) құрылған функцияны қолданамыз. Нөлді табу үшін
бірінші аргумент – функция, ал екінші – айнымалы, оны варияциялау керек.
іздеуге бастапқы жақындау мәнін береміз. Құрылған айнымалы TOL нақты
есептеумен беріледі. Үнсіз келісім мәні 0,001-ге тең. Бұл мәнді MathBuilt-
In Variables менюі арқылы немесе құжат мәтінінде өзгертуге болады: TOL:=10-
9.
Бастапқы мәнді береміз: х:=-1.
Одан түбірді табамыз: root(f(x),x)=-1.570796327
Егер де бірнеше түбір табу керек болса, онда жаңа функцияны анықтау
керек: r(х):=root(f(x),x).
r(х) функциясы х-ке жақын түбір мәнін береді, яғни функцияның
аргументі арқылы бастапқы мәнді береміз. Х бастапқы мәндер векторын береміз
және х түбіріне қатысты түбірлерді аламыз:
Берілген мысалға түбірді аналитикалық жолмен оңай табылады. Олар
берілген аралықта –р2, р2 және 3р2 тең. Шыққан андық нәтиже берілген
дәлдікпен нақты шешіммен тең болды.
а параметріне тәуелді функция болсын
Бірінші аргумент z функциясының параметрдің мәнін берсін, ал екінші –
бастапқы жақындау мәнін берсін. 1 және 2 параметрлер мәніндегі теңдеудің
түбірін табайық.
Егер де біз коплекстік түбірді тапқымыз келсе, онда бастапқы жақындау
мәнін коплекс түрінде береміз:
.
2. ПОЛИНОМ ТҮБІРЛЕРІН ТАБУ
Полином түбірлерін табу үшін polyroots(a) құрылған функциясы бар.
полином коэффициенттерінің векторы функцияның аргументі болып
табылады, яғни теңдеуіне а векторы мынадай түрде болады:
Егер полиномда кейбір көрсеткіштер болмаса, онда ол жерлерге 0 қоямыз.
полином түбірін табу керек болсын.
Полином коэффициенттері де комплексті болуы мүмкін.
3. СИМВОЛДЫҚ ТҮРЛЕНДІРУ АРҚЫЛЫ ТЕҢДЕУДІҢ ТҮБІРІН ТАБУ
Көп жағдайда, MathCAD-та теңдеудің аналитикалық жолмен шешуге
мүмкіндік береді. Ол үшін Symbolic меню пунктісінен Solve for Variable
пунктін қолданамыз. Теңдеудің түбірін табу үшін алдымен берілгенді жазамыз
және ондағы айнымалыны белгілейміз (айнымалының қасына курсор белгішесін
қоямыз). Бұл бізге қайсысы айнымалы, ал қайсысы – фиксирленген параметр
екенін көрсету үшін қажет. Осыдан барып Symbolic меню пунктісінен Solve for
Variable пунктін таңдаймыз.
шешімі дайын
Назар аударыңыз! Бұл жағдайда бір ғана түбір табылған, ал шынында олар
шексіз. MathCAD полином жағдайында, егер Maple символдық процессор
орнатылған болса, онда ол барлық түбірлерді табады.
. Бұл мысалға 2 түбір табылған, әйтсе де олар шығарылған болған.
Комплекстік түбірге мысал: .
2.4 MATHCAD 2000 ТЕҢДЕУДІҢ ТҮБІРІН ІЗДЕУ
Теңдеудің түбірін MathCAD 2000-да іздеуде бірқатар қосымша
мүмкіндіктер береді. root (f(var1, var2,...), var1, [a,b]) функциясы енді a
және b екі аргументі бар,аралық шекарасын анықтайтын және түбірді осы
аралықта іздеуге болады. [a,b] аралық соңында f функциясы (f(a)f(b)0)
таңбасын ауыстыру керек. түбірге бастапқы жақындау мәнін бермеуге де
болады. Берілген нұсқауда root функциясы Риддер және Брент алгоритміне
қолданады. Мысалға,
функциясының түбірін іздейік.
Түбірлердің орналасу ретіне қарай функцияның графигін құрайық.
[1,8] интервалында функцияның екі түбірі бар. MathCAD 2000 тек біреуін
ғана таба алды. Полином түбірлерін табу үшін де қосымша мүмкіндіктер туды.
Polyroots функциясы түбірді іздеуде екі әр түрлі алгортимді қолданады –
Лагерр әдісі және матрицалы әдіс.
Функцияның аты орналасқан жерге тінтуірдің оң жағын басу арқылы,
әдістерге көшу үшін меню контекстісінде өзгертіледі.
3. ТЕҢДЕУЛЕР МЕН ТЕҢСІЗДІКТЕР ЖҮЙЕСІН ШЕШУ
Теңдеулер жүйесінің формалдық түрі
біртекті теңдеуінің түбірін табу есебі бойынша да жазылуы
мүмкін, мұндағы және . функциясының х нүктесіне жақын
Тейлор қатарына жіктеледі.
немесе векторлық формада мұндағы элементтерімен берілген Якоб
матрицасы деп аталады.
дей отырып және алғашқы екі мүшесін жіктей отырып мына теңдеуді
аламыз: .
3.1СЫЗЫҚТЫ ЖӘНЕ СЫЗЫҚТЫ ЕМЕС ТЕҢДЕУЛЕР МЕН ТЕҢСІЗДІКТЕР
ЖҮЙЕСІН ШЕШУ
Сызықты және сызықты емес теңсіздіктер мен теңдеулер жүйелерін
MathCAD-тың given блогының Find функциясының көмегімен шешуге болады.
Given блогында теңсіздік пен теңдеу жүйесінің шешімі болатын есептер
жазылады. теңсіздіктер мен теңдеулер жүйесі given сөзінен кейін не оң
жағына қарай жазылуы керек.
Теңдеуді жазар алдында = теңдік белгінің орнына Ctrl+= жазу керек.
Барлық айнымалылардың бастапқы жақын шешімдерін given сөзінің алдында
көрсетілуі керек. Индекстелген айнымалыларды іздеуге given блогы жарамайды.
Егер біз коплекстік түбірді тапсақ, бізге бастапқы коплекстік жақын
түбірді табу керек.
Find функциясы жүйесінің аяқталу қызметін атқарады, егер біз жүйенің
нақты шешімін тапқымыз келсе, егер жүйе нақты шешілмесе және ең жақын
минималды қателігі бар болғанда Minerr функциясы қолданамыз.
Given блогында теңсіздіктер мен теңдеулер қанша болса, Minerr және
Find функцияларында сонша көп және аз аргументтер болу керек. Егер блокта
тым аз теңсіздіктер мен теңдеулер болса, онда оны тепе-теңдіктер мен
қайталамалы өрнектермен толтыруға болады.
Ал егер берілген бастапқы жақындауда шешімі табылмаған жағдайда, онда
қызыл жақшада Did not find solution - шешімі табылмады деп шығады.
Сызықты емес теңдеу жүйесін шешейік және оған бастапқы жақындау мәнін
берейік.
х: =1 у: =1 5
Find(х,у) =( )
Given х2-у=23х2у=50 2
Назар аударыңыз! Бұл жағдайда Given – Find блогының алдында бастапқы
жақындауды бермеу керек. Бастапқы жақындауды F(х,у) функциясының
аргументтері ретінде берейік.
Осындай тәсілмен параметрлеріне байланысты жүйелерді шешуге де
болады.
Given x2+y2=R2 y=xg(x,y,R):=Find(x,y)
3.2 СЫЗЫҚТЫ ТЕҢДЕУЛЕР МЕН ТЕҢСІЗДІКТЕР ЖҮЙЕСІН ШЕШУ
Сызықты теңдеулер жүйесін шешкенде әбден ұқсас. Алайда, бұл жағдайда
сызықты теңдеу жүйесі өрнектелмеген болғанда, яғни оның анықтауышы нөлден
өзгеше болса, неғұрлым жақын (сандық математикалық бойынша нәтижелі емес
тәсілі) матрицалық тәсілді шешу болып табылады.
Бір және басқа әдіспен сызықты теңдеу жүйесін шешейік.
x:=-2 y:=1 z:=2
given 2x-4y+3z=1x-2y+4z=33x-y+5z=2
Осы жүйені енді матрицалық әдіспен шешсек, матрица жүйесін жазып және
бос мүше векторларын жазайық.
Жүйені шешейік, сол жақ бағандағы b бос мүшелерін матрицаның кері
матрицасына көбейтейік.
Егер MathCAD-тың соңғы версиясымен жұмыс істесек, онда Isolve
функциясымен жұмыс істеуге болады.
3.3 ТЕҢДЕУ ЖҮЙЕСІНІҢ СИМВОЛДЫҚ ШЕШУІ
Көп жағдайда теңдеу жүйесінің шешімі сандық жағдайда ғана табылмаса,
аналитикалық жолмен де табуға болады. Ол үшін given блогы мен Find
функциясын қолданамыз, бірақ теңдік белгісінің орнына функциядан кейін
символдық түрлендіру белгісі ((ctrl+) қою керек.
Шешім матрица түрінде жазылған.Әр баған (х,у) жұбына сәйкес келеді,
яғни (1,3) және (3,1) шешімдері табылып тұр.
3.4 ФУНКЦИЯНЫҢ ЭКСТРЕМУМДАРЫН ТАБУ
Көптеген айнымалылы функцияның экстремумдарын табу үшін, екі
альтернативті жағдай бар. Біріншісі given блогы және miner функциясы
қолдану болып табылады.
Екі айнымалылы функцияны анықтайық.
облыстарындағы экстремумын табайық. Графиктегі орналасу
экстремумын бағалайық.
М матрицасына байламдар нүктелеріне функцияның мәндерін берейік.
Берілген аралықта функция 25-тен аспайды. Экстремумды іздеу үшін
бастапқы жақындауды берейік.
Теңсіздік және теңдеу блогын жазайық. Given- Find блогындағы
теңсіздік пен теңдеулер саны ізделінді биіктікке тең және үлкен болу керек.
Егер теңсіздік пен теңдеу жетпей жатса, онда оны бір және сол теңдеуді жай
көшіруге немесе кез келген тепе-теңдікті жазуға болады.
Мысалы, 2=2
Теңсіздік пен теңдеу жүйесін шешу үшін блогында жазылған Мinerг
функциясы жақын шешімді іздейді. Бұл жағдайда табатынымыз, нүктесіне
сәйкес келетін теңдеудің жүйесін аламыз (нақты мәнін 0,001, біз 0-ге
жуықтадық).
Графиктен көретініміздей, нүкте маңайындағы функцияның үлкен
мәнінен 26 мән үлкен болып табылады, яғни нақты шешімін табуға болмайды
және Мinerг функциясы х мәнін іздейді, мұндағы функция 26 мәніне жақын
болғанда.
Екінші мүмкіндік – нөлдің бірінші туындысын іздеу, яғни математикалық
стандарттық жақындау болып табылады. Бұл үшін Given-Find блогын
пайдаланамыз. Given сөзінен кейін жазылған болса теңсіздік пен теңдеу
жүйесін нақты шешімін Find функциясы іздейді.
Әр түрлі тәсілмен алынған нәтижелер, екі жағдайда да аз сәйкес келеді.
MathCAD-тың жоғарғы версияларында соңғы уақыттарда қосымша
мүмкіндіктер экстремумдерін іздеу үшін Minimize және Maximize функциялар
көмегімен есептеуге болады. Given блогымен қоса есептелінеді.
Функцияның аргументтері: функция аты, ізделінді экстремум және
аргументтердің тізімі.
екі айнымалы функцияны қарастырайық және оған
бастапқы жақындауын берейік.
Given блогының ішінен максимум облысын іздейік.
Берілген облыстан функцияның максимумын табамыз.
Бір айнымалы функция үшін функциясын береміз және оған
бастапқы жақындау береміз.
Максимумын табамыз .
Егер біз максимумды және минимумды функцияның мәнін табу үшін кейбір
аралықта, онда Given блогында осы аралықты анықтау қажет.
Төмендегі графикте көретініміздей, бірінші табылған максимум бұл
жағдайда сәйкес келеді, туынды нөлге ұмтылғанда, екінші максимум аралық
шекарасында жатқанда
4. АНЫҚТАЛҒАН ИНТЕГРАЛДЫ ЕСЕПТЕУ
4.1 РОМБЕРГ ӘДІСІ
[a,b] аралығында анықталған интегралды есептеу керек болсын .
Есеп барлық жағдайда аналитикалық түрде шешіле бермейді. Соның ішінде
функция интеграл астында таблица түрінде берілсе, сандық әдіспен шешу
керек.
Аппроксимланатын функция үшін полином қолданылады. Полиномның дәрежесі
нөлге тең болған жағдайда, ондай сандық әдіспен интегралдауды тік бұрыштар
әдісі дейді, ал бірінші дәрежелі полиномды – трапеция әдісі дейді. Екінші
дәрежелі полиномды болғанда – Симпсон әдісі деп аталады. Бұл барлық әдістер
Ньютон-Котес квадраттық формуласының жеке жағдайлары деп аталады.
Сонымен, бірінші дәрежемен аппроксилонатын интеграл астындағы функция
трапеция әдісімен, яғни түзу сызықпен шешіледі. Бұл дегеніміз қисық сызықты
трапецияның ауданын табамыз. Интегралдың жуық мәні мынаған тең:
Бұл формуланың (погрешность) қателігі мынаған тең .Белгілейміз,
, мұндағы . Енгізген белгілеуіміздің мағынасы артынан белгілі
болады.
Егер әр аралықты n бөліктерге бөліп және әр аралыққа трапецияның
формуласын қолдансақ,
интегралдың дәл мәнін көрсетуге болады. егер аралықты екі бөлікке
бөлсек, яғни қадамды екі есе азайтсақ, онда интегралдың бағасын мына
түрде көреміз:
Бұл қосындылау бір-ақ элементтен тұрады. Байқағанымыздай жаңа бағаның
орнына ескі баға кірді. Бізге функцияның мәнін жаңа байламдарда табу керек
болатын.
Егер аралық астында 2п болса, онда
.
Егер п=0 болса, онда
Егер п=1 болса, онда
Егер п=2 болса, онда
Рекуренттік қатынас шығады .
Аталған қатынасты трапецияның ... жалғасы
Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.
Ұқсас жұмыстар
Пәндер
- Іс жүргізу
- Автоматтандыру, Техника
- Алғашқы әскери дайындық
- Астрономия
- Ауыл шаруашылығы
- Банк ісі
- Бизнесті бағалау
- Биология
- Бухгалтерлік іс
- Валеология
- Ветеринария
- География
- Геология, Геофизика, Геодезия
- Дін
- Ет, сүт, шарап өнімдері
- Жалпы тарих
- Жер кадастрі, Жылжымайтын мүлік
- Журналистика
- Информатика
- Кеден ісі
- Маркетинг
- Математика, Геометрия
- Медицина
- Мемлекеттік басқару
- Менеджмент
- Мұнай, Газ
- Мұрағат ісі
- Мәдениеттану
- ОБЖ (Основы безопасности жизнедеятельности)
- Педагогика
- Полиграфия
- Психология
- Салық
- Саясаттану
- Сақтандыру
- Сертификаттау, стандарттау
- Социология, Демография
- Спорт
- Статистика
- Тілтану, Филология
- Тарихи тұлғалар
- Тау-кен ісі
- Транспорт
- Туризм
- Физика
- Философия
- Халықаралық қатынастар
- Химия
- Экология, Қоршаған ортаны қорғау
- Экономика
- Экономикалық география
- Электротехника
- Қазақстан тарихы
- Қаржы
- Құрылыс
- Құқық, Криминалистика
- Әдебиет
- Өнер, музыка
- Өнеркәсіп, Өндіріс
Қазақ тілінде жазылған рефераттар, курстық жұмыстар, дипломдық жұмыстар бойынша біздің қор #1 болып табылады.
Ақпарат
Қосымша
Email: info@stud.kz